Plaisio Computers CDN - Μαθηματικά · 2016-07-27 · ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σ το ∆ημοτικό σχολείο ολοκληρώθηκε ο πρώτος κύκλος της

ΜαθηματικάΑ� ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

21-0027 book.indb 1 16/1/2013 9:35:48 μμ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΜΑΚΕΤΑΣ,

ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΑΛΛΑΓΩΝ ΒΑΣEI ΥΠΟΔΕΙΞEΩΝ

ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ,

ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ:

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΔΟΣΕΩΝ / Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ιωάννης Βανδουλάκης, Μαθηµατικός, διδάσκων µε σύµβαση εργασίας (Π.Δ. 407/80) στο Πανεπιστήµιο του Αιγαίου Χαράλαµπος Καλλιγάς, Μαθηµατικός - Πληροφορικός, Εκπαιδευτικός Ιδιωτικής Εκπαίδευσης Νικηφόρος Μαρκάκης, Μαθηµατικός, Εκπαιδευτικός Ιδιωτικής Εκπαίδευσης Σπύρος Φερεντίνος, Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ Χαράλαµπος Τσίτουρας, Αν. Καθηγητής ΑΤΕΙ - Χαλκίδας Γεώργιος Μπαραλός, Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Χαρίκλεια Κωνσταντακοπούλου, Μαθηµατικός, Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης

ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ Κλειώ Γκιζελή, Ζωγράφος Ιόλη Κυρούση, Γραφίστρια

ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαρβάρα Δερνελή, Φιλόλογος, Εκπαιδευτικός Β/θµιας Εκπαίδευσης

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Αθανάσιος Σκούρας, ΤΟΥ ΥΠΟΕΡΓΟΥ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ Σύµβουλος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

ΕΞΩΦΥΛΛΟ Μανώλης Χάρος, Ζωγράφος

ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Στη συγγραφή του πρώτου µέρους (1/3) έλαβε µέρος και η Θεοδώρα Αστέρη, Εκπαιδευτικός Α/θµιας Εκπαίδευσης

Γ� Κ.Π.Σ. / ΕΠΕΑΕΚ II / Ενέργεια 2.2.1. / Κατηγορία Πράξεων 2.2.1.α:«Αναµόρφωση των προγραµµάτων σπουδών και συγγραφή νέων εκπαιδευτικών πακέτων»

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Δηµήτριος Γ. Βλάχος Οµότιµος Καθηγητής του Α.Π.Θ. Πρόεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Πράξη µε τίτλο: «Συγγραφή νέων βιβλίων και παραγωγή υποστηρικτικού εκπαιδευτικού υλικού µε βάση το ΔΕΠΠΣ και τα ΑΠΣ για το Γυµνάσιο» Επιστηµονικός Υπεύθυνος Έργου Αντώνιος Σ. Μποµπέτσης Σύµβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναπληρωτές Επιστηµονικοί Υπεύθυνοι Έργου Γεώργιος Κ. Παληός Σύµβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Ιγνάτιος Ε. Χατζηευστρατίου Μόνιµος Πάρεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Έργο συγχρηµατοδοτούµενο 75% από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο και 25% από εθνικούς πόρους.

001-008 kik.indd 2 23/1/2013 5:40:51 μμ

ΜαθηματικάΑ� ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης

Σπύρος Φερεντίνος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

001-008 kik.indd 3 23/1/2013 5:40:52 μμ

21-0027 book.indb 4 16/1/2013 9:35:58 μμ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Σ το ∆ημοτικό σχολείο ολοκληρώθηκε ο πρώτος κύκλος της βασικής εκπαίδευσης. Στο Γυμνάσιο, θα στηριχτούμε στις γνώσεις που

αποκτήσαμε μέχρι τώρα, θα τις αξιοποιήσουμε και θα προσπαθήσουμε να τις αναπτύξουμε και να τις διευρύνουμε.

Στην πορεία αυτή, ίσως διαπιστώσουμε ότι οι γνώσεις που διαθέτουμε δεν επαρκούν πάντα. Πρέπει, λοιπόν, να συμπληρωθούν κατάλληλα και μετά να προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα, στο νέο προβληματισμό και τέλος στην καινούρια γνώση. Έτσι, με τη δική μας προσπάθεια και παράλληλα με τη βοήθεια και την καθοδήγηση του καθηγητή μας, θα καταφέρουμε, όλοι μαζί μέσα στην τάξη, να αναπτύξουμε τις δυνατότητές μας, προσθέτοντας, όχι μόνο γνώσεις αλλά και νέους τρόπους να τις αποκτούμε.

Τα Μαθηματικά τα γνωρίζουμε ως ένα σχολικό μάθημα. ∆εν πρέπει όμως να μείνουμε μόνο σ’ αυτό. Όσα περισσότερα Μαθηματικά ξέρουμε και χρησιμοποιούμε, τόσο καλύτερα ερμηνεύουμε τον κόσμο μας και τελικά τον κατανοούμε. Είναι ένας κώδικας απαραίτητος για την κατανόηση του κόσμου μας, που λειτουργεί όπως η “γλώσσα” προγραμματισμού στους υπολογιστές. Όσες περισσότερες “λέξεις” ξέρει κανείς από αυτή τη “γλώσσα”, δηλαδή τα Μαθηματικά, τόσο καλύτερα αξιοποιεί τις δυνατότητες του μυαλού του. Επίσης, τα Μαθηματικά δεν είναι απλά ένα εργαλείο για τη βελτίωση των ατομικών επιδόσεων, αλλά ένας βασικός μοχλός που βοηθάει την κοινωνική ανάπτυξη.

Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα βήμα προς τις κατευθύνσεις αυτές. Είναι γραμμένο σύμφωνα με το ∆ιαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (∆ΕΠΠΣ) και το νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών (ΑΠΣ) για τα Μαθηματικά του Γυμνασίου, καθώς και τις συγκεκριμένες προδιαγραφές και οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

Σημαντικό χαρακτηριστικό του βιβλίου αυτού είναι ότι η παρουσίαση της θεωρίας περιορίζεται συχνά, για να αφήσει στους μαθητές τη δυνατότητα να αναπτύξουν, με τη βοήθεια των καθηγητών τους, τη διαίσθηση, τη δοκιμή, την έρευνα και τέλος την αναγκαία σύνθεση.

21-0027 book.indb 5 16/1/2013 9:35:59 μμ

Οι δραστηριότητες που προτείνονται και προηγούνται της θεωρίας, έχουν στόχο να υπάρξει ο προβληματισμός και η αναζήτηση που θα μας οδηγήσει στην ανάγκη να αναπτύξουμε την κατάλληλη θεωρία. Έτσι, γίνεται φανερό ότι η θεωρία είναι αποτέλεσμα μιας συγκεκριμένης αναζήτησης και όχι αυτοσκοπός. Οδηγός σ’ αυτό το βηματισμό θα είναι και πάλι ο συνάδελφος καθηγητής του Γυμνασίου, που χωρίς τη δική του ουσιαστική συμβολή τίποτα δεν ολοκληρώνεται.

Πιστεύουμε ότι οι γονείς των μαθητών της Α� Γυμνασίου γνωρίζουν καλά, ότι σ’ αυτή την ηλικία το σημαντικότερο δεν είναι η συνεχής συσσώρευση γνώσεων – που φαίνονται ατελείωτες και συχνά μένουν στείρες – αλλά ο τρόπος που αποκτάται σε κάθε περίπτωση η απαραίτητη γνώση. Αν στον τρόπο αυτό προστεθεί και η μέθοδος εμπέδωσης και αξιοποίησής της, τότε αυτή η γνώση παίρνει διαστάσεις του πολύτιμου αγαθού και της κοινωνικής αξίας, που παραμένει ο τελικός στόχος κάθε εκπαιδευτικής διαδικασίας.

Στην εποχή μας, που όλα μεταβάλλονται ταχύτατα – και μαζί τους οι θεωρίες, οι απόψεις και οι θέσεις – κανείς δεν ισχυρίζεται ότι ένα σχολικό βιβλίο μπορεί να συνθέσει όλες τις απόψεις και να περιλάβει, στο σύνολό της, την εκπαιδευτική εμπειρία τόσων αιώνων.

Ως συγγραφείς του βιβλίου, θα είμαστε ευτυχείς αν οι συνάδελφοι καθηγητές, αλλά και όλοι οι ενδιαφερόμενοι, στείλουν στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο τις κρίσεις και τις παρατηρήσεις τους, ώστε να γίνει κατά το δυνατόν καλύτερο τούτο το βιβλίο. Το ποσοστό της “αλήθειας” που αυτό περιέχει θα διευρυνθεί όταν η προσπάθεια γίνει πιο συλλογική. Γι’ αυτή την “αλήθεια” που, όπως λέει ο Ελύτης:

“Αιώνες τώρα ρωτούν οι μάγοι μα οι αστέρες αποκρίνονται κατά προσέγγιση”.

Οι συγγραφείς

21-0027 book.indb 6 16/1/2013 9:35:59 μμ

ΠΕ ΙΕΧ ΜΕΝΑΜΕ Σ Α � Α ΙΘΜ ΤΙΚ Α ΓΕΒ Α

ΕΦΑ ΑΙ 1ο Οι φυσικοί αριθμοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. Φυσικοί αριθµοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Δυνάµεις φυσικών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων 27 Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ΕΦΑ ΑΙ 2ο Τα κλάσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Η έννοια του κλάσµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2. Ισοδύναµα κλάσµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Σύγκριση κλασµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Πολλαπλασιασµός κλασµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482. . Διαίρεση κλασµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ΕΦΑ ΑΙ ο Δεκαδικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1. Δεκαδικά κλάσµατα - Δεκαδικοί αριθµοί - Διάταξη δεκαδικών αριθµών - Στρογγυλοποίηση . . . . 53.2. Πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς - Δυνάµεις µε βάση δεκαδικό αριθµό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03.3. Υπολογισµοί µε τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4. Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5. Μονάδες µέτρησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

ΕΦΑ ΑΙ ο Εξισώσεις και Προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1. Η έννοια της εξίσωσης - Οι εξισώσεις: α β, α β, α β, α β, α: β και :α β . . . . . . . 724.2. Επίλυση προβληµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3. Παραδείγµατα επίλυσης προβληµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ΕΦΑ ΑΙ ο Ποσοστά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.1. Ποσοστά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2. Προβλήµατα µε ποσοστά. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ΕΦΑ ΑΙ ο Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1. Παράσταση σηµείων στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2. Λόγος δύο αριθµών - Αναλογία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3. Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες αναλόγων ποσών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.5. Προβλήµατα αναλογιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. . Αντιστρόφως ανάλογα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

ΕΦΑ ΑΙ ο Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.1. Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί (Ρητοί αριθµοί) - Η ευθεία των ρητών - Τετµηµένη σηµείου . . . . 1147.2. Απόλυτη τιµή ρητού - Αντίθετοι ρητοί - Σύγκριση ρητών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.3. Πρόσθεση ρητών αριθµών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.4. Αφαίρεση ρητών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.5. Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. . Διαίρεση ρητών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.7. Δεκαδική µορφή ρητών αριθµών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.8. Δυνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη φυσικό. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377. . Δυνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη ακέραιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.10. Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων και µικρών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

21-0027 book.indb 7 16/1/2013 9:36:00 μμ

ΜΕ Σ Β � ΓΕ ΜΕΤ ΙΑ

ΚΕΦΑ ΑΙ 1ο Βασικές γεωμετρικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1.1. Σηµείο - Ευθύγραµµο τµήµα - Ευθεία - Ηµιευθεία - Επίπεδο - Ηµιεπίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 1.2. Γωνία - Γραµµή - Επίπεδα σχήµατα - Ευθύγραµµα σχήµατα - σα σχήµατα . . . . . . . . . . . . . . . . 153 1.3. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράµµων τµηµάτων - Απόσταση σηµείων - Μέσο ευθύγραµµου τµήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράµµων τµηµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1.5. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών - Διχοτόµος γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1. . Είδη γωνιών - Κάθετες ευθείες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες - θροισµα γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 1.8. Παραπληρωµατικές και συµπληρωµατικές γωνίες - Κατακορυφήν γωνίες . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1. . Θέσεις ευθειών στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1.10. Απόσταση σηµείου από ευθεία - Απόσταση παραλλήλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 1.12. Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου - Μέτρηση τόξου . . . . 1 0 1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

ΚΕΦΑ ΑΙ 2ο Συμμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1. Συµµετρία ως προς άξονα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 2.2. ξονας συµµετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 2.3. Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Συµµετρία ως προς σηµείο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 2.5. Κέντρο συµµετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2. . Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από µία άλλη ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

ΚΕΦΑ ΑΙ ο Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.2. θροισµα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.3. Παραλληλόγραµµο - Ορθογώνιο - Ρόµβος - Τετράγωνο - Τραπέ ιο - Ισοσκελές τραπέ ιο . . . . 225 3.4. Ιδιότητες παραλληλογράµµου - Ορθογωνίου - Ρόµβου - Τετραγώνου - Τραπε ίου - σοσκελούς τραπε ίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

ΜΕ Σ Γ � ΠΑ Α Τ ΜΑ

Υποδείξεις - Απαντήσεις ασκήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Α.1. Οι φυσικοί αριθµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Α.2. Τα κλάσµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Α.3. Δεκαδικοί αριθµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Α.4. Εξισώσεις και προβλήµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Α.5. Ποσοστά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Α. . Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Α.7. Θετικοί και Αρνητικοί αριθµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Β.1. Βασικές γεωµετρικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Β.2. Συµµετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Β.3. Τρίγωνα - Παραλληλόγραµµα - Τραπέ ια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Αλφαβητικό ευρετήριο όρων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

21-0027 book.indb 8 16/1/2013 9:36:00 μμ

1 Ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1.1. Φυσικοί Αριθµοί Διάτα η Στρογγυλοποίηση ατανοώ τους φυσικο ς αριθμο ς Αντιστοι ίζω τους φυσικο ς αριθμο ς με σημεία του άξονα Συγκρίνω φυσικο ς αριθμο ς Στρογγυλοποιώ φυσικο ς αριθμο ς

1.2. Πρόσθεση Αφαίρεση και Πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών Προσθέτω αφαιρώ και πολλαπλασιάζω φυσικο ς αριθμο ς νωρίζω τις ιδιότητες των πράξεων και τις ρησιμοποιώ στον υπολογισμό της τιμής μιας παράστασης Εκτελώ τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση με την προβλεπόμενη προτεραιότητα

1. . Δυνάµεις φυσικών αριθµών ατανοώ την έννοια της δ ναμης αν και διαβάζω δυνάμεις Υπολογίζω δυνάμεις με μικρό εκθέτη και για τις δυνάμεις του εφαρμόζω τις ισότητες ν ν μηδενικά � ν ν μηδενικά κ λπ Εφαρμόζω την προτεραιότητα των πράξεων στον υπολογισμό παραστάσεων με δυνάμεις και παρενθέσεις

1. . Ευκλείδεια διαίρεση Διαιρετότητα νωρίζω την ταυτότητα της ευκλείδιας διαίρεσης Υπολογίζω το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδιας διαίρεσης δ ο ακεραίων και γράφω την ισότητα αυτής ατανοώ ότι οι εκφράσεις Ο Δ είναι πολλαπλάσιο του δ Ο δ είναι διαιρέτης του Δ και Ο Δ διαιρείται με τον δ είναι ισοδ ναμες με την έκφραση ευκλείδεια διαίρεση του Δ με τον δ είναι τέλεια

1. . Χαρακτήρες διαιρετότητας Μ.Κ.Δ. Ε.Κ.Π. Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων νωρίζω ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι και ποιοι σ νθετοι νωρίζω και ρησιμοποιώ τα κριτήρια διαιρετότητας με το το το και το καθώς και με το και το Αναλ ω δ ο ή περισσότερους αριθμο ς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βρίσκω μ αυτόν τον τρόπο το Δ και το Ε Π αυτών

Φυσικοί αριθµοί

ΜΕΡΟΣ Α�

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ(580 - 500 π.Χ.)

21-0027 book.indb 9 16/1/2013 9:36:09 μμ

- 10 - ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί

– Θέλεις να έχεις ή να ξέρεις;

ρώτησε ο θείος τον ανηψιό του λίγο πριν τον αποχαιρετήσει στο αεροδρόμιο.To αγόρι κοίταξε το θείο του με μεγάλη απορία προσπαθώντας να καταλάβει τι εννοούσε με την ερώτησή του.– Θέλεις να έχεις πράγματα ή

να ξέρεις γι’ αυτά;

συμπλήρωσε ο θείος του.Πριν ακόμα προλάβει το παιδί να απαντήσει, ο θείος του συνέχισε:

– Περάσαμε όμορφα στις διακοπές. Τώρα είναι Σεπτέμβριος, εγώ γυρίζω στη

δουλειά μου κι εσύ αρχίζεις το Γυμνάσιο. Θα σε ξαναδώ του χρόνου το καλοκαίρι

και θα είσαι ένα χρόνο και μία τάξη μεγαλύτερος. Έπιασε το αγόρι από τους ώμους και κοιτώντας το στα μάτια πρόσθεσε:– Δε θέλω να μου απαντήσεις τώρα. Θα σε ξαναρωτήσω του χρόνου. Έχεις, λοιπόν,

καιρό να το ψάξεις, να κάνεις υποθέσεις, να φτιάξεις ιστορίες και πιθανά σενάρια,

να σκεφτείς. Κυρίως αυτό: να σκεφτείς, είπε, σφίγγοντάς του τα χέρια.“Παρακαλούνται οι επιβάτες της πτήσης για Παρίσι να προσέλθουν στον έλεγχο των εισιτηρίων”, ακούστηκε η αναγγελία από τα μεγάφωνα.– Και κοίτα, αν δεν έχεις σίγουρη απάντηση, δεν πειράζει. Η διαδρομή αυτή

μπορεί να αξίζει περισσότερο. Το μυαλό μπορεί να φτιάξει μόνο του έναν

ολόκληρο κόσμο. “Καλή πορεία, αγόρι μου”.

– Καλό ταξίδι, θείε.. .

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣΓΙΑΤΗΝΤΑΞΗ

Η τάξη είναι η ίδια ένα ταξίδι. Είναι μια διαδρομή από σκέψη σε σκέψη, από μία γνώμη σε μια άλλη, από μια έκφραση σε έναν συλλογισμό. Απόψεις που συμφωνούν, γνώμες που ειναι διαφορετικές, ιδέες που διαμορφώνονται, συνθέτουν νέες γνώσεις και προσθέτουν εμπειρίες. Η θεωρία αναπτύσσεται μετά από τον σχετικό προβληματισμό και τον διάλογο που γίνεται μέσα στην τάξη. Είναι η τελική θέση στην οποία καταλήγουμε, αφού δοκιμάσουμε και επαληθεύσουμε τη σκέψη μας. Ακριβώς γι αυτό προηγούνται οι σχετικές δραστηριότητες. Μέσα απ’ αυτές θα προβληματιστούμε και θα εκφράσουμε την άποψή μας. Δε σημαίνει ότι σε όλα θα έχουμε απαντήσεις και ότι όλα θα τα μπορέσουμε μόνοι μας. Γι’ αυτό είναι και οι άλλοι. Αρκεί να μάθουμε ν’ ακούμε τη γνώμη τους. Η σκέψη των άλλων θα πάει τη δική μας ένα βήμα παραπέρα. Σ’ αυτό μας συντονίζει και μας βοηθάει ο καθηγητής μας. Όλοι μαζί και ομαδικά θα καταφέρουμε περισσότερα. Ας αρχίσουμε λοιπόν.

009-032 kik.indd 10 23/1/2013 5:41:43 μμ

Aπό το Δημοτικό σχολείο μάθαμε την έννοια του φυσικού αριθμού. Στην παράγραφο αυτή γίνεται επανάληψη της έννοιας, της διάταξης και της στρογγυλοποίησης των φυσικών αριθμών. Μέσα από τις δραστηριότητες, που ακολουθούν, θα προσπαθήσουμε να ξαναθυμηθούμε αυτά που έχουμε μάθει και να τα διατυπώσουμε με πιο οργανωμένη σκέψη.

Διάλε ε α ρι φιοαριθμ ρε λου ου ιαφορε ικο ρι φιου αριθμο ου ροκ ου α ε αλλά ει α φία ου αριθμο ου ιάλε ε και ρά εαυ ο με λου ου υ α ο ρ ου

οιο εί αιομικρ ερο και οιο ομε αλ ερο Γρά ε λου ου αριθμο ου ρ κε με σειρά α ουσα λα α ο

μικρ ερο ρο ομε αλ ερο Σ συ εια ρά ε ου ί ιου αριθμο μεφθί ουσασειρά

Για α αθμολο σουμε α θερμ με ρο ακολουθο με μια συ κεκριμ μ θο ο Τοαφ ουμεσ ο ά οαρκε ρακαισ οσ μείο ουθασ αθείου ράρ υρο σ μει ουμε ομ Σ συ εια οαφ ουμεμ σασε ερ ου ρά εικαισ οσ μείο ουθασ αθείου ράρ υρο σ μει ουμεοεκα 1

Σκ ουκαι ια σε α ρ ομε ο ο οίοθαμ ορο σε α σ μει σει και λε ι ε ιάμεσε ε εί ει

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε� ι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 98, 99, 100, ..., 1999, 2000, 2001, ... ονομά ονται φυσικοί αριθµοί.

� Κάθε φυσικός αριθµός έχει έναν επόµενο και έναν προηγούµενο φυσικό αριθµό, εκτός από το 0 που έχει µόνο επόµενο, το 1.

� ι φυσικοί αριθμοί χωρί ονται σε δύο κατηγορίες: τους άρτιους ή υγούς και τους περιττούς ή µονούς.

� ρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται με το 2.� ο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης δίνει τη δυνατότητα να σχηματί ουμε το απεριόριστο

πλήθος των φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας μόνο τα δέκα γνωστά ψηφία:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.� δυνατότητα αυτή υπάρχει γιατί η αξία ενός ηφίου καθορί εται και από τη θέση που κατέχει, δηλαδή τη δεκαδική τάξη του μονάδες, δεκάδες, εκατοντά δες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, ... .

� το εξής θα χρησιμοποιούμε τα παρακάτω σύμβολα: το = που σημαίνει ίσος µε , το < που σημαίνει µικρότερος από και το > που σημαίνει µεγαλύτερος από .

� Μπορούµε πάντα να συγκρίνουµε δύο φυσικούς αριθµούς µεταξύ τους. πομένως έχουμε τη δυνατότητα να διατάξουµε τους φυσικούς αριθμούς από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο, δηλαδή με αύξουσα σειρά μεγέθους. ια παράδειγμα: 0<1<2<3< .... <10<11<12< ... <297< ... <1000< ...

ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί -11-

Α.1.1. Φυσικοί αριθµοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ1

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ2

0°

100°

21-0027 book.indb 11 16/1/2013 9:36:19 μμ

� δυνατότητα αυτή, της διάταξης των φυσικών αριθμών, επιτρέπει να τους τοποθετή σουμε πάνω σε μια ευθεία γραμμή με τον παρακάτω τρόπο:

ιαλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο Ο της ευθείας, που το λέμε αρχή, για να παραστήσουμε τον αριθμό 0.

ετά δεξιά από το σημείο Ο διαλέγουμε ένα άλλο σημείο Α, που παριστάνει τον αριθμό 1. ότε, με μονάδα μέτρησης το ΟΑ, βρίσκουμε τα σημεία που παριστάνουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, ...

Στρογγυλοποίηση

Σ ι 1 Ιου ίου ακο σ κεσ ι ει σει ια α εκατομμύρια ολι Ευρ α κ σ φί ου α εκατομμύρια ια αεκλ ου 732 ουλευ ουΕυρ κοι ο ουλίου Για ί ε α αφ ρθ κε οακρι λ θο . . ολι Ε Ε

καθ καιοακρι αριθμ . . ουεί α ικαί μα φου Για ί α ίθε α σ ερί σ 732ευρ ουλευ α αφ ρθ κεοακρι

αριθμ ε ε ι ρ ε αι α ρ σιμο οιο με αυ ια ικασία ροσ ισ ε

φυσικο αριθμο

Σκεφτόμαστε δραστηριότητα αυτή μας οδηγεί να προβληματιστούμε γιατί σε αριθμούς, όπως το ακριβές

πλήθος των πολιτών της . ., δε χρειά εται να αναφερθούμε με ακρίβεια, ενώ σε άλλους, όπως ο αριθμός των ευρωβουλευτών, απαιτείται ακρίβεια. Πότε, γενικότερα, η ακριβής διατύπωση ενός αριθμού είναι αναγκαία

την περίπτωση του πλήθους των πολιτών ή των ψηφοφόρων της . ., αυτό που κυρίως ενδιαφέρει είναι η “τάξη μεγέθους”, π.χ. τα εκατομμύρια. νώ για τους ευρωβουλευτές ο ακριβής αριθμός είναι απαραίτητος, π.χ. στις ψηφοφορίες.

πό τα παραπάνω είναι φανερό ότι χρειά εται μια διαδικασία που μας βοηθάει να εκφράσουμε, με τρόπο κοινά αποδεκτό, έναν φυσικό αριθμό για τον οποίο δεν απαιτείται ακρίβεια. ια παράδειγμα το ύψος ενός βουνού που είναι ., λέμε, συνήθως, . νώ ο αριθμός ενός τηλεφώνου, το ή ο ταχυδρομικός κωδικός αναφέρονται πάντα με ακρίβεια.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε� Πολλές φορές αντικαθιστούμε έναν φυσικό αριθμό με μια προσέγγισή του,

δηλαδή κάποιο άλλο λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του. η διαδικασία αυτή την ονομά ουμε στρογγυλοποίηση.

� ια να στρογγυλοποιήσουμε έναν φυσικό αριθμό: Προσδιορί ουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. ξετά ουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης. ν αυτό είναι µικρότερο του 5 δηλαδή 0, 1, 2, 3 ή 4 , το ψηφίο αυτό και όλα

τα ψηφία των μικρότερων τάξεων µηδενί ονται. ν είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 5 δηλαδή 5, , 7, 8 ή , το ψηφίο αυτό και όλα

τα ψηφία των μικρότερων τάξεων αντικαθίστανται από το μηδέν και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1.

- 12 - ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

0 1

O A B Γ Δ Ε

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

O A B Γ Δ Ε

?

21-0027 book.indb 12 16/1/2013 9:36:22 μμ

Νασ ρο υλο οι θείοαριθμ σ ι α εκα ο ά ε ιλιά ε εκα ομμ ρια

Λύση(α) Τά σ ρο υλο οί σ εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: 4 < 5. ο και όλα τα προς τα δεξιά ψηφία αντικαθίστανται από το μηδέν. 9.573.842 É 9.573.800(β) Τά σ ρο υλο οί σ χιλιάδες. Προηγούμενη τάξη: 8 > 5. λα τα προς τα δεξιά ψηφία αντικαθίστανται από το μηδέν και το 3 γίνεται 4. 9.573.842 É 9.574.000(γ) Τά σ ρο υλο οί σ εκατοµµύρια. Προηγούμενη τάξη: 5 = 5. λα τα προς τα δεξιά ψηφία αντικαθίστανται από το μηδέν και το 9 γίνεται 10. 9.573.842 É 10.000.000

Γρά εμε φία ου αριθμο ου ί ο αι αρακά σεφυσικ λ σσαα διακόσια πέντε επτακόσια τριάντα δύο, είκοσι χιλιάδες οκτακόσια δέκα τρία

Γρά εσεφυσικ λ σσα ου αριθμο α . . . .

οιοιεί αιοι ρει ρο ο με οιαριθμοί ου και οιοιοι οε με οι

Το οθ σεσεα ουσασειρά ου αριθμο . . . . .

Το οθ σε οκα άλλ λοσ μ ολο σ οκε με α ακ λουθ αριθμ α ... ... ... . ... . ε . ... . σ ... . .

Κα ασκε ασε α ά ο αμεαρ οσ μείο καιμο ά α ίσομε Το οθ σεασ μεία , , , σεα οσ άσει και α ίσ οι α οιοιαριθμοία ισ οι ο σ ασ μείααυ ά

Το οθ σε α σ α ίσ οι θ σ Σ ΣΤΟ Α ΟΣα Σ ο αριθμ ομ λ εια ουσία εκά και ιλιά Δ κα ιλιά ε εί αιμία εκά α ιλιά Σεμια ε α μερ εκ ρομ θα ί ου ε ια υ ερε σει Α ο αριθμ 32 και ο αριθμ υ άρ ου αριθμοί

ε Σεοκ μ ρε α σ μερα ουεί αι μ θαεί αι αρασκευ σ Α ησελί α ου ι λίουμ ρικαι ηεί αι24σελί ε Δε υ άρ ειφυσικ αριθμ με α αριθμ 2και .

Οιε με ε σσερι ερ σεια αφ ρο αισ οσ μα Σ οσ μείο α ισ οι είοαριθμ .

θ Σ οσ μείο α ισ οι είοαριθμ . ι Σ οσ μείο α ισ οι είοαριθμ . ια Σ οσ μείο α ισ οι είοαριθμ .

Σ ρο υλο οί σεσ λ σι σ ερ εκα ο ά α ου αριθμο , , , . , . , . , . , . και . .

Σ ρο υλο οί σε ο αριθμ . . σ ι λ σι σ ερε α εκά ε εκα ο ά ε ιλιά ε εκά ε ιλιά ε ε εκα ο ά ε ιλιά ε

ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί -1 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣΚΑΙ ΡΟ ΗΜΑΤΑ1.

2.3.4.5.

6.

7.

8.

9.

ΑΡΑΔΕΙΓΜΑ-Ε ΑΡΜΟΓΗ

Κ

0 150

Μ Ν

21-0027 book.indb 13 16/1/2013 9:36:25 μμ

Παρακάτω θα ασχοληθούμε με τις “πράξεις” των φυσικών αριθμών. Το ουσιαστικό “πράξη” προκύπτει από το ρήμα “πράττω” και δηλώνει μια δράση ή ενέργεια. Οι αριθμοί που έχουμε γνωρίσει μέχρι τώρα υλοποιούν ανάγκες μέτρησης. Σύνθετες μετρήσεις προκύπτουν από απλές μετρήσεις με τη διδικασία των πράξεων, όπως για παράδειγμα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.

Ο ι λα ί ακα ί ει ααθροίσμα α λα α α ο ελ σμα α ρ σθεσ μο ο φι

φυσικ αριθμ Τι αρα ρεί ια ρ σθεσ με ο0 σοιαριθμοίμ ορο α ροσ εθο κάθεφορά Δ οαριθμοί ου άθροισμα και ιαφορά2

Μ ορεί α ρει ου αριθμο αυ ο Σ κρι ε ααθροίσμα α και καιμε ά α

αθροίσμα α και Δια σε ασυμ εράσμα άσου ιά ε α αρ μοιο ί ακα ια ο ολλα λασιασμ

ια σε αα ίσ οι αερ μα ακαι ροσ άθ σε α σει ι κα άλλ λε α α σει

ΣκεφτόμαστεΠαρατηρούμε ότι κάθε φορά μπορούμε να προσθέσουμε δύο μόνο αριθμούς, συνεπώς από τα ευγάρια των αριθμών που έχουν άθροισμα , δηλαδή 9+3, 8+4, 7+5, 6+6, εκείνο που έχει διαφορά είναι το ευγάρι των αριθμών και .

πίσης, παρατηρούμε ότι: 0+1=1+0=1, 0+2=2+0=2, 0+3=3+0=3, κ.ο.κ. σύγκριση των αθροισμάτων 3+6=9 και 6+3=9, όπως και άλλων τέτοιων αθροισμάτων

π.χ. 7+1=8 και 1+7=8 κ.λπ., μας οδηγούν στη διατύπωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας.πίσης, η σύγκριση των αθροισμάτων: (5+4)+2=11 και 5+(4+2)=11, αλλά και άλλων

αθροισμάτων, όπως π.χ. (9+1)+3=13 και 9+(1+3)=13 κ.λπ., μας οδηγούν στη διατύπωση της προσεταιριστικής ιδιότητας. πομένως, μπορούμε να διατυπώσουμε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και αντίστοιχα του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών.

Σε λο ομ κο ουεθ ικο ρ μουΑθ α -Αλε α ρο ολ υ άρ ου ιλιομε ρικ ε εί ει Οιε εί ει αυ ράφου σ αμία 1 σ άρισα σ Κα ερί σ εσσαλο ίκ 1 σ Κα άλα σ Ξά θ σ Κομο και σ Αλε α ρο ολ

Μ ορεί α ρει ι με α λε α οσ άσει

Ο Σ ρο υ ολ ισε με ο μυαλ ου ο εμ α ουι λα ο σ μα ο και ο ρ κε ε ρα ικά ιλιοσ ά

ολ ισε και συ ο εμ α και σεμια ε σ ια ο ιακρι κα ε ια α ο ρει

-1 - ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ1

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ2

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

+ 0 2 3 4 5 7 80 0 2 3 4 5 7 8

2 3 4 5 7 82 2 3 4 5 7 83 3 4 5 7 84 4 5 7 85 5 7 8

7 87 7 88 8

62

16

16

38

21-0027 book.indb 14 16/1/2013 9:36:28 μμ

Θυμόμαστε - ΜαθαίνουμεΠρόσθεση Ιδιότητες της πρόσθεσης: � ο άθροισµα ενός φυσικού αριθµού µε το µηδέν ισούται με τον ίδιο τον αριθµό

� Αντιµεταθετική ιδιότητα πορούμε να αλλά ουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος

� Προσεταιριστική ιδιότητα

� Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (µειωτέος) και Α (αφαιρετέος) βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στο Α δίνει το Μ.

� Στους φυσικούς αριθµούς ο αφαιρετέος Α πρέπει να είναιπάντα µικρότερος ή ίσος του µειωτέου Μ. ε αντίθετη περίπτωση η πράξη της αφαίρεσης δεν είναι δυνατόν να εκτελεστεί.

Πολλαπλασιασµός

Ιδιότητες του πολλαπλασιασµού:� ο γινόµενο ενός φυσικού αριθµού µε τη µονάδα ισούται με τον ίδιο τον αριθµό � Αντιµεταθετική ιδιότητα πορούμε να αλλά ουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου � Προσεταιριστική ιδιότητα � Επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση � Επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση � ο γινόµενο ενός φυσικού αριθµού επί το µηδέν ισούται με το µηδέν

ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί -1 -

13 + 5 = 18

α + 0 = 0 + α = α

α + β = β + α

(α+β)+γ=α+(β+γ)

Μ = Α + Δ

και γράφουμε

Δ = Μ - Α

7 � 6 = 42

α � 1 = 1 � α = α

α � β = β � α

(α �β) �γ=α � (β �γ )

α�(β+γ)=α�β+α�γ

α�(β-γ)=α�β-α�γ

α�0 = 0�α = 0

Προσθετέοι θροισμα

Παράγοντες ινόμενο

21-0027 book.indb 15 16/1/2013 9:36:30 μμ

Ναυ ολο ισ ο α ι με α α � 1 1� 1 � 1 � 1

Λύσηα 35 � 10 = 350β 421 � 100 = 42 .100γ 5 � 1 .000 = 5.000δ 27 � 10.000 = 270.000πό τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί ,

, . , ... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας , , . ....

Ναεκ ελεσ ο οιακ λουθε ρά εια � � � � � 1 � �

Λύσηα 89 � 7 + 89 � 3 = 89 � (7 + 3) = 89 � 10 = 890β 23 � 49 + 77 � 49 = (23 + 77) � 49 = 100 � 49 = 4.900γ 76 � 13 – 76 � 3 = 76 � (13–3) = 76 � 10 = 760δ 284 � 99 = 284 � (100 – 1) = 284 � 100 – 284 � 1 = 28.400 – 284 = 28.116

Ναερμ ευ ο με ε με ρικ ρ οοιε ιμερισ ικ ι ι εα � α� � και α � α� �

Λύσηύο ορθογώνια παραλληλό

γραμμα μπλε και κίτρινο έχουν μία διάσταση με το ίδιο μήκος γ. ια αυτό τον λόγο μπορούμε, αν τα “κολλήσουμε”, όπως φαίνεται στο σχήμα, να φτιάξουμε ένα τρίτο, το ΑΖΗΔ, με εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών τους. ν βάλουμε το μικρότερο πάνω στο μεγαλύτερο, όπως φαίνεται στο σχήμα, θα αποκτήσουμε ένα άλλο, το ΑΕΘΔ, που θα έχει εμβαδόν ίσο με τη διαφορά των εμβαδών των δύο αρχικών.

-1 - ΜΕΡΟΣΑ�-Κεφάλαιο1ο-Οιφυσικοίαριθμοί

αΑ

Δ

B

Γ

γ

βΕ

Θ

Ζ

ΗΕμ α α � γ Εμ α β�γ

Α

Δ

γ

Ζ

ΗΕμ Εμ Εμ Ο ε (α β) � γ α � γ β � γ

Εμ Εμ Εμ Ο ε (α β) � γ α � γ β � γ

α β Ε

ΓΘ

Α

Δ

γ

ΓΗ

α β ΖΕ

Θ

2.

3.

Η ρ εμφά ισ συμ λ +και ρο ολο εί αια α λ ου1 ουαι α αλλά ε ικευμ ρ σ ου εμφα ί ε αι ο 1 οαι α Αρ ικά ια αφαίρεσ ρ σιμο οι θ κε οσ μ ολο«:»ε αι ι κα α συμ λ αυ οφείλε αισ ου εμ ρου ου α ρ σιμο οιο σα ια αλ σου ι α άρο ρ θ κε ιο ολ ιολί ο α ίσ οι α α οκα ο ικ

Τασ μ ολαxκαι=καθιερ θ κα α λου μαθ μα ικο ο1 και ο1 α ίσ οι α

ΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - Ε ΑΡΜΟΓΕΣ1.

21-0027 book.indb 16 16/1/2013 9:36:37 μμ