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Ministrio da EducaoSecretaria de Educao Bsica
Diretoria de Apoio Gesto Educacional
Pacto Nacional pela Alfabetizao
na Idade CertaOPERAES NA
RESOLUO DE PROBLEMAS
Braslia 2014
Caderno 04
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Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Centro de
Informao e Biblioteca em Educao (CIBEC)
Brasil. Secretaria de Educao Bsica. Diretoria de Apoio Gesto
Educacional. Pacto Nacional pela Alfabetizao na Idade Certa:
Operaes na resoluo de problemas / Ministrio da Educao, Secretaria
de Educa-o Bsica, Diretoria de Apoio Gesto Educacional. Braslia:
MEC, SEB, 2014. 88 p.
ISBN 978-85-7783-142-5
1. Alfabetizao. 2. Alfabetizao Matemtica. 3. Nmeros. 4. Sistema
de Numerao Decimal. 5. Operaes.
MINISTRIO DA EDUCAOSecretaria de Educao Bsica SEBDiretoria de
Apoio Gesto Educacional DAGE
Tiragem 362.388 exemplares
MINISTRIO DA EDUCAOSECRETARIA DE EDUCAO BSICA Esplanada dos
Ministrios, Bloco L, Sala 500CEP: 70.047-900Tel: (61) 2022-8318 /
2022-8320
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Sumrio
OPERAES NARESOLUO DE PROBLEMAS
05 Iniciando a Conversa
06 Aprofundando o Tema
06 Ao chegar escola...
09 Clculos e resoluo de problemas na sala de aula
17 Situaes aditivas e multiplicativas no ciclo de alfabetizao18
Situaes aditivas31 Situaes multiplicativas
43 Sobre clculos e algoritmos
59 Algoritmos tradicionais
70 As operaes, as prticas sociais e a calculadora
75 Compartilhando
80 Para Saber Mais
80 Sugestes de Leituras
82 Sugestes de Atividades para os Encontros em Grupos
84 Atividades para Casa e Escola
87 Referncias
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CADERNO 4 | OPERAES NA RESOLUO DE PROBLEMAS
Organizadores:Carlos Roberto Vianna, Emerson Rolkouski
Autores:Emerson Rolkouski, Ettine Gurios, Neila Tonin
Agranionih, Tania Teresinha Bruns Zimer
Autores dos Relatos de Experincia:Alessandra Nacur Gauliki,
Denise Ballo, Marina de Ftima Dolata
Comit Gestor:Adilson Oliveira do Esprito Santo, Liane Teresinha
Wendling Roos, Mara Sueli Simo Moraes
Consultores: Alexandrina Monteiro, Alina Galvo Spinillo, Antonio
Jos Lopes, Celi Espasandin Lopes, Cristiano Alberto Muniz, Gilda
Lisba Guimares, Maria da Conceio Ferreira Reis Fonseca, Maria
Tereza Carneiro Soares, Rosinalda Aurora de Melo Teles
Pareceristas ad hoc:Adail Silva Pereira dos Santos, Adriana
Eufrasio Braga Sobral, Ana Marcia Luna Monteiro, Carlos Eduardo
Monteiro, Cecilia Fukiko Kamei Kimura, Clarissa Arajo, Gladys
Denise Wielewski, Iole de Freitas Druck, Lilian Nasser, Maria Jos
Costa dos Santos, Paula Moreira Baltar Bellemain, Paulo Meireles
Barguil, Rute Elizabete de Souza Rosa Borba
Leitores Crticos: Camille Bordin Botke, Enderson Lopes Guimares,
Flavia Dias Ribeiro, Helena Noronha Cury, Laza Erler Janegitz,
Larissa Kovalski, Leonora Pilon Quintas, Luciane Ferreira Mocrosky,
Luciane Mulazani dos Santos, Marcos Aurelio Zanlorenzi, Maria do
Carmo Santos Domite, Michelle Tas Faria Feliciano, Nelem
Orlovski
Apoio Pedaggico:Laza Erler Janegitz, Nelem Orlovski
Reviso:Clia Maria Zen Franco Gonalves
Projeto grfico e diagramao:Labores Graphici
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Iniciando a Conversa
Este material d continuidade ao trabalho desenvolvido nos dois
cadernos anteriores, agora focando os procedimentos operatrios.
Observa-se que tais procedimentos so desenvolvidos em duas frentes:
a conceitual e a procedimental. Os procedimentos dizem respeito a
tcnicas e estratgias de clculo, mental ou escrito, assim como a
usos de instrumentos como o baco e materiais manipulveis, como o
material dourado. A frente conceitual relativa aos contextos, s
ideias.
Na perspectiva do letramento, o trabalho com as operaes deve
estar imerso desde o primeiro momento, em situaes-problema. Isso
porque, adotamos como pressuposto a necessidade de que haja um
entendimento sobre os usos das operaes em diferentes contextos e
prticas sociais.
Assim como no caderno anterior, o recurso aos jogos essencial.
Isso porque as crianas, em situaes espontneas de brincadeira, fazem
pequenos clculos e resolvem problemas. O trabalho pedaggico passa a
ser ento, de forma inten-cional, promover mais atividades dessa
natureza, sistematizando o conhecimento construdo.
Este caderno trata ento, no somente de prticas que podem ser
desenvolvidas, mas tambm aborda as situaes aditivas e
multiplicativas, bem como apresenta maneiras de desenvolver o
trabalho com o clculo escrito.
Assim, so objetivos deste caderno, oferecer subsdios tericos e
prticos para amparar prticas pedaggicas com o intuito de garantir
que a criana possa:
elaborar, interpretar e resolver situaes-problema do campo
aditivo (adio e subtrao) e multiplicativo (multiplicao e diviso),
utilizando e comunicando suas estratgias pessoais, envolvendo os
seus diferentes significados;
calcular adio e subtrao com e sem agrupamento e
desagrupamento;
construir estratgias de clculo mental e estimativo, envolvendo
dois ou mais termos;
elaborar, interpretar e resolver situaes-problema convencionais
e no convencionais, utilizando e comunicando suas estratgias
pessoais.
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Aprofundando o Tema
AO CHEGAR ESCOLA...Ettiene Cordeiro Guerios
Neila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer
Ao chegar escola muitos so os conhecimentos trazidos pelas
crianas. Movidas pela curiosidade investigativa, em situaes
envolvendo as brincadeiras comuns ao cotidiano infantil, constroem
hipteses prprias sobre quantidade, espao, tempo, escritas numricas,
bem como se envolvem, ao explorar objetos, em aes que requerem
quantificar, comparar, contar, juntar, tirar, repartir, entre
outras, na resoluo de pequenos problemas de modo prtico e tambm
simblico.
Relaes matemticas com nmeros esto em evidncia no cotidiano das
pessoas e isso no diferente quando se trata de crianas. Por
exemplo, ao observar um grupo de alunos brincando durante o
intervalo das aulas (recreio ou horrio do lanche), pode-se
constatar que muitas brincadeiras requerem algum tipo de contagem
ou quantificao (amarelinha, queimada ou caador, STOP,
esconde-esconde, etc.), e tambm, possibilitam que estabeleam relaes
espaciais e temporais e, em alguns casos, realizem clculos e
resolvam problemas.
Tais atividades contribuem para a construo de esquemas que
favorecem o desencadear do processo de compreenso das operaes
bsicas: adio, subtrao, multiplicao e diviso. Do mesmo modo,
permitem a interao das crianas com diferentes formas de registros
simblicos, tais como nmeros de canais de televiso, nmeros de
telefone, preos de mercadorias, placas de carro, o que contribui
para a gradativa familiarizao com as escritas numricas e com o
sistema de numerao decimal.
possvel constatar, tambm, modos prprios das crianas lidarem com
situaes empregando processos cognitivos diversos que esto
envolvidos no raciocnio matemtico, tais como, o estabelecimento de
relaes parte-todo, a realizao de transformaes de uma das partes que
compem o todo, comparaes, composio entre quantidades de diferentes
grupos, retirada ou incluso de quantidades em relao a certo grupo,
reparties, distribuies e diviso de certa quantidade, combinaes e
comparaes entre objetos em quantidades preestabelecidas, entre
outras.
Ao chegar escola, juntamente com a riqueza de conhecimentos
possibilitada pelas suas vivncias, as crianas trazem o desejo e a
urgncia de aprender mais, e, em relao Matemtica, almejam aprender a
escrever nmeros grandes e fazer contas.
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fato que, nas escolas, por muito tempo, a nfase do ensino da
Matemtica esteve nas tcnicas operatrias e na compreenso dos
algoritmos em si e pouca ateno foi dada compreenso dos conceitos
matemticos e s propriedades envolvidas nas operaes. Esta realidade
contribui para que muitas crianas se desmotivem e gradativamente,
percam o gosto e o interesse em aprender matemtica.
Neste caderno, tratamos de clculos e operaes no Ciclo Inicial da
Alfabetizao. Ao focarmos os clculos numricos e as operaes
matemticas de adio, subtrao, multiplicao e diviso, buscamos faz-lo
de modo integrado aos processos de construo de conceitos que
envolvem as quatro operaes e seus modos de representao.
Muitas vezes a atividade matemtica escolar organizada apenas a
partir de exerccios nos quais a meta aprender a realizar clculos
(mentais e escritos) e a usar algoritmos, de modo a tornar a rotina
na sala de aula marcada por interminveis exerccios sem significado
para os alunos.
Algoritmos so procedimentos de clculo que envolvem tcnicas com
passos ou sequncias determinadas que conduzem a um resultado.
insuficiente um aluno saber fazer contas mecanicamente, se no
souber as ideias matemticas que lhes so pertinentes. Por exemplo,
pouco adianta a um aluno saber fazer conta de mais, em outras
palavras, saber utilizar o algoritmo da adio, se no souber
desenvolver estratgias que lhe permitam resolver um problema que
tenha sido solicitado em sala de aula ou na prpria vida fora da
escola. Esta prtica no a pretendida no ensino da Matemtica.
O uso de algoritmos deve estar associado compreenso pelos alunos
dos significados conceituais nele envolvidos. Por exemplo, a
compreenso da adio como operao matemtica e tambm a compreenso dos
processos do prprio algoritmo da adio. necessrio considerar que o
uso de algoritmos pode ser feito de forma mecnica sem que haja a
compreenso dos agrupamentos envolvidos nos processos de clculo,
como o vai um, por exemplo. Por outro lado, o clculo pode estar
fundamentada na compreenso das propriedades do sistema de numerao
decimal que sustentam o algoritmo, ou seja, na compreenso dos
agrupamentos e reagrupamentos em base dez.
Aprender sobre adio, subtrao, multiplicao e diviso requer
aprender muito mais do que procedimentos de clculo. Mais do que
destreza no fazer contas e habilidade nas tcnicas operatrias,
espera-se que os alunos compreendam o que fazem e construam os
conceitos envolvidos nessas operaes, e neste sentido, que se
estabelece, neste caderno, um dilogo com a Resoluo de
Problemas.
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Esta perspectiva metodolgica contribui significativamente para
que a atividade matemtica seja desenvolvida de modo a valorizar a
compreenso conceitual inerente aos procedimentos de clculos durante
toda a escolaridade e, marcadamente, desde o Ciclo de Alfabetizao
do Ensino Fundamental.
Durante um bom tempo, problemas matemticos foram utilizados na
sala de aula como uma forma de treinar o uso de algoritmos. Estas
prticas ainda persistem em muitas escolas. No contexto de formao na
rea de matemtica do PACTO, entende-se que a Resoluo de Problemas
deve desencadear a atividade matemtica. Uma proposta pedaggica
pautada na Resoluo de Problemas possibilita que as crianas
estabeleam diferentes tipos de relaes entre objetos, aes e eventos
a partir do modo de pensar de cada uma, momento em que estabelecem
lgicas prprias que devem ser valorizadas pelos professores. A
partir delas, os alunos podem significar os procedimentos da
resoluo e construir ou consolidar conceitos matemticos pertinentes
s solues.
Um problema no um exerccio ao qual o aluno aplica, de forma
quase mecnica, uma frmula ou um processo operatrio. S h problema
quando o aluno for levado a interpretar o enunciado da questo
proposta e a estruturar a situao que lhe foi apresentada. Esta
afirmao evidencia que problemas matemticos em que o aluno no
precise pensar matematicamente e desenvolver estratgias de resoluo,
ou seja, no precise identificar o conceito matemtico que o resolve,
transforma-se em simples exerccio, ou seja, em apenas fazer
contas.
Mas, o que , ento, um problema matemtico?
Um problema matemtico uma situao que requer a descoberta de
informaes desconhecidas para obter um resultado. Ou seja, a soluo
no est disponvel de incio, no entanto possvel constru-la.
O processo de construo de soluo pelo aluno fundamental para a
aprendizagem e dar sentido matemtico para os clculos e operaes que
efetuar. portanto, no interior da atividade de resoluo de
problemas, que o trabalho com os clculos deve ser efetivado na sala
de aula. sobre esse tema que tratar o prximo artigo.
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A partir da resoluo das crianas possvel perceber as estratgias e
aprendizagens de cada uma.
Arq
uivo
dos
aut
ores
CLCULOS E RESOLUO DEPROBLEMAS NA SALA DE AULAEttiene Cordeiro
Guerios
Neila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer
Um aspecto fundamental na atividade com resoluo de clculos e
problemas em sala de aula que os professores observem e considerem
os modos prprios de resoluo e de aprendizagem de cada criana.
Ilustramos essa afirmao apresentando exemplos de estratgias
diferentes para resoluo de um problema proposto aos alunos por uma
professora. Observem que as crianas elaboram estratgias e
evidenciam o raciocnio que empregam, ao contrrio de apenas
executarem mecanicamente clculos previamente indicados para serem
feitos, sem compreenso conceitual.
Exemplo:Um aqurio tem 15 peixes de cor amarela e verde. 6 peixes
so da cor amarela. Quantos so os peixes da cor verde?
Observe as estratgias que as crianas elaboraram para essa
resoluo.
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Ana Gabrielli inicialmente desenhou os 15 peixes em sequncia. A
seguir, pintou os ltimos 6 de amarelo e os restantes de verde.
Contou ento os peixes verdes e escreveu o resultado 9 ao lado.
Observe que Ana Gabrieli espelhou a grafia do 9. Ana Gabrielli
resolveu o problema pela contagem da diferena entre os peixes
amarelos e os demais e mostra estar aprendendo a grafia dos
algarismos.
Anita pintou em cores diferentes os dados do problema, escreveu
o valor encontrado ao lado do enunciado, pintou e escreveu a
resposta: 9 peixes so verdes. Inicialmente, desenhou os 15 peixes
agrupados em duas linhas utilizando critrio aparentemente esttico,
pintou os seis primeiros de amarelo e os restantes de verde. Ao
lado da representao pictrica fez o clculo usando o algoritmo
tradicional da conta armada e fez mais uma representao pictrica com
pequenas bolinhas. Anita comps sua estratgia de resoluo utilizando
trs representaes, que nos parecem complementares.
Maria desenhou os 15 peixes, fez dois grupos de 6, abaixo, usou
o algoritmo tradicional da subtrao 15 6 = 9 e ao lado fez mais uma
representao pictrica. Percebe-se que tentou outras estratgias
anteriormente, pois h sinais de escritas apagadas que embora no
legveis, evidenciam tentativas de Maria. Na resposta encontramos
marca apagada da escrita 24. Faz-nos pensar que em determinado
momento Maria encontrou 9 como resultado de suas estratgias, mas,
ao elaborar a resposta, continuou efetuando clculos, sem entender
exatamente o que solicitava o enunciado. A resposta 24 apagada pode
ser o clculo da adio do 9 ao 15 presente no enunciado.
O que essas diferentes estratgias permitem considerar?
Os trs alunos desenvolveram estratgias diferentes e todas
conduziram resoluo correta do problema. Evidenciam movimentos
cognitivos diferentes em funo de conhecimentos matemticos
mobilizados por cada uma delas. Maria evidencia que est em processo
de construo conceitual, mas que requer ateno, uma vez que pode
estar operando com dados numricos do problema sem ter compreendido
a situao presente no problema e, sem saber o que necessita,
matematicamente, fazer.
Observe, agora, como Anita realizou a atividade. A professora
dela tem uma orientao prpria para resoluo dos problemas que passa
para seus alunos: eles devem colorir os dados e a pergunta do
problema para evidenci-los. importante salientar que so os alunos
que devem identificar quais so esses dados e qual a pergunta do
problema e pint-los adequadamente. Se os professores indicarem
previamente quais os dados a serem pintados, ou se pintarem os
dados no quadro antes de os alunos os identificarem, o potencial
didtico da Resoluo de Problemas estar comprometido, porque ser
reduzido resoluo das contas envolvidas no enunciado. Lembre que o
potencial da atividade est, exatamente, em que os alunos
compreendam a situao-problema e elaborem a estratgia de
resoluo.
Ao nos depararmos com uma situao e fazermos perguntas
sobre a mesma, a transformamos em uma
situao-problema. Nesse caderno
utilizaremos, sem fazer distino, problemas e
situaes-problema.
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Se os alunos compreenderam a situao configurada, ento podero
pensar sobre ela e identificar o conhecimento matemtico que a
resolve. Ana Gabrielli, Anita e Maria, por exemplo, desenvolveram
estratgias diferentes para resolver o mesmo problema, mas, mesmo
que as estratgias tenham sido distintas, cada uma a seu modo,
chegou resposta correta.
possvel afirmarmos que as crianas envolvidas na atividade
descrita, Ana Gabrielli, Anita e Maria, construram as ideias
matemticas pertinentes ao problema? No podemos afirmar,
categoricamente, que sim. O que podemos afirmar que as estratgias
que realizaram evidenciam um processo de construo conceitual, nesse
caso, das operaes matemticas pertencentes ao campo conceitual
aditivo, que ser, explorado mais adiante.
A socializao dessas estratgias desenvolvidas pelos alunos um
recurso a mais para que os mesmos percebam as diferentes
possibilidades de resoluo de um problema. interessante que os
caminhos pensados e construdos para chegar s respostas sejam
discutidos pelo grupo de alunos. Por exemplo, na resoluo de Maria
ao problema apresentado anteriormente, seria relevante questionar o
significado do 9 e do 24, assim como as relaes entre 6, 9 e 15 no
contexto do problema o que possibilitar que os alunos se apropriem
de diferentes procedimentos. Para tal, importante tambm promover a
reflexo sobre os caminhos percorridos e as respostas obtidas, bem
como, valorizar as estratgias realizadas.
importante que as estratgias individuais sejam estimuladas. So
elas que possibilitam aos alunos vivenciarem as situaes matemticas
articulando contedos, estabelecendo relaes de naturezas diferentes
e decidindo sobre a estratgia que desenvolvero. A socializao dessas
estratgias com toda a turma amplia o repertrio dos alunos e auxilia
no desenvolvimento de uma atitude mais flexvel frente a resoluo de
problemas.
Em primeiro lugar, preciso que as crianas interpretem a
situao-problema vivenciada, compreendam o enunciado do problema,
seja oral ou escrito. Ao compreenderem, podero estabelecer relaes
entre o que a situao prope por meio do enunciado e os conhecimentos
matemticos a ela pertinentes.
Para auxiliar as crianas nessa compreenso, diversas estratgias
podero ser utilizadas. Pode-se tomar um texto de um problema em que
faltem partes para que as crianas as completem. Em outro momento,
podem ser dados textos de problemas com excesso ou falta de dados.
Estratgias como essas auxiliam a romper com o contrato didtico que
tem levado as crianas a apenas procurarem a operao necessria para
encontrar a soluo.
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Por isso, importante que os professores dediquem um tempo para a
interpretao da situao proposta para ser resolvida. Compreendida a
situao proposta, oralmente ou no enunciado do problema, os alunos
tero condio de desenvolver as estratgias de resoluo. nesse momento
que mobilizaro conceitos matemticos conhecidos e fundamentaro os
que esto em processo de construo conceitual. o importante momento
em que os alunos decidiro COMO resolver. Cabe aqui uma observao:
este momento s ter valor didtico se, de fato, o aluno mobilizar seu
pensamento para a construo da estratgia de resoluo. Se os alunos
estiverem repetindo procedimentos, ou executando o que lhes for
dito para fazer, no estaro desenvolvendo estratgias de resoluo. O
problema estar se convertendo em exerccio de repetio ou em execuo
algortmica. Observe-se que, nesses casos, a atividade matemtica em
si (resolver problema por repetio de procedimento ou por execuo do
que foi dito para fazer) pode ocorrer; o que pode no acontecer a
compreenso conceitual, pois a atividade matemtica assim orientada
no permite que ocorra. Por isso, enfatizamos que a Resoluo de
Problema, ou de situao- -problema, possibilita uma aprendizagem
matemtica conceitual.
Construda a estratgia, o aluno realizar os clculos, promover a
soluo, chegar resposta. A realizao dos clculos pode ocorrer de
diferentes modos. Pode ser a algortmica propriamente dita, oral,
pictrica, com a utilizao de material dourado ou de outro modo que
expresse a resoluo da estratgia construda.
interessante que os alunos reflitam sobre a resposta obtida. Os
professores devem incentivar os alunos a compararem a resposta
obtida com o enunciado do problema, ou com a situao-problema que
gerou a necessidade de soluo. preciso que argumentem se a resposta
obtida faz sentido no contexto do problema. preciso examinar o
sentido matemtico da resposta. Nesse momento, se os alunos
perceberem inconsistncia entre resposta e dados do problema, eles
mesmos devero rever a estratgia.
O trabalho com Resoluo de Problemas sempre envolve aspectos mais
amplos da construo dos conhecimentos escolares, a comear pelo fato
destes conhe-cimentos estarem inseridos em contextos. A seleo que o
professor fizer sobre os contextos, a delimitao das aproximaes que
eles tero com o universo de experincias vividas pelos alunos, ser
fundamental para determinar o grau de en-volvimento das crianas com
as questes que lhes forem propostas. Em seguida, trabalhados
coletivamente os enunciados dos problemas, cada aluno deve ser
es-timulado a questionar sua prpria resposta, a questionar os dados
e o enunciado do problema, e, deste modo, instigado a transformar
os dados e sua soluo em uma fonte para novos problemas. Esse
procedimento coloca em evidncia alguns pressupostos em relao ao
ensino e a aprendizagem que superam a perspectiva da simples
reproduo de conhecimentos.
A professora da Rede Municipal de Curitiba, Alessandra Nacur
Gauliki, trabalha com Resoluo de Problemas em sua prtica cotidiana.
Ela disponibilizou sua experincia conforme o relato a seguir.
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O TRABALHO COM O ENSINO DA MATEMTICAAlessandra Nacur Gauliki
Considerando a importncia da Matemtica para a vida cotidiana e
acadmica, o estudo dessa rea do conhecimento deve ser instigante e
desafiador e possibilitar ao estudante a criao de suas prprias
estratgias de resoluo de problemas ou execuo de exerccios que
envolvam o raciocnio lgico-matemtico. Trabalhar com a matemtica
engloba, antes de tudo, proporcionar ao estudante a possibilidade
de resolver situaes desafiadoras e utilizar estratgias e mecanismos
que favoream essas aes.
A prtica de sala de aula requer que ns professores sejamos
conhecedores da gnese do que queremos ensinar. As perguntas
norteadoras que ajudam nesse processo so: O que vou ensinar? Para
que vou ensinar? Como vou ensinar e por que vou ensinar? Precisamos
saber a que objetivo pretendemos chegar ou atingir com determinado
contedo de ensino. Diante desse pressuposto, faz-se necessrio
tornar essa prtica permeada de significao para que a aprendizagem
acontea de forma efetiva.
Quando trabalho com uma situao-problema, por exemplo,
proporciono s crianas, primeiramente, um momento para que haja uma
efetiva interpretao do que est sendo solicitado; questiono quais so
os dados pertinentes ao problema (peo at para contornarem esses
dados com cores diferenciadas, valores numricos de uma cor,
pergunta de outra cor e assim por diante); quais hipteses posso
abstrair para resolver o problema; como, de que forma vou resolv-lo
(com desenhos, dividir o problema em partes para facilitar o
desenvolvimento das aes) e por fim o uso do algoritmo e os clculos
necessrios. Em problemas de anlise combinatria, se faz necessrio
levar para a sala de aula os elementos que o compem, mostrando s
crianas as diversas possibilidades de combinaes que podem ser
compostas, de forma que possam visualizar e manipular os dados do
problema e posteriormente fazer todos os registros necessrios.
Veja este exemplo de problema multiplicativo, envolvendo a ideia
aditiva e multiplicativa: 1.o passo) Fizemos a leitura e
interpretao do problema; 2.o passo) Pintamos os algarismos de uma
cor e a pergunta do problema de outra; 3.o passo) Desenvolvemos a
estratgia que elaboramos, primeiro com o material dourado e aps o
registro com desenho; 4.o passo) Pintamos na malha quadriculada as
quantidades obtidas com a manipulao do material dourado; 5.o passo)
Realizamos
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14os clculos envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa; 6.o
passo) Voltamos parte grifada em vermelho, perguntamos aos
estudantes o que estava sendo questionado e desenvolvemos a
resposta.
Arq
uivo
dos
aut
ores
Procuro realizar o ensino da matemtica, na medida do possvel, de
forma interdisciplinar. Delimito um tema a ser abordado e
desenvolvo uma sequncia didtica que contemple entre outras, a rea
da matemtica, no esquecendo no entanto, o objeto de estudo de cada
rea do conhecimento. Percebo assim, que os estudantes estabelecem
uma melhor compreenso e assimilao do contedo abordado.
Aos estudantes que apresentam dificuldades de aprendizagem em
matemtica, torna-se imprescindvel um trabalho diferenciado, que
proporcione ao educando a manipulao de material concreto, como:
material dourado, rguas numricas, problemas esquematizados em
partes, entre outros, com o objetivo de se atingir a curiosidade e
a motivao, para que a criana consiga formar seus esquemas de
representao mental para posteriormente promover a consolidao do
conhecimento. Ao professor tambm necessrio conhecer em que etapa de
desenvolvimento cognitivo encontra-se o seu aluno, para que dessa
forma, possa lhe proporcionar atividades condizentes com sua real
possibilidade de compreenso. Ou seja, quando uma criana apresenta
uma dificuldade em Matemtica, temos que desenrolar o novelo, para
sabermos exatamente onde est o fio da meada, detectando assim onde
se encontra a sua dificuldade e partir daquele ponto para
posteriormente ajud-la em sua superao.
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No relato da Professora Alessandra, observamos como ela organiza
a atividade com Resoluo de Problemas. A compreenso pelos alunos da
situao-problema evidente, como tambm evidente que a prtica por ela
adotada privilegia a construo das estratgias de resoluo e a anlise
do resultado obtido. Vamos, a seguir, abordar aspectos importantes
no trabalho com Resoluo de Problemas.
Anlise de estratgias que levam a erros
At aqui abordamos estratgias que conduzem a respostas corretas
pelos alunos. E o que fazer diante de estratgias que conduzem a
erros?
H vrias situaes que dificultam a construo de estratgias
resolutivas e que, consequentemente, conduzem os alunos a erros.
Citamos aqui erros de duas naturezas: os decorrentes de
dificuldades lingusticas e os decorrentes de compreenso de natureza
matemtica.
Os de natureza lingusticas so decorrentes das dificuldades de
compreenso de textos, considerando que o enunciado dos problemas um
texto, seja ele apresentado de modo oral ou escrito. Os de natureza
matemtica so os decorrentes de limitaes na compreenso de conceitos
envolvidos impedindo o estabelecimento das relaes necessrias para a
soluo do problema.
Gurios e Ligeski (2013) desenvolveram pesquisa com alunos do
Ensino Fundamental em atividades com Resoluo de Problemas e
identificaram os seguintes fatores, entre outros, que levam os
alunos a erros:
Ausncia de compreenso ou compreenso inadequada na leitura : o
aluno no compreendeu o que leu e, consequentemente, no identificou
uma situao a ser resolvida matematicamente, ou seja, no pode
desenvolver estratgia alguma de resoluo;
Ausncia ou equvoco de compreenso matemtica : o aluno compreendeu
o que leu mas no identificou o conceito matemtico que o
resolve.
Embora as autoras tenham identificado tais dificuldades em
situao de leitura, esclarecemos que a mesma no ocorre apenas da
leitura feita pelo aluno, pois muitas vezes a dificuldade persiste
mesmo quando o enunciado lido para o aluno.
Devemos observar atentamente se os alunos esto compreendendo os
problemas e/ou seus enunciados. imperativo que compreendam, porque
a partir dessa compreenso que haver atividade matemtica. Erros que
equivocadamente so considerados dificuldades de aprendizagem em
Matemtica, algumas vezes, tm sua origem na falta de compreenso do
problema ou do seu enunciado. Por isso importante que os
professores analisem a origem dos erros dos alunos para poder
ajud-los na aprendizagem.
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As pesquisadoras identificaram uma terceira situao no
caracterizada por ausncia de compreenso, mas pela evidncia de que o
aluno est em processo de construo conceitual ao realizar tentativas
de resoluo testando diferentes caminhos. No caso de Maria,
comentado anteriormente, percebemos que ela errou para acertar.
Analisar as tentativas ajuda a compreender como as crianas
aprendem, como elaboram suas estratgias, qual seu ritmo de
aprendizagem e, principalmente, como est acontecendo a base
estruturante do pensamento matemtico dos alunos.
Erros de compreenso do contexto delineado pelo problema ocorrem
e so bastante comuns. Nestes casos, deve-se retornar busca de
sentido da situao. Devemos atentar para verificar o que os alunos
erraram. Isto pode ser ocasionado por um erro de clculo, uma
distrao, ausncia de compreenso ou compreenso equivocada tanto do
enunciado como do conhecimento matemtico a ele pertinente para a
soluo. Para cada uma das possibilidades h estratgias diferenciadas
de interveno pedaggica.
De fato, os processos resolutivos das crianas dizem muito sobre
como esto aprendendo e a resoluo de problemas e de situaes-problema
possibilitam ao professor identificar se respostas numricas obtidas
representam aprendizagem efetiva.
Devemos tambm ficar atentos quando as crianas se valem de
indcios lingusticos presentes nos problemas para realizar clculos
que conduzam soluo. Por exemplo, considere o problema a seguir:
Ana tem 5 doces e Maria tem 8 doces. Quantos doces Maria tem a
mais?
Se diante desse problema adicionarem 5 + 8 = 13, induzidos pela
palavra mais presente no enunciado, temos um forte indcio de que no
compreenderam conceitualmente as operaes necessrias para
resolv-lo.
Podem, tambm, ao terem sido expostas a um ensino baseado em
palavras- -chaves relacionadas com operaes (mais, juntar, ganhar,
etc. implicam no uso do algoritmo da adio, assim como tirar,
perder, etc., implicam no uso do algoritmo da subtrao),
simplesmente terem deduzido se tratar de uma adio. preciso que
sejam trabalhadas as respostas dos alunos, identificando como
pensaram para podermos encontrar circunstncias reveladoras do
processo de aprendizagem de cada um. Veremos no texto seguinte que
o uso de palavras-chave relacionados com as operaes pode levar a
equvocos.
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SITUAES ADITIVAS E MULTIPLICATIVASNO CICLO DE ALFABETIZAOEttiene
Cordeiro Guerios
Neila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer
bastante comum que as crianas e tambm adultos relacionem
aprender Matemtica com aprender a fazer contas uma vez que por
muito tempo o ensino de clculos foi enfatizado no ciclo inicial do
Ensino Fundamental. Por conta disso, muitas crianas desenvolveram e
desenvolvem habilidades algortmicas, nessa fase da escolarizao,
muito mais do que habilidades de resoluo de problemas.
Professor, que conta tem que fazer? de mais ou de menos? de
vezes ou de dividir?
Perguntas como essas so bastante comuns na prtica cotidiana de
muitos professores. Se os alunos perguntam recorrentemente que
contas devem fazer diante de problemas matemticos, possivelmente no
esto compreendendo as ideias envolvidas no problema e/ou no
atribuem significado aos algoritmos que sabem usar. Para aprender
matemtica precisam saber mais do que fazer contas: importante saber
o que os clculos significam e compreender os conceitos envolvidos
nas operaes que representam. Exemplo disso o fato de que diferentes
problemas podem ser resolvidos com o mesmo clculo, como pode ser
observado a seguir:
Exemplos:
Em um vaso h 3 rosas amarelas e 5 rosas vermelhas. Quantas
flores h no vaso?
3 + 5 = 8Resposta: no vaso h 8 flores.
Lusa tinha alguns lpis de cor em seu estojo. Perdeu 3 lpis de
cor durante a aula de artes e ficou com 5. Quantos lpis de cor
Luisa tinha em seu estojo no incio da aula de artes?
3 + 5 = 8Resposta: Lusa tinha em seu estojo 8 lpis de cor.
O primeiro problema facilmente resolvido pelas crianas. J o
segundo envolve um raciocnio mais complexo, a compreenso da adio
como operao inversa da subtrao, tornando-se mais difcil para as
crianas, mesmo que consigam realizar com tranquilidade o clculo
numrico 3 + 5 = 8. Ou seja, saber fazer a conta no suficiente,
necessrio compreender a operao envolvida no problema. necessrio
construir os conceitos envolvidos nas operaes.
Vergnaud (2009) afirma que conceitos no podem ser compreendidos
de modo isolado, mas sim a partir de campos conceituais. Isto
implica em considerar que
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conceitos, como por exemplo, de adio e subtrao, envolvem e so
envolvidos por situaes, estruturas, operaes de pensamento e
representao que se relacionam entre si. Assim, adio e subtrao fazem
parte de um mesmo campo conceitual denominado aditivo. Do mesmo
modo, multiplicao e diviso fazem parte do campo conceitual
denominado multiplicativo.
Apresentamos uma proposta de trabalho com clculos as operaes
bsicas que contempla a construo de conceitos a partir de campos
conceituais, partindo de situaes que promovem o pensamento
operatrio e suas diferentes formas de representao. importante
salientar que as classificaes de situaes so conhecimentos
importantes para a prtica docente, pois permitem ao professor
propor e selecionar situaes variadas, as quais levaro as crianas a
uma maior compreenso das situaes envolvidas. Por outro lado, isso
no deve levar o professor a tomar como contedo de sala de aula a
classificao dos problemas, ou mesmo, trabalh-los separadamente com
as crianas. Tal prtica, pode levar as crianas a decorar
procedimentos de resoluo, o que no adequado na atividade matemtica
escolar.
Situaes Aditivas
A vivncia trazida pela criana no incio do processo de
escolarizao no pequena e, acrescentamos, no deve ser ignorada.
Trata-se de uma riqueza a ser considerada e explorada no processo
de alfabetizao matemtica. Ao ingressarem na escola, as crianas j
conseguem resolver problemas que envolvem situaes aditivas simples,
coordenando aes de juntar, ganhar e perder, por exemplo, com ou sem
auxlio de objetos ou registros escritos, uma vez que so as
primeiras representaes que as crianas formam sobre adio e subtrao,
antes mesmo de ir para a escola, nas brincadeiras, na interao com
outros, enfim, nas relaes que estabelecem no seu dia a dia (MAGINA
et al., 2001; NUNES; BRYANT, 1997). Por outro lado, a coordenao
dessas aes com a contagem, constitui um procedimento bastante
eficaz na resoluo de situaes-problema, e merece uma ateno especial
no incio da escolarizao.
A atividade de contagem permite que as crianas construam
estratgias que lhes possibilitam resolver problemas de complexidade
crescente. Mas, para tanto, conforme Orrantia (2000), h necessidade
de desenvolver algumas habilidades, dentre elas:
comear a contagem a partir de qualquer ponto arbitrrio da srie
numrica, por exemplo, contar a partir do 6;
identificar o ltimo objeto contado como o cardinal que expressa
a quantidade total sem necessidade de contar os objetos
novamente;
estender a contagem iniciada no primeiro conjunto ao segundo
conjunto de tal forma que o primeiro objeto deste seja considerado
o nmero seguinte
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na sequncia de contagem, por exemplo: na adio de um conjunto de
3 lpis com um outro de 4 lpis, a contagem se daria da seguinte
maneira: 1, 2, 3 seguida por 4, 5, 6, 7.
Com o tempo, e medida que interagem com diferentes situaes,
desenvolvem estratgias de contagem mais sofisticadas, abstratas e
eficientes, tais como as necessrias para a resoluo de problemas
aditivos (FAYOL, 1996; ORRANTIA, 2000). Essas estratgias so
identificadas como:
contar todos;
contar a partir do primeiro (reter o 5 na memria em 5 + 6,
contando os restantes: 6, 7, 8, 9, 10, 11, por exemplo);
contar a partir do maior (reter o 6 em 5 + 6, contando os
restantes: 7, 8, 9, 10, 11);
usar fatos derivados (em 5 + 6, efetuar o clculo 5 + 5 + 1 = 10
+ 1 = 11);
recuperar fatos bsicos da memria (lembrar fatos memorizados,
como a tabuada).
A escolarizao contribui, ou deveria contribuir, para o uso de
estratgias mais maduras em relao contagem, tais como, fatos
derivados e recuperao de fatos da memria, na resoluo de problemas e
na realizao de clculos.
Por volta dos 5 anos, as crianas conseguem resolver problemas,
tais como, os que envolvem as situaes de composio e de transformao
simples pela contagem que veremos a seguir.
Situaes de composio simples
As situaes de composio relacionam as partes que compem um todo
por aes de juntar ou separar as partes para obter o todo sem
promover transformao em nenhuma das partes.
Exemplo:
Em um vaso h 5 rosas amarelas e 3 rosas vermelhas. Quantas rosas
h ao todo no vaso?
Os nmeros referem-se a dois conjuntos de rosas que se compem
formando o total de rosas no vaso. No h transformao na situao, uma
vez que no houve acrscimo de rosas e nenhuma rosa foi retirada do
vaso, mas a ao de juntar as partes para determinar o todo.
A criana poder pegar 5 objetos, representando as 5 rosas,
contando-os um a um (1, 2, 3, 4, 5) depois 3 objetos, tambm
contando-os um a um (1, 2, 3). A seguir, junt-los e contar todos
novamente iniciando do 1 at o 8. Esse procedimento descrito na
literatura como contar todos.
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COMPRANDO FICHASMateriais:
Dois dados, de cores diferentes, adaptados com as faces: 1, 2,
3, 1, 2, 3;
12 fichas;
Nmero de jogadores: 2
Regras do jogo:
O jogador, na sua vez, lana os dois dados e a seguir compra a
quantidade de fichas correspondentes a cada dado. Aps a compra das
fichas, calcula o total de fichas compradas, somando-as. Registra o
total de cada rodada na tabela de pontos. O ganhador aquele que ao
final de trs rodadas comprou o menor nmero de fichas.
RODADAS PONTOS PONTOS TOTAL
DADO VERMELHO DADO AZUL
PRIMEIRA
SEGUNDA
TERCEIRA
TOTAL: ..............
Problematizar situaes do jogo uma forma bastante interessante
para desafiar os alunos a refletir sobre as estratgias e os clculos
realizados bem como suas diferentes formas de representao. Por
exemplo:
Problematizando situaes aps o jogo Comprando Fichas:
1. Veja as fichas que Ana comprou na primeira rodada e descubra
o nmero que caiu no outro dado.
Rica
rdo
Luiz
Enz
Problemas de composio podem ser trabalhados a partir de jogos
didticos que possibilitem s crianas coordenar aes prprias s situaes
aditivas e subtrativas. Veja o jogo a seguir.
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2. Joo jogou os dados e comprou 4 fichas. Descubra o nmero que
caiu no outro dado.
Situaes de transformao simples
As situaes de transformao envolvem um estado inicial, uma
transformao por ganho ou perda, acrscimo ou decrscimo e um estado
final.
As situaes mais simples de transformao so aquelas em que o
estado inicial e a transformao so conhecidos e o estado final deve
ser determinado.
Exemplo:Aninha tem 3 pacotes de figurinhas. Ganhou 4 pacotes da
sua av. Quantos pacotes tem agora? Estado inicial: 3 pacotes de
figurinhas Transformao: ganhou 4 pacotes Estado final: ?
A criana poder pegar 3 objetos, representando os 3 pacotes
(estado inicial), contando-os um a um (1, 2, 3) depois 4 objetos,
tambm contando-os um a um (1, 2, 3, 4). A seguir, junt-los
(transformao) e contar todos novamente iniciando do 1 at o 7,
obtendo o estado final 7.
Rica
rdo
Luiz
Enz
Rica
rdo
Luiz
Enz
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Tambm poderia pegar 3 pacotes de figurinhas e continuar pegando
mais 4 pacotes, um a um, continuando a contagem at 7. Esse
procedimento conhecido como contar na sequncia.
Problemas de subtrao tambm podem envolver situaes de transformao
simples e podem ser resolvidos a partir da coordenao das aes de
retirar e contar.
Exemplo:Zeca tinha 7 bolinhas de gude. Deu 3 para Lus. Quantas
ele tem agora? Estado inicial: 7 bolinhas Transformao: deu 3
bolinhas Estado final:?
Inicialmente as crianas desenvolvem esquemas de juntar; separar
e correspondncia um a um independentemente uns dos outros. Isso
lhes permite dar conta de situaes mais simples. No entanto, o avano
no processo de compreenso das relaes aditivas envolve coordenar
estes esquemas reconhecendo a relao inversa que existe entre adio e
subtrao, e, numa fase posterior, coorden-los com a correspondncia
um a um. (NUNES et al., 2005).
As crianas podem resolver o problema da seguinte maneira: contar
7 bolinhas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) (estado inicial). Deste conjunto,
contar 3 bolinhas e separ-las das demais (transformao). Contar as
bolinhas restantes, reiniciando a contagem (1, 2, 3, 4), obtendo o
estado final 4.
Rica
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Luiz
Enz
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Situaes de composio, como veremos a seguir, podem envolver
relaes inversas entre o todo e suas partes, tornando-se mais
difceis, mesmo com o auxlio de objetos. A maioria das crianas ao
entrar na escola no desenvolveu meios de coordenar esses esquemas.
Cabe escola ajud-las.
Se desejamos promover o desenvolvimento conceitual das crianas
em adio/subtrao, devemos ajud-las a estabelecer uma conexo entre
duas coisas que elas j conhecem. Elas j sabem como comparar usando
correspondncia termo a termo e elas j tm um conceito de
adio/subtrao relacionado a situaes de transformao. Se elas podem
coordenar estes dois itens de conhecimento, sua compreenso de
adio/subtrao se tornar muito mais poderosa. (NUNES; BRYANT, 1997,
p. 137)
A seguir apresentamos alguns exemplos dessas situaes mais
complexas de adio e subtrao.
Situaes de composio com uma das partes desconhecida
Problemas de composio podem envolver situaes em que o todo e uma
das partes so conhecidos, sendo necessrio determinar a outra parte.
No exemplo que segue a situao envolve subtrair uma parte do todo
para obter a outra parte, sem alterar as quantidades.
Exemplo:
Em um vaso h 8 rosas, 3 so vermelhas e as outras so amarelas.
Quantas rosas amarelas h no vaso?
Todo: 8 rosas
Parte conhecida: 3 rosas vermelhas
Parte desconhecida: ?
A resoluo pode ser realizada por um processo simples como fez
Igor: desenhou o vaso com 3 rosas vermelhas e a seguir foi
desenhando rosas amarelas at completar 8 rosas no vaso,
representando o que fez com o clculo:
5 + 3 = 8.
Dentre os procedimentos adotados para a resoluo, a criana tambm
pode, aps contar oito objetos, separar os que correspondem s rosas
vermelhas e contar os restantes: 1, 2, 3, 4, 5, concluindo que h 5
rosas amarelas no vaso, ou seja, subtrair a parte conhecida (3) do
todo (8), obtendo a parte desconhecida (5).
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Luana, em seu registro, evidencia ter desenvolvido raciocnios
mais complexos. Inicialmente, ela desenhou o todo (8 rosas). Pintou
3 rosas de vermelho (parte conhecida) e escreveu o nmero 3. A
seguir, pintou as restantes de amarelo e escreveu o nmero 5. Fez a
subtrao (8 3 = 5), representando o resultado por meio de um novo
desenho.
O procedimento realizado por Luana evidencia o uso da operao
inversa na resoluo do problema aditivo e a representao da mesma por
meio do clculo da subtrao.
Situaes de transformao com transformao desconhecida
Trata-se de problemas aditivos de transformao desconhecida, uma
vez que so conhecidos os estados iniciais e o estado final da
situao.
Exemplo:
Aninha tinha 5 bombons. Ganhou mais alguns bombons de Jlia.
Agora Aninha tem 8 bombons. Quantos bombons Aninha ganhou?
Estado inicial: 5 bombons
Transformao: ?
Estado final: 8 bombons
A contagem poderia ser um recurso para a resoluo de problemas
com transformao desconhecida, tanto envolvendo a estratgia de
contar todos como a de contar na sequncia. Outro modo de resolver o
problema envolveria a compreenso e a aplicao da subtrao como operao
inversa da adio. Trata-se
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de acrescentar a uma quantidade inicial conhecida uma quantidade
desconhecida, para obter um total tambm conhecido, ou seja, 5 + ? =
8. A operao envolvida a adio, mas a resoluo do problema requer aes
prprias da subtrao, ou seja, subtrair 5 do estado final 8.
A seguir, temos um caso de transformao desconhecida em que a
operao envolvida de subtrao.
Exemplo: Zeca tinha 8 bombons. Deu alguns bombons para Lus e
ficou com 3. Quantos bombons Zeca deu para Lus?
Estado inicial: 8 bombons
Transformao: ?
Estado final: 3 bombons
A operao envolvida na situao 8 ? = 3. Ou seja, envolve saber
quanto deve ser retirado de 8 para obter 3. O problema pode ser
resolvido de diferentes formas. As crianas poderiam contar 8
bombons, desses, separar os 3 que ficaram com Zeca e contar os
restantes, obtendo o resultado, assemelhando-se ao processo de
resoluo de problemas de transformao simples, conforme indica o
desenho de Marcela:
Embora tenha encontrado o nmero correto, a aluna indica, pela
resposta que forneceu, que no compreendeu o problema. De fato,
parece que toma 8 bombons e retira 3, o que pode indicar que foi
induzida pelos aspectos linguisticos do problema (deu). Marcela,
aparentemente, no percebe que 3 indica a quantidade de bombons com
que Zeca ficou e no o quanto deu.
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A seguir, temos um caso de transformao em que o estado inicial
desconhecido e a operao envolvida de subtrao.
Exemplo:Paulo tinha alguns carrinhos. Deu 4 carrinhos para Pedro
e ficou com 7. Quantos carrinhos Paulo tinha?
Estado inicial: ?
Transformao: deu 4 carrinhos
Estado final: ficou com 7 carrinhos
A resoluo do problema pela inverso pode ser influenciada pela
palavra deu, que sugere subtrao. Se as crianas se deixarem
influenciar pelos indcios lingusticos, certamente chegaro a
resultados incorretos, tanto em problemas de adio como de subtrao
com incio desconhecido. Uma soluo possvel envolveria
A propriedade comutativa da adio definida por a + b = b + a, ou
seja, a ordem das parcelas no altera a soma. Por exemplo, 3 + 4 = 4
+3.
Outro modo de resolver o problema envolve a operao inversa:
quanto devo acrescentar ao trs para obter 8, ou seja 3 + ... = 8.
Nesse caso, a criana poderia contar 3 objetos e junt-los num nico
grupo, a partir da seguir contando at chegar a 8 objetos.
Situaes de transformao com estado inicial desconhecido
O estado inicial tambm pode ser desconhecido nas situaes de
transformao. Esses problemas costumam ser mais difceis para as
crianas, pois envolvem operaes de pensamento mais complexas.
Exemplo:Maria tinha algumas figurinhas. Ganhou 4 figurinhas de
Isa. Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas figurinhas Maria
tinha?
Estado inicial: ?
Transformao: ganhou 4 figurinhas
Estado final: tem 7 figurinhas
Para resolver o problema, as crianas poderiam, por tentativas,
somar 4 a algumas quantidades. Por exemplo, se somassem 1 ao 4, no
obteriam 7, se somassem 2, tambm no, mas se somassem 3 obteriam 7,
concluindo que o resultado do problema 3.
Tambm poderiam pensar que somar um pouco a 4 o mesmo que somar 4
a um pouco e dessa forma resolver o problema por estratgias
semelhantes s discutidas nos problemas de transformao desconhecida.
Essa forma de resolver o problema envolve a compreenso da
propriedade comutativa da adio.
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a operao inversa no sentido de acrescentar aos carrinhos que
ficaram com Paulo os carrinhos que ele deu para Pedro (7 + 4 =
11).
Situaes de comparao
Nas situaes de comparao no h transformao, uma vez que nada
tirado ou acrescentado ao todo ou s partes, mas uma relao de
comparao entre as quantidades envolvidas.
Exemplos:
Joo tem 7 carrinhos e Jos tem 4 carrinhos. Quem tem mais
carrinhos?
Joo tem 7 carrinhos e Jos tem 4 carrinhos. Quantos carrinhos Joo
tem a mais do que Jos?
Problemas como o do primeiro exemplo so resolvidos de modo
intuitivo por crianas desde bem pequenas. J o segundo possui um
grau maior de dificuldade, uma vez que a operao que conduz soluo no
est explcita no enunciado do problema.
Juan, no exemplo seguinte, usou a correspondncia um a um para
resolver o segundo problema. Desenhou os carrinhos de Joo e os
carrinhos de Jos. A seguir fez corresponder um carrinho de Joo com
um de Jos, verificando que restaram 3 carrinhos sem
correspondncia.
J Arthur usou o mesmo esquema, mas utilizando risquinhos. Para
evidenciar os risquinhos que correspondiam ao que Joo tinha a mais,
utilizou o sinal de + e continuou fazendo correspondncia um a um
entre os risquinhos de Joo e Jos, verificando que foram necessrios
3 risquinhos a mais.
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QUANTOS FALTAM PARA SEIS?Materiais:
1 dado azul;
24 fichas azuis e 24 amarelas;
4 cartelas, conforme o modelo:
Nmero de jogadores: 4
Arthur utiliza uma forma de representao diferenciada de Juan. No
primeiro registro, a criana utiliza uma forma de representao
pictogrfica, a qual corresponde ao contexto e ao objeto envolvido
na situao-problema. J no segundo registro, a criana utiliza uma
forma de representao simblica, demonstrando evoluo em relao ao
conhecimento de diferentes formas de representao.
Nunes et. al. (2005), sugerem que uma boa estratgia para ajudar
as crianas a pensarem sobre quantos tem a mais solicitar que
relacionem os nmeros envolvidos no problema a partir de uma ao,
reformulando a pergunta do problema. Por exemplo: quantos carrinhos
temos que dar a Jos para que ele fique com a mesma quantidade de
Joo? Pensando dessa forma o problema se torna semelhante a um
problema de transformao desconhecida: 4 + ? = 7, tornando-se mais
fcil de ser resolvido por envolver uma informao mais precisa em
relao ao a ser realizada.
Jogos matemticos em que as crianas necessitem coordenar o que j
sabem sobre adio, subtrao e correspondncia um a um podem ser
benficos para a compreenso de problemas de comparao. Por
exemplo:
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Regras do jogo:
Cada jogador pega uma cartela, 6 fichas azuis e 6 fichas
amarelas. O dado indica quantas fichas azuis devem ser colocadas na
cartela a cada jogada. As fichas amarelas devem ser usadas para
preencher os espaos restantes da cartela. O primeiro jogador lana o
dado e preenche a cartela com o nmero de fichas azuis
correspondentes ao nmero que caiu no dado. A seguir completa a
cartela com as fichas amarelas. O nmero de fichas amarelas
necessrio corresponde sua pontuao na rodada. Se no dado cair 6,
toda a cartela dever ser preenchida com as fichas azuis e o jogador
no marcar ponto. Ganha a rodada quem completar a cartela com o
maior nmero de fichas amarelas.
Jogo adaptado de: RANGEL, A. C. S. Educao matemtica e a construo
do nmero pela criana. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1992
Problematizando situaes aps o jogo:
Exemplo 1: Preencha as cartelas dos jogadores. Quem ganhou a
rodada?
Joo
Lus
Ana
Maria
Resposta:
Exemplo 2: Maria fez 2 pontos na primeira rodada e nas outras
duas no fez nenhum ponto. Que nmeros caram nos dados jogados por
Maria?
1. rodada: 2. rodada: 3. rodada:
Rica
rdo
Luiz
Enz
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Jogos de percurso tambm podem ser uma excelente oportunidade
para problematizar situaes aditivas com as crianas uma vez que
permitem a resoluo de problemas pela contagem de casas. Veja o jogo
a seguir:
CORRIDA DOS CARRINHOSMateriais:
1 dado adaptado com as faces: 1, 2, 3, 1, 2, 3;
1 carrinho (peo) para cada jogador.
Nmero de jogadores: 5
Regras do jogo:
Cada jogador escolhe uma pista e um carrinho (peo), colocando-o
na casa da Largada. O jogo inicia com o primeiro jogador lanando o
dado e avanando o nmero de casas sorteado no dado. O peo que
primeiro atingir o final da pista, casa da chegada, o vencedor do
jogo.
Problematizando situaes aps o jogo:
1. O carrinho de Maria est na casa 3. Quantas casas faltam para
que chegue na casa 10, ao final da pista?
2. O carrinho de Joo est na casa 5 e o carrinho de Jos na casa
8. Quantas casas Joo est atrs de Jos?
Rica
rdo
Luiz
Enz
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3. Lus est na casa 4 e Joo est na casa 9. Quantas casas Joo
andou a mais do que Lus?
4. Lus jogou o dado e avanou para a casa 8. Em qual casa ele
estava se no dado caiu 4?
5. O carrinho de Ana estava na casa 4. Lus jogou o dado e andou
5 casas, ultrapassando Ana em 2 casas. Em qual casa Lus estava
antes de lanar o dado?
Obs. recomendvel que tambm sejam propostos problemas sem o apoio
visual do tabuleiro, como esse ltimo, para que as crianas trabalhem
com diferentes formas de representao da situao.
Situaes MultiplicativasReflita a respeito da seguinte questo: Se
um aluno utiliza corretamente um
algoritmo de multiplicar ou de dividir significa que ele
aprendeu a multiplicao ou a diviso?
Se a resposta a esse questionamento for positiva e estiver
pautada exclusivamente na concepo de que multiplicar ou dividir
fazer os algaritmos de forma correta, temos a evidncias de reduo
destas operaes a clculos e aplicao de procedimentos. Entretanto, se
a resposta a esse questionamento for negativa, podemos considerar o
entendimento destas operaes (multiplicao e diviso) como formas de
organizao do pensamento a partir das estruturas e conceitos
matemticos especficos de um determinado raciocnio, no caso, do
raciocnio multiplicativo.
O raciocnio multiplicativo diferente do raciocnio aditivo, e
importante conhecermos e diferenciarmos as caractersticas de cada
um. Para isso, nos fundamentaremos nos estudos de Nunes e Bryant
(1997), Nunes et al.( 2005) e Correa e Spinillo (2004).
Raciocnio aditivo: envolve relaes entre as partes e o todo, ou
seja, ao somar as partes encontramos o todo, ao subtrair uma parte
do todo encontramos a outra parte. Envolve aes de juntar, separar e
corresponder um a um.
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Raciocnio multiplicativo: envolve relaes fixas entre variveis,
por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Busca um valor numa
varivel que corresponda a um valor em outra varivel. Envolve aes de
correspondncia um para muitos, distribuio e diviso.
O raciocnio multiplicativo envolve a multiplicao e a diviso com
diferentes complexidades. possvel observar nos problemas
apresentados a seguir como o raciocnio desenvolvido tanto em relao
multiplicao quanto em relao diviso.
Situaes de comparao entre razes
Para compreendermos essas situaes multiplicativas vamos analisar
os exemplos que seguem:
Exemplo:
Em uma caixa de lpis de cor h 12 lpis. Quantos lpis h em 3
caixas iguais a esta?
possvel pensar que a resoluo mais fcil ao problema seria
adicionar: 12 + 12 + 12 = 36. Na escola comum o ensino da
multiplicao como adio de parcelas iguais. H, de fato, a
possibilidade de resolver alguns problemas multiplicativos mais
simples por estratgias prprias ao raciocnio aditivo. No entanto, o
raciocnio multiplicativo diferente e bem mais abrangente e complexo
que o raciocnio aditivo.
O problema pode ser resolvido desta forma:
Arq
uivo
dos
aut
ores
O esquema um para muitos, utilizado no registro da resoluo
importante para a forma de pensar sobre o problema: para cada caixa
correspondem 12 lpis. A quantidade de caixas e a quantidade de lpis
(medidas) esto relacionadas por um nmero fixo de lpis por caixa, ou
seja, 12 lpis por caixa.
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Observa-se uma proporo entre a quantidade de caixas e a
quantidade de lpis por caixa, uma vez que, sempre que se dobra o
nmero de caixas, dobra-se tambm, o nmero de lpis, e, caso se
triplique o nmero de caixas, se triplicar o nmero de lpis.
A correspondncia um para muitos, dois para o dobro de muitos e
assim por diante, a base do conceito de proporo. A proporo entre as
colees permanece constante, mesmo quando o nmero de caixas e de
lpis muda. A proporo a expresso da relao existente entre as duas
colees.
O raciocnio multiplicativo tambm envolve situaes de diviso.
Exemplo:
Jlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua
sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?
+ 1
1 caixa = 12 lpis
2 caixas = 24 lpis
3 caixas = 36 lpis+ 1
+ 12
+ 12
Aumentando o nmero de caixas numa relao fixa +1, temos um
aumento na quantidade de lpis numa relao tambm fixa: +12.
Observa-se que, embora o problema seja relacionado ao campo
multiplicativo, a resoluo foi essencialmente relacionada ao campo
aditivo. Abaixo, temos um esquema que mostra o racioccinio relativo
ao campo conceitual multiplicativo, evidenciando a
proporcionalidade:
x 2
1 caixa = 12 lpis
2 caixas = 24 lpis
3 caixas = 36 lpisx 3
x 2
x 3
Vejamos: h duas medidas no problema, nmero de lpis e nmero de
caixas. Estas medidas esto relacionadas por uma relao fixa que de
12 lpis por caixa. Observe o esquema:
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Arq
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ores
possvel distinguir o raciocnio aditivo do multiplicativo
analisando o problema anterior: a quantidade de chocolates e de
pessoas foi transformada em chocolates por pessoa, isto , no se
trata de uma relao com elementos de uma mesma natureza, chocolate
com chocolate ou pessoas com pessoas, conforme acontece com as
estruturas aditivas. Mas, de uma relao entre chocolates e pessoas.
A transformao reside no princpio de que o resultado dessa relao se
constitui em outro elemento, neste caso, chocolates por pessoa.
Essa transformao diz respeito ao modo como as informaes foram
relacionadas, conforme pode ser observado na resoluo de
Gabriel.
Qual a expectativa de resposta a essa situao-problema?
Provavelmente, o que bastante comum nas salas de aula, espera-se
que o aluno utilize um algoritmo para a resoluo de tal situao, isto
, faa 12 4 = 3. Mas, essa forma de resoluo evidencia o raciocnio
multiplicativo ou o conhecimento dos procedimentos de clculo?
O aluno do 1.o ao 3.o ano do Ensino Fundamental, possivelmente,
no utilizar o algoritmo da diviso para a resoluo, mas buscar outros
meios, como: a contagem de objetos; a ao de repartio entre os
amigos ou a representao por meio de desenhos (registro
pictrico).
O registro pictrico uma ilustrao de como o aluno evidencia seu
raciocnio multiplicativo, operando conceitualmente com a questo sem
fazer uso do algoritmo. Observe que Maria desenhou os 12
chocolates, circulando a quantidade que cada um receber.
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Gabriel para resolver o problema, primeiramente destaca, no
enunciado, as informaes que dever relacionar. Informa que descobriu
a resposta dando um chocolate para cada um, pensamento evidente em
seu desenho, onde faz corresponder 3 chocolates a cada
personagem.
Arq
uivo
dos
aut
ores
Vrias possibilidades de resoluo do problema poderiam ser
adotadas pelos alunos. Um exemplo quando a criana divide ao seu
modo os 12 chocolates entre seus 4 amigos, conforme a ilustrao.
Arq
uivo
dos
aut
ores
Nesse caso, a criana determinou uma quantidade diferente de
chocolate a cada amigo, dividindo os chocolates a partir de
critrios prprios. Aes como essas so comuns entre as crianas, bem
como, o uso da distribuio para resolver problemas semelhantes.
J Gabriel realizou a diviso dos chocolates entre os amigos de
modo que todos recebessem a mesma quantidade, distribuindo os
chocolates entre eles por um esquema de distribuio: um para voc, um
para voc, um para voc, at terminar os chocolates, garantindo uma
diviso equitativa dos chocolates entre os amigos. Nesse caso,
Gabriel recorreu a uma estratgia aditiva ao acrescentar +1
chocolate para cada criana a cada rodada de sua ao de
distribuio.
Situaes de diviso por distribuio
O problema resolvido por Gabriel envolve uma diviso por
distribuio. Observe:
Exemplo:Jlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos
de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai
receber?Quantidade a ser dividida: 12 chocolatesNmero de amigos:
4
Chocolates por amigo: ?
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4 amigos 12 chocolates3 amigos 9 chocolates2 amigos 6
chocolates1 amigo 3 chocolates
RELAO CONSTANTE: 3 CHOCOLATES POR AMIGO
Observe que medida que diminui 1 amigo diminuem 3 chocolates e
esta relao se mantm constante.
O que caracteriza esses problemas o fato de a quantidade a ser
dividida e o nmero de amigos que recebero chocolates serem
conhecidos. O quanto caber a cada um o que dever ser determinado.
Esses problemas so considerados mais simples e geralmente so muito
explorados nas salas de aula. So conhecidos como tpicos problemas
de diviso.
Mas, importante estar alerta para o fato de que a diviso envolve
situaes mais complexas do que a distribuio.
A criana ao realizar a distribuio, pode faz-lo simplesmente
recorrendo a um raciocnio aditivo em que vai acrescentando mais um
elemento a cada rodada at que no haja mais elementos para uma nova
distribuio. No entanto, dividir, como uma operao multiplicativa,
implica que a criana possa tambm prestar ateno s relaes entre as
quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer
relaes de covariao entre os termos envolvidos na operao. (CORREA;
SPINILLO, 2004, p. 109-110)
Portanto, observa-se que Gabriel ainda precisa pensar sobre as
relaes de covariao entre os termos envolvidos no problema para
compreender a diviso como operao multiplicativa. Analisando o
problema podemos observar essas relaes. Temos duas variveis, nmero
de chocolates e nmero de amigos e uma relao fixa: nmero de
chocolates por amigo. No caso da diviso envolvida no problema, a
relao entre as variveis nmero de chocolates por amigo constante e
justamente o que as crianas precisam compreender e encontrar para a
resoluo do problema. A relao de covariao est na ideia de que quando
o nmero de amigos varia, o nmero de chocolates tambm varia na mesma
proporo. Por exemplo:
Observa-se novamente que, embora do campo conceitual
multiplicativo, as crianas os resolvem por estratgias aditivas. A
seguir temos o esquema que evidencia o raciocnio
multiplicativo:
4 amigos 12 chocolates
1 amigo 3 chocolates
Observe que a medida que o nmero de amigos dividido por 4 a
quantidade de chocolates tambm dividida.
4 4
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Problemas como esses so resolvidos com facilidade pelas crianas
nos primeiros anos do Ensino Fundamental pelo uso de esquemas de
correspondncia e distribuio, mas fundamental que esses esquemas
sejam coordenados entre si e possibilitem a resoluo de problemas
mais complexos. Surge, assim, a necessidade de propor aos alunos a
resoluo dos mesmos desde o incio da escolarizao e por meio de
diferentes suportes de representao.
O Material Dourado pode ser um recurso para explorar estratgias
mais sistematizadas em relao ao algoritmo tradicional, j envolvendo
as propriedades do Sistema de Numerao Decimal conforme o
exemplo:
Na ilustrao, os 12 cho-colates so representados, inicialmente,
pela barra que corresponde a uma dezena e por 2 cubinhos que
correspondem a duas unidades. Entretanto, para a distribuio,
conforme Gabriel fez em seu dese-nho, preciso transformar a dezena
em 10 unidades, de modo que resulte em 10 + 2 =12 unidades. Desse
modo, torna-se pos-svel a distribuio para os 4 amigos.
Situaes de diviso envolvendo formao de grupos
Problemas de diviso podem envolver a formao de grupos, quando o
tamanho do grupo conhecido e o nmero de grupos possveis deve ser
determinado.
Em uma turma do 3.o ano foram trabalhados problemas do campo
multiplicativo a partir do contexto de uma histria infantil, As
Centopeias e seus Sapatinhos, de Milton Camargo, Ed. tica.
Repr
odu
o
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Os registros elaborados pelas crianas so apresentados a seguir
como ilustrao
de situaes de estruturas multiplicativas. Uma sugesto para a
organizao da
prtica pedaggica baseada em histrias infantis consiste em propor
s crianas
que faam a leitura da histria. Em seguida, propor-lhes que
contem a histria e a
representem por meio de um desenho. Nesse desenho, de modo
geral, as crianas
costumam representar os elementos que mais lhe chamam a ateno.
Pode-se, na
sequncia, propor problematizaes sobre a histria. A soluo das
problematizaes
pode ser evidenciada nos registros feitos pelas crianas.
Alm dessa obra, livros infantis so fontes interessantes para a
elaborao de
problemas que permitam a explorao das estruturas aditivas e
multiplicativas.
A histria As Centopeias e seus Sapatinhos pode disparar uma
situao de
diviso envolvendo formao de grupos, como a seguir:
Exemplo:
Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada
sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram
utilizadas?
Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos
Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola
Nmero de grupos: ?
A quantidade total de caixas de sapatos a ser colocada nas
sacolas conhecida,
bem como a quantidade a ser colocada em cada sacola (a
quantidade de elementos
de cada grupo). Com materiais concretos, as crianas podem
facilmente resolver o
problema formando grupos de 4 e usando o esquema da
correspondncia um para
muitos: 4 caixas para 1 sacola, uma vez que a relao fixa entre
nmero de caixas e
nmero de sacolas conhecida.
visvel pelo desenho a seguir que Gabrielli tentou apagar o que
havia feito
para desenvolver outro raciocnio. comum as crianas tentarem
resolver problemas
como esse distribuindo as caixas em 4 sacolas e obter o
resultado 5. No entanto,
nesse caso, o resultado corresponderia a 5 caixas de sapato em
cada sacola. Embora
o resultado numrico seja o mesmo, foi obtido por um erro de
interpretao da
situao envolvida no problema.
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Situaes de configurao retangular
Os problemas deste tipo exploram a leitura de linha por coluna
ou vice-versa. Exemplo:
Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas
empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou?
Medida conhecida: 7 fileiras
Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira
Produto: ?
Para a resoluo do problema, Danilo organizou as caixas de
sapatos relacionando as duas medidas conhecidas: a quantidade de
fileiras com a quantidade de caixas de sapatos por fileiras,
constituindo uma representao com linhas e colunas, cujo resultado
expressa o produto da relao entre essas quantidades, isto , 7
fileiras por 5 colunas, resultando em 35. Este tipo de tabela
considerada por Vergnaud (2009) a forma mais natural de representao
da relao entre as trs medidas envolvidas em problemas dessa
natureza. No caso exemplificado, tem-se as duas medidas simples
conhecidas e busca-se a medida composta (o produto).
Este mais um exemplo de que necessrio observar qual a compreenso
que o aluno tem da situao-problema, considerando o processo de
resoluo e no apenas o clculo realizado ou a resposta final
apresentada.
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Arq
uivo
dos
aut
ores
No caso de Danilo, o registro pictrico permite observar sua
compreenso sobre a situao-problema e, tambm, pode ter contribudo
para a busca do procedimento que melhor representasse a operao
utilizada para a resoluo do problema, pois possvel perceber a
tentativa de faz-lo pelo algoritmo da diviso (escrita apagada pela
criana). Certamente, como no obteve o resultado esperado, buscou
encontr-lo pelo algoritmo da multiplicao, com sucesso. A opo pela
diviso, possivelmente, tenha ocorrido pela ideia de distribuir as
caixas de sapatos entre as fileiras, gerando um entendimento de que
se tratava de um clculo de diviso. Outro aspecto a destacar a forma
como o algoritmo da multiplicao foi escrito, colocando o 7 na ordem
das dezenas e o 5 na ordem das unidades, indicando a necessidade de
uma interveno sobre o modo de compreenso a respeito do significado
das ordens numricas no Sistema de Numerao Decimal.
Situaes envolvendo raciocnio combinatrio
Algumas situaes envolvem a necessidade de verificar as
possibilidades de combinar elementos de diferentes conjuntos. Por
exemplo:
Dona Centopeia tem dois chapus, um branco (B) e outro preto (P)
e trs bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De
quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus
acessrios para ir passear?
Conjunto conhecido: 2 chapus
No Caderno 7 o racioccnio combinatrio
visto com maior detalhamento.
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Lucca constituiu as diferentes possibilidades de formar
conjuntos como expressa em seu registro. Combinou os elementos dos
conjuntos sem usar um esquema determinado e a seguir contou as
diferentes possibilidades de conjuntos diferentes. O resultado foi
encontrado pela contagem do total de possibilidades de combinaes
possveis.
Vejamos como Carolina resolveu o problema:
Carolina registra por desenho o entendimento da relao de um para
muitos na organizao das combinaes possveis, ou seja, ela identifica
a existncia de dois conjuntos bsicos: chapus e bolsas e
relaciona-os entre si ligando-os: chapu branco com bolsa rosa,
chapu branco com bolsa azul, chapu branco com bolsa cinza. Aps esse
processo faz o mesmo com o chapu preto. Obtm 3 possibilidades de
combinar o chapu preto com as bolsas e trs possibilidades de
combinar o chapu branco com as bolsas, ou seja, 2 vezes 3, obtendo
ao todo 6 possibilidades
Conjunto conhecido: 3 bolsas
Nmero de possibilidades: ?
Temos dois conjuntos conhecidos: chapus e bolsas, que devem ser
combinados entre si para determinar o nmero de possibilidades de
combinao. Vejamos como Lucca resolveu o problema:
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Arq
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ores
Diagramas que evidenciam as possibilidades de combinaes podem
ser recursos interessantes para a resoluo desses problemas. Por
exemplo:
Chapu preto Bolsa rosaBolsa azulBolsa cinza
3 combinaes
Chapu branco Bolsa rosaBolsa azulBolsa cinza
3 combinaes
Ao todo, 2 x 3 = 6 combinaes diferentes, ou seja, 6
possibilidades.
Embora no sejam familiares s crianas no ciclo fundamental de
alfabetizao, diagramas como esses podem ser representaes
interessantes a serem usadas pelo professor na discusso desses
problemas com as crianas, pois ajudam a organizar o pensamento e
compreender o raciocnio envolvido.
de combinaes diferentes. Carolina valeu-se do raciocnio
multiplicativo para a resoluo do problema e expressa esta ao pela
escrevendo uma multiplicao.
Para o desenvolvimento do raciocnio aditivo e multiplicativo
importante propor aos alunos problemas variados, envolvendo as
diferentes situaes que compem os campos conceituais. Assim as
crianas enfrentam situaes desafiadoras e no apenas resolvem
problemas a partir da repetio de estratgias j conhecidas.
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SOBRE CLCULOS E ALGORITMOSEttiene Cordeiro Guerios
Neila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer
At agora enfatizamos que aprender sobre adio e subtrao,
multiplicao e diviso, envolve construir estratgias variadas e
resolver diferentes problemas. No entanto, importante lembrar que a
compreenso dos conceitos prprios a essas operaes requer coordenao
com os diferentes sistemas de representao, o que torna clara a
importncia da interao da criana com diferentes formas de registros,
dentre eles, os numricos. Portanto, afirmar a necessidade de
comprometer o processo de alfabetizao matemtica com o
desenvolvimento das operaes de pensamento necessrias para que as
crianas se tornem capazes de resolver diferentes situaes, no
significa dizer que clculos numricos no devam ser trabalhados. Pelo
contrrio, desempenham um papel fundamental no processo. Como
afirmam Nunes, Campos, Magina e Bryant: [...] enfatizar o raciocnio
no significa deixar de lado o clculo na resoluo de problemas:
significa calcular compreendendo as propriedades das estruturas
aditivas e das operaes de adio e subtrao. (2005, p. 56)
Por outro lado, medida que a dificuldade dos problemas avana e o
campo numrico ampliado, os clculos numricos tornam-se recursos
importantes e necessrios para a resoluo e fundamental que sejam
trabalhados no ciclo inicial do Ensino Fundamental.
Quando afirmamos a importncia do trabalho com clculos, no
estamos nos referindo apenas aos procedimentos de clculo
tradicionalmente ensinados na escola, que envolvem tcnicas
operatrias determinadas, tais como: vai um, pede emprestado, deixar
uma casa em branco, abaixar o nmero, entre outros, usados nos
algoritmos tradicionais. Estamos nos referindo tambm a outros
procedimentos de clculo, como estratgias inventadas pelos alunos e
o uso de recursos didticos como o baco, material dourado e a
calculadora.
Dificilmente os algoritmos tradicionais com lpis e papel so
utilizados em situaes extraescolares. Muitos adultos e crianas
desenvolvem tcnicas de clculo prprias a partir da necessidade de
resolver problemas numricos do seu dia a dia.
Por exemplo, o clculo necessrio para fornecer o troco de uma
compra no valor de R$ 48,00, paga com uma cdula de R$100,00,
dificilmente realizado com o uso do procedimento escolar.
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Certamente, estratgias mais eficientes e rpidas possibilitam o
clculo correto do troco, como por exemplo:
completar quanto falta: se tenho R$ 48,00 para R$ 50,00 faltam
R$ 2,00. J para R$ 100,00, faltam R$ 50,00. Portanto, o troco de R$
52,00;
tirar R$ 40,00 de R$ 100,00, restando R$ 60,00. Destes, tirar R$
8,00, restando R$ 52,00.
O mesmo em uma situao que envolve determinar o preo a pagar por
8 metros e meio de fita sendo que o metro custa R$ 1,50.
O algoritmo tradicional pode ser substitudo por estratgias de
clculo, como:
1,5 x 2 metros = R$ 3,00. (preo a cada dois metros)
4 x R$ 3,00 = R$ 12,00. (preo de 8 metros)
R$ 0,75 (preo de meio metro)
R$ 12,00 + R$ 0,75 = R$ 12,75 (preo total)
Mas, no s adultos constroem mtodos prprios de calcular em
situaes- problema do cotidiano. No livro Na vida dez na escola
zero, Carraher, Carraher e Schliemann (1988) j evidenciaram que
meninos feirantes usavam mtodos de clculo naturais ou inventados,
diferentes dos da escola, nas situaes que envolviam o comrcio de
frutas. Por exemplo, ao ser questionado sobre quanto custariam 9
abacates se o preo de 1 abacate era, na poca, 5 Cruzeiros, um aluno
respondeu de imediato 45. Questionado sobre o porqu da resposta,
explicou: 7 so 35, com mais 1, 40; com mais 1, 45. Essas crianas,
no entanto, no se saam to bem na escola, pois no dominavam as
tcnicas operatrias ensinadas por seus professores e tambm no as
relacionavam com as situaes que vivenciavam em seu trabalho.
Van de Walle (2009) refere-se a essas formas de calcular como
estratgias inventadas e as define como mtodos pessoais e flexveis
de calcular que so compreendidos pela pessoa que os usa. So
estratgias que podem ser feitas mentalmente ou por escrito, mais
rpidas e menos sujeita a erros do que os algoritmos tradicionais,
uma vez que fazem sentido para quem as utiliza.
Para o autor o desenvolvimento dessas estratgias inventadas, alm
de proporcionar fluncia no clculo e possibilitar que se tornem mais
geis e cometam menos erros, expressam uma compreenso rica e
profunda do sistema numrico, fornecendo uma base slida para o
clculo mental e por estimativas e contribuem para o envolvimento
num processo de fazer matemtica.
A importncia de trabalharmos com clculos na escola de modo
distinto ao que tradicionalmente trabalhado e de modo bastante
semelhante ao realizado por adultos e crianas fora do contexto
escolar j foi defendida por Parra (1996), tambm h algum tempo. Sua
proposta envolve trabalhar com clculos que
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denominou pensados ou refletidos, ou seja, procedimentos mentais
ou escritos selecionados em funo dos nmeros e da operao envolvida
num problema, no automatizados e diferentes dos algoritmos
tradicionais, mas apoiados nas propriedades do sistema de numerao
decimal e nas propriedades das operaes. Esses clculos colocam em
ao, conforme a autora, diferentes relaes entre os nmeros. Em outras
palavras, permitem raciocinar sobre o que est sendo feito, ao
contrrio de utilizarem algoritmos de forma mecnica.
Estratgias de clculo diferentes das tradicionais so construdas a
partir da compreenso das propriedades das operaes e do Sistema de
Numerao Decimal de quem as inventa. Por exemplo, clculos realizados
por decomposio de nmeros so utilizados com frequncia por facilitar
e tornar mais gil o processo e esto apoiados na compreenso do
princpio aditivo do sistema de numerao decimal.
A proposta didtica de Parra (1996) que os alunos possam
articular o que sabem com o que tm que aprender diante de situaes
partindo da anlise dos dados, buscando os procedimentos que lhes
paream mais teis, discutindo suas escolhas e analisando sua
pertinncia e sua validade. Nessa perspectiva, cada clculo um
problema novo e o caminho a ser seguido prprio de cada aluno, o que
faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais
complexo.
O fato que, estratgias de clculo construdas a partir dos
conhecimentos que j fazem parte da bagagem dos alunos e a partir
das relaes sobre os nmeros e operaes que os envolvem, costumam ser
mais rpidas e eficientes para quem as utiliza.
Estratgias como essas no surgem do nada. Precisam ser
trabalhadas em sala de aula.
3 6 + 2 4
3 0 + 62 0 + 45 0 + 1 0 = 6 0
3 0 + 2 0 = 5 0 6 + 4 = 1 0 6 0
ou
3 6 x 8
3 0 + 6 x 8
3 0 x 8 = 2 4 0 6 x 8 = + 4 8 2 8 8
ou
1 5 6 4 8
1 0 0 + 5 0 + 6 4 0 + 8
1 0 0 + 4 0 + 1 6 4 0 + 81 0 0 + 0 + 8
ou
1 0 8
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Dentre os procedimentos possveis de serem estimulados e
propostos pelos professores sugerimos alguns que descreveremos a
seguir.
Contagem
A contagem um procedimento natural e bastante til na resoluo de
clculos pelas crianas. Alguns procedimentos que auxiliam no
desenvolvimento de estratgias de clculo so: contar para frente;
contar para trs; contar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10; contar
a partir de um determinado nmero.
Jogos de percurso em que as crianas avanam e retrocedem casas so
um excelente recurso para desenvolvimento do raciocnio aditivo e
tambm de estratgias de contagem. O jogo de percurso Coelhinho
procurando a toca tem o objetivo de propor a contagem de 2 em 2. O
mesmo jogo pode ser adaptado para trabalhar a contagem de 3 em 3 ou
outros intervalos.
COELHINHO PROCURANDO A TOCA
Objetivo do jogo: Contagem de 2 em 2
Materiais:1 tabuleiro;
1 dado com trs faces azuis e com trs faces vermelhas, contendo
apenas o nmero 2 nas faces;
3 pees (coelhinhos).
Nmero de jogadores: 3 jogadores
Rica
rdo
Luiz
Enz
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Regras do jogo:Os jogadores devero ajudar o coelhinho a
encontrar sua toca saltando sobre as casinhas do tabuleiro. O
jogador poder sair da toca inicial somente quando cair uma face
azul no dado. Caso contrrio, nela permanecer at que isso ocorra. Se
cair uma face azul avana duas casas. Se cair uma face vermelha
volta duas casas. Ganha o jogo o jogador que conseguir chegar
primeiro ltima casa (onde est a toca).
O mesmo jogo pode ser jogado com outro dado: 3, 3, 3 azul e 3,
3, 3 vermelho, explorando a contagem de 3 em 3.
Problematizando situaes aps o jogo:
Joo estava na casinha 4. Quantas vezes Mrio ter que jogar o dado
e que cores tm que cair para que ele possa chegar na casinha 20 o
mais rpido possvel? V preenchendo as casinhas pelas quais o
coelhinho dever passar.
Caio teve muita sorte! Em todas as rodadas do jogo sorteou nos
dados: 2 azul, o que lhe permitiu avanar sempre e ganhar o jogo.
Escreva as casas pelas quais Caio passou para chegar toca do
coelhinho.
Rica
rdo
Luiz
Enz
Rica
rdo
Luiz
Enz
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Recurso propriedade comutativa
A propriedade comutativa da adio e da multiplicao um recurso
importante para o clculo, uma vez que facilita a memorizao e tambm
a realizao dos clculos.
A propriedade comutativa da multiplicao definida por a x b = b x
a, ou seja, a ordem dos fatores no altera o produto. vlida para
qualquer nmero natural. Por exemplo, 3 x 4 = 4 x 3.
importante chamar a ateno para o fato de que a propriedade
comutativa uma propriedade da adio e da multiplicao, mas que nem
sempre se aplica situao-problema nelas envolvida.
Ser que ao mudar a ordem dos fatores, a situao-problema continua
sendo a mesma? Veja um exemplo:
Um professor trabalha 4 horas por dia, de segunda-feira
sexta-feira. Quantas horas ele trabalha nesse perodo da semana?
O problema pode ser resolvido pelo clculo 5 x 4 = 20,
considerando 4 + 4 + 4+ 4 + 4 = 20, uma vez que o professor
trabalha 4 horas durante 5 dias da semana, totalizando 20 horas
semanais. Mas, qual seria a situao para esse professor se a
representao fosse 4 x 5 = ?
A quantidade de horas trabalhadas na semana a mesma do problema
anterior? E a quantidade de horas trabalhadas por dia? E a
quantidade de dias trabalhados por semana? Nessa situao, apesar de
o total de horas trabalhadas por semana ser a mesma da primeira
situao, 20 horas, nesse ltimo caso, o professor trabalharia 5 horas
por dia ao invs de 4 horas e somente 4 dias na semana ao invs de 5
dias: 5 + 5 + 5 + 5 = 20
No caso da adio, ocorre algo semelha