Page 1
pIbo
on ch
omso
mbatแบบฝึกหัด 1.1 ข
1. จงเขียนกราฟเพ่ือตรวจสอบดูว่าล าดับใดเป็นล าดับลู่เข้า หรือลู่ออก
(1) an = 2
nsin π
(2) an = 2
nsinn1 π
(3) an = 1n
5
(4) an = n2n
(5) an = n(1 + (–1)n)
(6) an = n214
(7) an = 4(0.5)n–1
(8) an = n1
32
(9) an = n
34
(10) an = 22
nn
2. ก าหนดล าดับ an = 24
24
133nn2n
ให้อธิบายเหตุผลว่า นักเรียนเห็นด้วยหรือไม่กับวิธีการหาลิมิตของ
ล าดับ anที่แสดงไว้ในกรอบต่อไปนี้ 3. จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของล าดับเพ่ือตรวจสอบว่าล าดับในแต่ละข้อเป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก
(1) an = 3n
8
โดยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต จะได้ 13)(3nlim
)n (2nlim133nn 2n
lim 4n
2 4n
4
2 4
n
แต่เนื่องจาก )n (2nlim 2 4n
หาค่าไม่ได้ และ 13)(3nlim 4n
ก็หาค่าไม่ได้
ดังนั้น 133nn 2n
lim 4
2 4
n
จึงหาค่าไม่ได้
Page 2
pIbo
on ch
omso
mbat (2) an =
n
n
78
(3) an = (–1)n
(4) an =
n
213
(5) an = n
14
(6) an = 6n
4 6n
(7) an = 6
5 3n
(8) an = 1 n
n
(9) an =
2n5n 4
(10) an = 1 3n
12n
(11) an = 17n
5n 3n2
(12) an = 35n
7n2
2
(13) an = 2
2
n32n4n
(14) an = 2
2
5n10n13n
(15) an = 1n
1n1
(16) an = 2n
1n
53
(17) an = 2n
1n
332
(18) an = 1n1n
(19) an = 4n
1n2
(20) an = 3 3
2
2n2n
14n
(21) an = n1)( n
Page 3
pIbo
on ch
omso
mbat (22) an =
2n325n8n2
4. ประโยคต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ จงให้เหตุผล (1) ถ้า an และ bn เป็นล าดับลู่ออกแล้ว (an + bn) เป็นล าดับลู่ออก (2) ถ้า an เป็นล าดับลู่เข้า และ bn เป็นล าดับลู่ออก แล้ว (an + bn) เป็นล าดับลู่ออก
5. ก าหนดล าดับ an = n)12rP(1 โดยที่
an คือ เงินทบต้นเมื่อเวลาผ่านไป n เดือน P คือ เงินต้น r คือ อัตราดอกเบี้ยต่อปี (1) จงหาว่า ล าดับ an เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ (2) จงหา 10 พจน์แรกของล าดับ ถ้าเงินต้นเป็น 9,000 บาท และอัตราดอกเบี้ยเป็น 1.5% ต่อปี 6. บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายปกติของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พนล้านบาท แต่เนื่องจากราคาน้ ามันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยัดงบประมาณ โดยตัดรายจ่ายลดลง 20% ในแต่ละปี (1) จงเขียนงบรายจ่ายเมื่อเวลาผ่านไป n ปี (2) ค านวณงบรายจ่ายของสี่ปีแรกหลังจากถูกตัดงบ (3) ล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด 1.1 ข 1. (1) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1 0
Page 4
pIbo
on ch
omso
mbat
(2) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –0.333 0 0.2 0 –0.142 0 –0.111 0
(3) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2.5 1.666 1.25 1 0.833 0.714 0.625 0.555 0.5 0.454
Page 5
pIbo
on ch
omso
mbat
(4) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2 2 2.666 4 6.4 10.666 18.285 32 56.888 102.4
(5) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0 4 0 8 0 12 0 16 0 20
Page 6
pIbo
on ch
omso
mbat
(6) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 3.5 3.75 3.875 3.937 3.968 3.984 3.992 3.996 3.998 3.999
(7) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
Page 7
pIbo
on ch
omso
mbat
(8) ลู่เข้า
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.666 0.816 0.873 0.903 0.922 0.934 0.943 0.950 0.955 0.960
(9) ลู่ออก
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an –1.333 1.777 –2.370 3.160 –4.213 5.618 –7.491 9.988 –13.318 17.757
Page 8
pIbo
on ch
omso
mbat
(10) ลู่เข้า
.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.25 0.333 0.3 0.222 0.147 0.090 0.053 0.031 0.017 0.009
2. ไม่เห็นด้วย เพราะเป็นการสรุปที่ไม่ถูกต้อง ถ้า xn และ yn เป็นล าดับ การที่จะกล่าวว่า
nn
nn
n
nn ylim
xlimyx
lim
ได้นั้น ข้อตกลงเบื้องต้นเกี่ยวกับ nn
xlim
และ nnylim
ต้องเป็นจริง
ก่อน ข้อก าหนดเบื้องต้นนั้นคือ nnxlim
และ nn
ylim
ต้องหาค่าได้
ในกรณีนี้ ต้องจัดรูป an และ bn ก่อนการใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต ดังนี้
Page 9
pIbo
on ch
omso
mbatจาก
133nn2n
4
24
= )
n13(3n
)n1(2n
44
24
= 4
2
n133n12
และเนื่องจาก )n1(2lim 2n
= 2 และ )n13(3lim 4n
= 3
ดังนั้น 133nn2n
lim 4
24
n
=
4n133n12
lim2
n
= )
n13(3lim
)n1(2lim
4n
2n
=
32
3. (1) 3n8
limn
= n1
lim38
n = (0)
38 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 3n8 เป็นล าดับลู่เข้า
(2) จาก n
n
78 =
n
78
จะได้ n
n
n 78
lim
= n
n 78
lim
n
n 78
lim
หาค่าไม่ได้ เพราะ
78 1
ดังนั้น ล าดับ an = n
n
78 เป็นล าดับลู่ออก
(3) (−1)n = 1 เมื่อ n เป็นจ านวนคู่ และ (−1)n = –1 เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ ดังนั้น ล าดับ an = (–1)n ไม่มีลิมิต และเป็นล าดับลู่ออก
(4) n
n 21
lim3
=
n
n 21
3lim
= 3(0) = 0
ดังนั้น ล าดับ an = n
213
เป็นล าดับลู่เข้า
(5) เนื่องจาก 4limn
= 4 และ n1
limn
จะได้
n14lim
n =
n1
lim4limnn
= 4 + 0 = 4
ดังนั้น ล าดับ an = n14 ป็นล าดับลู่เข้า
Page 10
pIbo
on ch
omso
mbat(6) จาก
6n4 6n =
6n4
6n6n
= 3n2 1
และเนื่องจาก 1limn
= 1 และ
3n2
limn
= 0
จะได้
6n4 6n
limn
=
3n2 1lim
n
= 3n2
lim1limnn
= 1 – 0 = 1
ดังนั้น ล าดับ an = 6n
4 6n เป็นล าดับลู่เข้า
(7) เมื่อ n มีค่าเพ่ิมข้ึน ค่าของพจน์ที่ n ของล าดับนี้จะเพ่ิมข้ึน และไม่เข้าใกล้จ านวนใด จ านวนหนึ่ง
ดังนั้น ล าดับ an = 6
5 3n เป็นล าดับลู่ออก
(8) จาก 1 n
n
=
n1 1n
n =
n1 1
1
และเนื่องจาก 1limn
= 1 และ n1
limn
= 0
จะได้
1 nn
limn
=
n1 1
1lim
n
=
n1
lim 1lim
1lim
nn
n
= 0 1
1
= 1
ดังนั้น ล าดับ an = 1 n
n
เป็นล าดับลู่เข้า
(9) เนื่องจาก 2n n4
lim
= 0 และ 2n n5n
lim
= 0
จะได้
2n n
5n4lim = 2n2n n
5nlimn
4lim
= 0 + 0 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 2n5n4 เป็นล าดับลู่เข้า
Page 11
pIbo
on ch
omso
mbat(10) จาก
13n12n
=
n1 3n
n12n
=
n1 3n12
และเนื่องจาก
n12lim
n = 2 และ
n13lim
n = 3
จะได้ 13n12n
limn
=
n13lim
n12lim
n
n
= 32
ดังนั้น ล าดับ an = 13n12n
เป็นล าดับลู่เข้า
(11) an = 17n5n3n2
เป็นล าดับลู่ออก
(12) จาก 35n
7n2
2
=
22
2
n35n
7n
และเนื่องจาก 7limn
= 7 และ
2n n35lim = 5
จะได้ 35n
7nlim 2
2
n =
2n
n
n35lim
7lim
= 57
ดังนั้น ล าดับ an = 35n
7n2
2
เป็นล าดับลู่เข้า
(13) จาก 2
2
n32n4n = 2n
3n24
และเนื่องจาก 4limn
= 4 และ n2
limn
= 0 และ 2n n3
lim
= 0
จะได้
2
2
n n
32n4nlim = 2n n
3n24lim
= 2nnn n3
limn2
lim4lim
= 4 + 0 + 0 = 4
Page 12
pIbo
on ch
omso
mbatดังนั้น ล าดับ an = 2
2
n32n4n เป็นล าดับลู่เข้า
(14) จาก 2
2
5n 10n13n
=
5n10n
n13n
2
22
= 5
n10
n13 2
และเนื่องจาก
2n n13lim = 3 และ
5
n10
limn
= –5
จะได้
510n13n
lim2
n =
5n10
lim
n13lim
n
2n =
53
ดังนั้น ล าดับ an = 2
2
5n 10n13n
เป็นล าดับลู่เข้า
(15) เนื่องจาก n1
limn
= 0 และ 1n
1lim
n = 0
จะได้
1n1
n1
limn
= 1n
1limn
1lim
nn
= 0 – 0 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 1n
1
n
1
เป็นล าดับลู่เข้า
(16) จาก 2n
1n
53
= 1n
1n
553
=
1n
53
51
จะได้ 2n
1n
n 53
lim
=
1n
n 53
51
lim
= 1n
n 53
lim51
= (0)
51 = 0
ดังนั้น ล าดับ an = 2n
1n
53
เป็นล าดับลู่เข้า
(17) จาก 2n
1n
332
= 2n2n
1n
33
3272
= 1n
1n
31
32
271
และเนื่องจาก
1n
n 32
271
lim = 271 และ
1nn 31
lim = 0
จะได้ 2n
1n
n 332
lim
=
1n
1n
n 31
32
271
lim
= 1nn
1n
n 31
lim32
lim271
Page 13
pIbo
on ch
omso
mbat = 0(0)
271
= 0
ดังนั้น ล าดับ an = 2n
1n
332
เป็นล าดับลู่เข้า
(18) จาก 1n1n
=
n11n
n11n
=
n11n
11
และเนื่องจาก )n
1(1limn
= 1 และ )n
1(1limn
= 1
จะได้ 1n1n
limn
=
n11lim
n11lim
n
n
ดังนั้น ล าดับ an = 1n1n
เป็นล าดับลู่เข้า
(19) จาก 4n
1n2 = 4n
n11n 2
= 4
n11 2
และเนื่องจาก 2n n11lim
= 1 และ 4lim
n = 4
จะได้ 4n
1nlim
2
n
=
4n11
lim2
n
=
2n n11lim4
1
= 141 =
41
ดังนั้น ล าดับ an = 4n
1n2 เป็นล าดับลู่เข้า
(20) จาก 3 3
2
2n2n14n
=
33
2
n212n
n14n
= 3
3
2
n212
n14
และเนื่องจาก
2n n14lim = 2 และ
3
3n n212lim = 3
Page 14
pIbo
on ch
omso
mbatจะได้
3 3
2
n 2n2n14n
lim
=
33
2
n
n212
n14
lim
=
33n
2n
n212lim
n14lim
= 32
ดังนั้น ล าดับ an = 3 3
2
2n2n14n
เป็นล าดับลู่เข้า
(21) an = n1)( n เป็นล าดับลู่เข้า
(22) an = 2n3
25n8n2
เป็นล าดับลู่ออก
4. (1) ไม่จริง เช่น ล าดับ an = n และ ล าดับ bn = –n เป็นล าดับลู่ออก แต่ล าดับ (an + bn) = n – n = 0 เป็นล าดับลู่เข้า
(2) จริง การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ท าได้ดังนี้ สิ่งที่ก าหนดให้คือ ล าดับ an เป็นล าดับลู่เข้า และ ล าดับ bn เป็นล าดับลู่ออก สมมติว่า “(an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า” เนื่องจากล าดับ an และล าดับ (an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า จึงได้ว่า nn
alim
และ
)b(alim nnn
หาค่าได้ ให้ nn
alim
= A และ )b(alim nnn
= B
พิจารณา )ab(alim nnnn
= nn
blim
และ )ab(alim nnnn
= nnnnn
alim)b(alim
= B – A ดังนั้น nn
blim
หาค่าได้ ซึ่งท าให้ ล าดับ bn เป็นล าดับลู่เข้า
เกิดข้อขัดแย้งกับสิ่งที่ก าหนดให้ จึงสรุปว่า ข้อความที่สมมติว่า “(an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า” เป็นเท็จ นั่นคือ (an + bn) ต้องเป็นล าดับลู่ออก
5. (1) nn
)12rP(1lim
= n
n)
12r(1limP
เนื่องจาก 12r1 1 ดังนั้น
n
n 12r1lim
หาค่าไม่ได ้
ดังนั้น an = n
12r1P
ไม่เป็นล าดับลู่เข้า
Page 15
pIbo
on ch
omso
mbat(2) จาก an =
n
12r1P
ก าหนด r = 1001.5 = 0.015
สิ้นเดือนที่ 1 จะได 1 =
120.01519000 = 9011.25
สิ้นเดือนที่ 2 จะได 2 = 2
120.01519000
= 9022.51
สิ้นเดือนที่ 3 จะได 3 = 3
120.01519000
= 9033.79
สิ้นเดือนที่ 4 จะได 4 = 4
120.01519000
= 9045.08
สิ้นเดือนที่ 5 จะได 5 = 5
120.01519000
= 9056.39
สิ้นเดือนที่ 6 จะได 6 = 6
120.01519000
= 9067.71
สิ้นเดือนที่ 7 จะได 7 = 7
120.01519000
= 9079.05
สิ้นเดือนที่ 8 จะได 8 = 8
120.01519000
= 9090.39
สิ้นเดือนที่ 9 จะได 9 = 9
120.01519000
= 9101.76
สิ้นเดือนที่ 10 จะได 10 = 10
120.01519000
= 9113.13
ดั งนั้ น สิบ พจน์ แรกของล าดั บ คื อ 9011.25, 9022.51, 9033.79, 9045.08, 9056.39, 9067.71, 9079.05, 9090.39, 9101.76, 9113.13 6. (1) ให้ an เป็นงบรายจ่ายปกติที่ถูกตัดลงเมื่อเวลาผ่านไป n ปี
A แทนงบรายจ่ายปกติเป็น 2.5 พันล้านบาท
สิ้นปีที ่1 จะได้ a1 = (A)10020A = A
54
สิ้นปีที ่2 จะได้ a2 =
A
54
10020A
54 = A
54 2
สิ้นปีที ่3 จะได้ a3 = A54
10020A
54 22
= A54 3
สิ้นปีที ่n จะได้ an = A54 n
Page 16
pIbo
on ch
omso
mbatดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไป n ปี งบรายจ่ายเป็น
n
542.5
พันล้านบาท
(2) งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 1 เป็น (2.5)54 = 2 พันล้านบาท
งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 2 เป็น (2.5)54 2
= 1.6 พันล้านบาท
งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 3 เป็น (2.5)54 3
= 1.28 พันล้านบาท
งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 4 เป็น (2.5)54 4
= 1.024 พันล้านบาท
ดังนั้น งบรายจ่ายในสี่ปีแรก หลังถูกตัดงบเป็น 2, 1.6, 1.28 และ 1.024 พันล้านบาท ตามล าดับ
(3) เนื่องจาก 54 1 จะได้
n
n 542.5lim
= 0
ดังนั้น ล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้า --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------