Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 - MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác -------------------------- 32 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương --------- 106 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112 I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125
Tác giả: Lê Văn Đoàn. Tài liệu LTDH. Phân loại bài tập có lời giải.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 -
MỤC LỤC Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác -------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ----------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương --------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------- 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122 Bài tập rèn luyện ----------------------------------------------------------------------------------------- 125
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM V ỮNG
���
���� Công thức cơ bản
● 2 2sin x cos x 1+ = ● tan x.cotx 1= ● sin x
tan xcos x
=
● cos x
cotxsin x
= ● os
2
2
11 tan x
c x+ = ● 2
2
11 cot x
sin x+ =
���� Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
● sin2x 2sin x.cos x= ● 2 2
2 2
cos x sin xcos2x
2cos x 1 1 2 sin x
−= − = −
● os2 1 c 2x
sin x2
−= ●
osos2
1 c 2xc x
2
+=
● 3sin 3x 3 sin x 4 sin x= − ● 3cos 3x 4 cos x 3cos x= −
���� Công thức cộng cung
● ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ± ● ( )osc a b cosa.cosb sina.sin b± = ∓
● ( )tana tanb
tan a b1 tana.tanb
++ =
− ● ( )
tana tan btan a b
1 tana.tanb
−− =
+
● π 1 tan x
tan x4 1 tan x
+ + = − ●
π 1 tan xtan x
4 1 tan x
− − = +
���� Công thức biến đổi tổng thành tích
● a b a b
cosa cosb 2cos .cos2 2
+ −+ = ●
a b a bcosa cosb 2sin .sin
2 2
+ −− = −
● a b a b
sina sin b 2sin .cos2 2
+ −+ = ●
a b a bsina sin b 2cos .sin
2 2
+ −− =
● ( )sin a b
tana tanbcosa.cosb
++ = ●
( )sin a btana tanb
cosa.cosb
−− =
���� Công thức biến đổi tích thành tổng
● ( ) ( )cos a b cos a b
cosa.cosb2
+ + −= ●
( ) ( )sin a b sin a bsin a.cosb
2
+ + −=
● ( ) ( )cos a b cos a b
sin a.sin b2
− − +=
���� Một số công thức thông dụng khác
● π π
sinx cosx 2 sin x 2cos x4 4
+ = + = − ●
π πsinx cosx 2 sin x 2cos x
4 4
− = − = +
● 4 4 21 cos4xcos x sin x 1 s
3 1in 2x
2 4
++ = − = ● 6 6 23 cos4x
cos x sin x 1 s5 3
in 2x4 8
++ = − =
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 3 -
���� Một số lưu ý:
Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x
cos x
= α = α
là: 1 1− ≤ α ≤ .
Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k2
π≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ .
Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ .
Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k2
π≠ ∈ ℤ .
Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm. Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác �AM có
số đo là k2
n
πα +
00 k.360
hay an
+ với k ,n +∈ ∈ℤ ℕ thì có n điểm M trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ �AM k23
π= + π thì có một điểm M tại vị trí
3
π (ta chọn k 0= ).
Ví dụ 2: Nếu sđ �AM k6
π= + π thì có 2 điểm M tại vị trí
6
πvà 7
6
π (ta chọn k 0,k 1= = ).
Ví dụ 3: Nếu sđ �2
AM k.4 3
π π= + thì có 3 điểm M tại các vị trí
11;4 12
π πvà 19
12
π, ( )k 0;1;2= .
Ví dụ 4: Nếu sđ �k2
AM k.4 2 4 4
π π π π= + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí
4
π,3
4
π, 5
4
π;7
4
π
(ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k6
π= − + π và x k
3
π= + π
Biểu diễn cung x k6
π= − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π− và
5
6
π
Biểu diễn cung x k3
π= + π trên đường tròn thì có
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 4 - www.DeThiThuDaiHoc.com
2 điểm tại các vị trí: 3
π và
4
3
π.
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là: x k3 2
π π= +
Đối với phương trình
2
2
1 1cos x cos x
2 21 1
sin x sin x2 2
= = ±
⇔ = = ±
ta không nên giải
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
2 2
22
1cos x 2cos x 1 0 cos2x 0
21 cos2x 02sin x 1 0
sin x2
= − = = ⇔ ⇔ =− = =
. Tương tự đối với phương trình
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1cos x 1
= = ± ⇔ = ±=
ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
2 2sin x cos x 1+ = . Lúc đó: 2 2
2 2
sin x 1 cos x 0 cos x 0
sin x 0cos x 1 sin x 0
= = = ⇔ ⇔ == =
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( )cos cos−α = α , còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan−α = − α −α = − α −α = − α
Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( )sin sinπ − α = α , còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tanπ − α = − α π − α = − α π − α = − α
Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là:
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan2 2 2 2
π π π π − α = α − α = α − α = α − α = α
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v= Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v= , vậy còn phương trình sin u cos v= thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v2
π = ⇔ = −
( ) u v k2 u v k2 , k2 2
π π= − + π ∨ = + + π ∈ ℤ .
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2
sin x cos x3
π = −
π/3 5π/6
4π/3
–π/6
O
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 5 -
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
Một số cung góc hay dùng khác:
( )( )
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x
+ π = + π =
và ( )( )
( ) sin x k2 sin x
kcos x k2 cos x
+ π + π = − ∈ + π + π = −
ℤ .
A – PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
���� Dạng: u v k2
sin u sin vu v k2
= + π= ⇔ = π − + π
Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k22
sin x 1 x k22
= ⇒ = π π = ⇒ = + π π = − ⇒ = − + π
���� Dạng: u v k2
cosu cos vu v k2
= + π= ⇔ = − + π
Đặc biệt:
cos x 0 x k2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
π = ⇒ = + π = ⇒ = π = − ⇒ = π + π
���� Dạng: tanu tan v u v k
Ðk : u,v k2
= ⇔ = + π
π≠ + π
Đặc biệt: tan x 0 x k
tan x 1 x k4
= ⇔ = π π = ± ⇔ = ± + π
���� Dạng: cotu cotv u v k
Ðk : u,v k
= ⇔ = + π
≠ π Đặc biệt:
cotx 0 x k2
cotx 1 x k4
π = ⇔ = + π π = ± ⇔ = ± + π
BÀI T ẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈
Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗
Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗
Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗
Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7
4 sin xsin x 43
sin x2
π + = − ∗ π −
Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π + = + − ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 6 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 4
4sin 2x cos 2xcos 4x
tan x tan x4 4
+= ∗
π π − +
Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x
sin sin 110 2 2 10 2
π π − = +
Bài 10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin2x sin x 14 4
π π − = +
Bài 11. ( ) 38 cos x cos 3x 13
π + =
Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 14
π + =
Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 14
π − =
Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗
Bài 15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x
2+ + = ∗ .
Bài 16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗ .
Bài 17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗
Bài 18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình: ( )sin 2 25x 9xcos 3x sin7x 2 2cos
4 2 2
π + = + − ∗
Bài 20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + ∗
Bài 21. Giải phương trình: ( ) 22sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗
Bài 22. Giải phương trình: ( ) sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗
Bài 23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗
Bài 24. Giải phương trình: ( ) 2 3cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗
Bài 25. Giải phương trình: ( ) 3 3 24 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 22sin x 1 3cos 4x 2sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗
Bài 28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4+ = + + ∗
Bài 29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗
Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗
Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 7 -
Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1
cos x cos2x cos 4x cos 8x16
= ∗
Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1
0tan x 3
+ − −= ∗
+
Bài 36. Giải phương trình: ( ) 2
1 sin2x cos2x2 sin x sin2x
1 cot x
+ += ∗
+
Bài 37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cotx 2 sin2x cos2x+ = + ∗
Bài 38. Giải phương trình: ( ) 2tan x tan x tan 3x 2− = ∗
Bài 39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11tan x cot x cot 2x
3+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x xsin tan x cos 0
2 4 2
π − − = ∗
Bài 41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2sin2x cotx tan2x 4 cos x+ = ∗
Bài 42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2cot x tan x
16 1 cos 4xcos2x
−= + ∗
Bài 43. Giải phương trình: ( ) 1
2 tan x cot2x 2 sin2x2sin2x
+ = + ∗
Bài 44. Giải phương trình: ( )
( ) ( ) 3 sin x tan x
2 1 cos x 0tan x sin x
+− + = ∗
−
Bài 45. Giải phương trình: ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
2 21 cos x 1 cos x 1
tan x sin x 1 sin x tan x24 1 sin x
− + +− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan5x sin7x= ∗
Bài 47. Giải phương trình: ( ) 1 1
sin2x sin x 2cotx2 sin x sin2x
+ − − = ∗
Bài 48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4sin x cos x 1
tan x cot2xsin2x 2
+= + ∗
Bài 49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗
Bài 50. Giải phương trình: ( ) x
cotx sin x 1 tan x tan 42
+ + = ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 8 - www.DeThiThuDaiHoc.com
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
������������
Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x,2x,3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x,2x,3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x ".
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )3 2 3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =
( )( )( )
( )
2cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , kcos x 2 L 2
= π⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈ =
ℤ .
0,5 k 3,9 3 5 7
Do x 0;14 ,k 0 k 14 x ; ; ;k2 2 2 2 2
− ≤ ≤≈ π π π π π ∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈ ∈
ℤℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( )( )2cos x 1 2 sin x cos x 2sin x cos x sin x∗ ⇔ − + = −
( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2cos x 1 0⇔ − + − − =
( ) ( ) ( )( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2cos x 1 sin x cos x 0 ⇔ − + − = ⇔ − + =
( ) x k22cos x 1 0 cos x cos 3 k; l3
sin x cos x 0 tan x 1 x l4
π π = ± + π − = = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + = π = − = − + π
ℤ .
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
Bài giải tham khảo
( ) 3 2 3 24 cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 2cos x cos x 2cos x 1 0∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − =
( ) ( ) ( )( ) 2 2cos x 2cos x 1 2cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0⇔ + − + = ⇔ + − =
Bài 1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14 − + − = ∗ ∀ ∈
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2002
Bài 2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2004
Bài 3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2006
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 9 -
Bài 4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( ) 2
sin x 0 x k2cos x 1 sin x 0 k;l1 2
cos x x l22 3
= = π ⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈π = − = ± + π
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( ) 2sin x cos x 2 sin x cos x 2cos x 0∗ ⇔ + + + =
( ) ( ) sin x cos x 2cos x sin x cos x 0⇔ + + + =
( )( ) sin x cos x 1 2cos x 0⇔ + + =
( ) sin x cos x tan x 1 x k
4 k; l1 2 2cos x cos x cos x l22 3 3
π = − = − = − + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π= − = = ± + π
ℤ .
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
( ) ( )2sin x 1 2cos x 1 2 sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = +
( ) ( ) 22sin x cos x 2 sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )
21 x k2cos x 3cos x 1 sin2x 1 0 k, l2sin2x 1 x l
4
π = ± + π = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = + π
ℤ .
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3
x2
π− và
7x
4
π− giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: ( )sin a b sina.cosb cosa.sin b± = ±
Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7
4 sin xsin x 43
sin x2
π + = − ∗ π −
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình: ( ) ( ) sin x 1 cos2x sin2x 1 cos x+ + = + ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) 1 1 7 74 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4sin x cos sin cos x
2 2
π π ∗ ⇔ + = − π π −
( ) 1 1 2
4. sin x cos xsin x cos x 2
⇔ + = − +
Điều kiện: sin x cos x 0 sin2x 0≠ ⇔ ≠ .
( ) sin x cos x
2 2 sin x cos xsin x cos x
+⇔ = − +
( ) ( ) sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0⇔ + + + = ( )( )sin x cos x 1 2 sin2x 0⇔ + + =
( )
x k4tan x 1sin x cos x 0
x l k, l,m2 81 2 sin2x 0 sin2x52
x m8
π = − + π = − + = π ⇔ ⇔ ⇔ = − + π ∈ + = = − π
= + π
ℤ .
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4 2
π π − = − π − − = π π π − = π − + = − + = − +
( ) ( )1 1 1
4. sin x cos xsin x cos x 2
∗ ⇔ + = − +
. Giải tương tự như cách giải 1.
Lời bình: Từ tổng hai cung x x3 6 2
π π π+ + − = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 13 6 3 2 3 3 3
π π π π π π π + − = + − + = + + = .
Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: 4 4 21sin x cos x 1 sin 2x
2+ = − . Nếu
không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tancos
cotsin
= , rồi qui đồng thì bài toán
trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.
Bài giải tham khảo
ĐK:
sin x 013
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 03 6 2 6 6
sin x 06
π + ≠ π π π π ⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ π − ≠
.
Bài 7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π + = + − ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM n ăm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 -
( ) ( ) 2 21 7 1 1 k1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k
2 8 4 2 12 2
π π∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
ĐK:
cos x 014
cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos2x 04 4 2 2
cos x 04
π − ≠ π π π ⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ π + ≠
.
Ta có: tan x tan x tan x tan x tan x cot x 14 4 4 2 4 4 4
π π π π π π π − + = − − + = − − = .
( ) ( )2 4 2 4 4 21 11 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =
( )
( )
2
2 2
2
2
t 1 N2t t 1 0 1 cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0t Lt cos 4x 0 2
t cos 4x 0
= − − = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = = − = ≥ = ≥
( )( )
( )
sin2x 0 N kx , k
cos2x 0 L 2
= π⇔ ⇔ = ∈ =
ℤ .
Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau
tan tan x tan tan x
1 tan x 1 tan x4 4tan x .tan x . . 14 4 1 tan x 1 tan x
1 tan tan x 1 tan tan x4 4
π π− + π π − + − + = = = π π + −
+ −
.
Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng
cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem
giữa hai cung 3 x
10 2
π− và
3x
10 2
π+ có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x 3x 9 3x 3 xsin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
π π π π + = π − + = − = − . Từ đó, ta sẽ
đặt 3 x
t10 2
π= − và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.
Bài 8. Giải phương trình: ( ) 4 4
4sin 2x cos 2xcos 4x
tan x tan x4 4
+= ∗
π π − +
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
Bài 9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x
sin sin 110 2 2 10 2
π π − = +
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
Ta có: 3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 310 2 10 2 10 2 10 2
π π π π + = π − + = − = − .
( ) ( ) 3 x 1 3 x
1 sin sin 3 210 2 2 10 2
π π ⇔ − = − .
Đặt 3 x
t10 2
π= − . Và ( ) ( ) ( )3 21 1
2 sin t sin3t sin t 3sin t 4 sin t sin t 1 sin t 02 2
π π= + ⇒ = − . Lúc đó: ( ) 3 31 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
π ⇔ = − ⇔ = −
( )( ) ( ) 3 3 2 2sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = − ⇔ = + − •
( ) 2 2cos t sin t sin tcos t cos t 0⇔ − + − =
( )( )
( )
cos t 0 N1cos t sin2t 1 0 t k x k , k
sin2t 2 L2 2 4
= π π ⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈ =
ℤ .
Lời bình: Trong ( )• , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức 2 21 sin t cos t= + . Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 21 sin t cos t= + để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
Cách giải 2.
( ) ( )3 3
1 11 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
42 2
π ⇔ + = ⇔ + =
( ) ( )( ) 3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x⇔ + = ⇔ + + =
( )( ) sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x⇔ + + =
2 23sin x 2cos x sin x 2sin x cos x cos x 0⇔ − + + + =
( ) ( ) 2 2sin x 3 2cos x cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =
( ) ( ) 2 2sin x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =
( )( )( )
2
20 2 sin x 1 0 VN
2sin x 1 cos x sin x 0cos x sin x 0
= + >⇔ + − = ⇔ − =
( ) tan x 1 x k , k4
π⇔ = ⇔ = + π ∈ ℤ .
Cách giải 3.
( ) ( )3 3
1 11 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
42 2
π ⇔ + = ⇔ + =
Bài 12. Giải phương trình: ( ) 32 sin x 2 sin x 14
π + =
Trích đề thi tuy ển sinh Phân Viện Báo Chí Truy ền Thông năm 1998
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 14 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) ( ) 3
sin x cos x 4 sin x 2⇔ + =
Vì ( ) cos x 0 hay sin x 1= = không phải là nghiệm của phương trình ( )2 nên chia hai vế của
phương trình ( )2 cho 3cos x , ta được: ( ) ( ) ( )3
22 tan x 1 4 tan x. 1 tan x⇔ + = +
Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm: ( ) tan x 1 x k , k4
π= ⇔ = + π ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo Cách giải 1.
Đặt t x x t4 4
π π= − ⇒ = + . Lúc đó: ( ) ( )3 31 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t⇔ = + ⇔ = +
( )( ) 3 2 2sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = + +
( ) 3 3 2 2 3sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t 1 0⇔ = + + + ⇔ + =
( ) ( )
cos t 0 3t k x k k , k
sin2t 2 L 2 4 4
= π π π⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈ = −
ℤ .
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải
Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý
( )x 4x 5x+ = và ( )2x 3x 5x+ = . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình tích số.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) 5x 3x 5x xcos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2cos cos 2cos cos 0
2 2 2 2∗ ⇔ + + + = ⇔ + =
5x 3x x 5x x
2cos cos cos 0 4 cos cos x cos 02 2 2 2 2
⇔ + = ⇔ =
( )
5x k25x k x
cos 0 2 2 5 52
cos x 0 x l x l k; l;m2 2
x x x 2mcos 0 m2 2 2
π π π = + π = + = π π ⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
π = π + π= = + π
ℤ .
Bài 14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗
Bài 13. Giải phương trình: ( ) 3sin x 2 sin x 14
π − =
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 15 -
Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Do cos x 0 hay sin x 1= = không là nghiệm của phương trình ( )∗
Chia hai vế của ( )∗ cho 4cos x , ta được:
( )2
2 4
2
t 4t 3 03 4 tan x tan x 0
t tan x 0
− + =∗ ⇔ − + = ⇔ = ≥
( ) 2
2
2
t 1x ktan x 1tan x 1
4t 3 k,mtan x 3 tan x 3
x mt tan x3
π= = ± + π= ± = =⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ π= = ± = ± + π =
ℤ .
Bài giải tham khảo
Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa cos 3x lẫn sin 3x , nếu ta sử dụng công thức nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp. Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất
hiện số 1
2 nhằm tối giản được với số
2 3 2
8
−phức tạp bên vế phải của phương trình.
( ) ( ) ( )2 2 2 3 2cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
−∗ ⇔ − =
( ) ( ) 2 21 1 2 3 2cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x
2 2 8
−⇔ + − − =
2 2 2 2 2 3 2cos 4x cos x cos2x cos x cos2x sin x cos 4x sin x
4
−⇔ + − + =
( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2cos 4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
−⇔ + + − =
Bài 30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 43cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1
Bài 31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 21 -
( ) 2 2 3 2 1 2 3 2cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x
4 2 4
− −⇔ + = ⇔ + + =
( ) ( ) 2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k2 16 2
π π⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x,2x,4x,8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2cos2x 2cos x 1 1 2sin x= − = − , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin ,
bằng cách nhân thêm hai vế của ( )∗ cho sin x . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem sin x 0= có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy: ( ) sin x 0 x k hay cos x 1 cos2x cos 4x cos 8x 1= ⇔ = π = ± ⇔ = = = nên
( ) 11
16∗ ⇔ ± = (vô nghiệm) nên sin x 0 x k= ⇔ = π không là nghiệm của ( )∗
● Nhân cả 2 vế của phương trình ( )∗ cho 16 sin x 0≠ , ta được:
( )16sin x cos x cos2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin2x cos2x cos 4x cos 8x sin x
sin x 0 sin x 0
= = ∗ ⇔ ⇔ ≠ ≠
4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2sin 8x cos 8x sin x sin16x sin x
sin x 0 sin x 0 sin x 0
= = = ⇔ ⇔ ⇔ ≠ ≠ ≠
k2x k2
x1515l
x lx17 17
17 17x m
π = π = π π⇔ ⇔ = + π π = + ≠ π
với ( ) 17p 1
k 15n; l ; k, l,m,n,p2
−≠ ≠ ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( )34 sin 3x cos2x 1 2 3 sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3x∗ ⇔ = + − ⇔ = +
( ) ( ) ( ) 22 sin 3x 2cos2x 1 1 2sin 3x 4 cos x 3 1⇔ − = ⇔ − = �
Do ( )cos x 0 x k , k2
π= ⇔ = + π ∈ ℤ không là nghiệm phương trình ( )� , nên nhân hai vế ( )� cho
cos x 0≠ , ta được: ( ) ( )32 sin 3x 4 cos x 3cos x cos x 2 sin 3x cos 3x cos x⇔ − = ⇔ =�
Bài 32. Giải phương trình: ( ) 1
cos x cos2x cos 4x cos 8x16
= ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998
Bài 33. Giải phương trình: ( ) 34 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 22 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
l2x
14 7sin 6x cos x cos x cos 6x l,km22
x10 5
π π = + π ⇔ = ⇔ = − ⇔ ∈ π π = +
ℤ .
Bài giải tham khảo
● Khi ( )x k2 , k= π ∈ ℤ thì ( ) ( )15
2∗ ⇔ = − ⇒ ∗ không có nghiệm ( )x k2 , k= π ∈ ℤ .
● Khi ( ) xx k2 , k sin 0
2≠ π ∈ ⇒ ≠ℤ . Nhân hai vế của ( )∗ cho
x2sin 0
2≠ , ta được:
( )x x x x x x
2sin cos x 2sin cos2x 2sin cos 3x 2sin cos 4x 2sin cos5x sin2 2 2 2 2 2
∗ ⇔ + + + + = −
3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x 11x 9x x
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⇔ − + − + − + − + − = − .
( ) 11x 11x 2m
sin 0 m x , m 11, m2 2 11
π⇔ = ⇔ = π ⇔ = ≠ ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán
có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng sin cos,
cos sin
nhằm mục đích " đơn
giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không
Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại.
Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện.
Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình.
● Điều kiện: tan x 3
cos x 0
≠ − ≠
( ) ( ) ( )sin2x 2cos x sin x 1 0 2cos x sin x 1 sin x 1 0∗ ⇔ + − − = ⇔ + − + =
( )( ) ( ) 1 x k2cos x 3sin x 1 2cos x 1 0 k, l2
sin x 1 x l22
π = ± + π = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= − = − + π
ℤ .
Bài 34. Giải phương trình: ( ) 1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos x sin x 1
0tan x 3
+ − −= ∗
+
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2011
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 23 -
● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là ( ) x k2 , k3
π= + π ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: sin x 0≠
( ) 2 2sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2 cos x∗ ⇔ + + = ⇔ + + =
( ) 22cos x 2cos x sin x 2 2 cos x 0 2cos x cos x sin x 2 0⇔ + − = ⇔ + − =
( )
cos x 0 x kcos x 02 k, l
cos x 1cos x sin x 2x l24
4
π= = + π= ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π− =+ = = + π
ℤ .
● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là ( ) x k x l2 , k, l2 4
π π= + π ∨ = + π ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: ( )sin x 0
2 sin x cos x 0 sin2x 0 2x k x k , kcos x 0 2
≠ π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ π ⇔ ≠ ∈ ≠
ℤ .
( ) ( ) ( )2 2sin x cos x sin x cos x
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2xcos x sin x sin x cos x
Lời bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau x và4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi:
( ) ( ) ( )( )2 2
2 2 2 2 2 2cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos2x− = − + = . Còn cos 4x ta sẽ
áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo cos2x .
Bài giải tham khảo
( ) ( )( )2 2 2 2 2cos x sin x cos x sin x 2cos 2x 1 0∗ ⇔ − + + − =
Bài 51. Giải phương trình: ( ) 2cos 4x 12 sin x 1 0+ − = ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011)
Bài 52. Giải phương trình: ( ) 4 4cos x sin x cos 4x 0− + = ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Xây dựng số 2 năm 2007)
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 36 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) 2
cos2x 1 x k22cos 2x cos2x 1 0 k, l1
cos2x x l2 6
π = − = + π ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ π= = ± + π
ℤ .
Lời bình: Trong bài toán này, có chứa đồng thời ba cung x,2x,3x và ta không thể đưa cung x của
sin x về cung2x được (không có công thức lượng giác nào), do đó chỉ còn cách duy nhất là đưa ba cung này về cùng cungx . Nhận thấy rằng, trong vế trái phương trình có chứa cos 3x sin 3x+ , ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lập lại và dài dòng khi giải phương trình. Còn cos2x tất nhiên đưa về cung x bằng công thức nhân
đôi: 2 2 2 2cos2x cos x sin x 2 cos x 1 1 2 sin x= − = − = − , nhưng trong ba công thức đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của vế trái để chọn công thức phù hợp".
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: 1
1 2sin2x 0 sin2x2
+ ≠ ⇔ ≠ − .
Ta có: ( ) ( )3 3cos 3x sin 3x 4 cos x 3cos x 3 sin x 4 sin x+ = − + −
( ) ( ) 3 33 cos x sin x 4 cos x sin x= − − + −
( ) ( ) 3 33 cos x sin x 4 cos x sin x= − − + −
( ) ( ) 2 2cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x = − − + + +
( )( ) cos x sin x 1 2 sin2x= − + .
( )( )( )cos x sin x 1 2sin2x
5 sin x 3 cos2x1 2sin2x
− + ∗ ⇔ + = + +
( ) 25 sin x cos x sin x 2cos x 1⇔ + − = −
( )( )
2
1cos x
2cos x 5cos x 1 0 x k2 , k23cos x 2 L
= π⇔ − − = ⇔ ⇔ = ± + π ∈
=
ℤ .
● Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm là ( )x k2 , k3
π= ± + π ∈ ℤ do
3 1sin2x
2 2= ± ≠ − .
● ( ) x
3Do x 0;2 nên5
x3
π =
∈ π π =
Bài 53. Giải phương trình: ( ) ( ) cos 3x sin 3x
5 sin x 3 cos2x , x 0;21 2sin2x
+ + = + ∗ ∀ ∈ π +
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)
Bài 54. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin5x
3 5= ∗
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000)
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 37 -
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x, 5x x 4x= + , ta có thể đưa chúng về cùng một cung x theo công thức nhân ba và cộng cung để xuất hiện nhân tử chung (cách giải 1). Hơn nữa, trong bài xuất hiện số 3 và 5 , ta cũng có thể tách 5 2 3= + và nhóm chúng một cách khéo léo lại với nhau, áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2).
Bài giải tham khảo
● Cách giải 1
( ) ( )5 sin 3x 3 sin x 4x∗ ⇔ = + ( ) ( )35 3 sin x 4 sin x 3 sin x cos 4x cos x sin 4x⇔ − = +
( ) ( ) 25 sin x 3 4 sin x 3 sin x cos 4x 2cos x sin2x cos2x⇔ − = +
( ) ( ) 2 25 sin x 3 4 sin x 3 sin x cos 4x 4 cos x cos2x⇔ − = +
( ) ( ) 2 2sin x 5 3 4 sin x 3 cos 4x 4cos x cos2x 0 ⇔ − − + =
Do sin x 0≠ nên chia hai vế ( )∗ cho 2sin x , ta được: ( ) ( )2
4 2
cos x cos x3 2 2 2 3 2sin x sin x
∗ ⇔ + = +
( )
2
2
2 2 2
cos x23t 2 3 2 t 2 2 0 2t 2 t
3 sin xcos x cos x cos x 2t tsin x 3sin x sin x
+ + − = == ∨ = ⇔ ⇔ ⇔ = = =
2 2
2 2
cos x 2 sin x 0 2 cos x cos x 2 0
2sin x 3cos x 0 2cos x 3cos x 2 0
− = + − = ⇔ ⇔ − = + − =
( )
( )
( )
( )( )
cos x 2 L cos x 2 L x k24 k, l12 cos x Ncos x N x l222 3
π= − = − = ± + π ⇔ ∨ ⇔ ∈ π== = ± + π
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( )2 6 23 2cos 2x 1 8 cos x 2cos x 3 0∗ ⇔ − − + + =
2 6 23cos 2x 4cos x cos x 0⇔ − + =
( ) 2
2 6 23 2cos x 1 4 cos x cos x 0⇔ − − + =
6 4 24cos x 12cos x 11cos x 3 0⇔ − + − + =
Bài 66. Giải phương trình: ( ) 4 4sin x cos x 1 1
cot2x5sin2x 2 8 sin2x
+= − ∗
(Trích đề thi dự bị 2 tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)
Bài 67. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 23 cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x+ = + ∗
Bài 68. Giải phương trình: ( ) 6 23cos 4x 8 cos x 2cos x 3 0− + + = ∗
(Trích đề thi dự bị 1 Đại học khối B năm 2003)
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 44 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )( )
( )
2 22
2 22
1t N
124t 12t 11t 3 0 2cos x 1 0cos xt 1 N 2
t cos x 0 sin x 0cos x 13t L
2
= − + − + = − == ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ = ≥ = = =
( ) cos2x 0 x k
k, l4 2sin x 0 x l
π π = = + ⇔ ⇔ ∈ = = π
ℤ .
Lời bình: Từ việc xuất hiện cotx tan x− và sin2x , ta xem chúng có mối hệ như thế nào ? Có đưa về nhân tử chung hay cùng một cung hay không ? Câu trả lời nằm ở đầu đề: "các hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ". Thật vậy, ta có:
( ) 1 sin x 3 cos x 2∗ ⇔ + + =1 3 1sin x cos x2 2 2
⇔ + = sin x cos cos x sin sin3 3 6
π π π⇔ + =
sin x sin3 6
π π ⇔ + = ( )
x k2 x k23 6 6 k,
5x 2 x 2
3 6 2
π π π + = + π = − + π
⇔ ⇔ ∈ π π π + = + π = + π
ll l
ℤ .
Bài giải tham khảo
Bài 101. Giải phương trình: ( ) 2 6
cos7x 3 sin7x 2 , x ;5 7
π π − = − ∗ ∀ ∈
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1997 – 1998
Bài 102. Giải phương trình: ( ) 2
x xsin cos 3 cos x 22 2
+ = = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2007
Bài 103. Giải phương trình: ( ) 1
tan x sin2x cos2x 2 2cos x 0cos x
− − + − = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Luật năm 1998
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 63 -
● Điều kiện: ( ) cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± ∗ ∗
( ) sin x 2 sin x cos x cos x cos x cos 2x 2 cos 2x 0∗ ⇔ − − + =
( ) ( ) 2sin x 1 2 cos x cos2x cos x 2 0⇔ − − − = ( )sin x cos2x cos2x cos x 2 0⇔ + − =
( ) cos2x sin x cos x 2 0⇔ + − =
( )( )
2x kcos2x 0 2 x k , ksin x cos x 2 4 2sin x 2 L
4
π = + π = π π ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ π+ = + =
ℤ
● Thay vào ( )∗ ∗ , ta được họ nghiệm phương trình là: ( )x k , k4 2
π π= + ∈ ℤ .
Lời bình. Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos dạng: a sin x bcos x c+ = thì các bạn học
sinh có thể giải một cách dễ dàng bằng cách chia hai vế cho 2 2 2a b c+ ≥ . Nhưng nếu
gặp dạng:
( )( )
( )( )
a sin x bcos x a ' sin kx 1
a sin x bcos x a ' cos kx 2 k 1
a sin x bcos x a ' sin kx b ' cos kx 3
+ =
+ = ≠
+ = +
thì hướng giải quyết
như thế nào ? Cứ bình tĩnh, ta xem vế trái của ( ) ( )1 , 2 là phương trình bậc nhất theo sin và
cos thì cách làm cũng tương tự như dạng: a sin x bcos x c+ = . Còn đối với dạng ( )3 , ta
coi hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos, hiển nhiên cách giải cũng tương tự. Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho vế trái là cùng một cung, vế phải là cùng một cung. Hãy chiêm nghiệm hướng suy nghĩ đó qua lời giải sau.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: ( ) sin x 1 cos x 0
1 1sin x sin x
2 2
≠ ≠ ⇔ ∗ ∗ ≠ − ≠ −
( ) ( )2cos x sin2x 3 1 sin x 2 sin x 2 sin x∗ ⇔ − = − + −
cos x sin2x 3 cos2x 3 sin x⇔ − = +
3 1 1 3cos 2x sin 2x cos x sin x
2 2 2 2⇔ + = −
cos2x cos sin sin2x cos x cos sin sin x6 6 3 3
π π π π⇔ + = −
( ) x k2
2cos 2x cos x k,26 3
x18 3
π = + π π π ⇔ − = + ⇔ ∈ π π = − +
ll
ℤ .
Bài 104. Giải phương trình: ( )
( )( )( )
1 2sin x cos x3
1 2sin x 1 sin x
−= ∗
+ −
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối A năm 2009
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 64 - www.DeThiThuDaiHoc.com
● Thay vào ( )∗ ∗ , ta được nghiệm của phương trình là: ( )2
x ,18 3
π π= − + ∈
ll ℤ .
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: ( ) cos x 0
sin 2x 1sin x 0
≠ ⇔ ≠ ± ∗ ∗ ≠
( ) 28 sin x cos x 3 sin x cos x∗ ⇔ = +
( ) 4 cos x 1 cos2x 3 sin x cos x⇔ − = +
3 cos x 4 cos2x cos x 3 sin x⇔ − =
( ) 3 cos x 2 cos 3x cos x 3 sin x⇔ − + =
cos x 3 sin x 2 cos 3x⇔ − =
1 3
cos 3x cos x sin x2 2
⇔ = −
( ) x k
6cos 3x cos x k,3
x12 2
π = + π π ⇔ = + ⇔ ∈ π π = − +
ll
ℤ
● Thay vào ( )∗ ∗ , ta được họ nghiệm phương trình là: ( ) x k x , k,6 12 2
π π π= + π ∨ = − + ∈
ll ℤ .
Bài giải tham khảo
( )3 sin x sin 3x
sin x sin 2x cos x 3 cos 3x 2 cos 4x2
−∗ ⇔ + + = +
2 sin x 2 sin 2x cos x 2 3 cos 3x 4 cos 4x 3 sin x sin 3x⇔ + + = + −
( ) 1
2 sin x 2. sin 3x sin x 2 3 cos 3x 4 cos 4x 3 sin x sin 3x2
⇔ + + + = + −
2 sin 3x 2 3 cos 3x 4 cos 4x⇔ + =
3 1cos 3x sin 3x cos 4x
2 2⇔ + =
( ) x k2
6cos 3x cos 4x k,26
x42 7
π = − + π π ⇔ − = ⇔ ∈ π π = +
ll
ℤ .
Bài 105. Giải phương trình: ( ) 3 1
8 sin xcos x sin x
= + ∗
Bài 106. Giải phương trình: ( ) ( ) 3sin x cos x sin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x+ + = + ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối B năm 2009
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 65 -
Bài giải tham khảo
( ) ( )33sin 3x 4 sin 3x 3 cos9x 1∗ ⇔ − − =
sin 9x 3 cos 9x 1⇔ − =
1
sin 9x cos cos 9x sin3 3 2
π π⇔ − =
sin 9x sin3 6
π π ⇔ − =
( )
k29x k2 x
3 6 18 9 k,7 2
9x 2 x3 6 54 9
π π π π − = + π = +
⇔ ⇔ ∈ π π π π − = π − + π = +
ll
lℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 3 cos 5x sin 5x sin x sin x 0∗ ⇔ − − − =
3 1cos 5x sin x sin x
2 2⇔ − =
sin 5x sin x3
π ⇔ − =
( )
k5x x k2 x
3 12 2 k,2
5x x 2 x3 9 3
π π π − = + π = +
⇔ ⇔ ∈ π π π − = π − + π = +
ll
lℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 29 sin x 6 cos x 6 sin x cos x 2 cos x 9∗ ⇔ + − + =
( ) ( ) 29 sin x 1 6 cos x 1 sin x 2 cos x 0⇔ − + − + =
( )( ) 2sin x 1 9 6 cos x 2 cos x 0⇔ − − + =
( )( ) ( )( ) 1 sin x 6 cos x 9 2 1 sin x 1 sin x 0⇔ − − + − + =
( )( ) 1 sin x 6 cos x 9 2 2 sin x 0⇔ − − + + =
Bài 107. Giải phương trình: ( )os 33sin 3x 3c 9x 1 4 sin 3x− = + ∗
Bài 108. Giải phương trình: ( ) 3 cos5x 2sin 3x cos s2x sin x 0− − = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học khối D năm 2009
Bài 109. Giải phương trình: ( ) 9 sin x 6cos x 3 sin2x cos2x 8+ − + = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1997 – 1998
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 66 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )( )
sin x 1 1
6cos x 2 sin x 7 2
=⇔ + =
● Giải ( ) ( )1 x k2 , k2
π⇔ = + π ∈ ℤ
● Giải 6cos x 2sin x 7+ = ⇒ Phương trình vô nghiệm do 2 2 26 2 7+ < .
● Vậy họ nghiệm của phương trình là: ( )x k2 , k2
π= + π ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 22 sin x cos x 4 cos x 2 1 sin x 4 cos x∗ ⇔ + − = + −
( ) ( ) ( ) 24 cos x 1 sin x 2 cos x 1 2 2 cos x 1 0⇔ − + − + − =
( )( ) 2 cos x 1 2 cos x 1 sin x 2 0⇔ − + + + =
( ) ( )
2cos x 1 0cos x cos x k2 , k
2cos x sin x 3 VN 3 3
− = π π⇔ ⇔ = ⇔ = ± + π ∈ + = −
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 2 sin 2x 2 cos x cos2x 4 7 sin x 0∗ ⇔ − − + − =
( ) 22 cos x 2 sin x 1 1 2 sin x 4 sin x 6 sin x 0⇔ − − + + − − =
( ) ( ) ( ) 2 cos x 2 sin x 1 sin x 2 sin x 1 3 2 sin x 1 0⇔ − + − − − =
( )( ) 2 sin x 1 2 cos x sin x 3 0⇔ − + − =
( )( )
1 x k2sin x sin 6 k,2 65
2 cos x sin x 3 0 VN x 26
π π = + π = = ⇔ ⇔ ∈ π+ − = = + π
ll
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 22 sin x cos x 1 2 sin x 3 sin x cos x 2 0∗ ⇔ − + − − + =
( ) ( ) ( ) 22 sin x cos x cos x 2 sin x sin x 2 sin x 1 0⇔ − + − − − =
( ) ( ) ( ) cos x 2 sin x 1 sin x 2 sin x 1 2 sin x 1 0⇔ − + − − − =
Bài 110. Giải phương trình: ( ) sin2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x+ = + − ∗
Bài 111. Giải phương trình: ( ) 2 sin2x cos2x 7 sin x 2cos x 4− = + − ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 2001
Bài 112. Giải phương trình: ( ) sin2x cos2x 3 sin x cos x 2− = + − ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2001
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 67 -
( )( ) 2 sin x 1 cos x sin x 1 0⇔ − + − =
1sin x sin2 sin x 1 0 2 6
cos x sin x 1 cos x cos4 4
π = = − = ⇔ ⇔ π π+ = − =
( )
5x k2 x l2
6 6 k, l,m,n
x m2 x n22
π π = + π ∨ = + π
⇔ ∈π = + π ∨ = π
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( )3 22 cos x 2 cos x sin x 1 0∗ ⇔ + + − =
( ) ( ) 22 cos x cos x 1 sin x 1 0⇔ + + − =
( )( )( ) ( ) 2 1 sin x 1 sin x cos x 1 1 sin x 0⇔ − + + − − =
( ) ( )( ) 1 sin x 2 1 sin x 1 cos x 1 0 ⇔ − + + − =
( )( ) 1 sin x 1 2 cos x 2 sin x 2 sin x cos x 0⇔ − + + + =
( ) ( ) ( ) 2
1 sin x sin x cos x 2 sin x cos x 0
⇔ − + + + =
( ) 21 sin x 2 sin x 2 2 sin x 04 4
π π ⇔ − + + + =
2
1 sin x 0
2 sin x 2 2 sin x 04 4
− = ⇔ π π + + + =
( )
( )
sin x 1x k2
2sin x 0 k,4
x4
sin x 2 L4
= π = + π π ⇔ + = ⇔ ∈ π = − + π π + = −
ll
ℤ .
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: ( ) sin 2x 0 cos 2x 1≠ ⇔ ≠ ± ∗ ∗
Bài 113. Giải phương trình: ( ) 32cos x cos2x sin x 0+ + = ∗
Bài 114. Giải phương trình: ( ) 2
1 cos2x1 cot2x
sin 2x
−+ = ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 68 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )( )( )
sin 2x cos2x 1 cos 2x
sin 2x 1 cos 2x 1 cos 2x
+ −∗ ⇔ =
− +
( )( ) sin 2x cos 2x 1 cos 2x sin 2x⇔ + + =
2sin 2x sin 2x cos2x cos2x cos 2x sin2x 0⇔ + + + − =
( ) cos 2x sin 2x cos 2x 1 0⇔ + + =
cos 2x 0
x k x l x m3cos 2x cos 4 2 2 4
4 4
= π π π π ⇔ ⇔ = + ∨ = + π ∨ = − + ππ π − =
● Thay vào ( )∗ ∗ ⇒ họ nghiệm phương trình là ( ) x k , k4 2
π π= + ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
( )3 cos 4x
4 3 sin 4x 24
+∗ ⇔ + =
3 1sin 4x cos 4x 1
2 2⇔ + = −
( ) cos 4x 1 4x k2 x k , k3 3 3 2
π π π π ⇔ − = − ⇔ − = π + π ⇔ = + ∈ ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( )( )1
1 sin2x cos2x 1 sin2x cos2x sin 4x2
∗ ⇔ + + − =
( ) 1 1
1 sin 4x sin2x cos2x 1 sin 4x 02 2
⇔ − + + − =
( ) 1
1 sin 4x sin2x cos2x 1 02
⇔ − + + =
( )
1 sin 4x 2 L1 sin 4x 02
sin2x cos2x 1sin2x cos2x 1 0
=− = ⇔ ⇔ + = −+ + =
( ) x k3 42 cos 2x 1 cos 2x cos k,
4 4 4x
2
π = − + π π π π ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ π = + π
ll
ℤ .
Bài 115. Giải phương trình: ( ) 2
1 cos2x1 cot2x
sin 2x
−+ = ∗
Bài 116. Giải phương trình: ( ) 3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x
2+ + = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 69 -
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: sin x 0
sin2x 0 cos2x 1cos x 0
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ≠
.
( ) ( )sin x 3cos x4 sin x 3 cos x
cos x sin x∗ ⇔ − = +
( ) 2 2sin x 3cos x 4 sin x cos x sin x 3 cos x 0⇔ − − + =
( )( ) ( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 sin2x sin x 3 cos x 0⇔ − + − + =
( )( ) sin x 3 cos x sin x 3 cos2x 2sin2x 0⇔ + − − =
( ) tan x 3sin x 3 cos x 0 x k
3 k,1 3 4sin x sin2xsin x cos2x sin2x x32 2 9 3
π= −+ = = − + π ⇔ ⇔ ⇔ ∈π π π− = − = = +
ll
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 3 3sin x sin x cos x cos x 0∗ ⇔ − + + =
( ) 2 3sin x sin x 1 cos x cos x 0⇔ − + + =
2 3sin x cos x cos x cos x 0⇔ − + + =
( ) 2cos x sin x cos x cos x 1 0⇔ − + + =
1 1 cos2x
cos x sin2x 1 02 2
+ ⇔ − + + =
sin2x cos2x 3
cos x 02
− + + ⇔ =
( ) ( )
o
cos x 0x k , k
sin2x cos2x 3 VN do : 1 1 9 2
= π⇔ ⇔ = + π ∈− + = − + <
ℤ .
Bài giải tham khảo
BàBàBàBài i i i 117117117117. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x 3cotx 4 sin x 3 cos x− = + ∗
Bài 118. Giải phương trình: ( ) 3 3sin x cos x sin x cos x+ = − ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Đại học Thủy Sản năm 1996
Bài 119. Giải phương trình: ( ) 4 4 1cos x sin x
4 4
π + + = ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 70 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
2
2 1 cos 2x21 cos2x 1
2 2 4
π − − + ∗ ⇔ + =
( ) ( ) 2 2
1 cos2x 1 sin2x 1 cos2x sin2x 1⇔ + + + = ⇔ + = −
( ) x k1 3 2cos 2x cos k,
4 42 x4
π = + π π π ⇔ − = − = ⇔ ∈ π = − + π
ll
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )3 4 3 34 sin x 4cos x 3cos x 4 cos x 3sin x 4 sin x 3 3 cos4x 3∗ ⇔ − + − + =
3 312sin x cos x 12cos x sin x 3 3 cos4x 3⇔ − + + =
( ) 2 24 sin x cos x sin x cos x 3 cos4x 1⇔ − + + =
2sin2x cos2x 3 cos4x 1⇔ + =
sin 4x 3 cos4x 1⇔ + =
1 3 1sin 4x cos 4x2 2 2
⇔ + =
( )
kx
24 2sin 4x sin k,3 6
x8 2
π π = − + π π ⇔ + = ⇔ ∈ π π = +
ll
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) 22 2 sin x cos x 2 2 cos x cos2x 3∗ ⇔ + − =
( )
2 2 1 cos2x2 sin2x cos2x 3
2
+⇔ + − =
( ) 2 sin2x 2 1 cos2x 3 2⇔ + − = −
Phương trình đã cho vô nghiệm do ( ) ( )
( )
2 22 2
22 2 2
a b 2 2 1 5 2 2
c 3 2 11 6 2 a b
+ = + − = − = − = − > +
Bài 120. Giải phương trình: ( ) 3 34 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x 3+ + = ∗
Trích đề thi tuy ển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 2001
Bài 121. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+ = + ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 71 -
Bài giải tham khảo
( ) 22 sin x cos x 2cos x sin x cos x 1∗ ⇔ + − − =
2sin2x 2cos x 1 sin x cos x⇔ + − = + sin2x cos2x sin x cos x⇔ + = +
sin 2x sin x4 4
π π ⇔ + = +
( ) x k22x x k2
4 4 k,2x2x x 2 6 34 4
π π = π + = + + π ⇔ ⇔ ∈ π ππ π = + + = π − − + π
lll
ℤ .
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )2 22 cos x sin x 6 cos x sin x 0∗ ⇔ − − − =
( ) tan kA tan kB tan kC tan kA tan kB tan kC , k+ + = ∈ ℕ
Bài 453. Cho ∆ABC. Biết A B 1
tan tan2 2 3
= . Chứng minh: a b 2c+ = .
Bài 454. Cho ∆ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội q 2= . Chứng minh:
a/ 2 2 2
1 1 18
sin A sin B sin C+ + = . b/
1cosAcosBcosC
8= − .
c/ 2 2 2 5cos A cos B cos C
4+ + = . d/
1 1 1
a b c= + .
Bài 455. Cho ABC, BC a, CA b, AB c∆ = = = . Chứng minh: A C
2b a c cot cot 32 2
= + ⇔ =
Bài 456. Cho ∆ABC. Biết rằng: sinA sinB sinC
1 23= = . Tính các góc của ∆ABC.
Bài 457. Cho ∆ABC. Biết rằng có ba góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q 2= .
Giả sử � � �A B C< < . Chứng minh: 1 1 1
a b c= + .
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 123 -
Bài 458. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( )2 2 2R a b c
cotA cotB cotCabc
+ ++ + = .
Bài 459. Cho ∆ABC. Biết 2 2 2sin B sin C 2sin A+ = . Chứng minh: 0BAC 60≤ Bài 460. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng nếu cotA, cotB, cotC tạo thành một cấp số cộng thì a2, b2, c2
cũng theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.
Bài 461. Cho ∆ABC. Chứng minh: � � 2 2A 2.B a b bc= ⇔ = + .
Bài 462. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC A B C
tan tan cotcosA cosB cosC 1 2 2 2
+ −=
+ − +
Bài 463. Cho ∆ABC. Chứng minh: sinA sinB sinC A B
cot cotsinA sinB sinC 2 2
+ +=
+ −
Bài 464. Cho ∆ABC. Chứng minh: 2 2 2a b c
cotA cotB cotC4S
+ ++ + =
Bài 465. Cho ∆ABC. Chứng minh:
A B Csin sin sin
2 2 2 2B C C A A B
cos cos cos cos cos cos2 2 2 2 2 2
+ + =
Bài 466. Cho ∆ABC. Chứng minh: ( ) 2 2
2
sin A B a b
sinC c
− −=
Bài 467. Cho ∆ABC. Chứng minh: A B C 3 cosA cosB cosC
tan tan tan2 2 2 sinA sinB sinC
+ + ++ + =
+ +
Bài 468. Cho ∆ABC. Chứng minh:
1 1 1 1 A B C A B Ctan tan tan cot cot cot
sinA sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2
+ + = + + +
Bài 469. Cho ∆ABC. Chứng minh:
( )2 2 2sin A sin B sin C 2 sinAsinBcosC sinBsinCcosA sinCsinAcosB+ + = + +
Bài 470. Cho ∆ABC có AM là đường trung tuyến, AMB , AC b, AB c, S= α = = là diện tích
∆ABC với 00 90< α < .
a/ Chứng minh: 2 2b c
cot4S
−α = .
b/ Giả sử 045α = . Chứng minh: cotC cotB 2− = .
Bài 471. Cho ∆ABC có trung tuyến xuất phát từ B và C là mb, mc thỏa b
c
mc1
b m= ≠ .
Chứng minh rằng: 2cotA cotB cotC= + . Bài 472. Chứng minh rằng nếu ∆ABC có trung tuyến AA' vuông góc với trung tuyến BB' thì
( )cotC 2 cotA cotB= + .
Bài 473. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 2S
sin2A sin2B sin2CR
+ + = .
Bài 474. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: ( )2 21S a sin2B b sin2A
4= + .
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 124 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài 475. Cho ∆ABC có trọng tâm G và γGAB , GBC , GCA= α = β = . Chứng minh rằng:
( )γ
2 2 23 a b ccot cot cot
4A
+ +α + β + = .
Bài 476. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. Chứng minh:
a/ A B C
r 4R sin sin sin2 2 2
= . b/ 2IA.IB.IC 4Rr= .
Bài 477. Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ∆ABC tại A', B', C'. ∆A'B'C' có các cạnh là a', b', c' và diện tích là S'. Chứng minh:
a/ a ' b ' C A B
2sin sin sina b 2 2 2
+ = + . b/
S' A B C2sin sin sin
S 2 2 2= .
Bài 478. Cho ∆ABC có trọng G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông góc với đường phân giác
trong của góc BCA . Chứng minh: a b c 2ab
3 a b
+ +=
+.
Bài 479. Tính các góc của ∆ABC biết: ( ) ( ) ( )3
sin B C sin C A cos A B2
+ + + + + = .
Bài 480. Tính các góc của ∆ABC biết: ( )5
cos2A 3 cos2B cos2C 02
+ + + = .
Bài 481. Chứng minh ∆ABC có � 0C 120= nếu: A B C
sinA sinB sinC 2sin sin 2 sin2 2 2
+ + − = .
Bài 482. Tính các góc của ∆ABC biết số đo ba góc tạo thành một cấp số cộng và thỏa:
3 3sinA sinB sinC
2
++ + = .
Bài 483. Tính các góc của ∆ABC nếu biết 2 2 2b c a
sinA sinB sinC 1 2
+ ≤ + + = +
Bài 484. Cho ∆ABC không tù thỏa: cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3+ + = . Tính 3 góc ∆ABC.
Bài 485. Chứng minh ∆ABC có ít nhất một góc 060 khi và chỉ khi sinA sinB sinC