Peter Schramm, Aktuar DAV www.pkv-gutachter.de Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge • Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung • Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung • Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen • Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell • Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen • Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung • Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung
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Peter Schramm, Aktuar DAV Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge Einführung in.
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Crashkurs Versicherungsmathematikversicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge
• Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung
• Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung
• Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen
• Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell
• Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen
• Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung
• Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens-
und Rentenversicherung
• Finanzmathematische Grundlagen• Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus• Sterbetafeln und Ausscheideordnungen• Prämienkalkulation• Deckungsrückstellung• Anwartschafts- und Kapitaldeckungsverfahren
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals
S = Endwert eines Kapitals
i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird
r = 1 + i Aufzinsungsfaktor
v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor
Beispiel: Zins i = 5 % (= 0,05, da 1 % = 1/100), Anfangskapital P = 1000
Aufzinsungsfaktor r = 1 + i = 105 % (= 1,05)
Endkapital nach einem Jahr S = (1 + i) * P = 1,05 * 1000 = 1050
Endkapital nach 2 Jahren: S = (1+i) * (1+i)*P = 1,052 * 1000 =
1,1025 * 1000 = 1102,50
Endkapital nach n Jahren: Sn = (1+i)n P = 1,05n * P; sprich: (1,05 hoch n)
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Zins und Zinseszins
0
50
100
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200
250
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jahr
Be
tra
g Zins
Betrag amJahresanfang
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Verzinsung eines Anfangskapitals
01234
56789
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
Jahre
Ka
pit
al 6,00%
4,00%
3,50%
2,75%
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen,
im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung?
a) 1.943 € b) 3.406 € c) 11.233 €
Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492
zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat?
a) 1.214 Cent b) 2.530.976 Cent c) 124.248.113 Cent
Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?
a) 10 % b) 4,73 % c) 2,91 %
Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist
der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation heute
7 % beträgt?
a) 13,4 % b) 22,2 % c) 79,3 %
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Lösungen:
Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen, im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung? b) 1,03 50 = 4,384; 4,384 * 777 Cent = 3.406 €
Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492 zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat? b) 1,02 512 = 25.309,76;25309,76 * 100 Cent = 2.530.976 Cent
Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?b) 4,73 %, denn 1,0473 30 = 4,00
Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relationheute 7 % beträgt? b) 1,03 60 = 5,892; 1,05 60 =
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals
S = Endwert eines Kapitals
i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird
v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor
Beispiel: Zins i = 3,5 % Endkapital S = 1000
Diskontierungsfaktor v = 1/(1 + i) = 1/1,035 = 0,966184
Barwert P des Endkapitals S in einem Jahr:
P = v * S = 1000/1,035 = 966,18
Barwert P des Endkapital S in 2 Jahren: P = v * v * S = (1/1,035)2 * 1000 = 1/(1,035 2) * 1000 = 1/1,071225 * 1000 = 933,51 (0,966184*0,966184 = 0,933511)
Barwert des Endkapital S in n Jahren: P0 = vn Sn = 1/(1,035n) * Sn
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Abzinsung eines Endkapitals
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
Jahre
Ka
pit
al 6,00%
4,00%
3,50%
2,75%
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Was ist mehr wert: 400 Euro sofort, 1000 Euro in 10 Jahren oder 2000 Euro in 20 Jahren?
Bei einem Zins von 5 %?Bei einem Zins von 8 %?Bei einem Zins von 10 %?
Lösung: Diskontierung auf den Barwert zum gleichen Zeitpunkt. Z.B. heute:
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres
jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722
nachschüssige jährliche Zeitrente von 1000 Euro (über 10 Jahre), mit 5% diskontiert
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jahr
Ren
te
Rente diskontiert
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahresjährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722
Entspricht dem Barwert einer Einmalzahlung von 12.577 am Ende des 10. Jahres:
Barwert: 1/1,0510 * 12577 = 0,614 * 12577 = 7722
Die beiden Barwerte bleiben auch dann gleich , wenn auf einen anderen (einheitlichen) Zeitpunkt
diskontiert wird. Es ändert sich dadurch nur die absolute Höhe des Barwerts.
Es ist auch gleichgültig, ob es sich um Renten, Prämien, Kapitalanlagen oder sonstige Zahlungen
von 1000 Euro über 10 Jahre auf das Ende des 10. Jahres: Barwert = 12.577
(vgl. nachfolgende Grafik)
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Aufzinsung einer Zeitrente auf den Barwert zum Ende des 10. Jahres
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Jahr
Ren
te
Zins
Rate
KapitalJahresbeginn
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1?
a) diskontiert mit Zinssatz 50 %
b) diskontiert mit Zinssatz 5 %
c) diskontiert mit Zinssatz 1 %
nachschüssige jährliche ewige Rente von 1 Euro, mit 50 % diskontiert
0
0,2
0,4
0,6
Jahr
Re
nte
Rente diskontiert
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1? a) 1,0 b) 20 c) 100 (kein Kapitalverzehr, nur Zins!)
nachschüssige jährliche ewige Rente von 1 Euro, mit 5 % diskontiert
00,20,40,60,8
1
Jahr
Re
nte
Rente diskontiert
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Zins und Kapitalverzehr einer Zeitrente jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Kapitalverzehr Gesamt = 7722, Zins Gesamt = 2278
nachschüssige jährliche Zeitrente (10 Jahre) von 1000 Euro, mit 5 % diskontiert
0200400600800
10001200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jahr
Re
nte Kapitalverzehr
Zins
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Beispiele: Welche Augenzahl ist bei einem Wurf mit einem Würfel wahrscheinlicher? 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? - Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel ist jeweils 1/6stel.
Welche Gesamtaugenzahl ist bei 1000 (oder 10.000) Würfen am „wahrscheinlichsten“?
Wieviel Würfe werden benötigt, damit die durchschnittliche Augenzahl „fast sicher“ zwischen 3,48 und 3,52 liegt?
Was heißt „fast sicher“?, was bedeutet es, dass der „Erwartungswert“ der durchschnittlichen Augensumme 3,5 ist?
Welche Schlussfolgerung kann daraus gezogen werden, wenn auch nach sehr vielen Versuchen mit einem realen Würfel der Durchschnitt sich bei 3,4 einpendelt?
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Wahrscheinlichkeit für durchschnittliche Augensumme - Gesetz der großen Zahl
00,10,2
0,30,40,50,6
0,70,8
Augensumme (Schrittweite 0,2)
Wah
rsch
ein
lich
keit
fü
r A
ug
en
sum
me
x b
is x
+0,
2
wenig Würfe
viele Würfe
sehr viele Würfe
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Praxis der Versicherungsmathematik: 1. Die Erwartungswerte selbst sind nicht bekannt2. Nutzung des „Gesetzes der großen Zahl“: je größer die Zahl der Versuche (der
Versicherten, des „Kollektivs“, der Beobachtungsjahre etc.), desto näher liegen die Durchschnitte an den eigentlichen Erwartungswerten
3. Die Beobachtungswerte (z. B. Anzahl Gestorbener in einem Jahr je 1000 Versicherte Männer im Alter 70 am Jahresbeginn) dient als Ausgangswert, um daraus eine durchschnittliche Zahl („rohe“ Sterbequote 70jährige Männer) zu ermitteln
4. Erkannte statistische Schwankungen bzw. Extremwerte werden ausgeglichen, nach statistischen Grundsätzen eine gewisse Sicherheit hinzugefügt und damit „rechnungsmäßige“ Berechnungsgrundlagen für die Prämien gewonnen
5. Dann erfolgt ein Übergang zum „Determinismus“: mit den gewonnenen Berechnungsgrundlagen wird so gerechnet, als ob diese genauso eintreten werden, die Zufälligkeit bleibt in den Prämienberechnungen meist unbeachtet.
Beispiel: von 1000 zum Jahresbeginn versicherten 70jährigen Männern werden im nächsten Jahr 18,683 Promille, also 18,683 Personen sterben und am Jahresendenoch 981,318 vorhanden sein, die im nächsten Jahr 71jährig sind ....
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Determinismus (von lateinisch: determinare abgrenzen, bestimmen) ist eine
philosophische Denkrichtung, die davon ausgeht, alle Ereignisse liefen nach vorher
festgelegten Gesetzen ab. Deterministen vertreten die Meinung, dass bei bekannten
Naturgesetzen und bekanntem Anfangszustand der weitere Ablauf aller Ereignisse
prinzipiell vorausberechenbar sei. Es gibt verschiedene Varianten des
Determinismus, die mehr oder minder streng die Vorausberechenbarkeit aller
Ereignisse vertreten. Auffassung, derzufolge ein Geschehen gesetzmäßig bestimmt
abläuft. Die stillschweigende Anwendung des Determinismus ist Voraussetzung
jeder Wissenschaft.
Zufall Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht
beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als
zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und
Unberechenbarkeit oder Unvorhersehbarkeit sind jedoch nicht dasselbe.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Gegensatz: Kausalität: ein Ereignis wird von einem vorangegangenen bedingt.
Für die Praxis liegt ein Zufall auch vor, wenn – auch aus subjektiver Sicht – keine ausreichenden Informationen bekannt waren – oder nicht ausgewertet werden konnten – um das Ereignis vorherzusagen.
Beispiel 1: eine nicht erkennbare Infektion vor Reiseantritt führt während der Reise zwangsläufig zu einer – unvorhergesehenen - Krankheit, für die die Reisekranken-versicherung leistet.Beispiel 2: Der Versicherte reicht wie von Beginn an beabsichtigt alle drei Jahre eine Rechnung für eine neue Brille ein – so wie die Versicherungsbedingungen dies zulassen. Für den Versicherten ist dies kein Zufall, jedoch aus Sicht des Versicherers – er kann dies nicht vorhersehen.
Die versicherungsmathematische Prämienberechnung arbeitet mit einer deterministischen Gesetzmäßigkeit – für Kollektive, nicht für Einzelne.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Worin liegt der Unterschied zwischen einem deutschen und einem sizilianischen Versicherungsmathematiker:
Der deutsche Versicherungsmathematiker weiß, wieviele Versicherte jeden Alters im nächsten Jahr sterben werden, aber nicht, welche dies zufällig sind. Der sizilianische Versicherungsmathematiker kennt auch die Namen, die voraussichtlichen Todes- ursachen und –termine.
Problematisch ist, wenn der Versicherte selbst den Eintritt eines Schadenereignisses bei Abschluss der Versicherung vorhersehen kann. Wenn Zeitpunkt des Schaden- eintritts und die Schadenhöhe exakt vorhersehbar sind, ist die Prämie zwar besonders gut berechenbar – determiniert - aber die Versicherung macht kaum mehr Sinn. Die Prämien wären nämlich etwa so hoch wie der Schaden, es liegt also nur ein „Geldwechselgeschäft“ oder ein „Sparvorgang“ vor. Manche Versicherungsprodukte haben jedoch solche Elemente.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbetafeln
x = Alter einer Person in Jahren
lx = Lebende x-Jährige zu Beginn des Jahres
dx = rechnungsmäßig Sterbende eines Jahres zwischen Alter x und x+1
qx = dx / lx Wahrscheinlichkeit eines x-Jährigen, zwischen Alter x und x+1 zu sterben, Sterbewahrscheinlichkeit (in Promille) - Mortalität
Eine Sterbetafel ist eine Tabelle mit einer Sterbewahrscheinlichkeit qx zu jedem Alter x
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
PKV-Sterbetafel 2004 Männer
0,000000
0,050000
0,100000
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0,250000
0,300000
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
Ste
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lich
ke
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PKV-Sterbetafel 2004
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
PKV-Sterbetafel 2004 Männer vs. 94R/94T
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
Ste
rbew
ahrs
chei
nlic
hke
it
PKV-Sterbetafel 2004
94T
94R
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
PKV-Sterbetafel 2004 Männer vs. 94R/94T
0,000000
0,020000
0,040000
0,060000
Alter
Ste
rbew
ahrs
chei
nlic
hke
it
PKV-Sterbetafel 200494T94R
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbetafeln:- Bevölkerungssterbetafeln (z. B. vom Statistischen Bundesamt veröffentlicht)- Versichertensterbetafeln (z. B. von der Deutschen Aktuarvereinigung veröffentlicht)
Für die Kalkulation von Versicherungsprämien in der Lebens- und Krankenversicherung sind die besonderen Verhältnisse in Versichertenkollektiven relevant, die vom Geschlecht, der Tarifart, Bestandszusammensetzung, Risikoprüfung oder z. B. einer eingetretenen Invalidisierung (Invalidensterbetafeln) u. a. beeinflusst werden.
Bei Versicherungen mit Todesfallcharakter (z. B. Risikolebensversicherung) wird sicherheitshalber mit erhöhten Sterblichkeiten (94T) gerechnet, bei Versicherungen mit Erlebensfallcharakter (Rentenversicherung und PKV) mit vorsichtshalber niedrigeren Sterbewahrscheinlichkeiten.
Periodentafeln – wie PKV-Sterbetafel 2004 oder 94T – gehen in allen Altern von den Sterbewahrscheinlichkeiten des aktuellen Zeitraums – Periode – aus.Generationentafeln – wie 94R – basieren auf den hochgerechneten Sterblichkeiten einer Generation – z. B. Geburtsjahrgang 1955 – mit Anpassung für andere Generationen.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Entwicklung der Sterblichkeit
Der langfristige Sterblichkeitstrend geht – teilweise sogar beschleunigt – zu niedrigeren Sterblichkeiten und damit verbundener längerer Lebenserwartung.
In der Todesfall- und Kapitallebensversicherung führt dies zu Entlastungen, weil weniger Todesfalleistungen erbracht werden müssen.
In der privaten Rentenversicherung wird der Sterblichkeitstrend bereits eingerechnet – durch Verwendung von Generationentafeln. Diese müssen jedoch auch angepasst werden, wenn der tatsächliche Trend den zunächst in den Tafeln berücksichtigten übertrifft – zuletzt von Sterbetafel 87R auf 94R und derzeit auf 2004R.
In der privaten Krankenversicherung müssen die verwendeten Periodentafeln regelmäßig an den Trend angepasst werden, da die im Alter steigenden Leistungen für immer längere Zeit erbracht werden müssen. Durch die Möglichkeit der Beitragsanpassung muss nicht von vornherein so vorsichtig wie in der Rentenversicherung gerechnet werden.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbewahrscheinlichkeiten Männer (PKV)
0,000000
0,050000
0,100000
0,150000
0,200000
0,250000
0,300000
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
Ste
rbe
wa
hrs
ch
ein
lich
ke
it
ST 87R
St 2000
St 2001
St 2004
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbewahrscheinlichkeiten Männer (PKV)
0,000000
0,001000
0,002000
0,003000
0,004000
0,005000
0,006000
0,007000
20 25 30 35 40 45 50
Alter
Ste
rbe
wa
hrs
ch
ein
lich
ke
it
St 87R
St 2000
St 2001
St 2004
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Beispiel Absterbeordnung lx M PKV-Sterbetafel 2001/2004
0,00
100000,00
200000,00
300000,00
400000,00
500000,00
600000,00
700000,00
800000,00
900000,00
1000000,00
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
Leb
end
e
St 2001 M
St 2004 M
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Lebenserwartung
Die durchschnittliche fernere Lebenserwartung eines x-Jährigen ist die durchschnittliche Anzahl von Jahren, die ein x-Jähriger noch lebt – hier aus der Absterbeordnung berechnet:
ex = (lx + lx+1 + l x+2 + ... + l) / lx - 0,5 bezeichnet das Endalter (z. B. 100 oder 103)
Abzug von ½ Jahr, da Todeszeitpunkt durchschnittlich zur Jahresmitte
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
AusscheideordnungenDie Absterbeordnung der Lebenden lx ist eine Ausscheideordnung mit demeinzigen Grund Tod.
Andere Ausscheidegründe sind z. B.:- Storno (in der PKV)- Invalidisierung bzw. Reaktivierung (in der Berufsunfähigkeits- und
Erwerbsunfähigkeitsversicherung)- Wiederverheiratung (in der Witwenrentenversicherung)- Eintritt der Pflegebedürftigkeit (in der Pflegerentenversicherung)
Beispiel Storno in der PKV: Das sind alle vorzeitigen Abgänge bis auf den Grund Tod (Stornowahrscheinlichkeit):
wx = Wahrscheinlichkeit, zwischen Alter x und x+1 zu stornieren.
Die Ausscheidewahrscheinlichkeit insgesamt ist damit: qx + wx
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Stornowahrscheinlichkeiten - Wahrscheinlichkeitstafeln der BaFin 2001
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Prämienkalkulation- Äquivalenzprinzip- Prospektive Kalkulation- Barwerte von Prämien und Leistungen- Kostendeckung und Zillmerung
Die Kalkulation der Neuzugangsprämien erfolgt zunächst Netto – also ohne Einrechnung von Kosten für Abschluss, Verwaltung oder Schadenregulierung.
Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt, zu Versicherungsbeginn eines Versicherten ist:
Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen = Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien
Die Diskontierung erfolgt mit einem Rechnungszins, d. h. einem Zins, von dem man annimmt, dass er voraussichtlich sicher aus den Kapitalanlagen zu erwirtschaften ist.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung
Prämien und Versicherungsleistungen entsprechen sich nicht Jahr für Jahr im weiteren Versicherungsverlauf. So werden in der Lebensversicherung die Prämien als konstant kalkuliert, während die Sterbewahrscheinlichkeit mit dem Alter zunimmt. Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt dann:
Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen
= Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien +Deckungsrückstellung (bzw. Alterungsrückstellung)
Anders ausgedrückt ist die Deckungsrückstellung die Differenz:
Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen - Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien
Zum Versicherungsbeginn ist noch keine Deckungsrückstellung vorhanden, daher sind die beiden Barwerte für die Ermittlung der Neuzugangsprämien zum Eintrittsalter gleich.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung
Zu Versicherungsbeginn sind die laufenden Prämien in der Regel höher als die Leistungen.
Die Deckungsrückstellung wird vereinfacht ausgedrückt aus den Beitragsteilen aufgebaut und
mit dem Rechnungszins verzinst, die zunächst noch nicht für Leistungen benötigt
werden.
Man könnte daher Jahr für Jahr die (kalkulierten) Leistungen von den Nettoprämien abziehen
und den Betrag jeweils unter Verzinsung mit dem Rechnungszins aufaddieren und
weiterrechnen. Dies wäre eine sogenannte Retrospektive Kalkulation, weil sie auf dem
Vertragsverlauf in der Vergangenheit aufsetzt. In Ausnahmefällen kann dies zur Anwendung
kommen.
In aller Regel werden Deckungsrückstellungen jedoch aus den Annahmen für den zukünftigen
Vertragsverlauf berechnet – wie dies auch in den Barwertdifferenzen zum Ausdruck kommt:
dies bezeichnet man als Prospektive Kalkulation.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Beispiel:Sofort beginnende Leibrente ab Alter x – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1
Mit der Sterbetafel 94R (qx) für die Rentenversicherung ergibt sich die entsprechende
Absterbeordnung lx
Zu Beginn sind lx Versicherte vorhanden. Im nächsten Jahr vermindert sich diese Zahl durch Todesfälle auf
lx+1 = (1 – qx) * lx
Die Renten werden auf den Rentenbeginn diskontiert. Der jeweilige Barwert einer Zeitrente beträgt also vn für die im Alter x+n gezahlte Rente.Der Barwert der Leibrente – je zu Beginn
vorhandenem Renner - berücksichtigt, dass sie nur im Erlebensfall gezahlt wird: lx+n * vn / lx
Barwert der lebenslänglichen Leibrenten je x-jährigen Rentner (Ax für „Leistungsbarwert“):
Dieser Leistungsbarwert – bzw. „Rentenbarwert“ bedeutet, dass ein Versicherter im Alter 65 bei einem Rechnungszins von 2,75 % für einen Einmalbeitrag (netto ohne Kosten) von 14.762 Euro eine lebenslange Rente von jährlich im Voraus 1000 Euro versichern kann. Einmalbeitrag (an den Versicherer) und laufende Rente an den Versicherten sind gleich viel wert – d. h. haben bei einem Rechnungszins von 2,75 % den gleichen Barwert.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Im Alter 65 sind noch l65 = 887.626 Lebende vorhanden, im Alter 35 waren es noch l35 = 991.713. Zusätzlich ist noch weitere 30 Jahre – über die Aufschubzeit – zu diskontieren, also mit v30 = 0,443144. Der Barwert der aufgeschobenen Rente im Alter 35 ist also:
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Oder vereinfacht:
102-65 102-65
= D65 / D35 * ( D65+i ) / D65 = ( D65+i ) / D35
i = 0 i = 0
= 2246779 / 383727 = 5,855
Wie hoch ist der Barwert einer jährlich vorschüssigen Leibrente ab Alter 35 bis Alter 64?Offenbar die Differenz zwischen dem Barwert einer lebenslangen vorschüssigen Rente ab Alter 35 und dem Barwert einer 30 Jahre aufgeschobenen Rente im Alter 35:
102-35 102-65
30a35 = ( D35+i ) / D35 - ( D65+i ) / D35
i = 0 i = 0
64-35
= ( D35+i ) / D35 = 7788267 / 383727 = 20,296
i = 0 Das ist auch gleichzeitig der Barwert 30a35 von 30 jährlichen Prämien 1 ab Alter 35 bis 64
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine 30 Jahre aufgeschobene jährliche vorschüssige Rente 12.000 (also ab Alter 65) – netto :
12000 * A35,30 = 12000 * 5,855 = 70.260
Wie hoch ist die jährliche Prämie P für diese Rente, wenn diese von Alter 35 an jährlich vorschüssig 30 Jahre lang gezahlt wird?
Barwert der Prämien = Barwert der Leistungen, also:
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung
Wie hoch ist bei dem vorangegangenen Beispiel die Deckungsrückstellung der Todesfallversicherung gegen laufenden Beitrag (Leistung 1) nach m = 10 Jahren:
Die Deckungsrückstellung Vx,m ist allgemein die Differenz
Barwert der künftigen Leistungen – Barwert der künftigen Prämien
Nach 10 Jahren hat der Kunde das Alter 45 und die Versicherung läuft noch 20 Jahre:
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Wie berechnet sich die Prämie eines 35-jährigen für eine (gemischte) Kapitallebens-versicherung mit Ablaufleistung = Todesfalleistung Höhe 1, Laufzeit 30 Jahre? – netto :
Die Prämie für die Todesfalleistung wurde schon berechnet, fehlt also noch die
Ablaufleistung. Diese wird nur an die überlebenden (l65) ausgezahlt:
Dies wäre der Einmalbetrag (ohne Todesfalleistung). Die Jahresprämie ist dann:
P = A35,30 / 30a35 = 0,33886 / 19,662 = 0,01723
Dazu kommt die Jahresprämie für die reine Todesfalleistung (0,00705), ergibt zusammen 0,02428. Eine gemischte Kapitallebensversicherung auf Endalter 65 mit Leistung 100.000 € kostet also – netto für den 35-Jährigen 2.428 € jährlich.
Die nachfolgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung dieser gemischten Kapitallebensversicherung.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung
Die Kosten werden z. B. einmalig zu Beginn oder laufend in die Beiträge eingerechnet. Maßstab kann z. B. relativ zur Prämie, zur Versicherungssumme oder pro Kopf sein. Zusammen mit den Kostenzuschlägen ergibt sich aus der Nettoprämie die Bruttoprämie. Wegen der Vielfalt der Varianten soll hier nur speziell das Thema Zillmerung der
Abschlusskosten angesprochen werden. Die Nettoprämie ist – vereinfacht P = Ax / ax
Bei Zillmerung wird die (sogenannte gezillmerte) Netto-Prämie Pz aus der Summe von
Leistungsbarwert und Zillmerbetrag Z (bspw. 4 % der Versicherungssumme) errechnet:
Pz = (Ax + Z) / ax
Die Netto-Prämie wird also um den „Zillmerzuschlag“ Z / ax erhöht, z. B.: von 0,02428 um
0,04 / 19,662 = ,00203 auf 0,02631.
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung
Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert Ax ) wird durch die Zillmerung nicht
verändert. Die (sogenannte) gezillmerte Deckungsrückstellung wird jedoch mit der erhöhten gezillmerten Nettoprämie gerechnet:
Die gezillmerte Deckungsrückstellung ist also zu Beginn um den Zillmerbetrag Z negativ.Die folgende Grafik zeigt einen Verlauf der gezillmerten Deckungsrückstellung im Vergleich zur ungezillmerten:
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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung
Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung
Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung sind unterschiedliche versicherungsmathemati-sche Verfahren, wenn diese Begriffe auch teilweise synonym verwendet werden.. Jedes kann für sich bestehen, aber auch – wie in der Lebensversicherung – gemeinsam. Kapitaldeckungs-verfahren ohne Anwartschaftsdeckung gibt es noch z. B. im Rahmen der betrieblichen Altersversorgung; sie waren vor dem reinen Umlageverfahren auch in der gesetzlichen Rentenversicherung üblich.
Bei der reinen Kapitaldeckung in der Rentenversicherung werden während der Aktivenzeit für die Versicherten keine Deckungsrückstellungen (Anwartschaftsrückstellungen) gebildet. Erst bei Renteneintritt wird für den Versicherten der Barwert seiner künftigen Renten als Deckungsrückstellung zurückgestellt.
Da aber während der Aktivenzeit keine Rückstellungen gebildet wurden, muss der für diese Kapitaldeckung erforderliche Betrag woanders herkommen. Bei der gesetzlichen Renten- versicherung wurden die Kapitaldeckung für die Rentenverpflichtungen der jeweiligen Neurentner durch Umlage aus Beiträgen aller Aktiven aufgebracht. Im reinen Kapital-deckungsverfahren sind zwar alle laufenden Renten durch Kapital gedeckt. Es ist jedoch - wie ein reines Umlageverfahren – demografieanfällig, weil z. B. der letzte Neurentner das gesamte Kapital für seine Rente bei Rentenbeginn selbst aufbringen müsste.