Physik A – VL38 (24.01.2013)VL38 (24.01.2013) · Snellius‘sches Brechungsgesetz ... • Brechung – Erklärung mit Huygens‘schem Prinzip c sinα n Snellius‘sches Brechungsgesetz

Physik A – VL38 (24.01.2013)Physik A VL38 (24.01.2013)

Optik II – Licht in Materie und an Grenzschichtenp

• Dispersion

• Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

◦ Fourier-Zerlegung/-Analyseg g y

• Huygens‘sches Prinzip

R fl i d B h• Reflexion und Brechung

◦ Snellius‘sches Brechungsgesetz

◦ Totalreflexion

◦ Prisma und Spektralfarben1

Optik IIDispersionDispersion• Frage: Wie schnell breitet sich Licht in Stoffen aus ?

◦ Beispiel Wasser: 10 ⋅= ccp

⇒ Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist in einem Medium kleiner als im Vakuum!33,10

• das Verhältnis von Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im• das Verhältnis von Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium nennt man Brechzahl oder Brechnungsindex n

rrcn εμ== 0

rrcμ

⇒ die Lichtgeschwindigkeit ist in Materie um den Faktor 1/n verändert

• für die meisten Materialien gilt: 1≈rμ

⇒ d it f l t fü d B h i d⇒ damit folgt für den Brechungsindex

in guter Näherung: rn ε=

2

Optik IIDispersion• Ausbreitungsgeschwindigkeit ist von der Wellenlänge abhängig: Dispersion

Dispersion

normale Dispersion0<

λddn

00

>⇒=

λddcc

cn

λd◦ Beispiel: Dispersion beim Prisma

- Blau hat die höhere Frequenz, wird daher am stärksten gebrochen→ Blau wird am stärksten abgelenkt

3

Optik IIDispersion

◦ solange die Frequenz entfernt ist vom Bereich der Absorption

Dispersion• atomistische Betrachtung:

normale0dn⇒ Anregung der Atome oder Moleküle: Dipolstrahlung →

◦ im Bereich der Absorption:


λd

Verhalten ändert sich (Resonanz!): Absorption und Dispersion ändern sich sehr schnell

d⇒ anomale

Dispersion0>λd

dn

◦ Zusammenhang zwischen Absorption und Dispersion– Beispiel: Natrium D-Linie:

Darstellung anomaler Dispersion von Natriumdampf. In: Robert Wood (1911), "Ph l O "

4

"Physical Optics", The Macmillan Company, New York.

Optik IIPhasen und Gruppengeschwindigkeit• Wellen sind nicht unendlich ausgedehnt (harmonische Welle), sondern begrenzt:

Wellenzüge, Wellenpakete

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

⇒ Geschwindigkeit von Wellenpaketen = Gruppengeschwindigkeit

• wenn Dispersion vorhanden ist: Geschwindigkeit unterscheidet sich von Geschwindigkeit einer unendlich ausgedehnten, harmonischen Welle:

Ph h i di k iωk ωνππ 22

W ll hl ⇒ Phasengeschwindigkeitk

c =cc

kλ

===◦ Wellenzahl

dω λ dcdk

vg =⇒ Gruppengeschwindigkeitλ

λd

cvg −=⇒

◦ Beispiel: Überlagerung zweier Wellen mit p g gleicht unterschiedlicher Frequenz

Roter Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit grüne Punkte mit Gruppengeschwindigkeit

5

Roter Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, grüne Punkte mit Gruppengeschwindigkeit.

Optik IIPhasen und Gruppengeschwindigkeit• Grund für Unterschiede in Phasen- und Gruppengeschwindigkeit:

jede beliebige Welle lässt sich aus harmonischen Wellen zusammensetzen


j g⇒ jede der Einzelwellen hat andere Dispersion

• die Zerlegung einer Welle in Sinus- oder Kosinusanteile nennt mang g

Fourierzerlegung:

∑∞

++

+++++= 2221110

)i (

...)sin()sin()(

t

tutuutu ϕωϕω

i ih

◦ Fourier-Analyse: jede anharmonische Schwingung lässt sich in eine Summe h h S h l

∑=

++=1

0 )sin(n

nnn tuu ϕω Fourier-Reihe

harmonischer Schwingungen zerlegen

◦ Beispiel: Rechteckwelle

⎞⎛ )9i ()7i ()5i ()3i (4 tttt⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=

9)9sin(

7)7sin(

5)5sin(

3)3sin()sin(4)(5

ttttttUπ

0)) ( 0 :( 0 umSchwingunguhier =

6

))(( 0 S g g

Optik IIPhasen und Gruppengeschwindigkeit• die Frequenz hängt vom Wellenvektor ab: ⇒ Dispersionsrelation ermöglicht Bestimmung der Gruppengeschwindigkeit


dkdvgω

=p g g pp g gdkg

)(kωω =

• Gruppengeschwindigkeit und Dispersion• Gruppengeschwindigkeit und Dispersion

◦ bei normaler Dispersion: cg <ν

→ Gruppengeschwindigkeit größer als Lichtgeschwindigkeit ?

◦ bei anormaler Dispersion: cg >ν

→ Gruppengeschwindigkeit größer als Lichtgeschwindigkeit ?

Bei anomaler Dispersion ist die Gruppengeschwindigkeit wesentlich größer als die Phasengeschwindigkeit, und sogar größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

ÜAber: Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist nicht möglich, da die Signalgeschwindigkeit immer maximal c ist.

⇒ Entscheidend für die Übertragung von Information ist die Frontgeschwindigkeit, ( Geschwindigkeit mit der sich die Wellenfronten bewegen)

7

(= Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfronten bewegen)diese kann niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen!

Optik IIHuygens‘sches Prinzip• Erklärung der Wellenausbreitung im Medium auf Basis von Elementarwellen:◦ jede Welle regt neue Schwingungen am nachfolgenden Atom / Molekül an

Huygens‘sches Prinzip

Jeder Punkt einer Phasenfläche einer Welle ist Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle.

Die tangierende Hüllfläche aller Elementarwellen gleicher Phase ergibt eine neueDie tangierende Hüllfläche aller Elementarwellen gleicher Phase ergibt eine neue Lage der Phasenflächen der ursprünglichen Welle


l 1 b ll l l llt t + Δt

ntebene Welle

◦ Beispiel 1: ebene Welle ◦ Beispiel 2: Kugelwelle

t

t + Δt

K l

neue

Wel

lenf

ron

neueWellenfront

Kugel-welle

Δxx

W

Die Lichtausbreitung ist immer senkrecht zur Wellenfront

8◦ mit dem Huygens‘schen Prinzip können viele Phänomene der Optik erklärt werden.

Optik IIHuygens‘sches Prinzip• Beispiele: Huygens‘sches Prinzip in der Wellenwanne


Kugelwelleebene Welle ebene Welle Kugelwelleebene Welle ebene Welle

◦ mit dem Huygens‘schen Prinzip können viele Phänomene der Optik erklärt werden.

B h i b W llR fl i i b W ll

9

Brechung einer ebenen WelleReflexion einer ebenen Welle

Optik IIReflexion und Brechung• Die Energie einer Welle teilt sich an einer Grenzfläche in drei Beiträge auf:◦ Absorption A: Lichtenergie verbleibt im Material

Reflexion und Brechung

p g◦ Reflexion R: Licht wird zurückgeworfen◦ Transmission T: Licht wird durchgelassen

Energieerhaltung: 1=++ ATR

◦ Beispiel: vollständig durchsichtiges Medium◦ Beispiel: vollständig durchsichtiges Medium

→ A = 0 ⇒ R + T = 1

ein Teilbündel wird bei festem Einfallswinkel unter Richtungsänderung zurückgeworfen- ein Teilbündel wird bei festem Einfallswinkel unter Richtungsänderung zurückgeworfen

- das andere dringt unter Richtungsänderung in das Material ein

⇒ Reflexion und Brechungf g- Hält man einen geraden Stab unter einemWinkel schräg ins Wasser, dann erscheint der Stab im Bereich der Wasseroberfläche

10

abgeknickt

- das Phänomen wird als Brechung bezeichnet.Reflexion am Spiegel

Optik IIReflexion und BrechungReflexion und Brechung

◦ fällt eine ebene Welle ein, ist auch die reflektierte Welle eben

• Reflexion – Erklärung mit Huygens‘schem Prinzip

fällt eine ebene Welle ein, ist auch die reflektierte Welle eben◦ im Medium 1 sei die Lichtgeschwindigkeit c1, im Medium 2 c2

◦ Nutzung des Huygens‘sche Prinzip zur Konstruktion:Reflexion am Spiegel

Definition: Einfallswinkel α1

Reflexionswinkel α1‘

Reflexion am Spiegel

n1

α1 tc1

D Ctc1

→ Beschreibung der Strecken

sin 11 aABADtc ⋅==

α1‘α1

tc11

'sin 11 aABBCtc ⋅==

'sinsin 11 αα =⇒n2

A B11

'11 αα =⇒

11

⇒ Reflexionsgesetz: Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel

Optik IIReflexion und BrechungReflexion und Brechung• Brechung – Erklärung mit Huygens‘schem Prinzip

◦ fällt eine ebene Welle ein, ist auch die gebrochene Welle eben

Brechung an planparalleler

fällt eine ebene Welle ein, ist auch die gebrochene Welle eben◦ im Medium 1 sei die Lichtgeschwindigkeit c1, im Medium 2 c2

◦ Nutzung des Huygens‘sche Prinzip zur Konstruktion:

n1

Brechung an planparalleler Platte (Strahlversatz!)Definition: Einfallswinkel α1

Brechungswinkel α1‘

α1

α1

αA

tc1→ Beschreibung der Strecken

11 sin aABtc ⋅=α1 α2

AB

tc2

21 sin aABtc ⋅=

- Ersetzen der Geschwindigkeiten

α2n2

durch Brechungsindizes ergibt:

21101

sinsin

//

nn

ncnc

cc

===αα

12

12202 sin/ nncc α

Optik IIReflexion und Brechung

S lli ‘ h

Reflexion und Brechung• Brechung – Erklärung mit Huygens‘schem Prinzip

sin nc α Snellius‘schesBrechungsgesetz

◦ Beim Eintritt des Lichts in ein optisch dichteres Medium (n2 > n1) wird die

1

2

2

1

2

1

sinsin

nn

cc

==αα

Ausbreitungsrichtung zum Einfallslot hin gebrochen◦ Beim Eintritt des Lichts in ein optisch dünneres Medium (n2 < n1) wird die

Ausbreitungsrichtung vom Einfallslot weggebrochen

'11 αα = 11

◦ Ist das Medium 1 das Vakuum mit n1 = 1,

f l t 21sin nα 211 sin nc==

α

13

folgt: 22

2

1

1sinn==

α 122 sin nc α


◦ eine Konsequenz des Brechungsgesetzes ist die Totalreflexion beim Übergang

Reflexion und Brechung• Totalreflexion

q g g f g gvom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium, d.h. für n2 > n1 .⇒ der Strahl wird so gebrochen, dass er das Medium nicht mehr verlassen kann

1

112

i

2sinsin

n

nnn T ==πα

122

1sin nnnT >=⇒ α

αT : Grenzwinkel der Totalreflexion T

◦ Beispiel 1: Übergang Glas/Luft

°≈⇒≈= 8411sin Luftnαα

Für Winkel größer als dieser Grenzwinkel

≈⇒≈= 8,415,1

sin TGlas

T nαα

14

der Totalreflexion kann das Licht nicht in das Medium 1 eindringen.


- Experimente zur Totalreflexion

Reflexion und Brechung• Totalreflexion

⇒ ⇒⇒

Brechung und Übergang zur Totalreflexion

Totalreflexion beim Prisma:90° Umlenkung oder 180° Strahlumkehr

Mehrfache Totalreflexion Im Lichtleiter

⇒ Prinzip der Totalreflexion bei Glasfasern⇒ inzip de otal eflexion bei Glasfase n

Unter dem flachen Winkel kann der Lichtstrahl das optisch dichtere Mediumoptisch dichtere Medium (n2 > 1) nicht verlassen und wird fast verlustfrei reflektiert

15


◦ Optische Glasfasern haben einen Mantel mit Brechungsindex n2

Reflexion und Brechung• Totalreflexion – Prinzip der Totalreflexion bei Glasfasern

p f g 2und einen Kern mit Brechungsindex n1.

◦ Frage: Welche Einfallswinkel werden geleitet?

θ1θc

n1

n2

n0

- Θc muss mindestens dem Grenzwinkel der Totalreflexion entsprechen:θ1

θmax1

2sinsinnn

Tc == αθ

)sin1(cos 2θθ −=⇒

11max0 sinsin θθ nn =- Eintritt in die Glasfaser (n0 → n1): cθθ cossin 1 =

)sin1(cos cc θθ =⇒

cnn θθ cossin 1max0 =⇒ )sin1( 21 cn θ−= 2

221 nn −=

Numerische Apertur

16

Numerische Apertur einer Stufenindexfaser

22

21max0 sin nnn −<θ⇒

Optik IIReflexion und BrechungReflexion und Brechung• Totalreflexion an kontiniuerlichen Brechungsindexänderungen◦ erwärmte Luft oder Flüssigkeiten ändern ihren Brechungsindexf g g

⇒ kontinuierliche Strahlablenkung durch Totalreflexion

Lichtstrahl wird durch BrechungsindexLichtstrahl wird durch Brechungsindex-änderung (durch Erwärmung) abgelenkt

◦ Abbildungen werden verzerrt und auf den Kopf gestellt, spiegelnde Flächen entstehen:

→ Fata Morgana:

17

Optik IIReflexion und BrechungReflexion und Brechung• Prisma und Spektralfarben◦ Weitere Anwendung des Brechungsgesetzes beim Prisma

◦ Ein Prisma zerlegt weißes Licht in sein Farbspektrum (Ursache: Dispersion)

g g g

18


◦ Strahlengang im Prisma: Übergänge n0 → nP → n0

• Prisma und Spektralfarben

g g g g 0 P 0

◦ gesucht: Zusammenhang des Ablenkwinkels Θ und des

◦ symmetrischer Strahlengang: Ablenkwinkel im Prisma minimal

Prismenwinkels γ für einen bestimmten Brechungsindex nP (n0 = 0)

22 γα =)(22 αααΘ

213 ααα −=12

213

222

)(22

αγαα

ααα

=+Θ=+Θ

−==Θ

12αγ =+Θ

⎞⎛2

sin2

sinsinsin 21γγαα PP nn =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Θ

⇒= γγ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Θ⇒

2sinarcsin2min Pn

19

◦ für kleine γ gilt: γγ−≈Θ

22min Pn


◦ Dispersion: • Prisma und Spektralfarben

pmit zunehmender Wellenlänge der Strahlung nimmt n ab⇒ der gesamte Ablenkwinkel des Lichtstrahls Θ nimmt ab⇒ rotes Licht wird weniger stark abgelenkt als blaues⇒ rotes Licht wird weniger stark abgelenkt als blaues⇒ das Prisma wirkt als „Spektrometer“

◦ Beispiel: Regenbogen Dispersion in Wassertropfen◦ Beispiel: Regenbogen - Dispersion in Wassertropfen

SonnenlichtSonnenlicht

zum

20

zum BeobachterFoto: Christina Hoffmann (www.fotocommunity.de)

Optik IIReflexion und BrechungReflexion und Brechung• Prisma und Spektralfarben◦ Beispiel: Regenbogen - Dispersion in Wassertropfenp g g p pf

- Beim sekundären Regenbogen werden die Lichtstrahlen zweimal im Wassertropfen reflektiert,im Wassertropfen reflektiert, er erscheint mit umgekehrter Farbreihenfolge

- Der Regenbogen erscheint unter einem Winkel von 42° bzgl der Richtung der einfallenden Sonnen-von 42 bzgl. der Richtung der einfallenden Sonnen-Strahlung.

- Unter diesem Winkel werden die meisten Strahlen abgelenkt

21

abgelenkt

Zusammenfassung

d h l k h h d k h d k• das Verhältnis von Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium nennt man Brechzahl oder Brechungsindex n

• Dispersion tritt auf, wenn die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt

rrccn εμ== 0

Dispersion tritt auf, wenn die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt


λddn anomale

Dispersion0>λd

dn

• Dispersion: Geschwindigkeit eines Wellenpaktes (Gruppengeschwindigkeit) unterscheidet sich von der Geschwindigkeit einer unendlich ausgedehnten, harmonischen Welle: Phasengeschwindigkeit

H ‘ h P i i j d P kt i t A kt i El t ll• Huygens‘sches Prinzip: jeder Punkt ist Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle

Snellius‘schesBrechungsgesetz

Reflexionsgesetz'11 αα =1

2

2

1

2

1

sinsin

nn

cc

==αα

• Konsequenz des Brechungsgesetzes beim Übergang vom optisch dichteren in das optisch dünnere Medium, d.h. für n2 > n1: Totalreflexion

→ Strahl wird so gebrochen, daß er das Medium nicht mehr verlassen kann: 2sinsin nT == θα→ Strahl wird so gebrochen, daß er das Medium nicht mehr verlassen kann:

⇒ gekrümmte Lichtwellenleiter und Glasfasern sind möglich: 22

21max0 sin nnn −<θ

1

sinsinncT θα

22

• Ein Prisma zerlegt weißes Licht in sein Farbspektrum (Ursache: Dispersion)

Physik A – VL38 (24.01.2013)VL38 (24.01.2013) · Snellius‘sches Brechungsgesetz ... • Brechung – Erklärung mit Huygens‘schem Prinzip c sinα n Snellius‘sches Brechungsgesetz

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