GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt 1 CHUYÊN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x 1 1 x C ( ) ax b a 1 1 ( ) 1 ax b C 1 x ln x C 1 ax b 1 ln ax b C a x a ln x a C a x e x e C ax b e 1 ax b e C a sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( ) ax b C a cosx sinx + C cos(ax+b) 1 sin( ) ax b C a 2 1 cos x tanx + C 2 1 cos ( ) ax b 1 ( ) tg ax b C a 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( ) ax b 1 cot ( ) g ax b C a ' () () ux ux ln () ux C 2 2 1 x a 1 ln 2 x a C a x a tanx ln cos x C 2 2 1 x a 2 2 ln x x a C cotx ln sin x C Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 3 1 () cos 1 fx x x x 2. 2 2x 5 f(x) x 4x 3 Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1. 5 cos sin x xdx 2. cos tgx dx x 3. 1 ln x dx x II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa:
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
1
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍCH PHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
x
1
1
xC
( )ax b
a
1 1( )
1
ax bC
1
x
ln x C 1
ax b
1ln ax b C
a
xa
ln
xa
C
a
xe x
e C ax be
1 ax be C
a
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )ax b C
a
cosx sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
2
1
cos x
tanx + C 2
1
cos ( )ax b
1( )tg ax b C
a
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
1cot ( )g ax b C
a
'( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C
2 2
1
x a
1ln
2
x aC
a x a
tanx
ln cos x C
2 2
1
x a
2 2ln x x a C
cotx ln sin x C
Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 3 1( ) cos
1
f x x
x x
2. 2
2x 5f(x)
x 4x 3
Ví dụ 2: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx 2.
cos
tgxdx
x 3.
1 ln xdx
x
II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa:
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
2
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0
b
a
f x dx
Tính chất 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên ;a b thì: ( )
b
a
cdx c b a
Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên ;a b và ( ) 0f x thì ( ) 0
b
a
f x dx
Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ;a b và ( ) ( ) x a;bf x g x thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên ;a b và ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ;a b thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên ;a b và k là một hằng số thì
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên ;a b và c là một hằng số thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. Phương pháp phân tích.
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
3
* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân
cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa.
Các ví dụ:
1) Tính :
16
1
x dx
1
3
1
( 1)x
dx 4
0
sin 2x dx 2
0
cos2x dx
2
0
sin4x dx
2
4
cot
2x dx
2) Tính: 24
2
4
2
sin
tg x
x
dx
3
0
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 3
6
tg
2x dx
1
0
e2x + 1
dx
3) Tính :
4
0
| x-2 | dx
4
2
2 6 9x x dx
3
4
| x2-4 | dx
3
4
4
cos2 1x dx
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
xdx
(2x 1) 2)
1
0
xdx
2x 1 3)
1
0
x 1 xdx 4)
1
2
0
4x 11dx
x 5x 6
5)
1
2
0
2x 5dx
x 4x 4
6)
3 3
2
0
xdx
x 2x 1 7)6
6 6
0
(sin x cos x)dx
8) 32
0
4sin xdx
1 cosx
9)4
2
0
1 sin2xdx
cos x
10)
2
4
0
cos 2xdx
11)2
6
1 sin2x cos2xdx
sin x cosx
12)
1
x
0
1dx
e 1 .
13) dxxx )sin(cos4
0
44
14)
4
0 2sin21
2cos
dxx
x 15)
2
0 13cos2
3sin
dxx
x 16)
2
0 sin25
cos
dxx
x 17)
0
22 32
4dx
xx 18)
1
12 52xx
dx
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
2)
4
2
1
x 3x 2dx
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
4)
2
2
2
1
2
1x 2dx
x
5)
3
x
0
2 4dx 6) 0
1 cos2xdx
7)
2
0
1 sin xdx
8) dxxx 2
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B thỏa mãn đồng thời các điều kiện
'f (1) 2 và
2
0
f(x)dx 4
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1: Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1: )(
)(
)()('.)(bu
au
b
a
dttfdxxuxuf (1)
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( '
Bước 2: Đổi cận : )(
)(
aut
but
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
)(
)(
)()('.)(bu
au
b
a
dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới)
CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1
, ln x)x
thì đặt t = lnx (ví dụ 7, 9).
+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x).( ví dụ 4,7, 5, 10 ...)
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1) 2
3 2
0
cos xsin xdx
; 2) 2
5
0
cos xdx
; 3)4
2
0
sin4xdx
1 cos x
; 4)
1
3 2
0
x 1 x dx .
5) 2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
; 6) 4
4
0
1dx
cos x
; 7)
e
1
1 lnxdx
x
; 8)
4
0
1dx
cosx
.
9)
e 2
1
1 ln xdx
x
; 10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx ; 11) 6
2
0
cosxdx
6 5sin x sin x
; 12).
3 4
0
tg xdx
cos2x
13) 4
0
cos sin
3 sin2
x xdx
x
; 14)
2
022 sin4cos
2sin
dxxx
x; 15)
5ln
3ln 32 xx ee
dx.
16)
2
02)sin2(
2sin
dxx
x; 17)
3
4
2sin
)ln(
dxx
tgx ; 18)
4
0
8 )1(
dxxtg ; 19)
2
4
2sin1
cossin
dxx
xx .
20)
2
0 cos31
sin2sin
dxx
xx; 21)
2
0 cos1
cos2sin
dxx
xx; 22)
2
0
sin cos)cos(
xdxxe x;
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
5
23)
2
1 11dx
x
x; 24)
e
dxx
xx
1
lnln31 ; 25)
4
0
2
2sin1
sin21
dxx
x.
26)8
2
3
1
1
dx
x x ; 27)
7 3
3 2
0 1
xdx
x ; 28)
3
5 2
0
1x x dx ; 29)
ln2
x
0
1dx
e 2 .
30)
7
3
3
0
1
3 1
xdx
x
; 31)
2
2 3
0
1x x dx ; 32)
32
52 4xx
dx.
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx bằng cách đặt x = (t)
Công thức đổi biến số dạng 2:
dtttfdxxfIb
a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt dttdxtx )()( '
Bước 2: Đổi cận :
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
dtttfdxxfIb
a
)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý: * Nếu f(x) có chứa:
+, 2 2 n(a x )- thì đặt x a .sin t= với tÎ ;2 2
- p pé ùê úê úë û
, hoặc x a .cos t= với [ ]t 0;Î p .
+, 2 2 n(a x )+ thì đặt x a . tan t= với t ;2 2
- p pæ ö÷çÎ ÷ç ÷è ø
, hoặc x a .cot t= với ( )t 0;Î p .
+, ( )n2 2x a- thì đặt
ax
sin t= hoặc
ax
cos t= .
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx 2)
1
2
0
1dx
1 x 3)
1
2
0
1dx
4 x 4)
1
2
0
1dx
x x 1
5)
1
4 2
0
xdx
x x 1 6) 2
0
1
1 cos sin
dx
x x
7)
2
22
2
0
xdx
1 x 8)
2
2 2
1
x 4 x dx
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
6
9)
2
3
2
2
1dx
x x 1 10)
3 2
2
1
9 3xdx
x
11)
1
5
0
1
(1 )
xdx
x
12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x
13) 2
0
cos
7 cos2
xdx
x
14)
1 4
6
0
1
1
xdx
x
15)
2
0
cos
1 cos
xdx
x
16)
0
12 22xx
dx
17)
1
0 311 x
dx 18)
2
1 5
1dx
x
xx.
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: * Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
+, d(a.x b)
d(a.x b) a.dx dx (a 0)a
++ = Û = ¹ .
+, x
x x
x
d(ae b)d(ae b) ae .dx dx
a.e
++ = Û = .
+, d(sinx)
d(sin x) cos x.dx dxcos x
= Û = ; d(cos x)
d(cos x) sin x.dx dxsin x
= - Û =-
.
+, dx
d(ln x) .x
= dx 1 d(a.x b) 1
ln(a.x b)a.x b a a.x b a
+= = +
+ +.
+, 2 2
2 2
x.dxd( x a )
x a+ =
+.
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1)
1
0
dx
2007.x 2008+ò ; 2)
4
2
0
sin x. cos xdx;
p
ò 3)
e x
2x
1
e .dx
4 3e-ò ; 4)
4
6
cot x.dx
p
pò .
Ví du 2ï: Tính các tích phân sau:
1)
1 2
30
2
1
x
x ; 2)
1 2
3
0
( )2
x
x dx; 3)
1 2
30
2
1
x
x dx ; 4)
21
0
xxe dx ; 5)3
1
2
1
xx e
dx .
6) 1
2 lne
x
x
dx ; 7)
2
1 ln
e
e
dx
x x ; 8)
3
3
0
sin
cos
x
x
dx ; 9) 3
cos
0
sin xx e
dx ; 10)
1
x
0
dx
2e 3+ò .
VI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
7
b
a
b
a
b
adxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay: b
a
b
a
b
a vduvuudv .
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt )(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : b
a
b
a
b
a vduvuudv .
Bước 3: Tính bavu. và b
a
vdu
Chú ý:
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dxò ta thực hiện
Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
/du u (x)dx= không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vduò phải tính được.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dxò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= .
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdxò thì đặt u ln x= .
iii/ Nếu gặp
b
x
a
e . sin axdxa
ò ,
b
x
a
e . cos axdxa
ò thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt xu ea= .
.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
ln xdx
x 2)
2
2
0
xcos xdx
3)
1
x
0
e sinxdx
4)
2
0
sin xdx
5)
e
2
1
x ln xdx 6) 3
2
0
x sinxdx
cos x
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
8
7) 2
0
xsin x cos xdx
8) 4
2
0
x(2cos x 1)dx
9)
2
2
1
ln(1 x)dx
x
10)
1
2 2x
0
(x 1) e dx 11)
e
2
1
(x ln x) dx 12) 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
13) 2
1
ln
( 1)
e
e
xdx
x 14)
1
2
0
xtg xdx 15) 1
0
2)2( dxex x
16) 1
0
2 )1ln( dxxx 17) e
dxx
x
1
ln 18)
2
0
3 sin)cos(
xdxxx
19) 2
0
)1ln()72( dxxx 20) 3
2
2 )ln( dxxx
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
f(x)dx 0
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
.
Ví dụ: Tính tích phân
I=
2
2
2
cos x. ln(x x 1)dx
p
- p
+ +ò
Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì:
a a
a 0
f(x).dx (f(x) f( x)).dx
-
= + -ò ò .
Ví dụ: Tính tích phân
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = 2 2.cos2x- .
Tính tích phân
3
2
3
2
I f(x).dx
p
- p
= ò
Bài 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì
a a
0 0
f(x)dx f(a x).dx= -ò ò .
Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì
b b
a a
a bx.f(x)dx . f(x).dx
2
+=ò ò
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
9
Hệ quả: a) 2 2
0 0
f(sinx)dx f(cosx)dx
b) 0 0
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
.
Ví du: Tính tích phân
a) 2
0
I x. sin x.cos x.dx
p
= ò ;
2
2
2
0
1b)J ( tan (sin x)).dx
cos (cos x)
p
= -ò .
Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì :
T
a T T 2
Ta 0
2
f(x)dx f(x)dx f(x)dx, a R
+
-
= = " Îò ò ò .
Ví dụ: Tính các tích phân
a)
2
2
0
I ln(sin x 1 sin x)dx;
p
= + +ò b)
2008
2007
0
J sin x.dx
p
= ò .
Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì +
0
( )( ) vôùi R vaø a > 0
1x
f xdx f x dx
a
; a 1
Ví dụ : Tính các tích phân sau:
a)
1 4
12 1x
xdx
b)
1 2
1
1
1 2x
xdx
c) 2
sin
3 1x
xdx
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
1) n2
+
n n
0
cos xdx vôùi n Z
cos x sin x
; 2)
42
4 4
0
cos xdx
cos x sin x
; 3) .62
6 6
0
sin xdx
sin x cos x
4) 5
0
xsin xdx
; 5) 2
2
2
4 sin
x cosxdx
x
; 6)
1 4
2
1
sin
1
x xdx
x
; 7) 2
0
xsin xdx
4 cos x
8) 4 3
0
cos sinx x xdx
; 9)
1 2008
x
1
xdx
2007 1-
+ò ; 10)
4
2008
0
log (1 tan x).dx
p
+ò .
11)
4 6 6
x
4
sin x cos x
6 1
p
- p
+
+ò ; 12)
4
2
0
x. sin xdx
2 cos x
p
+ò .
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
10
D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích
phân theo biến t.
Chú ý: 2 2 2
2n 1 2 n 2 n
sin x 1 cos x 1 t .
(sin x) (sin x) . sin x (1 t ) . sin x+
= - = -
= = -
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
= ò .
Giải
Đặt t cos x dt sin xdx= Þ = -
x 0 t 1, x t 02
p= Þ = = Þ =
02
2 2 2 2
0 1
I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt
p
Þ = - = - -ò ò1 13 5
2 4
00
t t 2(t t )dt
3 5 15
æ ö÷ç= - = - =÷ç ÷çè øò .
Vậy 2
I15
= .
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích
phân theo biến t.
Chú ý: 2 2 2
2n 1 2 n 2 n
cos x sin x 1 t .
(cos x) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx+
= = -
= = -
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
= ò .
Giải
Đặt t sin x dt cos xdx= Þ =
x 0 t 0, x t 12
p= Þ = = Þ =
2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cos xdx
p p
Þ = = -ò ò1 13 5
2 2
00
2t t 8(1 t ) dt t
3 5 15
æ ö÷ç= - = - + =÷ç ÷çè øò .
Vậy 8
I15
= .
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
Chú ý: 2 21 cos2x 1 cos2x 1
cos x ;sin x ;sin x.cos x sin 2x2 2 2
+ -= = =
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
11
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
= ò .
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =ò ò2 2
2
0 0
1 1(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +ò ò
2 2
2
0 0
1 1(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +ò ò3 2
0
x 1 sin 2xsin 4x
16 64 24 32
p
æ ö p÷ç= - + =÷ç ÷çè ø.
Vậy I32
p= .
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân
2
0
dxI
cos x sin x 1
p
=+ +ò .
Giải
Đặt ( )2
2
x 1 x 2dtt tg dt tg 1 dx dx
2 2 2 t 1= Þ = + Þ =
+
x 0 t 0, x t 12
p= Þ = = Þ =
1
2 2
02 2
1 2dtI .
1 t 2t 1 t1
1 t 1 t
Þ =- +
+ ++ +
ò1
1
0
0
dtln t 1 ln 2
t 1= = + =
+ò .
Vậy I ln 2= .
4. Dạng liên kết
Ví dụ 5. Tính tích phân 0
xdxI
sin x 1
p
=+ò .
Giải
Đặt x t dx dt= p - Þ = - x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =
( )0
0
( t)dt tI dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
p - pÞ = - = -
p - + + +ò ò
0 0
dt dtI I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p= p - Þ =
+ +ò ò
( ) ( )2
20 0
dt dt
tt t2 4cossin cos
2 42 2
p p
p p= =
p-+
ò ò( )
( )( )
2 00
td
t2 4tg
t2 2 2 4cos
2 4
pp
p-
p p p= = - = p
p-
ò .
Vậy I = p .
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
12
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx2
p p
p=ò ò .
Ví dụ 6. Tính tích phân
2 2007
2007 2007
0
sin xI dx
sin x cos x
p
=+ò .
Giải
Đặt x t dx dt2
p= - Þ = -
x 0 t , x t 02 2
p p= Þ = = Þ =
( )
( ) ( )
20070
2007 2007
2
sin t2I dx
sin t cos t2 2
p
p-
Þ = -p p
- + -ò
2 2007
2007 2007
0
cos tdx J
sin t cos t
p
= =+ò (1).
Mặt khác
2
0
I J dx2
p
p+ = =ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I
4
p= .
Tổng quát:
2 2n n
n n n n
0 0
sin x cos xdx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+p= = Î
+ +ò ò Z .
Ví dụ 7. Tính tích phân
6 2
0
sin xI dx
sin x 3 cos x
p
=+ò và
6 2
0
cos xJ dx
sin x 3 cos x
p
=+ò .
Giải
+,
6 62 2
0 0
sin x 3 cos xI 3J dx (sin x 3 cos x)dx
sin x 3 cos x
p p
-- = = -
+ò ò
( ) 60
cos x 3 sin x 1 3p
= - - = - (1).
+,
( )
6 6
0 0
dx 1 dxI J dx
2sin x 3 cos x sin x3
p p
+ = =p+ +
ò ò
Đặt t x dt dx3
p= + Þ =
x 0 t , x t3 6 2
p p p= Þ = = Þ =
2 2
2
3 3
1 dt 1 sin tdtI J
2 sin t 2 sin t
p p
p p
Þ + = =ò ò ( )2 2
2
3 3
d(cos t)1 1 1 1d(cos t)
2 4 cos t 1 cos t 1cos t 1
p p
p p
= = -- +-ò ò
GV: TRẦN PHONG Khai giảng lớp mới hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt