- 1 - MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ 0 C − NỬA NHÓM 4 1.1 0 C − nửa nhóm 4 1.2 Bài toán Cauchy 12 1.3 Một số ví dụ 21 Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM n − LẦN TÍCH HỢP 30 2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 30 2.2 Bài toán Cauchy ( ) , n ω − đặt chỉnh 37 2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40 2.4 Một số ví dụ 50 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59
59
Embed
PHƯƠNG PHÁP CHO NỬA NHÓM CAUCHY - hus.vnu.edu.vn · Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan trọng trong việc giải quyết
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
- 1 -
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ 0C −NỬA NHÓM 4
1.1 0C −nửa nhóm 4
1.2 Bài toán Cauchy 12
1.3 Một số ví dụ 21
Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM
n −LẦN TÍCH HỢP 30
2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 30
2.2 Bài toán Cauchy ( ),n ω −đặt chỉnh 37
2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40
2.4 Một số ví dụ 50
KẾT LUẬN 58
Tài liệu tham khảo 59
- 2 -
MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng. Nó
được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học,
kỹ thuật, tài chính...
Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm
của nó. Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt
chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ
thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán.
Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan
trọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phân
tuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn.
Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất
( ) ( ) ( )' , 0 ,u t Au t u x= = 0,t ≥ (CP)
trong đó : A X X→ là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên không
gian Banach X và : .u X→+ Mục tiêu chính của luận văn nhằm trình bày
việc ứng dụng phương pháp 0C −nửa nhóm và phương pháp nửa nhóm
n − lần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của
bài toán Cauchy trên.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của 0C −nửa
nhóm. Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bị
chặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều. Từ đó đưa ra một số
ví dụ minh họa.
Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm 0C đó là
nửa nhóm n − lần tích hợp và nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương bị chặn
- 3 -
mũ, không suy biến. Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu tính
( ),n ω − đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình. Trong
chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên các
phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Hà
Tiến Ngoạn. Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian
qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêmina
thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho em để luận văn được hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nước
ngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường. Trong những năm qua thầy cô đã
tâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp
em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết để
ứng dụng khi thực hiện luận văn.
Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện
cho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả
có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2011.
- 4 -
Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ 0C −NỬA NHÓM
1.1 0C −nửa nhóm
Cho X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh)
Họ các toán tử tuyến tính, bị chặn { }( ), 0T t t ≥ trên không gian Banach
X được gọi là 0C −nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) nếu
(T1) ( ) ( ) ( ) ,T t s T t T s+ = , 0t s∀ ≥ .
(T2) ( )0T I= (I là toán tử đồng nhất).
(T3) ( ) ( )0
0lim ,t t
T t x T t x→
= ,x X∀ ∈ 0, 0t t ≥ .
Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh)
Toán tử ( ):A D A X X⊂ → ,
được xác định bởi
( ) ( )0
': 0 : limh
T h IAx T x xh→
−= = ,
cùng với miền xác định
( ) ( ) ( )0
' 0 : limh
T h ID A D T x X xh→
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⎭
−= = ∈ ∃ ,
được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh { }( ), 0T t t ≥ .
Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức)
( )( ),A D A là toán tử đóng trong không gian Banach ,X tập các giá trị
λ∈ sao cho ( )I Aλ − là song ánh (tức là ( ) 1I Aλ −− là toán tử tuyến tính bị
chặn trên X ), được gọi là tập các giá trị chính quy của A (tập giải của toán
tử A ), ký hiệu ( ).Aρ Tập ( ) ( )\A Aσ ρ= được gọi là tập phổ của toán tử
- 5 -
.A Khi đó ( ) ( ) ( )1 : , AI A R R Aλ λ λ−− = = với ( )Aλ ρ∈ được gọi là giải
thức của .A
Mệnh đề 1.1.1
Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh { }( ), 0 ,T t t ≥ ta có
1. ( ): A D A X X⊂ → là toán tử tuyến tính;
2. ,x X∀ ∈ ( )0
0
1 t
tlim T s xds x
t+→=∫ ; (1.1.1)
3. Cho ( ) ,x D A∈ ta có ( ) ( )T t x D A∈ và
( ) ( ) ( )d T t x T t Ax AT t xdt = = với 0t∀ ≥ ; (1.1.2)
4. Cho 0, t x X∀ ≥ ∈ ta có ( ) ( )0
tT s xds D A∈∫ ; (1.1.3)
5. Cho 0t∀ ≥ ta có
( ) ( )0
tT t x x A T s xds− = ∫ nếu ,x X∈ (1.1.4)
= ( )0
tT s Axds∫ nếu ( ).x D A∈ (1.1.5)
Chứng minh
1. Hiển nhiên, do ( )T t là toán tử tuyến tính và do tính chất của giới hạn
( ) ( )0
limh
T h x xA x h+→
−= .
2. Đặt ( )0
1 , , 0.t
ty T s xds x X tt
= ∀ ∈ ∀ >∫ Vì ( )0t
limT t x x+→
= suy ra
0, 0 : 0 tε δ δ∀ > ∃ > < < suy ra ( )2
T t x x ε− < .
Theo định nghĩa tích phân, 0ε∀ > tồn tại phân hoạch của [ ]0,t
- 6 -
0 10 ... ns s s t= < < < = sao cho
( ) ( )10
,2
t n
i ii
T s xds T x s tεα=
− Δ ≤∑∫ với [ ]1 , 1,i i is s i nα −∈ − = .
Với : 0t t δ∀ < < ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 10 0
1
1 1 1 1
1 .2 2 2
t t n n
i i i ii i
n
i ii
T s xds x T s xds T x s T x s xt t t t
T x x st
α α
ε ε εα ε
= =
=
− ≤ − Δ + Δ −
< + − Δ < + =
∑ ∑∫ ∫
∑
Từ đó suy ra ( )0 0
0
1 .t
tt tlim y lim T s xds x
t+ +→ →= =∫
3. Lấy ( ),x D A∈ từ định nghĩa của toán tử sinh A suy ra
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0lim lim
h h
T t h x T t x T h x xT t T t Axh h+ +→ →
+ − −= = .
Vậy ( ) ( ) ( )0
limh
T h T t x T t xh+→
− tồn tại. Theo định nghĩa của ( )D A ta có
( ) ( )T t x D A∈ và ( ) ( )AT t x T t Ax= .
4. Với mọi ,x X∈ 0t∀ ≥ ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0
0
1
1 1
1 1
1 1 1 1
t t
t t
t h t
ht t h h t
th h
T h T s xds T s xdsh
T h s xds T s xdsh h
T s xds T s xdsh h
T s xds T s xds T s xds T s xdsh h h h
+
+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
= −
= + − −
−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )0
1 1t h h
tT s xds T s xdsh h
+= −∫ ∫
- 7 -
( ) ( )0 0
1 1h hT t s xds T s xdsh h= −+∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 1h hT t T s xds T s xds T t x xh h= − → −∫ ∫ khi 0h +→ (Do (1.1.1)).
Suy ra ( ) ( )0
tT s xds D A∈∫ và ( ) ( )
0
tT t x x A T s xds− = ∫ với .x X∀ ∈
5. Nếu ( ),x D A∈ ( ) ( )T h x xs T s h
−→ hội tụ đều trên 0,t⎡ ⎤⎣ ⎦ đến hàm
( ) ( )s T s A x→ khi 0h +→ (do ( ) , 0,T s M s t⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀ ∈ ).
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
00 0 0
0 00 0
0
lim
.
1lim
1 1lim
t t t
h
t t
h ht
T t x x A T s xds T h T s xds T s xdsh
T h I T s xds T s T h I xdsh h
T s Axds
+→
+ +→ →
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
=
− = = −
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Vậy ( ) ( )0
tT t x x T s Axds− = ∫ với ( )x D A∀ ∈ .
Mệnh đề 1.1.2
Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh { }( ), 0 ,T t t ≥ ta có
1. ( ) ( ) ( ) ( )T t T s T s T t= với , 0t s∀ ≥ ;
2. T là toán tử bị chặn mũ, tức là:
1, , 0K tω∃ ≥ ∈ ∀ ≥ : ( ) tT t Keω≤ ; (1.1.7)
3. ( )D A X= và A là toán tử đóng;
4. Với ( ) ( )1:: Re , AI A Rλ λ ω λ λ−=∀ ∈ > ∃ − và
( ) ( )0
, .tAR x e T t xdt x Xλλ
∞−= ∈∫ (1.1.8)
- 8 -
Chứng minh
1. Do { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa nhóm, từ điều kiện (T1) của Định
nghĩa 1.1.1 ta dễ dàng chứng minh tính giao hoán của ( )T t và ( )T h với
, 0t h∀ ≥ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),T t T h T t h T h t T h T t= + = + = với , 0t h∀ ≥ .
2. Vì ( )T t x liên tục với mọi x X∈ trên 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦ nên
( ){ }, 0,1T t x t ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ là tập bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều ta luôn có
( )T Kτ ≤ với : 0 1τ τ∀ ≤ ≤ và vì ( )0 1T = suy ra 1K ≥ .
Với 0t∀ ≥ ta có thể viết dưới dạng ,t n τ= + ,n∈ 0 1τ≤ < ,
ta có
( ) ( ) ( ) ( )T t T n T n Tτ τ= + =
và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
ln
1 1
, ln , .
n n n
n K t
T t T n T T T T T K
Ke Ke K tω
τ τ τ
ω
+= = ≤ ≤
= ≤ = ∀
3. { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa nhóm và toán tử sinh A của nó là toán
tử tuyến tính. Ta phải chứng minh:
a. A là toán tử đóng
Giả sử lấy dãy { } ( )nx D A⊂ sao cho nx x→ và nAx y→ ta phải chứng
minh ( )x D A∈ và .Ax y=
Do (1.1.5) ta có
( ) ( )0
,t
n n nT t x x T s Ax ds− = ∫ 0.t ≥
Do ( ) nT Ax• hội tụ đều trên 0,t⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ( ) , 0,T s M s t⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀ ∈ ).
- 9 -
Cho n→∞ ta có ( ) ( )0
tT t x x T s yds− = ∫ ,
suy ra ( )( ) ( )0
1 1 ,t
T t x x T s ydst t
− = ∫
Cho 0t +→ thì giới hạn vế phải tồn tại và ( )0
1 ,tT s yds y
t→∫ suy ra giới hạn vế
trái tồn tại và hội tụ tới ,Ax suy ra ( )x D A∈ và .Ax y= Vậy A đóng.
b. ( )D A X=
Thật vậy, do (1.1.3) ta có ( ) ( )0
1 ,tT s xds D A
t∈∫ do (1.1.1) ta có
( )0 0
1lim , .t
tT s xds
tx x X+→
= ∀ ∈∫
Suy ra ( )D A X= .
4. : Re ,λ λ ω∀ ∈ > ( ) ( )1 : AI A Rλ λ−∃ − =
và
( ) ( )0
, .AtR x e T t xdt x Xλλ
∞ −= ∈∫
Từ (1.1.7) ( )T t bị chặn mũ suy ra tích phân vế phải luôn tồn tại với ,x X∀ ∈
λ∀ ∈ , Reλ ω> . Với ( )x D A∀ ∈ và do A là toán tử đóng ta có
( ) ( ) ( )0 0 0
't t te AT t xdt A e T t xdt e T t xdtλ λ λ∞ ∞ ∞− − −= =∫ ∫ ∫ .
Lấy tích phân từng phần
( ) ( ) ( )
( )
00 0
0
'
.
t t te T t xdt e T t x e T t xdt
tx e T t xdt
λ λ λλ
λλ
∞ ∞+∞
∞
=
= −
− − −+
−+
∫ ∫
∫
- 10 -
Thác triển liên tục trên toàn không gian ( )X D A= ta được
( ) ( )0
, .tI A e T t xdt x x Xλλ∞
=−− ∈∫ (1.1.9)
Mặt khác lại có
( )( ) ( )0
, .te T t I A xdt x x D Aλ λ∞
=− − ∈∫ (1.1.10)
Từ (1.1.9) và (1.1.10) suy ra sự tồn tại toán tử bị chặn trên X
( ) ( ) 1:AR I Aλ λ −= − và ( ) ( )0
, .AtR x e T t xdt x Xλλ
∞ −= ∈∫
Mệnh đề 1.1.3
Cho T là toán tử liên tục mạnh sao cho
1, , 0K tω∃ ≥ ∈ ∀ ≥ , ( ) .tT t Keω≤
Đặt
( ) ( )0
, RetR e T t dtλλ λ ω∞ −= >∫ .
Khi đó ( )R λ thỏa mãn phương trình giải thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),R R R Rμ λ λ μ λ μ− = − Re , Re ,λ μ ω> (1.1.11)
nếu và chỉ nếu T thoả mãn ( ) ( ) ( )T t s T t T s+ = , , 0t s∀ ≥ .
Chứng minh
Cho Re , Reλ μ ω> , từ Định lý duy nhất của phép biến đổi Laplace
ta có
( ) ( ) ( ) ( )0 0
,s tR R e e T s T t dsdtμ λμ λ∞ ∞
− −= ∫ ∫
- 11 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
0 0 0 0
0
0
t t t
tt ts s
t s
t
s tt
t
R R e R dt e e T t dt
e e T s dsdt e e T s dsdt
e e T s dsdt
e e T s dsdt
λ μ λ μ λ
λ μ λ μλ λ
λ μ λ
λμ
λ μλ μ λ
μ λ
∞ ∞− −− −
∞ ∞ ∞− −− −
∞ ∞− −
∞ ∞ − −−
−= − −
−
= −
=
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( )0 0
t se e T s t dsdtμ λ∞ ∞
− −= +∫ ∫ .
Vậy ( )R λ thỏa mãn phương trình giải thức
( ) ( ) ( ) ( )R RR R λ μμ λ μ λ−
=−
khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )T s T t T s t= + với , 0t s∀ ≥ .
Định lý Hille-Yosida: (Đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co liên
tục)
Đối với toán tử ( )( ),A D A trên không gian Banach ,X các tính chất
sau là tương đương
a. ( )( ),A D A sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh.
b. ( )( ),A D A là toán tử đóng xác định trù mật ( )D A X= và 0λ∀ > ta
có ( ) ,Aλ ρ∈ đồng thời
( ), 1R Aλ λ ≤ .
c. ( )( ),A D A là toán tử đóng xác định trù mật ( )D A X= và λ∀ ∈
với ( ) 0Re λ > ta có ( ) ,Aλ ρ∈ đồng thời
( ) ( )1,R A
Reλ
λ≤ .
- 12 -
1.2 Bài toán Cauchy
Xét bài toán Cauchy
( ) ( ) ( )' , 0 ,u t Au t u x= = 0,t ≥ (CP)
trong đó A là toán tử tuyến tính, đóng với miền xác định ( ) ,D A X⊆ X là
không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1
Hàm ( ) ){ } ) ( ){ }1 0, , 0, ,u C X C D A⎡ ⎡⎣ ⎣• ∈ ∞ ∩ ∞ được gọi là nghiệm
của bài toán Cauchy (CP) nếu ( )u t thỏa mãn phương trình với 0t∀ ≥ và thỏa
mãn điều kiện ban đầu với 0.t =
Định nghĩa 1.2.2
Bài toán Cauchy (CP) được gọi là đặt chỉnh đều trên ( ), E X E X⊂ =
nếu
1. Luôn tồn tại nghiệm với x E∀ ∈ ;
2. Nghiệm là duy nhất với 0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ , 0, Τ> Τ∈ ;
3. Nghiệm ổn định đều đối với điều kiện ban đầu ( )0 ,u x= với
0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ , 0, Τ> Τ∈ .
Bổ đề 1.2.1
Giả sử ( ) .Aρ φ≠ Khi đó nếu với ( )x D A∀ ∈ tồn tại và duy nhất nghiệm
của (CP), thì nghiệm này ổn định đối với điều kiện ban đầu x .
Chứng minh
Giả sử
( )( ) : T t x u t= , 0t ≥ ,
là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy với giá trị ban đầu
( )0 ,u x= ( )x D A∀ ∈ .
Ta có
- 13 -
( ) ( ) ( ){ }: 0, , T D A C D A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦• → Τ là toán tử nghiệm với mọi 0Τ> ,
( )D A là không gian Banach:
( ){ }, AD A x x Ax= + ,
ta phải chứng minh ( )T t là toán tử đóng.
Thật vậy, giả sử nx x→ trong ( )D A⎡ ⎤⎣ ⎦ và ( ) ( ) ( )n nT t x u t y t= → trong
( ){ }0, , C D A⎡ ⎤⎣ ⎦Τ , khi đó ( ) ( ) ( )'n nu t Au t Ay t= → trong X đều theo t .
Do vậy từ
( ) ( )0
't
n n nu t x u dτ τ= + ∫ ,
ta có
( ) ( )0
ty t x Ay dτ τ= + ∫ .
Điều này có nghĩa ( )y t là nghiệm của (CP) với giá trị ban đầu ( )0y x= ,
nghiệm này khả vi liên tục trên [ ]0,Τ .
Do vậy
( ) ( ) ,y t T t x= với 0t ≥
là nghiệm duy nhất. Vậy toán tử ( )T t xác định trên ( )D A⎡ ⎤⎣ ⎦ và là toán tử
đóng. Do vậy theo định lý Banach thì ( )T • liên tục và
( )0,
sup ,AAtu t K x
⎡ ⎤⎣ ⎦∈ Τ
≤ (1.2.1)
chứng tỏ bài toán Cauchy (CP) đặt chỉnh đều trên ( )D A⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Mặt khác, do tập giải ( ) ,Aρ ≠Φ xét ( ) ( )0 , A x D Aλ ρ∈ ∈ và ( )0 ,y R xλ=
khi đó ta có
( )2y D A∈ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0T t x T t Ay T t y AT t y T t yλ λ= − + = − + .
- 14 -
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( )0 0 AT t x AT t y T t y K T t yλ≤ + ≤ .
Từ (1.2.1) ta có
( ) ( )1 1AT t x K y K y Ay≤ = +
( ) ( )1 20K y x y K x yλ= + − ≤ +
( )( )2 0
,
K x R x
K x
λ≤ +
≤
với 0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ , tức là (CP) đặt chỉnh đều trên không gian .X
Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn cơ bản xét tính đặt chỉnh của (CP))
Giả sử A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên .X Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
(I) Bài toán Cauchy đặt chỉnh đều trên ( )D A ;
(II) A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0T t t ≥ ;
(III) Điều kiện Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida (MFPHY) đối với
giải thức của toán tử :A tồn tại 0, K ω> ∈ sao cho
( ) ( )( ) 1
!Re
kA k
KkR λλ ω +≤−
, (1.2.2)
với mọi : Re ,λ λ ω∀ ∈ > 0,1,....k∀ =
Trong trường hợp này nghiệm của (CP) có dạng
( ) ( ) ,u T x• = • ( ).x D A∈
Chứng minh
(I⇒II)
Giả sử bài toán (CP) là đặt chỉnh đều trên ( ).D A Điều này tương đương
với nghiệm ( ), 0u t t ≥ tồn tại và duy nhất với mọi ( ),x D A∈ ta ký hiệu
- 15 -
nghiệm là ( )T x• . Do đó với mọi 0, , 0, t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ Τ> Τ∈ , nghiệm này ổn
định đều đối với điều kiện ban đầu. Suy ra toán tử ( )T t bị chặn đều với
0, , 0, t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ Τ> Τ∈ trên ( )D A .
Vì ( )D A X= nên ( )T t có thể thác triển được trên toàn không gian X và bảo
toàn ước lượng chuẩn.
Bây giờ ta phải chứng minh họ các toán tử tuyến tính bị chặn { }( ), 0T t t ≥ là
0C −nửa nhóm.
Thật vậy, vì ( )T t x thỏa mãn phương trình '( ) ( )T t x AT t x= với ( ),x D A∀ ∈
0,t ≥ suy ra ( ) ( )T t x D A∈ với ( )x D A∀ ∈ .
Cho ( )x D A∈ thì ( )T t h x+ và ( ) ( )T t T h x đều là nghiệm của (CP) có điều
kiện ban đầu ( )T h x .
Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra
( )x D A∀ ∈ , ( ) ( ) ( )T t h x T t T h x+ = , , 0,t h≥
thác triển trên toàn không gian X , ta có
( ) ( ) ( )T t h x T t T h x+ = , , 0,t h≥ với x X∀ ∈ .
Vậy { }( ), 0T t t ≥ thỏa mãn điều kiện (T1) của định nghĩa 0C −nửa nhóm.
Lại có điều kiện ban đầu ( ) ( )0T T h x = ( )T h x với x X∀ ∈ suy ra ( )0T I=
và do vậy (T2) được thỏa mãn.
Mặt khác do ( )T t bị chặn đều với mọi 0, , 0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦Τ > Τ∈ ∀ ∈ Τ và ( )T t x
liên tục trên ( )D A , ( ( )D A X= ) với 0t ≥ . Vì vậy hàm ( )T • liên tục mạnh
khi 0,t ≥ do vậy thỏa mãn (T3). Vậy họ các toán tử { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa
nhóm. Hơn nữa, với ( )x D A∀ ∈ ta luôn có:
( ) ( ) ( )10
'lim 0 0 ,h
h T h I x T x AT x Ax−→
⎡ ⎤⎣ ⎦− = = =
- 16 -
suy ra ( )' 0 .x D T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∈ Vậy ( ) ( )' 0D A D T D⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⊆ = và ( )' 0T A= trên ( ).D A
Để chứng minh ( ),D D A⊂ xét giải thức
( ) ( ) ( )' 00
, RetTR e T t dtλλ λ ω
∞−= >∫ ,
ta phải chứng minh ( )( ) ( )' 0
.ATR Rλ λ= Thật vậy, cho x D∈ ta có:
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' 0 0
0 0
0 0'
.
tT
t t
t t
I A R x I A e T t xdt
e AT t xdt e T t xdt
e T t xdt e T t xdt
x
λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
∞−
∞ ∞− −
∞ ∞− −
− = −
= − +
= − +
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
Do A đóng, nên ta có thể thác triển đẳng thức này trên toàn không gian X
và toán tử ( )
( )' 0TR λ là một ánh xạ từ X vào ,D do vậy ( ).D D A⊂ Vậy
( ) ( )' 0D A D T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= và A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0T t t ≥ .
(II⇒III)
Giả sử A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0 ,T t t ≥ từ điều kiện
(1.1.7) và (1.1.8) ta có
( ) ( ) ( )
0 0
Re
0,
Re
t tA
t
R e T t dt e T t dt
KK e dt
λ λ
λ ω
λ
λ ω⎡ ⎤⎣ ⎦
∞ ∞− −
∞ − −
= ≤
≤ =−
∫ ∫
∫
( ) ( )
( )
Re
0 0
2! .
Re
ttA
d R te T t dt K te dtd
Kk
λ ωλλλ
λ ω
⎡ ⎤⎣ ⎦
∞ ∞ − −−= ≤
=
−
−
∫ ∫
- 17 -
Cứ tiếp tục như vậy, lấy đạo hàm đến cấp k ta có
( ) ( )( )
Re1
0 0
! .Re
k tk t kk k
d KkR t e T t dt K t e dtAdλ ωλλ
λ λ ω⎡ ⎤⎣ ⎦
∞ ∞ − −−+= ≤ =
−∫ ∫
Vậy (1.2.2) đúng.
(III⇒I)
Trước tiên ta sẽ xây dựng nghiệm của (CP) đủ trơn so với điều kiện ban
đầu .x Lưu ý rằng 3( ) ,D A X= cho ( )3x D A∈ và { }ax ,0mσ ω> đặt
( ) ( )2
2 3 3^ 1, + d , 02 2
.i tAi
tu t x x tAx A x e R A x ti
σ λσ
λ λ λπ
+ ∞ −− ∞
= + + ≥∫ (1.2.3)
Nhận thấy tích phân trong biểu thức (1.2.3) triệt tiêu khi 0,t = do vậy
( )^
0,u x x= ,
hiển nhiên ( )^
, tu t x →∞= O ( )teσ .
Biểu thức dưới dấu tích phân khả vi, suy ra sự tồn tại đạo hàm liên tục của
( )^
, , 0u t x t ≥ .
Mặt khác, do tính đóng của toán tử ,A ( ) ( )^
,u t x D A∈ và
( ) ( ) ( ) ( )2
3 3 3^ ^ 1' , , + d 0, 2 2
0.i tAi
tu t x Au t x A x e I A R A xi
tσ λσ
λ λ λ λπ
+ ∞ −− ∞
− = − − = ≥∫
Suy ra ( )^
,u t x là nghiệm của (CP) với 0t ≥ , ( )3x D A∈ .
Chứng minh tương tự đẳng thức (1.1.8) ở mệnh đề 1.1.2, ta có
( ) ( )( )0
^,t
Axe u t x dt R xλ λ∞
− =∫ . (1.2.4)
Sử dụng công thức nghịch đảo Widder-Post của phép biến đổi Laplace, ta có:
- 18 -
( ) ( ) ( )1^ 1, lim
!
n n nnn An t
n du t x R xn t d λ
λλ
+
→∞ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−= , (1.2.5)
áp dụng bất đẳng thức (1.2.2), ta có
( )( )1
, ^
, lim 1 0.n
tn
tu t x K x Ke xn
tωω − +
→∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
≤ − = ≥ (1.2.6)
Suy ra
( ) ( ) ( )3^ ^ , , T t x u t x x D A≡ ∈ , 0t ≥ ,
là công thức nghiệm của (CP).
Xét (1.2.6), ta có thể thác triển ( )^T x• và đẳng thức (1.2.4) trên toàn không
gian ,X do vậy ( )T • thác triển được là liên tục mạnh với mọi 0t ≥ và
( ) tT t Keω≤ , 0t ≥ .
Hoàn toàn có thể chứng minh được nghiệm bất kỳ ( )u • của (CP) đều được
biểu diễn dưới dạng
( ) ( ) ( )0u T u• = • . (1.2.7)
Thật vậy, từ định nghĩa 1.1.1, cho ( )3 ,x D A∈ ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,^ ^
A A AR T t x R T t x T t R xλ λ λ= = 0t ≥ ,
có thể thác triển đẳng thức này trên toàn không gian .X
Do vậy
( )( ) ( ) , T t Ax AT t x x D A= ∈ , 0t ≥
và hàm ( )T x• khả vi khi ( )x D A∈ .
Với một nghiệm ( )u • nào đó của (CP), ta luôn có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0d T t s u s AT t s u s T t s Au s s tds − = − − + − = ≤ ≤ ,
do đó
- 19 -
( ) ( ) ( )(0) ( ) 0T u t T t u u t= = , 0t ≥ .
Định lý 1.2.2
Giả sử A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trên X thỏa mãn