PHÂN TÍCH MẤT ỔN ĐỊNH TẤM CÓ SƯỜN DÙNG PHẦN TỬ ...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP. HỒ CHÍ MINH

PHAN VĂN CẢNH

PHÂN TÍCH MẤT ỔN ĐỊNH TẤM CÓ SƯỜN

DÙNG PHẦN TỬ MISQ20 VÀ PHẦN TỬ

DẦM TIMOSHENKO

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

TP. Hồ Chí Minh – 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP. HỒ CHÍ MINH

PHAN VĂN CẢNH

PHÂN TÍCH MẤT ỔN ĐỊNH TẤM CÓ SƯỜN

DÙNG PHẦN TỬ MISQ20 VÀ PHẦN TỬ

DẦM TIMOSHENKO

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng

Mã số: 8580201

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN VĂN HIẾU

TP. Hồ Chí Minh – 2020

MỤC LỤC

1.1. Giới thiệu ...................................................................................... 1

1.2. Mục tiêu nghiên cứu ..................................................................... 1

1.3. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................. 1

1.4. Ý nghĩa của đề tài: ........................................................................ 1

1.5. Nội dung trong luận văn được trình bày như sau: ........................ 1

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN ................................................................... 2

2.1. Sự phát triển của phần tử tấm vỏ .................................................. 2

2.2. Phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn ..................................... 2

2.3. Phần tử hữu hạn trơn .................................................................... 4

2.4. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước ................................ 4

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................ 4

3.1. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ20 ............................... 6

3.3.1. Biến dạng trơn uốn ................................................................ 6

3.3.2. Biến dạng trượt ...................................................................... 8

3.3.3. Ma trận độ cứng trơn hình học: ............................................. 9

3.2. Công thức phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko ..................... 10

3.3. Kết nối hai phần tử để tạo công thức phần tử hữu hạn cho tấm có

sườn ................................................................................................... 11

CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG SỐ .............................................................. 11

4.1. Ví dụ 1: Phân tích mất ổn định tấm chữ nhật gia cường một sườn

ngang chịu nén đơn trục .................................................................... 12

4.1.1. Khảo sát sự hội tụ ................................................................ 12

4.1.2. Khảo sát sự thay đổi của các tham số β; δ; γ ....................... 14

4.1.3. Khảo sát điều kiện biên ....................................................... 15

4.1.4. Khảo sát ảnh hưởng phương của lực nén ............................ 17

4.2. Ví dụ 2: Phân tích mất ổn định tấm vuông có gia cường sườn với

số lượng thay đổi tùy ý chịu nén đơn trục ......................................... 19

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................... 20

5.1. Kết luận ...................................................................................... 20

5.2. Kiến nghị .................................................................................... 20

1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

1.1. Giới thiệu

Ngày nay, kết cấu tấm được sử dụng rộng rãi trong các ngành công

nghiệp và dân dụng như dùng làm mái che, sàn, tường, xilo, bể chứa….

1.2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của nghiên cứu này nhằm khảo sát khả năng ứng dụng của

phần tử tấm tứ giác trơn 4 nút MISQ20 kết hợp với phần tử dầm hai nút

Timoshenko cho các bài toán phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn.

1.3. Phương pháp nghiên cứu:

Sử dụng các công thức ma trận độ cứng tuyến tính, ma trận độ cứng

hình học của phần tử MISQ20 để xây dựng ma trận độ cứng tổng thể của

phần tử dựa trên tích phân trên biên phần tử và dùng Matlab lập trình tính

toán phân tích mô phỏng các bài toán tuyến tính điển hình về phân tích

mất ổn định của kết cấu tấm có sườn.

1.4. Ý nghĩa của đề tài:

Tính mới: Điểm mới của đề tài là việc ứng dụng phần tử MISQ20 kết

hợp với phần tử dầm Timoshenko trong phân tích tuyến tính tấm có sườn.

Tính thời sự: Việc nghiên cứu nhận được nhiều sự quan tâm của các

nhà nghiên cứu khoa học trên toàn thế giới suốt nhiều thập kỷ qua.

Ý nghĩa khoa học: Cho thấy khả năng áp dụng và hiệu quả trong việc

mô hình tính toán tuyến tính của kết cấu tấm có sườn giúp nâng cao kiến

thức trong lĩnh vực cơ học tính toán.

1.5. Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1. Giới thiệu

Chương 2: Tổng quan

Chương 3. Cơ sở lý thuyết

Chương 4. Mô phỏng số

Chương 5. Kết luận và kiến nghị.

2

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN

2.1. Sự phát triển của phần tử tấm vỏ

Yang và các cộng sự thực hiện [1] đã nghiên cứu sự phát triển các loại

phần tử tấm vỏ. Gal và Levy [2] hoặc bài báo của Zhang và Yang [3] đã

nghiên cứu mở rộng và chi tiết hơn. Theo các nghiên cứu [4-15], phần tử

phẳng được sử dụng rộng rãi vì tính chất dễ kết hợp với các loại phần tử

khác cũng như sự đơn giản trong công thức và hiệu quả trong tính toán về

tuyến tính hình học mà ứng xử của kết cấu tại mỗi thời điểm cần phải giải

lặp để xác định vị trí cân bằng với các biến lưu trữ trạng thái ứng suất rất

lớn.

2.2. Phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn

Ramakrishnan và Kunukkasseril [16] trình bày một phương pháp phân

tích để phân tích dao động tự do của sàn tàu, kết quả được so sánh với kết

quả thực nghiệm. Mukhopadhyay đề xuất phương pháp bán phân tích dao

động và phân tích sự ổn định [16-19] và phân tích uốn [20] đồng tâm và

lệch tâm tấm có sườn. Chan et al. [21] đề xuất một giải pháp chính xác

bằng cách sử dụng phương pháp U-chuyển đổi, các mô hình này thường

phức tạp hoặc có nhược điểm cố hữu trong các phương pháp luận. Sau

đó, các phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn được đề xuất như phương

pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử biên, phương pháp

chia lưới tự do…Trong đó, FEM cho thấy nhiều ưu điểm hơn các phương

pháp khác. Trong FEM, các tấm có sườn thường được tách thành tấm và

sườn cứng. Sau đó, các tấm được mô hình hóa bởi các phần tử tấm và

sườn gia cường được mô hình hóa bởi các phần tử dầm. Lý thuyết tấm

mỏng Kirchhoff cũng như lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner được sử

dụng để mô hình hóa các phần tử tấm trong các tấm có sườn.

3

Dựa trên lý thuyết Kirchhoff, Rossow và Ibrahimkhail [27] áp dụng

các phương pháp hạn chế đối với các phần tử hữu hạn trong đó đa thức

xấp xỉ có thứ tự tùy ý để phân tích tĩnh của tấm có sườn đồng tâm và lệch

tâm. Olson và Hazel [28] trình bày kết quả lý thuyết và thực nghiệm để

phân tích dao động tự do của tấm lệch tâm có sườn.. Barik [29] và

Mukhopadhyay [30] kết hợp phần tử ứng suất phẳng bốn nút hình chữ

nhật với các phần tử tấm uốn ACM cho tĩnh, dao động tự do và phân tích

tiền ổn định của tấm có sườn tùy ý.

Dựa trên lý thuyết Mindlin-Reissner, Deb và Booton [31] sử dụng một

phần tử tấm có sườn dưới tải ngang, Mukheriee và Mukhoadhyay [32,33]

cũng sử dụng phần tử này cho dao động tự do và phân tích ổn định. Palani

et al. [35] sau đó áp dụng hai phần tử đẳng tham số (phần tử đẳng tham

số tám nút QS8S1 và phần tử đẳng tham số chín nút QS9S1) cho tĩnh và

dao động tự do của tấm/vỏ với các sườn gia cường bất kỳ. Holopainen

[36] đề xuất một mô hình phần tử hữu hạn mới để phân tích dao động tự

do của tấm lệch tâm làm cứng. Liew et al. [37] và Xiang et al. [38] sử

dụng phương pháp Rayleigh-Ritz để nghiên cứu các đặc tính dao động

của tấm hình chữ nhật và tấm nghiêng Mindlin với sườn gia cường trung

gian. Liew et al. [39] cũng phát triển các mô hình Mindlin-Engesser cho

các phân tích dao động của tấm dày vừa phải với các sườn gia cường có

hướng bằng cách sử dụng các phương pháp giảm thiểu Ritz. Peng et al.

[40,41] áp dụng các phương pháp phần tử tự do Galerkin cho tĩnh, dao

động tự do và phân tích tiền ổn định của tấm không có sườn cứng và có

sườn cứng [22]. Ngoài ra, Liew et al. [23], Satsangi [24,25] sử dụng một

số phương pháp số khác để nghiên cứu ứng xử của tấm dày.

4

Việc phân tích các tấm có sườn bằng cách sử dụng phần tử tấm

Mindlin bốn nút hay tám nút, trong khi các tài liệu liên quan đến sử dụng

phần tử tấm Mindlin 3 nút phần nào vẫn còn hạn chế. T. Nguyen-Thoi et

al. đã sử dụng phần tử 3 nút tam giác khác với phần tử 4 nút hay phần tử

8 nút được đề cập trong Refs. [26-30].

2.3. Phần tử hữu hạn trơn

Được đề xuất và phát triển bởi G.R.Liu và các cộng sự.

Phần tử MISQ20 của tác giả Nguyễn Văn Hiếu đã được phát triển song

song từ những nghiên cứu của Nguyễn Xuân Hùng và các cộng sự dựa

trên phần tử tấm tứ giác được làm trơn dùng cho phân tích tuyến tính.

Nhóm nghiên cứu do tác giả Nguyễn Thời Trung chủ trì cũng phát

triển thành công các phương pháp phần tử hữu hạn trơn mới cho phân tích

kết cấu tấm, vỏ.

2.4. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước

- Tình hình nghiên cứu trong nước trong những năm gần đây về vấn

đề phân tích kết cấu tấm là một vấn đề rất phức tạp và được rất nhiều tác

giả trong nước nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau, để cho ra

những kết quả phân tích chính xác nhất. Tác giả Nguyễn Văn Hiếu và

cộng sự [36], [37] đã phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm vỏ bằng

phương pháp phần tử hữu hạn dùng phần tử tứ giác trơn [27].

- Tác giả Nguyễn Thời Trung [41] còn sử dụng phương pháp phần tử

trơn cắt khoảng (cell-based smoothed discrete shear gap method CS-

DSG3) để phân tích tĩnh và phân tích rung động của tấm Reissner –

Mindlin. Phương pháp này sử dụng kỹ thuật trơn kết hợp với phương pháp

cắt khoảng (Shear gap) với phần tử 3 nút tam giác. Nhờ đó cũng giải quyết

5

được hiện tượng “shear Locking” và kết quả phân tích của nghiên cứu này

cho thấy giải pháp chính xác trong việc phân tích tấm.

- Tác giả Tôn Thất Hoàng Lân [49] sử dụng tứ giác trơn bốn nút

MISQ24 với 6 bậc tự do cho mỗi nút kết hợp phần tử dầm hai nút

Timoshenko, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để phân tích tĩnh

và ổn định tấm có sườn bằng phần tử tứ giác MISQ24 (First order Shear

Deformation Theory – FSDT) nhưng phần tử MISQ24 có thể khắc phục

hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do lý thuyết FSDT gây ra, đồng thời

giúp tăng độ chính xác cũng như ổn định lời giải số nhờ kỹ thuật làm trơn

trên phần tử và bậc tự do xoay quanh trục z.

- Ngoài ra, các tác giả trên còn có các nghiên cứu khác như: Nguyen

Van Hieu, Vo Anh Vu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen

Ngoc Duong [38] “Analysis of shell structure via a smoothed four – node

flat element.” Proceeding of the International Conference On Advances

In Computational Mechanics (ACOME), 2012, Ho Chi Minh City, Viet

Nam, pp. 219-233. Phạm Mỹ [39], “Parametric vibration of rectangular

plate using finite element method”, Luận văn thạc sĩ EMMC9 của trường

Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh, 2006. Bạch Quang Trung

[40], “Nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm/vỏ”,

Luận văn thạc sĩ Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh. T.

Nguyen – Thoi, P. Phung – Van, H. Nguyen – Xuan, Chien H. Thai [41].

“A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using

triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner –

Mindlin plates.” International Journal for Numerical Methods in

Engineering, Vol. 97, pp. 705-741, 2012.

6

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

3.1. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ20

Phần tử MISQ20 được phát triển dựa trên kỹ thuật phần tử hữu hạn

biến dạng trơn giả định trong khuôn khổ của lý thuyết biến dạng cắt bậc

nhất. Nhờ vậy kết quả tích phân số có độ chính xác cao hơn ngay cả phần

tử có hình dạng xấu giúp làm giảm thời gian tính toán so với kỹ thuật tích

phân miền thông thường.

3.3.1. Biến dạng trơn uốn

Miền 𝛺𝐶 là miền phần tử làm trơn để thực hiện tính toán trơn. Tùy vào

phân tích ổn định, 𝛺𝐶 có thể là toàn bộ phần tử hoặc một phần của phần

tử. 𝛷 là hàm làm trơn cho trước thỏa ít nhất tính chất thống nhất ∫ 𝛷𝑑𝛺𝛺

=

1 và được định nghĩa là:

𝛷(𝑥 − 𝑥𝑐) = {1/𝐴𝑐 𝑥 ∈ 𝛺𝑐

0 𝑥 ∉ 𝛺𝑐 (3.1)

Trong đó 𝐴𝑐 = ∫ 𝑑𝛺𝛺𝑐

la diện tích miền phần tử trơn (subcell).

Hình 3.1. Sự chia nhỏ phần tử ra thành 𝒏𝒄 phần tử con

và giá trị hàm dạng tại các nút

Theo cách tiếp cận của phương pháp phần tử hữu hạn trơn, miền 𝛺𝐶

của một phần tử tứ giác sẽ được chia nhỏ ra thành 𝑛𝑐 các phần tử con như

trên Hình 3.3. Sau đó trường biến dạng tổng quát sẽ được làm trơn bằng

cách trung bình hóa trường biến dạng gốc trên mỗi miền phần tử con

(subcells) dùng làm trơn:

7

ε̃𝑝(𝑥𝐶) = ∫ 𝛆𝑝(𝑥)𝛷(𝑥 − 𝑥𝐶)𝑑𝛺𝛺𝐶

(3.2)

Với �̃�𝑚 là biến dạng màng trơn và 𝑥𝐶 là một điểm tùy ý.

Thế 𝛷 từ vào phương trình trên và áp dụng định lý divergence thì biến

dạng màng trơn uốn có thể thu được dưới dạng:

�̃�𝑝(xC) = {𝜀�̃�(𝑥𝐶)

𝜀�̃�(𝑥𝐶)} =

1

2𝐴𝐶{∫ (𝑢𝑖𝑛𝑗 + 𝑢𝑗𝑛𝑖)𝑑𝛤𝛤𝐶

∫ (𝜃𝑖𝑛𝑗 + 𝜃𝑗𝑛𝑖)𝑑𝛤𝛤𝐶

} (3.3)

Trong đó: 𝛤𝐶 là biên của miền phần tử làm trơn 𝛺𝐶.

Từ đó quan hệ giữa trường biến dạng trơn uốn và chuyển vị nút được

viết lại như sau:

�̃�𝑝(𝑥𝐶) = ∑ �̃�𝑝𝑖(𝑥𝐶)𝐪𝑖𝑛𝑐𝑖=1 = ∑ [�̃�𝑚𝑖(𝑥𝐶) �̃�𝑏𝑖(𝑥𝐶)]𝑇𝐪𝑖

𝑛𝑐𝑖=1 (3.4)

Trong đó:

𝐪𝑖 là vector chuyển vị nút phần tử: 𝐪i = [𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖 𝜃𝑥𝑖 𝜃𝑦𝑖]𝑇

𝑛𝑐 là số phần tử trơn và

�̃�𝑚𝑖(𝑥𝐶) =1

𝐴𝐶∫ (

𝑁𝑖𝑛𝑥 0 0 0 00 𝑁𝑖𝑛𝑦 0 0 0

𝑁𝑖𝑛𝑦 𝑁𝑖𝑛𝑥 0 0 0)

𝛤𝐶𝑑𝛤 (3.5)

�̃�𝑏𝑖(𝑥𝐶) =1

𝐴𝐶∫ (

0 0 0 𝑁𝑖𝑛𝑥 00 0 0 0 𝑁𝑖𝑛𝑦

0 0 0 𝑁𝑖𝑛𝑦 𝑁𝑖𝑛𝑥

)𝛤𝐶

𝑑𝛤 (3.6)

Với 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị n vuông

góc với đường biên 𝑑𝛤.

Dùng tích phân số 1 điểm Gauss để tích phân phương trình trên dọc

theo 4 cạnh biên của một phần tử con, �̃�𝑚𝑖(𝑥𝐶) và�̃�𝑏𝑖(𝑥𝐶)viết lại như

sau:

�̃�𝑚𝑖(𝑥𝐶) =1

𝐴𝐶∑ (

𝑁𝑖(𝑥𝑏𝐺)𝑛𝑥 0 0 0 0

0 𝑁𝑖(𝑥𝑏𝐺)𝑛𝑦 0 0 0

𝑁𝑖(𝑥𝑏𝐺)𝑛𝑦 𝑁𝑖(𝑥𝑏

𝐺)𝑛𝑥 0 0 0

)𝑛𝑏𝑛=1 𝑙𝑏

𝐶(3.7)

8

�̃�𝑏𝑖(𝑥𝐶) =1

𝐴𝐶∑ (

0 0 0 𝑁𝑖(𝑥𝑏𝐺)𝑛𝑥 0

0 0 0 0 𝑁𝑖(𝑥𝑏𝐺)𝑛𝑦

0 0 0 𝑁𝑖(𝑥𝑏𝐺)𝑛𝑦 𝑁𝑖(𝑥𝑏

𝐺)𝑛𝑥

)𝑛𝑏𝑛=1 𝑙𝑏

𝐶(3.8)

Trong đó 𝑥𝑏𝐺, 𝑙𝑏

𝐶 là các điểm giữa (điểm Gauss) và chiều dài cạnh biên 𝛤𝑏𝐶.

Với số lượng phần tử con (subcells) được chọn là 𝑛𝑐 = 2 và số cạnh

của phần tử con là 𝑛𝑏 = 4 trong công thức tính toán của phần tử trơn

được xây dựng bên trên.

3.3.2. Biến dạng trượt

Biến dạng trượt trên phần tử sẽ được xấp xỉ dùng các trường nội suy

độc lập trong hệ tọa độ tự nhiên:

[𝛾𝑥

𝛾𝑦] = 𝐉−1 [

𝛾𝜉

𝛾𝜂] = 𝐉−1�̂�

[ 𝛾𝜂

𝐴

𝛾𝜉𝐵

𝛾𝜂𝐶

𝛾𝜉𝐷]

(3.9)

Trong đó:

𝐉 = [𝑥,𝜉 𝑦,𝜉

𝑥,𝜂 𝑦,𝜂] (3.10)

�̂� =1

2[(1 − 𝜉) 0 (1 + 𝜉) 0

0 (1 − 𝜂) 0 (1 + 𝜂)] (3.11)

J là ma trận Jacobi và các điểm A, B, C, D là trung điểm các cạnh phần

tử trên Hình 3.4. Bằng cách mô tả 𝛾𝜂𝐴, 𝛾𝜉

𝐵, 𝛾𝜂𝐶 , 𝛾𝜉

𝐷 theo trường xấp xỉ

chuyển vị 𝑢 ta thu được ma trận:

𝐁𝑠𝑖 = 𝐉−1 [𝑁𝑖,𝜉 𝑏𝑖

11𝑁𝑖,𝜉 𝑏𝑖12𝑁𝑖,𝜉

𝑁𝑖,𝜂 𝑏𝑖21𝑁𝑖,𝜂 𝑏𝑖

22𝑁𝑖,𝜂

] (3.12)

Với: 𝑏𝑖11 = 𝜉𝑖𝑥,𝜉

𝑀, 𝑏𝑖12 = 𝜉𝑖𝑦,𝜉

𝑀, 𝑏𝑖21 = 𝜂𝑖𝑥,𝜂

𝐿 , 𝑏𝑖22 = 𝜂𝑖𝑦,𝜂

𝐿 (3.13)

Trong đó: 𝜉𝑖 ∈ {−1,1,1,−1}, 𝜉𝑖 ∈ {−1,−1,1,1},

và (𝑖,𝑀, 𝐿) ∈ {(1,𝐵, 𝐴); (2,𝐵, 𝐶); (3, 𝐷, 𝐶); (4, 𝐷, 𝐴)}

9

Hình 3.2. Trung điểm dùng để nội suy các biến dạng trượt ngang

Ma trận độ cứng phần tử có thể được biến đổi như sau:

�̃�𝑒 = �̃�𝑚𝑏𝑒 + �̃�𝑠

𝑒 = ∑ �̃�𝑝𝐶𝑇 𝐶𝑝�̃�𝑝𝐶𝐴𝐶

𝑛𝑐𝑖=1 + ∫ 𝐵𝑠

𝑇𝐶𝑠𝐵𝑠𝑑𝛺

𝛺𝑒 (3.14)

3.3.3. Ma trận độ cứng trơn hình học:

Tương tự, bằng cách sử dụng hàm trơn không đổi 𝛷 trong phương

trình (3.9) biến dạng trơn hình học có thể viết như sau:

�̃�𝑔(𝑥𝐶) = �̃�𝑔(𝑥𝐶)𝐪𝑖 (3.15)

Trong đó:

𝐪𝑖 là vector chuyển vị nút phần tử: 𝐪𝑖 = [𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖 𝜃𝑥𝑖 𝜃𝑦𝑖]𝑇

�̃�𝑔𝑖(𝑥𝐶) =1

𝐴𝐶∫

(

𝑁𝑖𝑛𝑥 0 0𝑁𝑖𝑛𝑦 0 0

0 𝑁𝑖𝑛𝑥 00 𝑁𝑖𝑛𝑦 0

0 0 𝑁𝑖𝑛𝑥

0 0 𝑁𝑖𝑛𝑦)

𝛤𝐶𝑑𝛤 (3.16)

Phương trình trên có thể tính toán sử dụng tích phân 1 điểm Gauss như

sau:

�̃�𝑔𝑖(𝑥𝐶) =1

𝐴𝐶∑

(

𝑁𝑖(𝑥𝑔𝐺)𝑛𝑥 0 0

𝑁𝑖(𝑥𝑔𝐺)𝑛𝑦 0 0

0 𝑁𝑖(𝑥𝑔𝐺)𝑛𝑥 0

0 𝑁𝑖(𝑥𝑔𝐺)𝑛𝑦 0

0 0 𝑁𝑖(𝑥𝑔𝐺)𝑛𝑥

0 0 𝑁𝑖(𝑥𝑔𝐺)𝑛𝑦)

𝑛𝑏𝑔=1 𝑙𝑔

𝐶(3.17)

Trong đó 𝑛𝑏 = 4 là số cạnh của phần tử con subcell.

10

Cuối cùng, ma trận độ cứng trơn hình học có thể viết dưới dạng:

�̃�𝑔𝑒 = ∫ �̃�𝑔

𝑇�̂�0�̃�𝑔𝑑𝛺 =𝛺

∑ �̃�𝑔𝐶𝑇 �̂�0�̃�𝑔𝐶𝐴𝐶

𝑛𝑐𝐶=1 (3.18)

Trong đó 𝑛𝑐 là số lượng phần tử con, trong trường hợp này chọn là 1.

Cuối cùng, ta có phương trình phân tích mất ổn định:

(�̃� − 𝜆�̃�𝐠)𝑞 = 0 (3.19)

3.2. Công thức phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko

Sử dụng hai nút phần tử đẳng hướng để xấp xỉ sườn cứng. Các nội suy

của trường chuyển vị trong một phần tử eth trong hệ tọa độ tự nhiên là:

𝐮𝑆𝑡𝑒 = ∑ 𝜙𝑖𝐼5𝐝𝑆𝑡

𝑖2𝑖=1 (3.20)

Mà 𝐝𝑆𝑡𝑖 = [𝑢𝑟 𝑢𝑠 𝑢𝑧 𝛽𝑟 𝛽𝑠]

𝑇 là vector chuyển vị của nút ith của

các phần tử eth là các hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên xác

định bởi

𝜙1 =1

2(1 − 𝜉), 𝜙2 =

1

2(1 + 𝜉), 𝜉 ∈ [−1,1] (3.21)

của sườn cứng thành các phần tử và thay thế phương trình vào phương

trình, chúng ta có độ cứng, khối lượng và ma trận hình học của sườn cứng,

tương ứng như sau:

𝐾𝑆𝑡 = ∑ 𝐾𝑆𝑡𝑒𝑛𝑒

𝑒=1 (3.22)

𝑀𝑆𝑡 = ∑ 𝑀𝑆𝑡𝑒𝑛𝑒

𝑒=1 (3.23)

𝐾𝑆𝑡𝐺 = ∑ 𝐾𝑆𝑡

𝐺𝑒𝑛𝑒𝑒=1 (3.24)

Mà 𝑛𝑒 là số lượng các phần tử của sườn cứng và các yếu tố độ cứng,

khối lượng, và ma trận hình học tương ứng được tính bằng:

𝐾𝑆𝑡𝑒 = ∫(𝐿𝑆𝑡

𝐸 𝛷)𝑇𝐷𝑆𝑡

𝐿𝑆𝑡𝐸 𝛷𝑑𝑙

𝑙 (3.25)

𝑀𝑆𝑡𝑒 = ∫ 𝛷𝑇𝐴𝑇𝑚𝑆𝑡𝐴𝛷𝑑𝑙

𝑙 (3.26)

𝐾𝑆𝑡𝐺𝑒 = ∫(𝐿𝑆𝑡

𝐸 𝛷)𝑇𝜎𝑆𝑡0 𝐿𝑆𝑡

𝐺 𝛷𝑑𝑙𝑙

(3.27)

11

3.3. Kết nối hai phần tử để tạo công thức phần tử hữu hạn cho tấm

có sườn

Xét một tấm có sườn, mặt trung hòa của tấm Oxy được chọn là mặt

phẳng tham chiếu tên 𝛺 ⊂ 𝑅2, trọng tâm của sườn cứng được dời từ mặt

phẳng Oxy một khoảng cách 𝑒. Đặt 𝑢 và 𝑣 là các chuyển vị trong mặt

phẳng và 𝑤 là độ võng của tấm có sườn trên mặt giữa tấm. Đặt 𝜃𝑥 và 𝜃𝑦

là sự quay của mặt giữa tấm xung quanh trục y và trục x tương ứng với

các hướng dương được định nghĩa như

Hình 3.3. Tấm có sườn theo trục x

Bây giờ chúng ta áp dụng các chuyển vị phù hợp điều kiện xây dựng

độ cứng tổng thể, khối lượng và ma trận hình học của các tấm có sườn.

Các điều kiện chuyển vị phù hợp như:

𝑑𝑆𝑡 = 𝑇𝑑 (3.28)

Mà 𝑇 là ma trận chuyển đổi, 𝑑𝑆𝑡 là vector chuyển vị nút của sườn cứng

và 𝑑 là vector chuyển vị nút của tấm có sườn.

�̃� = �̃�𝑒 + 𝑇𝑇𝐾𝑆𝑡𝑇 (3.29)

�̃�𝐺 = �̃�𝑔 + 𝑇𝑇𝐾𝑆𝑡𝐺𝑇 (3.30)

CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG SỐ

Dựa vào phần cơ sở lý thuyết trên để tính toán tuyến tính kết cấu tấm

có sườn bằng cách sử dụng các phần tử tứ giác trơn bốn nút MISQ20 kết

hợp với phần tử thanh dầm hai nút Timoshenko thông qua một số bài toán

tiêu biểu về phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn.

12

4.1. Ví dụ 1: Phân tích mất ổn định tấm chữ nhật gia cường một sườn

ngang chịu nén đơn trục

Xét tấm hình chữ nhật liên kết tựa đơn được gia cường một sườn ngang

chính giữa tấm và chịu tải trọng nén đơn trục σx theo phương x như Hình

4.1. Hai tỷ số được đưa ra khi khảo sát ổn định tấm có gia cường sườn là

tỷ số độ cứng giữa sườn và tấm γ=EIs/BD và tỷ số diện tích tiết diện giữa

sườn và tấm δ=As/BL với Is=bshs3/12, D=Et3/12(1-ν) và As=bshs.

Hình 4.1. Tấm vuông có gia cường một sườn ngang ngay giữa tấm

4.1.1. Khảo sát sự hội tụ

Cho β=1; δ=0.05; γ=20 để khảo sát cho ở bảng với giá trị tải trọng tới

hạn được chuẩn hóa là �̄�𝑐𝑟 = 𝜆.𝐿𝑦2

𝜋2.𝐷 với hệ lưới 6x6, 8x8, 10x10, 12x12,

14x14, 16x16.

13

Lưới

Giá trị hệ số tải tới hạn chuẩn hóa

MISQ20

N.T. Trung [45] Timoshenko-Gere [12]

Kết

quả

[45]

Sai số tương

đối của luận

văn so [45]

Kết quả

[12]

Sai số tương

đối của luận

văn so [12]

(1) (2) (3) (4) = [(2)-

(3)]/(3)*100% (5)

(6) = [(2)-

(5)]/(5)*100%

6x6 17.23

16.2

0.064

16

-0.996

8x8 16.50 0.019 -0.999

10x10 16.20 0.000 -1.000

12x12 16.05 -0.009 -1.001

14x14 15.96 -0.015 -1.001

16x16 15.90 -0.019 -1.001

18x18 15.90 -0.019 -1.001

Bảng 4.1. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa ứng với β=1; δ=0.05; γ=20

Hình 4.2. Hội tụ của phần tử với lưới so sánh với lời giải của

Timoshenko

Kết quả khảo sát cho thấy tại lưới 16x16 tải trọng tới hạn chuẩn hóa

của bài báo là 15.9 nhỏ hơn của Timoshenko [12] là 16 do đó lời giải dùng

phần tử MISQ20 của nghiên cứu này là thiên về độ an toàn, so kết quả bài

báo của N.T. Trung [45] là 16.2 với của Timoshenko [12] là 16 thì bài

14

báo của N.T. Trung [45] vượt qua giới hạn của Timoshenko nằm ở cận

trên của giá trị nên nguy hiểm hơn.

Ngoài ra, theo kết quả lời giải với lưới 16x16 đã hội tụ tốt. Như vậy

các bài toán khảo sát về sau ta sẽ đều sử dụng lưới 16x16 để mô hình tính

toán.

4.1.2. Khảo sát sự thay đổi của các tham số β; δ; γ

Thay đổi thêm tỷ số β=L/B. Kết quả thu được sẽ đem so sánh với

Timoshenko-Gere [12] và N.T. Trung [45] sử dụng phần tử tam giác CS-

DSG3 [45] như Bảng 2a, Bảng 2b, Bảng 2c và Bảng 2d.

γ=5

δ=0.05 MISQ20 N.T. Trung [45]

Timoshenko-

Gere [12]

β=1 11.16 11.7 12.0

β=2 8.77 8.4 8.2

Bảng 4.2a. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa �̄�𝒄𝒓 ứng với γ=5, δ=0.05

γ=10

δ=0.05 MISQ20 N.T. Trung [45] Timoshenko-

Gere [12]

β=1 15.91 16.2 16.0

β=2 11.49 10.2 10.3

Bảng 4.2b. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa �̄�𝒄𝒓 ứng với γ=10, δ=0.05

γ=15

δ=0.05 MISQ20 N.T. Trung [45]

Timoshenko-

Gere [12]

β=1 15.90 16.3 16.0

β=2 13.62 12.3 12.5

Bảng 4.2c. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa �̄�𝒄𝒓 ứng với γ=15, δ=0.05

γ=20

δ=0.05 MISQ20 N.T. Trung [45]

Timoshenko-

Gere [12]

β=1 15.90 16.2 16.0

β=2 14.52 14.3 14.7

Bảng 4.2d. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa �̄�𝒄𝒓 ứng với γ=20, δ=0.05

15

Hình 4.3a. Mode 1 ứng với β=1;

δ=0.05; γ=5

Hình 4.3b. Mode 1 ứng với β=2;

δ=0.05; γ=5

Hình 4.3c. Mode 1 ứng với β=1;

δ=0.05; γ=10

Hình 4.3d. Mode 1 ứng với β=2;

δ=0.05; γ=10

4.1.3. Khảo sát điều kiện biên

Khảo sát điều kiện biên của tấm vuông có một sườn ngang gia cường

theo phương X sẽ được phân tích như trên Hình 4.1. Điều kiện biên ngàm

cho một cạnh của tấm sẽ được ký hiệu bằng chữ C và điều kiện biên tựa

đơn sẽ ký hiệu là chữ S. Quy ước ký hiệu bắt đầu từ cạnh bên trái của tấm

và đi theo thứ tự của chiều kim đồng hồ. Do đó ký hiệu CSSC sẽ biểu thị

các điều kiện biên là cạnh trái là ngàm, cạnh trên là tựa đơn, cạnh phải là

tựa đơn và cạnh dưới là ngàm.

Các kết quả số được trình bày dưới dạng bảng với hệ lưới 16 × 16 cho

các tấm với các điều kiện biên khác nhau. Tỷ lệ diện tích mặt cắt của độ

cứng của tấm (As/bt) thay đổi từ 0,05 đến 0,20 và tỷ lệ uốn độ cứng của

chất làm cứng so với tấm (EIs/bD) thay đổi từ 5 đến 25. Moment quán

tính xoắn của tấm sẽ không xét đến. Kết quả được so sánh với lời giải bán

giải tích [46] của M. Mukhopadhyay và lời giải phần tử hữu hạn dùng

phần tử tứ giác 12 nút [48] của M. Mukhopadhyay, A. Mukherjee. Finite.

16

Căn cứ vào kết quả ta có thể thấy lời giải sử dụng phần tử MISQ20 có kết

quả khá tương đồng với những lời giải khác được liệt kê ở đây.

EIs/bD As/bt

Tải trọng tới hạn chuẩn hóa

CCCC

[47] [46] MISQ20

5

0.05 24.25 25.46 24.42

0.10 24.25 25.46 24.78

0.20 24.25 25.46 26.77

10

0.05 24.25 - 24.40

0.10 24.25 - 24.59

0.20 24.25 - 26.54

15

0.05 24.25 25.46 24.40

0.10 24.25 25.46 24.53

0.20 24.25 25.46 26.01

20

0.05 24.25 25.46 24.40

0.10 24.25 25.46 24.50

0.20 24.25 25.46 25.69

25

0.05 24.25 - 24.40

0.10 24.25 - 24.48

0.20 24.25 - 25.48

Bảng 4.3. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa k = λb2 / π2 D cho tấm vuông chịu nén đơn trục theo phương đặt sườn gia cường với ν = 0,3 đối với trường

hợp CCCC

EIs/bD As/bt

Tải trọng tới hạn chuẩn hóa

CSSC

[47] [46] MISQ20

5

0.05 17.35 17.32 16.67

0.10 17.15 17.05 16.85

0.20 16.41 16.27 16.80

10

0.05 17.94 - 17.75

0.10 17.93 - 17.99

0.20 17.90 - 19.12

17

15

0.05 18.03 18.36 17.90

0.10 18.03 18.36 19.05

0.20 18.02 18.34 23.15

20

0.05 18.070 - 17.96

0.10 18.068 - 18.12

0.20 18.064 - 18.93

25

0.05 18.09 18.46 17.99

0.10 18.09 18.46 18.14

0.20 18.09 18.46 18.83

Bảng 4.4. Tải trọng tới hạn chuẩn hóa k = λb2 / π2 D cho tấm vuông chịu nén đơn trục theo phương đặt sườn gia cường với ν = 0,3 đối với trường

hợp CSSC

4.1.4. Khảo sát ảnh hưởng phương của lực nén

Trong phần này ảnh hưởng của phương lực nén gây mất ổn định cùng

với điều kiện biên liên kết khác nhau của tấm sẽ được khảo sát. Kết cấu

tấm như Hình 4.4 sẽ được khảo sát với lực nén theo phương Y để tìm giá

trị tải trọng tới hạn tương ứng so sánh với trường hợp đã khảo sát lực nén

theo phương X ở các phần trên. Kết quả tính toán được liệt kê ở Bảng 4.5

và Bảng 4.6.

EIs/bD As/bt

Tải trọng tới hạn chuẩn hóa

CCCC

Nén đơn trục phương Y Nén đơn trục phương X

5

0.05 11.57 24.42

0.10 11.69 24.78

0.20 13.15 26.77

10

0.05 11.57 24.40

0.10 11.63 24.59

0.20 12.47 26.54

15

0.05 11.57 24.40

0.10 11.61 24.53

0.20 12.20 26.01

20 0.05 11.57 24.40

18

0.10 11.60 24.50

0.20 12.05 25.69

25

0.05 11.57 24.40

0.10 11.59 24.48

0.20 11.96 25.48

Bảng 4.5. So sánh tải trọng tới hạn trực chuẩn k=λb2 / π2 D cho tấm vuông chịu nén đơn trục theo phương đặt sườn và phương vuông góc sườn đối

với trường hợp CCCC

EIs/bD As/bt

Tải trọng tới hạn chuẩn hóa

CSSC

Nén đơn trục phương Y Nén đơn trục phương X

5

0.05 7.91 16.67

0.10 7.93 16.85

0.20 8.71 16.80

10

0.05 7.91 17.75

0.10 7.93 17.99

0.20 8.40 19.12

15

0.05 7.91 17.90

0.10 7.93 19.05

0.20 8.27 23.15

20

0.05 7.91 17.96

0.10 7.94 18.12

0.20 8.19 18.93

25

0.05 7.91 17.99

0.10 7.93 18.14

0.20 8.15 18.83

Bảng 4.6. So sánh tải trọng tới hạn trực chuẩn k=λb2 / π2 D cho tấm vuông

chịu nén đơn trục theo phương đặt sườn và phương vuông góc sườn đối

với trường hợp SCCS

Theo bảng 4.5 và Bảng 4.6 ta thấy khi tỷ lệ As/bt=0.05 thì giá trị lực

tới hạn không

19

thay đổi cho dù tỷ lệ EIs/bD có tăng lên. Điều này nói lên là ảnh hưởng

của diện tích tiết diện sườn gia cường có vai trò quan trọng tác động lên

độ lớn của lực tới hạn.

Với cùng tỷ lệ EIs/bD giá trị lực tới hạn sẽ tăng khi tỷ lệ As/bt tăng.

Phương của lực nén cùng chiều với phương của sườn sẽ giúp gia tăng

độ lớn của lực tới hạn hơn so với phương lực nén vuông góc phương sườn.

Tỷ lệ độ lớn lực tới hạn theo hai phương X và Y khá lớn và xấp xỉ là 2.2.

4.2. Ví dụ 2: Phân tích mất ổn định tấm vuông có gia cường sườn với

số lượng thay đổi tùy ý chịu nén đơn trục

Cuối cùng bài báo phân tích ổn định của tấm vuông liên kết tựa đơn

với số lượng sườn ngang gia cường lần lượt là 1, 2, 3, 5, 11. Các sườn

ngang được bố trí cách đều và kết cấu chịu tải trọng trong mặt phẳng tấm

σx như Hình 4.5. Hai tỷ số γ=0.4 và δ=0.02 sẽ được xét đến ở đây. Kết

quả thu được ở Hình 4.6 một lần nữa cho thấy sự hội tụ rất tốt khi sử dụng

phần tử MISQ20 để so sánh với nghiệm giải tích theo Zhao [13].

Hình 4.4. Tấm vuông gia cường

sườn ngang với số lượng tùy ý

Hình 4.6. Mối quan hệ giữa

thông số ổn định chuẩn hóa

và số lượng sườn gia cường

20

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

5.1. Kết luận

+ Việc sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ20 kết hợp với phần tử

dầm Timoshenko cho kết cấu tấm có sườn gia cường đã giải quyết tốt các

vấn đề phân tích và tính toán mất ổn định tĩnh của kết cấu loại này. Kết

quả được đưa ra là khá sát với những nghiên cứu đã thực hiện trước đây.

+ Đối với tấm có một sườn gia cường chịu tải trọng nén đơn trục thì

ta có các đúc kết như sau:

• Khi tăng As/bt lên thì tải trọng tới hạn chuẩn hóa cũng tăng lên

với lưu ý tỷ lệ As/bt phải lớn hơn 0.05.

• Khi tăng EIs/bD lên thì tải trọng tới hạn chuẩn hóa sẽ giảm đi

• Phương của sườn gia cường giúp gia tăng độ lớn của lực tới hạn

của kết cấu tấm theo phương sườn.

• Điều kiện liên kết của tấm càng cứng thì tải trọng tới hạn chuẩn

hóa càng tăng lên.

5.2. Kiến nghị

+ Luận văn mới chỉ xét được tấm hình vuông, chữ nhật với sườn đặt

theo phương ngang mà chưa xét phương đứng, phương xiên và kết hợp

nhiều phương của sườn gia cường.

+ Luận văn chưa xét đến các trường hợp mất ổn định do nén hai trục

hay chịu trượt và các hình dạng hình học khác của tấm như hình bình

hành, hình tam giác,... chưa được xét đến trong luận văn này để hoàn thiện

thêm cho nghiên cứu.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H. T. Y. Yang, S. Saigal, A. Masud, R. K. Kapania, "A survey of

recent shell element," International Journal for Numerical Methods in

Engineering 47, pp. 101-127, 2000.

[2] Y. X. Zhang, C. H. Yang, "Recent developments in finite element

analysis for laminated composite plates," Composite Structures 88, vol.

1, pp. 147-157, 2009.

[3] E. Gal, R. Levy,, "Geometrically nonlinear analysis of shell structures

using a flat triangular shell finite element," Archives of Computational

Methods in Engineering 13, pp. 33-388, 2006.

[4] E. Providas, M. A. Kattis, "An assessment of two fundamental flat

triangular shell elements with drilling rotations," Computers and

Structures 77, pp. 129-139, 2000.

[5] G. Horrigmoe, P. G. Bergan,, "Nonlinear analysis of free-form shells

by flat finite elements," Computer Methods in Applied Mechanics and

Engineering 16, pp. 11-35, 1978.

[6] C.-K. Choi, T.-Y. Lee, "Efficient remedy for membrane locking of 4-

node flat shell elements by non-conforming modes," Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering 192, pp. 1961-1971, 2003.

[7] A. Pica, R. D. Wood, E. Hinton, "Finite element analysis of

geometrically nonlinear plate behavior using a Mindlin formulation,"

Computational Mechanics 11, pp. 203-215, 1980.

[8] H. Schoop, "A simple nonlinear flat element for large displacement

structures," Computers & Structures 32, pp. 379-385, 1989.

[9] L. Kang, Q. Zhang, Z. Wang, "Linear and geometrically nonlinear

analysis of novel flat shell elements with rotational degrees of freedom,"

Finite Element in Analysis and Design 45, pp. 386-392, 2009.

[10] K. D. Kim, G. R. Lomboy, G. Z. Voyiadjis, "A 4-node assumed strain

quasi-conforming shell element with 6 degrees of freedom," International

Journal for Numerical Methods in Engineering, pp. 2177-2200, 2003.

[11] Q. Zhang, M. Lu, W. Kuang, "Geometric nonlinear analysis of space

shell structures using generalized conforming flat shell elements for space

shell structures," Communications in Numerical Methods in Engineering

14, pp. 941-957, 1998.

[12]. Timoshenko SP, Gere JM. Theory of elastic stability. New York:

McGraw-Hill; 1961.

[13] Y. X. Zhang, K. S. Kim, "Linear and geometrically nonlinear

analysis of plates and shells by a new refined non-conforming triangular

plate/shell element," Computational Mechanics 36, pp. 331-342, 2005.

[14] C.W.S. To, M. L. Liu, "Geometrically nonlinear analysis of

layerwise anisotropic shell structures by hybrid strain based lower order

elements," Finite Element in Analysis and Design 37, pp. 1-34, 2001.

[15] Y. X. Zhang, Y. K. Cheung, "A refined nonlinear non-conforming

triangular plate/shell element," International Journal for Numerical

Methods in Engineering 56, pp. 2387-2480, 2003.

[16] Clough, R. W. & Tocher, J. L, “Analysis of thin arch dams by the

finite element method,” Proc. Symp. Theory of Arch Darns, Southampton

University, 1964.

[17] Zienkiewicz, O. C. Parekh, C. J. & King, I. P, “Arch dams analysed

by a linear finite,” Proc. Symp. Arch Dams, Pergamon Press, Oxford,

1965.

[18] E. Providas, M. A. Kattis, “An assessment of two fundamental flat

triangular shell elements with drilling rotations,” Computers and

Structures 77, pp. 129-139, 2000.

[19] Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. & Too, J. M, “Reduced integration

techniques in general analysis of plates and shells,” Int. J. Num. Meth.

Engng, pp. 275-290, 1971.

[20] G. R. Liu, Nguyen Thoi Trung, “Smoothed Finite Element

Methods”. NewYork: CRC Press Taylor and Francis Group, 2010.

[21] G. R. Liu, K. Y. Dai, T.T. Nguyen, “A smoothed finite element

method for mechanics problems,” Computational Mechanics, pp. 859-

877, 2007.

[22] Liu GR, Nguyen TT, Dai KY, Lam KY, “Theoretical aspects of the

smoothed Theoretical aspects of the smoothed,” International journal for

numerical methods in Engineering, pp. 902-930, 2007.

[23] G. R. Liu, T. Nguyen-Thoi, H. Nguyen-Xuan, K.Y. Dai, K.Y. Lam,

“On the essence and the evaluation of the shape functions for the

smoothed finite element method (SFEM),” International Journal for

Numerical Methods in Engineering, 2009.

[24] G. R. Liu, T. Nguyen-Thoi, H. Nguyen-Xuan, K.Y. Lam, “A node-

based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound

solution to solid mechanics problems,” Computers and Structures, pp. 14-

26, 2009.

[25] G. R. Liu, T. Nguyen-Thoi, K.Y. Lam, “An edge-based smoothed

finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration

analyses in solids”, Journal of Sound and Vibration, pp. 1100-1130, 2009.

[26] Liu, G. R. and X. L. Chen, “A mesh-free method for static and free

vibration analyses of thin plates of complicated shape”, Journal of Sound

and Vibration 241, 839-855, 2001.

[27] Nguyen Van Hieu, “Development and application of assumed strain

smoothing finite element technique for composite plate/shell structures,”

Ph.D Thesis, University of Southern Queensland’s dissertation, Australia,

2009.

[28] H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, Ste´phane Bordas, J.F. Debongnie,

"A smoothed finite element method for plate analysis," Computer

Methods in Applied Mechanics and Engineering, 197, pp. 1184–1203,

2008.

[29] N.Nguyen-Thanh, Timon Rabczuk, H.Nguyen-Xuan, Ste´phane

Bordas, "A smoothed finite element method for shell analysis," Computer

Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198, pp. 165-177, 2008.

[30] S.B. Dong, K.S. Pister, and R.L. Taylor (1962). "On the theory of

laminated anisotrophic plates and shells". Journal of Aeronautical

Science, 29(8):969–75.

[31] E. Reissner (1972). "A consistent treatment of transverse shear

deformations in laminated anisotropic plates". American Institute of

Aeronautics and Astronautics Journal AIAAJ, 10(5):716–8.

[32] Arya H, Shimpi RP, and Naik NK (2002). "A zigzag model for

laminated composite beams". Composite Structures; 56(1):21-24.

[33] M. Touratier (1991). "An eficient standard plate theory".

International Journal of Engineering Science, 29(8):901–16.

[34] M. Karama, K.S. Afaq, and S. Mistou (2003). "Mechanical

behaviour of laminated composite beam by new multi-layered laminated

composite structures model with ransverse shear stress con-tinuity".

International Journal of Solids and Structures, 40:1525–46.

[35] K.P. Soldatos (1992). "A transverse shear deformation theory for

homogeneous monoclinic plates". Acta Mech, 94:195–200.

[36] Nguyen Van Hieu, Luong Van Hai, Nguyen Hoai Nam. Phân tích

ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm vỏ chịu tải trọng tĩnh bằng

phương pháp phần tử hữu hạn trơn. Tạp chí Xây Dựng, số 1, trang 105 –

108, 2013.

[37] Nguyen Van Hieu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen

Thoi Trung. Geometrically nonlinear analysis of composite plates and

shells via a quadrilateral element with good coarse – mesh accuracy.

Composite Structures, Vol. 112, pp. 327 – 338, 2014.

[38] Nguyen Van Hieu, Vo Anh Vu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh

Thanh, Nguyen Ngoc Duong. “Analysis of shell structure via a smoothed

four – node flat element.” Proceeding of the International Conference On

Advances In Computational Mechanics (ACOME), 2012, Ho Chi Minh

City, Viet Nam, pp. 219-233.

[39] Phạm Mỹ, “Parametric vibration of rectangular plate using finite

element method”, Luận văn thạc sĩ EMMC9 của trường Đại Học Bách

Khoa thành phố Hồ Chí Minh, 2006.

[40] Bạch Quang Trung, “Nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học của

kết cấu tấm/vỏ”, Luận văn thạc sĩ Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố

Hồ Chí Minh.

[41] T. Nguyen – Thoi, P. Phung – Van, H. Nguyen – Xuan, Chien H.

Thai. “A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3)

using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner

– Mindlin plates.” International Journal for Numerical Methods in

Engineering, Vol. 97, pp. 705-741, 2012.

[42] G. R. Liu, K. Y. Dai, T.T. Nguyen, “A smoothed finite element

method for mechanics problems,” Computational Mechanics, pp. 859-

877, 2007.

[43] Liu GR, Nguyen TT, Dai KY, Lam KY, “Theoretical aspects of the

smoothed Theoretical aspects of the smoothed,” International journal for

numerical methods in Engineering, pp. 902-930, 2007.

[44] Bathe, K. J. and Dvorkin, E. N., “A four node plate bending element

based on Mindlin-Reissner plate theory and a mixed interpolation,”

International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 21, pp.

367-383, 1985.

[45] T. Nguyen-Thoi, T. Bui-Xuan, P. Phung-Van, H. Nguyen-Xuan, P.

Ngo-Thanh, Static, free vibration and buckling analyses of stiffened

plates by CS-FEM-DSG3 using triangularelements. Computers &

Structures, 125(3): 100-113, 2013.

[46] M. Mukhopadhyay. Vibration and stability analysis of stiffened

plates by semi-analytic finite difference method, part I: consideration of

bending displacements only. Journal of Sound and Vibration, 130(1): 27–

39, 1989.

[47] Saleema Panda Flexural stability analysis of stiffened plates using

the finite element method.

[48] M. Mukhopadhyay, A. Mukherjee. Finite element buckling analysis

of stiffened plates. Computers & Structures, 34(6): 795-803, 1990.