PFIセミナー 位相幾何学入門
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PFIセミナー位相幾何学入門
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
参考文献？
幾何学(geometry)とは
・物の形を調べる学問
・古代オリエントでナイル川の氾濫をめぐる土地測量に由来する
geo(土地)+metry(測量)
幾何学の種類
ユークリッド幾何
非ユークリッド幾何（双曲幾何、放物線幾何）
位相幾何学
微分幾何学（リーマン幾何学、共形幾何）
微分位相幾何学
シンプレクティック幾何
代数幾何
非可換幾何
・・・
幾何学の種類
ユークリッド幾何
非ユークリッド幾何（双曲幾何、放物線幾何）
位相幾何学
微分幾何学（リーマン幾何学、共形幾何）
微分位相幾何学
シンプレクティック幾何
代数幾何
非可換幾何
・・・
位相幾何学の考え方
・図形はゴムのように伸び縮み、曲げ伸ばしできる
→ ドーナツと浮輪は「同じ」形
→ ドーナツとコーヒーカップは「同じ」形
・穴をあけてはダメ
→ ドーナツとスイカは「異なる」形
分類問題
世の中にある図形をグループ分けする
Q 2つの図形が「同じ」か「異なる」か判定する
Q 世の中にはどれだけの種類の図形があるか？
（モジュライ理論、サーストンの幾何化予想）
π1(SO(3)/I60)
→ 「同じ」の判定基準が必要
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
分類問題
世の中にある図形をグループ分けする
Q どの図形を「同じ」とみなすか？
Q 世の中にはどれだけの図形があるか？
グループ分けの基準が必要
分類の基準の違い
合同な図形が「同じ」
相似な図形が「同じ」
N角形なら「同じ」
分類の仕方を分類する
・「比較」
2つの図形を比較し、「同じ」か「異なる」かを判定する（合同、相似）
・「ラベル付け」
それぞれの図形に対してある量を付随させる
（辺の数による分類）
内在的方法
ラベル付けによる分類：辺の数
ラベル付けによる分類：辺の数
ラベル付けによる分類：辺の数
ラベル付けによる分類：種数
それぞれの長所・短所
・「比較」
「同じ」は示しやすいが「異なる」は示しにくい
・「ラベル付け」
「異なる」を示しやすいが、分類が荒くなりやすい
→ 「比較」で「同じ」と言える図形には同じ「ラベル」がついてほしい
それぞれの長所・短所
・「比較」 → ホモトピー同値
「同じ」は示しやすいが「異なる」は示しにくい
・「ラベル付け」 → ホモトピー、ホモロジー
「異なる」を示しやすいが、分類が荒くなりやすい
→ 「比較」で「同じ」と言える図形には同じ「ラベル」がついてほしい
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
予備知識 全単射
・定義
X,Yを集合（位相空間）とする。f : X→Yが全単射であるとは、g : Y→Xが存在して、
g・f=1X
f・g=1Y
となることである。
全単射：イメージ図
全単射：イメージ図
ホモトピー同値
定義
X,Yを位相空間とする、f : X→Yがホモトピー同値であるとは、g : Y→Xが存在して、
g ・ f ～ 1X
f ・ g ～ 1Y
を満たすことである。
ホモトピック
定義
p : A→Bとq : A→Bがホモトピックであるとは、p
を「連続的に変形」してqにできることであり、記号で
p～q
と書く。
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
ホモトピック
定義
正確にはF:A×[0,1]→Bが存在して
・F(a,0) = p(a) ∀a ∈ A
・F(a,1) = q(a) ∀a ∈ A
を満たすことである。
ホモトピー同値
イメージ図
→ ホワイトボードで説明します
良い「ラベル付け」をする
ホモトピー同値で同じになる「ラベル」にはどんなものがあるか？
ホモトピー（1904ごろ～？）
定義が簡単 ⇔ 計算しにくい
ホモロジー
定義が面倒 ⇔ 計算しやすい
図形にたくさんのラベル付けをする
（1次元）ホモトピー
直観的定義
「ある1点から出るループを何個にグループ分け出来るか」を表した量
数学的定義
Xを位相空間、x ∈ Xとする。
π1(X,x) =
{ l : [0,1] → X , l は連続、l (0) = l (1) = x } /
～
をｘを起点とするXの1次元ホモトピー、もしくは基本群という。（1904年 ポアンカレ）
高次元ホモトピー
数学的定義
Xを位相空間、x∈Xとする。
π1(X,x) =
{ l : [0,1]n → X , l は連続、l (t) = x ∀t ∈ ∂In } / ～
をxを起点とするXのn次元ホモトピーという。
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
ホモロジー
特異ホモロジー・コホモロジー
チェックコホモロジー
層係数のホモロジー・コホモロジー
ドラームコホモロジー
エタールコホモロジー
・・・
(Eireberg – Steenrodの公理)
数学的定義
→ 略
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモトピー、ホモロジーの性質・使用例
７ ポアンカレ予想
ホモロジーの良い性質
・マイヤー・ビエトリスの完全系列
(図形を2つ部分に分けて、その両方のホモロジーからもとのホモロジーを計算できる)
・0次元ホモロジーは連結成分の数
ホモロジーと種数の関係
gを種数とすると、
面の数ー辺の数＋頂点の数＝2-2g
ホモロジーと種数の関係
gを種数とすると、
面の数 ー 辺の数 ＋ 頂点の数 ＝ 2 - 2g
面の数 ＝ 2次元ホモロジー H2(X) の次元
辺の数 ＝ 1次元ホモロジー H1(X) の次元
頂点の数 ＝ 0次元ホモロジー H0(X) の次元
ホモトピー・ホモロジーの性質
ホモトピー・ホモロジーは「良い」ラベル付けである
X ～ Y ならば、
πn(X,x) = πn(Y,y) (n = 0,1,2・・・)
Hn(X) = Hn(Y) (n = 0,1,2・・・)
ホモトピーで2次元と3次元を区別する
変わった空間
SL(n,R)
レンズ空間
関数空間
モジュライ空間
シュティーフェル多様体
目次
１ イントロダクション
２ 分類問題（「比較」と「ラベル付け」）
３ 比較・・・ホモトピー同値
４ ラベル付け１・・・ホモトピー
５ ラベル付け２・・・ホモロジー
６ ホモロジーの性質
７ ポアンカレ予想
ポアンカレ予想
3次元の閉多様体で1次元ホモトピーが消えているものは3次元球面と同相
これの難しいところ
「ホモトピーが違うなら違う図形」は言えるが
「ホモトピーが同じでも同じ図形」とは限らない
ポアンカレ予想の証明
実は手法は微分幾何学的（リッチフローを用いる）(サーストンの幾何化予想)http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.
0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183548782（プレプリント）http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109http://arxiv.org/abs/math.DG/0307245(解説記事)http://arxiv.org/abs/math.DG/0605667http://arxiv.org/abs/math.DG/0607607
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