Pertemuan 3.pdf

7/16/2019 Pertemuan 3.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 1/22

DinamikaStruktur

-Redaman-

4 sks

Jurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya



REDAMAN

•

Redaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadi satu siklus gerak bolakbalik

• Redaman timbul karena ada gesekan internaldalam bahan ketika mengalami gerakan.

• Redaman bisa juga berasal dari bantalaneksternal yang sengaja dipasang seperti padarel kereta api

• Redaman internal dapat berasal dari gesekanmikro bahan, dapat pula dari gesekan dalamsambungan tidak rigid.

• Model redaman yang paling sering dipakaiadalah model dashpot .

• Selain model dashpot , dapat juga dipakai modelCoulomb, yaitu redaman yang berasal dari friksidan berbanding lurus dengan simpangan dan

arah gerakan



MODEL REDAMAN DASHPOT

Model redaman dashpot adalah model gaya redaman

yang berbanding lurus dengan kecepatan.

Getaran bebas redaman viscous



MODEL REDAMAN COULOUMB

Struktur dengan redaman cou loumb mempunyai persamaan

gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah

diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun responakibat adanya gaya luar

Redaman yang berasal dari friksi dan berbanding luru

dengan simpangan dan arah gerakan.



MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN

• Redaman digunakan untuk menghentikan getaran bebas dari suatu

struktur.

• Gaya redaman berbanding linier terhadap konstanta dashpot (c) dan

kecepatan gerak (V)

mP(t)

K2K1 K,c

mP(t)

P(t)m

x

K

Ic

P(t)I

f s

f d



PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN

Persamaan kesetimbangan dapat ditulis:

)(

)(0

...

...

t P kx xc xm

kx f xc f xm I

t P f f I H

sd

sd

Solusi persamaan difensial:

pt

pt

pt

Ae pdt

xd

pAedt

dx

Ae x

2

2

2

……(16)

……(17)

……(18)

……(19)



Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16)

0

0

2

2

pt

pt pt pt

Aek cpmp

Aek pAec Ae pm

02 pt Aek cpmp

Solusi nontrivial:

Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:

……(20)

……(21)

m

k

m

c

m

c p

2

2,122

Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:

t pt p

Be Ae x21

Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktor dibawah

akar apakah positif atau negatif.

p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponen

p imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang

(22)

……(23)



FAKTOR REDAMAN

0222

22

2,1

m

k

m

c

m

k

m

c

m

c p

Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0

Maka,

cr cmk

m

k mc

m

k

m

c

m

k

m

c

22

2

02

2

2

Ccr disebut dengan faktor redaman kritis

Keadaan redam an kri t is adalah batas antara redam an

berlebih (ov er damped) dan redaman kur ang (un der

damped)

Kasus Redaman Kritis……



Pada kondisi redaman kritis,

m

c p

m

k

m

c

m

k

m

c

m

c p

2

0222

22

2,1

Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

t m

c

pt

Ae Ae x

2

……(24)

……(25)

Kasus Redaman Kurang (Under-damped)……Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman kritis(c < ccr)

2

2,1

22

2,1

22

222

m

c

m

k i

m

c p

m

k

m

c

m

k

m

c

m

c p

……(26)

t pt p Be Ae x 21



Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, makadigunakan persamaan Euler:

t Sinit Cose

t Sinit Cose

it

it

Sehingga, solusi persamaan gerak adalah:

2

2

2

m

c

m

k

t Sin Bt Cos Ae x

D

D D

t m

c

……(27)

……(28)

……(29)

……(30)

Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk:

cr

cr

D

D

c

c

c

c

mk

c

11

41

2

2

2

2

……(31)

……(32)

……(33)



Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)……

Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari

koefisien redaman kritis yaitu:

cr

cr

ccc

c1 ……(34)

t pt p Be Ae x 21

Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran

bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23)…

..

Kurva hubungan perpindahan-waktu untuk kondisi redaman yangberbeda



MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN

Terdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu:

Metode setengah amplitudo

Metode pengurangan logaritmik

D

D

T

Q

P

T

e x

x D

2

METODE SETENGAH AMPLITUDO

……(35)

……(36)

Dimana:xP = perpindahan awalxQ = perpindahan setelah 1 siklusξ = faktor rasio redamanω = frekuensi naturalTD = periode teredam



METODE PENGURANGAN LOGARITMIK

D

Q

P T x

x

ln

21

22

D

DT

21

2

DT

……(37)

……(38)

Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasio redaman:

Dimana:

xP = perpindahan awal

xQ = perpindahan setelah 1 siklus

ξ = faktor rasio redaman

ω = frekuensi natural

TD = periode teredam

δ = pengurangan logaritmik

ωD = frekuensi teredam



Contoh 5

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak

dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan.

Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan

bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik

a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.



Jawab

Pada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.

Hz125.34.0

putaran25.1

s f n

rad/s6.19)125.3)(28.6(2 nn f

s f

T n

n 32.0125.3

11



Contoh 6Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan

K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak

1,0 dan 0,85.Tentukan:

• Frekuensi natural

• Pengurangan logaritmik

• Faktor rasio redaman

• Faktor redaman

• Frekuensi teredam

Jawab

detik rad 78,27

386/10

20

m

k

SPS f 42,4

2

78,27

2

Frekuensi natural:



165,085,0

1lnln

2

1 x

x

0256,0

165,014,32

165,0

21

2

2

Pengurangan logaritmik:

Faktor rasio redaman:

Faktor redaman:

in

dtk lbcc cr 037,0

386102020256,0

Frekuensi teredam:

dtk rad

D 422,270256,0178,2712



Contoh 7

Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang sama

dan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimental

telah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal pada

lantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakan

redaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan:

• Frekuensi natural tak teredam

• Koefisien redaman absolut dan redaman kritis• Jumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan

berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in.

Jawab

inlbk xk P /100001,0

1000.

detik

rad 06,31

386/4000

10000

m

k

Frekuensi natural:



in

dt lbmk ccr

. 8,643386/4000.1000022

314,0

05,01

05,014,32

1

2

22

in

dtk lbcc cr 19,328,64305,0

Faktor redaman kritis:

Pengurangan logaritmik:

Faktor redaman absolut:

37,1314,0ln

Q

P

Q

P

x

x

x

x

Frekuensi teredam:

dtk rad

D 02,3105,0106,31122



siklus833,70,314

10ln314,0

01,0

1,0ln

...ln

....1

2

1

1

k k

k x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Q

P

Q

Q P

Q

P

Periode teredam:

det2025,0

02,31

14,322

D

DT

Waktu untuk 8 siklus:

det62,1det2025,088siklus8 DT t



Contoh8

EI=400 KN/cm2

K = 2 N/cm

L=100 cm

c = 200 kg/dtk

m = 1000 kgTentukan solusi persamaan gerakdari struktur pada gambar

disamping.

Jawab

Kekakuan balok: N/cm1,2KN/cm0012,0100

4003333

cm KN

L

EI k

Kekakuan balok danpegas: 2

kg/dt320 N/cm2,3 22,1

pegasbalok paralel k k K

Frekuensi natural: detik rad 56,0

1000

320

m

k



i

m

k

m

c

m

c p

55,01,032,001,01,0

22

2

2,1

Keadaan redaman kurang (under-damped)

55,0

32010004

200156,0

41

22

mk

c D

Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redamankurang (under-damped) adalah:

t Sin Bt Cos Ae

t Sin Bt Cos Ae x

t

D D

t m

c

55,055,0

1,0

2

Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0

Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0 t Cose x t

55,03,01,0

Pengurangan simpangan setelah 10 detik adalah 0,369 kali simpangan awal.

Pertemuan 3.pdf

Documents