Physics Introduction

Israel Schek1 יש ראל שק

Introduction to Physics(Mainly Mechanics)

)בעיקר מכניקה(מבוא לפיסי קה

,ש סאקלר"הפקולטה למדעים מדויקים ע, בית הספר לכימיה

אוניברסיטת תל אביב

School of Chemistry, Sackler Faculty of Exact Sciences,Tel Aviv University

Israel Schek ישראל שק


Israel Schek ישראל שק215בנין אורנשטיין

03-6408326 טלפון

http://www.tau.ac.il/chemistry/undergraduate/undergraduate-courses.html


ספר ות ב עברי ת

ה הר צ אות•מ כון וייצמן, זאב קרקובר, עדי רוזן–" מכאניקה ניוטונית"•)Sears, Zemansky(זימנס קי . ו. מ, סירס . ו. פ, "מכאניקה "•יורם אשל , "מכאניקה "•


מהי מכנ י קה

, שגופים מפע ילים זה על זהכוחות התחום בפיסיקה ה ע וסק ב- מכניקה. ש הגופים נעים בה תחת הש פע ת כוחות אלהתנועהוב

, החל בחלקיקים אלמנטאריים: הגודל-הגופים הני דונים הם בכ ל סידרי, גופים מאקרוסקופיים, גופים מיקרוסקופיים, מולקולות, אטומים.וכלה בגלאקסיות וצבירי גלאקסיות, כוכבים, פלנטות

,)ובהתאם גם צורתם הפונקציונאלית(סוגי הכוחות משתנים .הגודל- אבל חוקים מכאניים מסוימים חלים בכל סדרי

היא ה תחום המתאר את התנועה של הגופים קינמאטיק ה).זמן כפונקציה ש ל המקוםשינוי : למשל (


יחיד ות אורך


סולם מרחקים


הגדר ת י חי ד ת הזמן

אבל יש להי ות עקביים בהגדרה , יחידת הזמן היא גודל שרירותי

9,192,631,770 כזמן של נקבעת שניה סטנדרטיתתנודות של אור הנפלט מאטום צזיום ) מיליארד10בערך (דקות במצב -קרינה הנובעת ממעבר בין שתי רמות אלקט רוניות על (

).Csהיסוד של

של הדקה 60/1 ):מדויקת שאינה , ההגדרה הקלאסית( לחילופין) שאינה מדויקת–הימ מה של 24/1ש היא , של הש עה60/1שהיא (


הגדר ת י חי ד ת האור ך


סולם זמנים


סולם מהי רויות


קידו מות ס דרי גו ד ל

:שימו לב

כ בשלוש ה סדרי גודל" הקפיצ ות בד


? מי י גיע קודם

Conceptual Physics by Paul G. Hewitt


) ב ( ?מי י גיע קודם

Paul G. Hewitt, Conceptual Physics

ניסוי גליליאו להוכחת הנפילה החופשית לערך , שלפי המסופר נערך בעיר פיזה(

1585 (

לפי המסופר הצ ופים בניסוי טענו שגלילאו (אין כזה : "כישף את האבנים באומרם

")דבר


Galileo Galilei (1564-1642)גליליאו היה המדען הראשון שהשתמש בטכניקו ת שאנו מייחסים למדע

)).1743-1794 (-מקבילו בכימיה היה אנטואן לאבואזיה . (המודרני

, )עש ה ז את ניוטון(למרות שגליליאו עד יין לא ניסח את משוואות ה תנ ו עה

. הוא תפס את חשיבותו הר אשונית של מושג הזמן בתנ ו עה

ניתן לבחון –פרץ דרך ) אל הירח(בהפנו תו את הטלסקופ אל השמים כמו את הג ופים , מדעית את השמים השגיאים והמושלמים לכאורה

.הארציים הבלתי מושלמים

.יש לבצ ע ניסויים כדי לבחון תיאוריו ת


– מי שוקל יו ת ר -צפיפו ת ? קילוגר ם עופר ת או קיל וג ר ם נ וצות


: צפיפו ת משקל ל יח יד ת נפ ח

V/wd =d: density

w: weigh

V: volume

הצפי פות אופיינית לחומר הנדון ותלויה בטמפרטורה


? מהו משקל כ דו ר הארץ : וכעת ב עיה קטנה


) ב( ? מהו משקל כ דו ר הארץ

?מהו נפח כדור הארץ

?מהי צפיפות כדור ה ארץ

.314.3.........14159265.3R3/4V 3

≈≈=π×π=

?מהו אם כן רדיוס כדור הארץ


)ג( ? מהו משקל כ דו ר הארץ

כדור ה ארץ הוא כדור פחוס

km10.4R2 אלף קילומטר 40הקף ק ו המשו וה בע רך 4×≈π

km104.6.6/km10.42/km10.4R

3

44

×≈

≈×≈π×≈


? מהו נפח כד ור הארץ

312311311

311

392393

km10km104.10km106.2.4V.43/4km106.2

km10106.2km10)4.64.64.6(R

≈×=××≈∴

≈π×

=××≈×××≈


) א (? מהי צפיפו ת כד ור הארץ

3averageearth

mercury

water

cm/g5.5d

ml/gr5955.13)C0(d

ml/g000000.1)C98.3(d

=

=

=o

o

בערך פי חמישה צפיפות המים–צפיפות הארץ


? מהי צפיפו ת כד ור הארץ ) ב(מעבר יח יד ו ת

31231533

3

3153

5233

km/kg10km10/kg10cm/gr1g10kg1

cm10km1cm10cm1010m10km1

==∴

=

=

=×==

−−

312averageearth km/kg105.5d ×=


משקל כ דו ר הארץ

kg105.5km/kg105.5km10

dVm24312312

earthearthearth

×=××

≈×=

. קילוגר ם24 בחזקת 10משקל הארץ הוא בסדר גו דל של

. פחות חשוב לצרכי ם שלנו ול שר ירים של אטלס5.5המקדם


? מה היה חשוב לנ ו ב ח ישוב י ם

חובה מוחלטת לציי ן ממדים–יחידות .וכיוצ א בזאת, בביטוי משק לgrאו , בביטוי הנפחm3, km3חס וש לום ל א להח ס יר , למשל

סדרי ג וד ל חשובים מאש ר דיו ק בספרות ערך )ביחוד כא שר אין לנו נתונים מדויקים (

!אין טעם ל דייק בספרות הע רך אם אין מקפידים על החזקה עצ מה


ת נועה בקו ישר –קינמאטי קה

.אורך וזמן הם מושגים ראשוניים הברורים לנו מבחינה אינטואיטיבית

את התובנה ה מודרנית של מושג התנ ו ע ה והש לכותי ו על הבנת הטבע הביע

Galileo Galilei (1564-1642)לראשונה החוקר האיטלקי הדג ול

של ) י הכנסייה"ומקוד שות ע (גליליאו ה ע ז לבטל את תפיסותיו המקובלות

.אריסטו

:למעשה גליליאו גלילי היה הראשון שעמד על כך ש

, כדי שג וף ינ וע בקו ישר לל א שינ וי ב מהירו תו

.אי ן צורך ב כו ח שיפעל על הגוף

הדרישה לחקירה ניסיונית היא אחת . הוא חקר טענה זאת באופן ניסיוני

).עד כמה שהדבר ישמע מוזר( מתרומותי ו הפנטסטיות לחקר המדע


הנימוק של גלי ל יאו –קינמאטי קה


ל לא חי כו ך –קינמאטי קה

.לל א ח יכ ו ך הגוף י תמ י ד ב תנו עה קצובה

(Galileo” Dialogues Concerning the Two New Sciences”)


ת יא ור מ קום הגוף

:י"המאופיין ע, )x(תאור מקומו של גוף הנע ע ל קו ישר נע שה בע זרת ציר מקו ם

יחידת אורך) א

)0י האינדקס "מסומנת למשל ע (נקו דת ראשית) בכיוון ציר) ג

.בה הגו ף נמצא, על הצירxהמקום הוא שיע ור הנק וד ה

ולאחר מכן בנקוד ה ששיע ורה x1אם גוף נמצא ברגע מסוים בנקוד ה ששיע ורה x2 ,מהע ת קאזי ה - x1ל - x2 ידי ההפרש- מוגדר על:

:הן) ה צג ת ה מקום כפונק ציה של הזמן(דרכים מקובלות לתי אור תנו עה

.גרף וביטוי מתמטי, טבלה

12 xxx −=∆


) Velocity( מהירו ת

: הגדרות ל תנ ו עה כללית

<> : י סוגריים זו ויתיים" ממוצע יצ וין להלן ע

):נגזר ת ביחס לזמן של מקום החלקיק(קצ ב רגעי של שנוי המקו ם : מהירות

: מהירות ממוצ עת

: מהירות רגעי ת

txv∆∆

>=<

dtdx

txlimv

0t≡

∆∆

=→∆


תנו עה קצובה בקו ישר

היא תנו ע ה שבה גו ף עובר העת ק ים שוו ים בפרקי זמן שו וים תנ ו עה קצ ובה

).בתנו ע ה על ק ו ישר(

.v=const": זמן-מהירות "פונק צי ת

.קו ישר המקביל לציר הז מן": זמן-מהירות " גרף

.x=x0+vt": זמן-מקום "פונק צי ת

. קו ישר משופע": זמן-מקום" גרף


) Acceleration(תא ו צה

קצב רגעי של שנוי המהירות : תאוצ ה

):נגזר ת שניה ביחס לזמן של המקום=נג זרת ביחס לזמן של מהירות החלקיק (

: תאוצ ה ממוצ עת

: תאוצ ה רגעית

תנ ו עה שו ות תאוצ ה היא תנו ע ה שבה התאוצ ה קבוע ה

).למשל נפילה חופשית (

v=v0+at": זמן-מהירות "פונק צי ת .הוא קו ישר" זמן-מהירות "במקרה זה תאור גרפי

tva∆∆

>=<

2

2

0t dtxd

dtdv

tvlima =≡∆∆

=→∆


) Rate( קצב

). גם אם קטן(קצב ממוצ ע ה וא גודל ה מתאר שינוי על תחום סופי : שים לב

. קצב רג עי מתאר שינוי על תחום קצ ר לאין שעור

ואילו הק צב הממוצ ע , "הקצב המדויק"כן ניתן לומר שהקצב ה רגעי ה וא -על

".רק מקורב"הוא

, הפונק צי ה שאת השינוי שלה מחפשים, בבעיות ריאליסטיות, עם זאת

.לפעמים אינה נתונ ה במפורש

.או גודל מחושב בפרקי זמן נתו נים, למשל זה ו ג וד ל שנמדד בניסוי

אך לא בפרקי זמן ( יודעים את ערכ ו רק בקירוב ורק בפרקי זמן מסוימים

.אלא כסדרת מספרים, הפונקציה ידו עה אם כך לא במפורש). צפופים יותר

, אין ברירה אלא להתייחס לנגז רת כאל שיפוע מקו רב של סדרת המספרים

.ו זה ו ק צב ממו צ ע על פני מרו וחי הזמן הנת ונים


) נגז ר ת (מהירו ת כשי פוע

ככל ") האמיתי("נתקרב יותר ויותר לשיפוע הנ ק ו דתי , אם הפונ ק ציה רציפה וג זירה

. הק צב יהיה שיפוע ה משיק לפונק ציה בנקוד ת הזמן הנדו נה. שמרוו ח הזמן קטן

וככל שז מן המדידה , לפי הדיוק הנ דרש, במציאות מסתפקים בגדלים מקורבים

.והחישוב מספקים אותנו


) א( מהו אינ טגר ל

Schaum, Calculus


) ב( מהו אינ טגר ל

Resnick, Halliday


)א( פו נקציה של תנ אי התח ל ה –המקום

נבצ ע אינטגרציה ע ל פני הזמן" זמן-מקום "לקבלת פונק צ ית

: v(t) של פונק צי ת המהירות

)בלתי תלויה בזמן(במקרה זה שבו התאו צה קב ו עה

.הוא פרבולה" ז מן-מקום " התיאור הגראפי

2attvxdt)t(v)t(x

2

00

t

0++== ∫


)ב( פו נקציה של תנ אי התח ל ה –המקום

:ללא שימוש מפורש באינטגרציה, דרך אחרת

:היא) t,0(המהירות הממוצ עת בין הז מנים

: י"ולכן המקום נת ון ע

.ובהציבנו נ קבל את הקש ר הפרבולי, v=v0+at: אולם

t=(v-v0)/a: אם נחלץ את הזמן: ונקב ל קשר שבו הזמן אינו מפורשx - ונציב ערך זה בביטוי ל

2vvv 0 +=

t2

vvxtvxx 000

++=+=

)xx(a2vv 020

2 −+=


)ג( פו נקציה של תנ אי התח ל ה –המקום

x0=1.; v0=4. a0=-1.

x0=1.; v0=1. a0=1.

x0=1.; v0=-4. a0=1.


תנו עה שוות ת אוצה–נפי ל ה חופשית

.נפילה חופשית היא תנ ו עת גוף בהשפע ת כוח הכובד בלבד

. זוהי תנו עה שוו ת תאוצ ה וכיו ונ ה אל מרכז האדמה

: על פני הארץאותה תאוצ ה ) ללא תלות במאסה(לכל הגופים

22 s/m10s/m81.9g ≈=


)א(דו ג מ ה לבעי ה קינמ אטי ת

מקום החלקיק נתון (דוגמה לבעיית תנו עה עם פו נק ציה מפורש ת

):כפונק ציה מפורשת של הזמן

שים לב שבגלל הע דר מקדמים מתאימים אנו מתעל מים כאן

.לזמן ולמקו ם יש ממד של יחידה, לחילופין. מהממדים

a=1, b=1, c=1: אנו ניקח

לבין זמן t=0תאור גראפי של המקו ם בתלו ת בזמן בין ההתחלה . ניתן להלןt=3למשל , שרירו תי

ct2bt3at)t(x 23 +−=


) ב(דו ג מ ה לבעי ה קינמ אטי ת


)ג(דו ג מ ה לבעי ה קינמ אטי ת

:באמצע ות ה פונק צי ה המפורש ת נוכל ל חקור את התנו ע ה באופן אנאליטי

?x=0מה זמן המעבר דרך נקוד ת הראשית : שאלה

x=t3-3t2+2t=0, פותרים את המשוו אה ממעל ה שלישית t(t2-3t+2)=0: או

: המתקבלים הם) הש ורש ים(שלוש ה הפתרונ ו ת

,t1=0הפתרו ן הטריו ויאלי ) א

.t2=1 ,t3=2: פתרון המשו ואה הריבועית) ג, ב

).איננו מציינים כאן את יחידות ה ז מן, שים לב (


)ד( דו ג מ ה לבעי ה קינמ אטי ת

:שאלה

?)מינימום ומקסימום(מה הזמן בו המערכת ע וברת דרך נקודות האקסטרמום

:גו זרים את הפונ ק ציה ומשוו ים את הנג זרת לאפס ⇐

.מתאפסת, שהיא נגזר ת המקום, המהירות-בזמנים אלה התנ ו ע ה נע צ רת

02t6t3dtdx)t(v 2 =+−==

331tm

2,1±=


איו ר ל תנ ועה קצובה). מט ר 2למ ש ל (מרוו חי העמו די ם קבועים . של ושה אופנוענים נעים בכביש ישר ש ל צ דו גד ר עמו דים

. מט ר בשניה4ומהירותו , תנועתו קצובה. עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים' אופנוען ג

). מטר בשניה6(אלא שמהי רו תו גדול ה יותר , נע בתנועה קצובה' גם אופנוען ד


וקטורים : מאופיין על ידי שני פרמטריםAוקטור

) מספר היחידות ה כלול ות בו (A גודל ו

.ביחס לציר ייחוס כלשה ו) למשלθ(המתואר בעזר ת ז ו וית , כיוו נ ו

:שני וק טורים שו וים רק אם הם

שו וי גו דל

.שו וי כיו ון

).אין משמע ות לכ יוו נ ו(וקטור האפס הוא וק טור שגודל ו ש ו וה לאפס

.אות ו ג ודל וכיו ון הפוך) – A -מסומן ב(לווקטור הנגדי , הוא וק טורAאם


)א(חיבור וקטורי ם

:מוגדר ת פעו לת חיבור) מאותו סוג(בין וקטורים

פי דרכים גיאומטריות -הנקבע ע ל , תו צאת פעול ת החיבור היא וקטור חדש

.למציאת סכום וקטו רים

:B - ו Aנת ונים שני וקטורים


) ב(חיב ו ר וקטור י ם

. שתי דרכי החיבור שקול ו ת ז ו לז ו

C הוא הו וקטור הש קול ל ו וקטורי ם A ו - B.


חיס ו ר וקטור י ם

: מוגדר כךA–Bההפרש ביניהם , הם שני וקטורי םB - ו Aאם

.בחיסור מחברים לראשון את הנגדי של השני -כלומר

,לקביעת ה הפרש הו ו קטורי ) שק ול ו ת( דרכים גיאומטריות 3להלן

: מתוארים למעלה בשרטוטB - ו A כאשר הו ו קטורים

)B(ABA −+=−


) א(ר כי בי ם , מערכ ת קארטזי ת

מוגדרת כו וק טורAaאז המכפלה , סקאלרa - הוא וק טור וAאם

a אם Aוכיו ונ ו ש ו וה ל זה של ) A מגוד לו של aכלומר פי (aA שגודלו . שליליaחיובי ומנוגד לו אם

ניתן לאפיין וקטור במערכ ת צירים קארטזית באמצע ו ת שני רכיביו

.Ay - וAxהקארטזיים

Réne Descartes (1596-1650) המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתיש" ע. הת נ ע שהיה גם הראשון שטבע את המושג חו ק שימור


) ב(ר כי בי ם , מערכ ת קארטזי ת

sinθ=a/c cosθ=b/c

: הםAy - וAx לבין רכיביו θ וכיוונ ו Aהקשרי ם בין גודל ה ו וקטור

θ=θ= sinAA ;cosAA yx


) ג(ר כי בי ם , מערכ ת קארטזי ת

:פי הרכיבים-נוסחאות לחישוב הג ודל ו ה כיוון ע ל

של xאזי הסכום האלגברי של רכיבי , כאשר נת ונים מספר וקטור ים. של הו וק טור השק ולxהו ו קטורים שווה לרכ יב

.y אותו כלל יפה גם לגבי רכיבי

של z שו וה לסכום האלגברי של רכיבי z במרחב תלת ממדי רכיב .הו ו קטורים

tan AA

x

y θ= 2y

2x AAA +=


)1596-1650( רנה דקא רט


ר כי בי המקום-קואו ר דינ א טו ת : דוגמ ה

ניתן לתאר את מקומו של גוף ה נ ע בשני ממדים במערכת צירים : מקום

).יש מערכו ת אחרות בהן איננו ע וסקים(קארטזית

של גוף ה ו א וקטור שזנבו בנק ו דת ראשית הצירים וראשו rהמקום .בנקוד ה בה הג וף נ מצא

השע ו רים : ידי הצ ג ות שונ ו ת-ניתן לאפיין את וקטור המקום על

הקשרי ם בין , x - עם ציר הθ וכיו ו נו rי אורכו "או ע, (x,y): הקארטזיים:שתי ההצ ג ות

.בממד אחד" מקו ם"הגדרת מקום בשני ממדים היא הכללה של המושג

θ=θ= sinry cosrx22 yxr +=θ= tgx/y


העתק

אזי , r2ולאחר מכן במקום , r1אם גוף נמצא ברגע מסוים במקום : הע תק:ידי-מוגדר ע ל) במסלול כל שה ו (r2 - לr1 -הה עת ק בתנו עת ו מ

.r2 - וראשו בr1 -זה ו וק טור שזנבו ב

:רכיביו הקארטזיים של הה עת ק

12 rrr −=∆

121212 zzz ;yyy ;xxx −=∆−=∆−=∆


הרחבה לש לושה ממד י ם -מהירו ת ממו צעת

.בממד אחד" מהירות "הגדרת המהירות בשני ממדים היא הכללה של המושג

: מהירות ממוצ עת

:מהירות רגעי ת

.שים לב לסימן הוקטור מתחת לאותיות המתאימות

:רכיבים קארטזיים של מהירות רג ע ית

" ת אוצה " שלוש ה ממדים היא הכללה של המושג -הגדרת התאוצה בש נים

.בממד אחד

:תאוצ ה ממוצ עת בשלוש ה ממדים

:תאוצ ה רגעית

trv

∆∆

=

dtrd

trlimv

0t≡

∆∆

=→∆

txlimv

tylimv

0tx0ty ∆∆

=∆∆

=→∆→∆

tva∆∆

>=<

dtvd

tvlima

0t≡

∆∆

=→∆


מהירו ת ומס לו ל

. המהירות משיקה בכל נקוד ה למסלול ה תנ ו עה

ג ם אם גודלה המספרי של המהירות (לגוף ה נע במסלול עקו ם יש תאוצה

).קבו ע

. של התאוצה מבטא את קצב שינוי גודל המהירות) aT(הרכיב המשיקי

. מבטא את קצב שינוי כיוון המהירות) aR(הרכיב הרדיאלי

. תנ ו עה קצ ובה היא תנו ע ה בה גודל המהירות אינו משתנה

, התאוצ ה בכל נקוד ה נ יצבת למהירות, בתנו ע ה קצ ו בה במסלול עקו ם

.ופו נה לצד ה קע ור של המסלול


למשל שינוי (תנ ו עת ו של גוף לשינוי הגור ם החיצ וני ה מביאכוח הו א

). גוף של מהירותו

וחיבורם נ עש ה , ידי גודל ו כיו ון-כלומר מאופיינים על, כוחות הם ו ק טורים

.פי כללי חיבור וקטורים-על

.כוח הכובד הו א כוח שכל מאסה ביקום מפעילה על כל מאסה אחרת

. זהו אחד הכוחות הבסיסיים בטבע

. כוח הכובד פועל מרחוק ויורד לפי רבו ע המרחק בין שני הג ופים

מוגדר כ כוח הכובד הפו על ע ל גוף ) weightתחילת המלה , w( משקל גוף .המונח על כד ו ר הארץ

(Force) כוח


)א( מד י דת כוח.מאזני קפיץ משמשים למדידת כוח

.המרכיב העיקרי של המאזניים הוא קפיץ

.הקפיץ הוא אמצעי למדידת כוח בזכ ות ת כונ ת ה אלסטיות של ו

הוראת המאזניים שווה לג ו דלו של כל אחד משני כוחות שווים הפועל ים

.בקצ ות הקפיץ


) ב( מד י דת כוח.אך היא מקלה על המדידה, ליניאריות הק פיץ אינה חיונית

):Hook(כיול מאזניים מבוסס על חוק הו ק

, הוא ערך השנוי באורך הקפיץ ℓ∆ כאשר

k הוא קבוע ה אלסטיות של Hook.

כל ע וד ה תארכות הקפיץ קטנה, חוק זה נכון רק בקירוב

).אז הקפיץ נמצא בתחום האלסטי (

ואינו חוזר , הקפיץ עוב ר לתחום הפ לאסטי, כאשר הה תארכות גבוה ה

.למצבו ההתחלתי

l∆−= kF


)א() חוק ההתמ ד ה(החוק הרא שון של ניוטון

) שאין פו עלים עלי ו כוח ו ת ( מהירו תו של גוף חופ שי

).ל א בגו דלה ולא בכ יו ונה(אינה משתנה


) ב() חוק ההתמ ד ה(החוק הרא שון של ניוטון

שהשקול ש להם שו וה לאפס, גוף ה נ תון לה שפעת כוחות

. מתנהג כג ו ף חופשי

.זה ו תנאי התמדה. בתנאים אלה מהירות הגו ף אינה משתנה

. להלן הכלל יוצ ג כמקרה פרטי של החוק הש ני של ניוטון

).j(מסמל סכום של איברים עם אינדקס רץ ) סיגמא גדולה ביוו נית (הסימן

:סטאטיקהשבו התנ ו עה קצ ובה נתייחס כאל , למקרה הזה

.משקל- מערך הכוחות של מערכת מכאנית בשיווי

0F ;0F ;0F j j;zj j;yj j;x =∑=∑=∑


. גוף אינו מפ ע יל כוח על ע צ מו לפי עד ות ו המהימנה , המקרה היחיד הידוע לי שבו הופ ר החוק הראשון של ניוטון

הנה ה וא שולף את עצ מו ואת סוסו הליטאי : של הבארון הירונימוס פון מינכהאוזן

:באוחזו בציציות ש ע רותי ו).אליה הגיע ו במרדף בעת ציד(מן הביצה

Gottfried August Bürger: Die Abenteuer des Barons von Münchhausen

י כוחות חיצוניים ב לבד" גו ף מופ ע ל ע


) א( יח יד ות כ וח

: יחידות כוח עשר ו ניות

MKS- 1 Newton 1הכוח הדר וש להאיץ מאסה בת Kg 1 לתאוצה בת m/sec2.

cgs1 dyne - 1 הכו ח הדרו ש להאיץ מאסה בת gr 1 לתאוצ ה בת cm/sec2.

:הקשר ביניהן

dyne10sec/cm10gr10sec/mKg1N1 52232 =×=×=


) ב( יח יד ות כ וח

מכיוון שאנו נוה גים להשת מש בגדלים גראם וקילוגר ם הן עבור מאסה

. יש צ ורך במשנה זהיר ות, )שה וא כוח(והן עב ור המשקל

:ונסמנם" קיל וג רם כו ח"-ו, "גראם כוח" לצו רך הכוח נשתמש בגדלים

gr*, Kg*

. אינו ע שר ו ניNewton 1 ויחידת הכוח *Kgהקשר בין יחידת הכוח

1 Kg* 1 הוא המשקל של מאסה בת Kg: הואMKS שמשקלה ביחידות

w = mg ~ 1 Kg×9.81 m/sec2 = 9.81 Newton

.Kg* ~ 9.81 N 1: לכן

).Newton 10 - קרוב בערכו ל *Kg 1אם כי בקירוב ניתן לומר ש (


)פעולה ותגובה(החוק הש לישי של ניוטו ן

,אם גוף אחד מפעיל כוח על משנהו

.אז גם השני מפעיל כוח על הראשון

.שני הכוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם



)פעולה ותגובה(החוק הש לישי של ניוטו ן .הוא נמצא במצב מתיחה, כאשר כוחות פוע לים בשני קצו ת חבל

וכ וחות אחרים אינם פוע לים על , אם הכוחו ת בקצ ותי ו שו וים בגודלם

.אזי גודלו של כל אחד מכוחות אלה מכונה מתיחות החבל, החבל

גוף כלש הו על פני האדמה מושך , למרות שהדבר נשמע בראשונ ה מוזרדהיינו משקל (את כדור הארץ באותו כ וח שכדור הארץ מושך אותו אליו

).הג וף


(Normal) כוח נורמ א לי : נדון בשני כוחות הפו עלים במשטח המגע בין גופים

) להתכו וץ(הם נו טים להת ע ו ו ת , כאשר גופים נלחצים זה כ לפי זה: כוח נו רמלי ניצבומפעילים האחד על משנהו כוחות שהשקול ש להם כיו ונ ו , בכיוון הכוח

.למשטח המגע בין הג ופים

הוא , כלומר הו א נמשך אל האדמה, "שיש לו משקל"וכיון , גוף מונ ח על שולחן

.מעיק על הש ולחן בכוח שערכ ו שו וה ל משקל הג וף

לפי החוק השלישי השולחן מפעיל על הגוף כוח שווה והפ וך במגמתו

).הנ ורמל(

,המשקל והנ ו רמל: כעת פוע לים על הגוף שני כוחות ול א כוח אחד

. והם מבטלים זה את זה

.בהתאם לחוק הראשון, והגו ף נח, שקול הכ ו חות הפוע לים על הג וף ה וא אפס


(Friction) כוח החיכוך

כאשר גופים נלחצים זה כ לפי זה נו צרים כוחו ת חיכוך : כוח החיכוך

)friction (למשטחמקבילבכיוון , על פני משטח המגע ביניהם .

כוח זה נובע מחספוס שטח המגע בין הג ופים ומקיומם של כוחות

).adhesion(משיכה בין מולקו לאריים בין המשטחים

) חלשים אמנם(יש צור ך בהקניית אנרגיה מינימאלית כדי לשבור קשרים

.בין המשטחים הנו ג עים ז ה בזה

יחסי לכוח הנור מאלי למשטח בין ) fk(כלל גוד לו של כוח החיכוך -בדרךכ קטן "וערכ ו בד, נקרא מקדם ה חיכוך הקינטיµkהמקדם ): N(הג ופים . וה ו א תלוי במהות הגופ ים המתחככים ובמידת החספוס שלהם, מיחידה


)כוח ותאוצה(החוק השנ י של ניוט ון

. תא ו צתו של ג וף מ ת כונ ת י ת ל כו ח השקול הפועל על יו

. כי וו ן התאוצה ככ יוו ן הכוח


הקשר בי ן הכוח והתא וצה-החוק השנ י של ניוט ון

גודל ה תאוצ ה נמצא ביחס ישר לגו דל הכו ח השקול

: וביחס הפוך למסת הגוף

אם מתקבל התנאי להתמדה

).ראה החוק הראשון של ניוטון (

mF

a j j∑=

0Fj j =∑


כוח ומהי רות–החוק השנ י של ניוט ון

מהירותו ות אוצת ו של גוף בכל רגע ורג ע , אפשר לחשב את מקומו

: אם יוד עים את

.)מקומו ומהירו תו של הג וף ברגע ה התחלתי (תנאי ההתחלה ) א.הכוח השקול הפו על על הג וף בכל רגע ורג ע) ב

י פתרון של משו ואה דיפרנציאלית התל ויה בזמן "החישוב יבוצ ע ע

):אינטגרציה(

∫∫ +=+=t

00

t

00 dt]m/)t(F[vdt)t(av)t(v


מא ס ה: מאסה של גוף מייצגת שתי תכונ ו ת

: מבטאת את מידת ההתמדה של הגוףמאסה אינרטית) א

דרוש כ ו ח גדול יותר כדי להקנ ות ל גוף – ככל שמאסתו גדולה יו תר . יחידה אחת של תאו צה

: מבטאת את ע ו צ מת כוח הכו בד הפועל על הג וףמאסה גרוויטציונ ית) ב

ע ו צמתו של כוח הכו בד הפועל על הג וף – ככל שמאסתו גדולה יו תר .גדול ה יותר

כמות "ומייצגת את , מאסתו של גוף היא תכו נה סגולית של הגוף

.בגוף" החומר

–בפיסיקה קל אסית כל ע וד לא הוספנו לגוף חו מר או גרע נ ו ממנו חומר .מאסתו קבוע ה


יחיד ת המא ס ה

.היא היחידה התק נית של המסה) Kg( ג "ק

,)SI( היא אחת משבע ה יחידות הבסיסיות של מערכת היחידות התק נית

. והיא מגולמת בגוף השמור במכון התקנים הבינלאומי בפאריס

1Kg=103g

:היא היחידה התקנית של כוח) 1N(ניוטון

.1m/sec2לתאוצ ה בת 1Kg זה ו הכוח הדר וש כדי להאיץ מאסה

ידי מדידה באמצע ות דינמומטר -אפשר לקבו ע את גודלו של כוח על, ידי מדידת הת אוצה של גוף הנע בהשפע ת הכו ח-או על, )מאזני קפיץ(

.וחישוב מכפלתם, מדידת מאסתו


Isaac Newton (1642-1727)

): בירוש ה מגליליאו(גיבש את השיטה המדעית , כנראה ענק ה מדענים, ניוטון

.יש לבצ ע ניסויים בפוע ל כדי לבחון השע רות ות יאוריו ת

הוא פיתח סדרת חוקים ) שלו ושל אחרים(מתוך ההש ע רות וה ניסויים

.מכאניים ואת תורת הכבידה

הם חוקים –הוא הבין שאות ם חוקים בדיוק חלים בכל היקו ם סיבוב הירח סביב הארץ נובע מאותו חוק כמו נפילה חופשית (אוניברסאליים

.אלא חוקיות ברור ה, אין כאן קפריזה). על פני הארץ

את ) 1646-1716(במקביל לגוטפריד לייבניץ , לצ ורך הבנת מושג התנ ו ע ה פיתחשהו א הכלי האינטנסיבי ביותר עד היו ם לאנליזה של כל , החשבון הדיפרנציאלי

.מערכת דינאמית


Newton: Principia Mathematica, 1687


)א(דוגמה לבעיה המ שלבת את החוק השני וכוח חיכוך

שבינו לבין משטח , m ובחזיתו נמצא חפץ בעל מאסה aרכב נוסע בתאוצה .עם מקדם חיכוך סטאטי , הרכב פוע ל כוח חיכוך

מה צריכה להיות הת אוצה המינימאלית של הרכב כדי שהחפץ בקדמת

? הרכב לא יחליק מטה


)ב(דוגמה לבעיה המ שלבת את החוק השני וכוח חיכוך

:תשובה

.הנובע מתאו צת ו ימינה, הרכב מפעיל על החפץ כוח

,aגם הוא נוסע ימינה בתאוצ ה , שבה אין החפץ מחליק, בתנו ע ה יציבההחפץ ככוח נורמאלי " מפרש"את הכו ח הזה . maבכוח שערכ ו הוא " חש"ו

.הפו על עליו מצד הר כב

,mg, י כוח הכבידה"התנ ו ע ה כלפי מטה מסופקת ע

: וערכ ו, ומתנגד לה כוח חיכוך הפועל במקרה זה כלפי מעל ה

:ל גד ול מן הכוח הפו על מטה כדי שהחפץ לא יחליק"כוח החיכוך צ

: ל"מכאן צ

או

maNf sss µ=µ=

mgfs ≥gas ≥µ

s/ga µ≥


) א (מה ירות יחסית , מ ער כות יחוס

יש מערכות שביחס אליהן מהירותו של גוף : מערכת ייחוס אינרציאליות

.מערכו ת ייחוס אלה מכונ ו ת אינרציאליות. חופשי אינה משתנה

. חוקי ניו טון מתקיימים ביחס למערכות אינרציאליות: תו קף חוקי ניוטון

B - וA, היא מערכ ת ייחוס אינרציאליתSאם : מהירות ותאו צה יחסייםB - ביחס לAאז המהירות של , הם שנ י גופים

VB,S -ו, S ביחס למערכת הייחוס A היא מהירות ו ש ל גוף VA,S: כאשר.S ביחס למערכ ת הייחוס Bהיא מהירות ו של גוף

תמיד יש לקבו ע ביחס למה מודדים : גודל יחסימהירות בהגדרתה היא

). ביחס לאיזה גוף, כלומר ביחס לאיזו מערכת יחוס(את המהירות

– B:ביחס לAהתאו צ ה של , באות ו אופן

S,BS,AB,A vvv −=

S,BS,AB,A aaa −=


)ב(מה ירות יחסית , מ ער כות יחוס

רק אם , מאזניים מורים את משקלו ש ל גוף הניצב עליהם: מדידת משקל

.אליהם היא אינרציאלית" צמו דה"מערכת צירים ה

, למאזניים אינה אינרציאלית" צמודה "אם מערכת צירים ה: משקל יחסישונה , ")ה משקל היחסי של הגו ף"המכונה במקרה זה (הוריית המאזניים

שונ ה מתחושת , גם תחושת הכובד של אדם הניצ ב עליהם. ממשקל הגוף

.הכובד הרגילה שלו

ולאדם , הם מורים אפס, כאשר מאזניים נופלים חופשית: "חוסר משקל"כיוון שלא פו על כו ח נורמלי על , הניצב עליהם תחושה של חוסר משקל

חוסר "יש האומרים במקרה זה שה אדם נמצא במצב של . כפות רגליו

".משקל


) ג(מה ירות יחסית , מ ער כות יחוס


)א( זריקה אנ כית

. כלפי מעלהv0גוף נ זר ק אנכית במהירות ה תחלתית

:בכיוון האנכי פוע ל ע ל הגוף כוח הכבידה כלפי מטה

):או מאט מעלה(הג וף מאיץ מטה

, בגובה המכסימאלי אליו יגיע הג ו ף נע צר ת התנ ו עה

: והג ו ף חוזר מטה בנפילה חופשית

mgFY =

gtvv 0y −=

221

0 gttvy −=

gvt0v 0

my =→=


) ב( זריקה אנ כית

:נציב ע רך זה ונקבל את הגובה ה מכסימאלי

משך הזמן שלוקח לגוף להג יע מן המכסימום חזרה לנ קוד ת המוצא שוו ה

.למשך זמן העלייה

זהו גם הזמן שעליך לברוח ( זמן התנ ו עה הוא כמובן כפליים זמן העלייה

!).פן יינזק ראשך, הצ דה

. תאור גראפי של גובה הג וף כפונק ציה של הזמן הוא פרבולה

נראה שלפעמים קל יותר לנתח בעיות , כשנלמד את חוק שימור האנרגיה

. י שימוש בחוק יסודי זה"ע

g2vgttvy

202

m21

m0m =−=


)א(זריקה או פקית

י מערכת "את התנו ע ה נתאר ע. v0גוף נ זר ק אופקית במהירות התחלתית שראשיתה מזדהה ע ם נקו ד ת הזרי קה (x,y)צירים

בכיוון האופקי אין פו עלים כוחות על הג ו ף

לכן התאוצה האופקית מתאפסת

:לכן המהירות האופקית נשמרת

:הדרך האופקית שעוש ה הגוף הי א פונקציה ליניארית של הזמן

( )0y,0x 00 ==

0Fj Xj =∑

0ax =

0x vv =

tvtvxx 0x0 =+=


)א(תנוע ה במ ישור

, כאשר גוף נ ופל חופשית בקרבת הארץ: אי תלות רכיבים קארטזייםהמהירות וה תאוצה אינם תלוי ים ברכיבים , הרכיבים האנכיים של המקום

.ולהפך, האופקיים

ממדיות שבהן הרכיבים -יש תנו ע ות ד ו (הדבר מקל על ניתו ח תנו ע ה ז ו

).למשל תנו עה בתו וך צ מיג, האופקיים והאנכיים תלויים זה בזה

: בקרבת הארץזריקה אופקית

הרכיב האופקי של המהירות שו וה בכל רגע לרכיב ; התנ ו ע ה האופקית קצ ובה

.האופקי של המהירות ההת חלתית


) ב(תנוע ה במ ישור

.gגודל ה תאוצ ה הוא ; התנ ו ע ה האנכית בקרבת הארץ היא שו ות ת אוצה המהירות ה התחלתית היא הרכיב האנכי של המהירות ה ה תחלתית בה הג וף

.נזר ק

: תנ ו עה בהשפעת כ ו ח קבוע כלש הו

; מסלול תנו ע תו של גוף אשר נע בהשפע ת כוח קבו ע הוא קו ישר או פרבולה

קו ישר מתקבל כאשר המהירות ההתחלתית שו וה ל אפס או כאשר היא

,)הג וף נ ע בכיוון הכו ח, בשני מקרים אלה(מכוונת בכיוון הכוח

במקרה ז ה כיוון התנו ע ה מנוגד לכיוו ן ( או כאשר כיוונ ה מנוגד לכיו ון הכו ח

).הגו ף נע בכיוון ה כוח, ולאחר מכן, הכוח עד לרג ע שהמהירות מתאפסת

פרבולה מתקבלת כאשר המהירות ההת חלתית אינה בכיוון הכוח ו אינה

.ציר הפרבולה מקביל לכוח. בכיוון מנוגד לכוח


) ב(זריקה או פקית

:בכיוון האנכי פוע ל ע ל הגוף כוח הכבידה כלפי מטה

:לכן הגוף מאיץ מטה

ואילו הדרך האנכית , הדרך האופקית שעוש ה הגוף תל ויה ליניארית בזמן

.תלויה בחזקה השניה של הזמן

כשנחלץ את הזמן מן הקשר ונציב בקשר

: נקבל מסלול תנו ע ה פראבולי

mgFj Yj =∑

gtvy =

2212

y21

y00 gttatvyy =++=

tvx 0=221 gty =

22

0x

v2gy =


)ג(זריקה או פקית

) המהירות ה אופקית קבו עה: שים לב(מסלול של גוף שנזר ק אופקית


)ד(זריקה או פקית

ככל הנראה בניסויים שערך , היה זה גלילאו גליליי שמצא לראשונ ה קשר ז ה

.ולאו דוו קא בנפילה חופשית, על מישורים משופעים


)ה( ע רך המהי ר ות –זריקה או פקית

מהירות הגו ף היא הוקטור

: שערכו המו חלט

:הז ו וית שיוצר וקטור זה ע ם האופק היא

).ה הולך ו גדל ליניארית בזמן(זה ו כמובן כיוון תנו עת ה גו ף בכל רגע

.התנ ו ע ה בכיוון האופקי והתנ ו עה בכיוון האנכי בלתי תלוי ות זאת בזאת

אינו , לכן משך הזמן של הג עת ג וף הנ ז רק אופקית בגובה כלשה ו מעל האדמה

:וה וא זהה למשך זמן נפילה אנכית, תלוי במהירות האופקית ההתחלתית

( )gtv,vv y0x ==

( )220 gtvv +=

0x

y

vgt

vv

tg ==θ

g/h2t2/gth m2

m =→=


)א (זריקה מ שופ עת

.v0במהירות התחלתית 0θגוף נ זר ק בזו וי ת התחלתית כלשהי

:מהירות הגו ף ההתחלתית היא אם כך

:בכל רגע מהירות ה ג וף נת ו נה לפי

:י"גודל ה מהירות נתון ע

000000 sin ;cos θθ vvvv yx ==

000 cosθvvv xx ==

gtsinvgtvv 000yy −θ=−=

( )( )tsingv2tgv

gtsinvcosvvvv

00222

0

2

022

0002

y2

x

θ−+=

=−θ+θ=+=


)ב (זריקה מ שופ עת

:כיוון ה מהירות הוא

:י "מקום הג וף נ תון ע

נחלץ את הזמן מתוך הביטוי לקו אורדינאטה האופקית ונ ציב בקו אורדינאטה

.האנכית

:נקבל שוב תנו ע ה פרבולית

00

00

x

y

cosvgtsinv

vv

tgθ−θ

==θ

( )tcosvx 00 θ=

( ) 200 gt

21tsinvy −θ=

( )xtgxcosv2gy 0

2

022

0

θ+θ

−=


)ג(זריקה מ שופ עת


)ד( טווח הזריקה –זריקה מ שופ עת

עד לנק ודה ש בה הגו ף חוזר לגובה ו Rטווח הזריקה המרחק האופקי :התנאי לקבלתה . ההתחלתי

:פתרון המשוו אה הריבועית הזאת נו תן שני שורשים

ה טריווי אליהפתרון .) א

)זמן ההתחלה( שהוא הזמן הראשון שבו הג ו ף נמצא בגובה ההת חלתי

. שה וא זמן ההגע ה לטווח הזריקה.) ב

( ) 2RR00 gt

21tsinv0y −θ==

0t 1m =

gsinv2t 00

2mθ

=


) ה( טווח הזריקה –זריקה מ שופ עת

זו וית הזריק ה היא, עבו ר ז ריקה אנכית

: ונקבל את הקשר הטריוויאלי

. הוא הז מן ההגעה למכסימום שקבלנו בדיון על הזריק ה האנכיתtm כאשר

: בביטוי למרחק האופקי נקבלtm2נציב את ערכ ו של

)-זכ ו ר ש(

: עבו ר ז ו וית התחלתית נקבל ע רך מכסימאלי לטוו ח

20 π=θ

m0

2m t2gv2t ==

( )g

2sinvtcosvR 02

02m00

θ=θ=

θ=θθ 2sincossin2

40 π=θg

vR2

0m =


)ו(זריקה מ שופ עת


)ז(זריקה מ שופ עת

-ולפי הנוסחה עבו ר הטווח ניתן לראות שזריקה בשתי הז ו וי ו ת ההת חלתיות

: למרות ששני המסלולים ושני הזמנים יהיו שו נים זה מזה, נקבל אותו טווח


)א(תנוע ה מ ע גלית קצובה

:בתנו ע ה ז ו

.וקטור המהירות משיק למעגל דהיינו ניצ ב לרדיוס.) א

. המהירות משיקית- בכל נק ודה

–את התנ ו ע ה חייב לספק כוח הפונה אל תוך המעגל בכיוון הרדיוס ) ב

).צנטריפטאלי( כוח רדיאלי

.ולכן אינו משנה את גודל ה, כוח זה בהג דרתו נ יצב למהירות) ג

–לע ו מת זאת כוח זה מאלץ את המהירות ל שנו ת את כיוונ ה ) ד

.מה שיו צר את ע צם התנו ע ה המעגלית, כל הזמן פועל בניצב לה


)ב (תנוע ה מ ע גלית קצובה

הגוף היה נע בתנו ע ה ק צ ובה , )ובה עד ר כוחות אחרים(אלמלא כוח זה ) ה

.בכיוון המהירות ברג ע התאפסות הכוח) בקו ישר (

.יש לגוף תאוצ ה) כיוונ ה משתנה(מכיוון שהמהירות משתנה כ ל העת ) ו

:דו גמאות) ז

, כוח משיכה גרו ויטאציוני

, כוח משיכה קול ומבי

, מתיחות של חבל האוחז בקצה ו בגוף

,י הדופן במכשיר צנטריפוגה" כוח נורמאלי המופעל ע

. כוחות מגנטיים


)א( ניתוח התאוצה –תנוע ה מ ע גלית קצובה

י וקטור השינוי של המהירות "כיוון ה תאוצ ה בכל נקוד ה נ קבע ע

). י כיוון שינוי המהירות"אלא ע, י כיו ון המהירות"לא ע: שים לב(

) t+∆tבזמן (Bלבין המהירות בנקו דה ) tבזמן (Aההבדל בין המהירות בנקו דה : הוא ההפרש הו קטו רי

.י הע תק ה מקבילה של הוק טור אל ראש הו קטור "שיתקבל ע

AB VVv −=∆

BVAV


) ב( ניתוח התאוצה –תנוע ה מ ע גלית קצובה

) t→0∆( ככל ששני וק טורי המהירויות מתייחסים אל נקוד ות ק רובו ת יותר וי ותר , י שלושה וק טורים אלה יהיה יותר ויו תר צר"השו קיים הנו צר ע -המשולש שו ו ה

.900 -ו ז ו ויות הבסיס תתקרבנה ל, תקטן) θ(ז וית הראש שלו

.ילך ויקטן בגודל ו( ) כלומר בסיס המשולש הצר הזה

.כיוון ו קטור ההפרש ישאף להיות בזוי ת ישרה אל הו קטו ר

הרי שוקטור ההפרש יהיה , Bמכיוון שו קטור המהירות משיק למעגל בנקוד ה .כלפי מרכז המעגל, רדיאלי

.מכאן שבכל נק ודה התאו צ ה היא רדיאלית

v∆

AV


)ג( ניתוח התאוצה –תנוע ה מ ע גלית קצובה

:בציור דלעיל ישנם שני משולשי ם שו וי שוקיים דומים

שהוא קשת המעגל , ומן הבסיס הקטן, RB - ו RAהאחד מורכב משני הרדיוסים :t∆י תנו ע ת החלקיק לאורך המעגל במשך הזמן הקצ ר "המותו וית ע

.המשולש השנ י מורכב מוקטורי המהירות

tvR ∆=∆


)ד( ניתוח התאוצה–תנוע ה מ ע גלית קצובה מכאן שיחס הצ ל עו ת במשולש ש קדק וד ו במרכז המעגל

: זהה ליחס הצ ל עו ת במשולש ה מהירויות

: ומכאן

אבל היחס שבאגף שמאל

: אינו אלא התאו צ ה הרדיאלית

R/tvR/R ∆=∆

v/v∆

R/vt/v 2=∆∆

R0t at/v ⎯⎯ →⎯∆∆→∆

R/va 2R =


)א( מסקנות -תנוע ה מ ע גלית קצובה

:על הג וף פו על כו ח שכיוונ ו בכל נקוד ה כלפי מרכז המעגל וג ודל ו ) א

אחרי שהגיע למהירות בעלת הע רך המספרי (כאשר תנו עת הג וף יציבה ) ב

.אך לא בכיוון הרדיאלי, התנו עה חלה כל העת בכיו ון המשיקי) הקבו ע

שעל הג וף פו על כו ח צנטריפוגאליD'Alembertמכאן הסיק ) ג

, )בניגוד לכוח הצנטריפטאלי הפונה פנימה למעגל, פונה החוצה מן המעגל (

י הגורם ה ממשי"שמסופק ע, וה וא מאזן את הכוח הצנ טריפטאלי

).כוח נורמאלי, מתיחות, משיכה קול ומבית, גרו ו יטאציה (

. שקול הכוחו ת הרדיאלי הוא אפסD'Alembert לפי

R/mvmaF 2RR ==


) ב( מסקנות -תנוע ה מ ע גלית קצובה

, ואכן כאשר ניסע במכונית בקו ישר ולפתע היא תוסט שמאלה או ימינה

).י התנ ו ע ה הפתאומית"ה מותו ו ה ע(נחוש בכוח הה ודף אותנו החוצ ה מן המעגל

,אבל אנו חשים בו היטב, ל"י גורם ממשי כנ" זה ו כו ח שאינו מסופק ע

פני - כפי שנחוש את הכוח ההו דף אותנ ו אל המושב בשיבתנו במטוס המאיץ על

.או בכוח הדו חפנו קדימה בע צירה פתאומית של הרכב, הקרק ע

אם לא נזרק (נהדף ע ד דופן הרכב ושם נע צר , אם הסיבוב הרכב יתמיד

).החוצ ה

הכוח המונ ע את המשך תנועת נ ו הצנטריפוגלית הוא הכוח הנורמאלי

.ושק ול הכוחו ת הרדיאליים הוא אפס, י דופן הרכב"המסופק ע


)ג( מסקנות -תנוע ה מ ע גלית קצובה

.בתנו ע ה מעגלית התחושה היא כאילו על הג ו ף פועל כוח כבדיות

שה וא נמשך גרו ויטאציו נית אל הדו פן האחורית של ) אולי(למשל החרק חושב הדו פן מפעילה על החרק כוח נורמלי שערכ ו הוא הערך של הכוח . הק ופסה

, י היד"שמסובב ע, י החוט"המופע ל על הקופסה ע

.ומבחינת החרק אין נפקא מינא, כוח זה שקול למשקלR

mvmaFN2

RR ===

Paul G. HewittConceptual Physics


)א( הגב הת מ עקמים

.v במהירות Rמכונית נעה בתנ ו עה מעגלית ברדיוס

:על המכונית פוע לים הכו חות הבאים

W=mgהמשקל Nהכוח הנ ורמאלי בינה לבין הכביש

בניצב , הפוע ל רדיאלית fSכוח החיכוך הסטאטי

. למהירות ו מספק למכונית את התאו צ ה הרדיאלית

מתוך הנחה , אנו מתייחסים לחיכוך הסטאטי, למרות שה מכונית נעה: שים לב

.ועל כן המכונית אינה מחליקה בכיוון הר דיאלי, שמעגל התנו ע ה יציב

כ ו ח (כן שים לב שבגלל הנטייה של המכונית להיזרק ה חוצה מן המעגל -כמו

D'Alembert( ,פונ ה פנימה, החיכוך המתנגד ל תנ ו עה זאת.


) ב( הגב הת מ עקמים

:מהחוק השני נקבל

:נקבל, ומחילוץ הכוח הנור מאלי והצבת ו

מותר לנהו ג במהירות רבה יותר וברדיוס , ככל שמקדם החיכוך גדל: מסקנה

.עיק ום קטן יותר

0mgN =−

RmvNf

2

ss =µ=

gRv

s

2

µ=


)ג( הגב הת מ עקמים

).טמפרטורה, רטיבות(מקדם החיכוך תלוי בטיב הצמיג אך גם בתנאי הדרך

משנים את צו רת הכביש בפניות שבהן נוה גים , כדי להקטין את התל ות בו

).כמו בירידה מאוטוסטראדה(במהירות

:θבציור הבא נראה את הכו חות הפוע לים על מכונית בסיבוב מוטה בזו וי ת

ביח ס θו מ ו ט ה ב זו וית , ה נור מ אל ניצב ל כביש, מ שקל ה מכו ני ת פונה מ ט ה

ה מ קבי ל למש ט ח פ ו נ ה כעת במ ורד ה מש ט ח fSה חיכו ך ה ס ט א טי . למש קל) . למ ט ה מן ה א ו פקθבז ווית (פני מ ה אל ה מ עגל


)ד( הגב הת מ עקמים

:נוח כע ת לפרק את הכוחו ת בכיוון הנו ר מאלי למשטח ובכיוון המשטח

:הקשר בין החיכוך והנורמל

מתייחס לרדיוס המעגל , שאליו נתייחס כעת , Rmרדיוס המעגל המוטה :Rהמישורי הנתון

ונציב אות ו ואת החיכוך ’y ממשו ואת הכוחו ת בכיוון Nנחלץ את הנורמל ’x:במשוו את הכוחות בכיוון

: נקבלcosθומכאן בצמצו ם של

0mgcosθN :Fy' =−∑ m2

sx' R/mvmgsinθf :F =+∑

Nf ss µ=

θ= cos/RRm

θ=θ+θµ

cos/Rmvsinmgcosmg

2

s

)tan(gR/v s2 θ+µ=


) ה( הגב הת מ עקמים

, לא על כתפי החיכוך לבדו נשען כעת הכ וח הצנ טריפטלי, כפי שאנו רו אים

mgcosθפני המשטח המוטה -אלא ישנה ה תוספת של רכיב המשקל ע ל

כך גדלה המהירות ה מותרת בסיבוב, ככל שז ו וית ההטיה גדלה

).וקטן הרדיוס המותר (

.החלקת ה מכונית במדרון: לא הבאנו חשבון תנו ע ה אחת בלתי רצו יה

, במקרה זה כוח החיכוך יתנגד ל תנ ו עה ויכו ון כלפי מעל ה

: בתנאי שזו וית הה טיה אינה גד ו לה מדי

: מכאן שבכל מקרה לא נוכ ל לעל ו ת על הע רך

sµtanθ <

g2R/v s2 µ=


)א(תנוע ה מחזורית

תנ ו עת ו של גוף היא מחזור ית

- ו tהגוף יימצא ברגעים , שנבחרt כך שלגבי כל רגע Tאם קיים פרק זמן )t+T (בדיוק באות ו מקום.

.לאו דוו קא למקו ם של חלקיק, בהכללה ההג דרה מתייחסת לכל פונק צי ה

: ערכי הפונק ציה ז ה ים בשני הזמניםtאז לכל , מציין תכונ ה של הג וףP(t) אם

. הקצ ר ביותר ה מקיים את קריטריון המחזו ריותT פרק הז מן :זמן המחזור

.מספר המחזורים שהג וף מבצע ביחידת זמן): f) frequency תדירו ת

:הקשר בין זמן המחזור לבין התדירות ה וא הופכי

( ) ( )TtPtP +=

T/1f =


) ב(תנוע ה מחזורית

הקשר בין . מספר הרדיאנים שע ובר הגוף בשניה: תדירות ז ו ו יתיתמוגדרת

:שתי ההגדר ו ת

:זמן המחזו ר שלה מקיים את הקשר. תנ ו עה קצ ובה במעגל היא מחזורית

:מהירות ז ו ויתית היא קצב שנוי הז ו וית בזמן

:הקשר בין מהירות גו ף בתנו עה מע גלית קצ ובה לבין מהירות ו הז ו וית ית

קשרים בין המהירות ה ז ו ויתית לבין הגדלים המאפיינים תנו ע ה : לסכום

:מחזורית

f2π=ω

vR2T π

=

t∆θ∆

=ω

Rv ω=

T/2f2 π=π=ω


)א(תנוע ה מ ע גלית שא י נה קצובה

.בתנו ע ה מעגלית בלתי קצ ו בה המהירות משתנה בגוד לה

המכוון אל מרכז המעגל מבטא את קצב שינוי כו ון aRרכיב התאוצ ה הרדיאלי : המהירות

הביטוי זהה אמנם לזה של התאו צ ה בתנו עה רדיאלית בעלת מהירות בגוד ל

. אבל ערכו המספרי משתנה בכל רגע ע ם גודל המהירות, קצ וב

מבטא את קצב שינוי המהירות הנ ו בע משינוי aTהרכיב המשיקי של התאוצ ה . הפו על בניצב לו, ו הוא נו בע מקיומו של כוח נוסף לזה הרד יאלי, הג ודל שלה

) הצ נ טריפטלית(התאו צ ה השק ולה הי א הסכום ה וק טורי של התאו צה ה רדיאלית

):טנגנטיאלית(ושל ה תאוצ ה המשיקית

R/va 2R =

RT aaa +=


) ב(תנוע ה מ ע גלית שא י נה קצובה

:מהירות ז ו ויתית ממוצ עת

:מהירות ז ו ויתית רגעית

:גם בתנו ע ה מעגלית שאינה קצ ובה מתקיים הקשר

הרכיב המשיקי הוא בכיוון המהירות

):מנוגד לכיוון המהירות אם המהירות ה ולכת ו קטנה (

.כלומר התאו צ ה הז ו ויתית, הוא קצ ב שנוי המהירות ה ז ו ויתי

t∆θ∆

=ω

dtd

tlim

0t

θ≡

∆θ∆

=ω→∆

Rv ω=

RvdtdvaT ω=≡= &&

ω&


)ג(תנוע ה מ ע גלית שא י נה קצובה

ושל ) הצנטריפטלי(הכוח השק ול הוא הסכום הו קטו רי של הכוח הרדיאלי

).טנגנטיאלי(הכוח המשיקי

התאוצה הש קול ה היא הסכום הו קטו רי של התאו צ ה הרדיאלית : בהתאם לכך

):טנגנטיאלית(ושל התאוצה המשיקית ) הצ נטריפטלית(

RT aaa +=


)א(תנוע ה הר מוני ת

פני מסלול סגור בעל שתי נקוד ו ת קצ ה -תנו עה מחזור ית הלו ך ושוב על : תנ ודה

).תנ ו עה מוגבלת במרחב(

תנ ו עה הרמונית פשוטה היא תנו ע ת גוף בהשפעת כ ו ח שקו ל שתבניתו

):Hook(המתמטית היא לפי חוק הו ק

–) x(הפוך בכיוונו לכיו ון התארכות הקפיץ ) F(הכוח

. הסיבה לסימן המינוס-") כוח מחזיר(" מכוון בכל רגע לנ ק ודת שיו וי המשקל

מנקודת שיו וי המשקל ) x(גודל ה כוח פרופור צי וני למידת הסטייה

kxF −=


) ב(תנוע ה הר מוני ת

?ישים) F~-x(מתי הקשר ה ליניארי הזה

. כאשר חריגת המערכת ממצב שו וי המשקל שלה אינה גדול ה

. אז יש למערכת נטייה טבעית לחזור אל שו וי המשקל באופן ספונטאני

.הקביע ה מהי חריגה קטנה או גדו לה תלויה במהו ת ה מערכת

. למשל בקפיץ ההתארכות קטנה בהרבה מאורכו ה ע צ מי של הקפיץ

. נבחרה בנק ודת שיווי המשקל של הג וףxנק ודת האפס של ציר


)ג( פתרו ן מחזורי –תנוע ה הר מוני ת

):cos או sin(הפתרו ן הידוע למשו ואה כזאת הו א פונקציה מחזורית

:של התנ ו ע ה) אמפליטודה( המקדם את הפונ קציה הוא המשרעת Aהג ודל

.לפני חזרת ו אל נקודת ש ו וי המשקל, עד שמה מגיע החלקיק בתנ ו עת ו

קרוי פאזה ωt כתוספת לארגו מנט cos המופיע תחת הפונ ק ציה φהג ודל .ומגדיר פתרון מחזור י כללי ותל וי בתנאי ההתחלה של הבעיה

( )ϕ+ω= t cosA x(t)


)ד( פאזה -תנוע ה הר מוני ת

:הפאזה נקבע ת לפי תנאי ההתחלה של הבעיה

φ=0 :הפתרו ן הוא

המערכת נמצאת במקום t=0 בזמן ההתחלתי

. כלומר במשרע ת ומשם היא מתחילה לנו ע אל עבר נקוד ת שו וי המשקל

φ=-π/2 :הפתרון ה וא

המערכת נמצאת במקום t=0 בזמן ההתחלתי

.קום ומתחילה את תנו עת ה מנקוד ת שו וי המשקל לעבר ערכים חיוביים של המ

φ=π/2 :הפתרון הו א

המערכ ת נמצאת במקוםt=0 בזמן ההתחלתי

.ם ומתחילה את תנו עת ה מנק ודת שו וי המשקל לעבר ערכים שליליים של המקו

( )t cos Ax(t) ω=( ) A0 cos Ax(0) ==

( ) ( )t insA/2t cos Ax(t) ω=π−ω=( ) 00 sin Ax(0) ==

( ) ( )t insA/2t cos Ax(t) ω−=π+ω=

( ) 00 sin Ax(0) =−=


)ה( מהי ר ות ותאוצה –תנוע ה הר מוני ת

: פעם אחת לפי הזמן ונקבל את המהירותx(t)נג ז ור את פונק צית ה מקום

פעם אחת לפי הזמן v(t)נג ז ור את פונק צית ה מהירות

:ונקב ל את התאו צ ה) נגזר ת שניה של המקום (

הפונ ק ציה ה מבטאת את התאו צ ה שו ו ה לזאת המבטאת , עד כדי גורם קבו ע

.את המקו ם

.וה וא הבסיס לתנו ע ה ההר מונית, הש ווי ו ן הזה קיים בכל זמן

( )ϕ+ωω−== tsin Ax(t)dtdv(t)

xxa 2ω−== &&

( ) ( ) ( ) ( )txtcosAtvdtdta 22 ω−=ϕ+ωω−==


)ו( מהי ר ות ותאוצה –תנוע ה הר מוני ת

הוא) או התדירות ה ז ו ויתית(הממד של המהירות הז ו וית ית

ואכן ממד המהירות המתקבל הוא כנדרש

ובהתאם ממד התאוצה הוא

.סימן המינוס המופיע בחוק ה ו ק " בגלל"שים לב כי התנ ו עה מחזורית

,אילו הסימן בביטוי של הכוח היה במקום זאת חיובי

פתרו ן המשו ואה הדיפרנציאלית היה

,היא פונק ציה מתבדרת+) הסימן (הפונ ק ציה ה ע ולה אכספוננ ציאלית

.וב הכרח אינה מחזורית , שאינה תחומה באזור סגור

יורדת מונוטו נית) -הסימן (הפונ ק ציה היורדת אכספוננ ציאלית

. וגם היא אינה מחז ורית

. בשני המקרים הפונ קציה אינה משתנית מחזור ית

[ ] 1sec−=ω[ ] [ ] 1seccmAv −=ω=

[ ] [ ] 22 seccmAa −=ω=

( ) t2 Aetxxxa β±=→β+== &&


–תנוע ה הר מוני ת )ז(התד י רות וקבוע ה כ וח , קשר בין המ א סה

ייווצר , כאשר נציב את הפתרון המתנ ודד בתוך במשוואה הדיפרנציאלית

) k(וקבו ע הכ ו ח ) m(מאסה : קשר ה כרחי בין הפרמטרים הפיסיקליים הנת וני ם:של התנ ו ע ה המחז ורית) ω(לבין התדירו ת הז ו ו יתית

:תדירו ת התנ ודה הי א

:ו זמן המחזור

אנו רו אים שפתרון המשוו אה הדיפרנציאלית מספק לנו הן את צו רת

. ושניהם מגדירים את התנ ו עה, )גודל ה תדירו ת(הפונ ק ציה ו ה ן את הערך היסודי

m/k=ω

k/m2f/1T π==

mk

21

2f

π=

πω

=


R. Hook (1635-1703) vs. I. Newton (1643-1727)


תנאי התחלה במשוו אה ד יפר נ ציאלית.י תנאי ההתחלה"אלא ע, אינה נקבעת עדייןAהמשרעת

.לפתרון משוו אה דיפרנציאלית מסדר שני יש צו רך בשני תנאי התחלה

:ז והי דרישה כללית

. תנאי התחלהN - יש צ ורך ב Nלמשוו אה דיפרנציאלית מסדר

ולפתר ו נה דרו שים שני תנאי התחלה , משוואת התנ ו עה הי א מסדר שני

).למשל מהירות ה תחלתית ומקו ם התחלתי (

.אותה מערכת יכולה להתחיל במשרע ות שונ ו ת

,( ) לכל התנ ו ע ו ת של אותה מערכת יש תדירות משותפ ת

כדי להדביק , אבל זאת עם המשרע ת הגבו ה ה תצטרך לרוץ כל הזמן מהר יותר

.את זאת עם המשרעת ה נ מוכה

m/k=ω


תנאי התחלה ומכ סי מום :התאוצה וה מקום הרג עיים, הקשר בין המהירות

).v=0(המערכת נע צ רת , (x=A) למשרעת –בהגיע התנ וד ה לשיאה

למהירות של האוסצילטור ההרמו ני יש גודל מקסימאלי בנקו דת שיווי

):x=0(המשקל

שם הכו ח המחזיר מכסימלי , לתאוצ ה יש גודל מקסימאלי בקצ ו ת המסלול

:ו ערכ ה

, π/2הן בהפרשי פאזה של –אין להתבלבל בין ערכי התאוצה ו המהירות

.והה פך, הת אוצה מתאפסת כשהמהירות מכסימלית דהיינו

22 xAv −ω±=

Avmax ω=

Aa 2max ω=


)א( ) מטו טלת מתמ טית( מטו טלת פשו טה ) ז ו ו ית פרישה נמוכה(תנ וד ות של מטוטלת במשרעת קטנה

).בקרוב(המשקל הן תנו ע ה ה רמונית - סביב נקוד ת שו וי

.נז ניח את מאסת החבל ואת התארכות ו בגלל המאסה של הגו ף

,התנ ו ע ה מתרחשת על קשת מעגל ולא בקו ליניארי

. ולכן נתייחס לכוחות הרדיאליים ולכוחות ה משיקים


) ב() מטו טלת מתמ טית( מטו טלת פשו טה

Tהרכיב הרדיאלי של כוח הכובד מתאזן עם מתיחות החבל ):שגם היא כמובן רדיאלית (

:הרכיב המשיקי של כוח הכו בד הו א הכו ח המחזיר

. לכיוון של גידול ה ז ו ויתבניגוד סימן המינוס מראה שהכו ח פונה

: עבור זו וי ות קטנות קיים הקשר

).כאשר הז ו וית נמדדת ברדיאנים (

Tcosmg =θ

θ− sinmg

θ≈θ≈θ tgsin


)ג() מטו טלת מתמ טית( מטו טלת פשו טה

:ואז הכוח המחזיר הוא, xנקרא להיסט הליניארי של הגוף לאורך הקשת

. הו א אורך המטוטלתℓ כאשר

הכוח המחזיר יחסי להיסט עם הקבו ע

).מחזורית( ויש לו תבנ ית של תנ ודה הרמונית

:זמן המחזור ה וא

.>>ℓ xכל הדיון נכון אך ורק להיסטים קטנים של המטוטלת

.ויתכן אף שאינה מחזור ית, בהיסטים גדולים התנו ע ה אינה הרמונית

l

xmgmgsinmgF −=θ−≈θ−=

g2km2T lπ=π=

l/mgk =


)ד( ) מטו טלת מתמ טית( מטו טלת פשו טה הארך את אורך מוט המטוטלת, אם שעון המטוטלת שלך ממהר: ע צה

).זמן המחזו ר יתארך (

!).שלא לשבור את השע ון היקר, והכ ל בזהיר ות ( קצר אותו , אם הוא מפגר

גליליאו גליליי היה הראשון שחקר את תופ עת המטוטלת הפשוטה

).בהתבוננ ו בתנו ע ת מנורה משתלשל ת מתקרת הכנסייה (


)א( מטו טלת פשו טה ע ם חיכוך,יש להוסיף איבר נו סף למשו ואת התנו ע ה, אם על המערכת פועל כ וח חיכוך

).המנוגד כרגיל לכיוון התנ ו ע ה( המבטא את כוח החיכוך

ואז גודל ו יהיה, כ ניתן להניח שכוח החיכוך יחסי למהירות החלקיק"בד

מחזורית ודו עכ תהת נוד ה ת היה , אינו גבוהηאם מקדם החיכוך

).המשרע ת קטנה בכל מחזור (

,המערכת לא תשלים גם מחזור אחד, אבל אם מקדם החיכוך גדו ל דיו

המשקל - אלא תזחל אסימפטוטית אל נקו דת שו ו י

).תאר לע צ מך קפיץ הנע בתוך נו זל צמיג כמו דבש (

( )ϕ+ωηω=η−= tsin Av(t)f(t)


)ב( ד ע יכת התנועה–מטו טלת פשו טה ע ם חיכוך


) א(מתנ ד ים בטבע

, משקל בקירוב בתנו ע ה ה רמונית-אטומי מולקו לה מתנודדים סביב מצב שו וי

).למשל בטמפרטורה נמוכה(אם משרע ת התנ וד ה אינה גבוהה

ל אם נניח שקבו ע הכ ו ח הפועל בין שני אטומי מימן קרוב לקבו ע הכ ו ח הפוע

,בין שני אטומי חמצן

מתייחסות זאת O2 - וH2 הרי שתדירויו ת היסוד של תנוד ות המו לקו לו ת :לזאת כמו

:גודל ה זמנים ראינו-בטבלת סדרי

במציאות . ההבדל בין שני היחסים נובע בעיק ר משתי ההנחות הפ שטניות

התנ וד ה אינה לחלוטין הרמונית

קבו עי הכוחו ת אינם זהים

22 OH kk ≈

.4.1.16

mm

mk

mk

2

2

22

22

2

2

H

O

OO

HH

O

H ==≈=ω

ω

77.2s106.7s101.2

TT

15

14

H

O

O

H

2

2

2

2 =××

==ω

ω−

−


) ב(מתנ ד ים בטבע

,תנ ו ע ו ת רבות בטבע מתנהג ות בקירוב כתנ ו ע ו ת הרמוני ות

:המשקל-קרוב למצבי שווי , כ כאשר המשרעת קטנה" בד

,מודלים מסוימים של עירו רים אלקטרוניים•, תנו ע ו ת מולקולאריות•

,תנו ע ו ת מתונו ת של גשרים•, גאות ושפל בים•

, מטוטלות•, תנו ע ות מתו נ ות של בניינים גבוהים•

,תנו דות ק לות ש ל נו זל בתוך מיכל•, תנו דות ק לות ש ל מיתר•

, תנו דות ק לות במטענים חשמליים בין אלקטרודות•

, תנ ו ע ות מטען בתוך מוצק•, מגנטי-פוטונים כ ביטוי לשדה אלקטרו •

,שינויים בשדו ת חשמליים או מגנטיים בתו ך סריג•

שינויי שדות בתו ך פלאסמה•


)א( (Momentum) תנע ק וי:י המכפלה"מוגדר ע, vוהנ ע במהירות , mהתנ ע של גוף שמאסתו

.זה ו ג וד ל וקטו רי בכיוון המהירות

= של מערכ ת ג ופי ם התנע הכו לל

. ס כו ם וקטורי של תנ עי כ ל ג ו פי המערכ ת

vmp =


)ב( תנע קוי:הניסוח המקורי של ניוטון לחוק השני

):עבו ר מאסה קבוע ה(מניסוח זה ניתן לגזו ר את הקשר הפחות כללי

, בניסוחו המקורי ניוטון לקח בחשבון אפשרו ת שלא רק המהירות: שים לב

. אלא גם המאסה עשויה להשתנ ו ת בזמן

. לכן לא הו ציאה אל מחוץ לסימן ההפרש

( ) tFvm ∆=∆

amF =

( )vm∆


)א( (Torque) ) תקיפהאו(מתקף ∆t הפועל על גוף במשך פרק זמן F של כוח )תקיפה(המיתקף

: מוגדר כמכפלת הכוח במשך הזמן

.כיוו נ ו של וק טור המיתקף שוו ה לכיוון הכוח הפו על

.כך גדל המיתקף שלו, ככל שהכוח גדל וככ ל שגדל משך פעול תו

התחום בין העקומה " שטח" של כוח הפוע ל לאורך זמן שוו ה לJגודל ה מיתקף לבין ציר הז מן) כפונק ציה של הזמן(המתארת את גודל הכוח

).פני הזמן-דהיינו האינטגרל על (

:השינוי בתנע הג וף שו וה למיתקף הכו לל הפו על על הג ו ף במהלך פרק הזמן

tFJ ∆=∆

pJ total ∆=


) ב( שי מור ה ג ודל -מתקף



)ג( מ אסה משת נית–תנע קוי : לפי הקשרvבתנו ע ה רלאטיביסטית המאסה גדלה ע ם המהירות

) m0מאסת המנוחה.(

v<<cכאשר המהירות קטנה מאד ביחס למהירות ה אור .m=m0ערכ ו של המכנה ה ו א יחידה ואז מעשית

.בתנו ע ת רקטה מאסת הרק טה קטנה בגלל פליטת גזים

cgs :gr cm/secיחידת התנ ע במערכ ת .MKS :Kg M/sec במערכת

22

cv1

mm 0

−=


)א( עקרון שי מור התנ ע הק וי אם הכוח החיצ וני ה שק ול הפו על על כל המערכת סגורהמערכת גופים מכונה

.שו וה ל אפס

. התנ ע הכו לל של מערכת סגור ה ק בוע

התנ ע הכו לל אינו משתנה בגלל אינטראקציה בין גופי המערכת

).אינטראקציה פנימית (

.י דקארט"כלל זה נטבע ראשונה ע

,שבו, הכלל נגזר מן הניסוח המקורי של ניוטון לחוק הש ני

: ואז0F=נציב , בהעדר כוח חיצוני

( ) 0vm)p( 0F =∆=∆→=


)ב( עקרון שי מור התנ ע הק וי,m1, m2בהתנגש ו ת בין שני גו פים בעלי מאסות , בהעדר כוחות חיצוניים

u1, u2 ומהירויות סופיות v1, v2 מהירויו ת התחלתיות

):הוק טורי( קיים קשר השימור

:לב-שים

,בעדר כו ח ח י צוני התנע הכל ל י הוא שנשמר

!! !ולא המהיר וי ו ת

22112211 umumvmvm +=+


)ג( רקטה-עקרון שי מור התנ ע הק וי : עיקרון הפע ולה של רקטה

.הרקטה פולטת גז מתוך מפלט הפונ ה בניגוד לכיוון תנ ו עת ה

,הכוח הפו על על הג ז וג ורם לפליטתו החו צה מן הרקטה

.בתוך המערכת, הוא כוח פנימי

.ע ל הרקטה" תגובה"הג ז הנ פלט מפעיל כוח

,)הג ז הנ פלט+ רקטה (בגלל חוק שימור התנ ע של המערכת המשולבת

. כוח זה מאיץ את הרקטה בניגוד לכיוו ן פליטת הגז


)א( (Center of Mass ) מ רכז הכובד

מקומה של נקו דת מרכז המסה של מערכת חלקיקים-הק ואו רדינאטה

: מחושב כממוצ ע משוקלל לפי המאסות

כאשר המאסה הכללית של המערכ ת היא

.זה ו המקו ם שבו מרוכזת לכ אורה כל המאסה של המערכת

,אינו מעניין אות נ ו) או הקואור דינאטות הפנימיות(כאשר המבנה הפנימי

.ז את ניתן להתייחס לכוחות ה חיצו ניים כאילו הם פוע לים כול ם על נ קוד ה

M

rm

m

rm

....mmm....rmrmrmr j jj

j j

j jj

321

332211.m.c

∑∑∑

==+++

+++=

∑= j jmM


)ב ( מרכז הכובד

:מהירות מרכז המסה היא הנג זרת לפי הזמן של קואור דינאטת מרכז המסה

.זה ו הממוצ ע המשוק לל לפי המאסות של מהירויות חלקיקי המערכת

התנ ע הכו לל של מערכת גו פים מחושב עבו ר מאסה המרוכז ת במרכז הכ ו בד

:של המערכ ת

, החוק השני של ניוטון לגבי גוף שאינו נק ודתי ייכתב כאילו גוף שקול

:י"ותאוצ תו נת ו נה ע , מצוי במרכז הכובד, )M(שמאסתו היא סכום המאסות

M

vm

....mmm....vmvmvmrv j jj

321

332211.m.c.m.c

∑=

++++++

== &

.m.cvMp =

.m.cjext

j aMF =∑


)ג( מרכז הכובדבין שאר הישגיו , טבע) מרכז המאסה, כ"אח( מרכז הכובד -את המושג הז ה

ניתן לראות ). ס" לפנה212-ס" לפנה287(המדהימים ארכימדס איש סיראקו ז

.בארכימדס את המדען הראשון

מסובך ככל , מנקוד ו ת מבט רבות מרכז הכובד היא הנק וד ה שכל הגוף, ובכן

.מרוכז בה, שיהיה


)ד( פי ף פא ף–מרכז הכובד



אנר ג יה קינט י ת

הנעה במהירות שגו דל ה, m של מאסה Ekהאנרגיה הקינטית

= האנרגיה הקינטי ת

מחצי ת מ כפ ל ת ר בוע המהיר ו ת במ אסה

vv =

( )2z

2y

2x

2k vvvm

21vvm

21vm

21E ++=⋅≡=


)א( (Work) עב ודה

ידי כוח על גו ף מתבטאת בכך שפע ולת הכוח גורמת -עבו דה הנ עשית על

:של הג וף) הז ז ה(המכפלה הסקאלרית של הכוח ושל ההע ת ק להז ז ת הג וף ו היא

:העב וד ה היא

)קוסינו ס הז ווי ת שבין הכוח וה ה עת ק(×) גוד ל ההע תק(×)גודל הכוח(

: במילים אחרות

:העבודה היא

) . s∆(באורך המסלול ) Fcosθ(מכפלת השלכת הכוח על המסלול

( )s,F ;scosFsFW ∆=θ∆θ=∆⋅=


) ב( עבו ד המכאן שאם ווקטורי הכוח וה ה עת ק ניצבים זה לזה

.ולכן העבודה מתאפסת, השלכתם ה הדדית מתאפסת

s→0∆הגדרה זאת מתייחסת לפעולת ה כוח לאורך דרך קצרה מאד יש לבצ ע אינטגרציה של העב וד ה ) לא דיפרנציאלית( כאשר דנים בדרך סופית

:הדיפרנציאלית לאורך הדרך הסופית

לאורך המסלול ) s(כתבנו במפורש שהן הכוח והן ה זו וית תל ויים במקום )path.(

( ) 090coss,Fcos ==∆ o

( ) ( )∫ θ=path

dsscossFW


)ג( עבו ד ה,בפעול ת האינטגרציה מחלקים את המסלול לק טעים רבים מאוד

,כך שכל קטע הוא בקירוב ישר, כל אחד קטן לאין שע ור

.עם ז וית קבוע ה, והכ ו ח הפועל לאורכו ה ו א בקירוב קבו ע

.פני הקטעים ה קטנים-האינטגרל הו א סכום כל המכפלות על

Fcosθ גראפית האינטגרל הוא השטח התחום בין עקומת רכיב הכוח . וציר המסלול


)ד( עבו ד ה.ה ע בודה בטלה, אך אינו מזיז אותו, אם כוח פועל על גו ף

,אם תלחץ על קיר קבוע בלי להזיז ו שר יריך יתעייפו (

). אבל העב וד ה הפיסיקאלית שתבצ ע היא אפס

,)cosθ<0(אם כוח פועל על גו ף בניגוד לכיוו ן ההתקדמות

. עבודת הכו ח שלילית

. סכום ה עבו דו ת של כל הכו חות הפוע לים על ג וף: העב וד ה הכול לת


אנר ג יה -עקרון עבודה Work-Energy Principle

Wnet=mvf2/2-mvi

2/2

The change in the kinetic energy of an object is equal to the net work done on the object.


(Conservative Force) כוח משמ ר כוח משמר הוא כוח שעבו דתו בין שתי נק וד ות אינה תלויה במסלול התנ ו עה

).אלא רק בנקו דות ה מוצא והיעד(

.ע בוד ת כוח מ שמר לאורך מ ס לול סגור שווה לאפ ס

.כוח הו ק, סטאטי-כוח אלקטרו, גרו ויטאציה: דוגמאות לכו ח משמר

.חיכוך): מכלה(דוגמה לכוח בלתי משמר

תנ ו עה " יוצר "אבל אינו , החיכוך תמיד מתנגד לכיוון התנ ו ע ה

").בזבז ני"ולכן נקרא (


)א( אנר ג יה פ וטנציאלי ת.האנרגיה הפו טנציאלית היא תכונ ה אופיינית למקום שבו נמצא חלקיק

. ממנה נג זר ה כוח הפוע ל ע ל החלקיק באותה נק ודה

:F(x)נותנ ת את הכוח המשמר , U(x)הנג זרת של הפונק צי ה

dx)x(dU)x(F −=


)ב( אנר ג יה פ וטנציאלי תB והנק וד ה Aהפרש האנרגיות הפ ו טנציאליות בין הנקו דה

:B לנק וד ה Aכשהחלקיק נע מן הנקו דה , שוו ה לעבו דת הכוח

: דוגמאות

:אנרגיה פוטנציאלית של כו ח הכו בד

: אנרגיה פוטנציאלית אלסטית: דוגמה

BABA WUU →=−

BAB.GA.G mgymgyUU −=−

22B.spA.sp BA

kx21kx

21UU −=−


)ג( אנר ג יה פ וטנציאלי ת:ניתן לייחס אנרגיה פוטנציאלית רק לכוחות משמרים

,סטאטי-לכוח אלקטרו, יש אנרגיה פוטנציאלית אופיינית לגרו ויטאציה

.אין אנרגיה פוטנציאלית אופיינית לחיכוךאך , לכוח הוק בקפיץ

,אך לא האנרגיה הפוטנציאלית ע צמה, רק הפרש באנרגיה הפוטנציאלית

.ע רכי- מוגדר באופן חד

.היא שרירותית, שבה האנרגיה הפו טנציאלית מתאפסת, נק ודת הייחוס

. הבחירה נע שית לפי שקו לי נוחיות חישובית או קונ ספטואלית

:אזי, אם בוחרים את רמת האפס של האנרגיה במצב שבו הקפיץ רפוי

2/kxU 2sp =


)א(שי מור הא נר גי ה

.אנרגיה מכאנית היא סכום האנרגיה הקינטית וכל האנרגיות הפוטנציאליות

=העב וד ה הכול לת של הכוחו ת שאינם משמרים

: שינוי באנרגיה המכאנית הכו לל ת

:עיקר ון שימור האנרגיה המכאנית

האנרג יה , כאשר רק כ וח ות משמר י ם עובד י ם על ג ו ף

ל אור ך המסלו ל ) נשמרת (המכאני ת הכו לל ת קבועה

היכולת של מערכת : "משהו כמו (גם בלי להגדיר בצור ה עקב ית מהי אנרגיה

.אנרגיה של מערכת סגורה נשמרתאנו יודעים ש, ")לבצ ע עבו דה

EEE)ativenonconserv(W ABBA ∆=−=→


) ב( ש דה גרוו יטציה –שי מור הא נר גי ה

)שכבר נידון משק ולים קינמאטיים( ניתוח תנו ע ת הזרי קה האנכית

: יעשה כעת משיקולי שימור אנרגיה גרידא

. כלפי מעלהv0גוף נ זר ק אנכית במהירות ה תחלתית

: האנרגיה של הג וף בתחילת עלייתו היא קינטית בלבד

:בשיא הרו ם הג וף נ ע צר ו ה אנרגיה היא פוטנציאלית בלבד

)בהזנ חת החיכוך באוויר(חוק שימור האנרגיה

: משווה בין האנרגיה ההת חלתית והאנרגיה הסופית

:מכאן הביטוי הדרו ש לגובה המכסימאלי

mp mgyEE ==

g2/vy 20m =

2/mvEE 20k ==

m2

0 mgy2/mv =


יחיד ות אנר גי ה ע שרונ יות MKS:

1 Joule 1 היא העבודה ש ל כוח בן Newton 1 הנעשי ת לאורך דרך של m:

cgs:

1 erg 1 היא העבו דה של כו ח בן dyne 1 הנ עשית לאורך דרך של cm:

:הקשר בין שני הערכים הללו

22 sec/mKg1Joule1 ×=

22 sec/cmgr1erg1 ×=

erg10cm10dyne10m1N1J1 725 =×=×=


)א(יחיד ות אנר גי ה אחרות

: עוד יחידות אנרגיה

ו ולט-אלקטרון

:האנרגיה שמקבל אלקטרון בשדה חשמלי בעל מפל פוטנציאלים של וולט אחד

קלו ריה

:10C - מים ב1grהחום הדר וש להעל את

יחידה אטומית

:כפל האנרגיה של האלקטרון במצב היסוד של אטום המימן

erg 10 1.6021 eV 1 -12×=

erg 10 4.1840 cal 1 7×=

eV21.27erg103592.4au1 11 =×= −


) ב(יחיד ות אנר גי ה אחרות

: עוד יחידות אנרגיה

קלו וין

:10Kהאנרגיה הקינטית של חלקיק בטמפרטורה של

au = 3.1578×105 1: מכאן K.

105לכן יש צורך בטמפרטורה מסדר גודל ש ל Kכדי ליונן אטום מימן .

גראם

,האנרגיה הגל ו מה ביחידת משקל כשה ופכים אותה לאנרגיה

:E=mc2: לפי הקשר של איינשטיין

erg103804.1K1 16−×=o

J109876.8gr1 13×=


עבו ד ה בש דה גרוו יטציה

W1=mgsinθ×h/sin θ

W4=mgh

בהעדר חיכוך נע שית אותה עבו דה בדרכים השו נו ת


) א( לפי עקרון שימור האנרגיה–תנועה מעגלית שאינה קצ ובה . ללא חיכוךR המחליק על חישוק אנכי שרדיו סו mנתבונן בגוף שמאסתו

.נע ז וב את הגוף בגו בה כלשה ו ע ל החישו ק

משיקו לי שימור האנרגיה המכאנית הגו ף יגיע לתחתית החישו ק ויעל ה מעל ה

.עד ג ובה זה ה לגובה ההתחלתי

.vונע ניק לו מהירות ה תחלתית , כעת נ שים את הגו ף בתחתית החישו ק?לאיזה גובה ה וא יגיע


) ב( לפי עקרון שימור האנרגיה –תנועה מעגלית שאינה קצ ובה

:האנרגיה בראשית המסלול היא קינטית

:דהיינו תתאפס האנרגיה הקינטית שלו, ע ד שיעצ ורhהג וף יעל ה לגבה

: משימור האנרגיה מקבלים

:הז וית בין רדיוסו הסופי לבין הקו האופקי היא

2/mvE 20i =

mghEf =

)sin1(mgRmgh2/mv 20 α+==

1gR2

vsin2

0 −=α


)ג(לפי עקרון שימור האנרגיה –תנועה מעגלית שאינה קצ ובה

):בהעדר חיכוך(בכל רגע פו על ים על הג וף שני כוחות

הפונה תמיד מטהmg המשקל

).ניצ ב לרדיוס( מצד החישו ק הפונה ת מיד כלפי המרכז N כוח נורמלי

בכל רגע הרכיב השקול הפו נה אל המרכז מספק את התאוצה הרדיאלית

v2/R .

. אם יגיע הג וף לשיא החישוק יהיו המשקל והנ ו רמל על קו אחד במגמה מטה

: אז

. היא המהירות במכסימום הגובהvm כאשר

R/mvNmg 2m=+


)ד(לפי עקרון שימור האנרגיה –תנועה מעגלית שאינה קצ ובה

,ניתוק הג וף מן החישוק יחול כאשר הנור מל מתאפס

:ואז, כלומר אין מגע בין הגוף והחישו ק

:משיקו לי אנרגיה

: מכאן נקבל

שמתחת לה הג וף יע ז וב את החישו ק , כלומר הע רך המינימאלי של המהירות

:ול א ישלים את הסיבוב הוא, במכסימום הגוף

Rgv 2m =

R2mgmv21mv

21 2

m2

0 +=

Rg2Rg21v

21 2

0 +=

Rg5v0 =


התנ ג שות אלא סטי ת:התנג ש ות אלסטית היא זאת שבה האנרגיה הקינטית הכולל ת נשמרת

.כדורי ביליארד מתנהגים בקירוב באופן אלסטי

:נעביר אגפים ונכ נס

:נחלק משוואה זאת במשוו את שימור התנ ע בצ ורת ה

:נקבל

/2um/2um/2vm/2vm 222

211

222

211 +=+

( ) ( )22

222

21

211 uvmuvm −−=−

( ) ( )222111 uvmuvm −−=−

2211 uvuv +=+


)א( התנ ג שות פלא סטי תהתנג ש ות שבה האנרגיה הקינטית אינה נשמרת: אלסטית-התנג ש ות בלתי

).היא מומרת באנרגיה פנימית של הגופים המתנגשים (

, ואחריה, התנגשו ת שבה מסלולי התנ ו ע ה לפני ההתנ גשו ת: התנג ש ות מצ ח

.נמצאים על ישר אחד

.המקרה הכללי הוא תנו ע ה תלת ממדית; זה מקרה פרטי

היא התנגש ו ת שבסיומה לגופים אותה מהירותהתנג ש ות פלסטית

).נעים כגוף אחד (

: משוואת שימור התנ ע במקרה זה

. כאשר היא המאסה הכללית של המערכת

( ) UMUmmvmvm 212211 =+=+

21 mmM +=


)א(שיקולי אנר גי ה בה תנג שות פלא סטי ת

,נקדים את המאוחר ונאמר שבהתנ גשו ת ז את האנרגיה אינה נשמרת

. אלא רק התנ ע הכללי

: האנרגיה הקינטית של שני הג ופים לפני ההת נג שות

:לאחר ההת נג שות ש ני הגופים נצמדים וה אנרגיה הקינטית היא

:חוק שימור התנ ע קו בע

222

211k

i vm21vm

21E +=

/2Mu/2)umm(E 2221k

f ≡+=

( )ummvmvm 212211 +=+


) ב(שיקולי אנר גי ה בה תנג שות פלא סטי ת

:ומכאן מתקבלת המהירות המשותפת

:מכאן הבדל האנרגיות ה קינטיות הוא

):מינוס(אחרי פיתוח האיבר הראשון באגף ימין וחיסור נקבל פחת באנרגיה

Mvmvm

mmvmvm

u 2211

21

2211 +≡

++

=

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=−≡

222

211

22211

222

211

221k

ik

f

vm21vm

21

MvmvmM

21

vm21vm

21umm

21EE∆E

( )( )21

22121

2221

21212121

ki

kf

mmvvmm

21

Mvmmvmmvvm2m

21

EE∆E

+−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

=−≡


)ג(שיקולי אנר גי ה בה תנג שות פלא סטי ת

):המהירות היחסית(נגדיר את הפרש המהירויו ת ההת חלתיות

):reduced mass(ואת המאסה המוחזרת

:איבוד האנרגיה הוא

איבוד האנרגיה שו ו ה ערך לאנרגיה הקינטית של גוף שמאסתו זהה למאסה

. המהירות ה יחסית של שני הגופים-המוחזרת ומהירות ו

.המושג מאסה מוחזרת מופיע בחקירה של תנו ע ה הדדית של שני גו פים ויותר

, )המוחזרת( המערכת האקטואלית שקול ה למערכת שבה ישנה רק מאסה אחת

. והדינאמיקה שלה זהה לז את של האקטואלית

21 vvv −≡∆

21

21

21 mmmm

m1

m11

+=µ→+=

µ

2k

ik

f v21EEE ∆µ−=−≡∆


)א(חוקי קפלר

.סביב השמש) פלנטות(חוקי קפלר מתייחסים לתנו עת כ וכ בי לכת

) Johannes Kepler(מתוך אנאליזה של המדידות שער ך יוהאנס קפלר הוא מצא שהמסלולים המותו וים , )Tycho Brahe(בעקבו ת מורו טיכו בראהה

:מקיימים את החוקים הבאים) Orbits(י כו כבי הלכת "ע

.מסלול תנ ו עת ו ש ל כל כוכב לכת הוא אליפסה: החוק הראשון

.השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה


) ב(חוקי קפלר

:החוק השני

.שטחים שוו ים בזמנים שו וים" מכסה"הקו המחבר את השמש עם כ וכ ב לכת


)ג(חוקי קפלר

:החוק השלישי

ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת פרופו ר צ יוני לחזק ה ה שלישית של הרדיוס

3:מסלולו הממוצ ע

2

12

2

1

RR

TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


)ד(חוקי קפלר


The Solar Planets

http://pds.jpl.nasa.gov/planets

http://www.nineplanets.org


)א() ג רוויטאציה(כבי ד ה

נתונ ים אסטרונומיים ועו בדות ראשוניו ת

:תו צאו ת תצפ יות בכוכבי הלכת

).טיכו בראהה(צדק ו שבתאי , מאדים, נוגה, חמה

.תיאור תנ ו עת כוכבי הלכת באמצע ות ש לוש ת חוקי קפלר

.9.81m/sec2תאוצת גופים המשוחררים בקרבת הארץ היא

.10-2m/sec2×2.7תאוצת גופים בקרבת הירח היא

.תופ עת הגיאות והש פל


) ב() ג רוויטאציה(כבי ד ה

,בין כל שני חלקיקים ביקום פוע ל כוח משיכה גרו ויטאציוני

: שהתבנית המתמטית שלו

G -ו, הוא המרחק ביניהןr, הן שתי המאסות באינטראקציהm1,m2 כאשר :קבו ע הגר ו ויטאציה הע ול מי

תיאורית הגר ו ויטאציה מצליחה להסביר את כל הע ובדות הר אשוניו ת

.הרש ומות ל עיל

221

rmmGF =

2211 kg/mNewton10670.6G ××= −


)ג() ג רוויטאציה(כבי ד ה

ניבויי התיאוריה של ניוטון

.אף אם הם קטנים, כוח משיכה פועל בין כל שני גופים.) 1

.המשפיע על מסלול תנ ו עת ו של אוראנוס, יש כוכב לכת שטרם נתג לה.) 2

–יש אפשרו ת עקר ונית ל שגר לו וין .) 3

).אייזיק ניוטון(סביב הארץ ) או אליפטי( גוף במסלול מעגלי


)ד() ג רוויטאציה(כבי ד ה

תוצ אות בחינת הניבויים

.קבנדיש מגלה שאכן פועל כוח כבידה בין גופים בעלי ממדים רגילים

.גלה מגלה את כוכב הלכת נפטון שמשפיע על מסלולו של אוראנוס

.אלפי לו וינים מלאכותיים מקיפים כיום את הארץ

אזי הגרו וי טאציה מספקת את הכוח , אם מסלול הל ו ויין הוא מעגלי

:ומתקיימת המשו ואה, הצ נטריפטלי

:ומכאן הקשר בין המהירות במסלול המעגלי לבין הרדיוס

rvm

rGMm 2

2 =

r/GMv2 =


)א(תאוצת הנפיל ה החופשי ת

ע ו צמת שדה הכבידה של גרם שמיים בנקוד ה מסוימת היא הכוח הפו על על

ממאסה אחרת המפעילה עליה את rהמוצב ת בנקו דה המרוחקת , יחידת מסה:הכוח

עלינ ו לה ציב את רדיוס כדור , כאשר אנו דנים בתאו צת הנ פילה על פני הארץ

:הארץ

תאוצת הנפילה החופשית משתנה ממקום למקו ם ע ל פני הארץ בגלל שלוש

:סיבות

.הארץ אינה הומו גנית במבנה הפנימי שלה) א

.אלא פחוסה, הארץ אינה כדורית) ב

).פני הכבידה-נוספים עוד כ ו חות ע ל(הארץ סובבת על צירה ) ג

km104.6rr 3Earth ×≈=

2g

rGM

mF

*g ==


) ב(תאוצת הנפיל ה החופשי ת

.משמר) קבו צ ת כל עו צמות שדו ת הכבידה בכל נק וד ות המרחב(שדה ה כבידה

. לכן ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית של כבידה

כפי שהכ וח הוא המפל של האנרגיה פוטנציאלית

,)הנגזרת לפי קואורדינת המקום , קצ ב שינוי במקו ם (

.י אינטגרציה של הכוח" הרי שהאנרגיה פוטנציאלית מצד ה מתקבלת ע

):קפיץ בתחום שחל בו חוק הוק (ראינו שעב ור קפיץ אלסטי

←

kxF −=

dx)x(dU)x(F −=2

x

0psp kx

21dx)x(F)x(EU =−== ∫


)א( אנר ג יה פ וטנציאלי ת גר וויטאציונית

,באות ו אופן שביטאנו את האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ

M בשדה מאסה m הפרש האנרגיה הפוטנציאלית של כבידת מאסה ) 1r(ידי אינטגרל כוח הכבידה לאורך הדרך מנקוד ה התחלתית - מבוטא על

):r2( לנקו דה הסופית

מנק ודה התחלתית mאו בהביאנו את המאסה , בשינוי שמות נקוד ו ת הק צ ה)r0 ( לנקוד ה כלשהי)r (נקבל:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

===−≡ ∫∫

2112

r

r2

r2

r1p2p

r2

r

r1

r1GMm

rGMm

rGMm

drr

GMmf(r)dr-)(rE)(rEG2

111

U

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−≡

r1

r1GMm)r(E)r(EG0

0pp

r

rU

0


) ב( אנר ג יה פ וטנציאלי ת גר וויטאציונית

ובלבד שנהייה עקב יים (היא נקוד ה שרירותית ) r0(הנק וד ה התחלתית מכיוון שבמרחק אינסופי האנרגיה הפוטנציאלית וכן ). בבחירתה בבעיה הנ דונ ה

.נוח לבחור את נקודת הי יחוס שם, כוח הכבידה מתאפסים

הנה כי כן הפונ ק ציה של האנרגיה הפוטנציאלית

בהביאנו אותה ממרחק אינסופי אל mהיא העבו דה הנ עשית על המאסה .M ממרכז המאסה rהמרחק

rGMmdr

rGMmdr)r(f-G

r

2

rr

U −=== ∫∫∞∞

∞

r/GMm−


)ג(אנר ג יה פ וטנציאלי ת גר וויטאציונית

: מורכבת משני הגור מיםrהאנרגיה של לו ויין במסלול מעגל י שרדיוסו

:האנרגיה הקינטית

).נוב ע מן השו ויון שבין הכוח הגרו ויטאציוני וה כוח הצנטריפטלי(

:האנרגיה הפו טנציאלית

:האנרגיה הכול לת

:אנו רו אים שבין האנרגיות קיים הקשר

:אופייני לכל כוח התלוי במרחק לפי) Virial Law(הקשר הז ה

האנרגיות של חוק הו ק מקיימות

r2GMm

2mvE

2

k ==

rGMmUE Gp −==

r2GMmUEE Gk −=+=

2/EEE pk =−=

2r/1)r(f ∝

E21EE pk ==


גרווי טאציה וא ינרציה ) :אינרציה(שהיא הגוד ל היסודי המודד התמדה , כוח המשיכה יחסי למאסה

"כמה קשה ל החזיק גוף ה נ ע סביב במעגל"

"כמה קשה להסיט גוף ממסלול ישר"או

הנעים סביב מרכז גר ו ו יטאציוני משותף ברדיוס זהה - כבד וקל -שני גו פים

,יישארו יחדיו במחוגם, ובאותה מהירות

. כיוון שכדי לנו ע במעגל נד רש כו ח חזק יותר ע בור הג וף הכבד

,אכן הכוח הגרו ויטאציוני חזק עבור הגוף הכבד בדיוק ביחס הנכ ון

. כך ששני הג ופים ינוע ו יחדיו

.המאסות והמשקלים יחסיים זה ל זה באותה מידה עבו ר כל הגופים

.10-9 בניסוי נמצא היחס זהה עד כדי השגיאה הנמוכה של


גרווי טאציה ליד פני כ דור הא רץ פני כדור הארץ בביטוי-מתי מותר להשתמש עבור האנרגיה הכבידתית על

?ולא בביטוי הכללי יותר ,

דהיינו שני המקומות קרו בים : כך ש, r2 - לr1 -אם נלך מ:אז ניתן לפתח את ההפרש לפי, זה ל זה ביחס למרחקים שלהם ממרכז הארץ

הש ו ויון -ובהסתמך על תנאי אי, r2 - ו r1במכנה ישנם שני מרחקים

נקבל ביטוי , r=rEבקרבת פני כדור הארץ . r2≈r1r2ניקח את הגו ד ל הממו צ ע :מוכר

mghUG =GMm/rUG −=

2112 r,rrrh <<−=

hrr

GMmrrrrGMm

r1

r1GMm

rGMm

rGMmUU

1212

21

12121G2G ≈

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

2112 r,rrr <<−

mghhr

GMmUU 2E

1G2G ≡=−


מהי ר ות המילוטהמהירות המינימאלית שיש להעני ק לגוף ): Escape Velocity(מהירות המילוט

.כדי שימלט מכוח המשיכה של גרם השמיים

במהירות הגבו לית ) אנרגיה פוטנציאלית מתאפסת(הג וף יגיע למרחק אינסופי

).ומכאן שהאנרגיה הכללית מתאפסת, אנרגיה קינטית מתאפסת(אפס

על פני (מחוק שימור האנרגיה נייחס אנרגיה אפס לגוף גם בתחילת תנ ו עת ו

:M ממרכז ו של גרם שמיים שמאסתו rאם הג וף נ מצא במרחק ). הגרם השמימי

:ומכאן מהירות המילוט

rGmM

2mv0E

2e −==

sec/km.11~r/GM2ve =


)א(אנר ג יה פ וטנציאלי ת ומושג הפוט נציאל

,M מן הגוף שמאסתו r במרחק mאנרגיה פוטנציאלית של גוף בעל מאסה :י"נתונ ה ע, )reference( ובהתייחס אל האינסוף כאל נקוד ת הייחוס

Mזאת גם האנרגיה של הגוף שמאסתו , בגלל הסימטריה של הביטוי.m מן החלקיק שמאסתו r במרחק

:נכתוב , mהחלקיק בעל מאסה " מרגיש"בהתייחסנו למה ש

:כאן מוגדר הפוטנציאל

)r(m)r

GM(mr

GMm)r(U Φ=−=−=

rGM)r( −≡Φ

GMm/r−


)ב(אנר ג יה פ וטנציאלי ת ומושג הפוט נציאל

,M אופיינית למרחב סביב המאסה rפונק צי ה זאת של הנקוד ה .m אבל אינה תלויה בגודל המאסה

היאM בשדה של חלקיק mהאנרגיה הפו טנציאלית של חלקיק

. מכפלת המאסה בפוטנציאל

:הפוטנציאל יהיה, "מקורות גר ו ו יטאציה"י מספר "אם השדה נו צר ע

∑ −−=Φ

i i

i

rrMG)r(


)ג(אנר ג יה פ וטנציאלי ת ומושג הפוט נציאל

.כאן כבר כתבנו את המקום בצו רת ו ה וקטורית

; מכפלת המאסה בפונק צי ת הפו טנציאל הכללי היא האנרגיה הפוטנציאלית

.הפוטנציאל הוא האנרגיה הפו טנציאלית של מאסת יחידה, או לחילופין

,לכאורה הדיו ן נראה מעגלי

, אבל קיימת האפשרות ש ל חקירת השדה הגר ו ויטאציוני

.Φ(r)אלא מתוך דיון במבנה של הפונ קציה , ללא נוכחות מאסת הבוחן

את כוחו הרב של מושג הפוטנציאל אנו מכירים דו וקא בתחום של האנרגיה

).הקול ומבי(בשדה החשמלי

]:יחידת הפוטנציאל ] [ ][ ]

2velocitymass

energymE)r( ===Φ


)א( אנ לוגי ה -גרווי טאציה וחשמל

התבנית המתמטית של חוק הגר ו ויטאציה זה ה לתבנית המתמטית של חוק

:האינטראקציה החשמלית בין שני מטענים חשמליים

.1Coulombיחידת מטען חשמלי הגודל

, הוא המרחק ביניהםr, הם שנ י המטענים באינטראקציהq1,q2כאשר

):Coulombקבוע ( קבוע כוח החשמלי K - ו

221 r/qKqF −=

229 C/mNewton10.9K ××=


) ב( אנ לוגי ה -גרווי טאציה וחשמל

.והכוח הגרו ויטאציוני הו א תמיד כוח משיכה, מאסה היא תמיד גודל חיובי

.לע ומת זאת מטענים חשמליים יכולים להיות חיוביים או שליליים

,מושך אם המטענים ה פוכי סימן) הכוח הקול ו מבי(הכוח החשמלי : לכן

. ודוחה אם הם ז הי סימן


)ג( אנ לוגי ה -גרווי טאציה וחשמל

מידה על ה ע ו צמה היחסית של הכוחו ת-כדי לקבל אמת

,) גרו ויטאציה וחשמל-שלעת עת ה מובנים כנו בעים ממקורות ש ונ ים (

: נשו ו ה את ע צמתם עבו ר שני אלקטרונים

,)r-2(כיון ששני הכוחות יורדים עם המרחק בדיוק באותה חזקה

: נקבל בכל מרחק את היחס

הוא הסבה שבדיון רגיל בתור ה ) הכוח הגרו וי טאציוני" לר עת ("יחס אדיר זה

.אין הכוחו ת הגר ו ויטאציוניים נכנסים בחשבון, האטומית או המולק ולארית

.החוק הויריאלי שנידון למעל ה חל כמובן גם על הכוח החשמלי

Kg1010939.9m 31e

−×=Ce 191060218.1 −×=

422

2e

e

G

1017.41

KeGm

FF

×≈=


בעי י ת החרוז על ה חישוק:4' שאלה מס

.R=10cmחרוז מחליק ללא חיכוך על חישוק מעגלי דק שרדיוסו

החישוק מסתובב במישור האנכי סביב קוטרו האנכי בקצב ק בוע

.f=2sec-1של שני סיבובים בשניה

? שבה נמצא החרו ז בשיווי משקל אנכיθמהי הז ו וית ) א

? הייתכן שהחרוז יעלה לגובה ש ל מרכז החישוק) ב

לאיזה גובה יעלה החרוז אם החישוק יסתובב בקצב של סיבוב אחד בשניה) ג

f=1sec-1 ?הסבר!


)א(אנר ג יה פ וטנציאלי ת ופוטנציאל חשמ ליים

,ניכפי שהגדרנ ו אנרגיה פוטנציאלית גרו ויטאציונית ופו טנציאל גרו ויטאציו

. נוכל להגדירם בהתאמה לתחום הק ול ו מבי

)ביחס לאנרגיה במרחק אינסופי( האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית

:י"נת ונה ע, rהרחוק ים זה מזה , Q בשדה של מטען q של מטען

הפוטנציאל החשמלי הוא האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק בעל מטען

.חשמלי בן יחידה

qV(r)(r)qΦ)r

KQq(r

KQq(r)U EE ≡===


) ב(אנר ג יה פ וטנציאלי ת ופוטנציאל חשמ ליים

:שים לב

הסימן של הביטוי לאנרגיה החשמלית הפוך פורמאלית לזה של האנרגיה , גרו ויטאציוניים" מטענים"יען כי בניגוד למשיכה הקיימת בין , הגר ו ויטאציונית

.בין מטענים חשמליים שו וי סימן קיימת דחייה, שהם תמיד שו וי סימן

.בין מטענים חשמליים הפוכי סימן, משיכה קיימת לעומת זאת

,כמו בתחום הגר ו ויטאציוני, גם בתחום החשמלי

, נוכל להתייחס לפוטנציאל כאל גודל פיסיקלי בלתי תלוי במטען הבוחן

. ולחקור את תכונ ותי ו הגיאומטריות למשל


יחי דת הפוט נציאל החשמל י-וולט הנקראת על שם החוקר האיטלקי אלכסנדר , יחידת הפוטנציאל החשמלי

:י"מוגדר ת ע, ו ולטה

: היאV בפוטנציאל q של מטען Eהאנרגיה

,Volt - וה פוטנציאל בCoulomb -אם המטען מוגדר ב

.Joule -האנרגיה מוגדרת ב

[ ] [ ] [ ][ ] V 1Volt 1

Coulomb 1Joule 1

chargeenergy

qE)rV()r(ΦE ≡≡===≡

qVE =


זרם חשמ לי:זרם חשמלי מוגדר כק צב מעבר מטען חשמלי

יחידת הזר ם נ קראת על שם החוקר הצר פתי אנדרי מארי אמפר

) André Marie Ampère:(

dtdqi =

s 1C 1

sec 1Coulomb 1 A1 Ampere1 ==≡


מתח

או מפל פוטנציאלים, מתח חשמלי

: מוגדר כהפרש הפוטנציאלים החשמליים בין שתי נקוד ו ת

V1,2=V2-V1

מטען בין שתי הנקו דות " חש"המתח הוא קנה מידה להפרש האנרגיות ש

.הנד ונ ו ת

המתח גור ם למטען לנו ע מן הנקו דה שבה האנרגיה גבוהה יותר ל ז את שבה

.האנרגיה נמוכה יותר


מתח, זרם חשמ לי


)א(חוק אוה ם

.י הפרש הפוטנציאלים"יקבע ע ) הזר ם החשמלי(קצב ה תנ ו עה

נניח מספר לא גדו ל של (בקרוב שבו ההפרש וה ק צב אינם גבוהים

החוקר הגר מני גיאורג סימון אוהם קבע שהיחס הוא , )MKSיחידות :ליניארי

: נכתוב זאת בדרך

י שדה "מגדיר את הזרם החשמלי הנ ו צר ע, מוליכות הנק רא µהג ודל .חשמלי במתח בן יחידה

:אנו מכירים את החוק בצור תו ה ה פכית

).הופכית למוליכות(היא ההתנגד ו ת החשמלית ) R) resistance כאשר

Vi∝

Vi µ=

RiV ×=


) ב(חוק אוה ם

: יחידת ההת נג דות

[ ] [ ][ ] Ω 1Ohm 1

chargetimeenergy

echarge/timrgeenergy/cha

Ampere1Volt 1

iVR 2 ≡≡

×====


(phenomenological) )א( חוק תופעתי כלומר קשר נכון בנסיבות , )פנומנול ו גי(חוק אוהם ה ו א חוק תופ עת י

. המוסק מתוך מדידות, מסוימות

.אין זה חוק יסודי ברמה של חוקי ניוטון למשל

,a=mFאם כי כבר ציינו שגם ה חוק השני של ניוטון בצור תו (). נכון רק עבו ר מהירויו ת נמוכות ביחס למהירות האור

. חוק ניוטון בצו רת ו המקו רית נכון תמיד ( ) tFvm ∆=∆


(phenomenological) )ב( חוק תופעת י –הליניאריות של היחס בין כוח לבין תו צ את פעולת ו

, זרם מטען חשמלי, דחיסה, עו ו ת( כלומר השפעת ה כוח על החומר

:כלל-היא קירוב המוצדק בדרך) זרימת חומר, זרימת חום

)לפי קריטריונים רלבנטיים לכל בעיה בנפרד( כשהכוח חלש

כשההפרע ו ת שהכוח יוצ ר הן קטנות

: וכבר ראינו זאת

F=-kx בצורה של חוק הו ק f=µN בביטוי לחיכוך המתכו נתי לכוח הנ ורמאלי

כוח החיכוך מתכונ תי לחזקה הר אשונה ( בביטוי לחיכוך בתווך צמיג

f=ηv) של המהירותV=Riכעת אנו נת ק לים בליניאריות של חוק אוהם


)א(התנ ג דות כחיכ וך

ואכן אל ההת נגד ות החשמלית ניתן להתייחס בדומה כאל חיכוך הפוע ל

.על נ וש אי המטען בתוך החומר

:תו צאת ההתנ גדו ת ה יא בדומה לתו צאה של פעולת כ ו ח החיכוך

.של אנרגיה" בזבו ז "דהיינו , יצירת חום בתווך

. שאילולי כן העברת הזר ם החשמלי בקו וי החשמל הייתה חלקה יותר

i שזו רם בו זרם Rהביטוי לחום המתפתח במוליך בעל הת נגד ות .iV=i2R: יחסי לגודל

,ע ולה החום המתפתח במערכ ת, ככל שגד ול ה ההת נגד ות

. בדומה למה שקו רה ככל שגדל מקדם החיכוך


)ב(התנ ג דות כחיכ וך

. הסיבות המיקרוסק ופיות לקיום ההת נג דות ל מעבר זרם חשמלי מגו ונ ות

.די אם נגיד שכל חומר שבו ע ובר זרם חשמלי אינו תו וך אידיאלי

:בחוט חשמל הסריג המתכתי אינו סריג גיאומטרי אידיאלי

,)הנוב ע מקיום אטומים זרים למתכת העיקרי ת" לכלוך(" יש בו אילוחים

,סדירויו ת גיאומטריות בסריג- ישנן אי

. ישנן תנ וד ות ההולכ ות ומתגברו ת עם עליית הטמפרטורה

של נושאי המטען" חלקה" כל אלה מפריעים לתנ ו עה

). במקרה ש ל מתכת אלה הם האלקטרונים (


)ג(התנ ג דות כחיכ וך

, בסריג הבנוי בקפדנות, )מספר מעלות קלו וין(בטמפרטורות נמוכות מאד

, יתכנו מצבים בהם ההתנ גדו ת יורדת לרמות כה קטנו ת

. כך שה זרם החשמלי אינו דועך כמעט

).super conductivity (תופע ת על מוליכותז והי

,ר האתגר המדעי הג דול ה ו א במציאת על מוליכים בטמפרטורות גבוה ות יות

. כמו טמפרטורת החדר

,בין מרכיבי התמיסה" לא רצויו ת"בתמיסה יונית ישנן התנג שויו ת

, היונים-ש ל נושאי המטען " חלקה" המפריעים לתנ ו ע ה

. ויו צ רים התנגד ו ת למעבר הזרם החשמלי

הע לאת הטמפרטורה דו וק א מגדילה , בניגוד למתכת מוליכה, בתמיסה יונית

.את המוביליות של נושאי המטען


)ד(התנ ג דות כחיכ וך

ביטוי כמותי להתנ ג דות בתוך מתכת מתקבל כאנלוג יה לזרימת נוז ל

:בתוך צינור

,שטף הזרימה קטן, ככל שה צינור צ ר

.השטף גדל, ככל שה צינור רחב

במקרה ז ה ההש פעה ה יחסית של המערב ול תיות ה נוב עת מן החיכוך (

).בדפנות הצינ ור פוחתת

ככל שהצינ ור ארוך יותר ה נ ו זל הש וטף נתקל ביותר הפרע ה לז רימתו

.החופשית


)ה(התנ ג דות כחיכ וך

:ההת נג דות הי א

היא ההתנגד ו ת ρ -ו, הוא חתך הרוחבA, הוא אורך הצינ ורℓכאשר :הסגולית המבוטאת ביחידות

.לדרך הפקת ה ולטמפרטורה, ההת נג דות ה סגולית אופיינית לכל מתכת

AR l

ρ=

[ ] cmOhmAR ×=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=ρ

l

Physics Introduction

Documents

t t israel schek

b israel schek

newton israel schek

z israel schek

hewitt israel schek

sin israel schek

dyne israel schek

km3 israel schek