Plot Fungsi Pada MATLAB (Tingkat SMA)

Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012

1

PLOT FUNGSI

A. PEMAHAMAN FUNGSI

Suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai suatu aturan yang membuat korespondensi

antara dua himpunan bilangan sehingga hubungan dari dua himpunan bilangan tersebut

menjadi tidak ambigu. Pada umumnya suatu fungsi dinotasikan dalam bentuk aljabar.

Sebagai contoh jika ada fungsi 𝑦 = 𝑥2 maka 𝑦 merupakan variable dependen, sedangkan 𝑥

adalah variable independent. Kita bisa mengatakan bahwa 𝑦 bergantung pada 𝑥 karena 𝑥

adalah variable bebas yang bisa kita ganti dengan nilai berapapun.

Fungsi dengan sebuah variable independen biasanya akan menghasilkan garis

tunggal atau kurva ketika digambar pada koordinat kartesian, sedangkan fungsi dengan dua

variable independen atau lebih akan menghasilkan suatu permukaan (surface) ketika

digambar.

Himpunan bilangan atau titik dimana suatu fungsi didefinisikan disebut sebagai domain

fungsi. Sebagai contoh, fungsi 𝑦 = 𝑥3 terdefinisi untuk semua bilangan real karena kita bisa

mengganti 𝑥 dengan nilai berapapun, lalu menhitung pangkat tiga nya. Himpunan bilangan

yang dihasilkan oleh suatu fungsi disebut sebagai range yang merupakan bagian dari co-

domain. Dengan kata lain, domain adalah bilangan – bilangan yang bisa kita inputkan ke

dalam fungsi, sedangkan range adalah bilangan – bilangan hasil keluaran suatu fungsi.

Lebih jelasnya lihat gambar berikut :

𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 1

𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 ∶ 1, 2, 3, 4

𝐶𝑜 − 𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 ∶ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 ∶ 3, 5, 7, 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4


2

B. FUNGSI PADA KOORDINAT KARTESIAN

Secara tradisional, system koordinat kartesian dibangun dari dua sumbu atau tiga

sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain, yang umumnya sumbu – sumbu tersebut

disimbolkan sebagai sumbu 𝑥, sumbu 𝑦, dan apabila dalam bentuk tiga dimensi, maka akan

terdapat sumbu 𝑧. Fungsi pada koordinat kartesian tiga dimensi bisa memuat dua variable

independen, dengan bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧) atau 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦). Untuk koordinat kartesian kita tidak

perlu membahasnya lebih panjang karena sudah sangat familiar.

C. FUNGSI PADA KOORDINAT POLAR

Dalam matematika, system koordinat polar adalah system koordinat dua dimensi

dimana suatu titik dalam bidang ditentukan oleh jarak titik tersebut ke titik pusat, dan sudut

yang dibentuk dengan garis acuan (lazimnya adalah searah dengan garis sumbu 𝑥 +).

Untuk lebih jelasnya lihat gambar sebagai berikut :

Gambar pertama menunjukkan titik dalam koordinat polar dengan titik pusat 0 dan

sumbu polar 𝐿. Titik dengan garis hijau memiliki koordinat radial sebesar 3, dan koordinat

angular sebesar 60° (3, 60°), sedangkan titik dengan garis biru menunjukkan (4, 210°).

Ingatlah bahwa besaran sudut tidak selalu ditulis dalam satuan derajat, namun juga radian.

Gambar kedua menunjukkakn acuan besaran sudut pada koordinat polar, dan gambar

ketiga menunjukkan hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat polar.

Untuk mengkonversi dari koordinat kartesian ke koordinat polar, digunakan persamaan

– persamaan sebagai berikut :

𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑘𝑒 𝐾𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛 ∶ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

𝐾𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛 𝑘𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 ∶ 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 , 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛𝑦

𝑥

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :

Konversikan posisi titik (2, 2) ke koordinat polar

Jawab : 𝑟 = 22 + 22 = 2 2

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan2

2=

𝜋

4= 45°

= (2 2,𝜋

4)


3

Konversikan posisi titik (6,𝜋

3) ke koordinat kartesian

Jawab : 𝑥 = 6 cos𝜋

3= 3

𝑦 = 6 sin𝜋

3= 3 3

= (3, 3 3)

D. MENGGAMBAR PLOT FUNGSI DENGAN MATLAB

Secara mendasar, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan

digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu.

Plot Garis 2D Koordinat Kartesian

Untuk melakukan plot 2D dari suatu fungsi, kita tuliskan perintah sebagai berikut :

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖)

Contoh kita akan melakukan plotting untuk fungsi 𝑦 = 𝑥2 dengan domain −4 ≤ 𝑥 ≤ 4, maka

kita tuliskan perintah sebagai berikut :

≫ 𝑥 = −4 ∶ 4 ↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2 ↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦) ↲

Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut :


4

Jika kita lihat sekilas, grafik diatas tidaklah smooth, dikarenakan MATLAB menggambar

dengan korespondensi sebagai berikut

≫ 𝑥 = −4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4

≫ 𝑦 = 16 9 4 1 0 1 4 9 16

Posisi titik – titik diatas lalu dihubungkan dengan garis lurus sehingga menghasilkan plot

yang kurang smooth dikarenakan peningkatan nilai = 1 . Untuk mengatasi hal ini maka

peningkatan nilai 𝑥 haruslah sangat kecil, taruhlah peningkatan nilai 𝑥 = 0.001 sehingga kita

perlu mengubah syntax sebagai berikut :

≫ 𝑥 = −4 ∶ 0.001 ∶ 4 ↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2 ↲


Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

Untuk memberikan label pada sumbu 𝑥, sumbu 𝑦, maupun judul grafik, kita tambahkan

perintah sebagai berikut :

≫ 𝑥𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙(′𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥′) ↲

≫ 𝑦𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙(′𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦′) ↲

≫ 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒(′𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑦 = 𝑥^2′) ↲


5

Untuk mengganti properties pada kurva/garis kita dapat melengkapi syntax 𝑝𝑙𝑜𝑡 menjadi

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒, ′𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎__𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑒__𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑖𝑛𝑔__𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠′)

Dengan keterangan sebagai berikut:

Hal Nilai Inputan Arti (warna)

Warna

„c‟ Cyan

„m‟ Magenta

„y‟ Kuning

„r‟ Merah

„g‟ Hijau

„b‟ Biru

„w‟ Putih

„k‟ Hitam


6

Hal Nilai Inputan Arti (tipe)

Tipe

„-‟ Garis solid

„- -‟ Garis strip

„:‟ Garis berupa titik – titik

„-.‟ Garis strip dan titik

„no‟ Tanpa garis

„huruf‟ Huruf

Hal Nilai Inputan Arti (marking)

Marking

„+‟ Tanda tambah

„o‟ Lingkaran berlubang

„*‟ Asterisk

„x‟ Huruf x

„s‟ Persegi berisi

„d‟ Diamond berisi

„^‟ Segitiga atas berisi

„v‟ Segitiga bawah berisi

„>‟ Segitiga kanan berisi

„<‟ Segitiga kiri berisi

„p‟ Pentagram (segi lima) berisi

„h‟ Hexagram (segi enam) berisi

„no‟ Tanpa marking

„huruf‟ Huruf

Kita akan coba membuat plot untuk fungsi kuadrat diatas dengan menggunakan properties

yang telah dijelaskan diatas, berikut syntaxnya

≫ 𝑥 = −4 ∶ 4 ↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2 ↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦, ′𝑟 − −𝑠′) ↲


7

Untuk membuat beberapa kurva dalam bidang yang sama, maka kita gunakan perintah

𝑕𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛 dengan diteruskan membuat fungsi dan plot yang baru. Misalnya kita akan

membuat plot dari tiga fungsi kuadrat yaitu 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 𝑥2 + 2, dan 𝑦 = 𝑥2 + 4 sekaligus

dalam satu bidang.

≫ 𝑥 = −4 ∶ 4 ↲

≫ 𝑦1 = 𝑥. ^2 ↲


≫ 𝑕𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛 ↲

≫ 𝑦2 = 𝑥. ^2 + 2 ↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦2, ′𝑟 − −𝑠′) ↲

≫ 𝑕𝑜𝑙𝑑 𝑜𝑛 ↲

≫ 𝑦 = 𝑥. ^2 + 4 ↲

≫ 𝑝𝑙𝑜𝑡(𝑥, 𝑦3, ′𝑘 − 𝑣′) ↲


8

Jika kita ingin menggambar plot suatu grafik, namun kita bingung untuk menentukan domain

dari fungsi yang akan kita gambar, maka kita gunakan perintah 𝑒𝑧𝑝𝑙𝑜𝑡 untuk menggambar

fungsi yang bersangkutan dengan memperkenalkan variable terlebih dahulu dengan

perintah 𝑠𝑦𝑚𝑠, contohnya kita akan menggambar plot untuk 𝑦 = 𝑥2 − 9 :


9

Plot Garis 2D Koordinat Polar

Seperti halnya pada koordinat kartesian, untuk menggambar suatu fungsi kita

memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita

definisikan terlebih dahulu. Dalam hal ini kita akan mencoba menggambar fungsi polar rose

dan fungsi spiral Archimedean.

Fungsi polar rose

Fungsi polar rose jika digambar mirip seperti kelopak bunga, salah satu persamaan polar

rose yang akan kita gambar adalah

𝑟 𝜃 = 2 sin 4𝜃

Dengan domain 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, dengan kenaikan 𝜃 sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini 𝜃

akan kita ganti sebagai 𝑡 untuk mempemudah

≫ 𝑡 = 0 ∶ 0.01: 2 ∗ 𝑝𝑖; ↲

≫ 𝑟 = 2 ∗ sin 4 ∗ 𝑡 ; ↲

≫ 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟(𝑡, 𝑟) ↲

≫ 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒(′𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 𝐵𝑢𝑛𝑔𝑎′) ↲


10

Fungsi Spiral Archimedean

Seperti namanya fungsi ini berbentuk spiral, mungkin bisa dianalogikan dengan rumah

keong. Fungsi yang akan kita gambar adalah

𝑟 𝜃 =𝜃

2𝜋

Dengan domain 0 ≤ 𝜃 ≤ 6𝜋, dengan kenaikan 𝜃 sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini 𝜃

akan kita ganti sebagai 𝑡 untuk mempemudah

≫ 𝑡 = 0 ∶ 0.01: 6 ∗ 𝑝𝑖; ↲

≫ 𝑟 = 𝑡/(2 ∗ 𝑝𝑖); ↲

≫ 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟(𝑡, 𝑟) ↲

≫ 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒(′𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑆𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 𝐴𝑟𝑐𝑕𝑖𝑚𝑒𝑑𝑒𝑎𝑛′) ↲


11

Plot Kontur/Permukaan/3D

Seperti pada yang telah diterangkan sebelumnya, untuk menggambar suatu fungsi kita

memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita

definisikan terlebih dahulu. Pada fungsi kartesian dengan bentuk umum 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) maka

kita perlu mendefinisikan domain fungsi pada sumbu 𝑥 dan pada sumbu 𝑦. Hal tersebut

dapat kita lakukan dengan perintah 𝑚𝑒𝑠𝑕𝑔𝑟𝑖𝑑 dengan format sebagai berikut :

≫ 𝑥, 𝑦 = 𝑚𝑒𝑠𝑕𝑔𝑟𝑖𝑑(𝑥1: 𝑑𝑥: 𝑥2; 𝑦1, 𝑑𝑦, 𝑦2)

Dimana : 𝑥1 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎𝑕 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛

𝑑𝑥 ∶ 𝑝𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑥 (𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑎𝑖𝑙)

𝑥2 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛

𝑦1 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎𝑕 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑦 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛

𝑑𝑦 ∶ 𝑝𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑦 (𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑘𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑎𝑖𝑙)

𝑦2 ∶ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑦 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛

Sedangkan untuk menggambar dalam koordinat tiga dimensi, ada beberapa perintah yang

bisa kita gunakan, yaitu :

≫ 𝑠𝑢𝑟𝑓 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑋, 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑌, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) : untuk menggambar permukaan

≫ 𝑚𝑒𝑠𝑕 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑋, 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑌, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) : untuk menggambar rangka dari fungsi

≫ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟 (𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑋, 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛_𝑌, 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖) : untuk menggambar kontur, yaitu garis – garis/

kurva – kurva pada bidang datar yang menunjukkan ketinggian

Apabila kita ingin menggambar suatu fungsi namun bingung dengan penentuan domain, kita

bisa menggunakan perintah – perintah sebagai berikut :

≫ 𝑒𝑧𝑠𝑢𝑟𝑓 ( 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖)

≫ 𝑒𝑧𝑚𝑒𝑠𝑕 ( 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖)

≫ 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟 (𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖)

dengan memperkenalkan terlebih dahulu variable – variable dengan perintah 𝑠𝑦𝑚𝑠

Untuk lebih jelasnya akan dicontohkan kita akan menggambar beberapa fungsi tiga

dimensi sebagai berikut :

Fungsi Paraboloid (menggunakan 𝑠𝑢𝑟𝑓)

Fungsi paraboloid merupakan hasil perputaran 360° fungsi parabola terhadap sumbu

simetrinya. Fungsi yang akan kita gambar adalah

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2,

dengan domain −5 ≤ 𝑥 ≤ 5, dan −5 ≤ 𝑦 ≤ 5, dengan peningkatan nilai domain sebesar

0.5. Kita ketikkan perintah sebagai berikut :

≫ 𝑥, 𝑦 = 𝑚𝑒𝑠𝑕𝑔𝑟𝑖𝑑(−5: 0.5: −5, −5: 0.5: 5); ↲

≫ 𝑧 = 𝑥. ^2 + 𝑦. ^2; ↲

≫ 𝑠𝑢𝑟𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ↲


12

Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan 𝑒𝑧𝑚𝑒𝑠𝑕)

Fungsi hyperbolic-paraboloid merupakan hasil perpaduan 2 fungsi hyperbolic, dan

sebuah fungsi parabolic. Dua fungsi hyperbola tegak lurus terhadap bidang 𝑥𝑦

sedangkan sebuah fungsi hiperbola sejajar dengan bidang 𝑧𝑦. Fungsi ini jika dilihat

seperti sebuah pelana kuda. Fungsi yang akan kita gambar adalah

𝑧 = 𝑦2 − 𝑥2

Kita ketikkan perintah sebagai berikut :

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥; ↲

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑦; ↲

≫ 𝑧 = 𝑦^2 − 𝑥^2; ↲

≫ 𝑒𝑧𝑚𝑒𝑠𝑕(𝑧) ↲


13

Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟)

Kita akan coba menggambar kontur dari fungsi hyperbolic-paraboloid pelana kuda

diatas. Yang perlu kita ketahui, output pada fungsi kontur adalah beberapa garis yang

memiliki berbagai macam warna. Warna – warna yang ada bisa kita deretkan seperti

aturan spectrum warna. Semakin kearah warna merah menunjukkan permukaan yang

tinggi, sedangkan semakin kearah warna biru menunjukkan permukaan yang rendah.

Kita ketikkan perintah sebagai berikut :

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑥; ↲

≫ 𝑠𝑦𝑚𝑠 𝑦;

≫ 𝑧 = 𝑦^2 − 𝑥^2; ↲

≫ 𝑒𝑧𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟(𝑧) ↲


14

REFERENSI

Stewart, James. 2008. Calculus, 6th Edition. California : Thomson Brooks/Cole

Varberg, D.E, Purcell, E.J., Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th Edition. New Jersey :

Pearson Prentice Hall

Thomas, G.B., Weir, D.B., Hass, J. Giordano, F.R. 2004. Calculus, 11th Edition.

Massachussets : Addison Wesley

Perez, E. 2008. The Golden E-Book of Graphs of Mathematical Functions : A Selection

of Some Beautiful Mathematical Surfaces from The Domain of The Real and

Transcomplex Numbers System. Tanpa Kota : Tanpa Penerbit

The MathWorks, Inc. 2012. MATLAB Primer. Massachussets : The MathWorks Inc

REFERENSI ONLINE :

Pierce, Rod. (27 May 2011). "Domain, Range and Codomain". Math Is Fun. Tersedia pada

situs : http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html “Graphing

Quadratic Functions : Introduction”. (diakses pada 16 Juli 2012)

Stapel, Elizabeth. "Graphing Quadratic Functions." Purplemath. Tersedia pada situs :

http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm (diakses pada 15 July 2012)

“Polar Coordinate System”. http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system (diakses

tanggal 15 Juni 2012)

http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html

http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

Plot Fungsi Pada MATLAB (Tingkat SMA)

Documents