Physik A – VL7 (23.10.2012) Kräfte und Kräfte-Gleichgewichte, Newton’sche Axiome • Kräfte • Kräfte-Gleichgewichte • Hebel und Drehmoment • Die Newton’schen Axiome
Physik A – VL7 (23.10.2012)
Kräfte und Kräfte-Gleichgewichte, Newton’sche Axiome
• Kräfte
• Kräfte-Gleichgewichte
• Hebel und Drehmoment
• Die Newton’schen Axiome
Kräfte
Die Kraft - ist eine gerichtete physikalische Größe (ein Vektor!)
- kann Körper beschleunigen oder verformen
(Beispiel: Zentripetalkraft, Gravitationskraft)
- kann Arbeit verrichten und die Energie eines Körpers ändern
Formelzeichen: F
Einheit: Newton, N = kgm s -2
Messung von Kräften meist über die Eigenschaft Körper verformen zu können:
Elastische Auslenkung von Federn durch Kräfte Federwaage
Kräfte
Das Kraftgesetz der Federauslenkung – Die Federwaage
• der Formänderung von Federn entspricht eine messbare
Längenänderung
• die Verlängerung s ist proportional zur wirkenden Kraft
(nur bei reversibler Verformung der Feder! Bei Überdehnung der
Feder (= irreversible Verformung) gilt diese Proportionalität
nicht mehr!)
Die Federkraft
• die Feder setzt der Verformung einen Widerstand entgegen, die Federkraft.
• die Feder verformt sich, bis Federkraft und wirkende (zu messende) Kraft
gleich groß sind
Kräftegleichgewicht
Kräfte
Das Hook‘sche Gesetz der Federkraft
• der Formänderung von Federn entspricht eine messbare Längenänderung
• die Verlängerung s ist proportional zur wirkenden Kraft: FF s
D = Federkonstante, Einheit: [Nm-1]
sDFF sDFF
vektoriell:
Hook‘sches Gesetz
Kräfte
Gewichtskraft und Gravitation
• Ursache jeder Gewichtskraft ist die Gravitation
Gravitation: Massen ziehen sich an
• Ursache der Anziehung:
Kraft parallel zur Verbindungslinie der Massen
• Kraft ist proportional zur Masse
…aus anderen Experimenten:
• Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes
Experiment zur Messung
der Gewichtskraft
Gravitation
2
21
r
mmGFG
Gravitationsgesetz : Gravitationskraft
Proportionalitätskonstante:
Gravitationskonstante
2
2111068,6
kg
NmG
Kräfte
Gewichtskraft und Gravitation auf der Erde
• Die Gewichtskraft auf der Erde wird durch Masse und den Radius der Erde bestimmt
Berechnung der auf eine Masse von m1 = 1 kg wirkenden Gewichtskraft in 1 m und 10 km Höhe:
Erdradius r = 6,38106 m, Erdmasse m2 = 5,971024 kg
N 81,9
m1038,6
kg1097,5kg 1
kg
Nm1068,6
26
24211
2
21
r
mmGFG
N 77,9
m101038,6
kg1097,5kg 1
kg
Nm1068,6
2246
24211
2
21km 10
r
mmGFG
• Masse der Erde konstant und Abstandsabhängigkeit meistens vernachlässigbar:
Gewichtskraft ist nur noch proportional zur Masse des Probekörpers
Gewicht fällt mit Fallbeschleunigung
kg
N81,9
2
,2
1
r
mG
m
F ErdeG gmFG
Kräfte-Gleichgewichte
• zwei gleichgerichtete Kräfte addieren sich:
• zwei Kräfte in beliebige (verschiedene) Richtungen:
Vektoraddition = Kräfte-Parallelogramm
1F
2F
21 FFFres
1F
2F
21 FFFres
• zwei entgegengesetzte Kräfte können sich aufheben:
1F
2F
21 FFFres
Kräfte-Gleichgewichte
Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn ihr Kräftepolygon geschlossen ist
• Allgemein: beliebig viele Kräfte in beliebige (verschiedene) Richtungen:
Vektoraddition = Kräftepolygon
1F 2F
4321 FFFFFres
3F
4F
Anwendung einer Kraft gleicher Größe aber entgegengesetzt der
resultierenden Kraft : resF
Das Kräftesystem steht im Gleichgewicht!
(Da die resultierende Kraft verschwunden ist
= keine Kraftwirkung (Bewegung) auf den Körper)
0i
iF
Kräfte heben sich gegenseitig auf:
Kräfte-Gleichgewichte
x
y
3F
2F
1F
Frage:
Wie groß muss der Winkel γ
für Kräfte-Gleichgewicht sein?
• Beispiel: Drei Gewichtskräfte im Gleichgewicht:
Analyse der Situation:
Welche Kräfte gibt es und in welche Richtungen
wirken sie?
1. Kräftegleichgewicht: (Kräftepolygon!)
321
321
3
1
0
FFF
FFFFi
i
2. Komponenten der Einzelkräfte:
(Anwendung der Winkelbeziehungen)
sin
cos
1
1
,1
,1
1F
F
F
FF
y
x
sin
cos
sin
cos
2
2
,2
,2
2
1
1
,1
,1
1
F
F
F
FF
F
F
F
FF
y
x
y
x
3,3
,3
3
2
2
,2
,2
2
1
1
,1
,1
1
0
sin
cos
sin
cos
FF
FF
F
F
F
FF
F
F
F
FF
y
x
y
x
y
x
g
Kräfte-Gleichgewichte
• Beispiel: Drei Gewichtskräfte im Gleichgewicht:
x
y
3F
g
2F
1F
321 FFF
21
2
2
2
1
2
21
2
3
2 FFFF
FFF
gcos2 21
2
2
2
1
2
3 FFFFF
21
2
2
2
1
2
3
2cos
FF
FFF g
Kräftegleichgewicht: (Kräftepolygon!)
Frage:
Wie groß muss der Winkel γ
für Kräfte-Gleichgewicht sein?
Hebel und Drehmoment
• Kräfte greifen oft entfernt von einer Achse an:
Beispiele: Schildaufhängung, Werkzeuge, Skelett des Menschen
Die Geometrie des Körpers muss beachtet werden !
ausgedehnte starre Körper ! (keine Punktmasse!)
• Eine Kraft, die abseits einer Drehachse wirkt, kann einen Körper in Drehung versetzen:
l
Drehachse
α F1
l
DrehachseF2
F2 erzeugt eine Drehbewegung, F1 nicht
F1
Winkelbeschleunigung
T
T
Winkelgeschwindigkeit
(t)
(t)
M
Drehmoment M
F2
Wirkung hängt von Winkel zwischen Kraft und „Arm“ l (= Hebel) ab.
Wirkung ist maximal für = 90°
Hebel und Drehmoment
Das Drehmoment M
• Drehmomente können die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers ändern
• Kraft F senkrecht auf einen Hebelarm der Länge l:
Betrag des Drehmomentes:
Produkt aus Länge l und Betrag der Kraft F
• Allgemein:
Das Drehmoment ist das Vektorprodukt aus Abstands- und Kraftvektor
FlM
FlM
mit dem Betrag sin FlM
Einheit: [Nm]
Das Hebelgesetz
• Ein Hebel ist ein mechanischer Kraftwandler bestehend aus einem starren
Körper, der eine Drehachse hat:
Bild: Wikipedia
Hebelgesetz: Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm
2211 FlFl
222111 sinsin FlFl
F1
F2
l2 l1
α2 α1
222111 MFlFlM
Eine weitere Bedingung
für Gleichgewicht:
Alle Drehmomente müssen sich kompensieren
0i
i
M
Hebel und Drehmoment
• technische Anwendung des
Hebelgesetzes zur Messung
von Gewichten:
Balkenwaage
Der Schwerpunkt ausgedehnter Körper
• Wirkung einer resultierenden Kraft ausserhalb des Schwerpunktes: Rotation
• Wirkung einer resultierenden Kraft am Schwerpunkt: nur Translation
Schwerpunktsatz
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob
die Gesamtmasse im Schwerpunkt vereinigt wäre und
die Summe aller äußeren Kräfte dort angreifen würde
Beispiele: Schwerpunkte von Körpern
Schwerpunkt außerhalb
des Körpers
Die Grundgleichungen der Statik
Damit ein System im mechanischen Gleichgewicht ist, müssen
Kräfte und Drehmomente in der Summe Null ergeben.
0 und 0 i
i
i
i MF
…verschiedene Arten von Gleichgewichten:
• stabiles Gleichgewicht: kleine Störungen werden kompensiert
• labiles Gleichgewicht: kleine Störungen zerstören Gleichgewicht
• indifferentes Gleichgewicht: stabil in verschiedenen Lagen
jedes System versucht durch
Abgabe von Energie einen
Gleichgewichtszustand zu
erreichen.
Die Newton’schen Axiome
• alle bisherigen Beobachtungen und alle weiteren Translationsbewegungen
können mit den Newton‘schen Axiomen beschrieben werden.
Isaac Newton (1643 – 1727)
„Die gesamte klassische Mechanik
kann mit
drei einfachen Sätzen
(Axiomen)
vollständig beschrieben werden.“
Axiom:Grundsatz, der keines Beweises bedarf (Duden)
1. Newton’sches Axiom
Kraft Beschleunigung
keine Kraft Ruhe oder konstante Geschwindigkeit
v = const Fres = 0
1. Newton‘sches Axiom
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen
gleichförmigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt oder
die resultierende der angreifenden Kräfte Null ist.
Trägheitsprinzip
Experimentelle Beobachtungen:
• Die Schwerkraft und andere Kräfte können Körper Beschleunigungen.
• Auf Körper in Ruhe oder mit konstanter Geschwindigkeit wirkt keine resultierende Kraft
• Ein Körper behält seinen Bewegungszustand (Richtung, Geschwindigkeit) bei,
wenn nicht äußere Kräfte eine Änderung dieses Zustandes erzwingen.
Folgerung aus dem 1. Newton‘schen Axiom (Trägheitsprinzip):
Die Masse eines Körpers ist ein Maß für die Eigenschaft, sich einer Beschleunigung
zu widersetzen.
= Das System besitzt Trägheit (Beharrungsvermögen, träge Masse)
Experimentelle Beobachtungen: • Beschleunigung a ~ F, ~1/m
2. Newton‘sches Axiom
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse
und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt.
Aktionsprinzip
2. Newton’sches Axiom
N
s
mkg
2smamF
m
Fa
• Kraft ist die Ursache der Änderung eines Bewegungszustands,
ein Bewegungszustand ändert sich nur durch Krafteinwirkung
Kraft ↔ Beschleunigung
2. Newton’sches Axiom
Verallgemeinerung des 2. Newton‘schen Axioms:
• Kraftwirkung auf ausgedehnte Körper u.U. sehr komplizierte Bewegungen
(Beispiel: „ausbrechendes“ Fahrzeug auf Glatteis: unterschiedliche Reibungs- und
Antriebskräfte für die 4 Reifen)
jeder Teil des Körpers bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit
und Beschleunigung
Die Newton’schen Axiome gelten für Bewegung des Schwerpunktes
Verallgemeinerung des 2. Newton‘sches Axioms
Schwerpunktsatz
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse im Schwerpunkt
vereinigt wäre und die Summe aller äußeren Kräfte dort angreifen würde.
tSchwerpunkamF
ii
Inertialsysteme
Inertialsystem
Ein Inertialsystem ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit,
d.h. ohne jede Beschleunigung
Folgerung aus dem 1. und 2. Newton‘schen Axiom:
Systeme in Ruhe oder mit gleichförmiger geradliniger Bewegung sind nicht unterscheidbar
Bewegungen in Inertialsystemen als Bezugssystem können mit den Newton’schen
Gleichungen beschrieben werden.
Frage:
Können die Newton’schen Axiome auch in beschleunigten (nicht inertialen)
Bezugssystemen angewendet werden?
Trägheitskräfte / Scheinkräfte
• Trägheitskräfte existieren nur in beschleunigten Bezugssystemen, nicht in Inertialsystemen
• Trägheitskraft sind Scheinkräfte
• Trägheitskräfte sind Folge, nicht Ursache einer beschleunigten Bewegung!
• Betrachtung eines beschleunigten Bezugssystems (kein Inertialsystem)
Beispiel: beschleunigendes Auto, Federkraft (Autositz) auf Person
1. externes Bezugssystem (nicht beschleunigt = Inertialsystem):
→ beschleunigende Kraft und Federkraft des Sitzes im Gleichgewicht
= Person “ruht” im Fahrzeug
2. beschleunigtes Auto als Bezugssystem (kein Inertialsystem)
→ keine beschleunigende Kraft, aber Federkraft des Sitzes! = kein Kräftegleichgewicht !
= Person sollte sich “nach Newton” im Fahrzeug bewegen
Einführung der massenproportionalen Trägheitskraft amF
3. Newton’sches Axiom
• Übt ein Körper auf einen anderen Körper eine Kraft aus, übt auch der andere Körper
auf den ersten eine Kraft aus, mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen
3. Newton‘sches Axiom
Kräfte treten immer paarweise auf. Die von zwei Körpern aufeinander
ausgeübten Kräfte (Wirkung und Gegenwirkung) sind gleich groß und
einander entgegengerichtet.
Wechselwirkungs- oder Gegenwirkungsprinzip
012211221 FFFF
• Kraft = Gegenkraft: actio = reactio
Egal, ob eine Person zieht oder nicht,
sie übt eine Gegenkraft aus !
Zusammenfassung• Kräfte
Auf Körper wirkende Kräfte beschleunigen oder verformen diese.
Die Messung von Kräften erfolgt meist über die Eigenschaft Körper verformen zu können:
Elastische Auslenkung von Federn durch Kräfte → Federwaage
Das Hook‘sche Gesetz der Federkraft
Ursache jeder Gewichtskraft ist die Gravitation: Massen ziehen sich an
• Kräfte-Gleichgewichte
Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn ihr Kräftepolygon geschlossen ist:
• Hebel und Drehmomente
Bei ausgedehnten starren Körpern: Drehmomente
Hebelgesetz: Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm
• Grundgleichung der Statik
Gleichgewichtsbedingung: Kräfte & Drehmomente müssen in der Summe Null ergeben
sDFF sDFF
gmFG 2
21
r
mmGFG
, Gravitationskonstante
2
2111068,6
kg
NmG
0i
iF
FlM
sin FlM
222111 MFlFlM
0 und 0 i
i
i
i MF
Zusammenfassung
• Die Newton’schen Axiome
Beschreibung der Mechanik mit drei grundlegenden Axiomen:
1. Newton‘sches Axiom (Trägheitsprinzip)
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen gleichförmigen Bewegung, solange
keine Kraft auf ihn einwirkt oder die resultierende der angreifenden Kräfte Null ist.
2. Newton‘sches Axiom (Aktionsprinzip)
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional
zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt.
Schwerpunktsatz → Verallgemeinerung des 2. Newton‘sches Axioms:
Inertialsysteme, Einführung der massenproportionalen Trägheitskraft
3. Newton‘sches Axiom (Wechselwirkungsprinzip, actio = reactio)
Kräfte treten immer paarweise auf. Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Kräfte (Wirkung
und Gegenwirkung) sind gleich groß und einander entgegengerichtet.
Kraft = Gegenkraft
smamFm
Fa
amFT
tSchwerpunkamF
ii
012211221 FFFF