petro2

RELATIVE PERMEABILITY 

Definition: Measure of the ability of the porous system to conduct one fluid in presence of other fluids 

It is the composite effect of 

•  pore geometry •  fluid distribution •  wettability •  saturation history •  applied forces equilibrium 

Capillary Number, Ca = µV / IFT ratio of viscous to capillary forces 

Bond Number, Bo = rgh / (2 IFT / r ) Ratio of gravity to capillary forces

RELATIVE PERMEABILITY 

Wettability:  Tendency of one fluid to spread or to adhere to a solid surface in presence of other immiscible fluids 

Water­wet,  Oil­wet,  Intermediate­wet 

mixed­wet or fractionally­wet

RELATIVE PERMEABILITY 

Drainage:  Decrease of the wetting phase saturation Imbibition:  Increase of the wetting phase saturation 

But most of the reservoirs are not strongly « water­wet » nor « oil­ wet ». Thus the « wetting » and « non­wetting » fluids cannot be defined. 

By convention! Drainage:  Decrease of the water saturation Imbibition:  Increase of the water saturation 

In petrophysics and in reservoir simulators the notion of reference fluid is used 

water in oil/water displacements liquid in gas/liquid displacements

RELATIVE PERMEABILITY 

Drainage: oil displacement by water oil­wet sand 

Imbibition: oil displacement by water water­wet sand 

Craig, 1971

STEADY­STATE IMMISCIBLE FLOW  Kr 

Fluid 1 

Fluid 2 

Fluid 1 

Fluid 2

∆P 1

∆P 2 

Q 1

Q 2 

L P A K Q 

L P A K Q 

2 

2 

2 2 

1 

1 

1 1

∆ =

∆ =

µ

µ

L 

K1, K2 effective permeabilities 

Kr1=K1/K relative permeabilities 

Kr2=K2/K

TWO­PHASE RELATIVE PERMEABILITY 

Base permeability •  Kair •  Kwater •  Koil @ Swi 

Krw < Krnw 

Krw + Krnw < 1 

Kr = ƒ(contact angle)

TWO­PHASE RELATIVE PERMEABILITY: HYSTERESIS 

Fluid distribution at the pore level 

Strong for non­wetting phase Less important for wetting phase

TWO­PHASE Kr AND WETTABILITY

TWO­PHASE Kr AND WETTABILITY

TWO­PHASE Kr AND WETTABILITY 

Craig’s rules of thumb: 

Water­wet  Oil­wet 

Connate water saturation 

Usually > 20­25 %  PV  Generally < 15%PV Frequently < 10%PV 

Cross point of Kr curves 

> 50%  water  saturation  < 50%  water  saturation 

Krw @ max water saturation 

Generally < 0.3  0.5 may be up to 1 

Most of formations are of intermediate wettability

TWO­PHASE Kr AND WETTABILITY 

Important notice when measuring water­oil Kr: 

Reproduce within the sample wettability preference of the formation 

Native­state 

•  Wettability altered by exposure to oxygen 

•  Wettability altered through loss of light ends in oil by evaporation (role of asphaltenes) 

Restored­state 

•  Avoid drying of core that can result in dehydration and collapse of clays (effect on rock permeability)

TWO­PHASE Kr AND WETTABILITY 

Fluid selection for water­oil and gas­oil rel perm tests 

Water­oil Kr 

•  reservoir oil 

•  formation or synthetic brine (saturated with gas) 

•  reservoir P,T 

Gas­oil Kr 

•  refined or reservoir oil 

•  saturated gas 

•  reservoir or lab P,T

CHARACTERISTICS OF WATER­OIL REL PERMS 

Krw end point Cross point 

0 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1 

0  0,2  0,4  0,6  0,8  1 

Sw 

Kr 

Krw 

Kro 

Swi  Sor

CHARACTERISTICS OF WATER­OIL REL PERMS 

For homogeneous rocks: Extrapolate smooth Krw curve to low Sw values Assess Kro values at low So values 

0,0001 

0,001 

0,01 

0,1 

1 0  0,2  0,4  0,6  0,8  1 

Sw 

Kr 

Krw 

Kro 

Swi  Sor

CHARACTERISTICS OF WATER­OIL REL PERMS 

Kro vs normalized saturation 

Son  =normalized oil saturation So  =oil saturation Sw  =water saturation Swi  =irreducible water saturation Sor  =residual oil saturation 

0,001 

0,01 

0,1 

1 0,1  1 

Son 

Kro 

or wi or 

or wi or o 

on  S S S Sw 

S S S S S

− − − −

= − −

− = 

1 1 

1 

o n on ro  S K =

n o =Corey exponent

CHARACTERISTICS OF WATER­OIL REL PERMS 

Krw vs normalized saturation 

0,0001 

0,001 

0,01 

0,1 

1 0,1  1 

Swn 

Krw 

nw=4 

Bump flow to get true Krw­end point value 

or wi wi w 

wn  S S S S S − −

− = 1 

w n wn po end rw rw  S K K  * int − − =

n w =Corey exponent

CHARACTERISTICS OF WATER­OIL REL PERMS 

Corey exponents 

0 0,1 

0,2 0,3 

0,4 0,5 

0,6 0,7 

0,8 0,9 

1 

0  0,2  0,4  0,6  0,8  1 

Swn 

Kr 

Krw Krw Kro Kro 

no=3 

no=4 nw=3 

nw=5

CHARACTERISTICS OF WATER­OIL REL PERMS 

Corey exponents should be consistent with wettability measurements 

Wettability  Oil Corey exponent, no 

Water  Corey exponent, nw 

Water ­wet  2 to 4  5 to 8 

Intermediate­wet  3 to 6  3 to 5 

Oil­wet  6 to 8  2 to 3

MEASURING WATER­OIL REL PERMS 

Wettability issues 

•  intermediate wettability •  need for appropriate representation in lab tests •  tests at reservoir P,T with reservoir fluids 

Restoring reservoir wettability 

•  thorough cleaning (solvents) •  mild drying •  saturation with water •  establishing Swi 

•injection of viscous oil (plugs or composite) •porous plate (plugs or composite) •centrifuge (plugs) 

•  injection of crude oil •  aging (at T for several weeks) •  displacement of crude oil with live oil

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

•  Steady state 

•  Unsteady state (dynamic displacement) 

•  Centrifuge

Fluid 1 

Fluid 2 

Fluid 1 

Fluid 2

∆P 1

∆P 2 

Q 1

Q 2

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

Steady­State 

L P A KK Q 

L P A KK Q 

r 

r 

2 

2 

2 2 

1 

1 

1 1

∆ =

∆ =

µ

µ

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

•  STEADY­STATE 

Advantages 

•  Direct determination of Kr @ large range of S •  No mathematical developments •  Reservoir conditions (P,T) 

Shortcomings 

•  Time consuming, expensive •  Capillary end effects 

•long composite cores •  Representativity of flow in the reservoir questionable

Fluid 1 

Fluid 2 

Fluid 1 

Fluid 2

∆P 1

∆P 2 

Q 1

Q 2

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

w nw  Non uniform saturation 

Fluid 1 

Fluid 2 

Fluid 1 

Fluid 2

∆P 1

∆P 2 

Q 1

Q 2

Solution 1 

Numerical Simulations if Pc known                              Solution 2

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

Unsteady­state method 

Water Vr 

Oil Vnr

∆P 

Q 

Analytical calculation only for Pc = 0 

•Welge     Kro/Krw •JBN  Kro, Krw 

water oil 

Swi

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

Unsteady­state method: experimental procedure 

•Core initially @ Swi •Measurement of Keo @ Swi •Water injection @ constant flow rate •Measurement of the produced oil volume, water volume and pressure drop with time •Measurement of Kew @ Sorw •Calculations 

Welge     Kro/Krw JBN  Kro, Krw

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

•  UNSTEADY­STATE 

Advantages •  Fast •  Representativity of flow in the reservoir •  Reservoir conditions (P,T) 

Shortcomings •  Calculations not straightforward •  Strong assumptions for analytical calculations 

•homogeneous samples •Pc=0 

•  Narrow range of saturations (only after BT) 

To overcome shortcomings •  Perform in situ saturation measurements (X­ray or g­ray 

absorption, CT­scanner) •  Numerical interpretation of the displacement data

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

UNSTEADY­STATE 

•  Numerical interpretation of the displacement data •Fluid production •Pressure drop •Saturation profiles 

•  Reliable capillary pressure •representative of rock/fluids/process

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

UNSTEADY­STATE     Numerical Interpretation (1) 

0 

5 

10 

15 

20 

25 

30 

35 

40 

0  50  100  150  200  250  300  350  400  450  500 

Time (mn) 

Cum

ulative oil volum

e (cm3) 

V oil exp V oil mod 

Fluid production 

0 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

0  50  100  150  200  250  300  350  400  450  500 

Time (mn) 

Overall pressure drop (m

bar) 

DP exp DP mod 

Pressure drop 

0 

0.1 

0.2 

0.3 

0.4 

0.5 

0.6 

0.7 

0.8 

0.9 

0  5  10  15  20  25  30 

Core length (cm) 

Sw 

Swj@40mn Swj@80mn 

Swj@120mn Swj@160mn 

Swj@200 mn calc40 

calc80 calc120 

calc160 calc200 

Saturation profiles

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

UNSTEADY­STATE     Numerical Interpretation (2) 

0 

5 

10 

15 

20 

25 

30 

35 

40 

0  50  100  150  200  250  300  350  400  450  500 

Time (mn) 

Cum

ulative oil volum

e (cm3) 

V oil exp O mod new15 

Fluid production 

0 

20 

40 

60 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

0  50  100  150  200  250  300  350  400  450  500 

Time (mn) 

Ove

rall pressu

re drop (m

bar) 

DP exp DP mod new15 

Pressure drop 

0 

0.1 

0.2 

0.3 

0.4 

0.5 

0.6 

0.7 

0.8 

0.9 

0  5  10  15  20  25  30 

Core length (cm) 

Sw 

Swj@40mn 

Swj@80mn 

Swj@120mn 

Swj@160mn 

Swj@200 mn 

calc40 new15 

calc80 new15 

calc120 new15 

calc160 new15 

calc200 new15 

Saturation profiles

­0.15 

­0.1 

­0.05 

0 

0.05 

0.1 

0.15 

0  0.2  0.4  0.6  0.8  1 

Water saturation 

Water­oil ca

pillary press

ure (bar) 

Pcow old Pcow new 

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

UNSTEADY­STATE 

Two different Pc  Two different Kr sets 

0.00 

0.10 

0.20 

0.30 

0.40 

0.50 

0.60 

0.70 

0.80 

0.90 

1.00 

0.00  0.10  0.20  0.30  0.40  0.50  0.60  0.70  0.80  0.90 

Sw 

Kr 

krw new krow new krw old 

krow old

WATER­OIL Kr: MEASUREMENT METHODS 

•  CENTRIFUGE 

Advantages •  Fast •  One speed step sufficient •  Stable displacement •  Kro over wide saturation range 

Shortcomings •  Calculations not straightforward •  Strong assumptions •  Kr of only the produced phase (Kro) •  Plugs only @ T but not P (representative wettability?)

GAS­LIQUID RELATIVE PERMEABILITIES 

•GAS­OIL Kr needed when: •expansion of gas cap •gas injection •solution gas drive •gas storage •gas condensate •WAG 

•GAS­WATER needed when: •active aquifer in gas reservoir •WAG

GAS­LIQUID REL PERM: CRITICAL GAS SATURATION 

Sgc : Gas saturation above which gas is continuous 

•Very important for solution gas drive (P < Pbubble) •Less important for gas injection 

Depends on: •  Pore size distribution, aspect ratio, connectivity •  Displacement mechanism (higher for pressure depletion than for gas injection

GAS­LIQUID REL PERM MEASUREMENTS 

•Steady­state gasfloods •Core Plugs or Composite cores •Saturation determination ­ end effects •Room or reservoir conditions (refined oil & inert gas or reservoir oil and gas) 

•Unsteady­state gasfloods •Core Plugs or Composite cores •End effects ­ local saturation measurements •Room or reservoir conditions (refined oil & inert gas or reservoir oil and gas) 

•Centrifuge •Less capillary effects •Only Kro (and end­point Krg) •Room conditions (refined oil & inert gas)

GAS­LIQUID REL PERM : NORMALIZED VALUES 

or wi 

or wi g on  S S 

S S S S

− −

− − − = 

1 1 

o n on ro  S K = 

gc or wi 

gc g gn  S S S 

S S S

− − −

− = 1 

g n gn rg  S K =

Son  =normalized oil saturation So  =oil saturation Sgn  =normalized gas saturation Sg  =gas saturation Swi  =irreducible water saturation Sor  =residual oil saturation Sgc  =critical gas saturation 

n o =Corey exponent for oil (4 to 8) n g =Corey exponent for gas (2 to 4)

GAS­OIL RELATIVE PERMEABILITIES 

•  Unsteady state measurements on composite or long cores are the most reliable 

•  Reduced problems with wettability and end effects •  Still experiments at reservoir P, T should be given preference 

•  Obtain Kro­Krg curves under representative displacement mechanisms

EQUATIONS 2­D DISPLACEMENT 

) ( 

0 0 

1 

1 1 2 

2 2 1 1 

2 1 

2 2 

2 

2 2 1 

1 

1 

1 1 

S P P P 

t S 

x u 

t S 

x u 

S S 

g x P kk u g 

x P kk u 

c 

r r

= −

= ∂

∂ +

∂ ∂

= ∂

∂ +

∂ ∂

= +

−

∂ ∂

− =

−

∂ ∂

− =

ϕ ϕ

ρ µ

ρ µ

EQUATIONS 2­D DISPLACEMENT

( ) 

2 

2 

1 

1 

2 1 

2 

2 

1 

1 

2 

2 

1 

1 1 

1 1 1 

1 

1 

1 

1 

0 

r r 

r 

c 

r r 

k k 

U g k 

k 

S P 

k k U k 

t S 

x S 

x x S 

S U

µ µ

ρ ρ µ

µ µ

ϕ

+

− +

= Φ

∂ ∂

+ = Ψ

= ∂

∂ +

∂ ∂

Ψ ∂

∂ +

∂ ∂

∂ Φ ∂

CASE OF NEGLIGIBLE CAPILLARY PRESSURE

( ) 

2 

2 

1 

1 

2 1 

2 

2 

1 

1 

1 1 

1 

1 

0 

0 

r r 

r 

k k 

U g k 

k 

t S 

x S 

S U

µ µ

ρ ρ µ

ϕ

+

− +

= Φ

= Ψ

= ∂

∂ +

∂ ∂

∂ Φ ∂

Buckley­Leverett equation

Kr ­ unsteady state @ constant flow rate 

' 

* ' 

' 

* ' 

' 

* 

* 

) ( 

tP P P 

Q V K 

tP P P 

Q V K 

V tV V S S 

AK LQ P 

AK LQ P 

o o ro 

w w rw 

P 

w w wi w 

o o 

w w

− =

− =

− − =

=

=

µ

µ

P*: pressure during flow of only water or only oil at the injection rate Q 

Sw : water saturation at the end­face 

Kr : relative permeabilities