PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011 Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ Các phương trình sin x m , cos x m có nghiệm khi | |1 m và vô nghiệm khi | |1 m Phương trình tan x m Điều kiện: 2 x k ; đặt tan m Phương trình cot x m Điều kiện x k; đặt cot m 2. Bài tập có lời giải 1. Giải các phương trình sau: a) 3 sin 3 2 x b) 2cos(2 ) 2 6 x c) 3 tan( ) 3 6 x d) sin 5 cos 2 x x 2. Giải phương trình: 2 tan tan tan 3 2 x x x (2) Điều kiện: cos 0 cos 3 0 x x (2) sin( 3) sin 2 tan (tan tan3 ) 2 tan 2 tan 2 cos cos 3 cos cos 3 x x x x x x x x x x x x 2 2 sin 2sin cos sin 2 1 sin cos cos 3 cos cos cos 3 cos cos 3 x x x x x x x x x x x x cos 2 1 cos 4 cos 2 cos 4 1 4 2 ( ) 4 2 x x x x x k x k k Ta thấy 4 2 x k thỏa yêu cầu điều kiện bài toán. Vậy nghiệm của phương trình là 4 2 x k ( k ) 3. Giải phương trình cos3 tan5 sin 7 x x x (3) Điều kiện cos 5 0 x (*) (3) sin 5 1 1 cos 3 sin 7 cos3 sin5 sin 7 cos 5 (sin 8 sin 2 ) (sin12 sin 2 ) cos 5 2 2 x x x x x x x x x x x x 2 sin12 sin 8 ( ) 20 10 x k x x k x k 2 sin ( , sin ) 2 x k x m k m x k 2 sin sin 2 u v k u v k u v k 2 cos ( , cos ) 2 x k x m k m x k 2 cos cos 2 u v k u v k u v k tan tan ( ) x x k k tan tan u v u v k k cot cot ( ) x x k k cot cot u v u v k k
12
Embed
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - gvhieu.files.wordpress.com · PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011 Tổng hợp
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011
Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ
Các phương trình sin x m , cos x m có nghiệm khi | | 1m và vô nghiệm khi | | 1m
Phương trình tan x m Điều kiện:2
x k
; đặt tan m
Phương trình cot x m Điều kiện x k ; đặt cot m
2. Bài tập có lời giải
1. Giải các phương trình sau:
a)3
sin 32
x b) 2cos(2 ) 26
x
c)3tan( ) 36
x
d)sin5 cos2x x
2. Giải phương trình: 2tan tan tan3 2x x x (2)
Điều kiện: cos 0
cos3 0
x
x
(2)sin( 3 ) sin 2
tan (tan tan3 ) 2 tan 2 tan 2cos cos3 cos cos3
x x xx x x x x
x x x x
22sin 2sin cos sin
2 1 sin cos cos3cos cos cos3 cos cos3
x x x xx x x
x x x x x
cos2 1 cos4 cos2 cos4 1 4 2 ( )4 2
x x x x x k x k k
Ta thấy4 2
x k
thỏa yêu cầu điều kiện bài toán.
Vậy nghiệm của phương trình là 4 2
x k
( k )
3. Giải phương trình cos3 tan5 sin7x x x (3)
Điều kiện cos5 0x (*)
(3)sin5 1 1
cos3 sin 7 cos3 sin5 sin 7 cos5 (sin8 sin 2 ) (sin12 sin 2 )cos5 2 2
xx x x x x x x x x x
x
2sin12 sin8 ( )
20 10
x k
x x k
x k
2sin ( , sin )
2
x kx m k m
x k
2sin sin
2
u v ku v k
u v k
2cos ( , cos )
2
x kx m k m
x k
2cos cos
2
u v ku v k
u v k
tan tan ( )x x k k tan tanu v u v k k
cot cot ( )x x k k cot cotu v u v k k
PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011
Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 2
Kiểm tra điều kiện:
Với 2
x k
thay vào (*) ta có: cos 5 02
k k
phải là số chẵn. Đặt 2 ( )k m m
22 2
x k m m
( )m
Với 20 10
x k
thay vào (*) ta có: cos5 0 cos 020 10 4 2
k k
Nếu k là số chẵn k=2n cos 04
n
luôn đúng.
Nếu k là số lẻ thì k=2n+13
cos (2 1) cos 04 2 4
n n
luôn đúng.
Vậy nghiệm của phương trình là ( , )
20 10
x m
k mx k
4. Giải phương trình tan cot 4x x (4)
Điều kiện: sin 0
sin cos 0 sin 2 0 ( )cos 0 2
xx x x x k k
x
(4)sin cos 1 1 1
4 4 sin cos sin 2cos sin sin cos 4 2
x xx x x
x x x x
12( )
512
x kk
x k
5. Giải phương trình 22sin3 1 4sin 1x x (5)
(5) 2 22sin3 1 4(1 cos ) 1 2sin3 (4cos 3) 1x x x x
Ta dễ thấy cosx=0 không phải là nghiệm. Nên nhân 2 vế cho cosx ta có: 32sin3 (4cos 3cos ) cosx x x x
Áp dụng công thức nhân ba: 3cos3 4cos 3cosa a a ta được:
2
14 72sin 3 cos3 cos sin 6 cos cos 6 cos ( )
22
10 5
x k
x x x x x x x k
x k
6. Giải phương trình 1
cos cos 2 cos 4 cos816
x x x x (6)
Ta dễ thấy sinx=0 không là nghiệm của (6). Nhân 2 vế của (6) với 16sinx ta được:
(6)2sin 0 sin 0
( , )1516sin cos cos 2 cos 4 cos8 sin sin16 sin
2
17 17
x k
x x x mk m
x x x x x x x x
x m
2 15
715 2 2
k km k m k
Vì | 152 2
k km p p m p
PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011
Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 3
2 1
817 17 2
km k m k
Vì 1 1
| 17 82 2
k km q q m q
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2, 15 ,
15
2, 17 8,
17 17
x m m p p
x m m q q
7. Giải phương trình 4 4sin cos 1
(tan cot )sin 2 2
x xx x
x
(7)
Điều kiện sin 2 0x
(7)2 2
2 21 2sin cos 1 11 sin 2 1 sin 2 0 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x xx x x
x x
(vi phạm điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm.
2.8 Giải phương trình 25 3sin 4cos 1 2cosx x x (8)
Điều kiện: 1
1 2cos 0 cos2
x x
(8) 2 2 25 3(1 cos ) 4cos 1 4cos 4cos cos 1 cos 1 2 ,x x x x x x x k k
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Giải các phương trình sau:
1.1 tan cot 2(sin 2 cos2 )x x x x ĐS: ;8 2 4 2
x m x m
1.2 2 2cot tan
16(1 cos 4 )cos 2
x xx
x
ĐS:
16 8x k
1.3 2 3cos10 2cos 4 6cos3 cos cos 8cos cos 3x x x x x x x
Hd: đặt nhân tử chung, cung nhân ba, tích thành tổng, hạ bậc… ĐS: 2x k
1.4 3 31sin cos cos sin
4x x x x ĐS:
8 2x k
1.5 6 6sin cos cos4x x x ĐS: 2
x k
1.6 4 4 7sin cos cot cot
8 3 6x x x x
ĐS:
12 2x k
1.7 sin cot 5
1cos9
x x
x ĐS:
4, ;
4 5 20 10
kx m m x m
1.8 3 3 3sin cos3 cos sin3 sin 4x x x x x ĐS: 12
x k
1.9 1 1
2sin3 2cos3sin cos
x xx x
ĐS: ;4 2 12 3
x k x k
1.10 3 3 2cos cos3 sin sin3
4x x x x ĐS:
8x k
PTLG – Nâng cao - Tài liệu bổ trợ kiến thức cho học sinh 11B – Tặng miễn phí 9|2011
Tổng hợp & Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com 4
1.11 1 tan 2 2 sinx x ĐS:2
4 3x k
1.12 cos sin 2 cos3x x x ĐS:
1.13 23sin 2 2cos 2 2 2cos2x x x ĐS:2
x k
1.14 3 3(1 tan )cos (1 cot )sin 2sin 2x x x x x ĐS: 4
x m
1.15 3 3 3 3sin cos sin cot cos tan 2sin 2x x x x x x x
(Hd: Đặt nhân tử chung, BĐT Cauchy… ĐS: 24
x k
1.16 (2cos 1)(sin cos ) 1x x x ĐS:2
2 ,6 3
x k x k
1.17 22sin 3 1 8sin 2 cos 24
x x x
ĐS:5
2 ; (2 1)12 12
x k x k
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Tóm tắt lý thuyết cần ghi nhớ
Phương trình bậc hai đối với một số lượng giác có dạng: 2 0 ( 0)at bt c a
Trong đó {sin ,cos , tan ,cot }t u u u u
Cách giải: Đặt điều kiện (nếu có), đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có). Giải pt bậc 2
2. Bài tập có lời giải
1. Giải phương trình 22sin 2 3sin 2 1 0x x (1)
Đặt sint x điều kiện 1t .Ta có:
(1) 22 3 1 0t t
2 26 12
1 1sin 2 7
2 22 26 12
1 ( sin 2 1
2 242
(nhaän)
nhaän)
x k x k
t xx k x k
t x
x kx k
2. Giải phương trình 2 24sin 2 6sin 3cos2 9 0x x x (2)