-
Matlab trong Gii tch s 1/57
Chng 4: ng dng Matlab trong Gii tchs
Trn Minh Ton (1)
Vin Ton ng dng v Tin hc, HBK H Ni
H Ni, thng 1 nm 2012
(1)Email: [email protected]
-
Matlab trong Gii tch s 2/57
a thc ni suy
Ni dung1 a thc ni suy
Ni suy LagrangeNi suy NewtonNi suy bng a thc ChebyshevNi suy bng a thc Hermit (c thm)
2 Gii gn ng phng trnhPhng php chia iPhng php dy cungPhng php Newton - Raphson
3 Gii gn ng h phng trnhPhng php lp nPhng php JacobiPhng php Gauss-SeidelPhng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
4 Gii gn ng phng trnh vi phn thngPhng php EulerPhng php Euler ci tin (Modified Euler hay RK-2)Phng php Runge-KuttaH phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
-
Matlab trong Gii tch s 3/57
a thc ni suy
a thc ni suy
Trong thc t, nhiu khi ta phi tm hm = () m ch bit gi tr ticc im [, ] ( = 0, 1, . . . , ). Hoc trong nhiu trng hp biu dingii tch ca () cho nhng qu cng knh. Khi dng php ni suy ta cth d dng tnh c ti bt k im [, ] m chnh xc khng kmbao nhiu.
Bi ton t ra:
Cho cc mc ni suy 0 < 1 < < . Hy tm a thc (bc )() =
=0
sao cho:
() = = () ( = 0 ) (1.1)
a thc () gi l a thc ni suy ca hm = (). Ta chn a thc ni suy hm v a thc l loi hm n gin, lun c o hm v nguyn hm.Vic tnh gi tr ca n theo thut ton Horner cng n gin.
-
Matlab trong Gii tch s 4/57
a thc ni suy
a thc ni suyCch tip cn Vandermond
Cc h s 0, 1, . . . , ca a thc ni suy bc c th c tnh bng cchgii h
0
10 20 0 1
1 11 21 1 1
2 12 22 2 1
......
1 2 1
012...
=012...
hay
=
H trn c nh thc Vandermond || =
1
-
Matlab trong Gii tch s 5/57
a thc ni suy
Ni suy Lagrange
Ni suy Lagrange
Trc ht tm a thc () c bc sao cho:
() =
{1 nu =
0 nu = , (, = 0 )
D thy () c dng:
() =
=
( ) =
( )
t () ==0
.() ==1
=
( ) =
( ) ta c ngay:
() =
=1
.() = ( = 0 ) (1.2)
Vy () l a thc ni suy duy nht cn tm.
-
Matlab trong Gii tch s 6/57
a thc ni suy
Ni suy Newton
Ni suy NewtonNi suy Newton tin
Cng thc ni suy Lagrange c u im l n gin, d lp trnh nhng nuthm mc ni suy th phi tnh li ton b. Nhc im ny s c khc phctrong cng thc Newton.
Cng thc ni suy Newton tin
() = (0) + ( 0) [0, 1] + ( 0) ( 1) [0, 1, 2] + + ( 0) ( 1) . . . ( 1) [0, 1, . . . , ] ,
trong cc t hiu c tnh theo cng thc
[1, ] =() (1)
1 ;
[0, 1, . . . , ] = [1, . . . , ] [0, . . . , 1]
0 (1.3)
-
Matlab trong Gii tch s 6/57
a thc ni suy
Ni suy Newton
Ni suy NewtonNi suy Newton tin
Cng thc ni suy Lagrange c u im l n gin, d lp trnh nhng nuthm mc ni suy th phi tnh li ton b. Nhc im ny s c khc phctrong cng thc Newton.
Cng thc ni suy Newton tin
() = (0) + ( 0) [0, 1] + ( 0) ( 1) [0, 1, 2] + + ( 0) ( 1) . . . ( 1) [0, 1, . . . , ] ,
trong cc t hiu c tnh theo cng thc
[1, ] =() (1)
1 ;
[0, 1, . . . , ] = [1, . . . , ] [0, . . . , 1]
0 (1.3)
-
Matlab trong Gii tch s 7/57
a thc ni suy
Ni suy Newton
Ni suy NewtonNi suy Newton li
Nu cc mc ni suy c sp xp theo th t gim dn
, 1, . . . , 1, 0
th ta c cng thc ni suy Newton li xut pht t mc :
() = () + ( ) [, 1] + ( ) ( 1) [, 1, 2]+ + ( ) ( 1) . . . ( 1) [, 1, . . . , 1, 0] ,
trong cc t hiu c tnh nh trong cng thc (1.3).
-
Matlab trong Gii tch s 8/57
a thc ni suy
Ni suy Newton
Sai s ca php ni suy
nh l 1.1
Gi s hm : R R kh vi lin tc n cp + 1 trn [, ]( (+1)[, ]) v [, ], = 0 : . Khi tn ti = () [, ] saocho
() () = 1(+ 1)!
(+1)()( 0) . . . ( ).
T ta c cng thc c lng sai s
|() ()| 1(+ 1)!
+1() |( 0) . . . ( )| ,
trong +1() = max[,]
(+1)()
.
-
Matlab trong Gii tch s 9/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Xt trng hp ni suy a thc cho hm () trn on [1, 1] da trncc mc ni suy 1 0 < 1 < < 1. Khi cng thc nhgi sai s ca cc a thc ni suy Lagrange v Newton u c dng
|() ()| |()| 1(+ 1)!
max[1,1]
(+1)()
,
trong a thc bc + 1:
() = ( 0)( 1) . . . ( ).Ta mun chn cc mc ni suy {}=0 cc tiu gi tr max11 |()|.iu ny dn ti vic s dng a thc ni suy Chebyshev.
-
Matlab trong Gii tch s 9/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Xt trng hp ni suy a thc cho hm () trn on [1, 1] da trncc mc ni suy 1 0 < 1 < < 1. Khi cng thc nhgi sai s ca cc a thc ni suy Lagrange v Newton u c dng
|() ()| |()| 1(+ 1)!
max[1,1]
(+1)()
,
trong a thc bc + 1:
() = ( 0)( 1) . . . ( ).Ta mun chn cc mc ni suy {}=0 cc tiu gi tr max11 |()|.iu ny dn ti vic s dng a thc ni suy Chebyshev.
-
Matlab trong Gii tch s 10/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
nh ngha 1.1
Cc hm() = cos( arccos()), = 0, 1, 2, . . .
gi l cc a thc Chebyshev trong on [1, 1].
Ch 1.1
Cc hm trn thc s l cc a thc. Tht vy, t = arccos(). ng nhtthc
cos(+ 1) + cos( 1) = 2 cos coscho ta cng thc truy hi
+1() = 2() 1().Vi 0() = 1, 1() = , r rng () .
-
Matlab trong Gii tch s 11/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Bng mt s a thc ni suy Chebyshev u tin
0() = 11() = 2() = 2
2 13() = 4
3 34() = 8
4 82 15() = 16
5 203 + 56() = 32
6 484 + 182 17() = 64
7 1125 + 563 7. . .
-
Matlab trong Gii tch s 12/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc ChebyshevMt s tnh cht ca a thc Chebyshev
Cc h s ca a thc Chebyshev u nguyn.
H s ng vi bc cao nht l = 21.
2 l hm chn, 2+1 l hm l.
|()| 1 vi [1, 1] v () = 1 vi = cos(/).(1) = 1, (1) = (1).
() = 0 vi = cos
((2 1)
2
), = 1, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 12/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc ChebyshevMt s tnh cht ca a thc Chebyshev
Cc h s ca a thc Chebyshev u nguyn.
H s ng vi bc cao nht l = 21.
2 l hm chn, 2+1 l hm l.
|()| 1 vi [1, 1] v () = 1 vi = cos(/).(1) = 1, (1) = (1).
() = 0 vi = cos
((2 1)
2
), = 1, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 12/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc ChebyshevMt s tnh cht ca a thc Chebyshev
Cc h s ca a thc Chebyshev u nguyn.
H s ng vi bc cao nht l = 21.
2 l hm chn, 2+1 l hm l.
|()| 1 vi [1, 1] v () = 1 vi = cos(/).(1) = 1, (1) = (1).
() = 0 vi = cos
((2 1)
2
), = 1, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 12/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc ChebyshevMt s tnh cht ca a thc Chebyshev
Cc h s ca a thc Chebyshev u nguyn.
H s ng vi bc cao nht l = 21.
2 l hm chn, 2+1 l hm l.
|()| 1 vi [1, 1] v () = 1 vi = cos(/).(1) = 1, (1) = (1).
() = 0 vi = cos
((2 1)
2
), = 1, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 12/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc ChebyshevMt s tnh cht ca a thc Chebyshev
Cc h s ca a thc Chebyshev u nguyn.
H s ng vi bc cao nht l = 21.
2 l hm chn, 2+1 l hm l.
|()| 1 vi [1, 1] v () = 1 vi = cos(/).(1) = 1, (1) = (1).
() = 0 vi = cos
((2 1)
2
), = 1, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 12/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc ChebyshevMt s tnh cht ca a thc Chebyshev
Cc h s ca a thc Chebyshev u nguyn.
H s ng vi bc cao nht l = 21.
2 l hm chn, 2+1 l hm l.
|()| 1 vi [1, 1] v () = 1 vi = cos(/).(1) = 1, (1) = (1).
() = 0 vi = cos
((2 1)
2
), = 1, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 13/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
nh l 1.2
Gi s c nh. Trong s tt c cc cch chn () v cc mc phn bit{}=0 [1, 1], a thc () = +1()/2 l s la chn suy nht thamn
max11
{| ()|} max11
{|()|} .
Hn na
max11
{| ()|} = 12
.
-
Matlab trong Gii tch s 14/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Cc mc ni suy trn on [1, 1] c xc nh bi
= cos
((2+ 1 2)
2+ 2
), = 0, 1, . . . ,
S dng php i bin [1, 1] [, ]:
=
( 2
)+
+
2 = 2
1
Cc mc ni suy trn on [, ] bt k
=
( 2
)++
2
= cos
((2+ 1 2)
2+ 2
)( 2
)++
2, = 0, 1, . . . , . (1.4)
-
Matlab trong Gii tch s 14/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Cc mc ni suy trn on [1, 1] c xc nh bi
= cos
((2+ 1 2)
2+ 2
), = 0, 1, . . . ,
S dng php i bin [1, 1] [, ]:
=
( 2
)+
+
2 = 2
1
Cc mc ni suy trn on [, ] bt k
=
( 2
)++
2
= cos
((2+ 1 2)
2+ 2
)( 2
)++
2, = 0, 1, . . . , . (1.4)
-
Matlab trong Gii tch s 14/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Cc mc ni suy trn on [1, 1] c xc nh bi
= cos
((2+ 1 2)
2+ 2
), = 0, 1, . . . ,
S dng php i bin [1, 1] [, ]:
=
( 2
)+
+
2 = 2
1
Cc mc ni suy trn on [, ] bt k
=
( 2
)++
2
= cos
((2+ 1 2)
2+ 2
)( 2
)++
2, = 0, 1, . . . , . (1.4)
-
Matlab trong Gii tch s 15/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
nh l 1.3
Gi s () l a thc ni suy Lagrange vi cc mc ni suy (1.4). Khi nu +1 [, ] th ta c
|() ()| 2( )+1
4+1(+ 1)!max
{ (+1)()
}.
V d 1
Xt hm () = sin trn[0,
4
]. Cc mc ni suy Chebyshev
= cos
((11 2)
12
)
8+
8, = 0, 1, . . . , 5.
S dng nh gi (6)()
| sin (/4)| = 21/2 =: ta thu c
|() 5()| (8
)6( 26!
)21/2 = 0.00000720.
-
Matlab trong Gii tch s 16/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Cng thc ni suy Chebyshev
Hm () c xp x bi
() =0
()
(1.5)
trong
=2
( +
2
);
0 =1
+ 1
=0
()0 () =
1
+ 1
=0
();
=2
+ 1
=0
() () =
2
+ 1
=0
() cos(2+ 1 2)
2(+ 1), = 1, 2, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 16/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Cng thc ni suy Chebyshev
Hm () c xp x bi
() =0
()
(1.5)
trong
=2
( +
2
);
0 =1
+ 1
=0
()0 () =
1
+ 1
=0
();
=2
+ 1
=0
() () =
2
+ 1
=0
() cos(2+ 1 2)
2(+ 1), = 1, 2, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 16/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
Cng thc ni suy Chebyshev
Hm () c xp x bi
() =0
()
(1.5)
trong
=2
( +
2
);
0 =1
+ 1
=0
()0 () =
1
+ 1
=0
();
=2
+ 1
=0
() () =
2
+ 1
=0
() cos(2+ 1 2)
2(+ 1), = 1, 2, . . . , .
-
Matlab trong Gii tch s 17/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
V d 2
Tm a thc ni suy Chebyshev bc 3 ca hm () = trn [1, 1].
Cc mc ni suy: = cos
((2 + 1)
8
), = 0, 1, 2, 3;
Cc h s:
0 =1
4
3=0
0 () =1
4
3=0
= 1.26606568
1 =1
2
3=0
1 () =1
4
3=0
= 1.13031500
2 =1
2
3=0
2 () =1
4
3=0
cos
(2
2 + 1
8
)= 0.27145036
3 =1
2
3=0
2 () =1
4
3=0
cos
(3
2 + 1
8
)= 0.04379392.
-
Matlab trong Gii tch s 17/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
V d 2
Tm a thc ni suy Chebyshev bc 3 ca hm () = trn [1, 1].
Cc mc ni suy: = cos
((2 + 1)
8
), = 0, 1, 2, 3;
Cc h s:
0 =1
4
3=0
0 () =1
4
3=0
= 1.26606568
1 =1
2
3=0
1 () =1
4
3=0
= 1.13031500
2 =1
2
3=0
2 () =1
4
3=0
cos
(2
2 + 1
8
)= 0.27145036
3 =1
2
3=0
2 () =1
4
3=0
cos
(3
2 + 1
8
)= 0.04379392.
-
Matlab trong Gii tch s 18/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Chebyshev
Ni suy bng a thc Chebyshev
V d 2 (tip)
a thc ni suy Chebyshev bc 3
3() =3=0
()
= 1.266065680() + 1.130315001() + 0.271450362() + 0.043793923()
= 0.99461532 + 0.99893324+ 0.542900722 + 0.175175683.
-
Matlab trong Gii tch s 19/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Hermit (c thm)
Ni suy bng a thc Hermit
Trong mt s trng hp, ta cn tm hm a thc khng nhng i quanhng im cho trc m cn phi tha mn iu kin v o hm ticc im . Ta gi cc a thc l a thc ni suy Hermit.
n gin, ta kho st a thc bc 3:
() = 33 +2
2 +1+0
i qua hai im (0, 0) , (1, 1) v c cc o hm l 0,
1. Nh vy
ta phi tm cc h s , = 0, 3 bng cch gii h phng trnh (0) = 3
30 +2
20 +10 +0 = 0
(1) = 331 +2
21 +11 +0 = 1
(0) = 33
20 + 220 +1 =
0
(1) = 33
21 + 221 +1 =
1
-
Matlab trong Gii tch s 20/57
a thc ni suy
Ni suy bng a thc Hermit (c thm)
Ni suy bng a thc Hermit
Cc o hm bc nht c tnh gn ng bi
0 = (0 + ) (0)
=:
2 0
0 = (1) (1 )
=:
1 3
By gi ta tm a thc ni suy Lagange hay Newton i qua 4 im
(0, 0) ,(2 = 0 + , 2 = 0 +
0),(3 = 1 , 3 = 1 + 1
), (1, 1) .
-
Matlab trong Gii tch s 21/57
Gii gn ng phng trnh
Ni dung1 a thc ni suy
Ni suy LagrangeNi suy NewtonNi suy bng a thc ChebyshevNi suy bng a thc Hermit (c thm)
2 Gii gn ng phng trnhPhng php chia iPhng php dy cungPhng php Newton - Raphson
3 Gii gn ng h phng trnhPhng php lp nPhng php JacobiPhng php Gauss-SeidelPhng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
4 Gii gn ng phng trnh vi phn thngPhng php EulerPhng php Euler ci tin (Modified Euler hay RK-2)Phng php Runge-KuttaH phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
-
Matlab trong Gii tch s 22/57
Gii gn ng phng trnh
Gii gn ng phng trnh
Trong chng ny, chng ta s nghin cu mt s phng php gii phngtrnh mt bin s:
() = 0, (2.1)
trong () l mt hm s (hay siu vit).Phng trnh (2.1) ch gii c ng trong mt s trng hp c bit, nichung rt phc tp, do chng ta phi tm cch gii gn ng. Ngoi ra cch s ca () trong thc t ch bit gn ng v th vic gii ng (2.1)chng nhng khng thc hin c m nhiu khi khng c ngha. gii (2.1) thng thng c hai bc:
1 Gii s b: i tm mt khong b cha nghim
Vy nghim: Tm on b cha cc nghimTch nghim: Tch cc on b, mi on ch cha mtnghim
2 Gii kin ton: Tm nghim vi chnh xc cn thit
-
Matlab trong Gii tch s 22/57
Gii gn ng phng trnh
Gii gn ng phng trnh
Trong chng ny, chng ta s nghin cu mt s phng php gii phngtrnh mt bin s:
() = 0, (2.1)
trong () l mt hm s (hay siu vit).Phng trnh (2.1) ch gii c ng trong mt s trng hp c bit, nichung rt phc tp, do chng ta phi tm cch gii gn ng. Ngoi ra cch s ca () trong thc t ch bit gn ng v th vic gii ng (2.1)chng nhng khng thc hin c m nhiu khi khng c ngha. gii (2.1) thng thng c hai bc:
1 Gii s b: i tm mt khong b cha nghim
Vy nghim: Tm on b cha cc nghimTch nghim: Tch cc on b, mi on ch cha mtnghim
2 Gii kin ton: Tm nghim vi chnh xc cn thit
-
Matlab trong Gii tch s 22/57
Gii gn ng phng trnh
Gii gn ng phng trnh
Trong chng ny, chng ta s nghin cu mt s phng php gii phngtrnh mt bin s:
() = 0, (2.1)
trong () l mt hm s (hay siu vit).Phng trnh (2.1) ch gii c ng trong mt s trng hp c bit, nichung rt phc tp, do chng ta phi tm cch gii gn ng. Ngoi ra cch s ca () trong thc t ch bit gn ng v th vic gii ng (2.1)chng nhng khng thc hin c m nhiu khi khng c ngha. gii (2.1) thng thng c hai bc:
1 Gii s b: i tm mt khong b cha nghim
Vy nghim: Tm on b cha cc nghimTch nghim: Tch cc on b, mi on ch cha mtnghim
2 Gii kin ton: Tm nghim vi chnh xc cn thit
-
Matlab trong Gii tch s 22/57
Gii gn ng phng trnh
Gii gn ng phng trnh
Trong chng ny, chng ta s nghin cu mt s phng php gii phngtrnh mt bin s:
() = 0, (2.1)
trong () l mt hm s (hay siu vit).Phng trnh (2.1) ch gii c ng trong mt s trng hp c bit, nichung rt phc tp, do chng ta phi tm cch gii gn ng. Ngoi ra cch s ca () trong thc t ch bit gn ng v th vic gii ng (2.1)chng nhng khng thc hin c m nhiu khi khng c ngha. gii (2.1) thng thng c hai bc:
1 Gii s b: i tm mt khong b cha nghim
Vy nghim: Tm on b cha cc nghimTch nghim: Tch cc on b, mi on ch cha mtnghim
2 Gii kin ton: Tm nghim vi chnh xc cn thit
-
Matlab trong Gii tch s 23/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php chia i
Phng php chia i
Gi s hm s () lin tc trn on [, ] v ().() < 0.
Chia [, ] thnh 2 phn bi im gia =+
2
1 Nu () = 0 th nghim = 2 Nu () = 0 th chn [, ] hoc [, ] m gi tr hm ti hai
u tri du v k hiu l [1, 1]. i vi [1, 1] li tin hnhnh [, ].
u im ca phng php chia i l thut ton n gin do d lptrnh. Tuy nhin do phng php chia i s dng rt t thng tin v hm() nn tc hi t kh chm v ch s dng gii s b phngtrnh.
-
Matlab trong Gii tch s 23/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php chia i
Phng php chia i
Gi s hm s () lin tc trn on [, ] v ().() < 0.
Chia [, ] thnh 2 phn bi im gia =+
2
1 Nu () = 0 th nghim = 2 Nu () = 0 th chn [, ] hoc [, ] m gi tr hm ti hai
u tri du v k hiu l [1, 1]. i vi [1, 1] li tin hnhnh [, ].
u im ca phng php chia i l thut ton n gin do d lptrnh. Tuy nhin do phng php chia i s dng rt t thng tin v hm() nn tc hi t kh chm v ch s dng gii s b phngtrnh.
-
Matlab trong Gii tch s 23/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php chia i
Phng php chia i
Gi s hm s () lin tc trn on [, ] v ().() < 0.
Chia [, ] thnh 2 phn bi im gia =+
2
1 Nu () = 0 th nghim = 2 Nu () = 0 th chn [, ] hoc [, ] m gi tr hm ti hai
u tri du v k hiu l [1, 1]. i vi [1, 1] li tin hnhnh [, ].
u im ca phng php chia i l thut ton n gin do d lptrnh. Tuy nhin do phng php chia i s dng rt t thng tin v hm() nn tc hi t kh chm v ch s dng gii s b phngtrnh.
-
Matlab trong Gii tch s 23/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php chia i
Phng php chia i
Gi s hm s () lin tc trn on [, ] v ().() < 0.
Chia [, ] thnh 2 phn bi im gia =+
2
1 Nu () = 0 th nghim = 2 Nu () = 0 th chn [, ] hoc [, ] m gi tr hm ti hai
u tri du v k hiu l [1, 1]. i vi [1, 1] li tin hnhnh [, ].
u im ca phng php chia i l thut ton n gin do d lptrnh. Tuy nhin do phng php chia i s dng rt t thng tin v hm() nn tc hi t kh chm v ch s dng gii s b phngtrnh.
-
Matlab trong Gii tch s 23/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php chia i
Phng php chia i
Gi s hm s () lin tc trn on [, ] v ().() < 0.
Chia [, ] thnh 2 phn bi im gia =+
2
1 Nu () = 0 th nghim = 2 Nu () = 0 th chn [, ] hoc [, ] m gi tr hm ti hai
u tri du v k hiu l [1, 1]. i vi [1, 1] li tin hnhnh [, ].
u im ca phng php chia i l thut ton n gin do d lptrnh. Tuy nhin do phng php chia i s dng rt t thng tin v hm() nn tc hi t kh chm v ch s dng gii s b phngtrnh.
-
Matlab trong Gii tch s 24/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php dy cung
Phng php dy cung
Gi s () lin tc trn on [, ] v tha mn ().() < 0. Khngmt tng qut ta gi s () < 0 v () > 0. Khi , thay v chia i
on [, ], ta chia theo t l ()()
v thu c nghim gn ng
1 = + 1
trong
1 =()
() + () ( ).
Tip theo dng cch trn vi mt trong hai on [, 1] hay [1, ] mgi tr hm ti hai u tri du ta thu c nghim gn ng 2.
Cng thc lp ca phng php dy cung:
= 1 1() (1) . (1) ,
trong 0 = (hoc 0 = ) th = (hoc ).
-
Matlab trong Gii tch s 24/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php dy cung
Phng php dy cung
Gi s () lin tc trn on [, ] v tha mn ().() < 0. Khngmt tng qut ta gi s () < 0 v () > 0. Khi , thay v chia i
on [, ], ta chia theo t l ()()
v thu c nghim gn ng
1 = + 1
trong
1 =()
() + () ( ).
Tip theo dng cch trn vi mt trong hai on [, 1] hay [1, ] mgi tr hm ti hai u tri du ta thu c nghim gn ng 2.
Cng thc lp ca phng php dy cung:
= 1 1() (1) . (1) ,
trong 0 = (hoc 0 = ) th = (hoc ).
-
Matlab trong Gii tch s 24/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php dy cung
Phng php dy cung
Gi s () lin tc trn on [, ] v tha mn ().() < 0. Khngmt tng qut ta gi s () < 0 v () > 0. Khi , thay v chia i
on [, ], ta chia theo t l ()()
v thu c nghim gn ng
1 = + 1
trong
1 =()
() + () ( ).
Tip theo dng cch trn vi mt trong hai on [, 1] hay [1, ] mgi tr hm ti hai u tri du ta thu c nghim gn ng 2.
Cng thc lp ca phng php dy cung:
= 1 1() (1) . (1) ,
trong 0 = (hoc 0 = ) th = (hoc ).
-
Matlab trong Gii tch s 25/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php Newton - Raphson
Phng php Newton - Raphson
Phng php Newton (cn gi l phng php tip tuyn) c dng nhiu v
n hi t nhanh. Tuy nhin phng php ny i hi phi tnh o hm ().
Cng thc Newton - raphson c suy t khai trin Taylor ca () trong lncn :
(+1) = () + () (+1 ) + (+1 )2 .
Nu +1 l nghim ca phng trnh () = 0 th ta c
0 = () + () (+1 ) + (+1 )2 .
Gi s gn vi +1, ta c th b qua s hng cui v thu c cng thcNewton - Raphson:
+1 = () ()
(2.2)
-
Matlab trong Gii tch s 26/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php Newton - Raphson
Phng php Newton - Raphson
Thut ton c tm lc nh sau
1 Cho 0
2 Tnh = () ()
3 Cho = +
4 Lp li bc 2 v bc 3 cho n khi || <
-
Matlab trong Gii tch s 26/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php Newton - Raphson
Phng php Newton - Raphson
Thut ton c tm lc nh sau
1 Cho 0
2 Tnh = () ()
3 Cho = +
4 Lp li bc 2 v bc 3 cho n khi || <
-
Matlab trong Gii tch s 26/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php Newton - Raphson
Phng php Newton - Raphson
Thut ton c tm lc nh sau
1 Cho 0
2 Tnh = () ()
3 Cho = +
4 Lp li bc 2 v bc 3 cho n khi || <
-
Matlab trong Gii tch s 26/57
Gii gn ng phng trnh
Phng php Newton - Raphson
Phng php Newton - Raphson
Thut ton c tm lc nh sau
1 Cho 0
2 Tnh = () ()
3 Cho = +
4 Lp li bc 2 v bc 3 cho n khi || <
-
Matlab trong Gii tch s 27/57
Gii gn ng h phng trnh
Ni dung1 a thc ni suy
Ni suy LagrangeNi suy NewtonNi suy bng a thc ChebyshevNi suy bng a thc Hermit (c thm)
2 Gii gn ng phng trnhPhng php chia iPhng php dy cungPhng php Newton - Raphson
3 Gii gn ng h phng trnhPhng php lp nPhng php JacobiPhng php Gauss-SeidelPhng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
4 Gii gn ng phng trnh vi phn thngPhng php EulerPhng php Euler ci tin (Modified Euler hay RK-2)Phng php Runge-KuttaH phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
-
Matlab trong Gii tch s 28/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php lp n
Phng php lp n
Xt h phng trnh i s tuyn tnh:
= , (3.3)
trong R l ma trn cp , R l vector cho trc, cn R l vector nghim cn tm. gii lp h (4.1) ta bin i n v dng thun tin cho php lp
= + , (3.4)
-
Matlab trong Gii tch s 28/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php lp n
Phng php lp n
Xt h phng trnh i s tuyn tnh:
= , (3.3)
trong R l ma trn cp , R l vector cho trc, cn R l vector nghim cn tm. gii lp h (4.1) ta bin i n v dng thun tin cho php lp
= + , (3.4)
-
Matlab trong Gii tch s 29/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php lp n
Phng php lp n
Da vo nguyn l nh x co ta c kt qu sau:
nh l 3.1
Gi s < 1. Khi mi dy lp
(+1) = () + ( 0) (3.5)trong (0) R bt k cho trc, u hi t n nghim duy nht * caphng trnh (3.4). Hn na ta c cc nh gi sai s:
() (0)
1 (1) (0)
,
() *
1
() (1)
.
-
Matlab trong Gii tch s 30/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Jacobi
Phng php Jacobi
nh ngha 3.1
Ma trn = ()1 c gi l ma trn (ng) cho tri (strictly diagonally
dominant) nu
|| >=1 =
| | vi = 1, 2, . . . , . (3.6)
nh l 3.2
Gi s l ma trn cho tri. Khi h (4.1) c th c bin i v dngphng trnh (3.4) vi
=
, = ()1 , =
0, =
, = .
-
Matlab trong Gii tch s 30/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Jacobi
Phng php Jacobi
nh ngha 3.1
Ma trn = ()1 c gi l ma trn (ng) cho tri (strictly diagonally
dominant) nu
|| >=1 =
| | vi = 1, 2, . . . , . (3.6)
nh l 3.2
Gi s l ma trn cho tri. Khi h (4.1) c th c bin i v dngphng trnh (3.4) vi
=
, = ()1 , =
0, =
, = .
-
Matlab trong Gii tch s 31/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Jacobi
Phng php Jacobi
D thy
= max1=1
| | = max1
=
| |
|| < 1.
Cng thc lp Jacobi
Gi s phn t th ca dy lp l () =(()1 ,
()2 , . . . ,
()
). Khi phn
t k tip (+1) =((+1)1 ,
(+1)2 , . . . ,
(+1)
)s c tnh theo cng thc
(+1) =
1
( 1()1 ,1()1 ,+1()+1 ()
),
= 1, . . . , . (3.7)
-
Matlab trong Gii tch s 32/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Gauss-Seidel
Phng php Gauss-Seidel
Cng thc lp Gauss-Seidel
Gi s phn t th ca dy lp l () =(()1 ,
()2 , . . . ,
()
). Khi phn
t k tip (+1) =((+1)1 ,
(+1)2 , . . . ,
(+1)
)s c tnh theo cng thc
(+1) =
1
( 1(+1)1 ,1(+1)1 ,+1()+1 ()
),
= 1, . . . , . (3.8)
-
Matlab trong Gii tch s 33/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
n gin, ta ch xt trong trng hp hai chiu. Cc kt qu ny c th ddng m rng cho cc trng hp nhiu chiu hn.
Mc tiu
Tm phng php gii h phng trnh phi tuyn
1(, ) = 0
2(, ) = 0, (3.9)
trong 1, 2 l cc hm (phi tuyn) ph thuc vo hai bin , .
nh ngha 3.2
Ma trn Jacobi ca cc hm 1(, ) v 2(, ) c xc nh bi
(, ) =
1 (, ) 1 (, )2
(, )2
(, )
(3.10)
-
Matlab trong Gii tch s 34/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
o hm m rng
Gi s cc hm = 1(, ) v = 2(, ) bit cc gi tr ti im(0, 0). Ta mun d on gi tr ca chng ti im ln cn (, ). Khi theo cc cng thc vi phn ton phn ta c
=1
(0, 0) +1
(0, 0)
=2
(0, 0) +2
(0, 0)
hoc c th vit di dng ma trn
=
[
]= (0, 0)
[
]= (0, 0) . (3.11)
-
Matlab trong Gii tch s 35/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
nh ngha 3.3
im (, ) c gi l im bt ng ca hai phng trnh
= 1(, ) (3.12a)
= 2(, ) (3.12b)
nu = 1(, ) v = 1(, ).
nh ngha 3.4
Php lp im bt ng ca phng trnh (3.12a), (3.12b) c xc nh bi
+1 = 1 (, ) (3.13a)
+1 = 2 (, ) , 0. (3.13b)
-
Matlab trong Gii tch s 36/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
nh l 3.3
Gi s cc hm trong h phng trnh (3.12a), (3.12b) v cc o hm ringca chng lin tc trong ln cn ca im bt ng (, ). Khi nu imxut pht (0, 0) c chn gn (, ), ng thi
1
(, )
+
1
(, )
< 1
2
(, )
+
2
(, )
< 1
th dy lp (3.13a), (3.13b) hi t n im bt ng (, ) ca h (3.12a),(3.12b).
-
Matlab trong Gii tch s 37/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Xt cc hm = 1(, ) v = 2(, ). Gi s cc hm 1, 2 c cc ohm ring lin tc trong ln cn ca im (0, 0). Khi trong ln cn ny tas c cc xp x tuyn tnh:
0 = 1
(0, 0) ( 0) + 1
(0, 0) ( 0)
0 = 2
(0, 0) ( 0) + 2
(0, 0) ( 0) ,
hay c th vit di dng
=
[ 0 0
]=
1 (0, 0) 1 (0, 0)2
(0, 0)2
(0, 0)
[ 0 0
]= (0, 0).
(3.14)
-
Matlab trong Gii tch s 37/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Xt cc hm = 1(, ) v = 2(, ). Gi s cc hm 1, 2 c cc ohm ring lin tc trong ln cn ca im (0, 0). Khi trong ln cn ny tas c cc xp x tuyn tnh:
0 = 1
(0, 0) ( 0) + 1
(0, 0) ( 0)
0 = 2
(0, 0) ( 0) + 2
(0, 0) ( 0) ,
hay c th vit di dng
=
[ 0 0
]=
1 (0, 0) 1 (0, 0)2
(0, 0)2
(0, 0)
[ 0 0
]= (0, 0).
(3.14)
-
Matlab trong Gii tch s 38/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Ta s dng (3.14) xy dng dy lp Newton gii h
0 = 1(, )
0 = 2(, ). (3.15)
Gi s (, ) l nghim ca (3.15), tc l 0 = 1(, ) v 0 = 2(, ). Xt sbin thin ca cc hm , ti im (0, 0):
= 0 = 0 = 0 = 0
t (, ) = (, ) trong (3.15) ta thy (, ) = (0, 0), do
0 = 1(, ) 1 (0, 0) = 1(0, 0) 0 = 2(, ) 2 (0, 0) = 2(0, 0)
-
Matlab trong Gii tch s 39/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
T ta thu c
1 (0, 0) 1 (0, 0)2
(0, 0)2
(0, 0)
[
]=
[1 (0, 0)2 (0, 0)
]
hay
(0, 0) = (0, 0) . (3.16)
Nu ma trn (0, 0) l khng suy bin th ta c
= [ (0, 0)]1 (0, 0) . (3.17)
-
Matlab trong Gii tch s 40/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuynLc lp Newton
Gi s bc th ta c .
Bc 1 : Tnh gi tr ca vector hm () =
[1 (, )2 (, )
];
Bc 2 : Tnh gi tr ca ma trn Jacobi
() =
1 (, ) 1 (, )2
(, )2
(, )
;Bc 3 : Gii h i s tuyn tnh vi (n ): () = ();Bc 4 : Tnh xp x tip theo theo cng thc: +1 = + ;
Lp li qu trnh trn.
-
Matlab trong Gii tch s 40/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuynLc lp Newton
Gi s bc th ta c .
Bc 1 : Tnh gi tr ca vector hm () =
[1 (, )2 (, )
];
Bc 2 : Tnh gi tr ca ma trn Jacobi
() =
1 (, ) 1 (, )2
(, )2
(, )
;Bc 3 : Gii h i s tuyn tnh vi (n ): () = ();Bc 4 : Tnh xp x tip theo theo cng thc: +1 = + ;
Lp li qu trnh trn.
-
Matlab trong Gii tch s 40/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuynLc lp Newton
Gi s bc th ta c .
Bc 1 : Tnh gi tr ca vector hm () =
[1 (, )2 (, )
];
Bc 2 : Tnh gi tr ca ma trn Jacobi
() =
1 (, ) 1 (, )2
(, )2
(, )
;Bc 3 : Gii h i s tuyn tnh vi (n ): () = ();Bc 4 : Tnh xp x tip theo theo cng thc: +1 = + ;
Lp li qu trnh trn.
-
Matlab trong Gii tch s 40/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuynLc lp Newton
Gi s bc th ta c .
Bc 1 : Tnh gi tr ca vector hm () =
[1 (, )2 (, )
];
Bc 2 : Tnh gi tr ca ma trn Jacobi
() =
1 (, ) 1 (, )2
(, )2
(, )
;Bc 3 : Gii h i s tuyn tnh vi (n ): () = ();Bc 4 : Tnh xp x tip theo theo cng thc: +1 = + ;
Lp li qu trnh trn.
-
Matlab trong Gii tch s 40/57
Gii gn ng h phng trnh
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
Phng php Newton gii h phng trnh phi tuynLc lp Newton
Gi s bc th ta c .
Bc 1 : Tnh gi tr ca vector hm () =
[1 (, )2 (, )
];
Bc 2 : Tnh gi tr ca ma trn Jacobi
() =
1 (, ) 1 (, )2
(, )2
(, )
;Bc 3 : Gii h i s tuyn tnh vi (n ): () = ();Bc 4 : Tnh xp x tip theo theo cng thc: +1 = + ;
Lp li qu trnh trn.
-
Matlab trong Gii tch s 41/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Ni dung1 a thc ni suy
Ni suy LagrangeNi suy NewtonNi suy bng a thc ChebyshevNi suy bng a thc Hermit (c thm)
2 Gii gn ng phng trnhPhng php chia iPhng php dy cungPhng php Newton - Raphson
3 Gii gn ng h phng trnhPhng php lp nPhng php JacobiPhng php Gauss-SeidelPhng php Newton gii h phng trnh phi tuyn
4 Gii gn ng phng trnh vi phn thngPhng php EulerPhng php Euler ci tin (Modified Euler hay RK-2)Phng php Runge-KuttaH phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
-
Matlab trong Gii tch s 42/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Bi ton gi tr ban u
Bi ton 4.1
Tm hm s = () tha mn iu kin
= (, ), 0 ; (0) = 0.
Ngi ta chng minh c rng bi ton trn c duy nht nghim nu thamn iu kin Lipschitz theo i :
| (, 1) (, 2)| |1 2|
vi l mt hng s dng.
-
Matlab trong Gii tch s 42/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Bi ton gi tr ban u
Bi ton 4.1
Tm hm s = () tha mn iu kin
= (, ), 0 ; (0) = 0.
Ngi ta chng minh c rng bi ton trn c duy nht nghim nu thamn iu kin Lipschitz theo i :
| (, 1) (, 2)| |1 2|
vi l mt hng s dng.
-
Matlab trong Gii tch s 43/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Bi ton gi tr ban u
Mc tiu
Tm nghim bng s ca bi ton (4.1) ti im 1 = 0 + [0, ] vi bc > 0.
Mt s phng php mt bc thng dng
Phng php Euler
Phng php Euler ci tin
Phng php Runge - Kutta (RK)
-
Matlab trong Gii tch s 43/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Bi ton gi tr ban u
Mc tiu
Tm nghim bng s ca bi ton (4.1) ti im 1 = 0 + [0, ] vi bc > 0.
Mt s phng php mt bc thng dng
Phng php Euler
Phng php Euler ci tin
Phng php Runge - Kutta (RK)
-
Matlab trong Gii tch s 43/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Bi ton gi tr ban u
Mc tiu
Tm nghim bng s ca bi ton (4.1) ti im 1 = 0 + [0, ] vi bc > 0.
Mt s phng php mt bc thng dng
Phng php Euler
Phng php Euler ci tin
Phng php Runge - Kutta (RK)
-
Matlab trong Gii tch s 43/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Bi ton gi tr ban u
Mc tiu
Tm nghim bng s ca bi ton (4.1) ti im 1 = 0 + [0, ] vi bc > 0.
Mt s phng php mt bc thng dng
Phng php Euler
Phng php Euler ci tin
Phng php Runge - Kutta (RK)
-
Matlab trong Gii tch s 44/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler
Phng php Euler (RK-1)
Cng thc Euler
(+ ) = () + (, ). (4.1)
Cng thc lp
Nu on [0, ] c chia thnh on c di = 0
bi cc im
chia 0 < 1 < 2 < th theo cng thc Euler ta tnh c gi tr gn ngca nghim ti cc im = 0 + , = 1, 2, . . . theo cc cng thc:
0 = (0);
1 = 0 + (0, 0);
. . .;
= 1 + (1, 1);
. . .
-
Matlab trong Gii tch s 44/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler
Phng php Euler (RK-1)
Cng thc Euler
(+ ) = () + (, ). (4.1)
Cng thc lp
Nu on [0, ] c chia thnh on c di = 0
bi cc im
chia 0 < 1 < 2 < th theo cng thc Euler ta tnh c gi tr gn ngca nghim ti cc im = 0 + , = 1, 2, . . . theo cc cng thc:
0 = (0);
1 = 0 + (0, 0);
. . .;
= 1 + (1, 1);
. . .
-
Matlab trong Gii tch s 44/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler
Phng php Euler (RK-1)
Cng thc Euler
(+ ) = () + (, ). (4.1)
Cng thc lp
Nu on [0, ] c chia thnh on c di = 0
bi cc im
chia 0 < 1 < 2 < th theo cng thc Euler ta tnh c gi tr gn ngca nghim ti cc im = 0 + , = 1, 2, . . . theo cc cng thc:
0 = (0);
1 = 0 + (0, 0);
. . .;
= 1 + (1, 1);
. . .
-
Matlab trong Gii tch s 44/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler
Phng php Euler (RK-1)
Cng thc Euler
(+ ) = () + (, ). (4.1)
Cng thc lp
Nu on [0, ] c chia thnh on c di = 0
bi cc im
chia 0 < 1 < 2 < th theo cng thc Euler ta tnh c gi tr gn ngca nghim ti cc im = 0 + , = 1, 2, . . . theo cc cng thc:
0 = (0);
1 = 0 + (0, 0);
. . .;
= 1 + (1, 1);
. . .
-
Matlab trong Gii tch s 44/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler
Phng php Euler (RK-1)
Cng thc Euler
(+ ) = () + (, ). (4.1)
Cng thc lp
Nu on [0, ] c chia thnh on c di = 0
bi cc im
chia 0 < 1 < 2 < th theo cng thc Euler ta tnh c gi tr gn ngca nghim ti cc im = 0 + , = 1, 2, . . . theo cc cng thc:
0 = (0);
1 = 0 + (0, 0);
. . .;
= 1 + (1, 1);
. . .
-
Matlab trong Gii tch s 44/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler
Phng php Euler (RK-1)
Cng thc Euler
(+ ) = () + (, ). (4.1)
Cng thc lp
Nu on [0, ] c chia thnh on c di = 0
bi cc im
chia 0 < 1 < 2 < th theo cng thc Euler ta tnh c gi tr gn ngca nghim ti cc im = 0 + , = 1, 2, . . . theo cc cng thc:
0 = (0);
1 = 0 + (0, 0);
. . .;
= 1 + (1, 1);
. . .
-
Matlab trong Gii tch s 45/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler ci tin (Modified Euler hay RK-2)
Phng php Euler ci tin
Cng thc Euler ci tin
= () + (, )
(+ ) =
2[(, ) + (+ , )] . (4.2)
Cng thc lp
Vi = 1, 2, . . .:
= 1 + (1, 1) ;
= 1 + [ (1, 1) + (1 + , )] (4.3)
-
Matlab trong Gii tch s 45/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Euler ci tin (Modified Euler hay RK-2)
Phng php Euler ci tin
Cng thc Euler ci tin
= () + (, )
(+ ) =
2[(, ) + (+ , )] . (4.2)
Cng thc lp
Vi = 1, 2, . . .:
= 1 + (1, 1) ;
= 1 + [ (1, 1) + (1 + , )] (4.3)
-
Matlab trong Gii tch s 46/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-Kutta
H cc phng php Runge-Kutta (RK) hin s-nc c xc nh bi cng thc
+1 = +
=1
, (4.4)
trong
1 = (, )
2 = ( + 2, + 211)
3 = ( + 3, + (311 + 322))
...
=
( + , +
1=1
)
-
Matlab trong Gii tch s 46/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-Kutta
H cc phng php Runge-Kutta (RK) hin s-nc c xc nh bi cng thc
+1 = +
=1
, (4.4)
trong
1 = (, )
2 = ( + 2, + 211)
3 = ( + 3, + (311 + 322))
...
=
( + , +
1=1
)
-
Matlab trong Gii tch s 46/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-Kutta
H cc phng php Runge-Kutta (RK) hin s-nc c xc nh bi cng thc
+1 = +
=1
, (4.4)
trong
1 = (, )
2 = ( + 2, + 211)
3 = ( + 3, + (311 + 322))
...
=
( + , +
1=1
)
-
Matlab trong Gii tch s 46/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-Kutta
H cc phng php Runge-Kutta (RK) hin s-nc c xc nh bi cng thc
+1 = +
=1
, (4.4)
trong
1 = (, )
2 = ( + 2, + 211)
3 = ( + 3, + (311 + 322))
...
=
( + , +
1=1
)
-
Matlab trong Gii tch s 46/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-Kutta
H cc phng php Runge-Kutta (RK) hin s-nc c xc nh bi cng thc
+1 = +
=1
, (4.4)
trong
1 = (, )
2 = ( + 2, + 211)
3 = ( + 3, + (311 + 322))
...
=
( + , +
1=1
)
-
Matlab trong Gii tch s 47/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-KuttaBng Butcher
02 213 31 32...
......
. . ....
......
1 2 ,11 2 1
hoc dng gn hn:
vi = () v = 0 vi .
-
Matlab trong Gii tch s 47/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-KuttaBng Butcher
02 213 31 32...
......
. . ....
......
1 2 ,11 2 1
hoc dng gn hn:
vi = () v = 0 vi .
-
Matlab trong Gii tch s 48/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-KuttaCc v d
V d 1
Xt trng hp = 1. Khi
1 = (, )
+1 = + 1 (, ) .
Mt khc, p dng cng thc khai trin Taylor:
+1 = + | + = + (, ) +(2) = 1 = 1.Do , phng php Runge - Kutta mt nc (RK 1) tng ng vi phngphp Euler hin.
-
Matlab trong Gii tch s 49/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-KuttaCc v d
V d 2
Vi = 2, phng trnh (4.4) tng ng vi h
1 = (, )
2 = ( + 2, + 211) ,
+1 = + (11 + 22) . (4.5)
p dng khai trin Taylor trong ln cn ta c
+1 = +
| +
2
2
2
2| +
(3).
Mt khc, ta bit rng = (, ), do
2
2:=
(, )
=
(, )
+ (, )
(, )
.
-
Matlab trong Gii tch s 50/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-KuttaCc v d
V d 2 (tip)
Do , cng thc khai trin Taylor c th c vit li nh sau
+1 = (, ) + 2
2
(
+
)|(,) +
(3). (4.6)
Mt khc, s hng 2 trong cng thc RK trn c th khai trin ti (3)bi
2 = ( + 2, + 211)
= (, ) + 2
|(,) ++21
|(,) +
(3).
Thay vo phng trnh cui ca h (4.5) ta thu c
+1 = (1 + 2) (, )+222 |(,)+2221
|(,)+
(3).
Thay vo (4.6) ta thu c h
-
Matlab trong Gii tch s 51/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php Runge-KuttaCc v d
V d 2 (tip)
1 + 2 = 1,
22 =1
2,
221 =1
2.
Cho 2 = 1. Khi 2 =1
2, 1 =
1
2, 21 = 1. Bng Butcher tng ng
01 1
1/2 1/2. Do , cng thc Runge-Kutta 2-nc trong trng hp ny c
dng cng thc Heun:
+1 = +
2((, ) + ( + , + (, ))) ,
-
Matlab trong Gii tch s 52/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php RK4
Cng thc RK4
1 = (, );
2 =
(+
2, +
12
);
3 =
(+
2, +
22
);
4 = (+ , + 3) ;
= () +1
6(1 + 22 + 23 + 4) . (4.7)
Bng Butcher tng ng
01/2 1/21/2 0 1/21 0 0 1
1/6 1/3 1/3 1/6
-
Matlab trong Gii tch s 53/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
Phng php Runge-Kutta
Phng php RK4
Cng thc lp
Vi = 1, 2 . . .:
1 = (1, 1) ;
2 =
(1 +
2, 1 +
12
);
3 =
(1 +
2, 1 +
22
);
4 = (1 + , 1 + 3) ;
= 1 +1
6(1 + 22 + 23 + 4) . (4.8)
-
Matlab trong Gii tch s 54/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
H phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
Bi ton
Bi ton 4.2
Tm = () v = () l nghim ca bi ton Cauchy
= (, , ) (0) =
= (, , ) (0) =
[0, ] (4.9)
hoc
Bi ton 4.3
Tm = () l nghim ca bi ton Cauchy cp hai:
= (, , ) [0, ] (0) = ; (0) = . (4.10)
-
Matlab trong Gii tch s 54/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
H phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
Bi ton
Bi ton 4.2
Tm = () v = () l nghim ca bi ton Cauchy
= (, , ) (0) =
= (, , ) (0) =
[0, ] (4.9)
hoc
Bi ton 4.3
Tm = () l nghim ca bi ton Cauchy cp hai:
= (, , ) [0, ] (0) = ; (0) = . (4.10)
-
Matlab trong Gii tch s 55/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
H phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
Bi ton
Ta thy bi ton (4.3) c th c a v bi ton (4.2) bng cch t
= () (0) =
= (, , ) (0) = . (4.11)
Vy ta ch xt phng php tm nghim ca h hai phng trnh vi phn cp 1(4.9).
-
Matlab trong Gii tch s 56/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
H phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
Phng php Runge - Kutta gii h (4.9)
Chia on [0, ] thnh on con bi cc im chia 0 < 1 < < . di mi on = +1 . Gi s gi tr ca nghim ti 1 l 1 v 1 bit, ta tm () v () theo cc cng thc ca phng phpRK4:
1 = (1, 1, 1) ; 1 = (1, 1, 1)
2 =
(1 +
2, 1 +
12, 1 +
12
);
2 =
(1 +
2, 1 +
12, 1 +
12
)3 =
(1 +
2, 1 +
22, 1 +
22
);
3 =
(1 +
2, 1 +
22, 1 +
22
)4 = (1 + , 1 + 3, 1 + 3) ; 4 = (1 + , 1 + 3, 1 + 3)
= 1 +1
6(1 + 22 + 23 + 4) ; = 1 +
1
6(1 + 22 + 23 + 4) .(4.12)
-
Matlab trong Gii tch s 57/57
Gii gn ng phng trnh vi phn thng
H phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
Bi tp thc hnh
Tm nghim ca bi ton Cauchy cp hai:
+ + = 0 0 0.5(0) = 0 (0) = 1. (4.13)
Bi ton cho tng ng vi h hai phng trnh vi phn cp 1
= , (0) = 0
= , (0) = 1. (4.14)
a thc ni suyNi suy LagrangeNi suy NewtonNi suy bng a thc ChebyshevNi suy bng a thc Hermit (oc thm)
Giai gn ng phng trnhPhng php chia iPhng php dy cungPhng php Newton - Raphson
Giai gn ng h phng trnhPhng php lp nPhng php JacobiPhng php Gauss-SeidelPhng php Newton giai h phng trnh phi tuyn
Giai gn ng phng trnh vi phn thngPhng php EulerPhng php Euler cai tin (Modified Euler hay RK-2)Phng php Runge-KuttaH phng trnh vi phn thng v phng trnh vi phn cp cao
