www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14 PG – Progressão Geométrica 1. (Uel 2014) Amalio Shchams é o nome científico de uma espécie rara de planta, típica do noroeste do continente africano. O caule dessa planta é composto por colmos, cujas características são semelhantes ao caule da cana-de-açúcar. Curiosamente, seu caule é composto por colmos claros e escuros, intercalados. À medida que a planta cresce e se desenvolve, a quantidade de colmos claros e escuros aumenta, obedecendo a um determinado padrão de desenvolvimento que dura, geralmente, 8 meses. * No final da primeira etapa, a planta apresenta um colmo claro. * Durante a segunda etapa, desenvolve-se um colmo escuro no meio do colmo claro, de modo que, ao final da segunda etapa, o caule apresenta um colmo escuro e dois colmos claros. * Na terceira etapa, o processo se repete, ou seja, um colmo escuro se desenvolve em cada colmo claro, como ilustra o esquema a seguir. 1ª Etapa 2ª Etapa 3ª Etapa 4ª Etapa 1 colmo claro. 1 colmo escuro e 2 colmos claros. 3 colmos escuros e 4 colmos claros. 7 colmos escuros e 8 colmos claros. E assim sucessivamente. a) Represente algebricamente a lei de formação de uma função que expresse a quantidade total de colmos dessa planta ao final de n etapas. Apresente os cálculos realizados na resolução desse item. b) Ao final de 15 etapas, quais serão as quantidades de colmos claros e escuros dessa planta? Apresente os cálculos realizados na resolução desse item.
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PG – Progressão Geométrica
1. (Uel 2014) Amalio Shchams é o nome científico de uma espécie rara de planta, típica do noroeste do continente africano. O caule dessa planta é composto por colmos, cujas características são semelhantes ao caule da cana-de-açúcar. Curiosamente, seu caule é composto por colmos claros e escuros, intercalados. À medida que a planta cresce e se desenvolve, a quantidade de colmos claros e escuros aumenta, obedecendo a um determinado padrão de desenvolvimento que dura, geralmente, 8 meses. * No final da primeira etapa, a planta apresenta um colmo claro. * Durante a segunda etapa, desenvolve-se um colmo escuro no meio do colmo claro, de modo que, ao final da segunda etapa, o caule apresenta um colmo escuro e dois colmos claros. * Na terceira etapa, o processo se repete, ou seja, um colmo escuro se desenvolve em cada colmo claro, como ilustra o esquema a seguir.
1ª Etapa 2ª Etapa 3ª Etapa 4ª Etapa
1 colmo claro.
1 colmo escuro e 2
colmos claros.
3 colmos escuros e 4 colmos claros.
7 colmos escuros e 8 colmos claros.
E assim sucessivamente.
a) Represente algebricamente a lei de formação de uma função que expresse a quantidade
total de colmos dessa planta ao final de n etapas. Apresente os cálculos realizados na resolução desse item.
b) Ao final de 15 etapas, quais serão as quantidades de colmos claros e escuros dessa planta? Apresente os cálculos realizados na resolução desse item.
2. (Uel 2014) João publicou na Internet um vídeo muito engraçado que fez com sua filha
caçula. Ele observou e registrou a quantidade de visualizações do vídeo em cada dia, de acordo com o seguinte quadro.
Dias Quantidade de visualizações
do vídeo em cada dia
1 7x
2 21x
3 63x
... ...
Na tentativa de testar os conhecimentos matemáticos de seu filho mais velho, João o desafiou a descobrir qual era a quantidade x, expressa no quadro, para que a quantidade total de visualizações ao final dos 5 primeiros dias fosse 12705. a) Sabendo que o filho de João resolveu corretamente o desafio, qual resposta ele deve
fornecer ao pai para informar a quantidade exata de visualizações representada pela incógnita x? Apresente os cálculos realizados na resolução deste item.
b) Nos demais dias, a quantidade de visualizações continuou aumentando, seguindo o mesmo padrão dos primeiros dias. Em um único dia houve exatamente 2066715 visualizações registradas desse vídeo. Que dia foi este? Apresente os cálculos realizados na resolução deste item.
3. (Ufg 2013) A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados menores, com um círculo inscrito em cada um deles.
Sabendo-se que o número de círculos em cada etapa cresce exponencialmente, determine: a) a área de cada círculo inscrito na n-ésima etapa dessa divisão; b) a soma das áreas dos círculos inscritos na n-ésima etapa dessa divisão.
4. (Espcex (Aman) 2013) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes,
cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme indicado na figura.
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
e) 7 m
5. (Ufrgs 2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos
equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros
triângulos é 2
3 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior.
A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9. b) 12. c) 15. d) 18. e) 21. 6. (Pucrj 2013) A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geométrica.
7. (Espm 2013) Um empréstimo de R$10.000,00 foi pago em 5 parcelas mensais, sendo a
primeira, de R$ 2.000,00, efetuada 30 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em
relação à anterior. Pode-se concluir que a taxa mensal de juros simples ocorrida nessa transação foi de aproximadamente: a) 2,78% b) 5,24% c) 3,28% d) 6,65% e) 4,42% 8. (Espm 2013) Para que a sequência ( 9, 5, 3) se transforme numa progressão geométrica,
devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro 9. (Ufsm 2013) No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas
cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é
a) n100.600 1,006 1 .
b) n100.000 1,06 1 .
c) n10.060 1,006 1 .
d) n100.600 1,06 1 .
e) n100.000 1,006 1 .
10. (Fgv 2013) Uma mercadoria é vendida com entrada de R$500,00 mais 2 parcelas fixas
mensais de R$576,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a a) 1.380,00. b) 1.390,00. c) 1.420,00. d) 1.440,00. e) 1.460,00.
17. (Ime 2012) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética
(PA) de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG),
de razão q, com q e r (natural diferente de zero). Determine:
a) o menor valor possível para a razão r; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. 18. (Unesp 2012) O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento necessário após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu – está com quase 2,5 metros –, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa.
(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.)
Considerando que a referida árvore foi plantada em 1º de novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de a) 0,5. b) 5 10
–1/2.
c) 5. d) 5 10
1/2.
e) 50. 19. (Uespi 2012) Em outubro de 2011, o preço do dólar aumentou 18%. Se admitirmos o mesmo aumento, mensal e cumulativo, nos meses subsequentes, em quantos meses, a partir de outubro, o preço do dólar ficará multiplicado por doze? Dado: use a aproximação
20. (Ulbra 2012) Carlos aplicou R$ 500,00 num banco a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano. Sabendo que a fórmula de cálculo do montante é M = C(1+i)
n, onde M é o montante, i a
taxa de juros, C o valor da aplicação e n o período da aplicação, qual o tempo necessário
aproximado para que o montante da aplicação seja R$ 8.000,00? Dados: log 2 = 0,301 e log 12 = 1,079 a) 20 meses e 14 dias. b) 12 anos, 6 meses e 10 dias. c) 15 anos, 2 meses e 27 dias. d) 15 anos e 10 dias. e) 12 anos.
[C] 2009 : 1 dm 2010: 2011: 2,5 cm = 25 dm Temos então uma P.G. de três termos, determinando sua razão, temos: 25 = 1 q
3-1
25 = q2
q = 5 q = 5. Portanto, a razão de crescimento anual no período de 2 anos foi 5. Resposta da questão 19: [D] Seja p o preço do dólar, em outubro de 2011, antes do aumento.
Queremos calcular após quantos meses o preço do dólar será 12p.
Como o preço do dólar n meses após outubro é dado por np (1,18) , temos que
Resposta da questão 20:
[C]
O tempo necessário aproximado para que o montante da aplicação seja R$ 8.000,00 é tal que