Page 1
PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIS KONTAMINASI
AIR TANAH DENGAN METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh :
Aji Asa Lelana Buwana
NIM: 163114026
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 2
i
PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIS KONTAMINASI
AIR TANAH DENGAN METODE VOLUME HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh :
Aji Asa Lelana Buwana
NIM: 163114026
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 3
ii
NUMERICAL SOLUTION TO A MATHEMATICAL MODEL OF
GROUNDWATER CONTAMINATION USING FINITE VOLUME
METHODS
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
Written by
Aji Asa Lelana Buwana
Student ID : 163114026
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 6
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Berkerja keraslah selagi kau bisa.”
“Berjuanglah untuk mencapai sesuatu yang baik dalam hidup.”
“Berjuanglah agar setiap hal yang kita buat dapat memberi makna bagi orang
lain.”
“Berjuanglah untuk bermanfaat dan berprestasi.”
“Maka sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan.”(Q.S.Al-Insyirah:5)
“Bahwasanya seorang manusia tiada memperoleh selain apa yang di-
usahakannya.”(Q.S.An-Najm:39)
Skripsi ini saya persembahkan kepada orang tua tercinta,
Sri Kestining Lelana dan Umi Fauziah
Kakek dan Nenek,
Sanggar Waringin Sugiyono dan Surajimah
Adik-adik saya,
Arga Kumala Rachmawati, Atica Urie Larasati, dan Ambika Caya Perwita
Serta Keluarga Besar Kumaidi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 9
viii
ABSTRAK
Kontaminasi air tanah merupakan suatu hal yang dapat membahayakan bagi
kesehatan manusia. Air adalah kebutuhan pokok bagi kehidupan manusia, oleh ka-
rena itu sangatlah penting dicetuskan suatu model matematis untuk memperkirakan
penyebaran dari suatu zat polutan yang mencemari air tanah. Dalam memodelkan
kita menggunakan persamaan adveksi-difusi berdasarkan hukum kekekalan massa.
Tujuan dari peneletian ini adalah mencari tahu konsentrasi zat polutan yang tersebar
di dalam air tanah pada posisi dan waktu tertentu. Pada skripsi ini akan dibahas
bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi-difusi menggunakan metode volume
hingga. Penyelesaian persamaan ini akan melibatkan skema yang dapat digunakan
untuk melihat konsentrasi zat polutan yang tersebar di dalam air tanah. Kemudian
metode tersebut akan dianalisis kestabilan, konsistensi, dan konvergensinya supaya
metode tersebut baik untuk digunakan.
Berdasarkan penelitian ini, skema yang dihasilkan berdasarkan persamaan
adveksi-difusi menghasilkan skema yang baik dengan tiga syarat yang didapatkan
pada analisis harus dipenuhi. Tiga syarat itu antara lain kestabilan, konsistensi, dan
konvergensi.
Kata kunci: Kontaminasi air tanah, hukum kekekalan massa, persamaan adveksi-
difusi, metode volume hingga, kestabilan, konsistensi, konvergensi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 10
ix
ABSTRACT
Groundwater contamination is one aspect that can be dangerous for human
health. Water is always needed in human life. Therefore it is important to create a
mathematical model for calculating the distribution of pollutants that pollute
groundwater. In gathering the data, the researcher used the advection-diffusion
equation based on the law of conservation of mass. The purpose of this research is
to find out the concentration of pollutants that are spread in the groundwater at a
certain position and time. This thesis will discuss how to solve the advection-
diffusion equation using the finite volume method. The solution of this equation
will be in the form of a scheme that can be used to see the concentration of
pollutants that are spread in groundwater. Moreover, this method will be analysed
regarding the stability, consistency, and convergence so that the method is good for
use.
Through this research, the scheme that was produced based on the advection-
diffusion equation produces a good scheme with the three circumstances in the
analysis must be accomplished. The three conditions are stability, consistency, and
convergence.
Keyword : groundwater contamination, consevation law, advection-difussion
equation, finite volume method, stability, consistency, convergence.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 11
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa berkat rahmat dan karunia-Nya,
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan lancar. Skripsi ini disusun
sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar sarjana sains dari Program Studi
Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini banyak pihak-pihak
yang terlibat. Oleh karena itu, pada kesempatan yang mulia ini penulis mengucap-
kan terimakasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi sekaligus Dosen Pembimbing Skripsi.
2. Bapak Hartono, S.Si, M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
3. Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan S.Si., M.Si., Bapak Ricky Aditya,
M.Sc., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan
banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
6. Kedua orang tua, kakek, nenek, adik-adik, dan seluruh anggota keluarga
Lelana yang telah mendukung saya selama proses pengerjaan skripsi.
7. Widya Savitriningtyas dan Theresia Ardya Resti Pradwiningtyas yang telah
senantiasa dengan sabar dan selalu setia memberikan semangat dan bantuan
kepada penulis dari semester dua hingga selesai.
8. Stanislaus Warih Priyo Tomo yang selalu setia menemani penulis dalam
proses penyusunan skripsi dan selalu mengejar-ngejar penulis untuk
menyelesaikan skripsi secara bersamaan.
9. Lady Wahyuningratri yang selalu memberikan semangat dan selalu
mengingatkan penulis dalam proses penyusunan skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 13
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i
TITLE PAGE .................................................................................................. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................. vii
ABSTRAK ...................................................................................................... viii
ABSTRACT .................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ..................................................................................... x
DAFTAR ISI ................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1
A. Latar Belakang ..................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................ 2
C. Batasan Masalah .................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 3
E. Manfaat Penulisan ................................................................................ 3
F. Metode Penulisan ................................................................................. 3
G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4
BAB II PEMODELAN MATEMATIS DAN TOPIK-TOPIK TERKAIT ......... 6
A. Turunan................................................................................................ 6
B. Aturan Rantai ....................................................................................... 16
C. Integral ................................................................................................. 18
D. Integral Tentu ....................................................................................... 20
E. Klasifikasi Persamaan Diferensial ........................................................ 22
1. Persamaan Diferensial .................................................................... 22
2. Persamaan Diferensial Biasa........................................................... 22
3. Persamaan Diferensial Parsial ......................................................... 23
4. Tingkat Persamaan Diferensial Parsial (Orde)................................. 23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 14
xiii
5. Persamaan Diferensial Biasa Linear................................................ 24
6. Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear .......................................... 24
F. Persamaan Diferensial Parsial .............................................................. 25
G. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial ......................................... 29
H. Pemodelan Matematis .......................................................................... 30
I. Metode Numeris Untuk Persamaan Diferensial .................................... 33
1. Hampiran Beda Maju ..................................................................... 34
2. Hampiran Beda Pusat ..................................................................... 34
3. Hampiran Beda Mundur ................................................................. 35
BAB III MODEL KONTAMINASI DAN METODE PENYELESAIANNYA 36
A. Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi ............................................. 36
1. Hukum Kekekalan Massa ............................................................... 36
2. Persamaan Adveksi ........................................................................ 38
3. Persamaan Difusi............................................................................ 39
4. Persamaan Adveksi-Difusi ............................................................. 39
B. Perumusan Hukum Kekekalan dengan Metode Volume Hingga ........... 40
C. Flux Numerik Persamaan Difusi ........................................................... 43
D. Flux Lax-Friedrichs Persamaan Adveksi .............................................. 44
E. Metode Upwind Untuk Persamaan Adveksi ......................................... 45
F. Persamaan Adveksi-Difusi dengan Metode Volume Hingga ................. 56
BAB IV ANALISIS KESTABILAN MODEL KONTAMINASI AIR TANAH 65
A. Galat Keseluruhan dan Konvergensi ..................................................... 65
B. Galat Pada Pemotongan Lokal .............................................................. 67
C. Kestabilan ............................................................................................ 67
D. Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy ........................................................ 68
E. Simulasi Dan Pengamatan Galat ........................................................... 69
BAB V PENUTUP .......................................................................................... 83
A. Kesimpulan .......................................................................................... 83
B. Saran .................................................................................................... 84
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 85
LAMPIRAN .................................................................................................... 86
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 15
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan
masalah, tujuan, manfaat penulisan, metode yang digunakan dalam penulisan, dan
sistematika penulisan skripsi ini.
A. Latar Belakang
Pemodelan matematis seringkali digunakan untuk menyelesaikan suatu masa-
lah di sekitar kita. Salah satu dari masalah tersebut yaitu permasalahan air tanah
yang merupakan salah satu kebutuhan pokok bagi hidup manusia. Pada saat ini kon-
disi air tanah banyak mengalami permasalahan terutama berkaitan dengan kejerni-
han dan komposisi mineral. Perilaku manusia yang masih membuang sampah mau-
pun limbah sembarangan menyebabkan air tanah terkontaminasi oleh polutan.
Polutan merupakan salah satu ancaman bagi kesehatan manusia, sehingga perlu
adanya kajian yang membahas tentang proses transportasi polutan.
Pemodelan ini menggunakan metodologi persamaan adveksi-difusi satu di-
mensi sebagai model transportasi polutan yang akan diselesaikan dengan metode
volume hingga. Model persamaan adveksi-difusi dimaksudkan untuk menganalisis
pergerakan polutan di dalam tanah yang mengalami proses pengangkutan (adveksi)
dan proses penyebaran (difusi). Persamaan proses pengangkutan (adveksi) satu di-
mensi terhadap satu arah dengan variabel jarak 𝑥 dan variabel waktu 𝑡 adalah
(Saleem et al., 2019):
𝜕𝑞
𝜕𝑡= −��
𝜕𝑞
𝜕𝑥
dengan 𝑞 adalah konsentrasi (misalnya dalam satuan mg/l) unsur kimia, dan ��
adalah kecepatan (misalnya dalam satuan m/hari) aliran air tanah terhadap arah 𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 16
2
Difusi adalah fenomena perpindahan massa yang menyebabkan distribusi
kimia menjadi seragam di satu tempat seiring dengan berjalannya waktu (Zheng
and Bennet, 2002). Karena difusi didefinisikan sebagai gradien dari gerakan suatu
konsentrasi, maka dengan hukum pertama Fick dalam keadaan stabil persamaan
difusi menjadi seperti berikut (Fetter, 2001):
𝜕𝑞
𝜕𝑡= 𝛽
𝜕2𝑞
𝜕𝑥2
dengan 𝛽 adalah satuan koefisien difusi (m2/hari). Kombinasi persamaan proses
pengangkutan (adveksi) dan persamaan proses penyebaran (difusi) menghasilkan
persamaan sebagai berikut:
𝜕𝑞
𝜕𝑡= 𝛽
𝜕2𝑞
𝜕𝑥2− ��
𝜕𝑞
𝜕𝑥
dengan kata lain persamaan tersebut merupakan persamaan adveksi-difusi.
Metode volume hingga merupakan salah satu metode numeris yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Metode ini juga
merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persa-
maan adveksi-difusi. Dalam hal ini metode volume hingga digunakan untuk menge-
tahui proses pergerakan polutan yang ada di dalam air tanah. Selanjutnya, proses
transportasi polutan akan disimulasikan dengan contoh soal dan dalam
pengerjaannya menggunakan perangkat lunak MATLAB R2014b. Kemudian
menganalisis apakah metode yang didapatkan tersebut bersifat stabil, konsisten, dan
konvergen.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana penyelesaian model matematis transportasi kontaminasi air dengan
menggunakan metode volume hingga?
2. Bagaimana penerapan metode volume hingga dalam mengatasi permasalahan
kontaminasi air tanah?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 17
3
C. Batasan Masalah
Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:
1. Model matematis transportasi kontaminasi air yang digunakan adalah persa-
maan adveksi-difusi satu dimensi.
2. Metode penyelesaian model yang akan digunakan adalah metode volume
hingga.
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Menentukan solusi penyelesaian dari model transportasi polutan dengan
menggunakan metode volume hingga.
2. Menganalisis apakah model yang didapatkan baik digunakan untuk mendeteksi
pergerakan dari suatu polutan di dalam air tanah.
E. Manfaat penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Dapat mengetahui penerapan pemodelan matematis dalam masalah
kontaminasi air tanah.
2. Mendapatkan model sederhana pada masalah kontaminasi air tanah.
3. Mengetahui pergerakan polutan yang ada di dalam tanah yang merupakan zat
yang berbahaya bagi kesehatan manusia.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini merupakan metode studi
pustaka, yakni dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal
yang berkaitan dengan model matematis persamaan adveksi-difusi yang
diselesaikan dengan metode volume hingga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 18
4
G. Sistematika Penulisan
Skripsi ini mempunyai sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PEMODELAN MATEMATIS DAN TOPIK-TOPIK TERKAIT
A. Turunan
B. Aturan Rantai
C. Integral
D. Integral Tentu
E. Klasifikasi Persamaan Diferensial
F. Persamaan Diferensial Parsial
G. Sifat-sifat Persamaan Difrensial
H. Pemodelan Matematis
I. Metode Numeris Untuk Persamaan Diferensial
BAB III MODEL KONTAMINASI DAN METODE PENYELESAIANNYA
A. Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi
B. Perumusan Hukum Kekekalan dengan Metode Volume Hingga
C. Flux Numerik Persamaan Difusi
D. Flux Lax-Friedrichs Persamaan Adveksi
E. Metode Upwind untuk Persamaan Adveksi
F. Persamaan Adveksi-Difusi dengan Metode Volume Hingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 19
5
BAB IV SIMULASI MASALAH KONTAMINASI AIR TANAH
A. Galat Keseluruhan dan Konvergensi
B. Galat Pada Pemotongan Lokal
C. Kestabilan
D. Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy
E. Simulasi dan Pengamatan Galat
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 20
6
BAB II
PEMODELAN MATEMATIS DAN TOPIK-TOPIK TERKAIT
Pada bab ini akan membahas tentang dasar-dasar teori yang dibutuhkan dalam
pembahasan tentang turunan, aturan rantai, integral, integral tentu, klasifikasi per-
samaan diferensial, sifat-sifat persamaan diferensial, pemodelan numeris, dan
metode numeris untuk persamaan diferensial.
A. Turunan
Dalam subbab ini akan dibahas tentang definisi turunan, teorema, dan contoh-
contoh tentang turunan.
Definisi 2.1 Turunan
Suatu fungsi 𝑓′ didefinisikan sebagai berikut
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
disebut turunan dari fungsi 𝑓 terhadap 𝑥. Dengan domain 𝑓′ terdiri dari semua 𝑥 di
dalam domain 𝑓 yang limitnya ada (Anton et al, 2012).
Contoh :
Tentukan turunan terhadap 𝑥 dari fungsi
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
b) ℎ(𝑥) =1
𝑥
Penyelesaian :
a) Penyelesaian untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 21
7
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= limℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
= limℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= limℎ→0
2𝑥ℎ − ℎ2
ℎ
= limℎ→0
(2𝑥 + ℎ)
= 2𝑥 ∎
b) Penyelesaian untuk fungsi 𝑔(𝑥) =1
𝑥
𝑔(𝑥) = limℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= limℎ→0
1𝑥 + ℎ −
1𝑥
ℎ
= limℎ→0
𝑥 − (𝑥 + ℎ)
ℎ(𝑥 + ℎ)𝑥
= limℎ→0
−1
(𝑥 + ℎ)𝑥
= −1
𝑥2 ∎
Definisi 2.2
Suatu fungsi 𝑓 dikatakan memiliki turunan dititik 𝑎 jika
𝑓′(𝑎) = limℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
limitnya ada. Jika 𝑓 dapat diturunkan pada interval terbuka (𝑥, 𝑦), maka 𝑓 memiliki
turunan pada interval (x,y), dan juga pada interval (𝑥, ±∞), (±∞, 𝑦), dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 22
8
(±∞, ±∞). Pada kasus 𝑓 dapat diturunkan pada interval (±∞, ±∞) maka 𝑓
memiliki turunan dimana saja.
Contoh :
Tentukan turunan dititik 3 dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 3.
Penyelesaian :
𝑓′(3) = limℎ→0
𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)
ℎ
= limℎ→0
((3 + ℎ)2 + 3 + ℎ + 3) − (32 + 3 + 3))
ℎ
= limℎ→0
(9 + 6ℎ + ℎ2 + ℎ + 6) − (15))
ℎ
= limℎ→0
(ℎ2 + 7ℎ + 15) − (15))
ℎ
= limℎ→0
(ℎ2 + 7ℎ)
ℎ
= limℎ→0
ℎ + 7
= 7 ∎
Teorema 2.3
Jika suatu fungsi 𝑓 memiliki turunan pada titik 𝑎, maka 𝑓 kontinu pada titik
𝑎.
Bukti :
Diberikan fungsi 𝑓 memiliki turunan pada titik 𝑎, berdasarkan definisi 2.2
bahwa 𝑓′(𝑎) ada dan diberikan oleh
𝑓′(𝑎) = limℎ→0
[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ],
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 23
9
untuk menunjukkan bahwa 𝑓 adalah kontinu saat 𝑎, harus ditunjukkan terlebih
dahulu bahwa lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) atau yang ekuivalen dengan
lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0,
Karena ℎ = 𝑥 − 𝑎, maka didapatkan 𝑥 = ℎ + 𝑎 kemudian subsitusikan pada persa-
maan diatas. Sehingga harus dibuktikan bahwa
limℎ→0
[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)] = 0
dengan menggunakan definisi 2.2 diperoleh
limℎ→0
[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)] = limℎ→0
[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ∙ ℎ]
= limℎ→0
[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ] ∙ lim
ℎ→0 ℎ
= 𝑓′(𝑎) ∙ 0
= 0 ∎
Teorema 2.4
Turunan dari suatu fungsi konstan adalah nol, yaitu jika 𝑐 adalah bilangan
real maka
𝑑
𝑑𝑥[𝑐] = 0.
Bukti :
Andaikan 𝑓(𝑥) = 𝑐 dengan c suatu bilangan real. Dengan menggunakan definisi
diperoleh
𝑑
𝑑𝑥[𝑐] = 𝑓′(𝑥)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 24
10
= limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= limℎ→0
𝑐 − 𝑐
ℎ
= limℎ→0
0 = 0 ∎
Contoh :
Tentukan turunan dari fungsi berikut
1. 𝑓(𝑥) = 1
2. 𝑓(𝑥) = 𝜋
Penyelesaian :
Berdasarkan Teorema 2.4 diperoleh
1. 𝑓′(𝑥) = 𝑑
𝑑𝑥[1] = 0
2. 𝑓′(𝑥) = 𝑑
𝑑𝑥[𝜋] = 0 ∎
Teorema 2.5
Jika 𝑛 adalah suatu bilangan bulat positif, maka
𝑑
𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑛𝑥𝑛−1
Bukti :
Misalkan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛. Dengan define turunan dan rumus binomial untuk
merepresentasikan (𝑥 + ℎ)𝑛, maka didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 25
11
𝑑
𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑓′(𝑥)
= limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ] = lim
ℎ→0[(𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥𝑛
ℎ]
= limℎ→0
[(𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +
𝑛(𝑛 − 1)2! 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛) − 𝑥𝑛
ℎ]
= limℎ→0
[(𝑛𝑥𝑛−1ℎ +
𝑛(𝑛 − 1)2!
𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛)
ℎ]
= limℎ→0
[𝑛𝑥𝑛−1 +𝑛(𝑛 − 1)
2!𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]
= 𝑛𝑥𝑛−1 + 0 + ⋯ + 0 + 0
= 𝑛𝑥𝑛−1 ∎
Contoh :
Tentukan turunan dari fungsi
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥4
2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥3
3. 𝑓(𝑥) = 12 𝑥5 + 3𝑥3 − 2
Penyelesaian :
1. 𝑓′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥[𝑥4] = 4𝑥3
2. 𝑓′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥[5𝑥3] = 15 𝑥2
3. 𝑓′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥[12 𝑥5 + 3𝑥3 − 2] = 60𝑥4 + 9𝑥2 ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 26
12
Teorema 2.6
Jika suatu fungsi 𝑓 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝑐 adalah suatu bilangan
real, maka 𝑐𝑓 dapat juga diturunkan terhadap 𝑥 dan
𝑑
𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥).
Bukti :
𝑑
𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = lim
ℎ→0[𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥)
ℎ]
= limℎ→0
𝑐 [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ]
= 𝑐 limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ]
= 𝑐𝑑
𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ∎
Teorema 2.7
Jika suatu fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥, maka 𝑓 +
𝑔 dan 𝑓 − 𝑔 dan
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥),
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥).
Bukti :
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
ℎ→0[(𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))
ℎ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 27
13
= limℎ→0
[(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)) + (𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))
ℎ]
= limℎ→0
[(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥))
ℎ] + lim
ℎ→0[(𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))
ℎ]
=𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Dengan cara yang sama diperoleh 𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥) , maka
terbukti bahwa
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥) ∎
Contoh :
Tentukan hasil dari turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), dimana 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
dan 𝑔(𝑥) = 𝑥3.
Penyelesaian :
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥[2𝑥2] +
𝑑
𝑑𝑥[𝑥3]
= 4𝑥 + 3𝑥2 ∎
Teorema 2.8
Jika suatu fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥, maka
perkalian dari fungsi 𝑓 ∙ 𝑔 dan
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 28
14
Bukti :
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim
ℎ→0[(𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)) − (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))
ℎ]
= limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))
ℎ]
= limℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ+ 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ]
= limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ limℎ→0
[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ] + lim
ℎ→0𝑔(𝑥) ∙ lim
ℎ→0[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ]
= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) ∎
Contoh :
Tentukan turunan dari 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), dimana 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 1 dan 𝑔(𝑥) =
𝑥2 + 2.
Penyelesaian :
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥[(2𝑥3 − 1)(𝑥2 + 2)]
= (2𝑥3 − 1)𝑑
𝑑𝑥[𝑥2 + 2] +
𝑑
𝑑𝑥[2𝑥3 − 1](𝑥2 + 2)
= (2𝑥3 − 1)(2𝑥) + (6𝑥2)(𝑥2 + 2)
= (4𝑥4 − 2𝑥) + (6𝑥4 + 12𝑥2)
= 10𝑥4 + 12𝑥2 − 2𝑥 ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 29
15
Teorema 2.9
Jika suatu fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0,
maka 𝑓
𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] =
𝑔(𝑥)𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] −
𝑑𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)]𝑓(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2.
Bukti :
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) −
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ
= limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑓(𝑥)
ℎ ∙ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
= limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)
ℎ ∙ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
= limℎ→0
[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ ] − [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ ]
𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
=limℎ→0
𝑔(𝑥) ∙ limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ − lim
ℎ→0𝑓(𝑥) ∙ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)ℎ
limℎ→0
𝑔(𝑥) ∙ limℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ)
=[lim
ℎ→0 𝑔(𝑥)] ∙
𝑑𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)] − [limℎ→0
𝑓(𝑥)] ∙𝑑
𝑑𝑥[𝑔(𝑥)]
limℎ→0
𝑔(𝑥) ∙ limℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ)
=𝑔(𝑥)
𝑑𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥)𝑑
𝑑𝑥[𝑔(𝑥)]
[𝑔(𝑥)]2 ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 30
16
Contoh :
Tentukan turunan dari 𝑦, dimana 𝑦 = 𝑥2−𝑥
𝑥+5
Penyelesaian :
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥[𝑥2 − 𝑥
𝑥 + 5] =
(𝑥 + 5)𝑑
𝑑𝑥[𝑥2 − 𝑥] − (𝑥2 − 𝑥)
𝑑𝑑𝑥
[𝑥 + 5]
(𝑥 + 5)2
=(𝑥 + 5)(2𝑥 − 1) − (𝑥2 − 𝑥)(1)
(𝑥 + 5)2
=10𝑥2 + 9𝑥 − 5 − 𝑥2 + 𝑥
(𝑥 + 5)2
=9𝑥2 + 10𝑥 − 5
(𝑥 + 5)2 ∎
B. Aturan Rantai
Dalam subbab ini akan membahas tentang definisi, teorema, dan contoh yang
berhubungan dengan aturan rantai (Larson and Edwards, 2009).
Teorema 2.10
Jika suatu fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan fungsi 𝑓 dapat
diturunkan terhadap 𝑔(𝑥), maka komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 juga dapat diturunkan terhadap
𝑥, yang didefiniskan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) yang dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝐹′
adalah hasil perkalian dari
𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)
Jika
𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 31
17
sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑢), maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Bukti :
Misalkan 𝑢 = 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap 𝑎 dan 𝑦 = 𝑓(𝑢)
adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap 𝑏 = 𝑔(𝑎). Jika ∆𝑥 adalah suatu ke-
naikan dari 𝑥, sedangkan ∆𝑢 dan ∆𝑦 juga merupakan suatu kenaikan yang ber-
sesuaian dengan 𝑢 dan 𝑦. Maka dapat dituliskan sebagai berikut
∆𝑢 = 𝑔′(𝑎)∆𝑥 + 𝜀1∆𝑥
= [𝑔′(𝑎) + 𝜀1]∆𝑥
dimana 𝜀1 → 0 sebagai ∆𝑥 → 0. Demikian pula dengan
∆𝑦 = 𝑓′(𝑏)∆𝑢 + 𝜀2∆𝑢
= [𝑓′(𝑏) + 𝜀2]∆𝑢
dimana 𝜀2 → 0 sebagai ∆𝑢 → 0. Jika disubstitusikan maka akan menjadi
∆𝑦 = [𝑓′(𝑏) + 𝜀2][𝑔′(𝑎) + 𝜀1]∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥= [𝑓′(𝑏) + 𝜀2][𝑔′(𝑎) + 𝜀1]
dengan ∆𝑥 → 0, dari persamaan ∆𝑢 = [𝑔′(𝑎) + 𝜀1]∆𝑥 ditunjukkan bahwa ∆𝑢 → 0.
Jadi 𝜀1 → 0 dan 𝜀2 → 0 sebagai ∆𝑥 → 0. Maka dari itu
𝑑𝑦
𝑑𝑥= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
[𝑓′(𝑏) + 𝜀2][𝑔′(𝑎) + 𝜀1]
= 𝑓′(𝑏)𝑔′(𝑎)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 32
18
= 𝑓′(𝑔(𝑎))𝑔′(𝑎) ∎
Contoh :
Tentukan 𝐹′(𝑥) jika 𝐹(𝑥) = √𝑥2 + 1
Penyelesaian :
Misalkan 𝑢 = 𝑥2 + 1 dan 𝑦 = √𝑢, maka
𝐹′(𝑥) =𝑑𝑦
𝑑𝑢∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=1
2√𝑢 (2𝑥)
=1
2√𝑥2 + 1 (2𝑥)
=𝑥
√𝑥2 + 1 ∎
C. Integral
Dalam subbab ini akan dibahas tentang definisi dan contoh-contoh yang
berhubungan dengan integral.
Definisi 2.11
Suatu fungsi 𝐹 disebut antiderivatif dari fungsi 𝑓 pada interval terbuka, jika
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 pada interval tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 33
19
Contoh :
Fungsi 𝐹(𝑥) =1
3𝑥3 adalah antiderivatif dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2 pada interval
(−∞, +∞), karena untuk setiap 𝑥 pada interval
𝐹′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥[
1
3𝑥3] = 𝑥2 = 𝑓(𝑥).
Akan tetapi, 𝐹(𝑥) =1
3𝑥3 bukan satu-satunya antiderivatif dari 𝑓 pada interval
tersebut. Jika menambahkan suatu konstanta 𝐶, maka fungsi 𝐺(𝑥) =1
3𝑥3 adalah
antiderivatif dari 𝑓 pada interval (−∞, +∞), sehingga
𝐺′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥[
1
3𝑥3 + 𝐶] = 𝑥2 + 0 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥). ∎
Teorema 2.12
Jika 𝐹(𝑥) adalah antiderivatif dari fungsi 𝑓 pada interval 𝐼, maka 𝐺(𝑥)
adalah integral dari 𝑓 pada interval 𝐼 jika dan hanya jika 𝐺 memiliki bentuk
persamaan 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, untuk setiap 𝑥 pada interval 𝐼 dan dimana 𝐶 adalah
suatu konstanta.
Bukti :
(⟹) Andaikan 𝐺 integral dari 𝑓, didefinisikan fungsi 𝐻 seperti berikut
𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥)
Ambil sebarang dua titik 𝑎 dan 𝑏 pada interval dengan (𝑎 < 𝑏), 𝐻 kontinu pada
[𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada [𝑎, 𝑏], sehingga
𝐻′(𝑐) =𝐻(𝑏) − 𝐻(𝑎)
𝑏 − 𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 34
20
dimana 𝑐 pada interval [𝑎, 𝑏]. Namun, 𝐻′(𝑐) = 0 sehingga didapatkan 𝐻(𝑎) =
𝐻(𝑏). Karena 𝑎 dan 𝑏 adalah sebarang titik pada interval terbuka, maka dapat
diketahui bahwa 𝐻 adalah fungsi konstan 𝐶. Dengan demikian,
𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶 dan 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶.
(⟸) Jika 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) dan 𝐶 adalah konstanta, maka
𝐺′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥[𝐹(𝑥) + 𝐶] = 𝐹′(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥)
sehingga didapatkan 𝐺 merupakan integral dari 𝑓. ∎
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari 𝑦′ = 5.
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema didapat 𝑦 = 5𝑥 + 𝐶. ∎
D. Integral Tentu
Dalam subbab ini akan membahas tentang definisi, teorema, dan contoh-
contoh tentang integral tentu.
Definisi 2.13
Suatu fungsi 𝑓 dapat dikatakan terintegrasi pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] jika
nilai limit dari
limmax ∆𝑥𝑘→0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗)∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
ada dan tidak bergantung pada titik 𝑥𝑘∗ dalam subinterval. Maka limitnya dinyatakan
dengan simbol
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 35
21
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= limmax ∆𝑥𝑘→0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗)∆𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
yang disebut integral tentu dari 𝑓 pada interval 𝑎 ke 𝑏. Nilai dari 𝑎 disebut batas
bawah dari limit integrasi dan 𝑏 disebut batas atas dari limit integrasi, sedangkan
fungsi 𝑓(𝑥) disebut integran.
Teorema 2.14
Jika suatu fungsi 𝑓 kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 dapat diintegralkan
pada [𝑎, 𝑏], dan area 𝐴 yang berada diantara grafik fungsi 𝑓 pada interval [𝑎, 𝑏]
adalah
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
.
Bukti dapat dilihat pada buku karangan Howard Anton et.al (2012) yang berjudul
Calculus (edisi kesepuluh).
Contoh :
Hitunglah ∫ 𝑥 𝑑𝑥2
1 .
Penyelesaian :
Fungsi 𝐹(𝑥) =1
2𝑥2 adalah intergal dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 , sehingga
∫ 𝑥 𝑑𝑥2
1
= [ 1
2𝑥2 ]
1
2
= 1
2(2)2 −
1
2(1)2 = 2 −
1
2=
3
2 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 36
22
E. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Dalam persamaan diferensial mempunyai beberapa klasifikasi yang
diantaranya (Ross, 2004)
1. Persamaan Diferensial
Definisi 2.15
Suatu persamaan yang melibatkan turunan fungsi dari satu atau lebih
variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas disebut persamaan
differensial.
Contoh :
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 𝑥𝑦 (𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2
= 0 (2.1)
𝑑3𝑥
𝑑𝑡3 + 2 𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 + 𝑥 = sin 𝑡 (2.2)
𝜕𝑣
𝜕𝑡+
𝜕𝑣
𝜕𝑠= 𝑣 (2.3)
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣
𝜕𝑦2 +𝜕2𝑣
𝜕𝑧2 = 0 (2.4)
2. Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.16
Persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dari suatu fungsi
yang memiliki satu atau lebih variabel terikat dengan tepat satu variabel bebas
disebut dengan persamaan diferensial biasa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 37
23
Contoh :
Persamaan diferensial biasa dapat dilihat pada persamaan (2.1) dan (2.2). Pada
persamaan (2.1) merupakan persamaan diferensial biasa dengan 𝑥 adalah variabel
bebas dan 𝑦 adalah variabel terikat. Sedangkan pada persamaan (2.2) merupakan
persamaan diferensial biasa dengan 𝑡 variabel bebas dan 𝑥 adalah variabel terikat.
3. Persamaan Diferensial Parsial
Definisi 2.17
Persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi
yang memiliki satu atau lebih variabel terikat dengan tepat satu variabel bebas
disebut dengan persamaan diferensial parsial.
Contoh :
Persamaan (2.3) dan (2.4) merupakan persamaan diferensial pasial. Pada persamaan
(2.3) merupakan persamaan diferensial parsial dengan 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas
dan 𝑣 adalah variabel terikat. Sedangkan pada persamaan (2.4) merupakan
persamaan diferensial biasa dengan tiga variabel bebas yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sedangkan
𝑣 adalah variabel terikat.
4. Tingkat Persamaan Diferensial Parsial (Orde)
Definisi 2.18
Urutan tingkatan tertinggi yang terlibat dalam persamaan diferensial disebut
dengan orde dari persamaan diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 38
24
Contoh :
Persamaan diferensial (2.1) merupakan persamaan diferensial biasa orde dua. Pada
persamaan diferensial (2.2) merupakan persamaan diferensial biasa orde tiga.
Sedangkan persamaan diferensial (2.3) dan (2.4) merupakan persamaan diferensial
parsial orde satu dan orde 2.
5. Persamaan Diferensial Biasa Linear
Definisi 2.19
Persamaan diferensial biasa orde 𝑛 dikatakan linear, dalam variabel
terikat 𝑦 dan variabel bebas 𝑥, adalah suatu persamaan yang dapat dibentuk menjadi
𝑎0(𝑥) 𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥),
dimana 𝑎0 tidak sama dengan nol.
Contoh :
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 + 3 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0 , (2.5)
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 + 𝑥 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 + 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥𝑒𝑥 (2.6)
Persamaan diferensial (2.5) dan (2.6) adalah linear. Kedua persamaan diferensial
tersebut memiliki variabel terikat yaitu 𝑦. Dapat diperhatikan bahwa 𝑦 dan berbagai
turunannya terjadi pada pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari 𝑦 dan atau
turunan dari 𝑦.
6. Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear
Definisi 2.20
Suatu persamaan diferensial yang tidak linear disebut dengan
persamaan diferensial nonlinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 39
25
Contoh :
Berikut ini adalah persamaan diferensial biasa nonlinear
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 7𝑦2 = 0 (2.7)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 7 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
3
+ 7𝑦 = 0 (2.8)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 3𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 7𝑦 = 0 (2.9)
Persamaan diferensial biasa (2.7) nonlinear karena variabel terikat 𝑦 ada pada
pangkat kedua dalam bentuk 7𝑦2. Kemudian persamaan diferensial biasa (2.8)
nonlinear karena terdapat 7 (𝑑𝑦
𝑑𝑥)
3
, pada suku tersebut melibatkan pangkat tiga pada
turunan pertamanya. Sedangkan pada persamaan diferensial biasa (2.9) nonlinear
karena terdapat 3𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥 , dimana suku tersebut terdapat perkalian dengan variabel
terikat pada turunan pertamanya.
F. Persamaan Diferensial Parsial
Dalam subbab ini akan dibahas tentang definisi dari turunan parsial, notasi-
notasi yang digunakan dalam persamaan diferensial parsial, dan contoh-contoh dari
persamaan diferensial parsial (Larson et.al, 2009).
Definisi 2.21 Turunan parsial dari fungsi dua variabel
Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka turunan parsial orde pertama dari 𝑓 terhadap 𝑥 dan
𝑦 adalah 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 didefinisikan
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑥
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦
dimana nilai limitnya ada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 40
26
Contoh :
Carilah turunan parsial 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 dari fungsi
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3 + 𝑥2𝑦2 − 𝑦 − 5
Penyelesaian :
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 1 + 2𝑥𝑦2 + 3𝑥2𝑦
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 𝑥3
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3 + 𝑥2𝑦2 − 𝑦 − 5
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 + 2𝑥𝑦2
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2 + 2𝑥2𝑦 − 1 ∎
Notasi yang digunakan dalam turunan parsial orde pertama yaitu :
Untuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka turunan parsial dari 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 dinotasikan sebagai
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑥 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
dan
𝜕
𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Sedangkan turunan parsial pertama pada titik (𝑎, 𝑏) dinotasikan
𝜕𝑧
𝜕𝑥|
(𝑎,𝑏)= 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦|
(𝑎,𝑏)
= 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 41
27
Definisi2.22 Turunan parsial dengan tingkat tinggi
Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi dari dua variabel yaitu 𝑥 dan 𝑦. Karena
turunan parsial 𝜕𝑓
𝜕𝑥 dan
𝜕𝑓
𝜕𝑦 juga merupakan suatu fungsi 𝑥 dan fungsi 𝑦, jika fungsi-
fungsi tersebut mempunyai turunan parsialnya sehingga didapatkan empat
kemungkinan dari turunan parsial tingkat dua yaitu:
1. Turunan kedua terhadap 𝑥
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑓
𝜕𝑥) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2= 𝑓𝑥𝑥
2. Turunan kedua terhadap 𝑦
𝜕
𝜕𝑦(
𝜕𝑓
𝜕𝑦) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2= 𝑓𝑦𝑦
3. Turunan pertama terhadap 𝑥 kemudian terhadap 𝑦
𝜕
𝜕𝑦(
𝜕𝑓
𝜕𝑥) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥= 𝑓𝑥𝑦
4. Turunan pertama terhadap 𝑦 kemudian terhadap 𝑥
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑓
𝜕𝑦) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑓𝑦𝑥 .
Pada kasus 3 dan 4 disebut dengan turunan parsial campuran.
Contoh :
Carilah turunan parsial kedua dari fungsi
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦2 − 3𝑦 + 2𝑥2
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 42
28
Penyelesaian :
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦2 − 3𝑦 + 2𝑥2
Dari fungsi 𝑓 tersebut didapatkan
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑦2 + 4𝑥 dan
𝜕
𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 10𝑥𝑦 − 3
Sehingga
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑓
𝜕𝑥) = 4
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦(
𝜕𝑓
𝜕𝑦) = 10𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦(
𝜕𝑓
𝜕𝑥) = 10𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑓
𝜕𝑦) = 0
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦
Dari fungsi 𝑓 tersebut didapatkan
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦3 + 3𝑥2𝑦 dan
𝜕
𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦2 + 𝑥3
Sehingga
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑓
𝜕𝑥) = 2𝑦3 + 6𝑥𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦(
𝜕𝑓
𝜕𝑦) = 6𝑥2𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦(
𝜕𝑓
𝜕𝑥) = 6𝑥𝑦2 + 3𝑥2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑓
𝜕𝑦) = 6𝑥𝑦2 + 3𝑥2 ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 43
29
G. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial
Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde dua dengan dua
variabel bebas yaitu 𝑥 dan 𝑦 didapatkan
𝐴𝑢𝑥𝑥 + 𝐵𝑢𝑦𝑦 + 𝐶𝑢𝑥𝑦 + 𝐷 = 0
dimana 𝐴, 𝐵, 𝐶, dan 𝐷 merupakan fungsi dari 𝑥 dan 𝑦. Persamaan tersebut mem-
iliki beberapa sifat yang didefinisikan sebagai berikut (Debnath, 2012):
Definisi
Jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0 , maka persamaan diferensial parsial tersebut adalah
hiperbolik.
Contoh :
1. Persamaan gelombang 𝑢𝑡𝑡 + 𝑐2𝑢𝑥𝑥 = 0, merupakan persamaan diferensial
parsial hiperbolik
2. Persamaan 2𝑢𝑥𝑥 − 6𝑢𝑥𝑦 + 2𝑢𝑦𝑦 = 0, merupakan persamaan diferensial
partial hiperbolik karena 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 20 > 0.
Definisi
Jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 , maka persamaan diferensial parsial tersebut adalah
parabolik.
Contoh:
1. Persamaan panas 𝑢𝑡 + 𝛼2𝑢𝑥𝑥 = 0, merupakan persamaan diferensial
parsial parabolik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 44
30
2. Persamaan 8𝑢𝑥𝑥 − 10𝑢𝑥𝑦 + 6𝑢𝑦𝑦 = 0, merupakan persamaan diferensial
parsial parabolik karena 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0.
Definisi
Jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 , maka persamaan diferensial parsial tersebut adalah
eliptik.
Contoh:
1. Persamaan Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, merupakan persamaan diferensial
parsial eliptik.
2. Persamaan 2𝑢𝑥𝑥 − 4𝑢𝑥𝑦 + 3𝑢𝑦𝑦 = 0, merupakan persamaan diferensial
parsial eliptik karena 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = −8 < 0.
H. Pemodelan Matematis
Pemodelan matematis adalah usaha perumusan matematika yang dirancang
untuk sistem dan fenomena atau kejadian alam di dunia nyata. Dalam suatu kejadian
nyata memodelkan secara matematis tidak hanya ada satu model saja, tetapi ada
beberapa model yang berbeda dalam satu kejadian. Akan tetapi perbedaan antar
model tidak terlalu signifikan, karena dalam suatu model dapat menggunakan
kombinasi beberapa model yang ada. Pada pemodelan matematis, model yang akan
dibuat harus dapat merepresentasikan kejadian nyata, dan dapat menstabilkan suatu
kondisi yang mempengaruhi model, seperti pada saat pengumpulan data. Langkah-
langkah dalam merumuskan suatu model matematis antara lain (Giordano et al,
2003)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 45
31
1. Indentifikasi Masalah
Identifikasi masalah merupakan langkah awal yang harus dilakukan saat
membuat model matematis. Langkah ini merupakan bagian yang penting dalam
perumusan model, pada saat mengidentifikasi harus sesuai dengan masalah tersebut
agar memudahkan dalam langkah selanjutnya. Dalam langkah ini biasanya
menganalisis, mengelompokkan data dan mengidentifikasi aspek-aspek dari
permasalahan.
2. Membuat asumsi-asumsi
Langkah setelah pengidentifikasian adalah pembuatan asumsi-asumsi. Pada
umumnya dalam pembuatan model matematis tidak bisa menggunakan semua
faktor yang ada pada pengidentifikasian. Oleh karena itu dalam pembuatan model
matematis disederhanakan dengan mengurangi beberapa faktor yang
dipertimbangkan agar mempermudah dalam memodelkan. Faktor-faktor yang
tersisa harus dikaitkan satu sama lain, dan dengan mengasumsikan hubungan antar
faktor tersebut kompleksitas akan berkurang. Dalam pembuatan asumsi dibagi
menjadi dua bagian antara lain :
a. Mengklasifikasikan variabel
Hal-hal yang dihasilkan pada saat pengidentifikasian langkah pertama
disebut dengan variabel. Variabel diklasifikasikan menjadi tiga yaitu variabel
bebas, variabel terikat, dan tidak keduanya. Dalam variabel bebas ada beberapa
yang dapat diabaikan karena pengaruh dari variabel tersebut yang relatif kecil dan
faktor yang mempengaruhi berbagai variabel dengan cara yang hampir sama,
meskipun memiliki pengaruh penting. Misalnya, pertimbangan bentuk optimal
ruang sekolah, dimana para siswa dapat membaca tulisan di papan tulis dengan jelas
merupakan kriteria yang penting, selain itu pencahayaan juga merupakan hal
penting.
b. Menentukan keterkaitan antar variabel yang dipilih
Dalam menentukan keterkaitan antar variabel tidaklah mudah, pada
langkah awal tidak terlihat hubungan antara semua variabel. Kasus ini disarankan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 46
32
untuk mempelajari submodel, yaitu dengan mempelajari satu atau lebih variabel
bebas secara terpisah. Setelah itu menghubungkan submodel secara bersamaan.
3. Memecahkan atau menyelesaikan model
Langkah ketiga adalah memecahkan atau menginterpretasikan model. Dalam
beberapa kasus model dapat terdiri dari persamaan matematika ataupun
ketidaksetaraan yang harus dipecahkan untuk mendapatkan suatu solusi. Saat
memecahkan masalah membutuhkan solusi terbaik atau optimal untuk model
tersebut. Jika masalah tersebut sangat sulit dan tidak bisa untuk dipecahkan atau
ditafsirkannya. Dengan demikian kembali ke langkah 2 dengan membuat asumsi
penyederhanaan tambahan agar memudahkan dalam pemecahan masalah.
4. Verifikasi model
Verifikasi model. Sebelum menggunakan model, harus dilakukan pengetesan
atau pengujian data. Ada beberapa hal dalam pengujian yang harus dilakukan
diantaranya adalah pertama, model tersebut harus sesuai dengan pengidentifikasian
pada lanngkah awal. Kedua, model tersebut harus mudah diaplikasikan atau praktis.
Ketiga, model tersebut harus dibuat sesuai dengan realita dengan kata lain model
tersebut harus realistik.
5. Implementasi model
Pengimplentasian model ini di harapkan dapat menjadi acuan dalam
pembuatan keputusan dan model ini dapat dimengerti dengan mudah. Selain itu
model tersebut dapat itu berguna bagi siapa pun. Selanjutnya, selain model yang
mudah digunakan akan lebih baik dilakukan langkah tambahan untuk memfasilitasi
pengumpulan dan input data yang diperlukan untuk menentukan keberhasilan atau
kegagalannya model tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 47
33
6. Mempertahankan model
Langkah ini merupakan langkah terakhir dalam membuatan model. Pada
langkah ini model tersebut harus dipertahankan bedasarkan pengidentifikasian dan
asumsi-asumsi yang telah dibuat di langkah pertama dan ke dua.
I. Metode Numeris Untuk Persamaan Diferensial
Dalam subbab ini akan dibahas tentang turunan numeris dengan tiga
pendekatan numeris yaitu hampiran beda maju, hampiran beda tengah, dan
hampiran beda mundur.
Definisi 2.26
Turunan suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Bila fungsi 𝑓(𝑥) diberikan secara eksplisit, maka dapat ditentukan fungsi turun-
annya. Akan tetapi jika fungsi 𝑓(𝑥) tidak diketahui secara eksplisit dan hanya
diketahui beberapa titik saja. Pada kasus seperti itu tidak dapat menentukan nilai
turunan fungsi secara analatik. Meskipun fungsi 𝑓(𝑥) diketahui secara eksplisit
akan tetapi bentuknya terlalu rumit sehingga untuk menentukan fungsi turunannya
juga sulit. Sebagai contoh dari fungsi-fungsi yang sulit untuk diturunkan yaitu:
a. 𝑓(𝑥) =√sin(2𝑥2)+𝑥 tan(3𝑥)
sin 𝑥+𝑒𝑥−2𝑥
cos 𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒(3𝑥−2) ln(5𝑥2)
Untuk kasus pada fungsi (a) dan fungsi (b) turunan dari fungsi tersebut dapat dil-
akukan dengan menggunakan metode numeris. Dan nilai turunan yang diperoleh
merupakan nilai hampiran dengan galat yang diharapkan kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 48
34
Ada tiga pendekatan yang digunakan untuk menghitung turunan numeris
yaitu hampiran beda maju, hampiran beda pusat, dan hampiran beda mundur.
Misalkan diberikan nilai 𝑥 pada 𝑥0 − ℎ, 𝑥0, dan 𝑥0 + ℎ, serta nilai fungsi untuk
nilai-nilai 𝑥 tersebut. Sehingga titik-titik yang diperoleh adalah (𝑥−1, 𝑓−1), (𝑥0, 𝑓0),
dan (𝑥1, 𝑓1), yang dalam hal ini 𝑥−1 = 𝑥0 − ℎ dan 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ. Terdapat tiga pen-
dekatan dalam menghitung 𝑓′(𝑥0) yaitu:
1. Hampiran beda maju
Turunan fungsi 𝑓 dititik 𝑥0 dengan menggunakan hampiran beda maju
adalah
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
=𝑓1 − 𝑓0
ℎ
2. Hampiran beda pusat
Turunan fungsi 𝑓 dititik 𝑥0 dengan menggunakan hampiran beda pusat
adalah
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ
≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ
=𝑓1 − 𝑓−1
2ℎ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 49
35
3. Hampiran beda mundur
Turunan fungsi 𝑓 dititik 𝑥0 dengan menggunakan hampiran beda maju
adalah
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
ℎ
≈𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
ℎ
=𝑓0 − 𝑓−1
ℎ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 50
36
BAB III
MODEL KONTAMINASI AIR TANAH DAN
PENYELESAIANNYA
Bab ini akan membahas tentang pemodelan skema untuk persamaan ad-
veksi-difusi yang kemudian digunakan untuk model kontaminasi air tanah.
A. Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi
Dalam subbab ini akan dibahas tentang persamaan adveksi, persamaan difusi,
dan persamaan adveksi-difusi berdasarkan hukum kekekalan massa.
1. Hukum Kekekalan Massa
Dalam penurunan hukum kekekalan massa, notasi yang akan digunakan
adalah variabel waktu dinyatakan dengan 𝑡 dan variabel jarak dinyatakan dengan 𝑥.
Kemudian untuk menyatakan kecepatan pada posisi 𝑥 dan waktu 𝑡 adalah 𝑢(𝑥, 𝑡).
Sedangkan 𝑞(𝑥, 𝑡) menyatakan konsentrasi zat polutan. Dalam menurunkan
persamaan hukum kekekalan massa terdapat beberapa asumsi. Diasumsikan aliran
air berada dalam satu dimensi dan hanya melibatkan variabel ruang 𝑥 pada waktu
𝑡. Kemudian diasumsikan bahwa tempat air kedap atau tertutup rapat, aliran air
tenang tanpa gangguan dari luar dan kecepatan diabaikan. Maka dari itu massa akan
bergerak melewati titik 𝑥1 dan 𝑥2 karena massa bersifat kekal. Sedemikian
sehingga,
𝑀 = ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑥1
𝑥2 (3.1)
merepresentasikan massa total pelacak antara selang [𝑥1, 𝑥2] pada waktu 𝑡 dan
memiliki satuan massa (𝑔/𝑚2).
Total massa pada [𝑥1, 𝑥2] dapat berubah hanya karena flux atau aliran pertikel
pada [𝑥1, 𝑥2]. Andaikan 𝐹𝑖(𝑡) adalah posisi pelacak yang melewati titik 𝑥𝑖 dimana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 51
37
𝑖 = 1,2. Saat 𝐹𝑖(𝑡) < 0 maka pelacak mengalir ke kiri, sedangkan saat 𝐹𝑖(𝑡) > 0
maka pelacak mengalir ke kanan, untuk setiap |𝐹𝑖(𝑡)| dengan satuan gram per detik.
Karena total massa pada [𝑥1, 𝑥2] berubah hanya saat flux di titik akhir, maka
diperoleh persamaaan
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑥1
𝑥2= 𝐹1(𝑡) − 𝐹2(𝑡). (3.2)
Fungsi aliran 𝐹𝑖(𝑡) mempunyai kaitan dengan 𝑞(𝑥, 𝑡), sehingga akan didapatkan
suatu persamaan untuk 𝑞. Flux pada setiap titik 𝑥 dan waktu 𝑡 merupakan hasil dari
perkalian massa jenis 𝑞(𝑥, 𝑡) dan kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡), sehingga fungsi flux menjadi
flux pada (𝑥, 𝑡) = 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡). (3.3)
Pada hal ini, kecepatan menggambarkan seberapa cepat partikel yang
bergerak melewati titik 𝑥 (meter per detik), sedangkan massa jenis 𝑞
menggambarkan seberapa banyak partikel kimia yang ada di dalam aliran di setiap
𝑥 (gram per detik). Karena 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang diketahui, sehingga
persamaan (3.3) dapat dinyatakan menjadi
flux pada (𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑞, 𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑞. (3.4)
Secara umum nilai flux 𝑓(𝑞) bergantung pada nilai 𝑞 , maka persamaan (3.2) dapat
dinyatakan menjadi
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑥1
𝑥2= 𝑓(𝑞(𝑥1, 𝑡)) − 𝑓(𝑞(𝑥2, 𝑡)) (3.5)
pada sisi kanan dapat disederhanakan dengan notasi sebagai berikut
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑥1
𝑥2= −𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))|𝑥2
𝑥1 (3.6)
Diasumsikan 𝑞 dan 𝑓 adalah fungsi halus maka persamaan (3.5) dapat ditulis
menjadi
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑥1
𝑥2= − ∫
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))
𝑥1
𝑥2𝑑𝑥, (3.7)
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 52
38
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑥1
𝑥2+ ∫
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))
𝑥1
𝑥2𝑑𝑥 = 0, (3.8)
berdasarkan sifat integral tentu maka persamaan (3.8) dapat dinyatakan menjadi
∫ [𝜕
𝜕𝑡𝑞(𝑥, 𝑡) +
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))]
𝑥1
𝑥2𝑑𝑥 = 0 (3.9)
Karena dari persamaan (3.9) integralnya harus sama dengan nol untuk semua 𝑥1
dan 𝑥2 , sehingga persamaan (3.9) menjadi
𝜕
𝜕𝑡𝑞(𝑥, 𝑡) +
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡)) = 0. (3.10)
Persamaan (3.10) disebut bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa. Sehingga
persamaan hukum kekekalan massa dapat dituliskan menjadi
𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0. (3.11)
2. Persamaan Adveksi
Dalam memodelkan persamaan adveksi, diasumsikan zat yang terkandung di
dalam aliran mempunyai konsentrasi sangat kecil, sehingga besarnya konsentrasi
tidak berpengaruh pada dinamika fluida. Dengan kata lain andaikan terdapat sebuah
polutan dalam aliran tersebut maka polutan tersebut akan ikut mengalir sampai ke
hilir tanpa adanya proses penyebaran sedikitpun. Berarti, kecepatan aliran 𝑢(𝑥, 𝑡)
adalah konstan. Sehingga persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi
flux pada (𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑞, 𝑥, 𝑡) = ��𝑞, (3.12)
dari persamaan (3.11) didapat
𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 0. (3.13)
Persamaan (3.13) adalah persamaan adveksi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 53
39
3. Persamaan Difusi
Dalam proses difusi, diasumsikan fluida dalam pipa tidak mengalir dan
kecepatan aliran adalah nol. Berdasarkan persamaan adveksi maka mengakibatkan
��𝑡 = 0 dan konsentrasi polutan tidak berubah terhadap waktu. Akan tetapi, jika
konsentrasi polutan tidak konstan pada ruang, maka seharusnya konsentrasi polutan
masih cenderung berubah secara perlahan karena molekul difusi. Kecepatan ��
harus dianggap sebagai kecepatan rata-rata, dengan kecepatan rata-rata 1023
molekul dalam setetes air. Namun molekul individu bergerak memantul di berbagai
arah, dan begitu pula molekul zat yang dilacak cenderung menyebar di air seperti
tinta yang menyebar dalam air. Hukum Fick tentang difusi menyatakan bahwa flux
bersih sebanding dengan gradien dari 𝑞 , yang ada di dalam ruang satu dimensi
adalah turunannya 𝑞𝑥 . pada titik ini, flux pada titik 𝑥 bergantung pada nilai 𝑞𝑥 dan
tidak bergantung pada nilai 𝑞 , sehingga dapat dinyatakan dengan
flux dari 𝑞 = 𝑓(𝑞𝑥) = −𝛽𝑞𝑥 (3.14)
Persamaan (3.14) merupakan Hukum Pertama Fick tentang difusi, dimana 𝛽 adalah
koefisien difusi. Dengan menggunakan flux (3.14) persamaan (3.10) menjadi
𝑞𝑡 = 𝛽𝑞𝑥𝑥 , (3.15)
persamaan (3.15) merupakan persamaan difusi.
4. Persamaan Adveksi-Difusi
Di dalam aliran fluida, secara umum akan dipengaruhi oleh proses adveksi
dan difusi terjadi secara bersamaan. Maka nilai fluxnya menjadi
𝑓(𝑞, 𝑞𝑥) = �� − 𝛽𝑞𝑥 , (3.16)
dan menghasilkan persamaan adveksi-difusi
𝑞𝑡 + ��𝑞𝑥 = 𝛽𝑞𝑥𝑥. (3.17)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 54
40
B. Perumusan untuk Hukum Kekekalan dengan Metode Volume Hingga
Metode volume hingga adalah salah satu cabang dari metode numeris.
Metode tersebut digunakan untuk mewakili atau mengevaluasi persamaan diferen-
sial parsial. Dalam perumusan hukum kekekalan massa, metode volume hingga
bekerja dengan membagi domain spasial ke dalam interval (grid sel) dan
mengaproksimasi integral 𝑞 untuk masing-masing volume grid sel. Dalam satu
dimensi ruang, metode volume hingga didasarkan pada pengelompokan domain
suatu ruang ke dalam interval. Dengan kata lain pada setiap langkah waktu, nilai-
nilai integral tersebut diperbaharui dengan pendekatan terhadap flux di ujung
interval.
Misalkan grid sel ke-𝑖 dinyatakan dengan
𝐶𝑖 = (𝑥𝑖−
1
2
, 𝑥𝑖+
1
2
),
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1. Nilai 𝑄𝑖𝑛 merupakan perkiraan nilai
rata-rata 𝑖 pada interval waktu 𝑡𝑛
𝑄𝑖𝑛 ≈
1
∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥 ≡
𝑥𝑖+1/2
𝑥𝑖−1/2
1
∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥,
𝐶𝑖 (3.18)
dimana ∆𝑥 = 𝑥𝑖+
1
2
− 𝑥𝑖−
1
2
adalah panjang sel(titik).
Jika 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah fungsi halus, maka integral dari persamaan (3.18)
menyatakan bahwa nilai 𝑞 di titik tengah dari interval ke 𝜗(∆𝑥2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 55
41
𝑄𝑖𝑛+1
𝑡𝑛+1
𝐹𝑖−1/2𝑛 𝐹𝑖+1/2
𝑛
𝑡𝑛
𝑄𝑖−1 𝑛 𝑄𝑖
𝑛 𝑄𝑖+1𝑛
Gambar 3.1. Metode volune hingga untuk memperbarui titik rata-rata 𝑄𝑖𝑛
dengan flux 𝑖 pada titik-titik ujung. Ditampilkan pada ruang 𝑥.
Karena ∑ 𝑄𝑖𝑛∆𝑥𝑁
𝑖=1 adalah aproksimasi dari integral 𝑞 pada seluruh interval [𝑎, 𝑏],
jika menggunakan metode hukum kekalan massa, maka jumlahan dari diskrit akan
berubah pada flux pada batas 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏.
Bentuk integral yang di dapatkan dari hukum kekekalan massa adalah
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝐶𝑖= 𝑓 (𝑞 (𝑥
𝑖−1
2
, 𝑡)) − 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖+
1
2
, 𝑡)). (3.19)
Diberikan 𝑄𝑖𝑛 adalah rata-rata pada waktu 𝑡𝑛 , akan diperkirakan 𝑄𝑖
𝑛+1 pada rata-
rata waktu 𝑡𝑛+1 dengan selang waktu ∆𝑡 = 𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛. Integrasi dari persamaan
(3.19) terhadap waktu dari 𝑡𝑛 ke 𝑡𝑛+1 diperoleh
∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛+1)𝑑𝑥 − 𝐶𝑖
∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥𝐶𝑖
= ∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖−
12
)) 𝑑𝑡 −𝑡𝑛+1
𝑡𝑛
∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖−
12
)) 𝑑𝑡𝑡𝑛+1
𝑡𝑛
.
Dengan menyederhanakan dan dibagi dengan ∆𝑥 didapatkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 56
42
1
∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛+1)𝑑𝑥
𝐶𝑖= ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥
𝐶𝑖
−1
∆𝑥[∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥
𝑖−1
2
)) 𝑑𝑡 −𝑡𝑛+1
𝑡𝑛∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥
𝑖−1
2
)) 𝑑𝑡𝑡𝑛+1
𝑡𝑛].(3.20)
Pada metode numeris diperoleh suatu persamaan
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥(𝐹
𝑖+1
2
𝑛 − 𝐹𝑖−
1
2
𝑛 ) (3.21)
dimana 𝐹𝑖−
1
2
𝑛 adalah aproksimasi dari rata-rata flux pada 𝑥 = 𝑥𝑖−1/2
𝐹𝑖−
1
2
𝑛 ≈ 1
∆𝑡∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥
𝑖−1
2
) , 𝑡) 𝑑𝑡𝑡𝑛+1
𝑡𝑛. (3.22)
Aproksimasi dari rata-rata flux yang didasarkan pada 𝑄𝑛 , maka akan didapatkan
semua metode diskrit atau metode beda hingga. Skema pada proses ini dapat dilihat
pada Gambar 3.1.
Dalam penyebaran dengan kecepatan terbatas, hal tersebut sesuai dengan
perkiraan dalam memperoleh 𝐹𝑖−
1
2
𝑛 berdasarkan pada nilai 𝑄𝑖−1𝑛 dan 𝑄𝑖
𝑛 adalah titik
rata-rata di kedua sisi yang dapat dilihat pada pembahasan (3.21). Didefinisikan
𝐹𝑖−
1
2
𝑛 sebagai berikut
𝐹𝑖−
1
2
𝑛 = ℱ(𝑄𝑖−1𝑛 , 𝑄𝑖
𝑛) (3.23)
dimana ℱ adalah suatu fungsi numeris pada flux. Persamaan (3.23) disubstitusikan
dalam persamaan (3.21) menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥[ℱ(𝑄𝑖
𝑛 , 𝑄𝑖+1𝑛 ) − ℱ(𝑄𝑖−1
𝑛 , 𝑄𝑖𝑛)]. (3.24)
Secara umum metode dari persamaan tersebut adalah metode eksplisit dengan
menggunakan tiga titik, yang berarti bahwa nilai 𝑄𝑖𝑛+1 bergantung pada nilai dari
tiga titik 𝑄𝑖−1𝑛 , 𝑄𝑖
𝑛, dan 𝑄𝑖+1𝑛 pada tingkat waktu sebelumnya. Jumlahan dari semua
sel ∆𝑥𝑄𝑖𝑛+1 dari persamaan (3.21) diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 57
43
∆𝑥 ∑ 𝑄𝑖𝑛+1𝐽
𝑖=𝐼 = ∆𝑥 ∑ 𝑄𝑖𝑛𝐽
𝑖=𝐼 −∆𝑡
∆𝑥(𝐹
𝐽+1
2
𝑛 − 𝐹𝐼−
1
2
𝑛 ) (3.25)
Dari persamaan (3.24) dapat dilihat bahwa aproksimasi beda hingga pada hukum
kekekalan massa 𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0, sehingga didapatkan
𝑄𝑖
𝑛+1−𝑄𝑖𝑛
∆𝑡+
𝐹𝑖+
12
𝑛 −𝐹𝑖−
12
𝑛
∆𝑥= 0 (3.26)
C. Flux Numerik untuk Persamaan Difusi
Persamaan (3.26) tersebut hanya dilihatkan untuk hukum kekekalan massa
dimana flux 𝑓(𝑥) yang hanya tergantung pada posisi dari 𝑞. Secara umum
pengerjaan atau langkah untuk aproksimasi sama seperti pengerjaan persamaan
(3.26) dan memiliki fungsi lebih umum. Misalnya jika flux bergantung secara
eksplisit pada 𝑥 atau flux bergantung turunan pada solusi seperti 𝑞𝑥. Sebagai contoh
adalah persamaan difusi pada persamaan (3.15), dimana flux (3.14) adalah
𝑓(𝑞𝑥 , 𝑥) = −𝛽(𝑥)𝑞𝑥.
Diberikan rata-rata dari dua sel 𝑄𝑖−1 dan 𝑄𝑖, maka numerik dari flux
ℱ(𝑄𝑖−1, 𝑄𝑖) antar sel didefiniskan sebagai
ℱ(𝑄𝑖−1, 𝑄𝑖) = −𝛽𝑖−
1
2
(𝑄𝑖−𝑄𝑖−1
∆𝑥), (3.27)
dimana 𝛽𝑖−
1
2
≈ 𝛽(𝑥𝑖−
1
2
).
Dalam fluk numerik ini memiliki interpretasi fisik secara alami dengan
kuantitas konservasi yang diukur dari 𝑞 mengalir dari satu sel ke sel tetangganya
dengan laju sebanding dengan perbedaan nilai 𝑄 dalam dua sel, dengan 𝛽𝑖−1/2
konduktivitas antar sel-sel. Fluk numerik tersebut merupakan versi makroskopis
dari hukum Fick atau hukum Fourier (hukum pendingin Newton).
Dengan menggunakan (3.27) dan (3.24) memberikan standar diskritisasi
beda hingga dari persamaan difusi sebagai berikut,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 58
44
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 +∆𝑡
∆𝑥2 [𝛽𝑖+
1
2
(𝑄𝑖+1𝑛 − 𝑄𝑖
𝑛) − 𝛽𝑖−
1
2
(𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1
𝑛 )]. (3.28)
Jika 𝛽 ≡ konstanta, persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 +∆𝑡
∆𝑥2 𝛽(𝑄𝑖−1𝑛 − 2𝑄𝑖
𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ), (3.29)
dan persamaan tersebut dapat dilihat bahwa persamaan difusi diaproksimasikan
dengan pendekatan numerik beda pusat.
Pada persamaan parabolik, secara umum metode secara eksplisit tersebut
tidak digunakan, karena pada persamaan parabolik hanya stabil jika ∆𝑡 = 𝜗(∆𝑥2).
Dalam persamaan parabolik lebih sering dilakukan mengaproksimasian dengan
metode implisit, seperti pada metode Crank-Nicolson,
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 +∆𝑡
2∆𝑥2 [𝛽𝑖+
1
2
(𝑄𝑖+1𝑛 − 𝑄𝑖
𝑛) − 𝛽𝑖−
1
2
(𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1
𝑛 )
+𝛽𝑖+
1
2
(𝑄𝑖+1𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛+1) − 𝛽𝑖−
1
2
(𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖−1
𝑛+1)]. (3.30)
Sehingga dapat dilihat sebagai metode volume hingga, dengan flux
𝐹𝑖−1/2𝑛 = −
1
2∆𝑥[𝛽
𝑖−1
2
(𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1
𝑛 ) + 𝛽𝑖−
1
2
(𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖−1
𝑛+1)]. (3.31)
D. Flux Lax-Friedrichs untuk Persamaan Adveksi
Pada metode Lax-Friedrichs klasik memiliki bentuk
𝑄𝑛+1 =1
2(𝑄𝑖−1
𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ) −
∆𝑡
2∆𝑥[𝑓(𝑄𝑖+1
𝑛 ) − 𝑓(𝑄𝑖−1𝑛 )]. (3.32)
Metode tersebut tidak tampak seperti skema (3.21). Akan tetapi, metode
tersebut dapat direpresentasikan ke dalam skema (3.21) dengan mendefinisikan
flux :
𝐹𝑖−1/2𝑛 = 𝐹(𝑄𝑖−1
𝑛 , 𝑄𝑖𝑛) =
1
2[𝑓(𝑄𝑖−1
𝑛 ) + 𝑓(𝑄𝑖𝑛)] −
∆𝑡
2∆𝑥(𝑄𝑖
𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ), (3.33)
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 59
45
𝐹𝑖+1/2𝑛 = 𝐹(𝑄𝑖
𝑛 , 𝑄𝑖+1𝑛 ) =
1
2[𝑓(𝑄𝑖
𝑛) + 𝑓(𝑄𝑖+1𝑛 )] −
∆𝑡
2∆𝑥(𝑄𝑖+1
𝑛 − 𝑄𝑖𝑛). (3.34)
E. Metode Upwind Untuk Persamaan Adveksi
Metode upwind pada persamaan adveksi dengan koefisien konstan dapat
dilihat pada persamaan (3.13). Didefinisikan flux numeris sebagai berikut
𝐹𝑖−1/2𝑛 = ��𝑄𝑖−1
𝑛 . (3.35)
Dengan metode upwind orde satu dan dengan analogi didapatkan
𝑄𝑖
𝑛+1−𝑄𝑖𝑛
∆𝑡+ ��
𝑄𝑖𝑛−𝑄𝑖−1
𝑛
∆𝑥= 0. (3.36)
Persamaan (3.36) dapat ditulis menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −𝑢∆𝑡
∆𝑥(𝑄𝑖
𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ). (3.37)
Jika 𝑄𝑖𝑛 dianggap suatu nilai dari titik pada grid, maka didapatkan 𝑄𝑖
𝑛 ≈
𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛). Seperti pada metode volume hingga, 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah konstan sepanjang
karakteristik.
𝑄𝑖𝑛+1 ≈ 𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛+1) = 𝑞(𝑥𝑖 − �� ∆𝑡, 𝑡𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 60
46
𝑄𝑖𝑛+1
𝑡𝑛+1
𝑡𝑛
𝑄𝑖−1𝑛 𝑄𝑖
𝑛
𝑥𝑖 − �� ∆𝑡
Gambar 3.2. Interpretasi dari metode upwind untuk proses adveksi. Jika 𝑄𝑖𝑛
merupakan suatu nilai di titik grid, maka dapat dilacak kembali suatu karakteristik
dan interpolasinya.
𝑡𝑛+1
𝑡𝑛
𝑄𝑖−1𝑛 𝑄𝑖
𝑛
Gambar 3.3. Interpretasi dari metode upwind untuk proses adveksi. Jika 𝑄𝑖𝑛
merupakan suatu rata-rata dari grid, maka flux pada antar grid ditentukan oleh nilai
dari grid-grid yang berada pada sisi upwind.
Jika dilakukan perkiraan nilai dari sebelah kanan dengan interpolasi linear
antara grid 𝑄𝑖−1𝑛 dan 𝑄𝑖
𝑛, maka didapatkan suatu skema
𝑄𝑖𝑛+1 =
𝑢∆𝑡
∆𝑥𝑄𝑖−1
𝑛 + (1 −𝑢∆𝑡
∆𝑥) 𝑄𝑖
𝑛. (3.38)
Skema (3.38) adalah suatu penyerdehanaan dari metode upwind pada (3.36).
Supaya interpolasi ini sesuai realita, maka karakteristik jatuh diantara titik-titik
pada grid. Sedemikian sehingga,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 61
47
0 ≤𝑢∆𝑡
∆𝑥≤ 1.
Pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 menunjukkan bahwa dilihat dari sudut pandang
volume hingga, dimana nilai 𝑄𝑖𝑛 dilihat sebagai rata-rata sel dari 𝑞 diatas sel ke 𝑖
pada grid 𝐶𝑖. Jika kita memasukkan zat pada sel sehingga zat tersebut memiliki rata-
rata disetiap sel, pada waktu 𝑡𝑛. Hal ini mendefinisikan bahwa fungsi konstan pada
waktu 𝑡𝑛 dengan nilai 𝑄𝑖𝑛 pada sel 𝐶𝑖.
𝑡𝑛+1 𝑡𝑛+1
𝐾𝑖−1/2 𝐾𝑖−1/2
𝑡𝑛 𝑡𝑛
𝑥𝑖−1/2 𝑥𝑖+1/2 𝑥𝑖−1/2 𝑥𝑖+1/2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 62
48
𝑄𝑖−1𝑛 𝑄𝑖−1
𝑛
𝑄𝑖𝑛 𝑄𝑖
𝑛
𝑄𝑖+1𝑛 𝑄𝑖+1
𝑛
(𝑎) (𝑏)
Gambar 3.4 Interpretasi dari propagasi gelombang-gelombang dari metode
upwind untuk persamaan adveksi. Gambar (𝑎) merepresentasikan jika �� > 0, se-
dangkan gambar (𝑏) merepresentasikan jika �� < 0.
Dari Gambar 3.4, pada grafik diatas pasangan terakhir menunjukkan data
pada waktu 𝑡𝑛, direpresentasikan sebagai fungsi konstan satu demi satu. Seiring
berjalannya waktu ∆𝑡 fungsi bergeser dengan jarak �� ∆𝑡 seperti yang ditunjukkan
pada pasangan grafik kedua. Pada grafik kedua dapat dilihat diskontinu dari 𝑥𝑖−1/2
sebagai gelombang 𝐾𝑖−1/2. Sedangkan pada pasangan grafik pertama menunjukkan
bahwa funsi konstan pada langkah waktu terakhir setelah proses adveksi.
Fungsi konstan satu demi satu bergerak kekanan dengan kecepatan ��, dan
melompat antara 𝑄𝑖−1𝑛 dan 𝑄𝑖
𝑛 dengan jarak �� ∆𝑡 mengarah pada sel 𝐶𝑖. Pada akhir
langkah waktu dapat dihitung rata-rata dari sel yang baru yaitu 𝑄𝑖𝑛+1. Untuk
menghitung 𝑄𝑖𝑛+1 harus merata-rata fungsi konstan pada sel tersebut yang di-
tunjukkan pada bagian grafik pasangan pertama Gambar 3.4. Didefinisikan
𝐾𝑖−1/2 ≡ 𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1
𝑛 yang dapat dilihat sebagai suatu gelombang yang bergerak
mengarah ke sel 𝐶𝑖 dengan kecepatan ��. Kemudian definisi tersebut disubstitusikan
pada persamaan (3.36), sehingga persamaan (3.36) menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −𝑢∆𝑡
∆𝑥(𝐾𝑖−1/2). (3.39)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 63
49
Akan tetapi pada arah gelombang mempunyai dua arah yaitu kekanan (�� < 0) atau
kekiri (�� > 0).
Untuk (�� > 0), maka gelombang mengarah kekiri. Gelombang ini mengubah
nilai 𝑞 di setiap titik yang dilaluinya. Karena gelombang tersebut mengarah kekiri
maka dapat dituliskan menjadi −𝐾𝑖−1/2. Seiring bejalannya waktu gelombang ter-
sebut bergerak dengan jarak �� ∆𝑡 dan melewati suatu fraksi ��∆𝑡
∆𝑥 dari grid sel. Se-
hingga rata-rata dari sel tersebut dapat dimodifikasi oleh fraksi dari −𝐾𝑖−1/2 .
Sedemikian sehingga skemanya dapat dilihat pada skema (3.39).
Sedangkan untuk (�� < 0), maka gelombang akan mengarah kekanan. Karena
�� bernilai negatif maka flux numeris pada saat 𝑥𝑖−1/2 adalah :
𝐹𝑖−
1
2
𝑛 = �� 𝑄𝑖𝑛 (3.40)
maka metode upwind skemanya menjadi seperti berikut
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −𝑢∆𝑡
∆𝑥(𝑄𝑖+1
𝑛 − 𝑄𝑖𝑛). (3.41)
Skema (3.41) dapat dituliskan sebagai skema perambatan gelombang dengan
𝐾𝑖+1/2 ≡ 𝑄𝑖+1𝑛 − 𝑄𝑖
𝑛, sehingga skema tersebut menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −𝑢∆𝑡
∆𝑥(𝐾𝑖+1/2). (3.42)
Dari skema (3.35) dan skema (3.40) didapatkan sebuah kombinasi yang
menghasilkan satu skema metode upwind yang berlaku untuk �� bernilai positif
maupun �� benilai negatif. Skema dari kombinasi tersebut dapat dituliskan menjadi
𝐹𝑖−
1
2
𝑛 = ��− 𝑄𝑖𝑛 + ��+ 𝑄𝑖−1
𝑛 , (3.43)
dimana
��+ = max (��, 0), ��− = min (��, 0). (3.44)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 64
50
Suatu versi propagasi gelombang yang dihasilkan dari metode upwind pada
skema (3.39) dan skema (3.42) dapat dikombinasikan menjadi skema yang lebih
umum sebagai berikut :
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥(��+𝐾𝑖−1/2 + ��−𝐾𝑖+1/2). (3.45)
Contoh :
Akan dihitung distribusi transport 𝑞(𝑥, 𝑡) pada suatu pipa air dengan panjang
5 meter. Dengan solusi transportnya diatur oleh persamaan adveksi satu dimensi,
yaitu :
𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 0
dimana 𝑡 > 0 dan 0 < 𝑥 < 5. Dengan syarat awal
𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑄𝑖0 = {
sin(𝑥) + 1 , −𝜋
2< 𝑥 <
3𝜋
20 ,lainnya
dimana ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, dan �� = 1.
Hitunglah
a. 𝑄0(0)
, 𝑄0(1)
, 𝑄0(2)
, 𝑄0(3)
, 𝑄0(4)
, 𝑄0(5)
, 𝑄0(6)
, 𝑄0(7)
, 𝑄0(8)
, 𝑄0(9)
, 𝑄0(10)
.
Kemudian tentukanlah nilai-nilai dari batas awal dan batas akhir pada pipa
air tersebut.
b. Dengan menggunakan rumus 𝑄𝑖𝑛+1 yang didapatkan dari pembahasan ten-
tang persamaan adveksi hitunglah 𝑄0(1)
, 𝑄1(1)
, 𝑄2(1)
, 𝑄3(1)
, 𝑄4(1)
, 𝑄5(1)
,
𝑄6(1)
, 𝑄7(1)
, 𝑄8(1)
, 𝑄9(1)
, 𝑄10(1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 65
51
Penyelesaian :
Diketahui bahwa pipa air memiliki panjang 5 meter dengan ∆𝑥 = 0.5, se-
hingga dapat dilihat seperti Gambar 3.5 berikut.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 𝑥-meter
∆𝑥
Gambar 3.5 Ilustrasi pipa air dengan panjang 5 meter dan ∆𝑥 = 0.5
Dengan demikian pada saat 𝑡 = 0
a. 𝑄0(0)
= 𝑞(0,0) = sin(0) + 1 = 1
𝑄1(0)
= 𝑞(0.5 , 0) = sin(0.5) + 1 = 1.479
𝑄2(0)
= 𝑞(1 , 0) = sin(1) + 1 = 1.841
𝑄3(0)
= 𝑞(1.5 , 0) = sin(1.5) + 1 = 1.997
𝑄4(0)
= 𝑞(2 , 0) = sin(2) + 1 = 1.909
𝑄5(0)
= 𝑞(2.5 , 0) = sin(2.5) + 1 = 1.598
𝑄6(0)
= 𝑞(3 , 0) = sin(3) + 1 = 1.141
𝑄7(0)
= 𝑞(3.5 , 0) = sin(3.5) + 1 = 0.649
𝑄8(0)
= 𝑞(4 , 0) = sin(4) + 1 = 0.243
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 66
52
𝑄9(0)
= 𝑞(4.5 , 0) = sin(4.5) + 1 = 0.022
𝑄10(0)
= 𝑞(5 , 0) = 0
Sehingga didapatkan nilai pada batas awal yaitu 𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0, dan
nilai pada batas akhir yaitu 𝑞(5, 𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0.
Gambar 3.6 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume
hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 saat 𝑡 = 0.
Hasil simulasi penyelesaian persamaan model transport pada pipa air
dengan metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b
ditunjukkan dalam Gambar 3.6 pada hasil simulasi persamaan adveksi satu di-
mensi dengan program pada saat 𝑡 = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 67
53
b. Pada saat 𝑡 = 0.1
Diketahui bahwa ∆𝑡 = 0.1 dan �� = 1, dengan menggunakan skema (3.36)
yang merupakan suatu skema dari persamaan adveksi. Karena dari jawaban
(a.) diperoleh nilai dari batas awal yaitu 𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0. Sehingga
diperoleh:
𝑄0(1)
= 𝑞(0,1) = 1,
dengan demikian untuk 𝑖 = 1, 2, 3, 4, . . . , 9 diperoleh:
𝑄1(1)
= 𝑄1(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄1
(0)− 𝑄0
(0))
= 1.479 −(1)(0.1)
0.5(1.479 − 1)
= 1.479 −1
5(0,479)
= 1.383
𝑄2(1)
= 𝑄2(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄2
(0)− 𝑄1
(0))
= 1.841 −(1)(0.1)
0.5(1.841 − 1.479)
= 1.841 −1
5(0.368)
= 1.7674
𝑄3(1)
= 𝑄3(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄3
(0)− 𝑄2
(0))
= 1.997 −(1)(0.1)
0.5(1.997 − 1.841)
= 1.997 −1
5(0.156)
= 1.9658
𝑄4(1)
= 𝑄4(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄4
(0)− 𝑄3
(0))
= 1.909 −(1)(0.1)
0.5(1.909 − 1.997)
= 1.909 −1
5(−0.088)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 68
54
= 1.9266
𝑄5(1)
= 𝑄5(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄5
(0)− 𝑄4
(0))
= 1.598 −(1)(0.1)
0.5(1.598 − 1.909)
= 1.598 −1
5(−0.311)
= 1.6602
𝑄6(1)
= 𝑄6(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄6
(0)− 𝑄5
(0))
= 1.141 −(1)(0.1)
0.5(1.141 − 1.598)
= 1.141 −1
5(−0.457)
= 1.2324
𝑄7(1)
= 𝑄7(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄7
(0)− 𝑄6
(0))
= 0.649 −(1)(0.1)
0.5(0.649 − 1.141)
= 0.649 −1
5(−0.492)
= 0.7474
𝑄8(1)
= 𝑄8(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄8
(0)− 𝑄7
(0))
= 0.243 −(1)(0.1)
0.5(0.243 − 0.649)
= 0.243 −1
5(−0.406)
= 0.3242
𝑄9(1)
= 𝑄9(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄9
(0)− 𝑄8
(0))
= 0.022 −(1)(0.1)
0.5(0.022 − 0.243)
= 0.022 −1
5(−0.221)
= 0.0662
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 69
55
Karena nilai pada batas akhir yaitu 𝑞(5, 𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0, maka didapat-
kan
𝑄10(1)
= 𝑞(0,1) = 0
Gambar 3.7 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume
hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 saat 𝑡 = 0.1.
Hasil simulasi penyelesaian persamaan model transport pada pipa air
dengan metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b
ditunjukkan dalam Gambar 3.7 pada hasil simulasi persamaan adveksi satu di-
mensi dengan program pada saat 𝑡 = 0.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 70
56
Gambar 3.8 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume
hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 dan 𝑡 = 1.
Hasil simulasi penyelesaian persamaan model transport pada pipa air
dengan metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b
ditunjukkan dalam Gambar 3.8 pada hasil simulasi persamaan adveksi satu di-
mensi dengan program pada saat 𝑡 = 1. Seiring berjalannya waktu dapat dilihat
bahwa aliran air bergerak seperti gelombang sesuai dengan bentuk dari fungsi
sin (𝑥).
F. Persamaan Adveksi-Difusi dengan Metode Volume Hingga
Pada subbab ini akan dirumuskan persamaan adveksi-difusi dengan
menggunakan metode volume hingga. Pada subbab sebelumnya didapatkan skema
untuk persamaan difusi dan persamaan adveksi dengan menggunakan metode vol-
ume hingga. Pada subbab ini akan dilakukan kombinasi dari dua skema tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 71
57
sehingga didapatkan skema dari persamaan adveksi-difusi. Skema untuk persamaan
adveksi dengan metode volume hingga,seperti pada skema (3.36) didapatkan
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −𝑢∆𝑡
∆𝑥(𝑄𝑖
𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ),
atau dapat dituliskan seperti pada skema (3.37) menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛
∆𝑡+ ��
𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1
𝑛
∆𝑥= 0.
Sedangkan untuk skema dari persamaan difusi dengan menggunakan metode vol-
ume hingga yang didapatkan dari subbab sebelumnya yaitu pada skema (3.29) yang
berbentuk seperti berikut
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 +∆𝑡
∆𝑥2𝛽(𝑄𝑖−1
𝑛 − 2𝑄𝑖𝑛 + 𝑄𝑖+1
𝑛 ),
atau dapat dituliskan menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛
∆𝑡=
∆𝑡
∆𝑥2𝛽(𝑄𝑖−1
𝑛 − 2𝑄𝑖𝑛 + 𝑄𝑖+1
𝑛 ).
Demikian sehingga untuk persamaaan adveksi-difusi yang mempunyai ben-
tuk persamaan seperti pada persamaan (3.17) yang berbentuk seperti berikut
𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 𝛽𝑞𝑥𝑥 ,
Dengan pendekatan menggunakan metode volume hingga didapatkan skema se-
bagai berikut:
𝑄𝑖
𝑛+1−𝑄𝑖𝑛
∆𝑡+ ��
𝑄𝑖𝑛−𝑄𝑖−1
𝑛
∆𝑥=
∆𝑡
∆𝑥2 𝛽(𝑄𝑖−1𝑛 − 2𝑄𝑖
𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ) (3.46)
Sehingga dapat dituliskan menjadi
𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛 +��∆𝑡
∆𝑥(𝑄𝑖
𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ) =
∆𝑡2
∆𝑥2𝛽(𝑄𝑖−1
𝑛 − 2𝑄𝑖𝑛 + 𝑄𝑖+1
𝑛 )
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −𝑢∆𝑡
∆𝑥(𝑄𝑖
𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ) +
∆𝑡2
∆𝑥2 𝛽(𝑄𝑖−1𝑛 − 2𝑄𝑖
𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ) (3.47)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 72
58
Contoh :
Akan dihitung distribusi pergerakan dari suatu polutan 𝑞(𝑥, 𝑡) pada suatu
pipa air dengan panjang 5 meter. Dengan solusi dari distribusi pergerakan polutan
diatur oleh persamaan adveksi-difusi satu dimensi, yaitu :
𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 𝛽𝑞𝑥𝑥
dimana 𝑡 > 0 dan 0 < 𝑥 < 5. Dengan syarat awal
𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑄𝑖0 = {
sin(𝑥) + 1 , −𝜋
2< 𝑥 <
3𝜋
20 ,lainnya
dimana ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1, dan 𝛽 = 1.
Hitunglah
a. 𝑄0(0)
, 𝑄0(1)
, 𝑄0(2)
, 𝑄0(3)
, 𝑄0(4)
, 𝑄0(5)
, 𝑄0(6)
, 𝑄0(7)
, 𝑄0(8)
, 𝑄0(9)
, 𝑄0(10)
.
Kemudian tentukanlah nilai-nilai dari batas awal dan batas akhir pada pipa
air tersebut.
b. Dengan menggunakan rumus 𝑄𝑖𝑛+1 yang didapatkan dari pembahasan ten-
tang persamaan adveksi-difusi. Hitunglah 𝑄0(1)
, 𝑄1(1)
, 𝑄2(1)
, 𝑄3(1)
, 𝑄4(1)
,
𝑄5(1)
, 𝑄6(1)
, 𝑄7(1)
, 𝑄8(1)
, 𝑄9(1)
, 𝑄10(1)
.
Penyelesaian :
Diketahui bahwa pipa air memiliki panjang 5 meter dengan ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 =
0.1, �� = 1, dan 𝛽 = 1. Sehingga didapatkan pada saat 𝑡 = 0
a. 𝑄0(0)
= 𝑞(0,0) = sin(0) + 1 = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 73
59
𝑄1(0)
= 𝑞(0.5 , 0) = sin(0.5) + 1 = 1.479
𝑄2(0)
= 𝑞(1 , 0) = sin(1) + 1 = 1.841
𝑄3(0)
= 𝑞(1.5 , 0) = sin(1.5) + 1 = 1.997
𝑄4(0)
= 𝑞(2 , 0) = sin(2) + 1 = 1.909
𝑄5(0)
= 𝑞(2.5 , 0) = sin(2.5) + 1 = 1.598
𝑄6(0)
= 𝑞(3 , 0) = sin(3) + 1 = 1.141
𝑄7(0)
= 𝑞(3.5 , 0) = sin(3.5) + 1 = 0.649
𝑄8(0)
= 𝑞(4 , 0) = sin(4) + 1 = 0.243
𝑄9(0)
= 𝑞(4.5 , 0) = sin(4.5) + 1 = 0.022
𝑄10(0)
= 𝑞(5 , 0) = 0
Sehingga didapatkan nilai pada batas awal yaitu 𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0,
dan nilai pada batas akhir yaitu 𝑞(5, 𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 74
60
Gambar 3.9 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume
hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 saat 𝑡 = 0.
Hasil simulasi penyelesaian model pergerakan polutan pada pipa air dengan
metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b ditunjuk-
kan dalam Gambar 3.9 pada hasil simulasi persamaan adveksi-difusi satu dimensi
dengan program pada saat 𝑡 = 0.
b. Pada saat 𝑡 = 0.1
Diketahui bahwa ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1, dan 𝛽 = 1, dengan
menggunakan skema (3.47) yang merupakan suatu skema dari persamaan
adveksi-difusi. Karena dari jawaban (a.) diperoleh nilai dari batas awal yaitu
𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0. Sehingga diperoleh:
𝑄0(1)
= 𝑞(0,1) = 1,
dengan demikian untuk 𝑖 = 1, 2, 3, 4, . . . , 9 diperoleh :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 75
61
𝑄1(1)
= 𝑄1(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄1
(0)− 𝑄0
(0)) +
(1)(0.1)2
(0.5)2(𝑄0
(0)− 2𝑄1
(0)+ 𝑄2
(0))
= 1.479 −0.1
0.5(1.479 − 1) +
0.01
0.25(1 − 2.958 + 1.841)
= 1.479 − 0.0958 − 0.00468
= 1.378
𝑄2(1)
= 𝑄2(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄2
(0)− 𝑄1
(0)) +
(1)(0.1)2
(0.5)2(𝑄1
(0)− 2𝑄2
(0)+ 𝑄3
(0))
= 1.841 −0.1
0.5(1.841 − 1.479) +
0.01
0.25(1.479 − 3.682 + 1.997)
= 1.841 − 0.0724 − 0.00824
= 1.760
𝑄3(1)
= 𝑄3(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄3
(0)− 𝑄2
(0)) +
(1)(0.1)2
(0.5)2(𝑄2
(0)− 2𝑄3
(0)+ 𝑄4
(0))
= 1.997 −0.1
0.5(1.997 − 1.841) +
0.01
0.25(1.841 − 3.994 + 1.909)
= 1.997 − 0.0312 − 0.00976
= 1.956
𝑄4(1)
= 𝑄4(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄4
(0)− 𝑄3
(0)) +
(1)(0.1)2
(0.5)2(𝑄3
(0)− 2𝑄4
(0)+ 𝑄5
(0))
= 1.909 −0.1
0.5(1.909 − 1.997) +
0.01
0.25(1.997 − 3.818 + 1.598)
= 1.909 + 0.0176 − 0.00892
= 1.918
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 76
62
𝑄5(1)
= 𝑄5(0)
−(1)(0.1)
0.5(𝑄5
(0)− 𝑄4
(0)) +
(1)(0.1)2
(0.5)2(𝑄4
(0)− 2𝑄5
(0)+ 𝑄6
(0))
= 1.598 −0.1
0.5(1.598 − 1.909) +
0.01
0.25(1.909 − 3.196 + 1.141)
= 1.598 + 0.0622 − 0.00584
= 1.654
Untuk iterasi selanjutnya dengan menggunakan bantuan dari software
MATLAB2014b, dilakukan looping pada program tersebut sehingga menghasilkan
:
𝑄6(1)
= 1.231 𝑄9(1)
= 0.074
𝑄7(1)
= 0.751 𝑄10(1)
= 0
𝑄8(1)
= 0.331
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 77
63
Gambar 3.10 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume
hingga dengan ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1 dan 𝛽 = 1, saat 𝑡 = 0.1.
Hasil simulasi penyelesaian model pergerakan polutan pada pipa air dengan
metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b ditunjuk-
kan dalam Gambar 3.10 pada hasil simulasi persamaan adveksi-difusi satu dimensi
dengan program pada saat 𝑡 = 0.1. Selanjutnya akan diperlihatkan hasil simulasi
penyelesaian model pergerakan dari polutan pada saat 𝑡 = 1, dapat dilihat pada
Gambar3.11.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 78
64
Gambar 3.11 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume
hingga dengan ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1 dan 𝛽 = 1, saat 𝑡 = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 79
65
BAB IV
ANALISIS KESTABILAN MODEL KONTAMINASI
AIR TANAH
Pada bab ini akan diperlihatkan seberapa baik model matematis yang telah
didapatkan untuk mengetahui pergerakan dari polutan di dalam air yang berada di
bawah tanah. Simulasi tersebut dilakukan dengan skema yang didapatkan dari per-
samaan adveksi-difusi dengan metode volume hingga. Akan tetapi sebelum
menggunakan skema tersebut kita harus mengetahui kestabilan, kekonsistenan, dan
konvergensi dari skema persamaan adveksi-difusi yang didapatkan dengan
menggunakan metode volume hingga. Dalam hal itu harus dicari syarat-syarat dari
tiga komponen tersebut
A. Galat Keseluruhan dan Konvergensi
Pada suatu perumusan model pasti menginginkan hampiran yang baik
terhadap penyelesaian yang sebenarnya dan dapat mengetahui bagaimana
perbedaan galat dari keseluruhan antara penyelesaian sebenarnya dan hasil dari
perhitungan model tersebut. Dalam pembelajaran, penyelesaian yang halus
merupakan penyelesaian yang baik untuk mempertimbangkan nilai galat pada titik
tertentu (LeVeque, 1992).
𝐸𝑖𝑛 = 𝑄𝑖
𝑛 − 𝑞𝑖𝑛 . (4.1)
Untuk hukum kekekalan biasanya akan lebih baik ketika mempertimbangkan galat
relatif terhadap rata-rata sel pada penyelesaian sebenarnya,
��𝑖𝑛 = 𝑄𝑖
𝑛 − ��𝑖𝑛 (4.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 80
66
Hal ini dapat disatukan sampai batas tertentu dengan menggunakan fungsi galat
𝐸𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑄𝑘(𝑥, 𝑡) − 𝑞(𝑥, 𝑡). (4.3)
Dimana 𝑘 = ∆𝑡, maka 𝐸𝑖𝑛 adalah titik dari nilai 𝐸𝑘 (𝑥𝑖, 𝑡𝑛) sedangkan ��𝑖
𝑛 adalah
rata-rata sel dari 𝐸𝑘 pada waktu 𝑡𝑛. Dengan demikian sehingga didapatkan sebuah
definisi sebagai berikut.
Definisi 4.1 Konvergensi metode numeris
Dapat dikatakan bahwa suatu metode tersebut konvergen pada suatu norm
tentu (norm ‖ ∙ ‖) jika
‖𝐸𝑘(∙ , 𝑡)‖ → 0 dimana 𝑘 → 0, (4.4)
Untuk setiap 𝑡 ≥ 0, dan untuk semua data awal 𝑞0 pada beberapa kelas.
Beberapa pertimbangan yang digunakan untuk menilai seberapa baik suatu f
metode dalam perhitungan numeris, salah satu syarat pentingnya adalah metode
yang dihasilkan harus konvergen. Misalnya solusi numeris harus menjadi satu
dengan solusi persamaan diferensial yang sebenarnya untuk suatu grid yang
dikecilkan atau nilai dari (∆𝑥, ∆𝑡) menuju nol. Dalam kekonvergensian dari metode
volume hingga ini ada dua kondisi yang dibutuhkan yaitu:
Metode tersebut harus konsisten dengan persamaan diferensial, yang
berarti bahwa metode tersebut menghasilkan nilai hampiran yang baik
secara lokal.
Metode tersebut harus stabil yang berarti suatu kesalahan kecil yang dibuat
di setiap langkah waktu tidak dapat berkembang cepat di langkah waktu
selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 81
67
B. Galat Pada Pemotongan Lokal
Pada subbab ini akan dibahas tentang kekonsistentan suatu metode numeris
dengan mempertimbangkan galat pada suatu pemotongan secara lokal. Galat pada
pemotongan lokal 𝐿𝑘(𝑥, 𝑡) adalah suatu ukuran seberapa baik model persamaan
diferesial dengan persamaan diferensial lokal. Hal ini didefinisikan untuk
mengganti nilai dari perkiraan penyelesaian 𝑄𝑖𝑛 pada persamaan diferensial dengan
penyelesaian sebenarnya 𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛). Sehingga penyelesaian sebenarnya pada
persamaan diferensial parsial hanya perkiraan penyelesaian persamaan diferensial
dan seberapa baik persamaan diferensial tersebut memberikan indikasi bagaimana
penyelesaian yang tepat pada persamaan diferensial.
Definisi 4.3
Galat pemotongan lokal untuk metode tingkat dua secara umum didefinisikan
sebagai berikut
𝐿𝑘(𝑥, 𝑡) =1
𝑘[𝑞(𝑥, 𝑡 + 𝑘) − 𝐻𝑘(𝑞(∙ , 𝑡); 𝑥)] (4.5)
dimana 𝐻𝑘 adalah operasi untuk metode numeris
.
Definisi 4.4
Suatu metode numeris konsisten jika
‖𝐿𝑘(∙ , 𝑡)‖ → 0 dimana 𝑘→0 (4.6)
C. Kestabilan
Pada subbab ini akan dibahas tentang definisi-definisi dan syarat-syarat yang
menyatakan suatu metode numeris tersebut stabil pada setiap langkah waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 82
68
Definisi 4.2
Suatu metode dapat dikatakan stabil jika untuk setiap waktu 𝑇 ada suatu
konstanta (𝐶𝑠) yang didapatkan saat 𝑞0 dan nilai 𝑘0 > 0 sedemikian sehingga
‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ 𝐶𝑠 untuk setiap 𝑛𝑘 ≤ 𝑇, 𝑘 < 𝑘0. (4.10)
dimana 𝐻𝑘𝑛 adalah operasi numeris pada waktu 𝑡𝑛, dengan 𝑘 = ∆𝑡.
Kasus khususnya bahwa metode stabil jika
‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ 1
maka
‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ ‖𝐻𝑘‖𝑛 ≤ 1
untuk semua 𝑛, 𝑘.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa suatu metode dikatakan stabil
jika pada galat lokal tidak terlalu besar pada saat langkah waktu 𝑡𝑛 dalam metode
tersebut.
D. Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy
Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) merupakan syarat yang harus
dipenuhi atau syarat perlu untuk metode volume hingga atau metode beda hingga
agar stabil dan konvergen dengan solusi dari persamaan diferensial saat sel pada
grid dikecilkan atau ∆𝑥 menuju nol.
CFL berasal dari nama Courant, Friedrichs, dan Lewy. Mereka menulis salah
satu karya tentang metode beda hingga untuk persamaan diferensial parsial pada
tahun 1928. Mereka menggunaka metode beda hingga sabagai alat analitik untuk
membuktikan penyelesaian suatu persamaan diferensial parsial tertentu. Dimana
idenya adalah menentukan barisan dari hampiran penyelesaian (dengan metode
beda hingga), membuktikan bahwa barisan dari hampiran penyelesaian tersebut
konvergen saat grid diperkecil, dan diperlihatkan limit fungsinya pasti memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 83
69
persamaan diferensial parsial, serta memberikan eksistensi dari penyelesaian.
Dalam membuktikan kekonvergensian barisan tersebut, mereka menemukan syarat
stabilitas yang diperlukan untuk metode numeris :
Kondisi CFL : suatu metode numeris dapat konvergen hanya jika domain
dependen numerisnya memuat domain dependen sebenarnya dari persamaan
diferensial parsial, sekurang-kurangnya limit dari ∆𝑡 dan ∆𝑥 menuju nol.
Domain dependen dari titik (��, 𝑡) didefinisikan sebagai berikut
𝐷(��, 𝑡) = {𝑥0}
dimana (��, 𝑡) adalah setiap titik pada 𝑞(𝑥, 𝑡) yang terikat pada satu titik data awal
yaitu 𝑥0. Pada sistem linear domain dependen 𝐷(��, 𝑡) terdiri dari titik �� − 𝜆𝑝𝑡, di-
mana 𝑝 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 karena data awal yang dapat mempengaruhi
penyelesaiannya di titik (��, 𝑡). Sehingga untuk domain dependen pada metode
numeris didefinisikan 𝐷𝑘(��, 𝑡), pada himpunan titik 𝑥 dengan data awal 𝑞0(𝑥)
dapat berpengaruh pada penyelesaian numeris pada titik (��, 𝑡).
Pada solusi transportasi air untuk persamaan adveksi (3.13) domain dependen
𝐷(��, 𝑡) adalah titik tunggal (�� − ��𝑡), maka kondisi CFL memerlukan
�� −𝑡
𝑟≤ �� − ��𝑡 ≤ �� +
𝑡
𝑟
dimana 𝑟 ≡∆𝑡
∆𝑥, dengan demikian
𝑣 ≡ |��∆𝑡
∆𝑥|
𝑣 adalah bilangan CFL atau biasanya disebut bilangan Courant. Dalam kondisi
yang diperlukan untuk kestabilan bilangan Courant tidak lebih besar dari satu.
Dengan demikian syarat untuk kondisi CFL pada proses transportasi adalah
|��∆𝑡
∆𝑥| ≤ 1
Sehingga didapatkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 84
70
∆𝑡 ≤∆𝑥
��
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ∆𝑡 ≤∆𝑥
𝑢 merupakan syarat perlu untuk
kestabilan dan konvergensi dari metode tersebut.
E. Simulasi dan Pengamatan Galat
Dalam subbab ini akan membahas tentang hasil simulasi penyelesaian
numeris dengan menggunakan skema yang dihasilkan dari metode volume hingga.
Simulasi ini dilakukan dengan menggunakan bantuan MATLAB R2014b.
Berikut ini merupakan grafik hasil simulasi numeris dengan menggunakan
metode volume hingga untuk solusi eksak pertama. Dengan contoh suatu fungsi
yang dapat dicari solusi eksak yaitu
𝑞(𝑥, 𝑡) =1
√4𝑡 + 1𝑒
((𝑥−1−𝑢𝑡)2
𝛽(4𝑡+1)),
dengan kondisi awal
𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑒(
(𝑥−1)2
𝛽),
dimana �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 (Sanjaya F. and
Mungkasi S., 2017).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 85
71
Gambar 4.1. Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-
ume hingga dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 pada saat
waktu 𝑡 = 2.5.
Tabel 4.1 Hasil simulasi numeris berdasarkan skema dari metode volume hingga
dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 saat waktu 𝑡 = 2.5
pada pemotongan dimana 2.25 ≤ 𝑥 ≤ 3.775 .
x Solusi Numeris Solusi Eksak Error
2.3 0.0001 0.0001 0
2.325 0.0002 0.0001 1
2.35 0.0004 0.0002 1
2.375 0.0006 0.0003 1
2.4 0.001 0.0005 1
2.425 0.0016 0.0009 0.777778
2.45 0.0025 0.0015 0.666667
2.475 0.0038 0.0024 0.583333
2.5 0.0058 0.0038 0.526316
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 86
72
2.525 0.0085 0.0058 0.465517
2.55 0.0122 0.0088 0.386364
2.575 0.0172 0.013 0.323077
2.6 0.0237 0.0188 0.260638
2.625 0.0321 0.0265 0.211321
2.65 0.0425 0.0366 0.161202
2.675 0.0552 0.0493 0.119675
2.7 0.0703 0.065 0.081538
2.725 0.0877 0.0838 0.046539
2.75 0.1073 0.1055 0.017062
2.775 0.1287 0.1299 0.009238
2.8 0.1514 0.1563 0.03135
2.825 0.1746 0.1838 0.050054
2.85 0.1974 0.2113 0.065783
2.875 0.219 0.2373 0.077118
2.9 0.2383 0.2606 0.085572
2.925 0.2543 0.2798 0.091137
2.95 0.2663 0.2935 0.092675
2.975 0.2736 0.301 0.09103
3 0.2757 0.3016 0.085875
3.025 0.2727 0.2955 0.077157
3.05 0.2646 0.283 0.065018
3.075 0.252 0.2648 0.048338
3.1 0.2355 0.2423 0.028064
3.125 0.216 0.2166 0.00277
3.15 0.1945 0.1893 0.02747
3.175 0.1718 0.1617 0.062461
3.2 0.149 0.135 0.103704
3.225 0.1269 0.1102 0.151543
3.25 0.106 0.0879 0.205916
Rata-rata Error Relatif 0.258444
Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa rata-rata error pada pemotongan
dengan jarak 𝑥 = 3.25 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 0.258444. Sedangkan
untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab didapatkan er-
ror 0.0471, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 4 persen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 87
73
Gambar 4.2 Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-
ume hingga dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 pada saat
waktu 𝑡 = 5.
Tabel 4.2 Hasil simulasi numeris berdasarkan skema dari metode volume hingga
dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 saat waktu 𝑡 = 5 pada
pemotongan dimana 3.975 ≤ 𝑥 ≤ 4.975.
x Solusi Numeris Solusi Eksak Error
4.075 0.0002 0.0001 1
4.1 0.0003 0.0001 2
4.125 0.0004 0.0002 1
4.15 0.0006 0.0003 1
4.175 0.0008 0.0004 1
4.2 0.0012 0.0006 1
4.225 0.0016 0.0008 1
4.25 0.0022 0.0012 0.83333
4.275 0.0029 0.0017 0.70588
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 88
74
4.3 0.0039 0.0023 0.69565
4.325 0.0052 0.0032 0.625
4.35 0.0068 0.0044 0.54545
4.375 0.0088 0.0059 0.49153
4.4 0.0113 0.0079 0.43038
4.425 0.0143 0.0104 0.375
4.45 0.0179 0.0135 0.32593
4.475 0.0222 0.0174 0.27586
4.5 0.0273 0.0221 0.23529
4.525 0.0332 0.0277 0.19856
4.55 0.04 0.0344 0.16279
4.575 0.0477 0.0422 0.13033
4.6 0.0562 0.0511 0.0998
4.625 0.0656 0.0612 0.0719
4.65 0.0758 0.0725 0.04552
4.675 0.0867 0.0847 0.02361
4.7 0.0982 0.0979 0.00306
4.725 0.11 0.1118 0.0161
4.75 0.1221 0.1261 0.03172
4.775 0.1341 0.1405 0.04555
4.8 0.1458 0.1548 0.05814
4.825 0.1569 0.1685 0.06884
4.85 0.1673 0.1812 0.07671
4.875 0.1765 0.1926 0.08359
4.9 0.1844 0.2022 0.08803
4.925 0.1907 0.2098 0.09104
4.95 0.1953 0.2152 0.09247
4.975 0.1981 0.218 0.09128
Rata-rata Error Relatif 0.4059
Berdasarkan Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa rata-rata error pada pemotongan
dengan jarak 𝑥 = 4.975 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 0.4059. Sedangkan
untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab didapatkan er-
ror 0.1272, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 12 persen.
Gambar 4.1 dan Gambar 4.2 merupakan simulasi numeris dengan metode
volume hingga. Jika grafik kedua solusi numeris tersebut dibandingkan, dari Gam-
bar 4.1 dapat dilihat bahwa simulasi numeris dengan 𝑡 = 2.5 menunjukkan nilai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 89
75
konsentrasi zat polutan tertinggi pada 𝑥 = 3. Sedangkan Gambar 4.2 dapat dilihat
bahwa saat 𝑡 = 5 tingkat kepekatan zat polutan tertinggi pada 𝑥 = 5.
Dari Tabel 4.1 dan Tabel 4.2 merupakan hasil simulasi numeris dengan
pemotongan tiga puluh titik pada posisi 𝑥 yang dapat menunjukkan perbedaan an-
tara solusi numeris dan solusi eksak. Jika hasil dari simulasi dibandingkan berdasar-
kan rata-rata galat yang diberikan dari Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa rata-rata galat
saat 𝑡 = 5 lebih besar dengan nilai rata-rata galat yaitu 0.4059.
Selanjutnya akan dibahas tentang simulasi numeris untuk penyelesaian kon-
taminasi air tanah dengan model yang dihasilkan dengan metode volume hingga.
Berdasarkan jurnal (Saleem et al., 2019), diketahui kecepatan aliran air �� = 0.15
meter per hari dan koefisien difusi 𝛽 = 8 meter kubik per hari. Dengan contoh suatu
fungsi yang dapat dicari solusi eksak yaitu
𝑞(𝑥, 𝑡) =1
√4𝑡 + 1𝑒
((𝑥−1−𝑢𝑡)2
𝛽(4𝑡+1)),
dengan kondisi awal
𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑒(
(𝑥−1)2
𝛽),
dimana ∆𝑥 = 317.46 meter, dan ∆𝑡 = 7 hari. Pada luas area 40 kilometer dalam
waktu 14.600 hari atau 40 tahun. Ditunjukkan pada Gambar 4.3 berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 90
76
Gambar 4.3 Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-
ume hingga dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 7 pada saat waktu
𝑡 = 14600 hari.
Tabel 4.3 Hasil simulasi numeris berdasarkan skema dari metode volume hingga
dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 7 saat waktu 𝑡 = 14600 hari
pada luas area 5.4 kilometer.
X Solusi Numeris Solusi Eksak Error
952.38 0.0005 0.0002 1.5
1269.84 0.001 0.0007 0.428571
1587.3 0.0015 0.0019 0.210526
1904.76 0.002 0.0035 0.428571
2222.22 0.0022 0.0041 0.463415
2539.68 0.0022 0.0032 0.3125
2857.14 0.0019 0.0016 0.1875
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 91
77
3174.6 0.0015 0.0005 2
3492.06 0.0011 0.0001 10
Rata-rata Error Relatif 1.72568
Berdasarkan Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa rata-rata error pada pemotongan
dengan jarak 𝑥 = 3492.06 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 1.72568. Se-
dangkan untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab
didapatkan error 0.4150, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 41.5 per-
sen.
Pada Gambar 4.3 dapat kita lihat bahwa dalam waktu empat puluh tahun
zat polutan akan menyebar pada luas area 5 kilometer hingga 6 kilometer dengan
konsentrasi zat polutan tertinggi pada jarak 2.222 kilometer. Sedangkan dari Tabel
4.3 dapat dilihat bahwa rata-rata error relatif yang dihasilkan dari metode tersebut
dengan pemotongan pada luas area 3.5 kilometer adalah 1.72568.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 92
78
Gambar 4.4 Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-
ume hingga dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 1 pada saat waktu
𝑡 = 14600 hari.
Tabel 4.4 Hasil simulasi numeris berdasarkan skema dari metode volume hingga
dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 1 saat waktu 𝑡 = 14600 hari
pada luas area 3.5 kilometer.
X Solusi Numeris Solusi Eksak Error
952.38 0.0006 0.0002 2
1269.84 0.0009 0.0007 0.285714
1587.3 0.0013 0.0019 0.315789
1904.76 0.0016 0.0035 0.542857
2222.22 0.0018 0.0041 0.560976
2539.68 0.002 0.0032 0.375
2857.14 0.002 0.0016 0.25
3174.6 0.002 0.0005 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 93
79
3492.06 0.0018 0.0001 17
Rata-rata Error Relatif 2.70337
Berdasarkan Tabel 4.4 dapat dilihat bahwa rata-rata error pada pemotongan
dengan jarak 𝑥 = 3492.06 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 2.70337. Se-
dangkan untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab
didapatkan error 0.3371, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 33.7 per-
sen.
Sedangkan pada Gambar 4.4 dapat kita lihat bahwa dalam waktu empat
puluh tahun zat polutan akan menyebar pada luas area 5 kilometer hingga 6 kilo-
meter dengan konsentrasi zat polutan tertinggi pada jarak 2.222 kilometer. Jika kita
membandingkan antara Gambar 4.3 dan Gambar 4.4 dapat dilihat dengan jelas
berdasarkan grafik yang diperoleh bahwa solusi numeris lebih baik saat
menggunakan ∆𝑡 = 1. Sedangkan jika kita lihat Tabel 4.3 dan Tabel 4.4 dapat
mendukung dari perbandingan grafik tersebut bahwa rata-rata error yang dihasilkan
lebih kecil saat ∆𝑡 = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 94
80
Gambar 4.5 Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-
ume hingga dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 31.746, dan ∆𝑡 = 0.7 pada saat waktu
𝑡 = 14600 hari.
Tabel 4.5 Hasil simulasi numeris berdasarkan skema dari metode volume hingga
dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 =317.46
10, dan ∆𝑡 =
7
10 saat waktu 𝑡 = 14600 hari pada
jarak 793.65 meter.
x Solusi Numeris Solusi Eksak Error
31.746 0.00000014 0.00000014 0
63.492 0.00000019 0.00000019 0
95.238 0.00000025 0.00000026 0.038461538
126.984 0.00000033 0.00000034 0.029411765
158.73 0.00000044 0.00000045 0.022222222
190.476 0.00000058 0.0000006 0.033333333
222.222 0.00000076 0.00000079 0.037974684
253.968 0.00000099 0.00000103 0.038834951
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 95
81
285.714 0.00000129 0.00000135 0.044444444
317.46 0.00000167 0.00000175 0.045714286
349.206 0.00000215 0.00000226 0.048672566
380.952 0.00000277 0.00000291 0.048109966
412.698 0.00000355 0.00000373 0.048257373
444.444 0.00000454 0.00000476 0.046218487
476.19 0.00000577 0.00000605 0.046280992
507.936 0.0000073 0.00000765 0.045751634
539.682 0.00000921 0.00000964 0.044605809
571.428 0.00001157 0.00001209 0.043010753
603.174 0.00001448 0.00001509 0.040424122
634.92 0.00001804 0.00001877 0.038891849
666.666 0.00002238 0.00002324 0.037005164
698.412 0.00002765 0.00002865 0.034904014
730.158 0.00003401 0.00003517 0.032982656
761.904 0.00004165 0.00004298 0.030944625
793.65 0.0000508 0.00005231 0.028866374
Rata-rata Error Relatif 3.62129E-02
Berdasarkan Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa rata-rata error pada pemotongan
dengan jarak 𝑥 = 793.65 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 0.0362129. Se-
dangkan untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab
didapatkan error 0.036, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 3.6 per-
sen.
Jika dilakukan perbandingan Gambar 4.3 dan Gambar 4.5, secara visual
terlihat jelas bahwa pendekatan yang dihasilkan jauh lebih baik saat ∆𝑥 dikecilkan
menjadi sepersepuluhnya atau 31.746. Sedangkan jika kita membandingkan ber-
dasarkan Tabel 4.3 dan Tabel 4.5 terlihat jelas bahwa rata-rata error yang
dihasilkan dari metode tersebut lebih baik saat ∆𝑥 diperkecil. Sedemikian sehingga
hal tersebut memenuhi syarat bahwa metode tersebut stabil karena galat lokal yang
dihasilkan pada langkah-langkah dengan menggunakan metode volume hingga
tidak terlalu besar. Saat ∆𝑥 diperkecil berdasarkan syarat kondisi CFL supaya
metode tersebut stabil maka ∆𝑡 harus diperkecil, sehingga galat lokal yang
dihasilkan juga mengecil atau menuju nol maka hal tersebut memenuhi bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 96
82
metode tersebut konsisten. Karena metode tersebut stabil dan konsisten maka
metode volume hingga yang digunakan memenuhi syarat konvergensi. Dengan
demikian metode tersebut baik untuk pendekatan dari model matematis kontami-
nasi air tanah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 97
83
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab
sebelumnya serta akan diberikan saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Pada skripsi ini, penulis telah merumuskan sk ema untuk memperkirakan
pergerakan dari polutan yang ada di dalam tanah. Skema tersebut dimodelkan
dengan menggabungkan dua persamaan yaitu persamaan adveksi dan persamaan
difusi yang dapat disebut dengan persamaan adveksi-difusi. Pada proses tersebut
penulis memodelkan berdasarkan hukum kekakalan massa sehingga persamaan
adveksi-difusi dapat diselesaikan. Pada bab-bab sebelumnya dapat dilihat bahwa
penulis dalam memodelkan skema menggunakan metode numeris yaitu metode
volume hingga. Dari skema tersebut dapat dilihat bahwa skema tesebut memiliki
kestabilan, kekonsistenan, dan kekonvergensian dengan syarat :
1. Metode dikatakan stabil jika untuk setiap waktu 𝑇 ada suatu konstanta 𝐶𝑠
dan nilai 𝑘0 > 0 sedemikian sehingga
‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ 𝐶𝑠 untuk setiap 𝑛𝑘 ≤ 𝑇, 𝑘 < 𝑘0
2. Konsistensi metode numeris jika
‖𝐿𝑘(∙ , 𝑡)‖ → 0 dimana 𝑘→0
3. Konvergensi dari model tersebut jika memenuhi dua syarat yaitu model
tersebut stabil dan konsisten sehingga model tersebut akan konvergen ke
suatu nilai.
Selain dari ketiga syarat itu masih terdapat suatu kondisi yang disebut kon-
disi CFL. Kondisi CFL merupakan syarat perlu supaya metode tersebut stabil dan
konvergen. Dari kondisi tersebut didapatkan syarat yaitu ∆𝑡 ≤∆𝑥
𝑢 yang merupakan
syarat perlu untuk kestabilan dan kekonvergensian. Sehingga metode untuk model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 98
84
tersebut cukup baik digunakan jika kita menggunakan syarat-syarat tersebut dalam
pengaplikasian untuk melacak pergerakan dari suatu polutan yang ada di dalam
tanah. Supaya metode tersebut memiliki kestabilan, kekonsistenan, dan
kekonvergensian.
B. Saran
Pada skripsi ini, penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam
penulisan skripsi. Oleh karena itu penulis berharap kelak ada yang melanjutkan
penelitian ini. Mungkin para peneliti selanjutnya dapat menggunakan metode lain
selain metode volume hingga, sehingga dapat membandingkan mana metode yang
lebih baik untuk memodelkan secara matematis pergerakan polutan yang ada di
dalam tanah. Pada skripsi ini skema yang dihasilkan hanya terbatas oleh satu
dimensi saja, penulis berharap kelak ada yang melanjutkan pada dimensi yang lebih
tinggi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 99
85
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H., Bivens, I., Davis, S. (2012). Calculus Early Transcendental, (tenth
edition). United States of America : Wiley.
Coleman, M. P. (2005). An Introduction to Partial Differential Equations with
MATLAB. Boca Raton: CRC Press.
Debnath, L. (2012). Nonlinear Partial Differential Equations for Scientist and
Engineers, (third edition). New York. Springer.
Fetter, C. W. (2001). Applied Hydrogeology, (fourth edition). Upper Saddle
River: Prentice Hall.
Larson, R., and Edward, B. (2009). Calculus of A Single Variable, (ninth edition).
Belmont: Brooks Cole.
LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws, (second edi-
tion). Basel: Birkhauser Verlag.
LeVeque, R. J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cam-
bridge: Cambridge University Press.
Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
Rosloniec, S. (2008). Fundamental Numerical Methods for Electrical Engineer-
ing. Berlin: Springer.
Ross, S. L. (2008). Differential Equations. Delhi: Wiley.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 100
86
Saleem, H. A., Subyani, A. M., Elfeki, A. (2019). Solute transport model for
groundwater contamination in Wadi Bani Malik, Jeddah, Saudi Arabia.
Arabian Journal of Geosciences. 12:148.
Sanjaya, F. and Mungkasi, S. (2017). A simple but accurate explicit finite differ-
ence method for the advection-diffusion equation. IOP Conf. Series:
Journal of Physics. Conf. Series 909.
Stewart, J. (2008). Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson Education.
Torrilhon, M. dan Xu, K. (2006). Stability and consistensi of kinetic upwinding
for advection-diffusion equations. IMA Journal of Numerical Analysis.
686:722
Wou, Krispianus Krisantus Tena. (2018). Penyelesaian Masalah Konduksi Panas
Pada Media Heterogen Menggunakan Metode Beda Hingga. Skripsi.
Yogyakarta.
Yoman, Ardianus Roy. (2014). Metode Volume Hingga Untuk Persamaan
Adveksi. Skripsi. Yogyakarta.
Zheng, C. and Bennet, G. D. (2002). Applied Contamination Transport Model-
ling, (second edition). Alabama: Wiley Interscience.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 101
87
LAMPIRAN
Berikut ini adalah code pada program MATLAB R2014b untuk solusi
numeris dengan menggunakan volume hingga.
A. CODE MATLAB MASALAH PADA CONTOH PENERAPAN
SKEMA PERSAMAAN ADVEKSI
1. Skema metode upwind untuk persamaan adveksi saat 𝒕 = 𝟎
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan volume hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode upwind'
% by Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=0.5; % delta x (ruang)
x=0:dx:5; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru
dt=0.1; % delta t (waktu)
u=1; % kecepatan aliran air
% Nilai awal q saat t=0
for i=1:n;
if x(i)<= 3*pi/2
qB(i)=sin(x(i))+1;
else x(i)> 3*pi/2
qB(i)=0;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 102
end
end
plot(x,qB)
title('Grafik transport pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
grid on
ylim([-1,3])
pause(0.1) % program akan berhenti setiap 0.1 detik
takhir=0; % waktu akhir
Nt=takhir;
for j=1:Nt;
% perhitungan nilai q saat t=dt
qL=qB
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-1)));
end
qB(n)=qB(n-1);
plot(x,qB)
title('Grafik transport pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
ylim([-1,3])
pause(0.1)
t=j
end
2. Skema metode upwind untuk persamaan adveksi saat 𝒕 = 𝟏
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode upwind'
% by Aji Asa Lelana Buwana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 103
clc
clear
close all
dx=0.5; % delta x (ruang)
x=0:dx:5; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru
dt=0.1; % delta t (waktu)
u=1; % kecepatan aliran air
% Nilai awal q saat t=0
for i=1:n;
if x(i)<= 3*pi/2
qB(i)=sin(x(i))+1;
else x(i)> 3*pi/2
qB(i)=0;
end
end
plot(x,qB)
title('Grafik transport pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
grid on
ylim([-1,3])
pause(0.1) % program akan berhenti setiap 0.1 detik
takhir=1; % waktu akhir
Nt=takhir;
for j=1:Nt;
% perhitungan nilai q saat t=dt
qL=qB
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-1)));
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 104
qB(n)=qB(n-1);
plot(x,qB)
title('Grafik transport pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
ylim([-1,3])
pause(0.1)
t=j
end
3. Skema metode upwind untuk persamaan adveksi saat 𝒕 = 𝟏𝟎
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode upwind'
% by Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=0.5; % delta x (ruang)
x=0:dx:5; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru
dt=0.1; % delta t (waktu)
u=1; % kecepatan aliran air
% Nilai awal q saat t=0
for i=1:n;
if x(i)<= 3*pi/2
qB(i)=sin(x(i))+1;
else x(i)> 3*pi/2
qB(i)=0;
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 105
end
plot(x,qB)
title('Grafik transport pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
grid on
ylim([-1,3])
pause(0.1) % program akan berhenti setiap 0.1 detik
takhir=10; % waktu akhir
Nt=takhir;
for j=1:Nt;
% perhitungan nilai q saat t=dt
qL=qB
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-1)));
end
qB(n)=qB(n-1);
plot(x,qB)
title('Grafik transport pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
ylim([-1,3])
pause(0.1)
t=j
end
B. CODE MATLAB MASALAH PADA CONTOH PENERAPAN
SKEMA PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI
1. Skema metode volume hingga untuk persamaan adveksi-difusi saat 𝒕 =
𝟎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 106
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi-difusi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=0.5; % delta x (ruang)
x=0:dx:5; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru
dt=0.1; % delta t (waktu)
u=1; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=1; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
if x(i)<= 3*pi/2
qB(i)=sin(x(i))+1;
else x(i)> 3*pi/2
qB(i)=0;
end
end
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
grid on
ylim([-1,3])
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
takhir=0; % waktu akhir
Nt=takhir;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 107
% Nilai perhitungan dengan skema metode volume hingga
for j=1:Nt;
% perhitungan nilai q saat t=dt
qL=qB
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-
1)))+((dt./dx)^2)*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
qB(n)=qB(n-1); % Nilai q ke-n sama dengan q sebelumnya
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
ylim([-1,3])
pause(0.1)
t=j
end
2. Skema metode volume hingga untuk persamaan adveksi-difusi saat 𝒕 =
𝟏
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi-difusi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=0.5; % delta x (ruang)
x=0:dx:5; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 108
qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru
dt=0.1; % delta t (waktu)
u=1; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=1; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
if x(i)<= 3*pi/2
qB(i)=sin(x(i))+1;
else x(i)> 3*pi/2
qB(i)=0;
end
end
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
grid on
ylim([-1,3])
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
takhir=1; % waktu akhir
Nt=takhir;
% Nilai perhitungan dengan skema metode volume hingga
for j=1:Nt;
% perhitungan nilai q saat t=dt
qL=qB
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-
1)))+((dt./dx)^2)*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
qB(n)=qB(n-1); % Nilai q ke-n sama dengan q sebelumnya
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 109
hold on
ylim([-1,3])
pause(0.1)
t=j
end
3. Skema metode volume hingga untuk persamaan adveksi-difusi saat 𝒕 =
𝟏𝟎
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi-difusi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
;dx=0.5; % delta x (ruang)
x=0:dx:5; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru
dt=0.1; % delta t (waktu)
u=1; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=1; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
if x(i)<= 3*pi/2
qB(i)=sin(x(i))+1;
else x(i)> 3*pi/2
qB(i)=0;
end
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 110
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
grid on
ylim([-1,3])
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
takhir=10; % waktu akhir
Nt=takhir;
% Nilai perhitungan dengan skema metode volume hingga
for j=1:Nt;
% perhitungan nilai q saat t=dt
qL=qB
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-
1)))+((dt./dx)^2)*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
qB(n)=qB(n-1); % Nilai q ke-n sama dengan q sebelumnya
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
hold on
ylim([-1,3])
pause(0.1)
t=j
end
C. CODE MATLAB SIMULASI KONTAMINASI AIR TANAH
1. Skema kontaminasi air saat 𝒕 = 𝟐. 𝟓
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 111
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Sudi Mungkasi dan Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=0.025;% delta x (ruang)
L=9; % panjang area
x=0:dx:L; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q baru
ex=zeros(1,n);%vektor penyimpanan nilai eksak
dt=0.0125; % delta t (waktu)
T=2.5; % rentang waktu
t=0:dt:T; %domain waktu
m=length(t); %banyaknya titik dalam waktu
%parameter
u=0.8; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=0.005; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);
end
figure(1)
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
grid on
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
hold off
% Perhitungan dengan skema volume hingga
for j=1:m-1;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 112
qL = qB;
%mengitung pada solusi ujung
qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
%perhitungan numeris
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i) - u*dt/dx*(qL(i)-qL(i-1)) +
(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
% solusi eksak
for i=1:n;
ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
end
plot(x,qB,'blue',x,ex,'red')
grid on
pause(0.001)
% error
error=abs((ex-qB)/ex);
end
xlabel('posisi x')
ylabel('konsentrasi q(x,t)')
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
legend('solusi numeris', 'solusi eksak')
disp('=================================')
disp(' Snumeris Seksak Error')
disp('=================================')
disp([qB(1:160)' ex(1:160)' error(1:160)'])
2. Skema kontaminasi air saat 𝒕 = 𝟓
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 113
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Sudi Mungkasi dan Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=0.025;% delta x (ruang)
L=9; % panjang area
x=0:dx:L; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q baru
ex=zeros(1,n);%vektor penyimpanan nilai eksak
dt=0.0125; % delta t (waktu)
T=5; % rentang waktu
t=0:dt:T; %domain waktu
m=length(t); %banyaknya titik dalam waktu
%parameter
u=0.8; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=0.005; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);
end
figure(1)
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
ylim([-0.1,1])
grid on
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
hold off
% Perhitungan dengan skema volume hingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 114
for j=1:m-1;
qL = qB;
%mengitung pada solusi ujung
qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
%perhitungan numeris
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i) - u*dt/dx*(qL(i)-qL(i-1)) +
(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
% solusi eksak
for i=1:n;
ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
end
plot(x,qB,'blue',x,ex,'red')
grid on
pause(0.001)
% error
error=abs((ex-qB)/ex);
end
xlabel('posisi x')
ylabel('konsentrasi q(x,t)')
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
legend('solusi numeris', 'solusi eksak')
disp('=================================')
disp(' Snumeris Seksak Error')
disp('=================================')
disp([qB(1:240)' ex(1:240)' error(1:240)'])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 115
3. Skema kontaminasi air saat ∆𝒕 = 𝟕
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Sudi Mungkasi dan Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=317.46;% delta x (ruang)
L=40000; % panjang area
x=0:dx:L; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q baru
ex=zeros(1,n);%vektor penyimpanan nilai eksak
dt=7; % delta t (waktu)
T=14600; % rentang waktu
t=0:dt:T; % domain waktu
m=length(t);% banyaknya titik waktu
%parameter
u=0.15; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=8; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);
end
figure(1)
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
grid on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 116
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
hold off
% Perhitungan dengan skema volume hingga
for j=1:m-1;
qL = qB;
%mengitung pada solusi ujung
qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
%perhitungan numeris
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i) - u*dt/dx*(qL(i)-qL(i-1)) +
(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
% solusi eksak
for i=1:n;
ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
end
plot(x,qB,'blue',x,ex,'k')
grid on
pause(0.001)
% error
error=abs((ex-qB)/ex);
end
xlabel('posisi x')
ylabel('konsentrasi q(x,t)')
title('Grafik penyebaran polutan dalam air tanah')
legend('solusi numeris', 'solusi eksak')
disp('=================================')
disp(' Snumeris Seksak Error')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 117
disp('=================================')
disp([ qB(1:25)' ex(1:25)' error(1:25)'])
4. Skema kontaminasi air saat ∆𝒕 = 𝟏
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Sudi Mungkasi dan Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=317.46;% delta x (ruang)
L=40000; % panjang area
x=0:dx:L; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q baru
ex=zeros(1,n);%vektor penyimpanan nilai eksak
dt=7; % delta t (waktu)
T=14600; % rentang waktu
t=0:dt:T; % domain waktu
m=length(t);% banyaknya titik waktu
%parameter
u=0.15; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=8; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);
end
figure(1)
plot(x,qB)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 118
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
grid on
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
hold off
% Perhitungan dengan skema volume hingga
for j=1:m-1;
qL = qB;
%mengitung pada solusi ujung
qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
%perhitungan numeris
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i) - u*dt/dx*(qL(i)-qL(i-1)) +
(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
% solusi eksak
for i=1:n;
ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
end
plot(x,qB,'blue',x,ex,'red')
grid on
pause(0.001)
% error
error=abs((ex-qB)/ex);
end
xlabel('posisi x')
ylabel('konsentrasi q(x,t)')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 119
title('Grafik penyebaran polutan dalam air tanah')
legend('solusi numeris', 'solusi eksak')
disp('=================================')
disp(' Snumeris Seksak Error')
disp('=================================')
disp([ qB(1:25)' ex(1:25)' error(1:25)'])
5. Skema kontaminasi air saat ∆𝒕 = 𝟕/𝟏𝟎 dan ∆𝒙 = 𝟑𝟏𝟕. 𝟒𝟔/𝟏𝟎
% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan
menggunakan voluma hingga
%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'
% by Sudi Mungkasi dan Aji Asa Lelana Buwana
clc
clear
close all
dx=317.46/10;% delta x (ruang)
L=40000; % panjang area
x=0:dx:L; % domain ruang
n=length(x); % banyaknya titik ruang
qL=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q lama
qB=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q baru
ex=zeros(1,n);%vektor penyimpanan nilai eksak
dt=7/10; % delta t (waktu)
T=14600; % rentang waktu
t=0:dt:T; % domain waktu
m=length(t);% banyaknya titik waktu
%parameter
u=0.15; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air
B=8; % koefisien difusi
% Nilai awal q saat t = 0
for i=1:n;
qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 120
end
figure(1)
plot(x,qB)
title('Grafik pergerakan polutan pada air')
xlabel('x')
ylabel('q(x,t)')
grid on
pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik
hold off
% Perhitungan dengan skema volume hingga
for j=1:m-1;
qL = qB;
%mengitung pada solusi ujung
qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
%perhitungan numeris
for i=2:n-1
qB(i)=qL(i) - u*dt/dx*(qL(i)-qL(i-1)) +
(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));
end
% solusi eksak
for i=1:n;
ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-
u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));
end
plot(x,qB,'blue',x,ex,'red')
grid on
pause(0.001)
% error
error=abs((ex-qB)/ex);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 121
end
xlabel('posisi x')
ylabel('konsentrasi q(x,t)')
title('Grafik penyebaran polutan dalam air tanah')
legend('solusi numeris', 'solusi eksak')
disp('=================================')
disp(' Snumeris Seksak Error')
disp('=================================')
disp([ qB(1:25)' ex(1:25)' error(1:25)'])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI