Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Mathematik Einführungsphase Vom graphischen Differenzieren f‘(x 0 ) = lim f(x0 + h) – f h h → 0 zum rechnerischen Differenzier en
Plenum: Die „h – Methode“Mathematik EinführungsphaseMathematik Einführungsphase
Vom graphischen Differenzieren
f‘(x0) = limf(x0 + h) – f(x0)
hh → 0
zum
rechnerischen Differenzieren
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Die h-Methode
Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen
Das können wir bereits!
Oder nicht?
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Können wir!
3
4
64
m =4 - 36 - 4
Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen.
4 - 3
6 - 4m = 0,5
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Das war einfach!Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen?
x0 x
f(x0)
f(x)
m =f(x) – f(x0)
x - x0
Differenzenquotient
Wir wollen die Steigung im Punkt (x0/f(x0)) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.
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War das schon alles?
Natürlich nicht !
Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aberdie Steigung der Funktion im Punkt (x0/f(x0)), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte.
Was nun?
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Ein Trick muss her!Würden die zwei Punkte näher zusammen liegen,
so wäre das Ergebnis auch genauer.
x0 x0+h
f(x0)
f(x0+h)
Der Hilfspunkt liegt nun um h weiter als der Punkt, in dem wir die Steigung suchen.Wäre h nun sehr sehr klein, so müsste das Ergebnis auch ganz gut sein.
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Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus:
m =f(x0+h) – f(x0)
x0+h - x0
Wie soll mir das jetzt weiterhelfen???
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Ein Beispiel muss her! Zahlen!
m = (2+h)2 - 4
m =f(x0+h) – f(x0)
h
2 + h - 2 =
4 + 4h + h2 - 4
h =
h2 + 4h h
= h (h + 4)
h + 4 h
=
Wir suchen die Steigung der Funktion f(x) = x2
an der Stelle x0 = 2.Wir brauchen nun wieder einen Hilfspunkt, der um „h“ weiter liegt.Die beiden Punkte lauten dann also (2/4) und (2+h/f(2+h))Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los...
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Klasse!Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4.
Aber Moment mal....
Was sollen wir denn mit dem h anfangen?
Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet?
Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!
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Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammenliegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird.
Wenn der zweite Punkt um „h“ entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein)
lim (h + 4) =h->0
4
Die Steigung der Funktion f(x) = x2 an der Stelle x0=2 beträgt also 4.
Das machen wir jetzt!
Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0.Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wirhaben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet.
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Wie ging das noch mal ?1. Ich berechne den Differen-
zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes,
dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x0
den Abstand „h“ hat.
2. Ich bilde den Grenzwertfür h gegen 0 und erhalte die Ableitung (=Steigung)an der Stelle x0
m =f(x0+h) – f(x0)
h
f‘(x0) = limf(x0+h) – f(x0)
hh → 0
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m =f(x) – f(x0)
x – x0
Der Differenzenquotient und die Ableitung:
oder m =f(x0 + h) – f(x0)
x0 + h - x0
m =f(x0 + h) – f(x0)
h
Die Ableitung f‘(xo) von f(x) an der Stelle x0 ist also:
f‘(x0) = limf(x0 + h) – f(x0)
hh → 0
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Die drei Fragen:
1. Wie ist der Differenzenquotient definiert?
2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0?3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 berechnet werden?
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Aufgaben
Stunden I II
Basics S. 156
Aufg. 21
S.155 Bsp. C +
Aufg. 17
TopsErmittle die Steigung von f(x) an
der Stelle a mithilfe der h-Methode:
f(x)=2x-x4 für a=0
f(x)=-6/x für a=2
S. 155
Aufg. 19
Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mithilfe der h-Methode
für a=4
2)( xxf