plus de Mise en pratique - CSPoziasleduc.csp.qc.ca/files/2020/04/13-avril-20202.pdf2020/04/13 · plus de Mise en pratique Complément de la partie Mise en pratique des pages 88 à
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7. Quelle expression algébrique simplifiée représente l’aire de chaque figure ?Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
a)
b)
8. Marco décide d’entreprendre des travaux de rénovation dans une maison dont voici la maquette. Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
c) (m4 + 2m2 - 8) ÷ (m2 - 2) f) (e3 - 2e - 1) ÷ (e + 1)
m2 + 4
e2 – e – 1
10. Myriam emballe un cadeau qu’elle offrira à son ami Charles pour son anniversaire. Le cadeau, de forme cubique, est représenté ci-dessous. Sachant qu’un rouleau de papier d’emballage couvre (12x + 6) cm2, calcule algébriquement le nombre de rouleaux qu’elle devra acheter pour emballer le cadeau.Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
11. Le volume d’un prisme droit à base rectangulaire est de (40x3 + 34x2 - 5x - 6) cm3. Si sa largeur est de (2x + 1) cm, et sa longueur de (4x + 3) cm, quelle est sa hauteur ?Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
(5x – 2) cm
12. Dans les polynômes suivants, détermine la valeur de k qui rend l’énoncé vrai.Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : élevé
a) 2t2 - t - k se divise sans reste par 2t + 3. k = 6
b) Il reste 5 lorsqu’on divise 2y3 + 3y2 + 2y + k par 2y + 3. k = 8
c) 2x - 3 est un facteur de 6x2 - x - k. k = 12
6x 3 Aire totale du cadeau : (216x2 + 216x + 54) cm2 Nombre de rouleaux : 18x + 9 Myriam devra acheter (18x + 9) rouleaux pour emballer le cadeau.
17. Parmi les réponses suivantes, laquelle est équivalente à (7x2 + 34x + 5) ÷ (x + 5) ?Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
1 7x - 1
2 7x - 1 + -10
x + 5
3 7x + 1
4 7x - 1 + 10x + 5
18. Carolina transporte (x3 - 8) boîtes en (x - 2) h. Combien de boîtes transporte-t-elle chaque heure ? Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
Carolina transporte (x2 + 2x + 4) boîtes chaque heure.
19. Parmi les expressions suivantes, laquelle est équivalente à (a - b)2 ?Identités algébriques remarquables du second degré Niveau de difficulté : moyen
4. Décompose les polynômes à deux variables suivants en facteurs.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : moyen
a) 15r2 - 19rs + 6s2 (3r − 2s)(5r − 3s)
b) 20x2 - 9xy - 18y2 (5x − 6y)(4x + 3y)
c) 6m2 + mt - t2 (3m − t)(2m + t)
d) 8x2 + 21xy + 10y2 (8x + 5y)(x + 2y)
e) 2e2 + 7ef + 6f2 (2e + 3f)(e + 2f)
f) 24x2 + 49xy + 15y2 (3x + 5y)(8x + 3y)
5. Un terrain de jeux a une aire de (30x2 + x - 8) m2.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : moyen
a) Trouve les expressions algébriques qui représentent les dimensions du terrain.
Les dimensions du terrain sont de (15x + 8) m sur (2x − 1) m.
b) Si x vaut 2, quelles sont les dimensions du terrain ?
Les dimensions du terrain sont de 38 m sur 3 m.
6. Énumère toutes les valeurs entières de r pour lesquelles 5x2 + rx - 5 se décompose en facteurs.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
Les quatre valeurs que peut prendre r sont les suivantes : –24, 0, 5 et 24.
7. Énumère toutes les valeurs entières de v pour lesquelles le polynôme 3x2 + 5x + v se décompose en facteurs entiers. La valeur de 3v doit être positive et inférieure à 10.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
Les deux valeurs suivantes peuvent être attribuées à v : 0 et 2.
8. Factorise les binômes suivants.Factorisation d’une différence de carrés Niveau de difficulté : moyen
9. Associe les expressions algébriques équivalentes.Factorisation d’une diférence de carrés Niveau de difficulté : faible
a) (x + 4)2 - 1 4
b) 16x2 - 9 1
c) x 2
25 - 1
4 2
d) 8116
- 9x 2 5
e) x 2
9 - 25 3
10. Trouve la valeur de l’expression 432 - 372 en factorisant la différence de carrés.Factorisation d’une différence de carrés Niveau de difficulté : faible
432 – 372 = (43 + 37)(43 – 37) = (80)(6) = 480
11. Factorise chacun des polynômes suivants en procédant par complétion du carré.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
12. L’aire d’un cube est représentée par le polynôme 96x2 - 48x + 6. Quel polynôme représente le volume de ce cube ?Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : moyen
13. Le schéma ci-contre montre deux carrés. L’espace entre chaque côté des carrés est identique. Quel polynôme représente l’aire de la surface grise si le binôme représentant la mesure d’un côté du petit carré est 3x + 6 et si le binôme représentant la mesure d’un côté du grand carré est 5x + 8 ? Donne ta réponse sous la forme d’un polynôme factorisé.Factorisation d’une différence de carrés Niveau de difficulté : moyen
14. Parmi les polynômes suivants, lequel peut représenter l’aire d’un carré ?Factorisation de polynômes Niveau de difficulté : faible
1 a2 − b2 3 a2 + 6ab + 5b2
2 a3 + 3a2 + a + 3 4 a2 + 14ab + 7b2
15. L’aire d’une carte de souhaits rectangulaire peut être représentée par le trinôme 6a2 + 11ab - 7b2. Quelle expression algébrique représente le périmètre de cette carte de souhaits ?Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
Le périmètre de la carte de souhaits peut être représenté par le binôme 10a + 12b.
16. Le volume d’un coffre à jouets est de (2x3 + 5x2 - 18x - 45) cm3 et sa hauteur est représentée par (2x + 5) cm. Quel polynôme représente le périmètre de la base de ce coffre ?Factorisation de polynômes Niveau de difficulté : élevé
Les dimensions de la base sont (x + 3) cm et (x – 3) cm.Le polynôme représentant le périmètre de la base est donc 4x cm.
17. L’aire d’un rectangle est représentée par le polynôme 100x2 - 49. À l’aide d’expressions algébriques, détermine les dimensions du rectangle.Factorisation d’une différence de carrés Niveau de difficulté : moyen
Les dimensions du rectangle sont de (10x + 7) unités sur (10x − 7) unités.
18. Jean-Marc et Jean-Paul ont deux terrains rectangulaires adjacents dont l’un des côtés est commun. L’aire du terrain de Jean-Marc est représentée par le trinôme 4x2 + 9x + 2 alors que celle du terrain de Jean-Paul est représentée par le trinôme 5x2 + 7x - 6.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
a) Trouve le binôme représentant la mesure du côté commun aux deux terrains.
Le binôme est x + 2.
b) Trouve les binômes représentant la mesure des côtés qui ne sont pas communs aux deux terrains.
Les deux autres binômes sont 4x + 1 et 5x – 3.
c) Jean-Pierre a un terrain rectangulaire dont les mesures des côtés sont représentées par les binômes suivants : 9x - 2 et x + 2. Compare le terrain de Jean-Pierre à ceux de Jean-Marc et de Jean-Paul. Que remarques-tu ?
L’aire du terrain de Jean-Pierre est la même que la somme de celles des terrains de Jean-Marc
et de Jean-Paul.
19. La circonférence d’une roue est de (8π p + 2π) cm. Quel binôme représente l’aire de cette roue ?Factorisation de polynômes Niveau de difficulté : moyen
A = (16πp2 + 8πp + π) cm2
20. Le volume d’un prisme droit à base rectangulaire est représenté par le polynôme 4x3 - 12x2 - 40x. Détermine les dimensions de ce solide.Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
21. En sortant de son examen de mathématique, Charles se souvient que l’une des questions consistait à factoriser le polynôme 3x2 + 2x - 3. Il se souvient aussi que le début de sa réponse était 3 x +
13
2, mais il n’arrive pas à se souvenir du reste de sa réponse. Tu as trouvé que le terme manquant est -
103 .
Démontre la justesse de ta réponse en exposant les étapes de ta démarche.Factorisation d’un trinôme par la complétion du carré Niveau de difficulté : moyen
3x2 + 2x – 3 = 3 x2 + 2x3 – 3
= 3 x2 + 2x3 + 19 – 19 – 3
= 3 x2 + 2x3 + 19 – 13 – 3
= 3 x + 13 2 – 10
3
22. Un des procédés utilisés pour simplifier la fraction 69 est le suivant : 69 = 2 • 33 • 3 = 23. Utilise cette méthode
de factorisation afin de montrer que la fraction simplifiée de est -1.Factorisation d’une différence de carrés Niveau de difficulté : élevé
23. Le développement d’un prisme à base rectangulaire est représenté ci-contre. Le développement latéral est représenté en gris. Il est composé de deux rectangles et de deux carrés. L’aire de chacune des figures de ce développement latéral est représentée par les binômes suivants : 9x2 + 30x + 25 et 21x2 + 19x + 4. Quel polynôme représente le périmètre du développement latéral de ce prisme ?Factorisation de trinômes Niveau de difficulté : élevé
Les dimensions du rectangle sont représentées par les binômes 7x + 4 et 3x + 5.Chaque côté du carré est représenté par le binôme 3x + 5.Le périmètre du développement latéral est 46x + 46.
plus de Mise en pratiqueComplément de la section Mise en pratique des pages 100 à 102 du manuel
1. Simplifie les expressions rationnelles suivantes.Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
a) 7x - 21x - 3
7 si x ≠ 3 e) 4x2y + 8x2 - 9y - 18
8x3 - 24x2 + 18x (2x + 3)(y + 2)
2x(2x – 3) si x ≠ 0 et x ≠ 32
b) 4x - 243x - 18
43 si x ≠ 6
f) x3 - 4x
x3 - 2x2 x + 2
x si x ≠ 0 et x ≠ 2
c) 16x2 + 40x + 2516x2 - 25
4x + 54x – 5 si x ≠ 5
4 et x ≠ –54
g) 4x4y + 6x3y2
4x3y - 9xy3 2x2
2x – 3y si x ≠ 0, y ≠ 0 , 2x + 3y ≠ 0, et 2x – 3y ≠ 0
d) 10x2 + 13x - 34x2 + 12x + 9
5x – 12x + 3 si x ≠ –3
2 h) 4x2 + 4x - 3
8x2 - 10x + 3 2x + 3
4x – 3 si x ≠ 12 et x ≠ 3
4
2. Écris une expression rationnelle dont les restrictions qui s’appliquent à la variable sont : Sens des expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :
a) x ≠ -3 et x ≠ 3 x2 + 6x + 9x2 – 9
c) x ≠ 2 3xx – 2
b) x ≠ 0, x ≠ 7 et x ≠ 3 4x2 + 4x – 213x3 – 30x2 + 63x
d) x ≠ -23 et x ≠ 32
3x2 + 8x + 46x2 – 5x – 6
3. Exprime le résultat des opérations suivantes sous la forme d’une expression rationnelle irréductible.Multiplication et division d'expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
a) 6x2 + 5x - 6x2 - 4x - 12
• 3x2 + 2x - 89x2 - 18x + 8
2x + 3x – 6
si x ≠ –2, x ≠ 6, x ≠ 23 et x ≠ 4
3
b) x2 - 4x2 - 5x + 6
• 5x2 - 30x + 453x2 + 7x + 2
5(x – 3)3x + 1 si x ≠ –2, x ≠ 3, x ≠ 2 et x ≠
–13
c) 12x3y - 12x2yx2 - 5x - 14
• 4x4 - 28x3 - 16x2 + 112x
8x2 - 16x + 8 6x2y(x – 2)
x – 1 si x ≠ –2, x ≠ –1, x ≠ 1 et x ≠ 7
d) x2 - 7x + 122x2 - 8x
• x2 - 3x - 45x2 - 45
(x + 1)(x – 4)10x(x + 3) si x ≠ –3, x ≠ 0, x ≠ 3 et x ≠ 4
e) 4x2 - 20x + 2515xy + 5y - 6y - 2
÷
4x2 - 2525x2 - 20x + 4
(2x – 5)(5x – 2)2
(3x + 1)(5y – 2)(2x + 5) si x ≠ 25
, x ≠ –13 , x ≠ –5
2 , x ≠ 52 et y ≠
25
f) x2 - 16x2 - 8x + 16
÷ x + 4x - 4
1 si x ≠ 4 et x ≠ –4
4. Exprime le résultat des opérations suivantes sous la forme d’une expression rationnelle irréductible.Addition et soustraction d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
a) 1x + 2
+ 4x - 3
5x + 5x2 – x – 6 si x ≠ –2 et x ≠ 3
b) 5x + 3
x + 1 8x + 5
x2 + x si x ≠ 0 et x ≠ –1
c) 4x2 - 25
- 2x
x2 - x - 20
–2x2 + 6x + 16x3 + 4x2 – 25x – 100 si x ≠ 5, x ≠ –5 et x ≠ –4
3x2 – 2x – 212x4 – 4x3 – 62x2 – 56x si x ≠ 7, x ≠ –4, x ≠ –1 et x ≠ 0
f) 3x6x2 - 5x - 4
+
2x3x2 - x - 4
7x2 + 5x6x3 + x2 – 9x – 4 si x ≠ 4
3 , x ≠ –12 et x ≠ –1
5. L’arête d’un cube mesure (2x + 1) m. Détermine l’expression rationnelle qui représente le rapport entre le volume et l’aire totale du cube. Simplifie ensuite cette expression rationnelle.Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
2x + 16
si x ≠ –12
6. Exprime le résultat de cette opération sous la forme d’une expression rationnelle irréductible.Multiplication et division d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
t3 - 49tt2 - 3t - 28
• t2 + 2t - 8
t2 - 4 ÷ t3 - 25t
t2 - 4t - 12 •
t2 + t - 423t2 - 11t - 20
3t + 4t + 5 si t ≠ –7, t ≠ –4, t ≠ –2, t ≠ –4
3 , t ≠ 2, t ≠ 4, t ≠ 5, t ≠ 6 et t ≠ 7
7. Détermine le rapport des aires du triangle et du losange ci-dessous à l’aide d’une expression rationnelle irréductible.Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
A = x2 - 36 A = 2x2 + 15x + 18
Atriangle
Alosange = x2 – 362x2 + 15x + 18 = x – 6
2x + 3 si x ≠ –6 et x ≠ 32
8. Isabelle affirme que la simplification de l’expression rationnelle x3 + 5x2 - x - 52x2 + 12x + 10 est
x - 12 et qu’il n’y a
pas de restriction. A-t-elle raison en ce qui concerne la notion de restriction ? Justifie ta réponse. Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
Elle a tort, les restrictions doivent se faire avant de simplifier.
Ainsi, la variable x doit être différente de –5 et de –1.
9. Les dimensions d’un terrain rectangulaire sont de (x + 4) m de longueur et de (x) m de largeur. On augmente sa longueur de 4 m, et sa largeur de (x + 1) m. Quelle expression rationnelle irréductible représente le rapport des aires de l’ancien terrain et de la nouvelle partie de terrain (la partie ombrée) ? Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
x m
(x + 4) m
10. La figure ci-dessous représente le développement d’un prisme à base triangulaire. Les mesures de chaque côté des triangles sont exprimées par les binômes x + 1, x + 2 et x + 3. La hauteur de ce prisme est exprimée par le binôme 2x + 1. Quelle expression rationnelle simplifiée représente le rapport de l’aire de la base et de l’aire latérale de ce prisme ?Multiplication et division d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
11. Une photo rectangulaire a 15 cm de plus sur la longueur que sur la largeur. On désire la placer dans un cadre mesurant 5 cm de chaque côté de la photo. Quelle expression rationnelle simplifiée représente le rapport des aires du cadre (partie grise) et de la photo ?Multiplication et division d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
12. Carolina montre à son ami Vincent le développement qu’elle a fait pour un devoir de mathématique.
x x + 4
+ 4 x + 4
= x + 4(x + 4) (x + 4)
=
1 x + 4 si x = -4
Vincent lui indique qu’elle a commis une erreur dans son développement. Trouve l’erreur de Carolina et donne la bonne réponse.Multiplication et division d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
13. David s’entraîne pour un triathlon. Aujourd’hui, il se concentre sur la course à pied et sur la bicyclette. Il parcourt 30 km à bicyclette ainsi que 30 km à la course à pied. À bicyclette, la vitesse moyenne de David est trois fois plus rapide que sa vitesse moyenne à la course à pied. Multiplication et division d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
a) Quelle expression rationnelle simplifiée permet de calculer le temps total de son entraînement fait aujourd’hui, en prenant x comme vitesse (en km/h) de course à pied ?
t = 30x
+ 303x
= 903x
+ 303x
= 1203x
= 40x
si x ≠ 0
b) Si David a consacré 4 heures à son entraînement aujourd’hui, quelle a été sa vitesse, en km/h, à bicyclette ?
À bicyclette, la vitesse de David a été de 30 km/h.
L’erreur est au niveau du dénominateur commun. La bonne solution est la suivante :
plus de Mise en pratiqueComplément de la section Mise en pratique des pages 110 à 113 du manuel
1. Associe les équations suivantes à leur ensemble-solution.Résolution d’équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : faible
a) (x + 6)(x + 4) = 0
b) (5x - 2)(2x - 3) = 0
c) 3x(x - 1) = 0
d) (x - 3)(x - 3) = 0
e) 3x2 - 5x = 0
f) (x + 2)(5 - x)
2. Résous les équations suivantes en procédant par factorisation. Vérifie ensuite tes solutions.Résolution d’équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : faible
3. Résous les équations suivantes en procédant par complétion du carré.Résolution d’équations quadratiques par complétion du carré Niveau de difficulté : élevé
a) 2s2 + 3 = -7s c) t2 = 6t - 4 e) y2 - 10y + 22 = 0
4. Trouve les racines des équations suivantes.Résolution d’équations quadratiques par complétion du carré Niveau de difficulté : faible
a) (x + 4)2 = 16 c) (y - 2)2 = 16 e) t - 152 = 4
b) (s - 9)2 - 81 = 0 d) 9 = (x + 2)2 f) x + 12
2 = 16
5. Calcule la valeur du discriminant des équations suivantes. Détermine ensuite le nombre de solutions que possède chacune des équations.Résolution d’équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : faible
a) 2s2 + 7s + 3 = 0
∆ = 25 > 0, donc l’équation a deux solutions réelles.
b) y2 - 5y = 14
∆ = 81 > 0, donc l’équation a deux solutions réelles.
7. Une table de cuisine rectangulaire a un périmètre de 90 dm et une aire de 450 dm carrés. Quelles sont les dimensions de la longueur et de la largeur de cette table ?Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
x : largeur de la table45 – x : longueur de la tablex(45 – x) = 450x = 30 ou x = 15Si la largeur de la table est 30, la longueur est 30 – 15 = 15.Si la largeur de la table est 15, la longueur est 45 – 15 = 30.Les dimensions de cette table sont 15 dm sur 30 dm.
8. Le balcon rectangulaire de Martin mesure 2 mètres sur 3 mètres. Martin désire doubler la superficie de son balcon en augmentant la largeur et la longueur de celui-ci avec la même distance de chaque côté. Détermine la distance, en mètres, qu’il doit ajouter à chaque côté du balcon pour en doubler la superficie.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
Superficie du balcon présentement : 6 m2.Superficie souhaitée du balcon : 12 m2.Soit x, la longueur que Martin veut ajouter à chaque côté de son balcon.(x+2)(x+3) = 12x2 + 5x + 6 = 12x2 + 5x – 6 = 0(x – 1)(x + 6) = 0x = 1 ou x = –6x = –6 est à rejeterIl faut donc ajouter 1 mètre de chaque côté du balcon pour en doubler la superficie.
9. Si on additionne le tiers du carré d’un nombre et le quart du carré de ce même nombre, on obtient 12. Trouve la valeur exacte de ce nombre.Résolution d’équations quadratiques par complétion du carré Niveau de difficulté : faible
10. Trouve les dimensions du carré blanc de la figure ci-dessous.Résolution d’équations quadratiques par complétion du carré Niveau de difficulté : faible
x 4x
Arégion ombrée 240 cm2
4x
11. Sur un document à remettre à son patron, Marjorie dessine une image rectangulaire qui mesure 12 centimètres sur 18 centimètres. Elle désire l’agrandir afin que la superficie soit augmentée de 99 centimètres carrés. Pour y arriver, elle agrandira la longueur et la largeur de l’image de la même mesure x. Détermine cette mesure x.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
x
x
12. À partir des indices suivants, trouve les deux nombres naturels dont il est question : leur somme est 26 et leur produit est 133. Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
Petit nombre naturel : xGrand nombre naturel : 26 – xÉquation : x(26 – x) = 133x = 19 ou x = 7Les deux nombres naturels sont 7 et 19.
(4x)2 – x2 = 240
16x2 – x2 = 240
15x2 = 240
x2 = 16
x = –4 est à rejeter
x = 4 cm
Superficie de l’image présentement : 216 cm2.Superficie souhaitée de l’image : 315 cm2.Soit x, la longueur que Marjorie veut ajouter à chaque côté de l’image.Largeur souhaitée de l’image : 12 + xLongueur souhaitée de l’image : 18 + x(12 + x)(18 + x) = 315x2 + 30x + 216 = 315x2 + 30x – 99 = 0(x – 3)(x + 33) = 0x = 3 ou x = –33x = –33 est à rejeterIl faut donc ajouter 3 centimètres à la longueur et à la largeur.
13. Dans un cône, l’apothème mesure 53 centimètres. La hauteur de ce cône mesure 17 unités de plus que le rayon de ce cône. Détermine la mesure de la hauteur et la mesure du rayon de ce cône.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
Le rayon : xLa hauteur : x + 17x2 + (x + 17)2 = 532
x2 + x2 + 34x + 289 = 2 8092x2 + 34x – 2 520 = 02(x – 28)(x + 43) = 0x = 28 ou x = –43x = –43 est à rejeterLe rayon mesure 28 cm et la hauteur mesure 43 cm.
14. Un polygone régulier à n côtés possède n(n - 3)2
diagonales. Trouve le nombre de côtés d’un polygone régulier qui possède 119 diagonales. Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
n(n –3)2
= 119
n(n – 3) = 238n2 – 3n – 238 = 0(n – 17)(n + 14) = 0n = 17 ou n = –14n = –14 est à rejeter
Le polygone régulier a 17 côtés.
15. Simon prétend que son terrain a un périmètre de 26 mètres et une superficie de 50 mètres carrés. Carmen lui fait remarquer que c’est impossible. Qui a raison ? Explique ta réponse.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
C’est Carmen qui a raison.Largeur du terrain : xLongueur du terrain : 13 – x x(13 – x) = 50 x2 – 13x + 50 = 0
x = = 13 ± 169 – 4
2
Le discriminant est négatif, il est donc impossible de résoudre cette équation.
17. Dans un parc d’amusement, un trampoline rectangulaire a une superficie de 1 500 dm carrés. La longueur du trampoline mesure 20 dm de plus que sa largeur. Trouve les dimensions de la longueur et de la largeur du trampoline.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
Largeur : xLongueur : x + 20Équation : x(x + 20) = 1 500 x2 + 20x – 1 500 = 0 (x + 50)(x – 30) = 0 x = –50 ou x = 30 x = –50 est à rejeter
La largeur est 30 dm.La longueur est 30 + 20 = 50 dm. Les dimensions de ce trampoline sont 30 dm sur 50 dm.
18. Le développement d’un prisme à base rectangulaire est représenté ci-dessous. La surface latérale est composée de deux rectangles et de deux carrés. L’aire du rectangle gris foncé est de 36 dm carrés. Quel est le périmètre d’un des carrés adjacents au rectangle gris foncé, dans ce développement ? Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
x + 9
x
x(x + 9) = 36x2 + 9x – 36 = 0(x + 12)(x – 3) = 0x = –12 ou x = 3x = –12 est à rejeter
La largeur est 3.La mesure de l’un des côtés du carré est 3 dm. Le périmètre du carré est 12 dm.
19. Daniel a un garage rectangulaire qui mesure 8 m sur 6 mètres. Il décide de construire deux armoires de rangement, une sur la longueur et une sur la largeur des murs du garage, qui couvriront chacune la même mesure de profondeur. La superficie disponible pour se déplacer dans son garage sera alors diminuée de 6,75 mètres carrés. Quelle est la mesure, en mètres, de la profondeur des armoires de rangement que Daniel veut construire ? Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
La mesure de la profondeur de l’armoire de rangement : xSuperficie du garage = 48 m2
Superficie qui sera disponible pour se déplacer = 48 – 6,75 = 41,25Équation : (8 – x)(6 – x) = 41,25 x2 – 14x + 48 = 41,25 x2 – 14x + 6,75 = 0 4x2 – 56x + 27 = 0 (2x – 27)(2x – 1) = 0 x = 13,5 ou x = 0,5 x = 13,5 est à rejeterLa profondeur de l’armoire de rangement est de 0,5 mètre.
20. Sur un carton mesurant 60 cm sur 90 cm, Sophie découpe un carré à chaque coin. Elle plie ensuite les rabats pour former une boîte sans couvercle. Sachant que l’aire de la base de cette boîte est de 2 800 cm2 : Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : élevé
a) détermine la mesure du côté de chaque carré découpé;
La mesure d’un côté du carré : xLargeur de la base : 60 – 2xLongueur de la base : 90 – 2x (60 – 2x)(90 – 2x) = 2 800 4x2 – 300x + 5 400 = 2 800 4x2 – 300x + 2 600 = 0 4(x2 – 75x + 650) = 0 4(x – 65)(x – 10) = 0x = 65 ou x = 10x = 65 est à rejeterLa mesure d’un côté du carré est de 10 cm.
b) Détermine le volume de la boîte formée par Sophie.
La hauteur de la boîte est de 10 cm.Volume = Ab • h = 2 800 • 10 = 28 000Le volume de la boîte formée par Sophie est 28 000 cm3.
21. Le triangle ABC ci-dessous est isocèle et les segments AB et AC sont isométriques. Sylvain affirme que ce triangle est équilatéral. A-t-il raison ? Justifie ton raisonnement.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
x2 – 2x – 3 = 2x + 2 x2 – 4x – 5 = 0(x – 5)(x + 1) = 0x = 5 ou x = –1x = –1 est à rejeter, x vaut donc 5Le segment AB exprimé par x2 – 2x – 3 mesure 52 – 2 • 5 – 3 = 25 – 10 – 3 = 12Le segment AC exprimé par 2x + 2 mesure 2 • 5 + 2 = 10 + 2 = 12Le segment BC exprimé par 3x – 3 mesure 3 • 5 – 3 = 15 – 3 = 12Sylvain a raison, ce triangle est équilatéral.
22. Pour une esquisse du logo de son entreprise, Carl veut peindre un C formé de trois bandes rectangulaires de même largeur. La superficie de ce C est de 72 dm carrés. Quelle est la largeur x de chaque bande utilisée par Carl ?Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
2. Trouve deux polynômes dont le produit : Développement, réduction ou substitution d’expressions à l’aided’identités algébriques remarquables. Niveau de difficulté : faible
a) est un binôme ;
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : (5x + 1) • (5x – 1)
b) est un trinôme ;
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : (3x + 4) • (2x – 1)
c) est un polynôme à quatre termes.
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : (3x + y) • (4x – 3)
3. L’aire d’un disque est représentée par l’expression (4 x2 - 12 x + 9) m2.Manipulation d’équations algébriques Niveau de difficulté : faible
a) Quel est le rayon de ce disque ? (2x – 3) m
b) Quelle est la circonférence de ce cercle ? (4 x – 6) m
4. Factorise les expressions algébriques suivantes.Factorisation de polynômes Niveau de difficulté : moyen
8. Une boîte de conserve a un volume de (r3 + 3r2 - 9r - 27) cm3. L’aire de sa base est de (r2 + 6r + 9) cm2.Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
Quel polynôme représente sa hauteur ?
(r – 3) cm
9. Voici l’aire de trois triangles rectangles. Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
Trouve l’expression rationnelle simplifiée qui équivaut aux rapports suivants.
a) Aire du triangle 2Aire du triangle 1 b) Aire du triangle 1
Aire du triangle 3 + Aire du triangle 2
10. Quelle expression algébrique représente le volume des solides suivants ?Expressions algébriques Niveau de difficulté : moyen
b) Un prisme droit à base carrée surmonté d'un cube :
V = 40x3 – 36x2 + 6x + 1 cm3
11. Quelle expression algébrique représente le périmètre de cette fenêtre ?Identités algébriques remarquables du second degré Niveau de difficulté : moyen
D = (16x - 32)
d = (12x - 24)
12. Que d’eau !
Cynthia a placé (2x3 + 3x2 + 2x + 4) bouteilles d’eau dans une glacière de forme cylindrique. Elle veut les distribuer à (x + 1) de ses coéquipières durant le tournoi de basketball. Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
Si elle distribue le même nombre de bouteilles à chaque joueuse de son équipe, combien de bouteilles restera-t-il dans la glacière ?
Mesure d’un des côtés de la fenêtre : (10x – 20) cm
Le périmètre de la fenêtre est (40x – 80) cm = 40 (x – 20) cm.
Un pot à jus contient (15x2 – 4x – 3) mL de limonade. Il permet de remplir à pleine capacité des verres opaques de (5x – 3) mL. On met (5x + 4) de ces verres sur un comptoir puis, au hasard, on remplit certains d’entre eux. Tu te présentes au comptoir et tu choisis un verre au hasard. Quelle expression algébrique permet d’exprimer la probabilité que tu choisisses un verre plein ? Tu sais que (x + 1) personnes se sont rendues au comptoir avant toi et qu’elles ont toutes été chanceuses, puisque leur verre choisi au hasard était plein. Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
14. Un plancher réussi
Mathieu désire installer un plancher de bois franc dans sa chambre à coucher de forme rectangulaire. La largeur et la longueur de la chambre sont exprimées par les binômes (x + 3) et (x + 4). Le plancher a une superficie de 20 m2. Par la suite, Mathieu doit installer une plinthe à la base des murs. Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
Quelle sera la longueur de la plinthe ?
Nombre de verres remplis de limonade : 15x2 – 4x – 35x – 3 = 3x + 1
Nombre de verres pleins restant sur le comptoir : (3x + 1) – (x + 1) = 2x
Nombre de verres restant sur le comptoir : (5x + 4) – (x + 1) = 4x + 3
Probabilité = nombre de verres pleinsnombre de verres
= 2x4x – 3
si x ≠ –34
et si x ≠ 35
(x + 2)(x + 3) = 20
x2 + 5x + 6 = 20
x2 + 5x – 14 = 0
(x – 2)(x + 7) = 0
x = 2 ou x = –7
x = –7 est à rejeter.
Si x vaut 2, la largeur de la chambre est de 4 m et la longueur, de 5 m.
Au début de l’hiver, Carole décide d’installer un abri dans l’entrée principale de son immeuble. Cet abri est un prisme dont la base est constituée de deux trapèzes isométriques. Quelle expression algébrique représente le volume d’air dans cet abri ?Relation de Pythagore et manipulation d’expressions algébriques
Niveau de difficulté : moyen
A
B
CD
E
(17x - 2) m
(18x + 4) m
(13x + 13) m
(23x + 9) m
On calcule l’expression algébrique qui représente la mesure du segment AE : (23x + 9) – (18x + 4) = 5x + 5
On calcule l’expression algébrique qui représente la hauteur d’un des trapèzes (segment BE) en appliquant la relation de Pythagore dans le triangle ABE :
(13x + 13)2 – (5x + 5)2 = m BE 2
144x2 +288x + 144 = m BE 2
(12x + 12)2 = m BE 2
12x + 12 = m BE
On évalue l’expression qui représente l’aire de la base du prisme : Abase du prisme = 2 • Atrapèze
Abase du prisme = 2 • (B + b)h2
Abase du prisme = (B + b)h
Abase du prisme = (23x + 9 + 18x + 4)(12x + 12)
Abase du prisme = (41x + 13)(12x + 12)
Abase du prisme = 492x2 + 648x + 156
On calcule l’expression algébrique qui représente le volume du prisme :
Vprisme = Abase • h
Vprisme = (492x2 + 648x + 156)(17x – 2)
Vprisme = 8 364x3 + 10 032x2 + 1 356x – 312
Le polynôme (8 364x3 + 10 032x2 + 1 356x – 312) représente le nombre de mètres cubes d’air dans l’abri.
Guillaume pose un cadre autour d’un miroir de forme carrée dont l’aire est de (25x2 + 50x + 25) cm2. Le cadre excède de 7 cm sur les côtés du miroir. Factorisation de polynômes Niveau de difficulté : moyen
Quelle expression algébrique représente l’aire du cadre ?
17. Surface à couvrir
En utilisant (x2 – 1) rouleaux de tapisserie, Jérôme peut couvrir 30 m2. Il a acheté (7x2 + 3x – 4) rouleaux. Combien de mètres carrés peut-il couvrir ?Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : faible
18. Le grand cube et le petit cube
Le volume d’un grand cube et d’un petit cube sont respectivement de (2x2 + 5x + 2) cm3 et de (2x2 – 4x) cm3. Si le rapport de ces volumes est de 27
8 , quelle est la somme des volumes de
ces deux cubes ?Rapport des solides semblables, résolution d’équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : faible
Dimension du miroir : (5x + 5) cm sur (5x + 5) cm
Dimension du cadre (contour + miroir) : (5x + 19) cm sur (5x + 19) cm
Deux triangles rectangles ABC et BDE ont des côtés communs à des rectangles dont la largeur est de (x – 4) cm.
Les aires des rectangles K, L, M et N sont respectivement exprimés par les polynômes suivants : 5x2 – 15x – 20, 12x2 – 36x – 48, 8x2 – 40x + 32 et 15x2 – 75x + 60.
Quelle expression algébrique représente la mesure du segment AD ? Simplification d’expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen
A
BC
DE
K
L
M
N
Calculer les expressions algébriques qui représentent la mesure des segments BC, CA, DE et EB :
Arectangle K = longueur • largeur
5x2 – 15x – 20 = m BC • (x – 4)
5x2 – 15x – 20
x – 4 = m BC
5x + 5 = m BC
Arectangle L = longueur • largeur
12x2 – 36x – 48 = m CA • (x – 4)
12x2 – 36x – 48
x – 4 = m CA
12x + 12 = m CA
Arectangle M = longueur • largeur
8x2 – 40x + 32 = m DE • (x – 4)
8x2 – 40x – 32
x – 4 = m DE
8x – 8 = m DE
Arectangle N = longueur • largeur
15x2 – 75x + 60 = m EB • (x – 4)
15x2 – 75x – 60
x – 4 = m EB
15x – 15 = m EB
Les segments BC, CA, DE et EB mesurent respectivement 5x + 5, 12x + 12, 8x – 8 et 15x – 15.
On calcule les expressions algébriques qui représentent la mesure des hypoténuses AB et BD. On applique la relation de Pythagore aux triangles ABC et BDE :
(5x + 5)2 + (12x + 12)2 = m AB 2
169x2 + 338x + 169 = m AB 2
(13x + 13)2 = m AB 2
13x + 13 = m AB
(15x – 15)2 + (8x – 8)2 = m BD 2
289x2 – 578x + 289 = m BD 2
(17x – 17)2 = m BD 2
17x – 17 = m BD
Les expressions algébriques qui représentent la mesure des hypoténuses AB et BD sont respectivement de 13x + 13 et de 17x – 17.
On évalue l’expression algébrique qui représente la mesure du segment AD : (17x – 17) – (13x + 13) = 4x – 30
L’expression algébrique qui représente la mesure du segment AD est de 4x – 30.
Chaque samedi, une restauratrice vend 70 repas de 12 $ chacun. Son fils prétend que sa mère peut augmenter son profit de 80 $ chaque samedi si elle augmente le prix de chaque repas. La restauratrice explique à son fils que chaque augmentation de 1 $ occasionne une diminution des ventes de 3 repas. Fixe le prix d’un repas afin que le revenu réalisé chaque samedi soit celui que souhaite le fils.Résolution d’équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : moyen
21. Un terrain pythagorien
Une clôture délimite un terrain qui a la forme d’un triangle rectangle. Le plus long côté de la clôture mesure 50 m. Le périmètre de ce terrain est de 112 m et son aire, de 672 m2. Détermine les dimensions des deux autres côtés du terrain. Résolution d’équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : moyen
Le revenu actuel de la restauratrice : 70 • 12 = 840
Le revenu que souhaite le fils de la restauratrice : 840 + 80 = 920
Soit x, le nombre de dollars d’augmentation du prix de vente d’un repas chaque samedi.
Le nombre de repas vendus : 70 – 3x
Le prix de vente de chaque repas : 12 + x
Équation : (70 – 3x)(12 + x) = 920
840 + 34x – 3x2 = 920
0 = 3x2 – 34x + 80
0 = (3x – 10)(x – 8) x = 10
3 ou x = 8
Une augmentation de 8 $ permettrait d’augmenter le profit de 80 $ chaque samedi. Une augmentation approximative de 3,33 $ permettrait aussi d’augmenter le profit d’environ 80 $ chaque samedi.
La mesure de la plus petite cathète : x
La mesure de la plus grande cathète : 62 – x
Équation : x2 + (62 – x)2 = 502
x2 + x2 – 124x + 3 844 = 2 500
2x2 – 124x + 1 344 = 0
2(x – 14)(x – 48) = 0
x = 14 ou x = 48
x = 48 est à rejeter.
La plus petite cathète mesure 14 et la plus grande cathète, 62 – 14 = 48.
Les dimensions des deux autres côtés de ce terrain sont de 14 m et de 48 m.
Observe les équations suivantes : Développement, réduction ou substitution d’expressions à l’aide d’identités
algébriques remarquables Niveau de difficulté : moyen
22 - 02 = 4 42 - 22 = 12 62 - 42 = 20
32 - 12 = 8 52 - 32 = 16
a) Généralise la régularité observée à toutes b) Calcule mentalement 302 – 282 en utilisant les paires de nombres naturels dont la cette régularité. différence est de 2.
23. Jouer avec les mots
Le carré de la somme de deux nombres pairs consécutifs est-il plus petit, égal ou plus grand que la somme des carrés des deux nombres ? Explique ta réponse à l’aide d’un raisonnement algébrique. Développement, réduction ou substitution d’expressions à l’aide d’identités algébriques remarquables Niveau de difficulté : faible
24. U comme Ursule
Pour écrire son nom, Ursule trace un U à l’aide de trois bandes rectangulaires de même largeur. La superficie de ce U est de 700 mm2. Quelle est la largeur x de chaque bande utilisée par Ursule ?Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
Un triangle rectangle ABC a des cathètes qui mesurent 28 cm et 45 cm. On a ajouté des rectangles dont la largeur est de x cm.
La somme des aires de ces rectangles est égale à l’aire du triangle rectangle ABC.
Quelle est la mesure de la largeur x des rectangles ? Arrondis ta réponse au dixième de centimètre près. Résoudre une équation quadratique par complétion du carré Niveau de difficulté : moyen
26. Connaître ses racines
Sans utiliser la calculatrice: Développement, réduction ou substitution d’expressions à l’aide d’identités
algébriques remarquables Niveau de difficulté : élevé
a) trouve le résultat de : 1 + 29 1 + 30 1 + 31 1 + 32 1 + 33 • 35 ;
30
b) trouve l’expression de la même forme qui contient quatre racines carrées dont le résultat de la simplification est de 15.
1 + 14 1 + 15 1 + 16 1 + 17 • 19
A
BC
L’aire du rectangle sous la cathète qui mesure 28 cm : 28x
L’aire du rectangle à gauche de la cathète qui mesure 45 cm : x(45 + x) = x2 + 45x
La somme des aires des rectangles : x2 + 45x + 28x = x2 + 73x
L’aire du triangle : 0,5(28 • 45) = 630
Équation : x2 + 73x = 630
x2 + 73x – 630 = 0
x2 + 73x + 1 332,25 – 1 332,25 – 630 = 0
(x + 36,5)2 – 1 962,25 = 0
(x + 36,5)2 = 1 962,25
x + 36,5 = ± √ 1962,25
x = ± √ 1962,25 – 36,5
Alors, x = –√ 1962,25 – 36,5 ou x = √ 1962,25 – 36,5
x ≈ –80,8 à rejeter x ≈ 7,8
La mesure de la largeur des rectangles est d’environ 7,8 cm.
Simon découpe un carré à chaque coin d’un carton de 6 dm sur 12 dm. Il plie ensuite les rabats pour former une boîte sans couvercle. Il s’aperçoit que l’aire de la base de cette boîte est égale à l’aire des quatre coins découpés. Détermine le périmètre de la base de cette boîte.Résolution d’équations quadratiques Niveau de difficulté : moyen
28. Un record longtemps inégalé
Durant des millénaires, la pyramide de Khéops a établi tous les records ; cette pyramide était la plus haute, la plus volumineuse et la plus massive des constructions humaines. Les côtés de sa base carrée mesurent environ 230 m, et sa hauteur est d’environ 140 m. Quelle expression algébrique représente le volume d’une pyramide dont les dimensions sont celles de la pyramide de Khéops augmentées de x m.Manipulation d’expressions algébriques Niveau de difficulté : faible
6 dm
12 dm
La mesure d’un côté du carré : x
L’aire des quatre carrés : 4x2
Largeur de la base : 6 – 2x
Longueur de la base : 12 – 2x
Équation : (6 – 2x)(12 – 2x) = 4x2
4x2 – 36x + 72 = 4x2
–36x + 72 = 0
72 = 36x
2 = x
Largeur de la base : 6 – 2x = 6 – 2 • 2 = 2
Longueur de la base : 12 – 2x = 12 – 2 • 2 = 8
Périmètre de la base : 2 + 8 + 2 + 8 = 20
Le périmètre de la base de cette boîte est de 20 cm.