Perturbazioni con trasporto di energia senza trasporto di materiapersonalpages.to.infn.it/~sacchi/didattica/du-tecnici/Lezioni/... · ⇒ le frequenze sono in rapporto armonico tra

Onde

Onde meccaniche:

• si propagano all’interno di un mezzo, solido o fluido;• caratterizzate dallo spostamento s di una particella dalla

posizione di equilibrio prodotto dalla perturbazione.

Onde elettromagnetiche:• perturbazione del campo elettromagnetico (s = E o B);• si propagano anche nel vuoto.

Perturbazioni dello stato di un corpo o di un campo che si propagano nello spazio con trasporto di energia ma

senza trasporto di materia.

caratteristiche comuni

onda elettromagnetica

→E

B

x

→

→λ

Bo

Eo

v→

→

→

onda meccanica(suono)

onda meccanica lungo una fune

onda meccanica lungo una molla

Fenomeni ondulatori

onda meccanica(superficie gas-liquido)

vibrazione propagazione

esempio :onda lungo una corda

vibrazione propagazioneesempio :onda di percussione in un solido

Onde trasversali e longitudinali

onde trasversali

onde longitudinali

Superfici d’onda

Punti dello spazio ove vi è - ad un certo istante – lo stesso stato di vibrazione del mezzo in cui l’onda si propaga.

Raggio di propagazione:

direzione perpendicolare alle superfici d’onda

Onda che presenta la stessa configurazione in intervalli spaziali e temporali successivi.

Onda periodica

)2(sen)()2(sen)(

2

1

ϕλπϕπ

+⋅⋅=+⋅⋅=

xAxsTtAts

A ⇒ ampiezzaT ⇒ periodo

Un’onda sinusoidale è un’onda periodica la cui descrizione è data da una semplice funzione trigonometrica

doppia periodicità: temporale e spaziale

λ ⇒ lunghezza d’ondaφ ⇒ fase

)(senTt

2sen),(

φω

φλ

π

+−⋅=

+

−⋅=

kxtA

xAtxs

ω = 2π/T ⇒ pulsazionek = 2π/λ ⇒ n.ro d’onda

Lunghezza d’onda [m] (λ)

Distanza, in un’onda periodica, fra due creste successive o fra due punti con uguale velocità (vettoriale).

Frequenza [Hz=s-1] (f)

Numero di ripetizioni di un’onda nell’unità di tempo.

Ampiezza (A)

Legata alla quantità di energia trasportata. L’unità di misura verrà specificata nel seguito.

fT

λλ

==c

Periodo [s] (T)

Intervallo di tempo fra due ripetizioni di onda uguali.

fT

1=

Velocità [m/s] (c)

Velocità di movimento della superficie d’onda.

Velocità delle onde acustiche nell’aria: c=344 m/s

Parametri di un’onda periodicax=cost.

t=cost.

Interferenza

Principio di sovrapposizione: quando due o più onde viaggiano in un mezzo, l’onda risultante è la somma degli spostamenti associati alle onde individuali.

Due onde con frequenze uguali o vicine ⇒ fenomeni di interferenza

+−⋅

⋅=

=+−⋅+−⋅==+=

2sen

2cos2

)(sen)(sen),(),(),( 21

φωφφωω

kxtA

kxtAkxtAtxstxstxs

φ = 0 ⇒ interferenza costruttiva, ampiezza raddoppiata

φ = π ⇒ interferenza distruttiva, ampiezza nulla

Esempio: due onde di uguale ampiezza che viaggiano nella stessa direzione con fasi diverse:

Interferenza: onde stazionarie

Due onde di uguale ampiezza che viaggiano in direzioni opposte danno luogo ad onde stazionarie

( ) ( )tkxAkxtAkxtA

txstxstxs

ωωω

sencos2)(sen)(sen

),(),(),( 21

⋅⋅==+⋅+−⋅=

=+=

Frequenza di oscillazione: f = ω/2π

Ampiezza di oscillazione dipende da x:

• kx = 0, π, 2π, .....⇒ interferenza distruttiva (nodo)

• kx = π/2, 3π/2, .....⇒ interferenza costruttiva

(antinodo o ventre)

Interferenza: battimenti

+

−+

⋅

−

−−

⋅=

=+⋅+−⋅==+=

xkk

txkk

tA

xktAxktAtxstxstxs

22sen

22cos2

)(sen)(sen),(),(),(

21212121

2211

21

ωωωωωω

Due onde di uguale ampiezza che viaggiano nella medesima direzione con frequenze leggermente diverse

da luogo a battimenti

Frequenza f=(f1+f2)/2

Lungh. d’onda λ=2(λ1 λ2)/(λ1+ λ2)

Frequenza f=(f1-f2)/2

Lungh. d’onda λ=2(λ1 λ2)/(λ1- λ2)

Un’onda “non sinusoidale” è chiamatacomplessa: essa può essere periodica, o no. Un’onda (o segnale) complessa può essere considerata come la somma (algebrica) disegnali sinusoidali ciascuno di data frequenza e intensità.

Se l’onda complessa è periodica (con periodo T), esso si può scomporre in un certo numero di onde sinusoidali le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza chiamata frequenza fondamentale.In questo caso le onde componenti prendono il nome di armoniche: la prima armonica è chiamata fondamentale e la sua frequenza è uguale a 1/T; la seconda armonica ha una frequenza 2/T, la terza armonica 3/T e così via.

Scomposizione di un’onda

Potenza P di una sorgente [W] È l’energia emessa da una sorgente (sonora) nell’unità di tempo.

Intensità di un’onda I [W/m2]Rappresenta l'energia trasportata dall’onda che nell'unità di tempo fluisce attraverso una superficie unitaria.

Variazione di intensità con la distanza dalla sorgente:

Sfera 1:

Sfera 2:

trascurando l’attenuazione del mezzo, P1=P2

Caratteristiche energetiche di un’onda

tSE

I∆⋅

=

21

11 4 d

PI

π=

22

22 4 d

PI

π=

122

21

2 Idd

I = L’intensità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente (legge del quadrato della distanza)

Superfici limite

Quando un’onda incontra una superficie che separa due mezzi, essa viene parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa. Esempi:

1. Corda vincolata ad una estremità

• onda riflessa ha la stessa ampiezza dell’onda incidente

• onda trasmessa ha ampiezza nulla (riflessione totale)

• onda riflessa cambia segno (cambiamento di fase di 180o)

2. Corda libera ad una estremità

• onda riflessa ha la stessa ampiezza dell’onda incidente

• onda trasmessa ha ampiezza nulla (riflessione totale)

• onda riflessa non cambia segno (nessun cambiamento di fase)

3. Casi intermedi: dipende dall’impedenza caratteristica del materiale

Per esempio, per una corda tesa vincolata ai due estremi, si ha

dove n=1 rappresenta la frequenzafondamentale e le frequenze maggiori sono le armoniche superiori.

Superfici limite ed onde stazionarie

),3,2,1(2

;2

L=

==

nl

ncf

nl

nnλ

In mezzi limitati spazialmente, interferenza e riflessione dannoluogo ad onde stazionarie con specifiche frequenze di

oscillazione (onde caratteristiche)

⇒ le frequenze sono in rapporto armonico tra loro

Oscillazioni di una membrana

⇒ le frequenze NON sono in rapporto armonico tra loro

punto di equilibriomolecola in moto

A x(t)

spostamenti delle particelle

compressioni e dilatazioni

fluidi :addensamenti e rarefazioni

onda di pressione che si propaga

vibrazione meccanica delle particelle di un mezzo materiale (gas, liquido, solido)

Onde acustiche

Onde acustiche

+

−∆=∆ φ

λπ

xpp o T

t2sen

Nota: in mezzi finiti (es. in una lamina di acciaio) le onde acustiche si propagano anche come onde trasversali !

5600 m/sVetro5100 m/sAlluminio3850 m/sLegno1570 m/sTessuto corporeo1480 m/sAcqua344 m/sAria (20 oC)

Velocità di propagazioneMateriale

NOTA: Nel passaggio tra due mezzi con diverse velocità di propagazione, la frequenza dell’onda si mantiene inalterata mentre varia la lunghezza d’onda.

Velocità di propagazione delle onde acustiche

57

; ≈==v

ps c

c

MRT

c γγ

Velocità di propagazione delle onde acustiche

Se si assume che l’aria sia un gas ideale, si ottiene

La velocità del suono aumenta con la temperatura

Propagazione delle onde acustiche in presenza di ostacoli

Vi sono diversi fenomeni legati alla propagazione di un’onda in presenza di ostacoli. Sono classificati come segue:

⇒ Riflessione

⇒ Diffrazione

⇒ Rifrazione

La fenomeno della diffusione non e` nient’altro che una combinazione di rifrazione e diffrazione.

Un’onda che incide su una superficie che separa due mezzi diversi viene parzialmente riflessa nel mezzo da cui proviene e parzialmente trasmessa (rifratta) nel nuovo mezzo.

Se la dimensione della superficie e` molto maggiore della lunghezza d’onda λ, la riflessione di un’onda puo` essere descritta con semplici leggi geometriche

Riflessione Rifrazione

Riflessione e rifrazione delle onde

Leggi di Snell e Descartes:

• I raggi incidente (i), riflesso (r), rifratto (t) e la normale (n) alla superficie giacciono sullo stesso piano;

• gli angoli di incidenza e di riflessione sono uguali:

• gli angoli di incidenza e di trasmissione (o rifrazione sono legati alle velocita` di propagazione dell’onda v1 e v2 nei due mezzi:

'11 θθ =

1

2

1

2

vv

sinsin

=θθ

Nota: se v1 < v2 esiste un angolo limite θc di incidenza oltre il quale l’onda viene interamente riflessa

Riflessione al suolo

Se sorgente ed ascoltatore sono entrambi al livello del suolo,

l’ascoltatore riceve sia il suono diretto che quello riflesso dal suolo (vedi

figura).

Nel punto di riflessione si verifica una inversione di fase. Se le onde diretta e riflessa avessero medesima ampiezza, l’interferenza risulta distruttiva e la pressione acustica risulterebbe nulla.

Nella pratica si osserva sperimentalmente una zona d’ombra, a qualche dicina di metri dalla sorgente, dove la pressione acustica decresce piu` rapidamente di quanto previsto dalla propagazione in campo libero. L’entita` dell effetto dipende dalle caratteristiche del suolo (umidita`,...) e dalla copertura (neve, erba,....).

Se un fronte d’onda piano che avanza in direzione parallela al suolo incontra un gradiente termico verticale, il fronte d‘onda si deforma acausa degli effetti di rifrazione come indicato in figura:

•Se il gradiente e` negativo

⇒ deflessione verso l’alto;

⇒ zona d’ombra;

•Se il gradiente e` positivo

⇒ deflessione verso il basso;

⇒ focalizzazione.

MRT

cs γ=

Effetti del gradiente termico

I fronti d’onda di un’onda piana quando passano attraverso una fenditura o incontrano uno spigolo vengono incurvati. L’onda dopo l’ostacolo non ha più un fronte piano;

⇒ l’onda si propaga nella zona d’ombra geometrica.

L’angolo di curvatura dipende dalla larghezza della fenditura e dalla lunghezza d’onda dell’onda incidente.

Dove λ: lunghezza d’onda incidented: larghezza fenditura

ediffrazion nessuna ,0

parziale ediffrazion ,2

0

direzioni le in tutte ediffrazion ,2

=⇒<<

<<⇒<

=⇒≥

ϑλ

πϑλ

πϑλ

d

d

d

dsen

λϑ ≈

Grazie al fenomeno della diffrazione, le onde acustiche possono aggirare gli ostacoli.

Questo fenomeno e` tanto piu` efficiente quanto maggiore e` la lunghezza d’onda.

Diffrazione delle onde

La diffrazione e` la ragione per cui una barriera di rumore o uno schermo acustico non sono cosi` efficienti come ci si aspetterebbe con considerazioni di acustica geometrica.

Lo schermo deve essere posto il piu` vicino possibile alla sorgente. La sua altezza dipende dall’intervallo di frequenze che si vogliono schermare poiche` gli effetti di diffrazione dipendono dalla lunghezza d’onda.

In generale l’efficienza di uno schermo e` minore per suoni a bassa frequenza.

Nota: Gli effetti di riflessione sul suolo devono anche essere tenuti in conto nel calcolo della dimensione di una barriera.

Barriere di rumore

Effetto Doppler

La frequenza percepita da un ascolatatore dipende dal moto

relativo della sorgente e dell’ascoltatore.

oa f

cc

f ⋅

±

=′ v

Esempio: suono di un clacson di automobile che passa:

I) Sorgente in quiete, ascoltatore in movimento

va = velocità dell’ascoltatorefo = frequenza del suono emessof’ = frequenza percepita dall’ascolatatore

+ ⇒ ascoltatore che si avvicina- ⇒ ascoltatore che si allontana

Si ottiene:

II) Sorgente in movimento, ascoltatore in quieteEffetto Doppler

vs = velocità della sorgentefo = frequenza del suono emessof’ = frequenza percepita dall’ascolatatore

os

fc

cf ⋅

±

=′v

+ ⇒ sorgente che si allontana- ⇒ sorgente che si avvicina

Si ottiene:

Esempio: una sirena emette una suono di frequenza fo = 1000 Hz. Assumendo c = 344 m/s:

se l’ascoltatore si allontana dalla sirena con va = 15 m/s;

f’ = 956 Hz

se la sirena si allontana dall’ascoltatore con vs = 15 m/s

f’ = 958 Hz

Effetto Doppler

• se vs = c (Mach 1)i fronti d’onda si addensano sulla sorgente ⇒ onda d’urto

• se vs > c (velocità ultrasonica)la sorgente è in anticipo rispetto al suono

Muro del suono ⇒

⇒ fronte d’urto di forma conica (cono di Mach)

Onde acustiche stazionarie: tubo cilindrico

),3,2,1(2

;2

L=

==

nL

ncf

nL

nnλ

),3,2,1(4

)12(;

)12(4

L=

−=

−=

nL

cnf

nL

nnλ

tubo aperto tubo chiuso ad una estremità

⇒ armoniche pari e dispari ⇒ solo armoniche dispari

SUONO

onda sonora :

orecchio umanosensibilità

20 Hz < f < 2 104 Hzinfrasuoni ultrasuoni

v = λ f

varia = 344 m s–1

vH2O = 1450 m s–117.2 m < λ < 1.72 cm72.5 m < λ < 7.25 cm

SUONO

caratteristiche di un suono

altezza frequenza

timbro composizione armonica

intensità energia ∆S ∆t

Orecchio esterno:

Il canale uditivo (l ~ 25 mm) funge da risonatore alla frequenza di circa 3000 Hz.

Orecchio medio:

Il sistema di ossicini (leva di Io

tipo) trasmette le vibrazioni del timpano all’orecchio interno tramite la finestra ovale.

Orecchio interno:

E` un sistema idrodinamico complesso (coclea) contenente un fluido (perilinfa) e i recettori nervosi (cellule ciliate).

L’orecchio umano è sensibile a fluttuazioni di pressione fino a 10-5 Pa (10-10 atm) !!

Orecchio umano

Per un’onda piana progressiva armonica si ha:

dove

rappresenta l’impedenza acustica caratteristica del mezzo, e

la pressione efficace

o

eff

o

o

Z

p

Zp

I22

2=

∆=

2o

effp

p∆

=

so cZ ρ=

Impedenza acustica

In aria (20 oC):

In acqua (20 oC):

Nei solidi:

msPaZsmcmkg os ⋅=⇒== 420343;225,1 3ρ

msPaZsmcmkg os ⋅×=⇒== 63 1048,11484;998ρ

NOTA: in aria ( )

• Limite di percettibilita` (IP = 10-12 W/m2)

• Soglia del dolore (ID = 1 W/m2)

msPa420 ⋅=oZ

atm102Pa102 105 −− ×≈×=⋅= oPeff ZIp

atm102Pa20 4−×≈=⋅= oDeff ZIp

L’orecchio umano è sensibile a fluttuazioni di pressione fino a 10-5 Pa (10-10 atm) !!

L’orecchio umano è sensibile ad intensità sonore tra 10-12 W/m2 e 102 W/m2. Tuttavia, la sensazione uditiva non è proporzionale all’intensità sonora, ma approssimativamente al suo logaritmo.

Livello di intensità sonora IL [dB]E` definito come il logaritmo del rapporto fra l’intensità misurata rispetto ad una intensità di riferimento (I0):

dB][log100

10 II

IL =

Il decibel

Per convenzione internazionale:

I0 = 10-12 W/m2 (minima intensità percepibile dall’orecchio)

10-12 W/m2 a 102 W/m2 → tra 0 e 140 dB

Intensità sonora (W/m2)

Livello d’intensità

(dB)

Condizione ambientale Effetto sull’uomo

102 140 Soglia del dolore 1 120 Clacson potente, a un metro

Lesioni dell’orecchio nel caso di ascolto prolungato

10-1 110 Picchi d’intensità di una grande orchestra

10-2 100 Interno della metropolitana 10-3 90 Picchi di intensità di un pianoforte

Zona pericolosa per l'orecchio

10-4 80 Via a circolazione media 10-4,5 75 Voce forte, a un metro 10-5 70 Conversazione normale, a un metro 10-6 60 Ufficio commerciale

Zona di fatica

10-7 50 Salotto calmo 10-8 40 Biblioteca

Zona di riposo (giorno)

10-9 30 Camera da letto molto calma 10-10 20 Studio di radiodiffusione 10-12 0 Soglia di udibilità

Zona di riposo (notte)

Grafico dell’acuità uditiva in relazione a intensità e frequenza

Acuità uditivaliv

ello

di i

nten

sità

, dB

frequenza, Hz

Percentuale della

popolazione la cui acuità

uditiva sta al di sotto della

curva indicata

La curva corrispondente all 1% è assunta come soglia di udibilità.

Soglia del dolore

Curve isofoniche

Il livello di sensazione sonora (Phon) è posto uguale al livello di intensità alla frequenza di 1000 Hz.