Physique & Contrôle des Systèmes – S3 20/21 Les systèmes asservis http://twitter.com/poujouly http://poujouly.net Stéphane POUJOULY [email protected]IUT CACHAN Département Geii1 9 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN Chap 1 : Asservissement des systèmes linéaires à temps continu Chap 2 : Asservissement des systèmes linéaires à temps discret Chap 1.1 : Introduction & outils mathématiques Chap 1.2 : Stabilité des systèmes bouclés Chap 1.3 : Correction des systèmes asservis & étude de cas Chap 2.1 : Echantillonnage : Rappels & outils mathématiques associés Chap 2.2 : Etude & Mise en œuvre des asservissements numériques
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Physique & Contrôle des Systèmes S3 20/21 Les systèmes ...
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Physique & Contrôle des Systèmes – S3 20/21
Les systèmes asservis
http://twitter.com/poujoulyhttp://poujouly.net
Stéphane POUJOULY [email protected] IUT CACHAN Département Geii19 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN
Chap 1 : Asservissement des systèmes linéaires à temps continu
Chap 2 : Asservissement des systèmes linéaires à temps discret
Chap 1.1 : Introduction & outils mathématiques
Chap 1.2 : Stabilité des systèmes bouclés
Chap 1.3 : Correction des systèmes asservis & étude de cas
Chap 2.1 : Echantillonnage : Rappels & outils mathématiques associés
Chap 2.2 : Etude & Mise en œuvre des asservissements numériques
Chap 1.1 : Introduction aux SA & outils mathématiques
http://twitter.com/poujoulyhttp://poujouly.net
Stéphane POUJOULY [email protected] IUT CACHAN Département Geii19 bd de la Div Leclerc 94230 CACHAN
Physique & Contrôle des Systèmes
Asservissement des systèmes
linéaires à temps continu
Plan de la présentation
1
4
2
Exemple et structure d’un Système Asservi – Qualités d’un asservissement
Transformée de Laplace : Un outil indispensable pour l’étude des asservissements
6 Modélisation & représentation classique d’un asservissement
3
Système linéaire du 1er & 2nd ordre : réponse temporelle & harmonique
Le cas important des systèmes linéaires
5 Retour sur la construction des diagrammes de Bode : Un outil essentiel !
Les systèmes asservis : Introduction1
3http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Processus Physique
SystèmeCommande Grandeur de sortie
Système, processus : Dispositif réalisant une fonction dont la grandeur de sortie évolue de
façon plus ou moins maitrisé par l’entrée de commande.
Exemple :
Sans information sur la grandeur de sortie, il n’y a aucune certitude sur l’état de la sortie
par rapport à la grandeur de commande
On appelle alors un système asservi, un système dont la commande est réglé à partir des
observations de la sortie et de la consigne préalablement fixée.
Un système asservi est donc un système bouclé possédant une rétro action de la sortie sur
l’entrée.
+-
Consigne
Structure d’un système asservi1
Erreur
MesureCAPTEUR
CORRECTEUR
Grandeur
asservieCommande PROCESSUS
(a asservir)
Structure générale
Exemples : Asservissement de vitesse, de position, de température….
Perturbations
4http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
COMPARATEUR
(Soustracteur)
5http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Les qualités d’un asservissement : Rapidité1
Rapidité : Il s’agit de la vitesse à laquelle répond le système vers son état stable
lorsqu’il est soumis à une réponse indicielle. On caractérise son temps de réponse tr
à 5%, c’est-à-dire le temps à partir duquel la sortie reste comprise entre 95% & 105%
de la valeur finale.
t
Consigne
Sortie cas n°1
Sortie cas n°2
trep1
trep2
0
100%105%
95%
6http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Les qualités d’un asservissement : Stabilité1
Consigne
Sortie stable
Sortie instable
t
t
t
Stabilité : Il s’agit de l’aptitude d’un
système à évoluer vers une sortie
constante (stable) lorsqu’on applique en
entrée un échelon.
La stabilité des systèmes bouclés est un
point essentiel dans l’étude des
systèmes asservis (voir Chap1.2).
En électronique des télécoms (SEI),
l’instabilité d’un système peut être mis à
profit pour réaliser des oscillateurs. Dans le
cadre du module PCS nous chercherons le
plus souvent à rendre un système stable !
Les qualités d’un asservissement : Précision1
7http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Précision : Il s’agit de la capacité d’un système à suivre les variations d’entrée en
toute circonstances. On caractérise la précision par l’erreur qui existe (ou non) entre
la sortie et la consigne.
Erreur de
précision
t
Sortie système
précis
Sortie système
peu précis
Consigne
Que représente un système linéaire ?2
8http://poujouly.net
Définition : Un système est dit linéaire s’il vérifie le principe de superposition
SLe(t) s(t)
e1
e2
s1
s2
Lorsque e(t) = .e1+.e2
S est linéaire ssi s(t) = .s1+.s2
Exemple de systèmes linéaire/non linéaire
e
s
s=k.e
e se
s
s=|e|
e s
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Contexte : Dans le cadre du module PCS/S3 nous allons rencontrer de
nombreux systèmes à asservir que l’on suppose linéaire.
Propriété 1 : Si le système linéaire est stationnaire ( c ’est à dire son comportement
n ’évolue pas au cours du temps ), alors on peut décrire ce système par une équation
différentielle à coefficients constants entre l ’entrée et la sortie.
Propriété 2 : L ’association de systèmes linéaires est un système linéaire
SL1 SL2 SLi
SL1
SL2
SLi
L ’ordre du système correspond alors à l ’ordre n (nk) de l ’équation différentielle.
Propriétés des systèmes linéaires2
9http://poujouly.net
)t(e.bdt
)t(de.b........
dt
)t(ed.b
dt
)t(ed.b)t(s.a
dt
)t(ds.a........
dt
)t(sd.a
dt
)t(sd.a 01
1k
1k
1kk
k
k011n
1n
1nn
n
n ++++=++++−
−
−−
−
−
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Un outil indispensable3
10http://poujouly.net
Etude de la réponse temporelle d’un système linéaire
PROCESSUS
Système linéaire
e(t) s(t)
p : variable de Laplace
Résolution d’équation différentielle
La transformée de Laplace est un outil permettant de résoudre les équations diff
1 - Description
physique d’un
système :
équation
différentielle
2- Application de la
transformée de Laplace
3- Décomposition
en forme type
4- Solution du
système par
transformation de
Laplace inverse
(tableau)dt
(.)d p(.) j(.)
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Les fondamentaux3
11http://poujouly.net
Définition Table des transformées de Laplace usuelle
Théorème de la valeur finale
)p(p.S lim)t(s lim0pt →→
=
)p(S)t(sTL
→
−=
0
pt dt)t(se)p(S
p : variable de Laplace
complexe p=a+jb
(Intégrale sous réserve
de convergence)
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Exemple électrique3
12http://poujouly.net
C
R
e(t) s(t)
i
i
)t(s)t(i.R)t(e +=
dt
)t(dsC)t(i =
)t(sdt
)t(ds.RC)t(e +=
R
i
Traduction du système linéaire sous la forme d’une fonction de transfert
RCp1
1
+
E(p) S(p)
e(t)=Eo.u(t)u(t) : fonction échelon
u(t)=1 pour t>0
u(t)=0 pour t<0
Eo
Résolution du système en présence d’un échelon en entrée
Résolution du système en présence d’une rampe en entrée
e(t)=K.t.u(t)
K
t
t
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Transformée de Laplace : Exemple électromécanique3
Moteur à courant continu + Charge
U(t)
i(t)
(t)
Hyp : inductance de l’induit négligeable
E(t)
r
Equation électrique
Equation mécanique
Equations électromécanique
)t(E)t(i.r)t(U +=
)t(.f)t(Cemdt
)t(dJ −=
)t(.k)t(E = )t(i.k)t(Cem =
U(p) (p)Cem : Couple électromécanique
f : Coefficient de frottements visqueux
13http://poujouly.net
Modélisation
Identification
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Les systèmes linéaires : les formes canoniques passe bas4
14http://poujouly.net
c
p1
1
p.1
1)p(T
+
=+
=
2
2
o
p
o
pm21
1)p(T
+
+
=
Cas très fréquent
1er ordre passe bas 2nd ordre passe bas
c
m
o
E(p) S(p)T(p)
e(t)=Eo.u(t)Eo
s(t)
?t t
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Retour sur les systèmes linéaires du 1er ordre passe bas4
15http://poujouly.net
Exemple : circuit RC
)t(sst
)t(ds.)t(e += RC=
−−=
texp1)t(s
( ) )(st
exp.)(s)0(s)t(s +
−−+=
)0(s +
)(s
fc
35,02,2tr %90%10 ==− 7,0tp =.3ts %5 =
Si e(t) est un échelon d ’amplitude 1V
Alors
Pour un système du premier ordre soumis à une entrée
échelon la réponse est de la forme générale
représente la valeur prise par la sortie
juste après la variation de l ’entrée
représente la valeur prise par la sortie
en régime asymptotique
est la constante de temps du système
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Réponse indicielle
t/
C
R
e(t) s(t)
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Retour sur les systèmes linéaires du 2nd ordre passe bas 4
01po
m2p
o
1 2
2=+
+
( )1mo
4 2
2−=
1moomp 22,1 −−=
op0 −=
Équation caractéristique d’un 2nd ordre :
Calcul du discriminant :
>0 m>1 : 2 racines réelles
<0 m<1 : 2 racines complexes conjuguées
=0 m=1 : 1 racine double
22,1 m1ojomp −−=
2
o
p1
1)j(T
+
=
+
+
=
2
p1
1
p1
1)p(T
2
2
o
p
o
pm21
1)j(T
+
+
=
Réécriture de la fonction de transfert :
m>1 m=1 m<1
16http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Expression des réponses indicielles pour m>04
( ) ( )( )texptexp1
1)t(s .21.1221
−−−−
+=
−+= 1mmo 21
−−= 1mmo 22
( ) )t.oexp(t.o11)t(s −+−=
( ) +
−
−= − t.sinem1
11)t(s p
t.om
2
2p m1o −= )marccos(=
• m>1 : Régime apériodique
• m<1 : Régime pseudo-périodique
• m=1 : Régime critique
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
o.t
Réponse indicielle
m=0.2
m=1
m=2
17http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Caractérisation de la réponse indicielle4
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ttpic
D%
100%
Tp
Réponse indicielle m<1
00
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ttr%
1-%
Réponse indicielle m>1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15
20
25
30
tr5%.o
m
Temps de réponse à 5%
−−
=
1mmo
3tr
2%5
Tp
2p
=
2m1o2
Tptpic
−
==
−
−=
2m1
mexp.100%D
−
=+ 21n
n
m1
m2exp
D
D
18http://poujouly.net Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Principe5
19http://poujouly.net
1 2 10 205 50 100 200 500 1k
f
log(f)
Gain (dB) et/ou Phase (degré ou radian)
Principe : Il s’agit d’une représentation très utilisée en électronique permettant de tracer le gain
(dB) et l’argument (ou phase) d’une fonction de transfert en fonction de la fréquence.
Pour l’axe de la fréquence on choisit une échelle logarithmique permettant d’obtenir
une représentation compacte pour une grande dynamique.
« papier semi-log »
Hendrik Wade Bode
(24/12/1905- 22/06/1982)
ingénieur, chercheur et
inventeur américain
d’origine néerlandaise.
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Tracé asymptotique & réel5
20http://poujouly.net
c
p1
1)p(T
+
=Gain (dB)
Phase
c 10.c
0,1. c
c 10.c
Chap 1.1 – Asservissement linéaires à temps continu : Introduction - S.POUJOULY
Diagramme de Bode : Intérêt majeur5
21http://poujouly.net
❑ Le diagramme de Bode permet de fournir une indication sur la réponse fréquentielle d’un
filtre pour une très grande dynamique.
❑ L’intérêt majeur réside dans sa construction : Une fonction de transfert se décompose
traditionnellement en produit de fonction de transfert élémentaires (ou canoniques). Le tracé du
diagramme de Bode est alors obtenu en effectuant une somme graphique de chaque gain et
chaque phase (ou argument) des fonctions de transferts élémentaires composant la fonction de