Phân tích tín hiệu và hệ thống liên tục với MATLAB

LỜI MỞ ĐẦU

Việc phân tích và thiết hệ thống là một vấn đề rất được quan tâm trong tiến

trình hướng tới một thế giới thông minh hơn. Ở đề tài này chúng em xin được

trình bày về vấn đề phân tích hệ thống xử lý tín hiệu liên tục. Trong những gì

trình bày sau đây sẽ cho người đọc thấy khái quát về các công cụ sử dụng cũng

như các bước cơ bản để phân tích một hệ thống xử lý tín hiệu liên tục. Đề tài

được phân tích gồm 3 chương chính:

Chương 1: Giới thiệu chúng về hệ thống xử lí tín hiệu.

Mục đích của chương này là nêu lên nhưng khái niệm cơ bản về hệ thống xử lí

tín hiêu, các cách phân loại hệ thống, các thành phần cũng như chức năng của

các thành phần đó, ngoài ra là nhưng khâu cơ bản nhất và sơ đồ ghép nối của hệ

thống.

Chương 2: Phân tích và thiết kế hệ thống với hàm truyền đạt

Phần này đưa ra nội dung chính của đề tài, giới thiệu hàm truyền đạt, các phép

biến đổi cơ bản trong hệ thống và sự chuyển đổi giữa các phép biến đổi trong hệ

thống để giúp phân tích hệ thống một cách đơn giản và nhanh chóng hơn.

Chương 3: Phân tích tín hiệu và hệ thống trên chương trình Matlab

Chương này chỉ ra những kiến thức cơ bản về phần mềm cơ bản Matlab, cách

sử dụng chúng trong phân tích hệ thống, ngoài ra là một số bài tập cũng như ví

dụ phân tích hệ thống trên Matlab.

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Nguyễn Quốc Dinh và các

thầy cô trong khoa đã giúp đỡ và chỉ bảo tận tình cho chúng em. Quá trình thực

hiện đề tài còn nhiều thiếu sót mong hội đồng các thầy cô chỉ bảo và góp ý để

chúng em hoàn thiện đề tài.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

1

M C L CỤ Ụ

Chương 1:................................................................................................................3

Giới thiệu chung về hệ thống xử lý tín hiệu.............................................................3

1. Khái niệm hệ thống, hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu.....................................3

2. Các đặc trưng cơ bản của hệ thống xử lý tín hiệu...........................................6

3. Các khâu cơ bản của hệ thống........................................................................8

4. Các sơ đồ ghép nối của hệ thống..................................................................13

Chương 2...............................................................................................................16

Phân tích và thiết kế hệ thống với hàm truyền đạt..................................................16

1. Biến đổi Laplace........................................................................................16

2. Biến đổi Fourier.........................................................................................18

3. Phân tích hệ thống.....................................................................................19

4. Sự chuyển đổi giữa các miền:......................................................................25

Chương 3...............................................................................................................27

Phân tích tín hiệu và hệ thống trên chương trình Matlab........................................27

1. Giới thiệu sơ lược về Matlab...........................................................................27

2. Matlab trong phân tích hệ thống.....................................................................30

3. Bài Tập Ứng Dụng..........................................................................................39

2

Chương 1:

Giới thiệu chung về hệ thống xử lý tín hiệu

1. Khái niệm hệ thống, hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu.

Quan điểm hệ thống xem xét sự vật trong sự thống nhất của toàn thể và trong

các mối liên hệ tương tác của các yếu tố tạo thành từ lâu đã là một luận điểm khoa

học. Tuy nhiên chỉ trong mấy thập kỷ gần đây, với sự phát triển mạnh mẽ của toán

học, điều khiển học, công nghệ thông tin … quan điểm đó mới được thêm sức

mạnh mới đầy tính thuyết phục và được phát triển trở thành khoa học hệ thống

hiện đại. Khi nghiên cứu một vấn đề quản lý, từ việc nghiên cứu chiến lược kinh tế

- xã hội cho đến khi giải quyết một bài toán cụ thể , quan điểm hệ thống giúp ta

nhìn nhận vấn đề một cách chính xác và khoa học.

Vậy hệ thống là gì ?

1.1 Hệ thống.

a. Khái niệm

Hệ thống là tập hợp các phần tử tương tác hoặc phụ thuộc lẫn nhau theo những

quy luật nhất định để tạo thành một chỉnh thể thống nhất thực hiện một vaì nhiệm

vụ nào đó.

b. Các tính chất của hệ thống.

Tính chất 1 :

Mối quan hệ giữa các phần tử có tính tác động qua lại ảnh hưởng với nhau

Tính chất 2 :

3

Mọi sự thay đổi về lượng hay vế chất của một phần tử nào đó đều làm ảnh

hưởng tới phần tử khác của hệ thống. Ngược lại, mọi sự thay đổi về lượng hay vế

chất của hệ thống đều có thể làm ảnh hưởng đến các phần tử của hệ thống đó

Tính chất 3 :

Khi sắp xếp các phần tử của hệ thống theo một cách nào đó, hệ thống sẽ có tính

trồi, đó là khả năng mà một phần tử đứng riêng sẽ không thể tạo ra được.

c. Một hệ thống có thể được biểu diễn bởi nhiều thành phần, gồm :

1. Các phần tử

2. Môi trường của hệ thống

3. Các đầu vào và đầu ra

4. Trạng thái và hành vi

5. Cấu trúc

6. Mục tiêu

Hình dưới đây mô tả các thành phần của một hệ thống.

1.2 Hệ thống xử lý tín hiệu.

Hệ thống xử lý tín hiệu là một hệ thống thực hiện một số công việc và phép toán

trên tín hiệu để đạt một mục đích nào đó như tách tin tức từ tín hiệu hoặc truyền

tín hiệu từ nơi này đến nơi khác.

4

Hệ thống xử lý tín hiệu đặc trưng bởi toán tử T có nhiệm vụ biến đổi đầu vào x(n)

thành tín hiệu ra y(n). x(n) là tín hiệu kích thích, còn y(n) là đáp ứng của hệ thống

đối với tín hiệu đang kích thích.

x(n) y(n)

Ký hiệu: T[x(n)] =y(n)

Cũng có thể ký hiệu như sau:

T

x(n) y(n)

Ví dụ :

y(n)=2x(n)+3x(n-1) là 1 hệ thống

y(n)=ay(n-1)+x(n) là 1 hệ thống.

1.3 Tín hiệu

Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin.

Có thể chia tín hiệu thành 2 loại là tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc.

a. Tín hiệu liên tục

Tín hiệu liên tục gồm 2 loại là:

- Tín hiệu tương tự

- Tín hiệu lượng tử hóa

b. Tín hiệu rời rạc

Tín hiệu rời rạc gồm 2 loại:

- Tín hiệu lấy mẫu

5

Hệ thống

(T)

- Tín hiệu số

2. Các đặc trưng cơ bản của hệ thống xử lý tín hiệu

2.1 Đáp ứng xung của hệ thống

Ta có thể biểu diễn mọi tín hiệu dưới dạng.

x(n)= ∑k=−∞

∞

x (k ) δ(n−k )

Giả sử hệ thống cúa chúng ta là tuyến tính, chúng ta có thế viết :

y(n)= T[x(n)]= T [ ∑k=−∞

∞

x (k ) δ ¿¿

Vì x(k) độc lập với n, nên ta có :

y(n) = T[x(n)] = ∑k=−∞

∞

T ¿¿

Nếu ta ký hiệu hk(n) là đáp ứng của hệ thống kích thích δ(n-k), có nghĩa là :

hk(n) = T[δ (n-k)] ta có hình sau:

δ(n-k) T[δ(n-k)]=hk(n)

Và chúng ta có biểu thức sau

y(n) = ∑k=−∞

∞

x (k )hk (n)

Đáp ứng hk(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

6

T

hk(n) là hàm của k và n, như vậy các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đáp ứng xung

khác nhau, hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k, nếu biến k là thời

gian, thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian

Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ

sau

T[δ (n)] = h(n)

T[δ(n-k) = h(n-k)=hk(n)

y(n) = ∑k=−∞

∞

x (k )hk(n-k)

Như vậy hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng

xung của hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ không phụ thuộc k, tức là

nếu biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau thì đáp ứng xung của hệ thống

bất biến luôn là h(n). Đến đây ta có thể cho rằng đáp ứng xung h(n) sẽ đặc trưng

hoàn toàn cho 1 hệ thống bất biến tuyến tính.

x(n) y(n)

Ta có quan hệ sau:

y(n) = ∑k=−∝

∝

x (k ) h(n−k ) = x(n)*h(n)

Quan hệ này được gọi là tích chập giữa x(n) và h(n) ký hiệu là “*”

2.2 Phương trình vi phân và phương trình sai phân

Phương trình vi phân tuyến tính có dạng sau:

7

H(n)

∑k=0

N

ak ( t ) dk y ( t )d t k =∑

r=0

M

br (t)dr (t)d tr

Phương trình sai phân tuyến tính:

Chúng ta có thể nhận được một phương trình sai phân tuyến tính từ 1 phương trình

vi phân tuyến tính bằng cách thay gần đúng các đạo hàm vào vị trí của các đạo

hàm. Như là với đạo hàm bậc nhất ta có gần đúng sau:

dy (t)dt

≈y (t )− y (t−∆ t )

∆ t

Nên ta có phương trình sai phân sau :

∑k=0

N

ak (n ) y (n−k )=∑r=0

M

br (n ) x (n−r )

Ở đây M, N là số nguyên dương

N gọi là bậc của phương trình sai phân

Ta có nhận xét sau:

Các hệ số ak (n ) v à br(n) là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống tuyến tính thay vai

trò đáp ứng xung của hk (n)

Nếu các hệ số a_k (n) và b_r (n) không bị thay đổi theo thời gian (và viết là a_k

và b_r) thì phương trình sai phân tuyến tính được gọi là phương trình sai phân

tuyến tính hệ số hằng và nó dùng để mô tả hệ thống tuyến tính bất biến

(Với điều kiện đầu vào bằng 0, khi x(n) = δ(n) thì y(n) = h(n) )

3. Các khâu cơ bản của hệ thống.

a. Khâu nguyên hàm ( Khâu tĩnh)

+Khâu khuếch đại:

Phương trình vi phân:

y = k.x

Trong đó k là hệ số khuếch đại.

8

Các phần tử có hàm truyền đạt là khâu khuếch đại: các phần tử đo lường

(sensor, biến trở, bộ phát tín hiệu cảm ứng…), phần tử khuếch đại (bộ khuếch đại

điện tử, bán dẫn, ion…).

* Hàm truyền đạt của khâu: W ( p) = k

* Các đặc tính thời gian:

- Hàm quá độ: h(t ) = k.1(t )

- Hàm trọng lượng: k (t ) = k.δ (t )

* Các đặc tính tần số:

- Hàm truyền tần số: W ( jω ) = k

- Đặc tính BT: A(ω ) = k

- Đặc tính PT: ϕ (ω ) = 0

- Đặc tính BTL: L(ω ) = 20.lg k

+Khâu quán tính bậc nhất:

* Phương trình vi phân: T.dydt +y=kx

Trong đó k là hệ số truyền và T là hằng số thời gian của khâu.

Các phần tử thuộc khâu quán tính bậc nhất: khuếch đại từ, máy phát điện một

chiều, mạch điện R-C, L-R, lò điện trở, động cơ điện không đồng bộ hai pha và ba

pha nếu lượng ra là tốc độ quay.

* Hàm truyền đạt của khâu: W(p)=k

tp+1

* Các đặc tính thời gian:

- Hàm quá độ: Hàm h(t ) nhận được do giải PTVP: T.d h(t)

dt+h(t) = k với điều kiện

h(0) = 0 và h(∞) = k , ta được:

9

h(t) = k(1-e−at) với a = 1T

- Hàm trọng lượng: k(t)=h’(t)=k.a.e−at

* Các đặc tính tần số:

- Hàm truyền tần số:

W(jw) =k

Tjw+1=k

(Tw )2+1− j

kTw

(Tw)2+1=¿ R(w)+jI(w)

- Đặc tính BT: A(w) = √(Rw )2+(Tw )2 =k

√(Tw )2+1

- Đặc tính PT: ϕ(w) = arctgI (w)R (w ) = -arctg(Tw)

- Đặc tính TBP: Từ mối liên hệ: A2(w)=R2(w)+T2(w) , qua một số phép biến đổi ta

tìm được:

(R (w )− k2)

2

+I 2(w)=( k2)

2

Đây chính là phương trình đường tròn có tâm (k /2; 0) và bán kính bằng k/ 2 . Nếu

lấy

ω thay đổi từ 0 đến ∞ nó là nửa đường tròn nằm ở góc phần tư thứ IV.

- Đặc tính BTL:

L(ω ) = 20.lg A(ω ) = 20.lg k − 20.lg√ (Tw )2+1

Vẽ chính xác thì L(w ) là một đường cong nhưng ta có thể bằng cách vẽ tuyến tính

hóa từng đoạn:

+ Khi ω <<1 T , L(ω ) ≈ 20.lg k

+ Khi ω >>1 T , L(ω ) ≈ 20.lg k − 20.lgT − 20.lgω

10

b. Khâu tích phân (Khâu phi tĩnh)

* Phương trình vi phân:y = k∫ xdt

trong đó T =1/ k là hằng số thời gian tích phân

* Hàm truyền đạt của khâu: W ( p) = 1

Tp

* Các đặc tính thời gian:

- Hàm quá độ: h(t ) = k∫1 ( t )dt = kt

- Hàm trọng lượng: k (t ) = h '(t ) = k

- Hàm truyền tần số: W(jw) = 1

Tjw = -j1

Tw

- Đặc tính BT: A(w) = 1

Tw

- Đặc tính PT: ϕ (ω ) = −π/2

- Đặc tính BTL: L(ω ) = 20.lg A(ω ) = −20.lgTω

Ta có nhận xét:

+ Hàm quá độ h(t), hàm trọng lượng k(t) của hệ thống của tích phân cho ta thấy,

khâu tích phân có tính chất có nhớ. Nghĩa là, khâu tích phân sẽ giữ nguyên trạng

thái tại thời điểm dừng tác động đầu vào.

+ Đặc tính PT của khâu tích phân bậc n là tín hiệu ra luôn chậm pha so với tín hiệu

vào một góc bằng π /2 .

c. Khâu vi phân

* Phương trình vi phân: y = Tdydx

Trong đó T là hằng số thời gian vi phân

* Hàm truyền đạt của khâu: W ( p) = Tp

* Các đặc tính thời gian:

- Hàm quá độ: h(t ) = T.1'(t ) = T.δ (t )

- Hàm trọng lượng: k (t ) = h '(t ) = T.δ '(t )

11

* Các đặc tính tần số:

- Hàm truyền tần số: W ( jω ) = T. jω

- Đặc tính BT: A(ω ) = Tω

- Đặc tính PT: ϕ (ω ) =π /2

- Đặc tính BTL: L(ω ) = 20.lg A(ω ) = 20.lgTω

Ta có nhận xét sau:

+ Các đặc tính quá độ h(t) và trọng lượng k(t) của khâu vi phân cho thấy khâu vi

phân có xu hướng mất ổn định.

+ Khâu vi phân có tín hiệu ra của khâu vi phân luôn sớm pha hơn tín hiệu vào một

góc bằng π/ 2 , đây là đặc tính nổi bật của khâu vi phân khiến cho hệ thống tác

động nhanh.

d. Khâu trễ

* Phương trình vi phân: y (t ) = x (t −τ )

* Các đặc tính thời gian:

- Hàm quá độ: h(t ) =1(t −τ )

- Hàm trọng lượng: k (t ) = h '(t ) =δ (t −τ )

* Các đặc tính tần số

Nếu tín hiệu vào có dạng x(t) = Ae jwt thì tín hiệu ra sẽ có dạng y(t) =A e jω(t−τ)

Hàm truyền tần số: W ( jω ) = e− j .ωτ

- Đặc tính BT: A(ω ) =1

- Đặc tính PT: ϕ (ω ) = −ωτ

- Đặc tính BTL: L(ω ) = 20.lg A(ω)

Ta có nhận xét sau:

+ Ta thấy rằng khâu trễ không làm biến đổi hình trạng tín hiệu nhưng khâu trễ luôn

có tín hiệu ra chậm pha so với tín hiệu vào.

Từ nhưng tìm hiểu trên ta thấy :

12

+ Khâu khuếch đại, khâu quán tính bậc 1, khâu dao động luôn đưa hệ thống đến

giá trị k ở trạng thái xác lập.

+ Khâu khuyếch đại có tín hiệu ra trùng pha tín hiệu vào. Khâu tích phân, khâu

quán tính bậc 1, khâu dao động, khâu trễ là các khâu có tín hiệu ra chậm pha hơn

so với tín hiệu vào. Chỉ có duy nhất khâu vi phân là tín hiệu ra nhanh pha hơn so

với tín hiệu vào. Chính vì đặc điểm này nên khâu vi phân thường dùng cho các cơ

cấu yêu cầu tác động nhanh.

+ Các đặc tính biên độ tần số logarit BTL có những đặc điểm theo bậc n của PTĐT

như sau:

n = 0 độ dốc 0 db/dec

n = 1 độ dốc ±20 db/dec

n = 2 độ dốc ±40 db/dec

Dấu + cho biết tín hiệu ra nhanh pha hơn so với tín hiệu vào.

Dấu - cho biết tín hiệu ra chậm pha hơn so với tín hiệu vào.

Chú ý: Ngoài những khâu động học cơ bản chúng ta còn có nhưng khâu động học

phức tạp:

+ Không khâu ổn định bậc nhất

+ Khâu tích bậc hai

+ Khâu tỉ lệ tính phân

+ Khâu vi phân thực

+ Khâu tỉ lệ vi phân

+ Khâu tích vi phân

4. Các sơ đồ ghép nối của hệ thống.

Có nhiều cách tổ chức hệ thống khác nhau. Về cơ bản, có 3 cách ghép là ghép nối

tiếp, ghép song song và ghép hồi tiếp.

a) Ghép nối tiếp:

Ghép nối tiếp là đầu vào của phần tử này là đầu ra của phần tử kia và ngược lại.

13

Phương pháp ghép nối tiếp đơn giản, rõ ràng nhưng độ tin cậy kém. Khi số

lượng phần tử tăng lên thì độ tin cậy giảm xuống. Hệ thống chỉ làm việc tốt khi tất

cả các phần tử đều làm việc tốt.

b) Ghép song song

Là cách ghép mà đầu vào của một phần hay toàn bộ các phần tử cùng chung

một biến số vào mà đầu ra của chúng lại là đầu vào của một phần hay nhiều phần

tử khác của hệ thống.

Phương pháp ghép song song có độ tin cậy cao vì hệ thống chỉ ngừng trệ khi

toàn bộ các phần tử ngừng trệ. Tuy nhiên cách ghép nối này làm tăng mối quan hệ

cho nên tính phức tạp của hệ thống cũng tăng lên.

14

c) Ghép hồi tiếp

Ghép hồi tiếp là một dạng kết hợp các phần tử. Trong cách ghép này, đầu ra của

một phần tử lại có thể là đầu vào của chính phần tử đó, được thực hiện trực tiếp

hay thông qua những phần tử khác của hệ thống.

Hồi tiếp dương làm tăng thêm tác động tích cực của đầu vào, trái lại, Hồi tiếp âm

sẽ làm giảm tính tích cực của đầu vào.

15

Chương 2

Phân tích và thiết kế hệ thống với hàm truyền đạt

1. Biến đổi Laplace.

a. Định nghĩa.

- Định nghĩa: Giả sử x(t) là hàm số thực xác định với mọi t>0. Biến đổi

Laplace của hàm số x(t) được định nghĩa và kí hiệu như sau:

LT{x(t)}=∫0

∞

e−stx(t)dt

- Điều kiện tồn tại: Hàm số x(t) được gọi là hàm gốc của biến đổi nếu thỏa

mãn cả 3 điều kiện sau:

x(t)=0 với mọi t < 0

x(t) liên tục từng đoạn trên miền t ≥ 0

x(t) không tiến nhanh hơn hàm mũ khi t → +∞, nghĩa là tồn tại M > 0 và

α 0≥0 sao cho:

|x(t)|≤ M ea0 t ,∀ t>0

b. Các tính chất của biến đổi Laplace.

- Tính chất tuyến tính

LT{Ax(t) + By(t)} = A.LTx(t) + B.LTy(t)

- Tính đồng dạng

LT{x(t)}=1a

X ( sa )

Với mọi a > 0

- Tính dịch chuyển ảnh

LT{eatx(t)} = X.(s-a)

- Tính trễ.

16

LT{ŋ(t-a)x(t-a)} = e−saX(s)

- Biến đổi của đạo hàm

LT{x '(t) = sX(s) – x(0)

- Biến đổi của tích phân

LT{∫0

t

x (u ) du} = X (s)

s

- Đạo hàm ảnh

LT{t nx(t)} = (−1)n dn

d snX(s)

- Tích phân ảnh

LT{x (t )t } = ∫

0

∞

X (u )du

- Ảnh của tích chập

x(t) * y(t) = ∫0

t

x (u ) y (t−u)du

c. Biến đổi Laplace ngược

Định nghĩa: Cho hàm X(s), nếu tồn tại x(t) sao cho L{x(t)} = X(s) thì ta nói x(t)

là biến đổi ngược của X(s), kí hiệu x(t)=¿−1 {X (s )}

Tính duy nhất:

Nếu x(t) là hàm gốc với chỉ số tăng α0 thì và LT {x (t) }=X (s)thì tại mọi điểm

liên tục t của hàm x(t) ta có:

x(t) = 12 πi

∫α−i ∞

α+i ∞

estX(s)ds

Trong đó tích phân vế phải được lấy trên đường thẳng Res(s)=α theo hướng từ

dưới lên, với α là số thực bất kì lớn hơn α 0.

Điều kiện cần để một hàm có biến đổi ngược.

Hàm X(s) có biến đổi ngược nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

i. X(s) khả tích trong nửa mặt phẳng Res(s) > α0.

17

ii. |X(s)| ≤ MR với mọi s thuộc đường tròn |s|=R và

limR →∞

M R = 0.

iii. Tích phân ∫α−i ∞

α+i ∞

X ( s) ds hội tụ tuyệt đối.

Các phương pháp tìm Laplace ngược.

i. Sử dụng các tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi

ngược

ii. Khai triển thành chuỗi lũy thừa

iii. Sử dụng thặng dư của tích phân thức

iv. Tìm hàm gốc của phân thức hữu tỉ

2. Biến đổi Fourier

a, Định nghĩa: Xét một hàm số phức khả tích  x(t). Một biến đổi Fourier của nó

sang miền tần số góc ω được cho bởi hàm

Ký hiệu:X(w) = 1√2 π

∫−∞

∞

x (t)e−iwt dt

b, Các tính chất của biến đổi fourier.

Các tính chất của biến đổi fourier được tổng kết trong bảng sau:

Tính chất Hàm x(t) Biến đổi fourier  X̂(f)

1. Tính tuyến tính Ax1(t) + Bx2(t) AX̂1(f) + BX̂2(f)

2. Tính đồng dạng x(at) 1|a|

X̂ ( fa)

3. Tính liên hợp x (t) X̂ (−f )

4. Tính đối ngẫ X̂(t) x(-f)

18

Hệ thốngLT.TT.BB.NQTác động x(t) Đáp ứng y(t)

Hình 4.1

5. Tính trễ X(t-T d) e−i 2π Td X̂(f)

6. Tính dịch chuyển ảnh

e i 2π f 0 x(t) X̂(f -f 0)

7. Tính điều chế x(t)cos2π f 0t 12

X̂(f -f 0) + 12

X̂(f +f 0)

8. Tính đạo hàm dn x (t )d t n

(i 2 πf )n X̂(f)

9. Tính tích phân ∫−∞

t

x (u ) du1

i2 πfX̂(f) +

12

X̂(0)δ ( f )

10.Tính đạo hàm ảnh t nx(t) (−i 2 πf )−n dn X̂ ( f )d f n

11.Tính tích chập x1(t) ¿ x2(t) =∫−∞

∞

x1(u)x2(t-u) duX̂1(f)X̂2(f)

12.Tính tích x1(t)x2(t) X̂1(f)¿ X̂2(f)

c, Biến đổi fourier ngược.

Định nghĩa:

Cho hàm X(ω), nếu tồn tại x(t) sao cho F{x(t)} = X(ω) thì ta nói x(t) là biến đổi

ngược của X(ω), kí hiệu:

x(t) = 1√2 π

∫−∞

∞

X (w)e−iwt dw

3. Phân tích hệ thống.

1. Tín hiệu liên tục (t)

1.1. Hàm truyền đạt

Xét hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến và nhân quả (bậc hữu hạn n) trong miền

thời gian như hình vẽ 4.1:

19

Quan hệ giữa đáp ứng ra và tác động vào có thể tồn tại dưới hình thức là một

phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng (bậc n) chuẩn hóa:

dn y ( t )dtn

+∑i=0

n−1

ai

d i y ( t )dt i

=∑i=0

m

bi

d i x( t )dti

Ví dụ 1: cho hình vẽ sau

Ta có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:

y(t) +dy (t)

dt = x (t )+ dx (t)

dt+

d2 x (t)d t2

Với a0=1 , a1=1

b0=1 , b1=1, b2 = 1

n = 1, m = 2

1.1.1 Hàm truyền đạt của hệ thống

Với điều kiện đầu của hệ thống bằng không, khi Laplace hóa hệ thống cùng các

phương trình tương ứng sang miền p (bằng biến đổi Laplace (LT)) ta có hàm

truyền đạt của hệ thống:

20

=Re[p]

Im[p]k/hiệu điểm cực

k/hiệu điểm không

H ( p )=Y ( p )X ( p) (4.2)

Chú ý rằng: H ( p )=Y ( p)|X ( p )=1 (4.3)

Dạng tổng quát của hàm truyền đạt thường là một phân thức hữu tỷ, có thể xác

định trực tiếp từ các hệ số của phương trình vi phân đã nói ở trên:

H ( p )=b0+b1 p+ . . . +bm-1 pm-1 +bm pm

a0+a1 p+.. . +a n-1 pn-1+ pn=

H1( p )H2( p )

(4.4)

Điểm không của hệ thống là các điểm pi mà tại đó H1(pi)=0.

Điểm cực của hệ thống là các điểm pk mà tại đó H2(pk)=0.

Khi đó H(p) có thể biểu diễn dưới dạng tích:

H ( p )=bm

∏i=1

m

( p−pi )

∏k=1

n

( p−pk ) (4.5)

Nếu các nghiệm khác không, dạng tích còn được biểu diễn theo một cách khác:

H ( p )=k0

∏i=1

m

(1− ppi

)

∏k=1

n

(1− ppk

) (4.6)

Dựa vào ví dụ 1 thực hiện Laplace hai vế ta có:

H(p) = 1+ p+ p2

1+ p

1.2 Tính ổn định của hệ thống.

Tính ổn định của hệ thống liên quan tới vị trí của các điểm không và các điểm cực

của H(p) trên mặt phẳng phức như hình 4.2. Chúng là một cơ sở quan trọng để xác

định đặc trưng của hệ thống.

21

+ Trên các hệ thống ổn định, với mọi tác động hữu hạn thì đáp ứng cũng phải hữu

hạn. Hệ thống là ổn định khi và chỉ khi mọi điểm cực của H(p) nằm bên nửa trái

của mặt phẳng phức, tức là Re[pk]<0, với mọi k=1,2, ...,n.

+ Hệ thống nằm ở biên giới ổn định nếu khi và chỉ khi có điểm cực của H(p) nằm

trên trục phức của mặt phẳng phức còn lại nằm hết bên trái mặt phẳng phức.

+ Hệ thống là không ổn định khi tồn tại điểm cực của H(p) nằm bên nửa phải mặt

phẳng phức.

Điều kiện ổn định của các mạch điện tuyến tính, bất biến, có thông số tập trung là

mọi điểm cực của H(p) nằm bên nửa trái của mặt phẳng phức. Đối với các mạch

thụ động, có thể tồn tại các điểm cực (không lặp) nằm trên trục ảo mà mạch vẫn ổn

định bởi vì mạch không bao giờ bị tự kích với bất kỳ sự thay đổi nào của các thông

số. Còn đối với các mạch tích cực, nếu tồn tại các điểm cực nằm trên trục ảo, thì

dưới tác động của bất kỳ sự thay đổi nhỏ nào của các thông số mạch, các điểm cực

hoàn toàn có thể nhảy sang nửa mặt phẳng phải và mạch sẽ bị tự kích.

Với một hệ thống phức tạp việc xác định nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ

gặp một số khó khăn vì thế chúng ta có thể áp dụng các phương pháp khác để kiểm

nghiệm tính ổn định của hệ thống như: Phương pháp dung bảng Routh, Nyquist,

Mikhailov…

1.3 Đáp ứng tần số

1.3.1 Khái niệm

Khi Fourier hóa hệ thống (cùng các phương trình tương ứng) sang miền tần số ta

có khái niệm đáp ứng tần số của hệ thống:

H ( jω)=FT [h( t ) ]=Y ( jω )X ( jω)

=|H ( jω)|. e j arg H ( jω)

trong đó |H ( jω)| là đáp ứng biên độ và arg H ( jω) là đáp ứng pha của hệ thống.

22

Từ đặc tuyến tần số, ta có thể nhận biết được đặc trưng của hệ thống trong miền

tần số và phản ứng của hệ thống khi các tác động đầu vào có dạng điều hòa.

1.3.2 Mối quan hệ giữa đáp ứng tần số và hàm truyền đạt

Từ kết quả của chương trước, ta thấy rằng nếu vùng hội tụ của H(p) bao hàm cả

điều kiện tồn tại biến đổi Fourier thì ta có thể tính trực tiếp H ( jω) từ H(p) bằng

cách thay thế p =j.

H ( jω)=H ( p )|p= jω

Đối với các hệ thống nhân quả và ổn định, luôn tồn tại H ( jω).

Chúng ta có thể vẽ đặc tuyến tần số bằng phương pháp trực tiếp hoặc phương pháp

Bode.

Nhận xét:

Trong nhiều trường hợp, đáp ứng tần số dưới dạng các đặc tuyến gãy gần đúng

theo phương pháp Bode cũng đủ để khảo sát tính chất của hệ thống, vì vậy không

cần phải vẽ đặc tuyến chính xác của nó.

Ví dụ:

Cho phương trình của H(p) = 1+ p

1+ p+ p2

H(jω) = 1+ jω

1+ jω−ω2

I.4 Các đặc tính

1. Đặc tính thời gian

Các đặc tính thời gian của phần tử là sự thay đổi tín hiệu ra của phần tử theo

thời gian khi tác động đầu vào là nhưng tín hiệu chuẩn, bao gồm hàm quá độ,

hàm trọng lượng và các đường của nó, các hàm thời gian mô tả sự biến thiên

23

của tín hiệu ra khi phần tử chuyển từ trạng thái cân bằng này sang trạng thái

cân bằng khác do sự tác động của một trong các nhiều chuẩn.

a. Hàm quá độ:

- Được ký hiệu là h(t), mô tả sự thay đổi của tín hiệu ra theo thời gian khi tác

động ở đầu vào của phần tử là tín hiệu bậc thang đơn vị.

Hàm bậc thang đơn vị được kí hiệu là 1(t) và có các đặc tính sau:

1(t)=0 khi t< 0 và 1(t)=1 khi t≥0

b. Hàm trọng lượng

-Được ký hiệu là k(t) là phản ứng của phần tử khi đầu vào của nó chịu tác động

của nhiễu xung đơn cị ó ký hiệu là ∂( t).

∂( t) có các đặc tính sau:

∂( t) = 0 khi t≠ 0

và ∂( t) = ∞ khi t=0

2. Đặc tính tần số

Các đăc tính tần số của phần tử mô tả mối liến hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào

của phần tử ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều hoa

tác động ở đầu vào của phần tử.

Nếu ở đầu vào của phần tử tác động 1 dao động điều hòa dạng:

X(t)=A.sin(ωt)

Thì sau một thời gian quá độ ở đầu ra của nó sẽ nhận được một dao động điều

hòa có cùng tần số khác biên độ và lệch pha so với tín hiệu vào của 1 góc φ được

mô tả bằng biểu thức sau:

y(t) = B.sin (ω t + φ)

a. Pha tần số

Sự phụ thuộc của φ vào ω được gọi là đặc tính pha tần số (PT) và được ký hiệu

là φ(ω) cho thấy sự nhanh chậm của tín hiệu ra so với tín hiệu vào ở các tần số

khác nhau.

24

b. Biên độ tần số

Sự thay đổi của A(ω) =¿ Ar∨ ¿¿ Av∨¿¿

¿ theo tần số được gọi là đặc tính biên độ

tần số (BT). Đặc tính biên tần cho ta thấy đáp ứng tần số hệ thống.

c. Tần số logarit

Hàm số lnA(ω) được gọi là đặc tính biên độ tần số logarit BTL

lnW(jω) = lnA(ω) + jp(ω)

được tính theo đơn vị dB.

4. Sự chuyển đổi giữa các miền:

Việc phân tích hệ thống trên miền gốc gặp một số khó khăn vì thế trong quá trình

phân tích chúng ta có thể sự dụng các phép biến đổi để chuyển đổi giữa các miền

giúp việc phân tích trở nên dễ dàng hơn.

1.4.1 Chuyển từ t sang p

Khi thực hiện phân tích hệ thống trên miền t chúng ta sẽ phức tạp hơn so với phân

tích trên miền p, vì thế chúng ta có thể thực hiện chuyển đổi hệ thống từ miền t

sang miền p bằng phép biến đổi Laplace.

Ví dụ:

Cho hàm sau x(t)= sint + 3t

x(t) = δ(t) - 2t 2

Giải

Ta có laplace x(t)

X(p) = 1

1+ p2 + 3

p2

25

X(p)= 1 -4

p3

1.4.2 Chuyển từ p sang t

Ta có thể khôi phục tín hiệu x(t) từ biến đổi Laplace hai phía của nó bằng cách

dùng biến đổiLaplace ngược.

Ví dụ:

Cho hàm sau: F(p) = 3 p

p2+4 p+3 tìm f(t)

Giải

Ta có: F(p) = 3 p

( p+1 ) .( p+3) = H 1(p)H 2(p)

Như vậy H 2(p¿ có hai nghiệm đơn p = -1, p = -3

F(p) = A1

p+1 +

A2

p+3

A1= limp → p 1

¿¿) ]= - 32

A2= limp→ p 2

¿¿) ]= 92

Vây ta có: f(t) = - 32

e−t +

92

e−3 t

26

Chương 3

Phân tích tín hiệu và hệ thống trên chương trình Matlab

1. Giới thiệu sơ lược về Matlab.a .Matlab là gì?

Matlab là ngôn ngữ lập trình cấp cao cho mục đích toán kỹ thuật, chương trình tích

hợp toán kỹ thuật,đồ hoạ và lập trình trong môi trường để sử dụng nơi mà tất cả

các vấn đề và lời giải được biểu diễn dưới dạng ghi chú toán học.

Matlab là một hệ thống tương tác mà tất cả các phần tử dữ liệu cơ bản là một mảng

không yêu cầu về mặt kích thước.đây là một thuận lợi cho phép người sử dụng giả

quyết những bài toán kỹ thuật đặc biệt là công thức được xây dựng từ ma trận hoặc

vectơ.

b. Matlab System

Matlab gồm năm phần chính sau:

- Development environment: Tập hợp các công cụ và những tiện ích cho phép

người dụng sử các hàm và file Matlab. Phần lớn các công cụ này là giao tiếp người

dùng bao gồm Matlab desktop và command window, command history,edit and

debugger, workspace, trình duyệt hỗ trợ sử dụng help.

- The Matlab mathematical function library: Đây là thư viện tập hợp các giải thuật

tính toán được tập hợp trong các hàm từ cơ bản như: sum, sin, cosine và số phức

cho đến các hàm phức tạp hơn như:nghịch đảo ma trận,trị riêng và véc tơ riêng của

ma trận, biến đổi Fourier….

27

- Lập trình trong môi trường matlab:lập trình với Matlab, Matlab là ngôn ngữ lập

trình cấp cao thực thi theo các doạn lệnh ,các hàm, cấu trúc dữ liệu … cho phép

xây dựng các chương trình từ đơn giản nhỏ cho đến các chương trình lớn phức

tạp.

- Graphics: Matlab đã được mở rộng các khả năng cho việc thể hiện vector và ma

trận dưới dạng đồ thị cũng như ký hiệu và in ấn chúng. Matlab cung cấp các hàm

nâng cao cho việc thể hiện dư liệu hai,ba chiều xử lý ảnh,chuyển động đồ thị.

Ngoài ra Matlab còn cung cấp cho người dùng sử dụng các hàn giao tiếp giữi

người dùng và ứng dụng.

- The Matlab application program interface (API): Đây là thư viện cho phép người

dùng tạo ra những chương trình bằng ngôn ngữ C hoặc Fortran tương tác với

Matlab.

c. Giới thiệu môi trường làm việc và các công cụ Matlab

Giới thiêu giao diện chính của matlab

Khi khởi động Matlab giao dien chính sẽ mở ra, giao diện sẽ chứa các công cụ để

quản lý tập in,biến và các ứng dụng hỗ trợ khác:

Command window.

Held browser.

Current directory browser.

Command history.

Workspace browser.

Editor/debugger.

28

Profiler.

Hàm liên quan đến Command window

Clc: Xoá các dòng lệnh ở Command window

Diray: Lưu các lệnh được thực thi ở Command window

Dos: Truy xuất DOC command và trả về kế quả

Format:Định dạng kiểu xuất dữ liệu

Home: Di chuyển vị trí con trỏ lên vị trí bên trái cửa sổ Command window.

Các hàm tìm sự trợ giúp của Matlab

Doc: Hiển thị cửa sổ trợ giúp trong Matlab.

Demo: Truy xuất demo thông qua Matlab Held browser.

Docroot: Hiển thị đường dẫn Document.

Whatsnew: Thuộc tính mới trong phiên bản này so với phiên bản trước.

Held: Truy xuất sự trợ giúp Matlab.

Workspace: Hiện thị Workspace.

Who, whos: Hiện thị Workspace.

Clear, Clear all: Xoá các biến trong Workspace.

File

Cd: Thay đổi đường dẫn

29

Delete: Xoá tập in hoặc đối tượng đồ hoạ

Dir:Hiển thị danh sách đường dẫn hiện hành

Matlabroot: Hiển thị đường dẫn cài đặt Matlab

Pwd: Hiển thị đường dẫn hiện hành

Mkdir: tạo đường dẫn mới

Path

Addpath: Thiết lập thư mục hiện hành

Genpath: Trả về chuỗi,đường dẫn các thư mục chỉ định

Path2rc: Linh đường dẫn thành một file pathdef.m

Pathtool: Hiển thị hộp thoại setpath để xem hoặc thay đổi đường dẫn Matlab

Path: Xem đường dẫn Matlab

Rmpath: Gỡ đường dẫn

2. Matlab trong phân tích hệ thống.

a. Để phân tích đặc tính của hệ thống, sinh viên cần phải hiểu kỹ về các lệnh sau:

W =numden =

b0 sm+b1 sm−1+…+bm−1 s1+bm

a0 sn+a1 sn−1+…+an−1 s1+an

>>num=[b0 b1 bm-1 bm]; % Định nghĩa tử số nếu hệ số nào không có gán bằng 0

>>den=[a0 a1 an-1 an]; % Định nghĩa mẫu số nếu hệ số nào không có gán bằng 0

>>w=tf(num,den) % Định nghĩa hàm truyền đạt w

>>step(w) % Vẽ hàm quá độ h(t)

30

>>impulse(w) % Vẽ hàm quá độ xung k(t)

>>nyquist(w) % Vẽ đặc tính tần biên pha của hệ thống

>>bode(w) % Vẽ đặc tính logarit

>>[A,B,C,D]=tf2ss(w) % Chuyển từ hàm truyền đạt sang không gian trạng thái

>>step(A,B,C,D) % Vẽ đường quá độ từ các ma trận trạng thái

>>impulse(A,B,C,D) % Vẽ đường quá độ xung từ các ma trận trạng thái

Ví dụ 1: Cho hệ thống có hàm truyền đạt:

W(p) =20

0.1 s+1

Ta thực hiện

>>num=[20];

>>den=[0.1 1];

>>w=tf(num,den);

>>step(w); % Vẽ hàm quá độ h(t)

31

>>impulse(w);% Vẽ hàm trọng lượng w(t)

>>nyquist(w);% Vẽ đặc tính tần biên pha của hệ thống

32

>>bode(w);% Vẽ đặc tính tần loga

b. Khảo Sát Hệ Thống.

Để hệ thống ổn định thì tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng phải nằm

bên trái mặt phẳng phức.

Ví dụ 2: cho hệ thông có hàm truyền đạt:

W(p)=p2+2 p+5

p4+9 p3+31 p2+49 p+30

Để thực hiện phân tích ta xây dựng một M_files như sau:

33

function Xethethong(X,Y)syms tsx=roots(X); y=roots(Y);disp('Cac diem khong la: '), disp(x)disp('Cac diem cuc la: '), disp(y)ly=length(Y); lx=length(X);Ys=0; Xs=0;for i=1:lyYs=Ys+Y(i)*(s^(ly-i));endfor i=1:lxXs=Xs+X(i)*(s^(lx-i));endHs=Ys/Xs;disp('H(s):'), pretty(Hs)for i=1:length(y)y_thuc(i)=real(y(i));endmaxy=max(y_thuc);if maxy<0disp('He thong on dinh')elsedisp('He thong khong on dinh')endHt=ilaplace(Hs);disp('H(t)=')pretty(Ht)end

Ta nhập tử và mẫu của hàm truyền đạt rồi gọi lệnh Xethethong.

>> x=[1 2 5];>> y=[1 9 31 49 30];>> Xethethong(x,y)

34

Ta có hình ảnh trên MATLAB:

Ta có thể kiểm tra tính ổn định của hệ thống với phương pháp Routh bằng chương

trình sau trong Matlab.

M_files có cấu trúc như sau:

function Routh(Ap)N=length(Ap);r=rem(N,2);A=(N-r)/2;minhang=min(Ap);if minhang<0 disp('He thong khong on dinh do Ap co phan tu am')else switch r case 0 MT=zeros(N,A); for i=1:A MT(1,i)=Ap(2*i-1); MT(2,i)=Ap(2*i); end

35

for j=3:N for k=1:(A-1) MT(j,k)=(MT(j-1,1)*MT(j-2,k+1)-MT(j-2,1)*MT(j-1,k+1))/MT(j-1,1); end end case 1 MT=zeros(N,A+1); for i=1:(A+1) MT(1,i)=Ap(2*i-1); end for i=1:A MT(2,i)=Ap(2*i); end for j=3:N for k=1:A MT(j,k)=(MT(j-1,1)*MT(j-2,k+1)-MT(j-2,1)*MT(j-1,k+1))/MT(j-1,1); end end end for j=3:N for k=1:(A-1) MT(j,k)=(MT(j-1,1)*MT(j-2,k+1)-MT(j-2,1)*MT(j-1,k+1))/MT(j-1,1); end end disp('MT=') disp(MT) Cot=[MT(:,1)] mincot=min(Cot) if mincot>0 disp('He thong on dinh') else if mincot<0 disp('He thong khong on dinh') else disp('He thong o bien gioi on dinh') end endend

Chạy thử chương trình Routh với hệ thống có phương trình đặc trưng

Ap= p4+8 p3+3 p2+2 p+4

Ta có hình ảnh trên Malab.

36

Chương trình chạy cho thấy Hệ thống không ổn định.

Các đặc tuyến:

Chương trình vẽ các đặc tuyến

function dactuyen(x,y)w=tf(x,y);subplot(221);step(w)title('Ham qua do')subplot(222);impulse(w)

37

title('Ham khoi luong')subplot(223)nyquist(w)title('Dac tinh bien-tan-pha')subplot(224)bode(w)title('Dac tinh loga')end

Theo số liệu trên. Kết quả trả về:

38

Tìm đặc tính tần số.

39

Kết quả trả về:

3. Bài Tập Ứng DụngBài tập 1: Cho hệ thống như hình vẽ:

W 1=K

W 2=K1

(T 1 s+1 ) (T 2 s+1 )

W 3=K2

(T 3 s+1 )

40

Xét hệ thống với K=5 K1=25 K2=8 T1=1 T2=0.1 T3=0.4

Nhập hệ số có hàm truyền đạt:

Xét hệ thống:

41

Các đặc tuyến:

Đặc tính tần số:

Bài tập 2: Xét hệ thống với K=5; K1=1;K2=3;T1=1;T2=0.1;T3=0.2;

42

Hàm truyền đạt:

Nhập tử và mẫu số:

43

Xét hệ thống:

44

Đặc tuyến:

Đặc tính tần số:

45

Tài liệu tham khảo

1. Signals and Systems with MATLAB Applications (Steven T.Karris)

2. Lý thuyết điều khiển tự động ( Phạm Công Ngô)

3. Bài giảng cơ sở điều khiển tự động (Th.S Đặng Hoài Bắc)

4. Bài giảng cơ sở điều khiển tự động (Th.S Vũ Anh Đào)

5. MALAB cơ bản (Nguyễn Hoài Sơn)

46