1
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
klasa 2. Wstp Plan wynikowy ksztacenia matematycznego jest
dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach
zakres podstawowy, autorstwa Marcina Kurczaba, Elbiety Kurczab i
Elbiety widy, zamieszczonego na stronie internetowej
www.pazdro.com.pl wiosn 2012 roku. Jest on przeznaczony dla
nauczycieli oraz uczniw pracujcych z podrcznikiem Matematyka.
Podrcznik do licew i technikw. Zakres podstawowy numer ewidencyjny
w wykazie podrcznikw: 412/2/2012 oraz zbiorami zada do matematyki,
autorstwa Elbiety Kurczab, Marcina Kurczaba i Elbiety widy,
wydanymi przez Oficyn Edukacyjn * Krzysztof Pazdro. Plan jest
wykazem wiadomoci i umiejtnoci, jakie powinien mie ucze ubiegajcy
si o okrelone oceny na poszczeglnych etapach edukacji w liceum lub
w technikum.
Wymagania stawiane przed uczniem podzielilimy na trzy grupy:
Wymagania podstawowe (zawieraj wymagania konieczne); Wymagania
dopeniajce (zawieraj wymagania rozszerzajce); Wymagania
wykraczajce. Wymagania wykraczajce zawieraj w sobie wymagania
dopeniajce, te za zawieraj wymagania podstawowe.
Ocen dopuszczajc powinien otrzyma ucze, ktry opanowa wiedz i
zdoby umiejtnoci stanowice 4060% wymaga podstawowych, za ocen
dostateczn ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci stanowice
powyej 60% wymaga podstawowych.
Ocen dobr powinien otrzyma ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby
umiejtnoci stanowice do 75% wymaga dopeniajcych, za ocen bardzo
dobr ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby umiejtnoci stanowice powyej
75% wymaga dopeniajcych.
Ocen celujc powinien uzyska ucze, ktry opanowa wiedz i zdoby
umiejtnoci zawarte w wymaganiach wykraczajcych.
2
Aby uatwi nauczycielom, uczniom i ich rodzicom korzystanie z
planu wynikowego, dla poszczeglnych wymaga przedstawiamy przykadowe
zadania, ktre dokadniej okrelaj stopie trudnoci problemw wymaganych
na poszczeglne oceny. Przedstawione zadania nie mog w adnym wypadku
stanowi przykadowego zbioru zada, z ktrego nauczyciel powinien
czerpa zadania na ewentualny egzamin sprawdzajcy, lecz maj jedynie
wskaza stopie trudnoci zada na poszczeglne oceny.
Plan wynikowy nie moe by dokumentem sztywnym. Zakadamy, e kady
nauczyciel zmodyfikuje ten plan, dostosowujc go zarwno do liczby
godzin przeznaczonych na realizacj materiau, jak i do moliwoci
uczniw.
Nauczycieli, ktrzy bd korzysta z przygotowanego przez nas planu
wynikowego, prosimy o wskazwki i uwagi.
Autorzy
3
Spis treci
1. Funkcja liniowa 4 2. Funkcja kwadratowa 10 3. Geometria paska
czworokty 15 4. Geometria paska pole czworokta 18 5. Wielomiany 20
6. Uamki algebraiczne. Rwnania wymierne 23 7. Cigi 27
4
1. Funkcja liniowa
Tematyka zaj:
Proporcjonalno prosta
Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej
Miejsce zerowe funkcji liniowej. Wasnoci funkcji liniowej
Znaczenie wspczynnikw we wzorze funkcji liniowej
Rwnolego i prostopado wykresw funkcji liniowych o wspczynnikach
kierunkowych rnych od zera
Zastosowanie wiadomoci o funkcji liniowej w zadaniach z ycia
codziennego
Rwnania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Ukady rwna pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Zastosowanie ukadw rwna liniowych do rozwizywania zada
tekstowych
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
Ucze: wie, jak zaleno midzy dwiema
wielkociami zmiennymi nazywamy proporcjonalnoci prost; potrafi
wskaza wspczynnik proporcjonalnoci; rozwizuje zadania tekstowe z
zastosowaniem proporcjonalnoci prostej;
zna pojcie funkcji liniowej;
potrafi interpretowa wspczynniki we wzorze funkcji liniowej;
potrafi sporzdzi wykres funkcji liniowej danej wzorem;
potrafi na podstawie wykresu funkcji liniowej (wzoru funkcji)
okreli monotoniczno funkcji;
potrafi wyznaczy algebraicznie i graficznie zbir
Ucze: potrafi przeprowadzi dowd warunku na
prostopado wykresw funkcji liniowych o wspczynnikach rnych od
zera;
potrafi rozwizywa zadania z wartoci bezwzgldn i parametrem
dotyczce wasnoci funkcji liniowej (o rednim stopniu trudnoci);
potrafi naszkicowa wykres funkcji kawakami liniowej i na jego
podstawie omwi wasnoci danej funkcji;
potrafi wyznaczy algebraicznie miejsca zerowe funkcji kawakami
liniowej oraz wsprzdne punktu wsplnego wykresu funkcji i osi
OY;
potrafi wyznaczy algebraicznie zbir tych argumentw, dla ktrych
funkcja kawakami
Ucze rozwizuje zadania nietypowe,
o podwyszonym stopniu trudnoci.
5
tych argumentw, dla ktrych funkcja liniowa przyjmuje wartoci
dodatnie (ujemne, niedodatnie, nieujemne);
potrafi sprawdzi algebraicznie, czy punkt o danych wsprzdnych
naley do wykresu funkcji liniowej;
potrafi poda wasnoci funkcji liniowej na podstawie wykresu tej
funkcji;
wie, e wspczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji y = ax + b,
oznacza tangens kta nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi
OX;
wie, e wspczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji liniowej y = ax
+ b wyraa si wzorem
12
12
xx
yya
, gdzie A(x1, y1), B(x2, y2) s punktami
nalecymi do wykresu tej funkcji;
potrafi znale wzr funkcji liniowej o zadanych wasnociach (np.
takiej, ktrej wykres przechodzi przez dwa dane punkty; jest
nachylony do osi OX pod danym ktem i przechodzi przez dany punkt
itp.);
potrafi napisa wzr funkcji liniowej na podstawie informacji o
jej wykresie;
potrafi napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy
do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o danych
wsprzdnych;
potrafi napisa wzr funkcji liniowej, ktrej wykres jest
prostopady do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez
punkt
liniowa przyjmuje wartoci dodatnie (ujemne);
potrafi obliczy warto funkcji kawakami liniowej dla podanego
argumentu;
potrafi rozwizywa rwnania i nierwnoci liniowe z wartoci
bezwzgldn (o rednim stopniu trudnoci) i interpretowa je
graficznie;
potrafi przeprowadzi dyskusj liczby rozwiza rwnania liniowego z
parametrem;
potrafi wyznaczy wszystkie wartoci parametru, dla ktrych zbiorem
rozwiza nierwnoci liniowej z parametrem jest podany zbir.
6
o danych wsprzdnych;
na podstawie wzorw dwch funkcji liniowych potrafi okreli
wzajemne pooenie ich wykresw;
potrafi rozwizywa proste zadania z parametrem dotyczce wasnoci
funkcji liniowej:
potrafi stosowa wiadomoci o funkcji liniowej do opisu zjawisk z
ycia codziennego (poda opis matematyczny zjawiska w postaci wzoru
funkcji liniowej, odczyta informacje z wykresu (wzoru),
zinterpretowa je, przeanalizowa i przetworzy);
potrafi rozwiza rwnanie liniowe z jedn niewiadom;
potrafi rozwiza nierwno liniow z jedn niewiadom i przedstawi jej
zbir rozwiza na osi liczbowej;
potrafi rozwiza ukad nierwnoci liniowych z jedn niewiadom;
potrafi interpretowa graficznie rwnania i nierwnoci liniowe z
jedn niewiadom;
potrafi rozwizywa algebraicznie proste rwnania i nierwnoci
liniowe z wartoci bezwzgldn i interpretowa je graficznie np.: |x
2|= 3, |x + 4|> 2;
zna pojcia rwnania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;
wie, e wykresem rwnania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
jest prosta;
7
zna pojcie ukadu dwch rwna pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi;
potrafi rozpozna ukad oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i umie
poda ich interpretacj geometryczn;
potrafi rozwizywa algebraicznie (metod przez podstawienie oraz
metod przeciwnych wspczynnikw) ukady dwch rwna pierwszego stopnia z
dwiema niewiadomymi;
potrafi graficznie rozwiza ukady dwch rwna pierwszego stopnia z
dwiema niewiadomymi.
Przykadowe zadania
Zadanie 1.
Napisz wzr funkcji liniowej do wykresu, ktrej
nale punkty A(1, 4) i B(10, 26). Naszkicuj
wykres tej funkcji i omw jej wasnoci
Zadanie 2.
a) Napisz wzr funkcji liniowej f, wiedzc, e jej
wykres przechodzi przez punkt A( 3 , 2)
i jest nachylony do osi OX pod ktem 60.
b) Napisz wzr funkcji liniowej g, ktrej miejscem
zerowym jest liczba 4 i ktrej wykres jest
prostopady do wykresu funkcji f.
Zadanie 1.
Naszkicuj wykres funkcji
f(x) =
,1 dla 2
1 ,1 dla
1 , dla 2
xx
xx
xx
.
a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f oraz
wsprzdne punktu wsplnego wykresu
funkcji f i osi OY.
b) Wyznacz algebraicznie zbir tych argumentw,
dla ktrych funkcja f przyjmuje wartoci
nieujemne.
c) Oblicz warto funkcji f dla argumentu 6.
Zadanie 1. Wyznacz wzr funkcji liniowej f, ktra
dla kadego x R spenia warunek: f(2x 1) = 6x + 4. Zadanie 2.
Funkcj y = sgn(a) (co oznacza: znak liczby a), definiujemy
nastpujco:
sgn(a) =
0 dla 1
0 dla 0
0 dla 1
a
a
a
Na podstawie powyszej definicji naszkicuj wykres funkcji: f(x) =
2sgn(3x + 1) + 5.
8
Zadanie 3.
Funkcj liniow g opisuje wzr
g(x) = 3x + 4 + 2m. Wyznacz wartoci parametru
m, dla ktrych miejscem zerowym funkcji g jest
liczba mniejsza od 9.
Zadanie 4.
Waciciel sklepu z farbami zaopatruje si
w odlegej o 120 km fabryce farb i lakierw lub
w pooonej 10 km od sklepu hurtowni.
W hurtowni za puszk farby sklepikarz paci 26 z,
za w fabryce taka sama puszka farby jest o 20%
tasza. Sklepikarz przywozi towar wasnym
samochodem, ktry pali rednio 8 litrw benzyny
na 100 km. Litr benzyny kosztuje 5z. Napisz wzr
funkcji, ktra opisuje cakowity koszt zakupu farb,
wraz z kosztami transportu, w przypadku
zakupw w hurtowni (y = h(x)), jak i w fabryce
(y = f(x)), gdzie x oznacza liczb puszek farby.
Zadanie 5.
Rozwi nierwno: 5 x > 4x 1.
Zadanie 6.
Przed 10 laty ojciec by dziesi razy starszy od
syna. Za 11 lat bd mie razem 75 lat. Ile lat ma
d) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x) i na jego
podstawie naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x);
omw wasnoci funkcji y = g(x).
Zadanie 2.
Wyznacz zbir tych wartoci parametru m, dla
ktrych funkcja liniowa
f(x) = (|m 3| 5)x m + 10
jest rosnca i jednoczenie wykres tej funkcji
przecina o OY powyej punktu (0, 8).
Zadanie 3.
Wyznacz wszystkie wartoci parametru k, dla
ktrych zbiorem rozwiza nierwnoci liniowej
(4 k2)x + 1 + k > 0 jest zbir wszystkich liczb
rzeczywistych.
9
obecnie kady z nich?
Zadanie 7.
Rozwi algebraicznie i graficznie ukad rwna
3x + y = 6 i 5x + 2y = 8.
10
2. Funkcja kwadratowa
Tematyka zaj:
Wasnoci funkcji kwadratowej y = ax2
Wzr funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej
Zwizek midzy wzorem funkcji kwadratowej w postaci oglnej a
wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzr funkcji kwadratowej w
postaci iloczynowej
Szkicowanie wykresw funkcji kwadratowych. Odczytywanie wasnoci
funkcji kwadratowej na podstawie wykresu
Najmniejsza oraz najwiksza warto funkcji kwadratowej w
przedziale domknitym
Badanie funkcji kwadratowej zadania optymalizacyjne
Rwnania kwadratowe
Nierwnoci kwadratowe
Zadania tekstowe prowadzce do rwna i nierwnoci kwadratowych
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
Ucze: potrafi naszkicowa wykres funkcji kwadratowej
okrelonej wzorem y = ax2, gdzie a 0, oraz omwi jej wasnoci na
podstawie wykresu;
zna wzr funkcji kwadratowej w postaci oglnej
y = ax2 + bx + c, gdzie a 0; zna wzr funkcji kwadratowej w
postaci
kanonicznej y = a (x p)2 + q, gdzie a 0; zna wzr funkcji
kwadratowej w postaci
iloczynowej y = a (x x 1 )(x x 2 ), gdzie a 0;
zna wzory pozwalajce obliczy: wyrnik
Ucze: potrafi rozwizywa rwnania, ktre mona
sprowadzi do rwna kwadratowych;
potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do rwna i nierwnoci
kwadratowych z jedn niewiadom (w tym zadania geometryczne);
potrafi zastosowa wasnoci funkcji kwadratowej do rozwizywania
zada optymalizacyjnych;
potrafi rozwizywa zadania z parametrem,
Ucze potrafi wyprowadzi wzory na
miejsca zerowe funkcji kwadratowej;
potrafi wyprowadzi wzory na wsprzdne wierzchoka paraboli;
potrafi rozwizywa rne problemy dotyczce funkcji kwadratowej,
ktre wymagaj niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych
pomysw.
11
funkcji kwadratowej, wsprzdne wierzchoka paraboli, miejsca
zerowe funkcji kwadratowej (o ile istniej);
potrafi obliczy miejsca zerowe funkcji kwadratowej lub uzasadni,
e funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych;
potrafi obliczy wsprzdne wierzchoka paraboli na podstawie
poznanego wzoru oraz na podstawie znajomoci miejsc zerowych funkcji
kwadratowej;
potrafi sprawnie zamienia jedn posta wzoru funkcji kwadratowej
na drug (wzr funkcji w postaci oglnej, kanonicznej,
iloczynowej);
interpretuje wspczynniki wystpujce we wzorze funkcji kwadratowej
(wzr funkcji w postaci oglnej, kanonicznej, iloczynowej);
potrafi poda niektre wasnoci funkcji kwadratowej (bez
szkicowania jej wykresu) na podstawie wzoru funkcji w postaci
kanonicznej (przedziay monotonicznoci funkcji, rwnanie osi symetrii
paraboli, zbir wartoci funkcji) oraz na podstawie wzoru funkcji w
postaci iloczynowej (miejsca zerowe funkcji, zbir argumentw, dla
ktrych funkcja przyjmuje wartoci dodatnie lub ujemne);
potrafi naszkicowa wykres dowolnej funkcji kwadratowej,
korzystajc z jej wzoru;
potrafi na podstawie wykresu funkcji kwadratowej omwi jej
wasnoci;
potrafi napisa wzr funkcji kwadratowej na
o rednim stopniu trudnoci, dotyczce wasnoci funkcji
kwadratowej;
potrafi rozwizywa zadania na dowodzenie dotyczce wasnoci funkcji
kwadratowej.
12
podstawie informacji o jej wykresie;
potrafi napisa wzr funkcji kwadratowej o zadanych
wasnociach;
potrafi przeksztaci wykres funkcji kwadratowej (symetria wzgldem
osi OX, symetria wzgldem osi OY, symetria wzgldem punktu O(0, 0),
przesunicie rwnolege o wektor) oraz napisa wzr funkcji, ktrej
wykres otrzymano w danym przeksztaceniu;
potrafi wyznaczy najmniejsz oraz najwiksz warto funkcji
kwadratowej w danym przedziale domknitym;
potrafi algebraicznie rozwizywa rwnania i nierwnoci kwadratowe z
jedn niewiadom;
potrafi graficznie rozwizywa rwnania i nierwnoci kwadratowe z
jedn niewiadom;
potrafi rozwizywa proste zadania prowadzce do rwna i nierwnoci
kwadratowych z jedn niewiadom;
potrafi rozwizywa proste zadania z parametrem dotyczce wasnoci
funkcji kwadratowej;
potrafi przeanalizowa zjawisko z ycia codziennego, opisane
wzorem (wykresem) funkcji kwadratowej.
Przykadowe zadania
Zadanie 1. Dana jest funkcja kwadratowa w postaci
iloczynowej f(x) = 2(x 3)(x + 2), x R.
Zadanie 1.
Rozwi rwnanie 8 01733 2 xx
Zadanie 1. Wiadomo, e miejscami zerowymi funkcji f(x) = 3x2 + bx
+ 15 s liczby
13
a) Napisz wzr funkcji f w postaci kanonicznej oraz oglnej.
b) Naszkicuj wykres funkcji f. c) Okrel zbir wartoci funkcji f,
przedziay
monotonicznoci oraz zbir tych argumentw, dla ktrych funkcja f
przyjmuje wartoci niedodatnie.
Zadanie 2. Dana jest funkcja kwadratowa okrelona wzorem
f(x) = 84
1 2 xx , x R.
a) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. b) Rozwi nierwno f(x) >
8. c) Wyznacz najwiksz oraz najmniejsz warto
funkcji f w przedziale 1, 3. Zadanie 3. Napisz wzr funkcji
kwadratowej, jeli wiadomo, e do jej wykresu naley punkt A(1, 3) i
dla argumentu 2 funkcja przyjmuje sw najwiksz warto rwn 4. Zadanie
4. Liczb osb zwiedzajcych wystaw n-tego dnia od momentu jej
otwarcia opisuje wzr:
W(n) = 4n2 + 48n 24, gdzie n {1, 2, ..., 11}. Odpowiedz na
pytania: a) W ktrym dniu wystaw odwiedzio najwicej
osb?
Zadanie 2. Wyznacz wszystkie wartoci parametru m
(m R), przy ktrych funkcja okrelona wzorem
f(x) = (m 1)x2 + 2 x + m jest funkcj kwadratow i przyjmuje
wartoci
dodatnie, dla kadego x R. Zadanie 3. Suma cyfr liczby
trzycyfrowej wynosi 8, za suma kwadratw jej cyfr jest rwna 30. Jeli
w liczbie zamienimy cyfry skrajne, to otrzymana liczba bdzie o 396
wiksza od pocztkowej. Znajd t liczb. Zadanie 4. Wyka, e funkcja
kwadratowa f okrelona wzorem f(x) = ax2 + (a + c)x + c, gdzie a i c
s
dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a 0, ma co najmniej jedno
miejsce zerowe. Zadanie 5. Firma zajmujca si wynajmem lokali ma do
dyspozycji 180 pomieszcze uytkowych. Wszystkie pomieszczenia s
zajte wwczas, gdy koszt wynajmu lokalu za jeden miesic wynosi 1200
z. Firma oszacowaa, e kada kolejna podwyka czynszu o 40 z zmniejsza
o 5 liczb wynajmowanych pomieszcze. a) Zapisz wzorem przychd firmy
w zalenoci od
cakowite. Oblicz b.
14
b) Ile osb odwiedzio wystaw podczas jej trwania?
Zadanie 5.
Naszkicuj wykres funkcji y = 2x2, x R,
a nastpnie przesu go o wektor u = [4, 2]; otrzymany wykres
przekszta przez symetri wzgldem punktu (0, 0). Napisz wzr funkcji,
ktrej wykres otrzymae. Omw wasnoci otrzymanej funkcji. Zadanie
6.
Dana jest funkcja f(x) = 32
1 2 bxx , x R.
a) Wyznacz b tak, aby najmniejsza warto funkcji wynosia (4).
b) Wyznacz b tak, aby najwikszy zbir, w ktrym funkcja jest
malejca, by rwny przedziaowi
(, 6. c) Wyznacz b tak, aby wierzchoek paraboli, ktra
jest wykresem tej funkcji, nalea do prostej o rwnaniu y =
2x.
liczby podwyek czynszu, z ktrych kada wyniosa 40 z.
b) Jaki miesiczny koszt wynajmu powinna ustali firma, aby jej
przychd by maksymalny? Ile wynosi maksymalny przychd?
15
3. Geometria paska czworokty
Tematyka zaj:
Podzia czworoktw. Trapezoidy
Trapezy
Rwnolegoboki
Wielokty podstawowe wasnoci
Podobiestwo. Figury podobne
Podobiestwo czworoktw
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
Ucze:
zna podzia czworoktw;
potrafi wyrni wrd trapezw: trapezy prostoktne i trapezy
rwnoramienne; poprawnie posuguje si takimi okreleniami, jak:
podstawa, rami, wysoko trapezu;
wie, e suma ktw przy kadym ramieniu
trapezu jest rwna 180 i umie t wasno wykorzysta w rozwizywaniu
prostych zada;
zna twierdzenie o odcinku czcym rodki ramion trapezu i umie
zastosowa je w rozwizywaniu prostych zada;
potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce wasnoci trapezw;
zna podstawowe wasnoci rwnolegobokw i umie je stosowa w
rozwizywaniu prostych zada;
wie, jakie wasnoci ma romb;
Ucze:
umie na podstawie wasnoci czworokta podanych w zadaniu
wywnioskowa, jaki to jest czworokt;
umie udowodni twierdzenie o odcinku czcym rodki ramion
trapezu;
potrafi rozwizywa zadania o rednim stopniu trudnoci dotyczce
czworoktw, w tym trapezw i rwnolegobokw;
potrafi uzasadni, e suma miar ktw zewntrznych wielokta wypukego
jest staa
i wynosi 720.
Ucze:
potrafi rozwizywa nietypowe zadania o podwyszonym stopniu
trudnoci dotyczce czworoktw.
16
zna wasnoci prostokta i kwadratu;
wie, co to s trapezoidy, potrafi poda przykady takich figur;
wie, czym charakteryzuje si deltoid;
rozwizujc zadania dotyczce czworoktw, korzysta z wczeniej
poznanych twierdze, takich jak twierdzenie Pitagorasa oraz
twierdzenie Talesa, wykorzystuje wiedz na temat trjktw, stosuje
rwnie wiadomoci z trygonometrii;
zna i potrafi stosowa wzr na liczb przektnych wielokta
wypukego;
zna i potrafi stosowa w zadaniach wzr na sum miar ktw
wewntrznych wielokta wypukego;
wie, co to jest kt zewntrzny wielokta wypukego i ile wynosi suma
miar wszystkich ktw zewntrznych wielokta wypukego;
wie, jaki wielokt jest wieloktem foremnym;
zna i rozumie definicj podobiestwa;
potrafi wskaza figury podobne;
potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce podobiestwa
czworoktw.
Przykadowe zadania
Zadanie 1. Rnica miar ktw przeciwlegych trapezu
rwnoramiennego wynosi 20. Oblicz miary ktw trapezu.
Zadanie 1. Udowodnij, e w dowolnym czworokcie odcinki czce rodki
przeciwlegych bokw dziel si w punkcie przecicia na poowy
Zadanie 1. Uzasadnij, e odcinek czcy rodki przektnych dowolnego
trapezu jest rwnolegy do podstaw i jego dugo jest rwna poowie rnicy
dugoci podstaw.
17
Zadanie 2. Z kawaka materiau w ksztacie trapezu prostoktnego o
podstawach dugoci 1,2 m i 0,4 m oraz wysokoci 1,5 m wycito
chorgiewk w ksztacie trjkta rwnoramiennego, ktrego podstaw jest
dusze rami trapezu, a jeden z wierzchokw naley do krtszego ramienia
trapezu. a) Wyznacz dugoci odcinkw, na jakie ten
wierzchoek podzieli krtsze rami trapezu. b) Oblicz dugoci bokw
chorgiewki. Wyniki podaj z dokadnoci do 0,01 m. Zadanie 3. Skwer ma
ksztat rombu o boku majcym dugo 65 m. Wzdu przektnych rombu biegn
alejki spacerowe, z ktrych jedna jest o 70 m dusza od drugiej.
Oblicz dugo tych alejek. Zadanie 4. W jakim wielokcie wypukym
liczba przektnych jest 5 razy wiksza od liczby wierzchokw?
Zadanie 2. W czworokcie ABCD poczono rodki bokw i otrzymano
prostokt. Czy mona twierdzi, e ABCD jest rombem? Odpowied
uzasadnij. Zadanie 3. Wyka, e: a) jeli przektne prostokta zawieraj
si
w dwusiecznych jego ktw, to prostokt jest kwadratem
b) jeli przektne rombu maj rwn dugo, to romb jest kwadratem.
18
4. Geometria paska pole czworokta
Tematyka zaj:
Pole prostokta. Pole kwadratu
Pole rwnolegoboku. Pole rombu
Pole trapezu
Pole czworokta zadania rne
Pola figur podobnych
Mapa. Skala mapy
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
zna wzory na pola czworoktw, takich jak: kwadrat, prostokt,
romb, rwnolegobok oraz trapez i potrafi je stosowa w prostych
zadaniach, korzystajc z wczeniej zdobytej wiedzy (w tym take z
trygonometrii);
zna i potrafi stosowa w prostych zadaniach zaleno midzy skal
podobiestwa czworoktw a polami tych czworoktw;
potrafi rozwizywa proste zadania z zastosowaniem skali mapy.
wie, jak obliczy pole czworokta, jeli dane s dugoci jego
przektnych i miara kta, pod jakim przecinaj si te przektne;
potrafi rozwizywa zadania dotyczce pl czworoktw o rednim stopniu
trudnoci.
potrafi rozwizywa zadania o podwyszonym stopniu trudnoci
dotyczce pl czworoktw.
Przykadowe zadania
Zadanie 1. Wysokoci rwnolegoboku pozostaj w stosunku 3 : 5, a
jeden bok jest o 6 cm duszy od drugiego. a) oblicz obwd
rwnolegoboku;
Zadanie 1. Rnica pl dwch kwadratw jest rwna 27. Oblicz dugo bokw
kwadratw, wiedzc, e s one liczbami naturalnymi.
Zadanie 1. Pola trjktw, ktrych podstawami s podstawy trapezu, a
wsplnym wierzchokiem jest punkt przecicia
19
b) wiedzc dodatkowo, e sinus kta ostrego
rwnolegoboku jest rwny3
5, oblicz pole
rwnolegoboku i jego wysokoci. Zadanie 2. Pole trapezu jest rwne
21 cm2, a wysoko jest rwna 7 cm. Oblicz dugoci podstaw trapezu,
jeli jedna z nich jest o 3 cm dusza od drugiej. Zadanie 3. Pole
kwadratu A1B1C1D1 jest o 69% wiksze od pola kwadratu ABCD. Oblicz
skal podobiestwa tych kwadratw.
Zadanie 2. Oblicz pole rwnolegoboku, ktrego przektne dugoci 13
cm i 8 cm przecinaj si pod ktem
120. Zadanie 3. Przektne rombu maj dugo 10 cm i 24 cm. Oblicz
sinus kta ostrego tego rombu i na tej podstawie ustal, czy kt ostry
rombu ma miar
wiksz od 45, czy mniejsz.
si przektnych tego trapezu, wynosz P1 i P2. Oblicz pole
trapezu.
20
5. Wielomiany
Tematyka zaj:
Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej
Dodawanie, odejmowanie i mnoenie wielomianw
Rozkadanie wielomianw na czynniki
Rwnania wielomianowe
Zadania prowadzce do rwna wielomianowych
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
Ucze:
zna pojcie jednomianu jednej zmiennej i potrafi okreli stopie
tego jednomianu;
potrafi wskaza jednomiany podobne;
potrafi rozpozna wielomian jednej zmiennej rzeczywistej;
potrafi uporzdkowa wielomian (malejco lub rosnco);
potrafi okreli stopie wielomianu jednej zmiennej;
potrafi obliczy warto wielomianu dla danej wartoci zmiennej;
potrafi wykona dodawanie, odejmowanie, mnoenie wielomianw;
potrafi sprawdzi, czy podana liczba jest pierwiastkiem
wielomianu;
potrafi rozoy wielomian na czynniki poprzez wyczanie wsplnego
czynnika poza nawias,
Ucze: potrafi rozwizywa rwnania wielomianowe,
ktre mona sprowadzi do rwna kwadratowych przez odpowiednie
podstawienie;
potrafi rozwizywa zadania o wielomianach o rednim stopniu
trudnoci;
potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do rwna
wielomianowych.
Ucze:
potrafi rozwizywa zadania dotyczce wielomianw wymagajce
niekonwencjonalnych metod lub pomysw, a take zadania o podwyszonym
stopniu trudnoci z zastosowaniem poznanej wiedzy.
21
zastosowanie wzorw skrconego mnoenia: (a b)2 = a2 2ab + b2, (a +
b)2 = a2 + 2ab + b2, (a b)(a + b) = a2 b2
oraz zastosowanie metody grupowania wyrazw;
potrafi rozwizywa rwnania wielomianowe, ktre wymagaj umiejtnoci
rozkadania wielomianw na czynniki wymienionych w poprzednim
punkcie;
potrafi rozwizywa proste zadania dotyczce wasnoci wielomianw, w
ktrych wystpuj parametry.
Przykadowe zadania
Zadanie 1.
Okrel stopie jednomianu F(x) = 3(x7)3 (x4)5. Zadanie 2. Oblicz
warto wielomianu W(x) = x2 2x dla
x = 12 . Zadanie 3. Dane s wielomiany: W(x) = 2x3 3x + 1 oraz
P(x) = 4x2 x + 5. Wykonaj dziaania: a) W(x) 2P(x); b) W(x) +
[P(x)]2.
Zadanie 1. Rozwi rwnania: a) 2x4 x2 1 = 0 b) 8x6 65x3 + 8 = 0.
Zadanie 2. Dany jest wielomian
W(x) = x3 + (2a3 6a2)x2 + 9a 28,
ktrego suma wspczynnikw wynosi zero.
a) Wyznacz a.
b) Dla znalezionej wartoci a rozwi rwnanie
W(x) = 0.
Zadanie 1. Roz na czynniki wyraenie (ab + ac + bc)(a + b + c)
abc. Zadanie 2. Roz na czynniki, moliwie najniszego stopnia,
wielomian W(x) = 9x4 + 9.
22
Zadanie 4. a) Roz wielomian
W(x) = 2x 3 + 8x x2 + 4 na czynniki liniowe.
b) Wypisz pierwiastki tego wielomianu. Zadanie 5. Dany jest
wielomian W(x) = 3x3 2x2 + kx. a) Wyznacz k tak, aby pierwiastkiem
tego
wielomianu bya liczba 1. b) Dla wyznaczonej wartoci k wyznacz
pozostae
pierwiastki tego wielomianu. Zadanie 6. Rozwi rwnanie (2x 3)(x2
1) = (5x + 6)(x2 1).
Zadanie 3. Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o
65 wikszy od rnicy kwadratw liczby najwikszej i najmniejszej. Znajd
te liczby.
23
6. Uamki algebraiczne. Rwnania wymierne
Tematyka zaj:
Uamek algebraiczny. Skracanie i rozszerzanie uamkw
algebraicznych
Dodawanie i odejmowanie uamkw algebraicznych
Mnoenie i dzielenie uamkw algebraicznych
Proste rwnania wymierne
Zadania tekstowe prowadzce do rwna wymiernych
Wykres i wasnoci funkcji y =x
a
Proporcjonalno odwrotna
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
Ucze:
potrafi okreli dziedzin uamka algebraicznego;
potrafi napisa uamek algebraiczny o zadanej dziedzinie;
potrafi wykonywa dziaania na uamkach algebraicznych, takie jak:
skracanie uamkw, rozszerzanie uamkw, dodawanie, odejmowanie,
mnoenie i dzielenie uamkw algebraicznych;
potrafi rozwizywa proste rwnania wymierne;
potrafi narysowa wykres funkcji f(x) = x
a,
gdzie a R {0}, x R {0};
Ucze:
zna definicj funkcji homograficznej
f(x) = qpx
a
, gdzie a 0
potrafi przeksztaci wzr funkcji f(x) = cx
bax
,
gdzie x c, tak by znany by wzr funkcji
y = x
a i wsprzdne wektora przesunicia
rwnolegego;
potrafi narysowa wykres funkcji f(x) = cx
bax
,
gdzie x c;
potrafi opisa wasnoci funkcji homograficznej
Ucze: potrafi rozwizywa zadania
o podwyszonym stopniu trudnoci dotyczce wyrae wymiernych.
24
potrafi opisa wasnoci funkcji f(x) = x
a,
a R {0}, x R {0};
wie, jak zaleno pomidzy dwiema wielkociami zmiennymi nazywamy
proporcjonalnoci odwrotn;
potrafi wskaza wspczynnik proporcjonalnoci odwrotnej;
potrafi rozwizywa proste zadania tekstowe z zastosowaniem
wiadomoci o proporcjonalnoci odwrotnej.
f(x) = cx
bax
, gdzie x c, na podstawie jej
wykresu;
potrafi obliczy miejsce zerowe funkcji homograficznej oraz
wsprzdne punktu, w ktrym wykres przecina o OY;
potrafi wyznaczy przedziay monotonicznoci funkcji
homograficznej;
potrafi rozwizywa rwnania i nierwnoci zwizane z funkcj
homograficzn;
potrafi przeksztaci wykres funkcji homograficznej w symetrii
wzgldem osi OX, symetrii wzgldem osi OY, symetrii wzgldem punktu
(0, 0), w przesuniciu rwnolegym o dany wektor oraz napisa wzr
funkcji, ktrej wykres otrzymano w wyniku tego przeksztacenia;
potrafi rozwizywa zadania tekstowe prowadzce do rwna
wymiernych.
Przykadowe zadania
Zadanie 1. a) Wyznacz te wartoci x, dla ktrych podane
uamki algebraiczne maj sens liczbowy:
3
2
x
x,
12
12
2
xx
x,
824 23 xxx
x
b) Podaj przykad uamka algebraicznego, ktrego dziedzin jest zbir
R {2, 3, 7}.
Zadanie 1. Wykres funkcji homograficznej o wzorze
f(x) = 2
32
x
x otrzymamy w wyniku przesunicia
rwnolegego wykresu funkcji y = x
a o pewien
wektor.
Zadanie 1.
Z rwnania 11
1
1
1
xy
wyznacz y jako funkcj zmiennej x. Nastpnie naszkicuj wykres tej
funkcji i omw jej wasnoci.
25
Zadanie 2.
a) Skr uamki algebraiczne: 2
24
8
42
x
xx oraz
14
)4)(12(2
x
xx;
podaj konieczne zaoenia. b) Wykonaj dodawanie oraz odejmowanie
uamkw algebraicznych:
94
3
32
5oraz
4
32
2 2
xx
x
x
x
x
x;
podaj konieczne zaoenia. c) Wykonaj mnoenie oraz dzielenie
wyrae
wymiernych: xx
x
2
2
2
4
105
12
x
x oraz
16
442
2
x
xx :
82
2
x
x; podaj konieczne zaoenia.
Zadanie 3.
Dana jest funkcja o wzorze f(x) = x
2, gdzie
x R {0}. a) Naszkicuj wykres funkcji f i na jego podstawie
omw wasnoci funkcji. b) Dla jakiego argumentu warto funkcji f
wynosi
22? c) Wyznacz warto funkcji f dla argumentu 100. d) Sprawd, czy
do wykresu funkcji f naley punkt
a) Wyznacz wzr funkcji y = x
a oraz wsprzdne
wektora przesunicia. b) Oblicz miejsce zerowe funkcji f oraz
wsprzdne punktu, w ktrym wykres funkcji przecina o OY.
c) Naszkicuj wykres funkcji f. d) Podaj przedziay monotonicznoci
funkcji f.
Zadanie 3. Dwie sekretarki wykonay pewn prac w cigu 12 godzin.
Gdyby pierwsza wykonaa sama poow pracy, a nastpnie druga reszt, to
zuyaby na to 25 godzin. W cigu ilu godzin kada z sekretarek,
pracujc oddzielnie, moe wykona t prac? Zadanie 3. Rozwi
rwnania:
a) 6
10
23
22
xxx
x
x
x
b) 3x
1
9x6x
x2
.
26
o wsprzdnych
13,
13
2.
Zadanie 4.
Rozwi rwnanie 2
5
5
32
x
x
x
x.
Zadanie 5. Promie duego koa bicyklu ma dugo 54 cm, a promie
maego kka 20 cm. Oblicz, ile obrotw wykonao mae kko, jeli w tym
samym czasie due koo obrcio si 50 razy. Jak odlego pokona wtedy
bicykl?
27
7. Cigi
Tematyka zaj:
Okrelenie cigu. Sposoby opisywania cigw
Monotoniczno cigw
Cig arytmetyczny
Suma pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego
Cig geometryczny
Suma pocztkowych wyrazw cigu geometrycznego
Lokaty pienine i kredyty bankowe
Wymagania podstawowe Wymagania dopeniajce Wymagania
wykraczajce
Ucze:
zna definicj cigu (cigu liczbowego);
potrafi wyznaczy dowolny wyraz cigu liczbowego okrelonego wzorem
oglnym;
potrafi narysowa wykres cigu liczbowego okrelonego wzorem
oglnym;
potrafi poda wasnoci cigu liczbowego na podstawie jego
wykresu;
zna definicj cigu arytmetycznego;
zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na n-ty wyraz cigu
arytmetycznego;
zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na sum n kolejnych
pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego;
zna definicj cigu geometrycznego;
zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na n-ty wyraz cigu
geometrycznego;
Ucze: potrafi wypisa kilka kolejnych wyrazw cigu
danego wzorem rekurencyjnym; potrafi sprawdzi, ktre wyrazy cigu
nale do
danego przedziau;
potrafi zbada na podstawie definicji monotoniczno cigu
okrelonego wzorem oglnym;
potrafi zbada na podstawie definicji, czy dany cig okrelony
wzorem oglnym jest arytmetyczny;
potrafi zbada na podstawie definicji, czy dany cig okrelony
wzorem oglnym jest geometryczny;
potrafi wykorzysta redni arytmetyczn do obliczenia wyrazu
rodkowego cigu arytmetycznego;
potrafi wykorzysta redni geometryczn do
Ucze:
ucze potrafi rozwizywa zadania na dowodzenie dotyczce cigw i ich
wasnoci;
potrafi udowodni wzr na sum n kolejnych pocztkowych wyrazw cigu
arytmetycznego;
potrafi udowodni wzr na sum n kolejnych pocztkowych wyrazw cigu
geometrycznego.
28
zna i potrafi stosowa w rozwizywaniu zada wzr na sum n kolejnych
pocztkowych wyrazw cigu geometrycznego;
potrafi wyznaczy pierwszy wyraz i rnic cigu arytmetycznego na
podstawie informacji o innych wyrazach cigu;
potrafi znale wzr na wyraz oglny cigu arytmetycznego;
potrafi wyznaczy pierwszy wyraz i iloraz cigu geometrycznego na
podstawie informacji o wartociach innych wyrazw cigu;
potrafi znale wzr na wyraz oglny cigu geometrycznego;
potrafi rozwizywa zadania z ycia codziennego dotyczce cigu
arytmetycznego i geometrycznego;
potrafi stosowa procent prosty i skadany w zadaniach dotyczcych
oprocentowania lokat i kredytw.
obliczenia wyrazu rodkowego cigu geometrycznego;
potrafi rozwizywa rne zadania dotyczce cigu arytmetycznego lub
cigu geometrycznego, ktre wymagaj rozwizania ukadw rwna o
podwyszonym stopniu trudnoci;
potrafi rozwizywa zadania mieszane dotyczce cigu arytmetycznego
i geometrycznego.
Przykadowe zadania
Zadanie 1.
Dany jest cig o wyrazie oglnym an = 4 n
2.
a) Wypisz sze pocztkowych wyrazw cigu. b) Narysuj wykres tego
cigu. c) Czy cig jest cigiem rosncym? Odpowied
uzasadnij. d) Zbadaj, czy istnieje taki wyraz cigu, ktry
jest
Zadanie 1. Dla jakich x liczby 2x3 + 9x, x2 + x, 3x 4 s trzema
pocztkowymi wyrazami cigu arytmetycznego (an)? Dla znalezionej
wartoci x napisz wzr oglny cigu (an) i zbadaj na podstawie
definicji jego monotoniczno.
Zadanie 1. Udowodnij, e trzy liczby a, b, c tworzce cig
geometryczny speniaj warunek: (a + b + c)(a b + c) = a2 + b2 + c2.
Zadanie 2. Wyka, e jeli Sn, S2n, S3n oznaczaj
29
rwny 4
15.
Zadanie 2. Maszynistka miaa do przepisania ksik liczc 586 stron.
Przez pierwsze 3 dni przepisywaa po 14 stron dziennie. Aby jednak
przyspieszy przepisywanie caoci, postanowia, e czwartego dnia
przepisze o 2 strony wicej ni trzeciego i kadego nastpnego dnia
przepisze o 2 strony wicej ni poprzedniego. W cigu ilu dni
przepisaa ca ksik?
Zadanie 3. Pika, odbijajc si od ziemi, osigna za kadym
razem wysoko wynoszc 3
2 poprzedniej. Jak
wysoko wzniosa si pika po pierwszym uderzeniu, jeli po szstym
odbia si na wysoko 32 cm? Zadanie 4. Pan X umwi si z panem Y, e
bdzie mu wypaca codziennie przez trzy tygodnie pienidze, przy czym
pierwszego dnia 10 z, drugiego 20 z, trzeciego 30 z, czwartego 40 z
itd. W zamian pan Y wypaci mu pierwszego dnia 1 grosz, drugiego 2
grosze, trzeciego 4 grosze, czwartego 8 groszy itd. Ktry z panw
zyska na tej umowie i ile?
Zadanie 2. Za trzy ksiki, ktrych ceny tworz cig geometryczny,
zapacono 61 z. Za pierwsz i drug razem zapacono o 11 z wicej ni za
trzeci. Ile zapacono za trzeci ksik?
Zadanie 3. Trzy liczby, ktrych suma wynosi 15, tworz cig
arytmetyczny. Jeeli do pierwszej z nich dodamy 2, do drugiej 3, a
do trzeciej 8, to otrzymane liczby utworz cig geometryczny. Znajd
te liczby. Zadanie 4. Rozwi rwnanie: (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +
... + (x + 28) = 155, jeli wiadomo, e po lewej stronie rwnania
wystpuje suma wyrazw cigu arytmetycznego.
odpowiednio sum n, 2n, 3n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego
(an), to S3n = 3(S2n Sn).
30
Zadanie 5. Pan Kowalczyk wpaci 2500 z na cztery lata na lokat w
banku. Jak kwot bdzie mia na koncie po tym okresie, jeli
oprocentowanie lokaty wynosi 10% w skali roku, a odsetki
kapitalizuje si co 6 miesicy?