PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - Trường THPT Vĩnh Thuận · Web view... (sin4x + cos4x ) + 2.sinx.cosx.cos2x 8) y = 9) y=( sinx –cosx )2 +2.cos2x + 3.sinx.cosx 10)...

Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận Đề cương ôn tập khối 11

Phần I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCHChương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

=*=*=*=*=*=*=*=*=*=Bài 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCI. Kiến thức cần nhớ1) Bảng các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

Góc

GT0 (00) (300) (450) (600) (900) (1200) (1350) (1500) (1800)

sinx 0 1 0

cosx 1 0 – – – –1

tanx 0 1 || – –1 – 0

cotx || 1 0 – –1 – ||

2) Hàm số sin: y = sinx TXĐ: D = R TGT: [–1; 1] Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số lẻ

3) Hàm số sin: y = cosx TXĐ: D = R TGT: [–1; 1] Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số chẳn

4) Hàm số sin: y = tanx

5) Phương trình lượng giác

TXĐ: D = R\{ }

TGT: (– ; + ) Hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số lẻ

5) Hàm số sin: y = cotx TXĐ: D = R\{ } TGT: (– ; + ) Hàm số tuần hoàn với chu kì Hàm số lẻ

sinu = sinv cosu = cosv

tanu = tanv cotu = cotv II. Bài tập

1) Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1) y = 2) y = 3) y = tan( x – ) 4) y = cot( – x )

5) y = 6) y =

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất1) y = 2cos3x – 6sin3x 2) y = (2 - )sin2x + cos2x3) y = (sinx – cosx)2 + 2cos2x + 3sinx.cosx 4) y = (sinx – 2cosx)(2sinx + cosx) -1 5) y = (3.sinx + 4.cosx ).(3.cosx – 4.sinx) + 1 6) y = 3.sin2x +4.sinxcosx – 5.cos2x + 27) y = 2.(sin4x + cos4x ) + 2.sinx.cosx.cos2x 8) y =

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1


9) y=( sinx –cosx )2 +2.cos2x + 3.sinx.cosx 10) y = 2 11) y = 3 – 2 sinx

3) Giải các phương trình sau:

1) sinx = 2) sinx = 3) sinx = 4) sin(x + ) =

5) cosx = – 6) cos(x – 1 ) = 7) cosx = – 8) cos(2x – ) = –

9) tanx = 10) tan2x = 11) tanx = 1 12) tan( – x) = –

13) cotx = – 14) cotx = 15) cot( – x ) = –1 16) cot(x + ) =

17) cos(2x - = 1 18) sin(3x- ) = 19) tan(2x+3) = tan

20) cot(450 – x) = 21) sin(3x- ) = sin2x 22) tan(2x+3) = cot(x – )

4) Giải các phương trình sau:

1) sin2 2x = 2) = 0 3) tan2xsinx = 0 4) tan(x + )cot2x = 1

5) sin2x + cos3x = 0 6) sin2 2x – sin2x = 0 7) 8sinxcosxcos2x = –18) sin2 x + cosx – 1 = 0 9) sin2 x – 2cosx + 2 = 0 10) 8cos2 2x + 2sin2x = 7

11) 2tan2 x – 3tanx + 1 = 0 12) tan x – 2cotx + 1 = 0 13) tanx + tan(x + ) = 1

14) tan(2x – 1)tan(x + 1) = 1 15) 2sin2 x – 3cosxsinx + cos2x = 0

16) 5cos2 2x – 4sin2xcos2x + 3sin2 2x = 2 17) sin2 x + sin2x – 2cos2 2x =

18) 2cos2 2x – 3 sin2x – 4sin2 2x = – 4 19) sin2x – cos2x = –

20) 4cosx –3sinx = 5 21) 2sin3x + 2cos3x – = 022) 12sinx + 5cos3x – 13 = 0 23) sin3x – cos2x = 024) 3sin22x 7cos2x – 3 = 0 25) cos2x -5sinx – 3 = 0

26) cos2x+cosx+1=0 27) cot2x + ( - 1)cotx - = 0 28) 3cot2(x + ) = 1

29) 4sinx – 3cosx = 5 30) 3cosx + 2 sinx = 31) 3sin2x + 2cos2x = 3

32) 2sin2x + 3cos2x = sin14x 33) sin3x - cos3x = 2cosx34) sin2x – 2sinx.cosx – 3cos2x = 0 35) sin2x – 2sin2x = 2cos2x36) 2sin3x + 4cos3x = 3sinx 37) 2sin22x + 3sin4x + cos2x = 238) 3(cosx + sinx) + 2sin2x + 3 = 0 39) 1 + sinx+ sin2x + cosx +cos2x = 040 sinx.sin7x = sin3x.sin5x 41) cosx.cos3x – sin2x.sin6x – sin4x.sin6x = 0

42) sin2x + sin22x + sin23x = 43) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

44) 45) sin22x – cos22x= cos8x

CHÖÔNG II. Toå hôïp – Xaùc suaát



I. QUI TẮC ĐẾM . 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương

án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.

2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.

3. Giai thöøa:Ñònh nghóa: 0! =1; n!=1.2.3…nTính chaát: n!=n(n-1)!II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP1. Hoán vị:a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước

là một phép hoán vị các phần tử của tập A.b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n2. Chỉnh hợp:a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số

n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.

b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: .

3. Tổ hợp:a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k

phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:

c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

Nhận xét:– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: ––Chú ý:



– là khai triển theo số mũ của a giảm dần.

– là khai triển theo số mũ của a tăng dần.

BÀI TẬPBài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:

1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ?

Bài 2: Có 4 con đường nối điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC? Bài 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bài 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bài 5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu:

1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được.2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ

mặc với quần đen và đi giày đen. Bài 6: Có n người ngồi quanh một bàn tròn (n >3). Có bao nhiêu cách xếp sao cho: 1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau. 2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bài 7: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài 8: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn Bài 9: Với các số: 0, 1, 2, …, 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bài 10: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. Bài 11: Tìm tổng các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bài 12: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. Bài 13: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau Bài 14: Có 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5.



a) Với 6 số đó, ta lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?b) Với yêu cầu như câu a) nhưng số tạo thành là các số chẵn?c) Với yêu cầu như câu a) nhưng số tạo thành phải lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 4000Bài 15: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Bài 16: Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6?Bài 17: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và các số đó nhỏ hơn số 345? Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Trong các số đã lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? Bài 19: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 20: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Bài 21: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 thành lập được bao nhiêu số có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.Bài 22: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá.

Tìm : nP , knA , k

nC :

Bài 24: Giải bất phương trình: 34

1

31

141PA

Cn

nn

Bài 25: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với: xn = nn

nPP

A4143

2

44

Bài 26: Cho k, n là các số nguyên và 4 k n; Chứng minh:kn

kn

kn

kn

kn

kn CCCCCC 4

4321 464

Bài 27: Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n - 1)Pn - 1 , n 2 là số nguyên. Bài 28: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n. Chứng minh rằng:

11

112

11

k

kkk

kn

kn

kn CC...CCC

Bài 29: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

a, 121

x

x

b, 17

4 3

3 2

1

x

x



c, 17

4 32

1

x

x, x 0

Bài 30: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: nx 12 bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là

số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. Bài 31: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10

1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x) 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) Bài 32: GPTa, 443

1 23)(24 xxxx ACA

b, 22

2· 50.2 xAA )( Nx

c, xCCC xxx 27321 d, 8.. 3

22 xPxP

e, 210. 3

41

2

PAPxx

x f, xCA xx 1423

·

Bài 33:Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi.a) Xác định không gian mẫu.b) Xác định các biến cố:A:"Hai bi cùng màu trắng".B:"Hai bi cùng màu đỏ"C:"Hai bi cùng màu"D:"Hai bi khác màu"c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhauBài 34: Một lớp học có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp,và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các biến cố:a, A:”Sinh viên đựoc chọn học tiếng Anh”b, B:”Sinh viên đựoc chọn học tiếng Pháp”c, C:”Sinh viên đựoc chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp”d, D:”Sinh viên đựoc chọn không cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp”Bài 35: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu đỏ và 2 quả xanh; hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xan. Lẫy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả.Tính xác suất sao cho: a, Cả hai quả đều đỏ b, Hai quả khác màu c, Hai quả cùng màu

CHƯƠNG III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân1. Bài toán chứng minh công thức tổng Sn

và chứng minh chia hết

2. Viết các sô hạng đầu và dự đoán công thức, chứng minh bằng quy nạp ; chứng minh dãy số tăng, giảm và dãy số bị chặn

3. Chứng minh là CSC, tìm u1 , d ? và dạng toán giải hệ phương trình tìm u1 , d; tính tổng của n số hạng đầu và tìm n ?

4. Chứng minh là CSN, tìm số hạng tổng quát, công bội. Tính tổng của n số hạng đầu. Lưu ý : Xem lại cc bi tập ơn tập chương III

Bài 1: CMR:a, Với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 1.2 + 2.5 + … + n(3n - 1) = n2(n + 1)



b, n (2n2 – 3n + 1) chia hết cho 6Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1

1( 1)

7n n

un

u u

Bài 3: Xét tính đơn điệu của dãy số sau:

a, 23 2 1

1nn nu

n

b, 2

2

12 1n

n nun

c, 1 1n

nun

Bài 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

a, 1

32

n

n nu b, 2n n

nu c, 2

3n

nun

Bài 5: CMR ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành CSC khi và chỉ khi các số 1

b c,

1c a

,

1a b

lập thanh CSC

Bài 6 : Cho SCS (un) thỏa mãn: 1 5 3

1 6

107

u u uu u

a, Tìm u1 và db, Tinh u10, u20

c, Tinh S15

Bài 7 : Cho CSN (un) sao cho:1 2 3 4

2 2 2 21 2 3 4

15

85

u u u u

u u u u

a, Tìm u1 và qb, Tinh u15, u20

c, Tinh S10

Chương IV: GIỚI HẠNCHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN1. Định nghĩa:a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể

nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (

), nếu Kí hiệu:

Chú ý: .

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a)

b) với .



c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và

.b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với

5. Dãy số dần tới vô cực:a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un lớn

hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi .

b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim .Ký hiệu: lim(un)= hay un khi .

c) Định lý:

o Nếu : thì

o Nếu : thì

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số

và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : .

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= .

2. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.

o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.C. CÁC VÍ DỤ.



1.

2.

3.

là biểu thức liên hợp của

4. Tổng của cấp số nhân lùi

vô hạn có công bội và số hạng đầu u1=1.

5. .

6.

D. Bài tập1. Tìm giới hạn sau:



1) 2) 2 1lim 2nn

3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20) 21)

22)

23)

24) 25)

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐA. KIẾN THỨC CƠ BẢN1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là

L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có

lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: .

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

b) Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:



c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a),

g(x) f(x) h(x) và .

3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]=

thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: .

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L

khi x dần tới vô cực, kí hiệu: .

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta

nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số

(xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu:

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNKhi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

1. Giới hạn của hàm số dạng:

o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.


o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.

3. Giới hạn của hàm số dạng: . Ta biến đổi về dạng:


o Đưa về dạng:

C. CÁC VÍ DỤ

1.

2. .Chia tử và mẫu cho (x-

2).3.



4. (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:

5. .

6.

7.

8.

9. .

10. Cho hàm số : . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1

và tìm giới hạn đó.Giải

Ta có : .

Vậy

11. . Dạng .

12. . Dạng .



13.

14.

. Dạng

.Bài tập1. Tính giới hạn

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

14) 15) 16)

17) 18) 19)

20) 21)

22) 23)

HÀM SỐ LIÊN TỤCA. KIẾN THỨC CẦN NHỚ



1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b)

nếu: .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của

hàm số.o f(x) xác định trên khoảng (a;b)

liên tục tại điểm x0 (a;b) .

o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.

o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên

khoảng (a;b) và

2. Một số định lý về hàm số liên tục:o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:

cũng liên tục tại x0 .

o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.

o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:

o Tìm .Hàm số liên tục tại x0 .

2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:

o Tìm : . Hàm số liên tục tại x = x0

.

3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].



o Chứng tỏ f(a).f(b)<0Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm.

C. CÁC VÍ DỤ.

1. Cho hàm số: a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm

số tại x0 = 1.Giải

Hàm số xác định với mọi x thuộc R.Ta có f(1) = a.

Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.

2. Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.

GiảiHàm số xác định với mọi x thuộc R.Ta có f(0) = 0

.

Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.

3. Cho hàm số: . Xét tính liên tục của hàm số trên

toàn trục số.Giải

x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục.Khi x = 1:Ta có f(1) = a+2

.

Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a -1.

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên nếu a -1.

D. BÀI TẬP



1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn.

a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1 b)

b) d)

2. Cho hàm số: a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x,

khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.3. Chứng minh rằng phương trình: a) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệmb) 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).c) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.d) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).e) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].4. Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:

a. b)

5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trường hợp sau:

a) tại x0 = 2

b) tại x0 = 1.

c) tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.

BÀI TẬP TỔNG HỢP GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐBài 1: Tìm các giới hạn sau:



Bài 2: Tìm các giới hạn sau:



Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

Bài 6: Tìm m để hàm số sau liên tục trên tập xác định:

Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau: a. có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;2) b. có nhiệm âm c. có hai nghiệm trên khoảng ( - 1;1 )Bài 8. Cho dãy số (un) với limun = 1. Chứng minh rằng kể từ số hạng nào đó trở đi, tất cả các số hạng của (un) đều nằm trong khoảng :

a. (0,9; 1,1) b. (0,99; 1,01)Bài 9. Biết dãy số (un) thoa mãn un > n2 với mọi n. chứng minh rằng limun = +Bài 10 Tính giới các giới hạn sau



a. b. c.

d. e. Bai 11 Tính giới gạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n +

a. an = b. bn = c. cn =

d. dn = e. un = 2n + f. vn =

g. un = h. vn =

Bài12 Tính các giới hạn saua. lim(n2 +2n -5) b. lim(-n3 -3n2 -2) c. lim [4n +(-2)n]d.

6.Cho dãy số (un) xác định bởi Với

Biết (un) có giới hạn hữu hạn khi n + . Hãy tìm giới hạn đóBài 13. Tính giới hạn các hàm số sau

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23.

24. 25.

26. 27.



14. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem có tồn tại

không trong các trường hợp sau:

tại x0= 1

tại x0= 1

tại x0= 2

tại x0= 1

I. ÑAÏO HAØM

1) Duøng ñònh nghóa tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá:a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = taïi x0 = 0.

2) Cho haøm soá y = f(x) = x33x2+1, coù ñoà thò (C).a) Tìm f’(x). Giaûi baát phöông trình f’(x) 0.b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 3.

3) Cho (C) : y = f(x) = x4x2

a) Tìm f’(x). Giaûi baát phöông trình f’(x) > 0. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : 1. Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng .2. Taïi ñieåm coù tung ñoä baèng 3.3. Bieát tieáp tuyeán song song vôùi d1 : y = 24x+ 20094. Bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi d2 : y = .

4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P): y = f(x) =y = f(x) = x22x3 ñi qua M1(5;3). 5) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C):y=f(x)=x3 –3x+1 keû töø M(3;-1). 6) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : y = f(x) = x2+ ñi qua A(0;3).

7) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C): y = f(x)= ñi qua H(1;1).8) Tìm ñaïo haøm caùc haøm soá a) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) b) y = c) y =



9) Tìm ñaïo haøm caùc haøm soá : a) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 b) y = sin2 (cos 3x) c) y = sin3 x

d) y = cosxsin e) y = tan4x + 5 f) y = (0< a 1)

10) Tìm ñaïo haøm caùc haøm soá : a) y= x + b) y = x2 – sin x c) y = x - sin x

d) y = tan( 2x+3) e) y = tan2x . sinx f) y = g) y = cot ( 5x2 + x – 2 ) h) y = cot2 x + cot2x

11) Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá f(x) = taïi ñieåm x0 = 0

12) Tìm ñaïo haøm caáp n ( n nguyeân döông) cuûa caùc haøm soá sau : a) y = sin x b) y = cos x c) y = x2 + x – 2 )

13) Chöùng minh raèng :

a) Vôùi y= 3 + ( x 0), ta coù xy’ + y = 3

b) Vôùi y = x sin x, ta coù : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 014) Chöùng minh caùc ñaúng thöùc ñaïo haøm:

a) Cho haøm soá y = . Chöùng minh raèng: y’' = y

d) Cho y = . Chöùng minh raèng : 2(y’)2 = (y1)y’’

e) Cho y = . Chöùng minh raèng: y’ = cot4x

15) Cho f(x) = . Chöùng minh raèng : 17) Giaûi phöông trình : f’(x) = 0 bieát raèng:

a) f(x) = cos x +sin x + x.b) f(x) = x2+2x3d) f(x) =

18) Giaûi baát phöông trình f(x) < 0 vôùi f(x) = x3x2+ .

19) Cho caùc haøm soá f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = Chöùng minh raèng : f ’(x) = g’(x), xR20) Tìm vi phaân cuûa moãi haøm soá sau taïi ñieåm ñaõ chæ ra:

a) f(x) = sinx taïi x0 = . b) f(x) = x. cosx taïi x0 = 21) Tìm vi phaân cuûa moãi haøm soá:a) f(x) = b) f(x) = x.sinx. c) f(x) = .

23) Chöùng toû raèng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m21 (1) luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng thaúng coá ñònh. Xaùc ñònh phöông trình ñöôøng thaúng ñoù.



24) Chöùng toû raèng (Cm): y= (1), m 0 luoân tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng coá ñònh. Xaùc ñònh phöông trình hai ñöôøng thaúng ñoù.25) Chöùng toû raèng (Cm): y=mx33(m+1)x2+x+1 luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng thaúng coá ñònh taïi moät ñieåm coá ñònh.

6. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn.

a) f(x) = x3 – 2x2 + 3x + 1 b)

c) d)

7. Cho hàm số: a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x,

khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.8. Chứng minh rằng phương trình: f) 3x2+2x-2=0 có ít nhất một nghiệmg) 4x4+2x2-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).h) x3-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.i) x4-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).j) 2x3-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2]

ĐẠO HÀM CẤP 21. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau

1. y = sin5xcos2x 2. 3. 4. 5.y = x2sinx

6. 7. y = (1-x2)cosx 8. 9.y = sinxsin2xsin3x

10. 11. y = xcos2x 12.

Phần II: HÌNH HỌCChương I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

=*=*=*=*=*=*=*=*=*=I. Kiến thức cần nhớ 1) Phép tịnh tiến

Định nghĩa:

Biểu thức toạ độ: M(x; y), M’(x’; y’) , . Ta có:

2) Phép đối xứng trục Định nghĩa: M’ = Đd(M) (M0 là hình chiếu của M lên d) Biểu thức toạ độ: M(x; y), M’(x’; y’) .



Ta có: M’ = ĐOx(M) và M’ = ĐOy(M)

3) Phép đối xứng tâm Định nghĩa: M’ = ĐI(M) (I là trung điểm của MM’) Biểu thức toạ độ: M(x; y), M’(x’; y’), O(0; 0)

Ta có: M’ = ĐO(M)

4) Phép quay Định nghĩa: ( O là tâm quay, là góc quay)

5) Phép dời hình Định nghĩa: Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

6) Phép vị tự Định nghĩa:

7) Phép đồng dạng Định nghĩa:

II. Bài tập1) Trong Oxy cho véctơ ,điểm A( 1; – 3), đường thẳng d có phương trình x + 4y – 3 = 0 và phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 1 = 0

a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép tịnh tiến véctơ .b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến véctơ .

2) Trong Oxy cho điểm A( 4; – 1), đường thẳng d có phương trình 2x – y – 5 = 0 và phương trình đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 4y – 5 = 0

a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép đối xứng trục Oyc) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng trục Oyd) Tìm ảnh của A qua phép đối xứng trục, trục đối xứng là đường thẳng d.

3) Trong Oxy cho điểm A(– 1; 5), đường thẳng d có phương trình x – 3y + 2 = 0 và phương trình đường tròn (C): (x – 1 )2 + (y + 8)2 = 0

a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng tâm O.b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép đối xứng tâm O.c) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép đối xứng tâm I( 2; –3).

4) Trong Oxy cho điểm A(– 2; 3), đường thẳng d có phương trình 4x – 3y + 1 = 0 và phương trình đường tròn (C): (x + 5 )2 + (y – 3)2 = 0

a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép quay tâm O góc 900.b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép quay tâm O góc – 900.

5) Trong Oxy cho điểm A(– 3; 7), đường thẳng d có phương trình x – 3y + 2 = 0 và phương trình đường tròn (C): (x – 1 )2 + (y + 8)2 = 0

a) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2.b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.c) Tìm ảnh của A, d và (C) qua phép vị tự tâm I( 2; –3) tỉ số k = – 4

Chương II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONGA. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳngNội dung: +Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

+ Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng+ Xác xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng+ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng+Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy



Bài 1: Cho S là một không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của 2 mặt phảng (SAC) và (SBD)Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Goi I,J làn lượt là các điểm nằm trên cạnh AB, AD

với AI = IB; AJ = JD. Tim giao đểm của đường thẳng IJ với (BCD)

Bài 3: Cho 3 điểm A,B,C không thuộc mp(Q) và các đường thẳng BC,CA,AB cắt (Q) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh M,N,P thẳng hàngBài 4: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Goi I và J tương ứng là 2 điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD

a. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (IJM) và (ACD)b. Lấy N thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến

của 2 mặt phẳng (MNJ) và (ABC)Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có 2 cạnh đối diện không song song. Láy M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng:

a. (SBM) và (SCA)b. (ABM) và (SCD)c. (ABM) và (SAC)

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Trên canh AB lấy điểm I và lấy các điểm J,K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Goi L là giao điểm của IK với mp(ABC)

a. Hãy xác định điểm K b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD(K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mp(MNK)Bài 8: Cho tứ diện S.ABC. Trên SA,SB và SC lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho DE căt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh 3 điểm I, J ,K thẳng hàngB. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song songNội dung: + Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( dùng quan hệ song song)

+ Chứng minh 2 đường thẳng song song+ Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD.Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)Bài 2: Cho tư diện ABCD. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với (MNQ). Chứng minh PQ//MN và PQ//AcBài 3: Cho 2 đường thẳng d và d’ chéo nhau. Trên d lấy 2 điểm phân biệt A, B.Trên d’ lấy 2 điểm phân biệt C, D. Chứng minh AC và BD chéo nhauBài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD .Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD) c. (SAD) và (SBC)Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho

. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (DBC) và (DMN)

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J tương ứng là trung điểm của BC và AC, M là điểm tùy ý trên cạnh AD

a. Tìm giao tuyến d của 2 mặt phẳng (MIJ) và (ABD)b. Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp

điểm K khi M di động trên đoạn AD ( M không là trung điểm của AD)c. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABK) và (MIJ)

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có I ,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ//CD



Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thangABCD (AD//BC). Biết AD = a, BC = b. Gọi I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC .Mặt phẳng (ADJ) cắt SB ,SC lần lượt tại M và N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P và Q

a. Chứng minh MN//PQb. Giả sử AM cắt BP tại E, CQ cắt DN tại F. Chứng minh EF//MN//PQ. Tính EF theo a và b

C. Đường thẳng và mặt phẳng song songNội dung: + Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

+ Dựng thiết diện song song với một đường thẳngBài 1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng ming MG//(ACD)Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng

, nếu đi qua M và đồng thời song song với SC và ADBài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giac ACD và BCD Chứng minh G1G2 song song với mp(ABC) và mp(ABD)Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong 2 mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD. O’ là giao điểm của AE và BF

a. Chứng minh OO’// (ADF) và OO’ // (BCE)b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN // (CEF)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Goi G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm của AB. Lấy M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM

a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)b. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG // (SCD)c. Chứng minh MG // (SCD)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD , đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCDa. CMR : OG // (SBC)b. Cho M là trung điểm của SD. CMR : CM //(SAB)

c. Giả sử điểm I nằm trong SC sao cho SC = SI. CMR: SA //(BID)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng đi qua M và song song với SA và BC; cắt SB , SC, CD lần lượt tại N , P , Q

a. Tứ giác MNPQ là hình gi? b. Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh I nằm trên một đường thẳng cố định

D. Hai mặt phẳng song song

Nội dung: + Chứng minh 2 mặt phẳng song song+ Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng với một hình chóp khi biết song song với một mặt phẳng nào đó trong hình chóp

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD = 2BC> Gọi E là trung điểm của AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên AC khác với A và C. Qua I ta vẽ mặt phẳng song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp S.ABCDBài 2:Cho hình bình hành ABCD. Từ các đỉnh A,B,C,D vẽ các nữa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt và song song nhau không nằm trong mặt phẳng (ABCD), Chứng minh (Ax, By) song song với (Cz, Dt)Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1,G2 ,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (G1,G2 ,G3 ) // (BCD)



Bài 4: Từ 4 đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nữa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng cắt bốn nữa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’ , B’, C’ , D’

a. CMR: (Ax,By) // (Cz, Dt) và (Ax,Dt) // (By, Cz)b. Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì?c. Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’

Bài 5: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong 2 mặt phẳng phân biệt.Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh

a. (ADF) // (BCE) b. M’N’ // DF c. (DEF) // MM’N’N) và MN // (DEF)

Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ coa các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi I và I’ tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’

a. Chứng minh AI // A’I’b. Tìm giao điểm của IA’ với (AB’C’)c. Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC)

Bài 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ .Gọi H là trung điểm của A’B’a. Chứng minh CB’ // (AHC’) b. Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (ABC)

Bài 8: Cho 3 mặt phẳng , , song song với nhau. Hai đường thẳng a và a’ cắt 3 mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A’, B’ , C’. Cho AB = 5, BC = 4, A’C’ = 18. Tính độ dài A’B’ và B’C’


PHẦN I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH - Trường THPT Vĩnh Thuận · Web view... (sin4x + cos4x ) + 2.sinx.cosx.cos2x 8) y = 9) y=( sinx –cosx )2 +2.cos2x + 3.sinx.cosx 10)...

Documents