CITAS MEMORABLES SOBRE PITGORAS
CITAS MEMORABLES SOBRE PITGORAS0.- Aprende lo necesario para que
tu vida sea ms feliz. Lo mejor en todo es la justa medida.
Reflexiona sobre todo tomando como gua la recta razn. Pitgoras. Los
Versos de Oro (31, 38, 6869).
1.- Pitgoras exhort al que ambicionara una autntica fama a ser
individualmente tal como quisiera parecer a los dems. [...].
Pitgoras exhort a ejercitarse en el escuchar a fin de capacitarse
para hablar. Jmblico, Vida Pitagrica. ( IX.49, p.43 ; X.53,
p.45).
2.- Para Pitgoras la primera esencia era la naturaleza de los
nmeros y proporciones que se extienden a travs de todas las cosas,
de acuerdo con los cuales todo est armnicamente dispuesto y
convenientemente ordenado. Jmblico, Vida Pitagrica., XII.59,
p.49.
3.- Pitgoras fue el primero en usar el nombre de Filosofa y se
llam a s mismo filsofo o amante de la sabidura. [...]. Ninguno de
los hombres, dijo Pitgoras, es sabio: slo lo es Dios. Digenes
Laercio. Vida de los filsofos ms ilustres. Libro I. Proemio.VIII,
pp.1112.
4.- En Roma nadie era considerado instruido si no era pitagrico.
Cicern (Tusculanas, I.1, XVI).
5.- El mundo platnico de las ideas es la forma revisada y
refinada de la doctrina pitagrica de que el nmero es la base del
mundo real. A.Whitehead.La Matemtica en la Historia del Pensamiento
(en SIGMA, el mundo de las Matemticas, Vol.1, p.332).
6.- En el nmeroreside, como lo comprendi Pitgoras con la ntima
certidumbre de una sublime intuicin religiosa, la esencia de todo
lo real. [...] La afirmacin pitagrica de que el nmero es la esencia
de todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la
ms valiosa proposicin de la Matemtica antigua. O.Spengler. El
sentido de los nmeros (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1).
Austral, Madrid, 1998, pp.132,148.
7.- Pitgoras es un gran pensador cuya escuela estableci una
relacin entre las Matemticas, la Ciencia y la Filosofa que no se ha
perdido nunca. J.Bernal. Historia social de la Ciencia. Pennsula,
Barcelona, 1979 vol.1. pp.149150.
8.- La Matemtica nace a la sombra de la metafsica pitagrica
fundada en la omnipresencia y omnipotencia del numero. J.Babini.
Arqumedes:El Mtodo. Eudeba,Buenos Aires, 1966, p.14.
9.- Pitgoras fue el primer pensador que intent conciliar las
Matemticas con la Filosofa, una de las mayores aportaciones
realizadas a la civilizacin a lo largo de toda la historia. Desde
entonces, las Matemticas han mantenido una estrechsima relacin con
la Filosofa y la Ciencia, hasta el punto de que algunos de los ms
grandes filsofos han sido tambin grandes matemticos. B.Mage.
Historia de la Filosofa, Blume, Barcelona, 1988. p.15.
10.- Pitgoras es intelectualmente uno de los hombres ms
importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en
la Historia del Pensamiento. Bertrand Russell. Historia de la
Filosofa Occidental, Austral, vol.1, p.65..
Pitgoras, entre la historia y la leyendaAdems de su decisiva
contribucin al acervo matemtico griego, Pitgoras es el principal
responsable a travs de la prctica de la demostracin del nacimiento
en Grecia de la Matemtica racional como ciencia especulativa y
deductiva.
Es sin duda, adems, el matemtico ms conocido. Pero ms all de la
Matemtica, en el mbito ms general de la Historia de la Cultura,
Pitgoras es realmente un personaje muy clebre. Su figura es una de
las ms apasionantes de la Historia del Pensamiento. Racionalista y
mstico, filsofo y telogo, matemtico y experimentador, sabio y
profeta, maestro y asceta, psiclogo y orador, promotor religioso y
taumaturgo, interrogador del Cosmos e instaurador de un estilo de
vida, gran conversador y amante del silencio reflexivo, hombre de
carne y hueso y personaje mtico,
Pitgoras es el primigenio inductor de una parte considerable de
los elementos culturales que al configurar en gran medida el
pensamiento platnico, influyeron de forma decisiva sobre la ciencia
alejandrina y el primer Cristianismo y dejaron una estela que ha
pervivido a lo largo de los tiempos y ha conformado la tradicin del
pensamiento occidental hasta nuestros das, lo que convierte a
Pitgoras en uno de los personajes ms influyentes en la Historia de
la Cultura y del Pensamiento.
Como filsofo del nmero, para Pitgoras y los pitagricos,
Filosofa, Ciencia, Matemticas y Religin son aspectos indisociables
que se integran en una apasionada actividad intelectual presidida
por un misticismo de carcter aritmticogeomtrico. Al acuar para la
posteridad, en el lenguaje del saber, los trminos Filosofa (amor a
la sabidura) y Matemticas (lo que se conoce, lo que se aprende),
Pitgoras es uno de los artfices del milagro griego como principal
instaurador de la tradicin filosfica y matemtica en occidente,
contribuyendo su legado de forma incuestionable a establecer una
ntima y duradera relacin entre Matemtica, Ciencia y Filosofa.
Entre la historia y la ficcin, la extraordinaria figura de
Pitgoras ha sido muy controvertida, estando inmersa en un halo
misterioso que envuelve a leyendas y tradiciones sobre el
personaje. Se ha llegado incluso a dudar de su existencia. El mismo
Aristteles que vivi tan slo doscientos aos despus de Pitgoras, es
muy cauto y no se compromete, a pesar de la tradicin, con
atribuciones personales a Pitgoras de doctrina matemtica, musical o
cosmolgica alguna y prefiere hablar de los pitagricos ms que de
Pitgoras, a quien, mencionando slo en dos ocasiones, parece poner
en entredicho su existencia real. Estas suposiciones son
desmentidas por algunos documentados testimonios de Herclito y
Herodoto. Actualmente la investigacin histrica parece haber dejado
fuera de toda duda la historicidad de Pitgoras, pero de todas
formas la figura histrica de Pitgoras ha sido muy edulcorada por
parte de quienes ms que bigrafos son hagigrafos, sobre todo Digenes
Laercio y Porfirio, del siglo III d.C. y Jmblico, del siglo IV.
Lstima que la obra de Aristteles Sobre los Pitagricos se haya
perdido, aunque es plausible que en ella se hallara ms doctrina
pitagrica que biografa del maestro. Durante mucho tiempo hubo un
gran escepticismo sobre la verosimilitud de las biografas de
Pitgoras, atribuyndoles ms novela que historia, ante el estilo
laudatorio sobre las peripecias cientficas y las enseanzas
religiosas del sumo pontfice del Pitagorismo. Actualmente, la
investigacin y la crtica histrica de algunos eruditos han separado
la ganga fantstica de la mena histrica y sobre todo tras la
reciente publicacin de la obra de B.L. Van der Waerden Die
Pythagoreer (Zurich, 1979), se tiende a dar ms credibilidad a los
bigrafos aludidos considerando que ellos pudieron tal vez disponer
de documentos prximos a los tiempos del Pitagorismo.
Pitgoras naci en la isla de Samos. Tras una exquisita formacin
intelectual bajo la direccin de los filsofos Ferecides y
Hermodomas, es probable y as lo asegura Jmblico que visitara a
Tales en Mileto y aprendiera directamente de l lo que por
proximidad cronolgica y geogrfica habra sido posible. Avido de
ampliar conocimientos, al haber agotado las fuentes del saber
griego de la poca, con un alma helnica, inquieta y viajera, y
aconsejado por la experiencia personal de Tales, Pitgoras habra
estado en Egipto y Mesopotamia, donde los sacerdotes y escribas le
debieron inculcar no slo de la ciencia exotrica, como a Tales, sino
tambin de la ciencia esotrica que impregnara toda su elaboracin
cientfica y la transmisin de la misma a sus discpulos. Es posible
incluso que en sus peregrinaciones Pitgoras llegara hasta la India
donde habra asimilado tanto conocimientos matemticos y astronmicos
como mucho bagaje religioso, en particular las doctrinas sobre la
reencarnacin y la transmigracin de las almas, que sera un lugar
comn en la Comunidad Pitagrica. Incluso se le atribuyen viajes por
el Mediterrneo desde Fenicia hasta las Columnas de Hrcules y de aqu
a las Galias y a las Islas Britnicas para aprender de los druidas.
El saber milenario de egipcios, fenicios, judos, rabes, caldeos,
persas, indios y druidas habra conformado, segn tradiciones
legendarias, la extraordinaria sabidura de Pitgoras. Al regreso de
sus viajes, Pitgoras sesienteimbuido de una funcin casi mesinica de
transmisin de la verdad y el conocimiento y empieza a exponer
doctrina matemtica, filosfica y religiosa, primero en Samos y
despus en Crotona, colonia drica de la Magna Grecia, situada en la
costa sudeste de Italia, donde funda una comunidad de carcter
cientfico y religioso. La leyenda persigue a Pitgoras hasta el
umbral de su muerte que se ha descrito con todo tipo deversiones ms
o menos peregrinas, algunas incluso de tipo violento en relacin con
las frecuentes hostilidades entre Crotona y Sibaris. Segn lo ms
fiable parece ser que muri en Metaponto, hacia el ao 500
a.C..Pitgoras: Filosofa, Religin, Ciencia y Matemticas.Nicmaco de
Gerasa (en Introduccin a la Aritmtica), Digenes Laercio (en Vida de
los filsofos ms ilustres ) y Jmblico (en Vida pitagrica), entre
otros, atribuyen a Pitgoras los trminos Filosofa y Filsofo, como el
amor y el amante de la Sabidura, respectivamente.
Pitgoras fue el primero en utilizar el trmino Cosmos para
describir el orden y la armona inherentes a un universo regido por
unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a travs del
nmero que es el principio elemental, la esencia de todas las cosas,
componente esencial de la armona matemtica que debe guiar, con
finalidad religiosa, toda investigacin sobre el universo. Pitgoras
alcanzara esta iluminacin, tras sus viajes, a travs de su propia
reflexin sobre la sabidura milenaria de los pueblos de Oriente
Prximo. De los egipcios aprendera que las formas de las figuras
geomtricas se ajustan a nmeros y proporciones y de Mesopotamia que
los movimientos de los astros estn regidos por leyes numricas. De
su propia experimentacin, Pitgoras deduce que la armona musical
tambin est regida por el nmero. De estos tres hechos, tras una
audaz extrapolacin, Pitgoras estableci que el nmero es la esencia
del universo y que el nmero es la raz y fuente de la naturaleza
eterna.
Bajo estos presupuestos vitales e intelectuales, Pitgoras funda
una comunidad en la que los aspectos cientficos y religiosos estn
ntimamente asociados de forma mstica. Se trata de una secta animada
por el culto ritual que recuerda a los adoradores de Orfeo, donde
las armonas y misterios de la Matemtica y de la Filosofa eran
partes esenciales y cuya influencia no tard en hacerse sentir en
toda la Magna Grecia e incluso en Roma. El principal objeto de las
doctrinas pitagricas era la purificacin del alma o catarsis
mediante la permanente prosecucin de estudios filosficos,
matemticos y cosmolgicos, emprendidos como factores de sublimacin
espiritual para la direccin de la existencia, merced a la
identificacin intelectual filosfica con la gran idea divina
ordenadora del universo: el nmero, que integra y confiere unidad a
todo un sistema de pensamiento filosfico, cientfico y religioso.
Las propias palabras Filosofa y Matemtica parece que fueron acuadas
por el propio Pitgoras para describir sus actividades
intelectuales, como elementos de elevacin moral hacia la
salvacin.
Los pitagricos perseguan penetrar en el secreto de la armona de
los nmeros, ya que desvelado ste crean poder comprender la armona
del universo. Soaban con poder captar la esencia del universo bajo
la forma de nmeros enteros, imaginndose estar tras las huellas del
misterio ltimo de las cosas. Los pitagricos vinculaban ntimamente
Mstica, Religin y Ciencia; Geometra, Msica, y Cosmologa;
Aritmologa, Metafsica y Filosofa; cuerpo, alma y espritu en una
armoniosa sntesis. Quiz resida en esa capacidad unificadora del
Pitagorismo entre lo cientfico-racional y lo mstico-religioso su
radicacin profunda en la matriz de la Cultura Griega y por ende en
su heredera, nuestra llamada Cultura Occidental.
Pero ms all de la Filosofa, la Mstica y la Religin, Pitgoras y
los pitagricos aportaron un ingente caudal de conocimientos
matemticos. Proclo escribe Sobre Pitgoras en su celebre Comentario
al Libro I de Los Elementos de Euclides:
Pitgoras transform la doctrina filosfica que trata de la
geometraen enseanza liberal, examin desde lo alto sus principios,
investig los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y
descubri la dificultad de los nmeros irracionales y la construccin
de las figuras csmicas [poliedros].
Segn Proclo, Pitgoras marca un hito en la Historia de la
Matemtica, al transformar la Geometra en saber puramente terico e
investigar los teoremas de forma abstracta, es decir, de manera
discursiva e intelectual, trascendiendo el empirismo y situndose en
el umbral de la Matemtica racional como artfice supremo del milagro
griego en Matemticas, en cuyo mbito la idea y la necesidad de la
demostracin es uno de los componentes capitales del patrimonio
pitagrico, fundamento de la instruccin liberal que proclama Proclo
respecto de Pitgoras, al indicarnos que este sabio fue el primero
en someter la Matemtica a la exigencia de la rigurosa deduccin
lgica, que generacin tras generacin, se hizo cada vez ms
imperiosa.
La evidencia sensible reiterada por la emprica percepcin
sensorial que va forjando prescripciones tiles se manifiesta, para
Pitgoras, insuficiente en el plano de las necesidades racionales,
lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la prctica
emprica sobre los casos particulares desarrollando mtodos
deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas
ocasiones una comprobacin geomtrico-emprica de carcter inductivo
puede satisfacer el espritu y producir resultados visualmente
palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de frmulas
aritmticas que los propios pitagricos obtienen con el atomismo
numrico-geomtrico de los nmeros poligonales; pero hay problemas
transcendentales de la Matemtica, sobre todo aquellos en los que
subyace la presencia del infinito, en los que slo una rigurosa
demostracin, como acto intelectual puro, ms all de la intuicin
sensible, puede ser satisfactorio; por ejemplo, el estudio de la
inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado o un
pentgono, que no es comprobable empricamente y que tal vez fue la
primera demostracin verdaderamente matemtica realizada por los
pitagricos.
He aqu pues, en la demostracin, la contribucin fundamental del
Pitagorismo a la Matemtica, valorado siempre muy por encima de sus
magnficas contribuciones particulares en mbitos concretos de esta
ciencia, siendo considerada, adems, la demostracin, como elemento
esencial en el trnsito del mito al logos que tiene lugar en la
cultura griega. La demostracin va mucho ms all de la mera persuasin
de la Retrica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es
posible con persuasin argir lo falso contra lo verdadero (de ah los
reproches de Scrates hacia los sofistas). La demostracin convence
por la ilacin argumental incontrovertible que alcanza algo legtimo
mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lgica. Por eso
a partir de Pitgoras la Matemtica es universalmente considerada
como un manantial primario de verdad objetivaTextos de Bertrand
Russell sobre PitgorasB.Russell. Historia de la Filosofa
Occidental. Austral, Madrid, 1995, vol.1. La Matemtica como
argumento deductivo-demostrativo empieza con Pitgoras, estando
unida con una forma particular de misticismo. La influencia de las
Matemticas en la Filosofa debida a Pitgoras ha sido desde entonces
muy profunda. (p.67). Para Pitgoras la contemplacin simptica
apasionada era intelectual y desemboc en la ciencia de las
Matemticas. (p. 71). Pitgoras como profeta religioso y como
matemtico ha tenido una influencia inconmensurable, y los dos
campos de su actividad no distan tanto el uno de otro como puede
parecer a una mente moderna. (p.72). En Platn, San Agustn Toms de
Aquino, Descartes, Spinoza y Leibniz existe una fusin ntima de
religin y razonamiento, de aspiracin moral y admiracin lgica por lo
eterno, que procede de Pitgoras. (p.75). No conozco ningn otro
hombre que haya tenido mayor influencia en el campo del
pensamiento, porque lo que aparece como platonismo resulta despus
de analizarlo, esencialmente pitagorismo. (p.75).
Platn era lo suficientemente pitagrico para creer que sin
Matemticas no era posible una verdadera sabidura. (p.144).
En la Filosofa de Platn existe la misma fusin de intelectoy de
misticismo que en Pitagorismo. p.162.SIMBOLISMO DE LOS ATRIBUTOS
MATEMTICOS EN LA COMUNIDAD PITAGRICA
La Arcadia pitagrica, una atmsfera mstica impregnada de msica y
simbologa matemtica, donde la comunidad pitagrica desarrollaba la
pasin por el conocimiento mediante especulaciones filosficas y
matemticas como base moral para la consecucin de la armona interior
y con el entorno, de acuerdo con el orden natural de las cosas que
emana de Dios, supremo ordenador csmico a travs del maravilloso
poder de la armona matemtica y musical, metforas del orden
universal.
El Dodecaedro como quintaesencia de la Cosmogona pitagrica, la
sagrada Tetractys como fuente y raz de la naturaleza eterna, el
tringulo rectngulo depositario de la inconmensurabilidad, el
Pentagrama mstico smbolo de identificacin de los pitagricos y de la
salud, son los talismanes de la actividad intelectual del modo de
vida pitagrico, en el que la msica cuya armona es de naturaleza
matemtica ejerce una influencia definitiva en el equilibrio
emocional.
La comunidad pitagrica, de carcter cientfico y religioso, se
basaba en un ideario comn fundamentado en todo un cuerpo de
doctrina sobre el hombre, el alma, la sociedad, el cosmos, etc.,
que conduca necesariamente al estudio, a la reflexin filosfica y a
la especulacin matemtica y cosmolgica, actividades en las que el
adquisicin del conocimiento participaba ms del carcter de una
iniciacin religiosa que de una mera instruccin o investigacin, es
decir, religin y ciencia son aspectos ntimamente vinculados en un
tipo de vida llamado pitagrico (Platn, Repblica, 600b) y la
actividad cientfica es una consecuencia de la doctrina, no el mvil
inicial como sera en la Academia platnica, en el Liceo de
Aristteles o en el Museo de Alejandra.
Pitgoras organiz en su comunidad dos tipos distintos de
enseanza, que daran lugar segn Jmblico (Vida Pitagrica, XVIII.8087)
a dos tipos de miembros en la primitiva comunidad pitagrica: los
Matemticos (conocedores), jvenes especialmente dotados para el
pensamiento abstracto y el conocimiento cientfico y los Acusmticos
(auditores), hombres ms simples, pero igualmente sensibles, que
reconocan la verdad de forma intuitiva a travs de dogmas,
creencias, sentencias orales indemostrables y sin fundamento,
principios morales y aforismos.
La diferenciacin entre los dos grupos de pitagricos que se
corresponde con las dos tendencias, la racional y la religiosa que
convergan en el propio Pitgoras, pero no as en todos los
pitagricos, tendra una decisiva incidencia sobre la ulterior
evolucin de la hermandad. Los Acusmticos eran devotos religiosos
que se encargaron de velar por la pureza del modo de vidapitagrico,
las esencias originales y la fidelidad a la primigenia doctrina
pitagrica, mientras que los matemticos no comprometidos solamente
con el cultivo de las matemticas, sino con la totalidad del
conocimiento o gnosis se consideraban continuadores del espritu
especulativo de Pitgoras y de su natural evolucin y magnificacin
del acervo cientfico y matemtico..
El misticismo aritmticogeomtrico pitagrico. Los nmeros
msticos.Los pitagricos basaron su filosofa y su modo de vida en el
culto a los nmeros llevndolo hasta el paroxismo. Para los
pitagricos todo era una encarnacin del nmero.
La fuente primaria ms cualificada sobre la Filosofa pitagrica
es, sin duda alguna, el captulo V del libro I de la Metafsica de
Aristteles que tiene por ttulo Los pitagricos y su doctrina de los
nmeros, donde se lleva a cabo una exposicin general del Pitagorismo
que empieza con estas palabras (Metafsica, 985b, 986a):
Los filsofos pitagricos se dedicaron al cultivo de las
matemticas y fueron los primeros en hacerlas progresar; estando
absortos en su estudio creyeron que los principios de las
matemticas eran los principios de todas las cosas. [...] Supusieron
que las cosas existentes son nmeros pero no nmeros que existen
aparte, sino que las cosas estn realmente compuestas de nmeros, es
decir, los elementos de los nmeros son los elementos de todos los
seres existentes y la totalidad del universo es armona y nmero. Su
razn consista en que las propiedades numricas eran inherentes a la
escala musical, a los cielos y a otras muchas cosas. Este texto de
Aristteles resume el ncleo de la metafsica pitagrica. El entusiasmo
ante el descubrimiento pitagrico de la base numrica de los
intervalos musicales los intervalos bsicos de la msica griega podan
representarse mediante las razones 1/2, 3/2 y 4/3 encendi un
chispazo de inspirada intuicin hacia una frmula de aplicacin
universal: si los nmeros son la clave de los sonidos musicales, no
sern tambin la clave de toda la naturaleza?. Los pitagricos
vivieron imbuidos de un efervescente entusiasmo mstico hacia los
nmeros, hasta el punto de que Filolao (el pitagrico favorito de
Aristteles) lleg a afirmar:
Todo lo cognoscible tiene un nmero, pues no es posible que sin
nmero nada pueda ser concebido ni conocido.
Cuando los pitagricos decan, como mdula de su metafsica, que
todos los objetos estaban compuestos de nmeros, que los nmeros son
la esencia del universo, o que el nmero es el arj, el principio
elemental como para otros filsofos presocrticos era el agua, el
aire, la tierra, el fuego lo entenderan en sentido literal, porque
los nmeros eran para ellos como los tomos para Demcrito, pero tomos
con magnitud y extensin.
Para los pitagricos el gran sistema del mundo reposa sobre
ciertas bases de las que el ser, la forma y la accin de todas las
cosas, tanto las particulares como las generales, son una
consecuencia natural de la consideracin de los nmeros. Quien conoce
sus propiedades y sus mutuas relaciones, conoce las leyes merced a
las cuales la naturaleza existe. Los nmeros determinan el nexo de
unin de todas las cosas y la mecnica del universo entero, son la
base del espritu y el nico medio por el cual se manifiesta la
realidad. Segn el neoplatnico Porfirio:
Para Pitgoras los nmeros eran smbolos jeroglficos mediante los
cuales explicaba las ideas relacionadas con la naturaleza de las
cosas.
Adems, la Geometra permita someter a los nmeros a operaciones
metafsicas de gran significado simblico. A esta doctrina pitagrica
se la llama, a veces, misticismo numrico, como queriendo indicar la
atribucin a los nmeros, no slo de un carcter sagrado, sino tambin
de una realidad sustancial descriptiva tanto de los aspectos
cualitativos como de los aspectos fsicos de las cosas.
Los pitagricos denominaron Dcada a los diez primeros nmeros y en
la consideracin de sus propiedades msticas y cabalsticas y de sus
virtudes mgicas desarrollaron, ms all de la Aritmtica, un cierto
misticismo numrico, una Aritmologa (la palabra nmero deriva del
trmino griego Aritmo) al establecer que cada nmero posea sus
propios atributos especiales que le dotaban de ciertas propiedades
vitales. Con base en Filolao, Platn en algunos de sus Dilogos
Aristteles en su Metafsica, Alejandro de Afrodisias (comentador de
Aristteles), Ten, Porfirio, Jmblico, Sexto Emprico y Nicmaco de
Gerasa resumimos estos atributos de acuerdo con la tabla sinttica
siguiente:
El Nmero1 o mnada representa el principio activo frente a la
diada que es el principio pasivo. Es la verdadera esencia de todas
las cosas, el principio y fundamento de cuanto existe. Smbolo del
buen principio (el Dios nico, expresado en latn por Solus, de donde
deriva la palabra Sol). Smbolo de la razn suprema, asociada al
concepto de Dios, inteligente e increado, supremo paradigma del
Bien y la Belleza. Smbolo del Sumo Poder, Creador y Conservador.
Generador de todos los nmeros y de todas las dimensiones. Espacio
aritmtico entre los nmeros enteros y los fraccionarios. Smbolo de
inmutabilidad aritmtica (11=1, 1/1=1, 11=1).
Para Filolao el uno es el Padre de los Seres, Padre y Demiurgo
del mundo, artfice de la permanencia de las cosas.
El Nmero 2 o dada, es el smbolo de la diversidad, de la opinin,
de la contraposicin, y en particular de la expresin de los
contrastes de la naturaleza y de la mayora de las cosas que afectan
al ser humano en forma de dualidad (noche y da, luz y oscuridad,
humedad y sequedad, calor y fro, salud y enfermedad, dulce y
amargo, bueno y malo, grande y pequeo, belleza y fealdad,
etc.).
Aristteles resume esta dualidad en la Metafsica (986a): Otros
pitagricos admiten diez principios coordinados entre s en este
orden [cuadro adjunto].
Es la llamada lista pitagrica de los contrarios, de sorprendente
similitud con la doctrina del Yin-Yang de la filosofa china, que
indicara que todos los fenmenos se originaran por la interaccin de
dos fuerzas csmicas o principios antagnicos.
Aunque el esquema pitagrico estara enraizado en los valores, por
la posicin que ocupa lo bueno en la izquierda del cuadro y lo malo
en la derecha. Tambin Digenes Laercio (Libro VIII. Pitgoras.15)
atribuye esta dualidad a Pitgoras.
El Nmero 5 tena un gran simbolismo para los pitagricos, como
conjuncin de los principios masculino y femenino y por tanto smbolo
del matrimonio (2+3=5); tambin de lo par y lo impar; como nmero
esfrico o circular porque sus potencias termina en cinco; como
menor nmero cuyo cuadrado es suma de cuadrados (52=32+42,
representacin aritmtica del tringulo divino), en relacin con el
Teorema de Pitgoras. Adems, cinco son los slidos poliedros
regulares (tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro),
conocidos ms tarde por el nombre de Cuerpos Platnicos al ser
tomados por Platn de los pitagricos.
El nmero 5 corresponde al Pentagrama mstico pitagrico, Pentalfa,
o estrella de cinco puntas obtenida al trazar las diagonales de un
pentgono regular o prolongando sus lados emblema de la salud y
smbolo de identificacin de los pitagricos como miembros de una
comunidad. El Pentagrama mstico fue uno de los tpicos geomtricos ms
importantes de la Escuela Pitagrica por sus bellsimas propiedades
geomtricas de las que nace su simbolismo mstico. Esta figura
geomtrica pudo estar en la base del ms importante hallazgo
cientfico de los pitagricos el descubrimiento de las magnitudes
inconmensurables, una de las causas de la profunda crisis que
arruin a la cofrada pitagrica.
Una de las curiosas propiedades del Pentagrama, que impona
respeto a los pitagricos era su unicursalidad: la estrella
pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin
pasar dos veces por el mismo lado.
Una segunda propiedad profundamente aritmolgica en su esencia
inspiraba a los pitagricos un entusiasmo mstico, relacionando el
pentagrama con la palabra salud (ugieia = higieia, de donde deriva
higiene). Aunquela palabra ugieia tiene seis letras, a veces se
produca una contraccin que haca desaparecer la primera i (como
atestiguan algunas inscripciones), quedando entonces con cinco
letras ugeia, que se situaban sobre cada uno de los vrtices del
Pentagrama, que de esta forma se converta en el anagrama supremo de
la salud.
El nmero 5 es, adems, el centro aritmtico de los nueve primeros
nmeros de la dcada 1,2,3,4,5,6,7,8,9, siendo, asimismo, la media
aritmtica de sus equidistantes (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6) segn
manifiesta el Esquema de Ten de Esmirna.147
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El Nmero 10 es el de mayor carga simblica y el ms sagrado de
todos los nmeros. Puesto que los cuatro primeros nmeros contienen
el secreto de la escala musical, su suma (1+2+3+4=10), el nmero
diez, la dcada, puede parecer que abarca, como dice Aristteles, la
naturaleza toda del nmero, sera en s algo perfecto, y representa el
nmero del universo, la suma de todas las posibles dimensiones
geomtricas. Para Filolao la Dcada era grande, todopoderosa y
generadora de todo, comienzo y gua tanto de la vida divina como de
la terrestre y para Sexto Emprico la razn de la composicin de todas
las cosas.
El nmero diez, cuya veneracin, no es tributaria, paradjicamente,
de la anatoma de la mano del hombre, es la quintaesencia del
misticismo pitagrico. Los pitagricos lo representaban mediante 10
puntos, piedrecillas o alfas dispuestos bajo la forma de un
tringulo equiltero. A este anagrama, representacin visual y
geomtrica del hecho de que 10=1+2+3+4, le llamaron la Tetractys de
la Dcada. Tena, para ellos tanta significacin esotrica como el
Pentagrama mstico, y su importancia simblica deriva de que por l
juraban en sus ceremonias ms solemnes, sobre todo en el rito
inicitico de incorporacin a la comunidad: lo juro por Aquel que ha
dado a nuestro alma la Tetractys, fuente y raz de la Naturaleza
eterna! (Versos Dorados, 47) juramento referente al secreto sobre
el contenido de la enseanza pitagrica (Porfirio, Vida de Pitgoras,
20)..
La Cosmologa pitagrica La veneracin hacia el nmero diez tiene
para los pitagricos una implicacin cosmolgica transcendental en su
doctrina acerca de la configuracin del universo, al ser la
inspiradora del primer sistema astronmico no geocntrico. Segn
Aristteles (Metafsica, 986a):
[...] Como creen [los pitagricos] que la dcada es perfecta y que
abarca la naturaleza entera de los nmeros, afirman que tambin los
cuerpos que se mueven en torno de los cielos son diez, pero al ser
nueve solamente los visibles, se inventan, por esta razn, el dcimo,
la anti-tierra, [...].
Aristteles desarrolla estas ideas ms ampliamente en su obra Del
Cielo (293a):
La mayora de los pueblos dicen que la tierra est situada en el
centro del universo, [...], pero los filsofos pitagricos sostienen
lo contrario. Dicen que en el centro est el fuego y que la tierra
es uno de los astros que, al moverse circularmente en torno al
centro, da lugar al da y a la noche, [...].
Ocho cuerpos celestes: la tierra, la luna, el sol y los cinco
planetas conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno),
giran en rbitas circulares concntricas en torno al fuego central
Trono de Zeus, situado en el centro del universo. Con la Esfera de
las estrellas fijas se llega al valor nueve. Como falta uno para
alcanzar el valor diez de la Tetractys, emblema sagrado de los
pitagricos, se aade al sistema de modo que toda su teora fuera
coherente, como dice Aristteles, la antitierra, situada en la rbita
ms interior, en equilibrio con la tierra, alineada con sta y con el
fuego central y con el mismo perodo de revolucin diaria que ella.
El sol no era el centro del universo, ni era el creador de su
propio calor, sino que era una especie de cristal reflector que
recoga la luz y el calor del fuego central, en torno al cual giraba
con un perodo de un ao. Las estrellas fijas permanecan
estacionarias, mientras que la tierra mantena, durante su
movimiento, el mismo hemisferio deshabitado hacia el fuego central
de modo que sus habitantes no podan ver jams ni el fuego central ni
la anti-tierra.
Al desplazar a la tierra del centro del universo, la cosmologa
pitagrica supone un heroico salto de imaginacin cientfica. No se
trata de una mera fantasa arbitraria. De hecho el sistema
proporcionaba una explicacin plausible de los eclipses. No es
exactamente una anticipacin de la teora heliocntrica, pero algunos
estudiosos de la Historia de la Cosmologa lo consideran de rango
superior en importancia a la identificacin del fuego central con el
sol.
La teora pitagrica es de una gran originalidad. Para Tales y
otros filsofos presocrticos como Anaxmenes, Herclito, Parmnides y
Empdocles la tierra estaba ciertamente en reposo en el centro del
universo esfrico y ms tarde Eudoxo y por supuesto Aristteles
volvieron a situar con firmeza la tierra en el centro, del que no
se movera hasta los primeros balbuceos heliocntricos de Aristarco.
Para pensadores como G. Bruno el giro copernicano no sera una
novedad sino la restauracin de la antigua Cosmologa pitagrica. As
pues, como en otros muchos aspectos del pensamiento pitagrico,
carcter mstico y religioso, no le resta valor cientfico..
Clasificacin y denominacin pitagricas de los nmeros.Segn Isidoro
de Sevilla (Etimologas, III.2): Pitgoras fue el primero que escribi
sobre la ciencia del nmero, es decir, a Pitgoras se debe la primera
depuracin filosfica o terica de la Aritmtica la liberacin de la
Ciencia del Nmero de la prctica de artesanos y mercaderes que
constituan la llamada Logstica. Sobre ello escribe Aristxeno:
Pitgoras honr a laAritmtica ms que ningn otro. Hizo grandes
avances en ella, sacndola de los clculos prcticos de los
comerciantes y tratando todas las cosas como nmeros.
Los pitagricos realizaron diversas clasificaciones y acuaron
numerosos nombres para los diversos tipos de nmeros. Pero debido a
su proceder mstico, muchas de sus definiciones son bastante
abstrusas de forma que conviene a veces recurrir a los preliminares
del Libro VII de Los Elementos de Euclides, donde se recogen gran
parte de ellas, en el lenguaje inteligible y riguroso caracterstico
del gran compilador de la Matemtica griega elemental. Veamos los
nombres y definiciones de algunos nmeros:
Nmeros pares e impares: definiciones 6 y 7 de Euclides VII.
Los nmeros pares e impares se subdividen en cuatro clases:
(Definiciones VII.8 a VII.10):
Parmente par: cuando su mitad es par (son de la forma 2n[2k+1],
n>1).
Imparmente par: cuando su mitad es impar (son de la forma
2[2k+1], n>1).
Parmente impar: cuando al ser dividido por un nmero impar da uno
par (son de la forma 2n[2k+1]p, n>1).
Imparmente impar: cuando no tiene ms que divisores impares.
Es divisor de (Euclides D.VII.3). Es mltiplo de (Euclides
D.VII.5).
Nmeros primos (Euclides D.VII.11) y compuestos (Euclides
D.VII.13).
Nmeros lineales, planos y slidos:
Lineal: es el que no tienen divisores (es decir, los
primos).
Plano: es el producto de dos nmeros que son sus lados (Euclides,
D.VII.16).
Slido: es el producto de tres nmeros que son sus lados
(Euclides, D.VII.17).
Cuadrado: es el producto de un nmero por s mismo (Euclides,
D.VII.18).
Cbico: es el producto de un nmero por s mismo dos veces
(Euclides, D.VII.19).
Nmeros perfectos, deficientes y abundantes. Nmeros amigos.
Deficiente: es un nmero que es menor que la suma de sus partes
alcuotas.
Abundante: es un nmero que es mayor que la suma de sus partes
alcuotas.
Perfecto: es un nmero que es igual que la suma de sus partes
alcuotas.
Nmeros amigos: son nmeros en los cuales cada uno es igual a la
suma de los divisores del otro.
Los nmeros perfectos y los nmeros amigos han causado siempre una
gran fascinacin, por eso la bsqueda de nmeros perfectos y amigos ha
desplegado un derroche de tinta matemtica desde los primeros
tiempos pitagricos hasta nuestros das, en los que se aplican
potentes instrumentos de computacin. Los primeros pitagricos slo
conocan los nmeros perfectos 6 y 8. Euclides define el nmero
perfecto en D.VII.22. A los nmeros amigos, literalmente habra que
llamarlos nmeros enamorados. Los pitagricos slo conocieron el par
220, 284:
284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(suma de los divisores de
220),
220 = 1+2+4+71+142(suma de los divisores de 284) .
Jmblico atribuye el descubrimiento de los nmeros amigos al
propio Pitgoras, embelleciendo el relato del mismo con la siguiente
ancdota: Siendo preguntado Pitgoras qu es un amigo?, contest Alter
ego. Por analoga aplic el trmino amigos a dos nmeros cuya suma de
partes alcuotas es igual al otro.
La Msica pitagrica y la Teora de las mediasSegn Nicmaco,
Gaudencio, Porfirio, Digenes Laercio, Ten de Esmirna, Jmblico,
Boecio y otros pitagricos, Pitgoras estudi, quiz por primera vez en
la historia, las primeras leyes cuantitativas de la Acstica, al
determinar el fundamento matemtico de la armona musical con la
realizacin de la primera experiencia cientfica que consigna la
historia, mediante la construccin de un instrumento, el monocordio
(Jmblico, XXXVI.119; Digenes Laercio, VIII.12),con el propsito de
interrogar a la naturaleza y obligarla a responder a una cuestin
concreta: cul es la relacin precisa, si es que existe, entre la
armona musical y los nmeros? Pitgoras descubre que las cuerdas que
daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava, tenan longitudes
proporcionales a 12, 9, 8 y 6. Y puesto que las razones entre los
nmeros 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y
1/2, que son las ms sencillas que se pueden formar con los nmeros
de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitgoras dedujo que sta es la
fuente y raz de la Naturaleza eterna como dicen los Versos Dorados.
Como en tantos aspectos pitagricos los nmeros de la Tetractys eran
la piedra angular de la armona musical. Mediante una mstica
extrapolacin, la Tetractys sera la fuente del conocimiento de las
races de la armona del Cosmos divino, alcanzable a travs del
nmero.Si en el nmero est la clave del tono musical, en l residir
tambin la clave de toda la naturaleza y en ultima instancia apareca
la matriz de la filosofa pitagrica: el nmero es la esencia de todas
las cosas. Con este feliz descubrimiento Pitgoras instaura algo
nuevo en la Historia del Pensamiento: el mtodo experimental y la
expresin en frmulas matemticas de las leyes de la naturaleza.
La teora musical de Pitgoras tiene que ver tambin con la Teora
de las medias de raz pitagrica. As lo seala el pitagrico Arquitas:
En msica hay tres medias: la media aritmtica, la media geomtrica y
la subcontraria, llamada tambin armnica.
Dados dos nmeros a y b, se definen las medias aritmtica, m,
armnica, h, y geomtrica, g, de la forma: , verificndose que : Estas
relaciones son verificadas por las proporciones musicales que se
derivan de la cuaterna de nmeros 12, 9, 8, 6 del experimento
pitagrico sobre el monocordio:
El fundamento matemtico de la armona musical se representa en la
tablilla sostenida por un joven discpulo de Pitgoras. En la parte
superior de las cuerdas de la lira aparecen con tipografa romana
los nmeros 6, 8, 9, 12, de las proporciones musicales. Las
consonancias musicales se denominan de forma literal y numrica:
diatssaron (6/8, 9/12); diapente (6/9 y 8/12); diapasn u octava
(6/12). Adems, en la parte inferior del diagrama de Rafael aparece
el nmero 10 bajo la forma de la sagrada Tetractys como emblema
pitagrico que resume las razones musicales.
la Armona de las EsferasLa doctrina pitagrica de la Armona de
las Esferas es la quintaesencia de la belleza en la explicacin
pitagrica del Cosmos divino armonizado de forma fascinante por la
concordancia de las proporciones aritmticas y musicales, que
extrapoladas al universo entero determinaran que los cuerpos
celestes deban emitir en sus movimientos unos tonos musicales
armoniosos cuya combinacin produca una maravillosa meloda
permanente: La Msica de las Esferas. Tal vez Pitgoras se remontara
a la Mitologa puesto que en el himno de Ares, Homero se dirige a
los planetas como si fueran un coro de voces divinas. Adems,
conocemos la aficin de los pitagricos a los ritos de Orfeo
vinculados al poder del nmero y de la msica. De modo que Pitgoras
racionalizara el sistema y la dara un valor mstico y cientfico.
Segn relata Jmblico (Vida Pitagrica XV.65, pp.5253):
Sirvindose de un poder divino, inefable y difcil de comprender,
Pitgoras aplicaba sus odos y concentraba su mente en la sublime
sinfona del universo, l slo escuchando y entendiendo, segn sus
manifestaciones, la universal armona y concierto de las esferas y
de los astros que se mueven en ellas. Esta armona produce una msica
ms plena e intensa que la terrenal por el movimiento y revolucin
sumamente melodioso, bello y variopinto, producto de desiguales y
muy diferentes sonidos, velocidades, volmenes e intervalos.
La msica csmica se produce porque los cuerpos celestes, al ser
de tamao tan grande y moverse a velocidades gigantescas, emitan a
travs delter un conjunto de sonidos de la misma manera que los
cuerpos terrenales producen vibraciones cuando se mueven en el
aire, como por ejemplo las velas de un barco cuando suenan con la
brisa. Pero los hombres no pueden escuchar la meloda del barco
csmico porque han crecido acostumbrados a ella, lo mismo que el
herrero se ha acostumbrado al ruido de sus martillos. Adems, los
cuerpos celestes que giran sin tregua en sus rbitas circulares,
producen permanentemente armonas, de modo que al no haber
intervalos de silencio no se puede apreciar la msica csmica. Es
decir, el sonido armonioso de las esferas nos es congnito, pero no
lo podemos or ya que el sonido y el silencio se perciben por mutuo
contraste. En realidad la msica de los hombres no es ms que un eco
de la Msica de las Esferas, pero su instinto innatoque hace que su
alma resuene con la msica, le proporciona un indicio de la
naturaleza de las armonas matemticas que se hallan en su fuente
csmica. El sonido emitido por cada esfera corresponde a un tono
diferente de la escala musical, dependiendo de los radios de sus
rbitas como los tonos musicales emitidos por la cuerdas dependen de
su longitud. La vida en la Tierra se ve afectada por la Msica de
las Esferas porque sta gobierna los ciclos temporales de las
estaciones, los ciclos biolgicos y todos los ritmos de la
naturaleza. He aqu en breve sntesis la doctrina pitagrica de la
Armona de las Esferas, desarrollada de forma clara y crtica por
Aristteles en su obra Del Cielo (290 b y siguientes.)
La doctrina de la Armona de las Esferas prendi en la imaginacin
de escritores de las generaciones posteriores, variando los
detalles segn la evolucin de las teoras sobre el movimiento
planetario. Platn, Plinio, Ptolomeo, Cicern, Plotino, Jmblico, San
Agustn, Boecio, Filn, Casiodoro, San Isidoro, Shakespeare y otros
muchos, aluden a ella frecuentemente. Pero quiz sea en la Oda a
Salinas de Fray Luis de Len donde la mstica pitagrica alcanza la ms
bella descripcin potica de la Msica de las Esferas.La idea
pitagrica de la Msica de las Esferas no deja de ser una especulacin
fantstica que hoy nos suena a msica celestial, pero tanto Kepler
como Newton le escribieron pentagrama y Einstein fugas y lmites.
Kepler bas en ella su inspiracin en la bsqueda de la armona del
movimiento planetario, y en efecto, una ferviente combinacin de
mstica pitagrica y meticulosa experimentacin permiti a Kepler
encontrar sus famosas Leyes.
Como es natural la doctrina de la Armona de las Esferas ha
tenido su influencia sobre la msica sinfnica, de modo que la crtica
musical ha querido ver reminiscencias pitagricas en algunas
composiciones como La Creacinde Haydn, As habl Zaratustra de
R.Strauss y La Consagracin de la Primavera de Stravinski.
Modernamente tambin Vangelis parece haberse inspirado en laMsica de
las Esferas para la realizacin de algunas de sus composiciones,
sobre todo en los de la serie televisiva Cosmos de C.Sagan.
Los nmeros poligonalesLos pitagricos solan representar los
nmeros mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y
los clasificaban segn las formas poligonales de estas
distribuciones de puntos, es decir, asociaban los nmeros a figuras
geomtricas obtenidas por la disposicin regular de puntos, cuya suma
determina el nmero representado. As obtenan los diversos tipos de
nmeros poligonales o figurados:
Los nmero triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ... Los nmero
cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ... Los nmeros pentagonales: 1, 5, 12,
22, 35, ...
...............................................................................Los
nmeros poligonales aparecieron en los albores de la Escuela
Pitagrica como un elemento esencial de su misticismo numrico: no
slo las cosas son en esencia nmeros sino que los nmeros son
concebidos como cosas, de modo que las expresiones nmeros
triangulares o nmeros cuadrados no son meras metforas sino que esos
nmeros son, efectivamente, ante el espritu y ante los ojos,
tringulos y cuadrados.
.La asociacin del nmero con la imagen geomtrica permiti a los
pitagricos la representacin visual de los nmeros combinando las dos
esencias con que tiene que ver la Matemtica: el nmero y la forma,
confiriendo a los nmeros propiedades y relaciones entre ellos que
son completamente independientes de todo simbolismo introducido
para representarlos, otorgndoles de este modo un carcter universal
e inmutable.La consideracin de los nmeros poligonales y su
representacin geomtrico-visual permita, por una parte, constatar
que ciertos nmeros tienen caractersticas diferentes que otros a
tenor de las diferentes configuraciones geomtricas a que dan lugar,
y por otra, el descubrimiento de forma geomtrico-emprica, casi
corprea, de importantes propiedades de los nmeros y la obtencin de
interesantes relaciones entre ellos. La polifiguracin numrica
llevaba a extender conceptos de la Aritmtica como generalizacin de
la experiencia prctica, desarrollando un atomismo numrico
bellamente ilustrado en una geometra de nmeros figurados. stos, que
son las primeras y las ms simples estructuras de la Geometra
numrica estn en el corazn de las Matemticas y constituyen la matriz
del desarrollo ulterior de la Teora de Nmeros.A partir de las
distribuciones geomtricas de puntos que hicieron los pitagricos con
los nmeros poligonales, aparecan, como evidencia empricovisual,
numerosas propiedades de los nmeros enteros, al considerar la
relacin entre rdenes consecutivos de nmeros de un determinado tipo
y relaciones entre nmeros poligonales de tipos diferentes. As por
ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-simo nmero
triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, los
siguientes esquemas grficos nos proporcionan importantes
propiedades aritmticas de los nmeros enteros:
Los nmeros poligonales han sido uno de los tpicos ms atractivos
de la Historia de la Aritmtica tratado por matemticos de la talla
de Nicmaco, Diofanto, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y
Cauchy. Forman parte de las races histricas de la Teora de Nmeros,
apareciendo en numerosos mbitos como por ejemplo en el Tringulo de
Pascal. Juegan un importante papel en el Anlisis combinatorio,
intervienen en el Binomio de Newton y en el Clculo de
Probabilidades y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal,
Wallis y Roberval para la obtencin de sus resultados sobre
cuadraturas. En la actualidad el estudio de los nmeros poligonales
ha alcanzado un valor prctico en una incipiente aplicacin
criptogrfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que,
como en otros muchos otros aspectos, Pitgoras se sita en el umbral
del pensamiento matemtico.
La expresin de los diez primeros nmeros poligonales.
El Teorema llamado de PitgorasUna tradicin muy persistente con
base documental en Vitrubio, Plutarco, Digenes Laercio, Ateneo y
Proclo, atribuye el Teorema de Pitgoras al propio Pitgoras. Pero
los descubrimientos arqueolgicos de los restos de las culturas de
Mesopotamia, Egipto, India y China, han revelado que estas
civilizaciones conocan aspectos del Teorema de Pitgoras muchos
siglos antes que este sabio. Las referencias prehelnicas al Teorema
no contienen, sin embargo, pruebas del mismo, mientras que es
generalizada la creencia de que fue Pitgoras el primero en
proporcionarnos una demostracin lgica del Teorema, lo que har justo
que ste haya pasado a la historia con su nombre.
Digenes Laercio en su Vida de filsofosrecoge (Pitgoras VIII.7)
una referencia de un tal Apolodoro El Calculador sobre Pitgoras, en
la que asegura que este filsofo sacrific una hecatombe (cien
bueyes), habiendo hallado que en un tringulo rectngulo la potestad
de la lnea hipotenusa es igual a la potestad de las dos que lo
componen. Continua diciendo que Apolodoro compuso un epigrama en
verso: Pitgoras hallada / aquella nobilsima figura / bueyes mat por
ello en sacrificio. Estas ancdotas son, sin duda, ficticias, porque
contradicen la filosofa pitagrica sobre la transmigracin de las
almas, pero han contribuido a magnificar la leyenda que envuelve a
Pitgoras, y adems determinaron que en la Edad Media al Teorema de
Pitgoras se le llamara Inventum hecatombe dignum. La tradicin ha
establecido que Pitgoras habra dado una prueba emprica del Teorema
con base en las figuras adjuntas.
Muchos historiadores admiten que la demostracin de Pitgoras se
basara en su propia Teora de las Proporciones imperfecta por
aplicarse slo a cantidades conmensurables, de modo que la prueba de
Pitgoras podra haber sido alguna de las dos siguientes :
Sea ABC un tringulo rectngulo, con el ngulo recto en A, y sea AD
perpendicular al lado BC. Segn Euclides VI.8 los tringulos DBA y
DAC son ambos semejantes con el tringulo ABC y semejantes entre
s
Prueba 1. De la semejanza de los tringulos ABC, DBA y DAC
resulta:
BA/BD = BC/BA , AC/CD = BC/AC (Euclides VI.4). De aqu se hayan
las expresiones del llamado Teorema del cateto: BA2 = BDBC , AC2 =
CDBC, que al sumarlas, se obtiene: BA + AC = (BD+CD)BC = BCBC =
BC,
es decir: BA2 + AC2 = BC2.
En esta demostracin del Teorema de Pitgoras basada en el Teorema
del cateto, se descompone, de forma implcita, el cuadrado sobre la
hipotenusa, BCIK,en dos rectngulos, BDJK y DCIJ, cada uno de ellos
con el mismo rea que cada uno de los cuadrados construidos sobre
los catetos el rectngulo BDJK de rea como el cuadrado ABEF sobre el
cateto AB ya que BA2 =BDBK, y el rectngulo DCIJ de rea como el
cuadrado ACHG sobre el cateto AC ya que AC2 = CDCI.
Debemos observar que la figura exhibida forma parte de la figura
que utiliza Euclides en su demostracin del Teorema de Pitgoras en
la Proposicin I.47 de Los Elementos de Euclides, y adems,
puntualizar que variantes de esta prueba se encuentran en el hind
Bhaskara, en Leonardo de Pisa (Fibonacci)y en Wallis.
Prueba 2. De la semejanza de los tringulos ABC, DBA y DAC
resulta, segn Euclides VI.19 (la razn entre las reas de los
tringulos semejantes ser igual al cuadrado de la razn de
semejanza): DBA/AB =DAC/AC =ABC/BC.
Pero de las propiedades de la suma de proporciones (Euclides
5.12) resulta:
ABC/BC2 = DBA/AB2;=DAC/AC2;=(DBA+DAC) / (AB2+AC2)=ABC /
(AB2+AC2) por tanto se tiene: AB2+AC2=BC2.
Como vemos, estas pruebas del Teorema de Pitgoras mantienen su
plena vigencia en los libros de texto de matemticas escolares
elementales.
Quiz ningn teorema de la amplia Matemtica haya recibido tantas
demostraciones diversas como el Teorema de Pitgoras. De todas ellas
la ms famosa es sin duda la realizada por Euclides en la Proposicin
I.47 de Los Elementos. En la Edad Media esta Proposicin se la
consideraba la base de toda slida formacin matemtica. En algunos
centros docentes adems de exigir, para obtener el grado de maestro,
un profundo conocimiento del Teorema, se obligaba a exhibir una
nueva y original demostracin del mismo, por eso el Teorema de
Pitgoras alcanz la honrosa designacin de Magister matheseos. Este
hecho y la gran significacin del teorema explica la razn de las
innumerables demostraciones que los matemticos y no matemticos de
todas las pocas y personajes tan diversos como filsofos, monjes,
polticos, juristas, ingenieros y artistas, han encontrado del ms
famoso Teorema de la Geometra.
El Teorema de Pitgoras aparece por doquier en la Matemtica. Es
la base de multitud de teoremas geomtricos, de la trigonometra y de
la Geometra analtica. La ecuacin pitagrica x2+y2=z2 es la ecuacin
de la circunferencia, la base de la frmula cos2a+sen2a=1 y el
origen del Anlisis indeterminado de Diofanto y Fermat. Tambin pudo
ser el germen del dramtico alumbramiento de la inconmensurabilidad
en la Escuela pitagrica.
La aparicin del Teorema de Pitgoras en el horizonte histrico
cultural pero tambin en el horizonte escolar seala el primer salto
intelectual entre los confines de la especulacin emprica y los
dominios del razonamiento deductivo. As pues, estamos ante un
autntico paradigma para la Matemtica y sobre todo para la Educacin
matemtica. Por esto y por su universalidad el Teorema de Pitgoras
pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos.
La Divina Proporcin y el Pentagrama pitagrico.
Uno de los tpicos pitagricos ms fascinantes y que ms influencia
ha tenido sobre el Arte, la Mstica, la Biologa e incluso la Magia
ha sido la Seccin urea o Divina Proporcin.Euclides introduce la
nocin en la Definicin VI.3 de Los Elementos:
Se dice que un segmento est dividido en media y extrema razn
cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es
a la menor.
Importantes especulaciones filosficas, teolgicas, naturales y
estticas han surgido en torno a la Divina Proporcin desde que la
humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geomtricas que
conforman el mundo, siendo el Pitagorismo quien comienza a dar
consistencia racional a toda esta doctrina. Puede decirse que donde
haya una especial intensificacin de la belleza y la armona de las
formas, ah se encontrar la Divina Proporcin, por ejemplo en muchos
aspectos de la naturaleza, de donde muchos artistas extraern su
inspiracin. La Divina Proporcin, sobre todo en forma de rectngulo
ureo (con las dos dimensiones en proporcin urea), constituye uno de
los mtodos cannicos de composicin para obras de arte ms utilizados
por toda clase de artistas a lo largo de toda la Historia del Arte
interviniendo, adems, en el canon ideal de la belleza humana, en
particular en las dimensiones del rostro y de la mano.
Buena parte de la Geometra pitagrica en relacin con la seccin
urea, tuvo que ver con el pentgono regular. Ya se coment que la
figura de la estrella de cinco puntas que se forma al trazar las
cinco diagonales de un pentgono llamada Pentagrama mstico era una
especie de smbolo de identificacin de la Escuela Pitagrica; por eso
los pitagricos estudiaron exhaustivamente la construccin y
propiedades del pentagrama. El Pentagrama mstico pitagrico se
obtiene a partir de tres tringulos issceles iguales que tienen los
ngulos iguales dobles del ngulo desigual. Este tipo de tringulo
llamado ureo porque los lados iguales estn en proporcin urea con el
lado menor se construye en la Proposicin 10 del Libro IV de Los
Elementos de Euclides, cuyo contenido es de raz pitagrica en su
mayor parte. En la siguiente Proposicin, la IV.11, se construye
efectivamente el Pentagrama a base de inscribir en un crculo un
pentgono regular y trazar las diagonales, las cuales de forma
sorprendente se cortan determinando segmentos que estn en proporcin
urea siendo el segmento mayor igual al lado del pentgono (Euclides
XIII.8).
El pentagrama mstico de Pitgoras fue un diagrama simblico
esencial del esoterismo geomtrico de los pitagricos que trasmitido
desde la antigedad hasta el siglo XVIII forma parte de dos
tradiciones culturales importantes: los trazados de los arquitectos
y las estrellas pentagonales del simbolismo mgico europeo,
corrientes subterrneas que emergen a la luz a travs de la obra de
Luca Pacioli LaDivina Proporcin, que con finalidad teolgica
racionaliza los arcanos del misticismo geomtrico pitagrico,
exhumando una ciencia geomtrica en cuyas fuente bebern Alberti,
Durero y otros muchos artistas del Renacimiento.
Monedas griegas con el Pentagrama pitagrico halladas en
Metaponto (450 a.C).
El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables.La grandeza
sublime del Teorema de Pitgoras y la mgica belleza del Pentagrama
mstico pitagrico fueron dos caballos de Troya para la Geometra
griega, porque llevaban en su interior el germen de la profunda
crisis de la secta pitagrica donde aparecieron. Los Pitagricos,
que, como filsofos presocrticos, haban considerado como ncleo
dogmtico de su Filosofa que los nmeros son la esencia del universo,
encuentran que las consecuencias de su Teorema atentan contra los
fundamentos de su doctrina, que les haba llevado a establecer un
paralelismo entre el concepto numrico y la representacin geomtrica.
En efecto, el cuadrado que es una de las figuras geomtricas ms
simples, proporciona un terrible ente geomtrico, la diagonal, que
no es conmensurable con el lado. Lo mismo sucede entre la diagonal
y el lado del pentgono. La creencia de que los nmeros podan medirlo
todo era una ilusin. As quedaba eliminada de la Geometra la
posibilidad de medir siempre con exactitud. Se haba descubierto la
magnitud inconmensurable, lo irracional no expresable mediante
razones, el alogon, que provocara una crisis sin precedentes en la
Historia de la Matemtica. La sacudida que la aparicin del nuevo
ente provoc en la Matemtica griega puede calibrarse por la leyenda
apocalptica que relata un viejo escolio (atribuido a Proclo) del
Libro X de Los Elementos de Euclides:
Es fama que el primero en dar al dominio pblico la teora de los
irracionales, perecera en un naufragio, y ello porque lo
inexpresable e inimaginable debera siempre haber permanecido
oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente toc y revel
este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de
origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas.
En el mismo tono apocalptico escribe Jmblico (Vida Pitagrica.
XXXIV, 246247, p.141):
Se dice que primero que revel la naturaleza de la
conmensurabilidad e inconmensurabilidad a los indignos de
participar de tales conocimientos fue aborrecido [por la comunidad
pitagrica] hasta el punto de que no slo lo expulsaron de la vida y
de la vivienda en comn, sino que incluso le erigieron una tumba
como si l, que haba sido una vez compaero, hubiese abandonado la
vida entre los hombres. [...] Otros afirmanque la divinidad se enoj
contra quien divulg la doctrina de Pitgoras, pereciendo como un
impo en el mar por sacrlego al haber revelado la doctrina de los
nmeros irracionales y la inconmensurabilidad.
Las circunstancias concretas del primer reconocimiento de
inconmensurables son tan desconocidas como la fecha en que tuvo
lugar. Aunque Proclo en sus Comentarios, lo atribuye al propio
Pitgoras cuando escribe que este filsofo descubrila dificultad de
los nmeros irracionales suele admitirse que fue hacia el 480 a.C.
por Hipasos de Metaponto. El descubrimiento pudo tener lugar al
intentar reiteradamente de forma emprica encontrar una unidad que
permitiera medir, de manera exacta, simultneamente la diagonal y el
lado del cuadrado o bien la diagonal y el lado de un pentgono
regular.
El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la
Historia de la Geometra, porque no es algo emprico, sino puramente
terico. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedaban
afectadas y deban ser reconstruidas todas las pruebas pitagricas de
los teoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes
geomtricas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los
pitagricos sobre la cuestin irracional y la leyenda del castigo por
su divulgacin. Leyendas y conjeturas aparte, se comprende que el
descubrimiento de las magnitudes inconmensurables produjera un
escndalo lgico en todo el mbito pitagrico, ya que exiga una revisin
a fondo de los fundamentos de su Matemtica y su Filosofa, pero fue
no slo la cuna de la Geometra griega sino uno de los componentes
esenciales del milagro griego en Matemticas.
La tempestad provocada por el descubrimiento pitagrico de los
irracionales precipit la primera crisis de fundamentos en la
Historia de la Matemtica, propiciando el horror al infinito, que
caracteriza casi toda la Matemtica griega posterior. Como reaccin
al lenguaje ingenuo de los pitagricos, mezcla de brillantes ideas
matemticas, actitudes msticas y aforismos religiosos, se impondr el
severo rigor de Los Elementos de Euclides. Pero el desarrollo de La
Geometra al margen de la Aritmtica, la ausencia de un lgebra
simblica y la conversin de toda la Matemtica en Geometra, con un
estilo sinttico de exposicin que oculta la va heurstica del
descubrimiento, fue el efecto ms inmediato.
La Cosmogona polidrica pitagrica.
Diversos historiadores de las Matemticas admiten que las
antiguas civilizaciones egipcias y babilnicas tenan conocimiento
del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitira a
Grecia a travs de los viajes de Tales y Pitgoras.
Proclo en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de
Euclides atribuye a Pitgoras la construccinde las figuras csmicas,
nombre relacionado con su uso en la elaboracin de una cosmogona
pitagrica que asociara los cuatro elementos primarios fuego,
tierra, aire y agua, con los cuatro slidos tetraedro, cubo,
octaedro e icosaedro, respectivamente, mientras el dodecaedro como
smbolo general del universo se relacionaba de forma mstica con el
Cosmos, representacin del universo armnico ordenado por el
nmero.
Aecio (basndose en Teofrastro) atribuye a Pitgoras la cosmogona
descrita con estas palabras (W.K.C.Guthrie. Historia de la Filosofa
griega. Vol.1. Gredos, Madrid,1999, p.256):
Por ser cinco las figuras slidas, denominadas slidos matemticos,
Pitgoras dice que la tierra est hecha del cubo, el fuego de la
pirmide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro,
y del dodecaedro est compuesta la esfera del todo.
Tambin Filolao y en parte Simplicio aseguran lo mismo, mientras
que algunos escoliastas del Libro XIII de Los Elementos de Euclides
aseguran que los cinco cuerpos platnicos no tuvieron su origen en
Platn, sino que el cubo, la pirmide [el tetraedro] y el dodecaedro
derivaban de los pitagricos y las otras dos formas de Teeteto.
Los pitagricos estaban fascinados por los slidos regulares,
sobre todo por el dodecaedro, debido a la presencia del emblemtico
pentgono en sus caras, generador al trazar las diagonales de la
estrella pentagonal, llamada Pentagrama mstico, que era el smbolo
de identificacin de los miembros de la secta pitagrica y
responsable, junto con el Teorema de Pitgoras, de la aparicin de la
inconmensurabilidad.
La construccin del dodecaedro era un secreto guardado
celosamente, hasta el punto de que se fue fraguando una leyenda
sobre el terrible fin de quien os divulgar sus misterios, relatada
entre otros autores por Jmblico (Vida Pitagrica, XVIII.88,
p.97):
De Hipasos cuentan que fue uno de los pitagricos que por haber
divulgado por escrito por primera vez la esfera de doce pentgonos
[la construccin del dodecaedro inscrito en una esfera] pereci en el
mar por impo.
Y tambin, ms adelante (en Vida Pitagrica, XXXIV, 247, p.141),
Jmblico escribe:
Dicen que la divinidad se enoj contra quien divulg la doctrina
de Pitgoras, pereciendo como un impo en el mar por sacrlego el que
revel cmo la estructura del icosgono (esto es el dodecaedro, una de
las cinco figuras llamadas slidas) se inscriba en una esfera.
Este texto recuerda la descripcin apocalptica de muchos
escritores acerca de la maldicin que cay sobre Hipasos de Metaponto
por haber revelado la aparicin de lo inconmensurable. La analoga
entre ambas leyendas avalara la tesis de que el advenimiento de la
inconmensurabilidad habra tenido lugar a travs del pentgono de las
caras del dodecaedro.
Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crtica histrica
considera improbable que Pitgoras hubiera planteado la cosmogona
descrita, ya que, por una parte, fue Empdocles de Agrigento el
primero que distingui explcitamente los cuatro elementos primarios
fuego, tierra, aire y agua, y por otra, segn mencionan diversas
fuentes, los primeros pitagricos habran reconocido slo el
tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyndose el octaedro y el
icosaedro al brillante matemtico de la Academia, Teeteto, que
realiz importantes aportaciones sobre los inconmensurables y que
fue honrado por su amigo Platn con el nombre de uno de sus Dilogos
(142a210d)..
El Quadrivium Pitagrico. Mediante lo que se considera la primera
aplicacin histrica de la Matemtica a la descripcin de las leyes de
la naturaleza, Pitgoras encuentra el fundamento matemtico de la
consonancia musical. Quin podra imaginar que el espacio, el nmero y
el sonido se combinaban en una correlacin armoniosa? La Aritmtica y
la Geometra entraban en una comunin divina con la armona musical
que es patrimonio de la Esttica y en ultima instancia apareca la
matriz de la Filosofa pitagrica: el nmero es la esencia de todas
las cosas. Si en el nmero est la clave del tono musical en l
residir tambin la clave de toda la naturaleza. As pues, la
Aritmtica y la Geometra se vinculan con la Msica, que de esta forma
se convierte en una rama de las Matemticas.
Para Pitgoras la congruencia de lasconsideraciones cientficas
sobre los nmeros, las figuras y las notas musicales, es decir, la
concordancia de las proporciones aritmticas, geomtricas y
musicales, y su extrapolacin al Cosmos, determina que los astros
emiten en sus movimientos unos tonos musicales armoniosos cuya
combinacin produca una maravillosa meloda perpetua: La Msica de las
Esferas. El misticismo aritmtico de la Dcada tambin haba llevado a
Pitgoras al establecimiento del primer sistema cosmolgico no
geocntrico. Ambos elementos pitagricos, la Msica de las Esferas y
su Cosmologa incluyen tambin a la Astronoma en el mbito matemtico,
el cual quedaas completado en lo que con posterioridad a partir de
Boecio que acuara el trmino en su obra aritmtica se llam las cuatro
Artes del Quadrivium pitagrico Aritmtica, Geometra, Msica y
Astronoma, que junto con las tres Artes del Trivium Gramtica,
Retrica y Dialctica constituyen las Siete Artes liberales del
curriculum medieva
El Quadrivium pitagrico. Fragmento del cdice de Nicolo da
Bologna Las Virtudes y las Artes de 1355. Biblioteca Ambrosiana de
Milan.
Las cuatro Artes Liberales del Quadrivium pitagrico Aritmtica,
Geometra, Msica y Astronoma se representan de manera alegrica en
forma de figuras de mujeres que llevan cada una de ellas atributos
e instrumentosmatemticos distintivos. Las damas son como musas de
los sabios matemticos que las acompaan en este icono la Aritmtica
infunde la sabidura a Pitgoras, la Geometra a Euclides, la Msica a
Tubalcan y la Astronoma a Ptolomeo. En otras representaciones del
Quadrivium pitagrico es la Msica quien asiste a Pitgoras, siendo
entonces la Aritmtica la consejera de Boecio.
Los cuatro Mathemata fueron considerados por Platn en La
Repblica como enseanzas preliminares que haba que dominar antes de
emprender el camino de la Filosofa.
El legado de Pitgoras. Herencia y vigencia del Pitagorismo.La
pervivencia de la estela pitagrica a lo largo de los siglos es uno
de los fenmenos culturales ms interesantes de la Historia del
Pensamiento. Con Pitgoras nace por primera vez en la historia la
confianza ilimitada en nuestra capacidad para explorar este
universo, entendiendo por tal todo lo que el ser humano, que es
razn y sentidos, puede percibir, incluyendo el universo interior.
Por tanto podramos calificar de pitagrica la fe que ha presidido la
tarea humana de ir haciendo comprensible para el hombre el Cosmos
global (macrocosmos y microcosmos) y que ha inspirado toda la
actividad cientfica durante los ltimos 2500 aos.
La comunidad pitagrica de ndole religiosa, cientfica y filosfica
alumbr el llamado Pitagorismo, uno de los movimientos intelectuales
ms influyentes y persistentes en la Historia de la Cultura. A
partir de rudimentos rficos,la concepcin pitagrica del
Cosmosamalgama elementos filosficos, racionales y matemticos con
poticos, religiosos y msticos, buscando la comunin con lo divino en
la contemplacin racional del universo, alcanzando una sntesis
sumamente atractiva no slo para sus coetneos sino para muchas
corrientes de inspiracin pitagrica durante muchos siglos. Pitgoras
alcanza una armoniosa sntesis entre la mstica del espritu religioso
oriental del que se impregna en sus viajes a Oriente y la cientfica
visin del universo, desarrollando un potente movimiento cultural
que lleg a ser mucho ms que una Escuela de Pensamiento, un autntico
estilo de vida: el modo de vida pitagrico, del que habla Platn en
La Repblica (Libro X, 600b).
De la Filosofa pitagrica arrancan dos sistemas de pensamiento
muy diferentes. Los aspectos ms abstractos y lgicos fueron
adoptados por Parmnides, y muy contaminados de misticismo,
constituyen la base del idealismo platnico. En sentido opuesto, el
atomismo numrico-geomtrico pitagrico (por ejemplo, los nmeros
poligonales), recogido por Leucipo, adoptar un contenido
materialista en el atomismo de Demcrito.
La mayor parte de la doctrina del Timeo que Platn no pone en
labios de Scrates sino de un pitagrico natural de Lcride, ciudad
prxima a Crotona, y en particular la cosmogona polidrica de Platn
es pitagrica. De hecho la filosofa platnica tendi a ser
interpretada como Pitagorismo por sus contemporneos y sucesores. As
sucedi ya no slo con la cosmogona del Timeo, sino tambin con la
concepcin platnica del almay la Teora de las Ideas, por citar
algunos de los aspectos ms sobresalientes de la Filosofa de Platn.
El propio Aristteles, que fue miembro de la Academia Platnica
durante veinte aos, escribe refirindose a Platn (Metafsica, I.6,
987b): Su Filosofa sigue, en la mayora de las cosas, la de los
pitagricos. Tambin B. Russell se expresa de forma parecida
(Historia de la Filosofa Occidental. v.I.p.75): [...] lo que
aparece como Platonismo [en muchos Dilogos de Platn] resulta despus
de analizarlo, esencialmente Pitagorismo. La famosa inscripcin que
se encontraba en el umbral de la entrada de la Academia Platnica No
entre nadie ignorante en Geometra es de indudable origen pitagrico,
como actitud reverencial del gran filsofo ateniense hacia las
Matemticas. Podemos, por tanto, asegurar la decisiva influencia de
la Filosofa pitagrica sobre Platn, quien con su incomparable
profundidad filosfica y su inefable sensibilidad esttica, fue el
prominente vehculo de transmisin de gran parte del pensamiento
pitagrico a la posteridad, en particular a la ciencia alejandrina y
a la primitiva iglesia cristiana, ambas empaadas de Platonismo.
La desaparicin de la Escuela pitagrica produjo una cierta
dispora hacia la regin griega del tica que compondra el germen de
la futura Academia Platnica, pero la tradicin pitagrica no se
interrumpi en tierras italianas, sobresaliendo sobre todo las
figuras de Filolao que sistematiz y difundi la doctrina pitagrica y
Arquitas de Tarento (en cuyas fuentes directas bebera Platn). El
propio Cicern asegura que el verbo de Pitgoras no ha dejado de
resonar en Roma, y es ms que en Roma nadie era considerado
instruido si no era pitagrico (Tusculanas, I.1, XVI). La influencia
pitagrica contina en la Roma imperial; citemos a Sneca y Moderato
de Cdiz (por aludir a dos figuras de races hispnicas), a San Agustn
(que en su aplicacin de la doctrina de los nmeros lleva el
misticismo pitagrico hasta el paroxismo), a los reconocidos
pitagricos Nicmaco de Gerasa (de quien Proclo deca que era una
reencarnacin del mismo Pitgoras) y Teon de Esmirna, a los clebres
bigrafos de Pitgoras, Porfirio y Jmblico, al propio Proclo y a toda
una plyade de pitagricos menores cuya doctrina, en amalgama
bastarda con aspectos de la joven Iglesia de Cristo, har aparecer
la Gnosis pitagrica con Simn el Mago, que en el curso de los siglos
evolucionar, a travs de corrientes subterrneas de la cultura que
tienen que ver con sus propios orgenes rficos, hacia las tendencias
de Filosofa Hermtica que llegan hasta Agrippa de Nettesheim,
Paracelso, Goethe, y alcanzan a las logias actuales.
La Edad Media tambin sufri la influencia del Pitagorismo. Por
ejemplo, la doctrina de la Armona de las Esferas encuentra en el
Medioevo su ms gloriosa expresin en la arquitectura de la grandes
abadas y catedrales conscientemente diseadas segn las proporciones
de la armona aritmtica, geomtrica y musical, metfora del orden
universal. Adems, las cofradas de constructores y artesanos
medievales trasmitieron de generacin en generacin un ritual
inicitico en el que la Geometra pitagrica desempe un papel
preponderante, interviniendo en la construccin de las grandes
catedrales gticas donde hayamos toda una enciclopedia grfica en los
trazados de rosetones en los que el mstico smbolo pitagrico del
Pentagrama irradia luminosa magnificencia a travs de los
vitrales.
En el Renacimiento la figura de Pitgoras tiene gran incidencia
sobre el pensamiento de Nicolas de Cusa, de Jernimo Cardano y sobre
todo de Giordano Bruno, quien llegaa escribir: [...] qued muy
sorprendido al conocer las doctrinas pitagricas.
Pero la mayor influencia del pensamiento filosfico y matemtico
pitagrico tiene lugar en la Filosofa de la Esttica, de modo que
todas las cuestiones tratadas el concepto de Cosmos como universo
ordenado a travs de la armona matemtica y musical, el fundamento
aritmtico de la armona musical, la Teora de las Medias y
Proporciones, la Msica de las Esferas, el Quadrivium pitagrico, la
Divina Proporcin y los Poliedros regulares, son tpicos pitagricos
de gran incidencia en la Historia del Arte. La fuente primigenia de
la armona y la proporcin en el Arte del Renacimiento se remonta a
las concepciones matemticas del pensamiento pitagrico, que al
descubrir las sorprendentes relaciones proporcionales de la
consonancia musical crey haber alcanzado la verdad absoluta de la
estructura armnica del universo, tomndolas como principio generador
en el macrocosmos y en el microcosmos del orden y la armona,
basados en los nmeros. Estas ideas, reveladas por Pitgoras y
plasmadas en el Timeo por Platn, han sido de trascendental
importancia en la Historia de la Cultura, en general, pero sobre
todo en el Arte, que al intentar dar expresin a ese orden se apoya
en la verdad irrebatible de los nmeros y las relaciones espaciales,
que parecen revelar esa armona preestablecida, ya que para muchos
artistas la armona espacial ser el eco visible y el espejo de la
armona csmica pitagrica, de ah que para los tericos y artistas del
Renacimiento la armona como esencia y fuente de la belleza, se
concibe como la perfecta relacin entre el todo y las partes y de
stas entre s, en trminos de proporciones y razones matemticas. La
concrecin prctica de las concepciones pitagricas sobre la armona en
la configuracin de las proporciones artsticas en el Renacimiento se
resume en la aplicacin de dos tipos cannicos de proporciones: las
conmensurables relativas a las consonancias musicales y las
inconmensurables vinculadas a la Divina Proporcin. Ambas derivan de
la tradicin pitagrica. Sirva como frase emblemtica la plasmada por
L.B.Alberti en De re Aedificatoria (1450-1485):
Tengo que afirmar de una vez por todas la opinin de Pitgoras de
que la recta naturaleza est en todo,[...], y que los nmeros
determinantes de que la concordancia de las voces sea agradable a
los odos odos son exactamente los mismos que deleitan nuestra vista
y nuestra mente
Pitgoras es uno de los artfices de la revolucin cientfica de la
Filosofa jnica por haber encontrado, de forma emprica, el
fundamento aritmtico de la armona musicalmediante la primera
experiencia cientfica de la que hay constancia histrica, de modo
que Pitgoras probablemente fue quien primero estudi las ms antiguas
leyes cuantitativas de la Fsica, siendo el primer sabio convencido
de que los fenmenos de la naturaleza podran entenderse y explicarse
por medio de la Matemtica. Las investigaciones de Pitgoras sobre la
msica constituyen las primeras leyes matemticas completamente
generales aplicadas a desvelar los misterios de la naturaleza, el
primer intento en la tradicin occidental de reducir las leyes de la
fsica a relaciones matemticas, el primer paso hacia la
matematizacin de la experiencia humana. En la Astronoma le cabe a
Pitgoras el gran mrito de haber establecido el primer sistema
cosmolgico no geocntrico. Aunque no se trata de un sistema
propiamente heliocntrico tuvo una gran influencia en la revolucin
copernicana. El espritu pitagrico pleno de pasin mstica por el
conocimiento reaparece en momentos histricos en los que la evolucin
del pensamiento cientfico realiza un viraje esencial. Tal es el
caso de Kepler que, convencido de que la armona matemtica pitagrica
deba haber presidido la labor del creador, aplica la mstica de la
Cosmogona pitagrica y de la Msica de las Esferas, para alumbrar sus
famosas leyes planetarias.
Para muchos pensadores Pitgoras es el fundador de la Filosofa y
de la Matemtica europeas. As lo expresa literalmente el filsofo y
matemtico A.N.Whitehead en su obra Science in the Modern World de
1925. De hecho fue Pitgoras, como se ha dicho, quien acu para
siempre, los trminos Filosofa y Matemticas. Pitgoras es el
iniciador del mtodo deductivo en Matemticas que hace de esta
disciplina una ciencia racional independiente del empirismo.
Pitgoras planta la semilla del razonamiento geomtrico que germinar
con sus sucesores pitagricos, florecer en la Academia Platnica y
fructificar con Euclides. Fue, pues, Pitgoras quien inici el
milagro griego de realizar la organizacin racional de la Matemtica,
aadiendo el elemento de estructura lgica a la Geometra. Es decir,
el mrito de Pitgoras, ms all de la magnificacin inconmensurable del
acervo matemtico buena parte del contenido de Los Elementos de
Euclides es de procedencia pitagrica, fue la propia instauracin de
la Matemtica como ciencia racional a travs de la idea y la prctica
de la demostracin. Segn B.Russell (Historia de la Filosofa
Occidental, vol.1, p.67):
La Matemtica como argumento deductivo-demostrativo empieza con
Pitgoras, estando unida con una forma particular de misticismo. La
influencia de las Matemticas en la Filosofa debida a Pitgoras, ha
sido desde entonces muy profunda.
La demostracin es, pues, la aportacin esencial de Pitgoras a la
Matemtica. Con Pitgoras, adems, el talento griego para la
generalizacin, para la extraccin de la ley universal a partir de
los casos concretos en sentido aristotlico: la forma a partir de la
materia, haba empezado ya a causar su efecto. Por eso Pitgoras
marca tambin un hito en la Historia de la Matemtica.
A partir de Pitgoras la Matemtica es universalmente considerada
como un manantial inagotable de verdad objetiva, la ciencia por
excelencia, la reina de las Ciencias que dira Gauss.
Para los pitagricos la Matemtica era la ciencia tipo paradigma
del conocimiento; todo su sistema tiende al matematismo que
impregna la ciencia de hoy. Y ms que la Matemtica en general, la
ciencia de los nmeros: la Aritmtica. La suprema mxima pitagrica que
resume su Metafsica el nmero es la esencia de todas las cosas es un
antecedente de la clebre frase de Galileo en Il Saggiatore resumida
en la forma:
El libro de la naturaleza est escrito en lenguaje matemtico.
Actualmente el aforismo pitagrico, ms all de su sentido
alegrico, es una autntica realidad; y ello por varias razones. Hoy
muchas disciplinas cientficas, incluso dentro del mbito social,
estn fuertemente matematizadas. Es ms, la propia Matemtica, tras
las penosas crisis de fundamentos de siglos pasados, ha encontrado
sus cimientos lgicos en un proceso de aritmetizacin progresiva, que
permite completar la cita de Gauss: [...] y la Aritmtica es la
reina de la Matemtica, dando pleno significado a la clebre frase de
Kronecker: Dios creo los nmeros naturales y todo lo dems es obra
del hombre, que debemos interpretar como un mayesttico
pronunciamiento pitagrico, que preparara la celebre frase de B.
Russell publicada en La Nation (27-10-1924):
Quiz lo ms extrao de la ciencia moderna sea su regreso al
Pitagorismo.
Ms an, hoy, a travs del proceso informtico de digitalizacin,
puede llegar a ser un nmero sucesiones de ceros y unos buena parte
de la creacin del intelecto humano desde una argumentacin
discursiva hasta una composicin musical o una pintura en un lienzo
y gracias a tal estructura magntica ser trasmitido, de forma casi
instantnea, por va telemtica, a cualquier lugar del orbe terrqueo.
As que Pitgoras, el filsofo del nmero est de plena actualidad.
Tambin en el terreno de la Educacin Pitgoras es un pionero ya
que el Quadrivium pitagrico Aritmtica, Geometra, Msica y Astronoma
sancionado por Platn en La Repblica, se convierte en la mdula de
una instruccin liberal dominando gran parte del pensamiento
pedaggico casi hasta nuestros das.
Si a propsito del Teorema de Pitgoras habamos dicho que este
teorema pertenece al imaginario cultural de casi todos los pueblos,
a estas alturas podemos extrapolar la expresin para afirmar
categricamente que la propia figura de Pitgoras pertenece al
imaginario cultural de casi todos los pueblos.
Pitgoras no slo es el instaurador de la tradicin filosfica,
cientfica y matemtica en Occidente sino que su proyeccin ulterior
en la Historia de la Ciencia, de la Matemtica, de la Filosofa y del
Pensamiento y la Cultura en general, es inmarcesible e
imperecedera. No es extrao que el gran filsofo y matemtico
B.Russell comience el captulo dedicado a Pitgoras de su Historia de
la Filosofa Occidental, con esta palabras (vol.I, p.65):
Pitgoras es intelectualmente uno de los hombres ms importantes
que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia
del Pensamiento.
Sellos emitidos en Grecia el 20 de agosto de 1955 con ocasin de
un Congreso sobre Pitgoras conmemorativo del 2500 aniversario de la
fundacin de la primera Escuela de Filosofa de la historia. El
primero representa al propio Pitgoras retratado en una moneda
encontrada en Samos y el segundo es una imagen visual del Teorema
de Pitgoras aplicado al sagrado tringulo egipcio.
EPLOGO:PITGORAS FILSOFO Y MATEMTICOPitgoras filsofo. Grabado de
History of Philosophy. Thomas Stanley, 1660.La extensa e intensa
actividad intelectual de Pitgoras y su Escuela ha dejado un legado
que est en la raz de la Filosofa, la Ciencia, la Matemtica, la
Cosmologa, la Msica, ..., y ha tenido influencia decisiva en el
Arte, la Educacin, la Literatura, la Religin, la Mstica, la
Ecologa, e incluso en la Magia y el Esoterismo.
Para Pitgoras Filosofa, Ciencia, Matemticas, Cosmologa y
Religin, son aspectos indisociables que conforman un estilo de
vida: el modo de vida pitagrico, imbuido por un entusiasmo mstico
que promueve una pasin por el conocimiento mediante la especulacin
filosfica y matemtica como parmetros esenciales cotidianos de la
existencia.
El Pitagorismo, tamizado por la Filosofa platnica, est en la
base de la fundamentacin filosfica e ideolgica del Cristianismo. En
Pitgoras encontramos el primer antecedente histrico del sincretismo
cultural Oriente-Occidente, del pacifismo,del feminismo,del
socialismo, del vegetarianismo, del ecologismo y de otros muchos
ismos y tendencias que hoy son lugares corriente en nuestra
cultura. Pitgoras es el filsofo del nmero artfice mximo del milagro
griego. Su figura histrica crea las races de la Filosofa y de la
Matemtica, por eso su entidad intelectual es tan inconmensurable,
que debemos situarla en el umbral del pensamiento occidental, como
cuna del saber y del conocimiento
Pitgoras con los atributos de matemtico: el Dodecaedro, la
Tetractys, el Tringulo Rectngulo, el Pentagrama Mstico y la
Msica.Ilustracin de Pedro Lario Cruz,09/ 2000.
Pitgoras y los pitagricos aportaron un ingente caudal de
conocimientos matemticos que fluanen el ambiente mstico y filosfico
de la Escuela Pitagrica:
La doctrina aritmtica incluye la Aritmologa pitagrica de los
nmeros msticos, la clasificacin de los nmeros, los nmeros perfectos
y amigos y los nmeros poligonales. Es lo que se llama el misticismo
aritmtico geomtrico, que incluye el descubrimiento del fundamento
aritmtico de la armona musical y la construccin del primer sistema
cosmolgico no geocntrico.
La doctrina geomtrica clsica atribuye a los pitagricos infinidad
de teoremas elementales sobre tringulos, polgonos, rectas
paralelas, crculos, esferas, etc., resultados que conforman gran
parte de los trece libros de Los Elementos de Euclides. Los
pitagricos aplicaban una teora restringida de figuras semejantes
(vlida nicamente para el caso conmensurable) y segn testimonio de
Proclo conocan los poliedros regulares. Adems, se consideran tpicos
pitagricos el famoso Teorema sobre el tringulo rectngulo y la
Divina Proporcin, ambos depositarios histricos del descubrimiento
de las magnitudes inconmensurables.
Pero lo ms importante del legado pitagrico matemtico es la
propia instauracin la Matemtica como ciencia racional a travs de la
prctica de la demostracin.