-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
1
UNIVERSITATEA DE STAT
„BOGDAN PETRICEICU HASDEU”
DIN CAHUL
CONFERINŢA ŞTIINŢIFICĂ
INTERNAȚIONALĂ
PERSPECTIVELE ȘI PROBLEMELE
INTEGRĂRII ÎN SPAȚIUL EUROPEAN
AL CERCETĂRII ȘI EDUCAȚIEI
5 IUNIE 2015
Volumul II
Atelierul IV. Științe exacte și inginerești
Atelierul V. Științe pedagogice şi psihologice
Atelierul VI. Științe istorice şi ştiinţe sociale
Atelierul VII. Științe filologice: limba și literatura
română
Atelierul VIII. Științe filologice: limbi moderne
CAHUL
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
2
Descrierea CIP ″Perspectivele și problemele integrării în
spațiul european al cercetării și educației″, conferința
științifică internațională (2015 ; Cahul). Conferința științifică
internațională ″Perspectivele și problemele integrării în spațiul
european al cercetării și educației″, 5 iunie 2015 / com. șt.:
Ioan-Aurel Pop [et al.]. – Cahul : US Cahul, 2015 (Tipogr.
"Centrografic"). – ISBN 978-9975-914-98-7. Vol. 2 : Atelierul 4 :
Științe exacte și inginerești ; Atelierul 5 : Științe pedagogice și
psihologice ; Atelierul 6 : Științe istorice și științe sociale ;
Ateliereul 7 : Științe filologice: limba română ; Atelierul 8 :
Științe filologice: limbi moderne. – 2015. – 451 p. – Antetit.:
Univ. de Stat "Bogdan Petriceicu Hasdeu" din Cahul. – Texte : lb.
rom., rusă. – Bibliogr. la sfârşitul art. – 100 ex. – ISBN
978-9975-88-000-8. 082:378=135.1=161.1 P 52
ISBN 978-9975-914-98-7.
978-9975-88-000-8.
CZU 082:378=135.1=161.1
P 52
Universitatea de Stat „Bogdan Petriceicu Hasdeu” din Cahul
Conferința științifică internațională
„Perspectivele și Problemele Integrării în Spațiul European al
Cercetării și Educației”,
5 iunie 2015
Volumul II
Atelierul IV. Științe exacte și inginerești
Atelierul V. Științe pedagogice şi psihologice
Atelierul VI. Științe istorice şi ştiinţe sociale
Atelierul VII. Științe filologice: limba și literatura
română
Atelierul VIII. Științe filologice: limbi moderne
Materialele incluse în prezenta ediţie sunt recomandate de
catedrele de profil şi aprobate spre
publicare de către Senatul Universităţii de Stat „B. P. Hasdeu”
din Cahul (proces verbal nr. 01
din 03 septembrie 2015).
ISBN 978-9975-914-98-7.
978-9975-88-000-8.
Universitatea de Stat „Bogdan Petriceicu Hasdeu” din Cahul
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
3
COMITETUL ȘTIINȚIFIC
Ioan-Aurel Pop, prof.univ., dr., academician al Academiei
Române, rector, Universitatea
„Babeș-Bolyai” din Cluj-Napoca
Iulian Gabriel Bîrsan, prof.univ., dr. ing., rector,
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați
Andy Pușcă, prof.univ., dr., rector, Universitatea „Danubius”
din Galați
Daniel Valer Breaz, prof.univ., dr., rector, Universitatea „1
Decembrie 1918”, Alba Iulia
Lilia Pogolșa, conf. univ., dr. hab., director, Institutul de
Științe ale Educației
Elena Bulatova, prof.univ., dr.hab., prorector, Universitatea de
Stat din Mariupol
Ion Șișcanu, prof.univ., dr.hab., vicedirector, Institutul de
Istorie al AȘM
Florin Tudor, prof. univ., dr., decan, Universitatea „Dunărea de
Jos” din Galați
Tudorel Toader, prof.univ., dr., decan, Universitatea „Al.I.
Cuza” din Iași
Vladimir Guțu, prof. univ., dr. hab., decan, Universitatea de
Stat din Moldova
Dmitrii Parmacli, prof.univ., dr.hab., Universitatea de Stat
„B.P. Haşdeu” din Cahul
Andrei Popa, prof.univ., dr.hab., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Victor Axentii, conf.univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Ioana Aurelia Axentii, conf. univ., dr., Universitatea de Stat
„B.P. Haşdeu” din Cahul
Ludmila Balțatu, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Ion Certan, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Svetlana Bîrlea, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Valentina Cornea, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Sergiu Cornea, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Irina Todos, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Oxana Miron, conf. univ., dr., Universitatea de Stat „B.P.
Haşdeu” din Cahul
Oleg Bercu, lect. sup., dr., Universitatea de Stat „B.P. Haşdeu”
din Cahul
COMITETUL ORGANIZATORIC
Oleg Bercu Științe politice
Maxim Todorov Științe juridice
Irina Todos Științe economice
Liliana Ceclu Științe exacte și inginerești
Corina Radu Științe pedagogice şi psihologice
Grosu Liliana Științe istorice și științe sociale
Daniel Gălățanu Științe filologice
Stela Banu Serviciul Știință
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
4
CUPRINS
Atelierul IV. ȘTIINȚE EXACTE ȘI INGINEREȘTI
BAGRIN Dumitru, CALCULUL DIFERENȚIAL ȘI CALCULUL INTEGRAL ÎN
INGINERIE................................ 7
MACRIȚCHI Natalia, DEPĂŞIREA DIFICULTĂŢILOR MATEMATICE ÎN
PROCESUL REZOLVĂRII
PROBLEMELOR DE FIZICĂ……………………………………………………………………………………………………
34
POPOVICI Ilona, INFORMATICA CREATIVĂ CU SCRATCH ... ȘI NU
NUMAI.................................................... 42
MOCANU Anastasia, ROLUL ȘI IMPORTANȚA SOCIO – ECONOMICĂ A
CERCETĂRII STATISTICE A
VENITURILOR POPULAȚIEI DIN REPUBLICA
MOLDOVA.................................................................................
...
48
Atelierul V. ȘTIINȚE PEDAGOGICE ȘI PSIHOLOGICE
СЕМЕНЮК Евгений, О НЕОБХОДИМОСТИ УГЛУБЛЕНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ
КУРСА
СИСТЕМАТИКИ НИЗШИХ РАСТЕНИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО
ЦИКЛОВ НА
БИОЛОГО-ПОЧВЕННОМ
ФАКУЛЬТЕТЕ...............................................................................................................
52
MELNIC Natalia,TIMPUL STUDENTULUI; RELAŢIA DINTRE TIMPUL DE
STUDII, EXTRACURRICULAR
ŞI TIMPUL
LIBER…………………………………………………………………………………………………...…………..
54
BUGA Oleg, MELNIC Natalia, TACTUL PEDAGOGIC-ASPECT ESENŢIAL AL
RELAŢIILOR EDUCATOR –
EDUCAT…………………………………………………………………………………………………………………………….
57
BUGA Oleg, MELNIC Natalia, DESPRE EDUCAŢIA ESTETICĂ ŞI
PSIHO-FIZICĂ A PERSONALITĂŢII
AESTHETIC EDUCATION AND PSYCHO-PHYSICAL OF
PERSONALITY.............................................................
60
GÎDEI Silvia, RISCUL DE RECIDIVĂ ȘI STRATEGIILE MOTIVAȚIONALE
PENTRU SCHIMBAREA
COMPORTAMENTULUI
DELINCVENȚILOR………………………………………………………………..……………...
62
NICORICI Maria, MIJLOACELE DE ÎNVĂŢĂMÂNT – SUPORT DIDACTIC ÎN
REALIZAREA ORELOR DE
BIOLOGIE.....................................................................................................................
................................................
67
PAVLOV Zinaida, EDUCAȚIA PENTRU CARIERĂ A ADOLESCENȚILOR
REALIZATĂ ÎN
PARTENERIAT EDUCAȚIONAL
ȘCOALĂ-COMUNITATE………………………………………………...............
72
БУРАГА (НАСТАУШЕВА) Наталья, РОЛЬ ЛИЧНОСТНЫХ РЕСУРСОВ В
ПОДДЕРЖАНИИ
УВЛЕЧЕННОСТИ РАБОТОЙ
ПЕДАГОГОВ.................................................................................................................
77
POPOV Valeriu, COJOCARU Natalia, STRATEGII DE MOTIVARE
NON-FINANCIARĂ LA ANGAJAŢII DIN
SECTORUL FINANCIAR
BANCAR……………………………………………….…………………………………………...
84
PANIŞ Aliona, COORDONATE ALE MANAGEMENTULUI RELAŢIILOR ÎN CLASA
DE ELEVI………………... 85
MATAS Viorica, INTEGRAREA ŞCOLARĂ: ANALIZA COMPARATĂ A TINERILOR
ABSOLVENŢI AI
GIMNAZIILOR INTERNAT ŞI TINERI ELEVI AI ŞCOLILOR DIN
COMUNITATE.....................................................
90
VASILACHI Ludmila, ANALIZA TEORETICO-CONCEPTUALĂ A CONTROLULUI
CIVIL ASUPRA
FORŢELOR
ARMATE.......................................................................................................................
............................
93
AFANAS Aliona, FORMAREA PROFESIONALĂ CONTINUĂ A CADRELOR
DIDACTICE: VIZIUNI
COMPARATIVE....................................................................................................................................................................
97
LEANCĂ Viorica, DACIN Octavian, AUTORITATEA COMANDANTULUI ÎN
COLECTIVUL MILITAR......... 101
AXENTII Ioana, PREMISE ALE ABORDĂRII EDUCAȚIEI ȘI SOCIALIZĂRII
INDIVIDULUI ÎNTR-O EPOCĂ
A MARILOR
SCHIMBĂRI....................................................................................................................
.........................
106
LUCHIAN Teodosia, FACTORII DETERMINANȚI AI SUCCESULUI ACADEMIC
ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL
UNIVERSITAR..................................................................................................................
............................................
110
STANCIUC Zinaida, ANALIZA CURRICULUMULUI DE EDUCAŢIE TIMPURIE
DIN ROMÂNIA...................... 114
COJOCARI-LUCHIAN Snejana, IURESCU Diana, PARTICULARITĂȚI
METODOLOGICE ALE
PROCESULUI DE PROIECTARE STRATEGICĂ CALITATIVĂ A INSTITUȚIEI DE
ÎNVĂȚĂMÂNT......................
118
MALDUR Inga, EVOLUŢIA ÎN CARIERĂ – PREMISĂ A EDUCAŢIEI
PERMANENTE A ADULŢILOR............... 121
DUMINICĂ Stella, ANALIZA PRACTICILOR INTERNAȚIONALE DE
ELABORARE/ DEZVOLTARE A
STANDARDELOR EDUCAȚIONALE ÎN ÎNVĂȚĂMÂNTUL
PREȘCOLAR................................................................
126
MIHAILOV Veronica, GESTIONAREA EMOŢIILOR ŞI SENTIMENTELOR LA
ADOLESCENŢI ÎN
CONTEXTUL ÎNVĂŢĂRII PE TOT PARCURSUL
VIEŢI……………………………………………………………….…..
129
COMAN Liliana, DEZVOLTAREA PRTENERIATULUI PĂRINTE-COPIL PENRTU
EFICIENTIZAREA
PROCESULUI DE
EDUCAŢIE.....................................................................................................................
.........
133
STRAISTARI-LUNGU Cristina, CADRUL LEGAL EUROPEAN CU REFERIRE LA
STUDIEREA LIMBILOR
STRĂINE ÎN
GRĂDINIŢĂ....................................................................................................................
.........................
137
ŞLEAHTIŢCHI Mihail, VÎRLAN Maria, PARTICULARITĂŢILE DE
COMUNICARE ALE TINERILOR
DELINCVENŢI......................................................................................................................................................................
141
FRUNZE Olesea, MATURITATEA ŞCOLARĂ A COPIILOR CU DEFICIENŢE
SEVERE DE VEDERE................ 145
GOLOVEI Lilia, ASPECTE PSIHOLOGICE ALE DEPISTĂRII ȘI
SOLUȚIONĂRII PROBLEMELOR
COMPORTAMENTALE LA ADOLESCENȚI DIN PERSPECTIVA ÎNVĂȚĂRII PE TOT
PARCURSUL VIEȚII.......
148
BATOG Mariana,VALORIFICAREA RESURSELOR INTERNE A PSIHOLOGILOR:
MODALITATE DE
EFICIENTIZARE A CALITĂȚII ASISTENȚEI PSIHOLOGICE IN SISTEMUL
EDUCATIONAL..............................
153
ILICCIEV Maxim, RELAȚIA DINTRE NIVELUL INTELIGENȚEI SOCIALE ȘI
REUȘITA ACADEMICĂ LA
STUDENȚI………………………………………………………………………………………………………………………….
157
ZOLOTARIOV Elena, CĂI VIABILE PENTRU A STIMULA INTELIGENŢA
SPIRITUAL-MORALĂ LA ELEVII
TREPTEI PRIMARE DE
STUDII.......................................................................................................................
...........
161
VASIAN Tatiana, SPRE O EDUCAȚIE TIMPURIE INCLUZIVĂ DE
CALITATE....................................................
165
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
5
RACU Jana, ASPECTELE PSIHOLOGICE ALE MATURITĂŢII
ŞCOLARE.................................................................................
169
LOSÎI Elena, DIFERENȚE DE GEN ÎN PERCEPEREA CLIMATULUI
PSIHOLOGIC AL ORGANIZAȚIEI.......... 172
CHIREV Larisa, DEZVOLTAREA RESPECTULUI DE
SINE...................................................................................
177
CERNEI Cristina, CAZAC Viorica, DESCRIPTORII DE PERFORMANŢĂ –
NECESITATE ACTUALĂ DE
CUANTIFICARE A CUNOŞTINŢELOR LA LIMBA ENGLEZĂ ÎN CONTEXTUL
INTEGRĂRII EUROPENE……..
180
USACI Doina, FRUNZE Lilia, CAZACU Tamara, INTEGRAREA EUROPEANĂ
LA NIVEL EDUCAȚIONAL:
PROVOCĂRI ŞI
AVANTAJE...........................................................................................................
..............................
188
DIȚA Maria, STRATEGII ȘI METODE DE LUCRU A ASISTENTULUI SOCIAL
CU EX-DEȚINUȚII ÎN
VEDEREA RESTABILIRII LEGĂTURII CU
FAMILIA………………………………………………………………………
192
ISAC Ştefania, PROMOVAREA DIMENSIUNILOR EUROPENE ÎN EDUCAȚIE ȘI
FORMARE
PROFESIONALĂ ÎN REPUBLICA
MOLDOVA………………………………………………………………………………
196
CHETRARI Viorica, IMPORTANȚA DEZVOLTĂRII STIMEI DE SINE ÎN
PROCESUL PROIECTĂRII
CARIEREI..............................................................................................................................................................................
203
HADÎRCĂ Maria, MODELUL COMUNICATIV-FUNCŢIONAL DE STUDIERE A
LIMBILOR: FACTOR
DE COERENŢĂ ŞI DE COMPATIBILIZARE EUROPEANĂ A EDUCAŢIEI
LINGVISTICE...............................
207
IUZU Iulianna, PETROVSCHI Nina, ABORDAREA PERSONALITĂŢII
ELEVILOR DE VÎRSTĂ ȘCOLARĂ
MICĂ ÎN CONTEXTUAL EDUCAȚIEI
SOCIALE.........................................................................................
..............
211
VRABIE Silvia, TEHNICI MODERNE DE INTERVENŢIE ÎN RECUPERAREA
AUTISMULUI……………………. 215
ТЮТЮННИК Лариса, ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ СТУДЕНТОВ
ВУЗОВ…...................... 220
RADU Corina, EFECTUL PROCESULUI DE MIGRAȚIE ASUPRA CALITĂȚII
RELAȚIEI PĂRINTE-COPIL….. 224
BARBĂ Maria, MIJLOACELE DE ÎNVĂȚĂMÂNT ÎN CADRUL INSTRUIRII ȘI
EDUCAȚIEI COPIILOR DE
VÂRSTĂ TIMPURIE ȘI
PREȘCOLARĂ................................................................................................
........................
229
SILISTRARU Nicolae, CERCETAREA ȘTIINȚIFICĂ ÎN
EDUCAȚIE......................................................................
234
CULICOVSCHI Galina, RĂDĂCINILE ISTORICE ALE PSIHODIAGNOZEI
VIZUALE.................................... 237
CULICOVSCHI Galina, ABORDĂRI CONTEMPORANE ALE DIAGNOZEI
PERSONALITĂŢII......................... 241
BALTAGA Nadejda, BĂTÎNEŢEA- PARTICULARITĂŢI SPECIFICE DE
VÎRSTĂ................................................. 243
ONOFREI Aliona, SPECIFICUL DISFUNCŢIILOR COMPORTAMENTALE LA
COPII RĂMAŞI TEMPORAR
FĂRĂ ÎNGRIJIRE PĂRINTEASCĂ CA REZULTAT AL MIGRĂRII PĂRINŢILOR LA
MUNCĂ ÎN STRĂINĂTATE..
246
RACU Igor, RACU Iulia, ANXIETATEA LA COPIII DE DIFERITĂ
VÎRSTĂ..........................................................
251
BÂLICI Veronica, VALORIFICAREA RELAȚIEI VALOARE-EDUCAȚIE ÎN
CONTEXTUL ITEGRĂRII
NAȚIONAL-EUROPENE.....................................................................................................................
.........................
254
BULAT Valeriu, PRINCIPIILE ȘI FUNCȚIILE MANAGEMENTULUI
EDUCAȚIONAL ÎN SISTEMUL DE
ÎNVĂȚĂMÎNT MILITAR………………………………………………………………………………………………………….
257
PAVLENKO Lilia, DEZVOLTAREA COMPETENŢELOR SOCIALE DIN
PERSPECTIVA INTEGRĂRII
EUROPENE.....................................................................................................................
.............................................
267
SLOBODANIUC Alina, IMPORTANȚA FORMĂRII COMPETENȚEI DE EXPRIMARE
ORALĂ ÎN LIMBA
STRĂINĂ DE SPECIALITATE LA VIITORUL FUNCȚIONAR
PUBLIC.....................................................................
270
PISCUNOV Nicolai, PISCUNOV Alexandra, ÎNVĂTAREA BAZATĂ PE
PROBLEME (PROBLEM BASED
LEARING)………………………………………………………………………………………………………………………...
275
Atelierul VI Științe istorice și științe sociale
CHICIUC Liudmila, SECVENȚE DIN ACTIVITATEA ILUSTRULUI ECONOMIST,
PROF.UNIV., TEODOSIE AL. ȘTIRBU, ÎN CADRUL INSTITUTULUI SOCIAL
ROMÂN DIN BASARABIA (1934-1940)……………………….
280
CERNOV Alexei, CONFLICTUL DIN TRANSNITRIA ŞI IMPACTUL ASUPRA
RELAŢIILOR ECONOMICE
DINTRE REPUBLICA MOLDOVA ŞI FEDERAŢIA RUSĂ
(2001-2006)...................................................................
288
COVALSCHI Stanislav, CRIVENCHII Alexei, EVOLUŢIA INSTITUŢIEI
DOMNIEI ÎN ŢARA MOLDOVEI
(SEC. XIV-XIX)…………………………………………………………………………………………………………………….
294
GHERASIM Cristina, ÎNCADRAREA ALOGENILOR ÎN RÂNDURILE NOBILIMII
DIN BASARABIA ÎN
SECOLUL AL
XIX-LEA..........................................................................................................................
.......................
297
IEŞANU Irina, IMPLEMENTAREA ȘCOLILOR RUSEȘTI ÎN RSSM – UN PROCES
EFICIENT DE
DEZNAȚIONALIZARE ȘI RUSIFICARE A TINEREI GENERAȚII
(1944-1953)........................................................
301
PĂDUREAC Lidia, MEMORII BASARABENE DESPRE REABILITAREA
DEPORTAŢILOR................................. 305
TOMULEŢ Valentin, CONTRIBUŢII ISTORIOGRAFICE PRIVIND STATUTUL
MAZILILOR ŞI RUPTAŞILOR
DIN BASARABIA ÎN PRIMA JUMĂTATE A SECOLULUI AL
XIX-LEA.....................................................................
310
LUNGU Polina, OPERA LUI ALEXANDRU BOLDUR PRIVIND ISTORIA
BASARABIEI: APRECIERI………..…. 319
Atelierul VII. ȘTIINȚE FILOLOGIE: LIMBA ȘI LITERATURA ROMÂNĂ
AXENTII Victor, TIPOLOGII ALE SITUAŢIILOR DE ELIPSĂ ÎN LIMBA
ROMÂNĂ............................................. 325
BALŢATU Ludmila, OPERA ŞI PERSONALITATEA LUI DUMITRU MATCOVSCHI
ÎN CONTEXTUL
LITERATURII
EUROPENE……………………………………………………………………………………………………...
329
ARSENII Andriana, VIBRAŢIILE SUFLETULUI FEMININ ÎN LITERATURA
ARTISTICĂ………………………… 334
BOBU Daniela, VALORI TRADIŢIONALE ALE EDUCAŢIEI ÎN FAŢA
EXIGENŢELOR INTEGRĂRII EUROPENE… 339
DAVID Ala, TEXTUL MEDICAL ÎN CONTEXTUL STUDIILOR PE TEXT
ACTUALE………………………………. 342
DERMENJI-GURGUROV Svetlana, AXAREA FORMĂRII PROFESIONALE
INIŢIALE LA LIMBA ŞI
LITERATURA ROMÂNĂ PE FUNDAMENTE PSIHOPEDAGOGICE ŞI
LINGVISTICO-LITERARE.......................
345
GĂLUŞCĂ Lilia, TEHNICI DE ÎMBOGĂŢIRE A VOCABULARULUI LA
STUDENŢII STRĂINI........................... 350
GOLUBIȚCHI Silvia, METODOLOGIA FORMĂRII CONCEPTELOR GRAMATICALE
ÎN CLASELE PRIMARE... 353
GROSU Liliana, TEORII ALE IMAGINĂRII ŞI IMAGINARULUI ÎN
REALITATEA POETICĂ.................................... 357
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
6
IORGA (LUNGEANU)Violeta-Teodora, SERGE DOUBROVSKY ŞI EXTENSIILE
CONCEPTULUI DE
AUTOFICŢIUNE…………………………………………………………………………………………………………………….
362
LUCHIANCIUC Natalia, PROFUNZIME ŞI FORŢĂ EXPRESIVĂ ÎN LIMBAJUL
MAXIMELOR LATINEŞTI...... 366
NEAGA Liliana, METODOLOGIA PREDĂRII GRAMATICII FUNCŢIONALE
STUDENŢILOR STRĂINI
(însuşirea cazului
acuzativ)………………………………………………………………………………………………………
369
PETCU Valeriana, FĂNUŞ NEAGU – EXPRESIE A REALITĂȚII
ROMÂNEŞTI..........................................................
373
PETRENCO Liuba, DEZVOLTAREA COMPETENŢEI DE SCRIERE LA LECŢIILE
DE LIMBA ROMÂNĂ ÎN
ŞCOLILE CU INSTRUIRE ÎN LIMBA
RUSĂ………………………………………………………………………………….
377
TECUCI Alexandru, NICOLAE TODOSĂ ŞI DRAGOSTEA DE BAŞTINĂ
(Recenzie la cărțile ,,Valea Dragă’’
și ,,Valea Dragă – vale-n
șușumele’’)...................................................................................................
........................
380
TUGAREV Laura, CADRU DE CONSTITUIRE A TEORIILOR MODERNE PRIVIND
ART JURNALISMUL........... 384
UNTILĂ Tatiana, STRATEGII DE PREDARE-ÎNVĂŢARE A VERBELOR
REFLEXIVE DIN LIMBA RUSĂ.......... 388
VICOL Nelu, BARNA Iulia, CÂMPUL LIMBAJULUI CA FUNDARE
PSIHOLINGVISTICĂ A COMUNICĂRII.. 391
VIZIRU-STEGARESCU Ana, ROLUL LIBERULUI ACCES LA INFORMAŢIE
PENTRU DEMOCRATIZAREA
SOCIETĂŢII...................................................................................................................
...............................................
394
Atelierul VIII. ȘTIINȚE FILOLOGICE: LIMBI MODERNE
BABÂRĂ Eugenia, TÎRSÎNĂ Daniela, THE OSMOSIS OF COMMUNICATIVE
COMPETENCES – THE
PROCESS OF ACQUISITION OF
KNOWLEDGE…………………………………………………………………………...
399
BOICO Dorina, ANALYZING COMPOUND WORD PROCESSING THROUGH THE
PERSPECTIVE OF
LINGUISTICS………………………………………………………………………………………………………………………
402
CHIRDEACHIN Alexei, UNITAŢI FONETICO-FONEMATICE ÎN CONTEXTUL
GLOTODIDACTICII:
CORAPORT ÎNTRE ASPECTELE CURRICULAR ŞI
COMUNICATIV.......................................................................
406
COLODEEVA Liliana, THE MODERNIST PSYCHOANALYTIC
APPROACH………………………………………. 409
GĂLĂŢANU Daniel, MADAME DE STAËL ET LES DEBUTS DU ROMANTISME EN
FRANCE……………….. 413
MAXIM Natalia, LA REVOLUTION FRANÇAISE ENVISAGEE DANS L’ŒUVRE
LITTERAIRE DE
VICTOR HUGO……………………………………………………………………………………………………………………
418
MORARU Ecaterina, LES EMPRUNTS. PROBLEMES D’INTEGRATION DES
ANGLICISMES………………….. 422
BABÂRĂ Nicanor, SANDU Tatiana, PARTICULARITĂȚI ȘI CONSIDERAȚIUNI
INTEGRALE STATUTARE
ALE DIFTONGULUI CENTRAL ENGLEZ /ˊeə/ (varianta
britanică).........................................................................
428
PAŞALÎ Nadejda, IMPORTANCE OF ENGLISH LOANWORDS IN ROMANIAN
LANGUAGE…………………... 432
PUŞNEI Irina, TEACHING WITH HUMOUR-AN APPROACH TO EFFICIENT
LANGUAGE LEARNING…… 435
PINTILII Alina, THE NOVELTY OF THE VICTORIAN
MOVEMENT………………………………………………… 438
СУЛАК Софья, МИЛКАН Елена, ЯЗЫКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЦЕЛЕЙ КАК
ПОРОЖДЕНИЕ НОВЫХ
ОТНОШЕНИЙ В ЕВРОИНТЕГРАЦИОННОМ
ПРОЦЕССЕ.................................................................................
441
USATÂI Larisa, ORTOGRAFIA ENGLEZĂ ÎN FORMAREA COMPETENŢILOR DE
PRONUNŢIE:
CORELAŢIA
ROSTIRE-SCRIERE..................................................................................................
..............................
445
BOZBEI Valentina, BUSINESS ENGLISH – GENERAL FEATURES AND
DIFFICULTIES IN TRANSLATING… 448
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
7
Atelierul IV. ȘTIINȚE EXACTE ȘI INGINEREȘTI
CALCULUL DIFERENȚIAL ȘI CALCULUL INTEGRAL ÎN INGINERIE
BAGRIN Dumitru, lector superior universitar,
Universitatea de Stat ”Bogdan Petriceicu Hasdeu” din Cahul
The extent of the application of mathematics in various Sciences
is diverse and depends on
many circumstances. The math is everywhere and, in principle,
the scope of its possibilities and
mathematization of science are not limited. These possibilities
depend, firstly, on the level of
development of mathematics, or the "maturity" of that domain,
taking into account the extent to which
it has gone from a qualitative research to formulation of
quantitative language’s equality, but the
structure of this science. If the foundation they contain a
relatively small number of original principles
(axioms), from which can be deduced many non-trivial
consequences (theorems), thus we have a
childbearing scope of mathematics, as examples of such sciences
we can mention mechanics,
astronomy and physics, ect.
1. Funcţii derivabile de o singură variabilă. Derivate.
Diferenţiale. Aplicaţii
1.1 Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct
Sunt cunoscute noţiunile de creştere a argumentului x ,
creşterea funcţiei
)).()(,( 00 xfxffxxxf De asemenea se cunosc problemele care
conduc la noţiunea de
derivată: tangenta la graficul unei funcţii y = f(x) în punctul
(x0 , y0); viteza instantanee a unui mobil,
ce se mişcă conform legii s = s(t), în momentul de timp t0 .
Definiţie. Se spune că funcţia f : ER, y = f(x) are derivată în
punctul de acumulare
REEx ,0 , dacă există limita raportului creşterii funcţiei către
creşterea argumentului când
creşterea argumentului tinde spre zero x
xfxxf
x
)()(lim 00
0.
Această limită se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0 şi
se notează )( 0xf .
Dacă, în plus, )( 0xf este finită, funcţia f se numeşte
derivabilă în punctul x0 .
Aşadar: x
xfxxfxf
x
)()(lim)( 00
00 (1)
Observații.
1. În punctele izolate ale mulţimii nu se pune problema
existenţei derivatei sau derivabilităţii funcţiei.
2. Funcţia f nu este derivabilă în punctul x0, dacă x
xfxxf
x
)()(lim 00
0 există şi este
infinită sau nu există.
3. Derivabilitatea funcţiei, similar cu limita şi continuitatea
funcţiei, este o proprietate locală a acesteia (valorile funcţiei
se cercetează doar într-o vecinătate a punctului x0)
1.
Revenind la exemplele din geometrie şi fizică, deducem:
a) mxf )( 0 este panta tangentei la graficul funcţiei y = f(x)
în punctul ),( 000 yxM cu
ecuaţia )())(( 000 xfxxxfy .
1 Ministerul Educaţiei al R. M., Achiri I. şi alţii „Matematică”
manual cl. XI, Editura Prut Internaţional, 2003, 304 pagini.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
8
b) )()( 00 tstv – viteza instantanee a unui mobil în momentul de
timp t0 este valoarea derivatei
vitezei în t0.
c) )()( 00 tvta – acceleraţia instantanee a unui mobil la
momentul t0 este valoarea derivatei
vitezei în t0.
În continuare vom studia derivata funcţiei pe un interval I.
Definiţie. Se spune că funcţia f : IR, unde intervalul IR este
derivabilă pe mulţimea M(M I), dacă ea este derivabilă în orice
punct din M1.
În acest caz, funcţia f : MR, care asociază fiecărui punct Mx (M
I), numărul real f (x)
se numeşte derivata funcţiei f pe mulţimea M. Operaţia prin care
din f se obţine f se numeşte derivare2.
Observaţie. Derivata funcţiei y = f(x) se notează: dy, df, d(f),
y , f . Şi se exprimă prin:
x
xfxxf
x
yxf
xx
)()(limlim)(
00(2)
Definiţie. Fie funcţia f : DR. Mulţimea punctelor în care
funcţia f este derivabilă se numeşte domeniul de derivabilitate a
funcţiei f, se notează: ., DDD ff
Exemple.
Să se arate că funcţia f : RR este derivabilă pe mulţimea R şi
să se calculeze derivata ei3:
a) 13)( xxf ; b) xxxf 23)( .
Rezolvare.
a) conform definiţiei (2) calculăm
x
xxx
x
xfxxf
xx
)13(1)(3lim
)()(lim
00 .3
3lim
0
x
x
x
Aşadar funcţia 13)( xxf este derivabilă în orice punct din R şi
.313)( xxf b) Avem
x
xxxxxx
x
xfxxf
xx
)3()()(3lim
)()(lim
22
00
x
xxxxxxxx
x
222
0
3363lim
.16
316lim
0
x
x
xxx
x
Funcţia xxxf 23)( este derivabilă în orice punct din R şi .163)(
2 xxxxf
1.1.1 Derivabilitate şi continuitate
Cunoaştem, că dacă 0lim0
yx
, atunci funcţia y = f(x) se numeşte continuă în punctul x;
funcţia y = f(x) se numeşte diferenţiabilă în punctul x, dacă
există derivata ei în acest punct, adică dacă
există limita )(lim0
xfx
y
x
.
Noţiunile de derivabilitate (diferenţiabilitate) şi continuitate
sunt legate reciproc prin
următoarea teoremă.
Teoremă: Dacă funcţia y = f(x) este diferenţiabilă într-un punct
oarecare, atunci ea este
continuă în acelaşi punct. Afirmaţia reciprocă este o condiţie
necesară (funcţia continuă într-un punct
poate să nu aibă derivată în acest punct).
Demonstraţie.
1 В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, «Краткий курс высшей
математики», Издательство «Наука», Москва 1975, 623 с. 2 Я. С.
Бугров, С. М. Никольский, «Высшая математика» 2, Дрофа 2003, 509 с.
3 Н. С. Пискунов, «Дифферен. Интегральное исчисления», том 1,
Издательство «Наука», Москва 1965, 548 с.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
9
Fie f : DR şi Dx un punct în care funcţia f este derivabilă,
adică există limita
)(lim0
xfx
y
x
.
Scriem identitatea 0,
xx
x
yy . Trecem la limită, când 0x :
.00)(limlimlim000
xfy
x
yy
xxx
Prin urmare funcţia f este continuă în acest punct.
Consecinţă. Dacă funcţia este discontinuă într-un punct
oarecare, atunci în acest punct funcţia
nu-i derivabilă.
Drept exemplu de funcţie continuă într-un punct dar nederivabilă
în el serveşte funcţia
xy .
Fig. 1
În punctul x = 0 funcţia este continuă dar nederivabilă, fiindcă
în acest punct nu există tangenta
la graficul ei.
1.1.2 Derivate laterale
Definiţie. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la stânga pentru
mulţimea E şi funcţia f :
ER. Limita 0
0)()(lim
0
0 xx
xfxf
xxxx
(dacă există), finită sau infinită, se numeşte derivata la
stânga a
funcţiei în punctul x0 . Se notează: ).( 0xfs
.)()(
lim)(0
00
0
0 xx
xfxfxf
xxxx
s
(3)
Definiţie. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la dreapta pentru
mulţimea E şi funcţia
f : ER. Limita 0
0)()(lim
0
0 xx
xfxf
xxxx
(dacă există), finită sau infinită, se numeşte derivata la
dreapta a
funcţiei în punctul x0 1. Se notează: ).( 0xfd
.)()(
lim)(0
00
0
0 xx
xfxfxf
xxxx
d
(4)
Definiţie. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la stânga
(respectiv la dreapta) pentru
mulţimea E. Funcţia f : ER se numeşte derivabilă la stânga
(respectiv, la dreapta) în punctul x0,
1 Ministerul Educaţiei al R. M., Achiri I. şi alţii „Matematică”
manual cl. XI, Editura Prut Internaţional, 2003, 304 pagini.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
10
dacă limita (3) (respectiv, (4)) există şi este finită1.
Astfel, funcţia f : ER, xxf )( , este derivabilă la stânga şi la
dreapta în punctul x0 = 0:
1)0(,1)0( ds ff . Dar fiindcă )0()0( ds ff , funcţia xxf )( nu-i
derivabilă în punctul x = 0.
Criteriul derivabilităţii funcţiei f în punctul Ex 0 este expus
în următoarea teoremă2.
Teoremă. Fie ExRE 0, un punct de acumulare la stânga şi la
dreapta pentru mulţimea
E. Funcţia f : ER este derivabilă în punctul x0, dacă şi numai
dacă ea este derivabilă la stânga şi la
dreapta în x0 şi )()()( 000 xfxfxf ds .
Demonstrarea acestei teoreme reiese nemijlocit din teorema
despre existenţa limitei unei funcţii
în punctul dat3.
1.2 Interpretarea geometrică a derivatei
Fie că pe intervalul (a, b) este definită funcţia y = f(x)
derivabilă cu graficul său Gf.
Fig. 2
Fixăm pe Gf. punctul A(x, f(x)) şi vom determina tangenta la
graficul funcţiei în punctul dat,
pentru aceasta mai luăm pe Gf. un punct B( )(, xxfxx ) , unde 0x
(pe fig. 1 0x , iar
pe fig. 2 0x ). Dreapta (AB) o vom numi secantă şi o vom nota cu
litera S. Unghiul format de
secantă îl vom nota prin . Socotim că 22
. În ambele cazuri avem
x
ytg
(fig. 1:
BCyACx , , fig. 2: CByCAx , )4.
Dacă 0x , atunci 0y şi punctul B, mişcându-se pe Gf, tinde către
punctul A. Dacă în
acest caz unghiul tinde către valoarea oarecare , diferit de
2
şi
2
, atunci există limita:
tgtgy
x
x
limlim
0(1)
Care reprezintă derivata funcţiei în punctul x:
tgxf )( (2)
Reciproc, dacă există derivata (finită) )(xf , atunci )(xfarctg
.
Când , secanta S tinde să ocupe poziţia tangentei T, ce trece
prin punctul A şi formează
atunci unghiul cu direcţia pozitivă a axei absciselor. Dreapta
orientată T se numeşte tangentă la graficul funcţiei Gf. în punctul
de tangenţă A.
Definiţie. Se numeşte tangentă la graficul funcţiei y = f(x) în
punctul A(x, f(x)), dreapta
1 В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, «Краткий курс высшей
математики», Издательство «Наука», Москва 1975, 623 с. 2 Я. С.
Бугров, С. М. Никольский, «Высшая математика» 2, Дрофа 2003, 509 с.
3 Н. С. Пискунов, «Дифферен. Интегральное исчисления», том 1,
Издательство «Наука», Москва 1965, 548 с. 4 Ministerul Educaţiei al
R. M., Achiri I. şi alţii „Matematică” manual cl. XI, Editura Prut
Internaţional, 2003, 304 pagini.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
11
orientată T către care tinde secanta S, ce trece prin punctele A
şi B, când 0x . Astfel am demonstrat, că funcţia y = f(x) este
derivabilă în punctul ),( bax , atunci graficul
Gf. în acest punct are tangentă cu coeficientul unghiular
22),(
xftg . Reciproc
din existenţa limitei
22,lim
, rezultă existenţa derivatei )(xf şi a relaţiilor (1)
şi (2).
Să determinăm ecuaţia tangentei în punctul ))(,( 00 xfx al
graficului funcţiei derivabile f în x01.
Ecuaţia dreptei cu coeficientul unghiular )( 0xf este de forma
bxxfy )( 0 . Ordonata b
o calculăm din condiţia că tangenta trece prin punctul ))(,( 00
xfx :
.)()()()( 000000 xxfxfbbxxfxf
Atunci: 0000 )()()( xxfxfxxfy
)())(( 000 xfxxxfy (3)
ecuaţia în ))(,( 00 xfx la graficul funcţiei continue y =
f(x).
Exemple.
1. Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctele de
abscisă specificate şi să se interpreteze geometric rezultatul
obţinut:
Rf ),0(: , 1lg)( xxf , x0 = 10.
Rezolvare:
Cum
10,lg1
10,1lg1lg)(
xx
xxxxf ,
10ln
11lg)(
xxxfd
,
10ln10
1)10( df ,
10ln
1lg1)(
xxxfs
, 10ln10
1)10( sf .
)10()10( ds ff .
Funcţia nu este derivabilă în x0 = 10. A – fiind punct de
întoarcere.
Fig. 3
2. Să se scrie, utilizând definiţia derivatei, ecuaţia tangentei
la graficul funcţiei2:
]1,1[: Rf , xxf sin)( în 3
0
x .
Rezolvare.
Ecuaţia tangentei în punctul ))(,( 00 xfx este de forma
1 В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, «Краткий курс высшей
математики», Издательство «Наука», Москва 1975, 623 с. 2 Я. С.
Бугров, С. М. Никольский, «Высшая математика» 2, Дрофа 2003, 509
с.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
12
)())(( 000 xfxxxfy ,
2
3
3sin)( 0
xf .
Conform definiţiei derivatei
x
xxx
x
yxf
xx
sin)sin(limlim)(
00
2
cos
2
2sin
lim2cos
2sin2
lim00
xx
x
x
x
xxxxxx
xx.coscos1 xx
Deci 2
1
3cos)( 0
xf .
Ecuaţia tangentei în 3
0
x la graficul funcţiei xxf sin)( este:
.6
33
2
1
2
3
62
1
2
3
32
1
xyxyxy Răspuns:
6
33
2
1 xy .
3. Să se afle coeficienţii Rcb , , ştiind că în punctul (-1,
-2), parabola cbxxxf 2)(
are ca tangentă dreapta de ecuaţie xy 2 .
Rezolvare.
Aplicând sensul geometric al derivatei avem: 2)1( f , unde
bxcbxxxf 2)()( 2 , .42)1(2 bb
Cum ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f(x) în punctul ))(,(
00 xfx este de forma
)())(( 000 xfxxxfy ,
0000 )()()( xxfxfxxfy ,
atunci comparând cu ecuaţia xy 2 , primim
30)1(210)()( 000 cbcbxxfxf
.4,1 bc
Aşadar pentru 1,4 cb are loc afirmaţia dată.
1.3. Sensul mecanic al derivatei
Fie că punctul material se mișcă rectiliniu conform legii 𝑠 =
𝑓(𝑡), t-timpul, s (t)- deplasarea.
Atunci viteza medie a punctului pe intervalul de timp [𝑡𝑜,𝑡𝑜 +
∆𝑡] este 𝑣𝑚 =∆𝑓(𝑡0)
∆𝑡
Viteza instantanee 𝑣(𝑡𝑜) în momentul de timp 𝑡𝑜 se numește
limită (dacă există), spre care tinde viteza medie 𝑣𝑚 în timpul ∆𝑡
cînd ∆𝑡 → 0, adică
𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0 𝑣 𝑚 = lim∆𝑡→0∆𝑓(𝑡0)
∆𝑡= 𝑠′(𝑡0)
Așadar viteza momentară a mișcării rectilinii a punctului
material este derivata deplasării s în
raport de timpul t:
𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) =𝑑𝑠
𝑑𝑡
Acesta și este sensul mecanic al derivatei de ordinul unu.
La rîndul său viteza 𝑣(𝑡) deasemenea este o funcție de timp.
Atunci derivata vitezei 𝑣(𝑡) =
(𝑠′(𝑡))′
= 𝑠"(𝑡) este derivata de ordinul doi a deplasării 𝑠"(𝑡), care în
mecanică se numește
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
13
accelerația punctului material în mișcarea rectilinie:
(𝑎(𝑡)):
𝑎(𝑡) =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
Exemplu: Corpul se mișcă rectiliniu după legea 𝑠(𝑡) = 3 − 4𝑡 +
2𝑡3 (𝑚) . De determinat viteza și accelerația corpului în momentul
de limp 𝑡 = 3(𝑠).
Rezolvare.
Viteza mișcării copului:
𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = (3 − 4𝑡 + 2𝑡3)′ = −4 + 6𝑡2 𝑣(3) = −4 + 6 ∙ 9 =
50(𝑚 𝑠⁄ )
Accelerația mișcării:
𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = (−4 + 6𝑡2) = 12𝑡
𝑎(3) = 12 − 3 = 36 (𝑚𝑠2⁄
)
1.4 Diferenţiala unei funcţii de o singură variabilă
Fie RIf : )( RI , o funcţie derivabilă pe intervalul I şi Ix 0
(x0 –
punct interior lui I).
Atunci, conform definiţiei derivatei unei funcţii într-un
punct,
.)()(
lim)( 000
0x
xfxxfxf
x
(1)
Din (1) şi definiţia limitei unei funcţii într-un punct rezultă
că
),()()()(
000 xxf
x
xfxxf
(2)
unde .0)(lim0
xx
Folosind relaţia (2), obţinem
xxxxfxfxxf )()()()( 000 sau
xxxxfxf )()()( 00 (3)
Din relaţia (3) rezultă că creşterea )( 0xf a unei funcţii f
derivabile într-un punct x0 se exprimă ca o
sumă de doi termeni: termenul xxf )( 0 , care este direct
proporţional cu creşterea argumentului, şi
termenului xx )( , unde )( x este un infinit mic.
Definiţie. Funcţia RRg : , xxfxg )()( 00 , se numeşte
diferenţiabila funcţiei f în
punctul x0 şi se notează )( 0xdf . Deci:
.)()( 00 xxfxdf (4)
Exemplu. Să calculăm diferenţiala funcţiei RRf : , f(x) = x.
Cum 1)( 0 xf , obţinem xdx . Atunci din relaţia (4) rezultă că
.)()( 00 dxxfxdf
Dacă funcţia f este derivabilă în orice punct din I, obţinem
formula:
.,)()( 00 Ixdxxfxdf (5)
Exemple.
1. Pentru funcţia xxfRf sin)(],1,1[: , obţinem
.cos)(sin)(sin)( xdxdxxxdxdf
2. Pentru funcţia xxgRg 8log)(,),0(: , avem .8ln8ln
1)(
x
dxdx
xxdf
Interpretarea geometrică a diferenţialei unei funcţii f
derivabile într-un punct x0 este prezentată
în Fig. 4.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
14
Fig. 4
Trasăm tangenta la graficul Gf în punctul A( )(, 00 xfx ). Avem
AB
BCxftgABx )(, 0
(vezi ABC cu m 090B ). Atunci ABxfBC )( 0 sau )()( 00 xdfxxfBC .
Deci, interpretarea geometrică a diferenţialei unei funcţii f în
punctul x0 este următoarea:
)( 0xf reprezintă creşterea „ordonatei funcţiei f ”, ce
corespunde creşterii x a agrementului ei, iar
)( 0xdf reprezintă creşterea „ordonatei tangentei” la graficul
Gf în punctul ( )(, 00 xfx ), ce
corespunde aceleiaşi creşteri x a argumentului funcţiei f (fig.
9). Formulele (3) şi (4) implică următoarea relaţie de
aproximare:
)()()( 000 xdfxfxxf (6)
sau BCBD .
Cum ecuaţia tangentei la graficul Gf în punctul A( )(, 00 xfx )
este ))(()( 000 xxxfxfy ,
din relaţia (6) rezultă
xxfxfxxf )()()( 000 . (7)
Atunci pentru x suficient de mic avem yxxf )( 0 . Cu alte
cuvinte, în vecinătatea
punctului A, pe o porţiune suficient de mică a graficului
funcţiei f, arcul de curbă este aproximat cu un
segment al dreptei tangente la graficul Gf în punctul A.
Formula (7) se aplică deseori la calculul aproximativ al
valorilor unei funcţii într-un punct
indicat.
Exemplu. Să se calculeze cu aproximaţie valoarea funcţiei 154)(
2 xxxf în punctul x =
1,1.
Rezolvare.
x = 1,1 = 1+0,1 = x0 + x . Atunci x0 = 1, x = 0,1. Calculăm f(1)
şi )1(f :
1215114)1( 2 f ;
18)( xxf şi .7118)1( f
Substituind în (7), obţinem:
.3,111,07121,0)1()1()1,1( fff
Valoarea exactă a funcţiei f în acest punct este: f(1,1) = –
11,26.
2. Rolul derivatei întâi în studiul funcţiilor.
2.1 Intervalele de monotonie ale unei funcţii
În studiul variaţiei unei funcţii este important să cunoaştem în
ce condiţii funcţia este constantă
sau monotonă pe un interval dat. Am stabilit deja că derivata
unei funcţii constante pe un interval dat
este egală cu zero. Va fi utilă şi reciproca acestei
afirmaţii.
Teorema 1. Fie REf : )( RE o funcţie derivabilă. Dacă derivata
funcţiei f este egală
cu zero pe un interval EI , atunci funcţia f este constantă pe
acest interval.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
15
Observaţii.
1. Dacă 0)( xf , Ix , atunci funcţia f este strict crescătoare
pe I.
2. Dacă 0)( xf , Ix , atunci funcţia f este strict
descrescătoare pe I.
3. Din faptul că funcţia f este strict crescătoare (strict
descrescătoare) pe I, nu rezultă că f nu
se anulează în nici un punct din I. De exemplu, fie RRf : , 3)(
xxf . Avem 0)0( f , funcţia
f fiind strict crescătoare pe R.
Concluzie. O funcţie derivabilă este strict monotonă pe
intervalele pe care derivata sa păstrează
semn constant. Pentru a determina intervalele de monotonie ale
unei funcţii derivabile, determinăm
intervalele pe care derivata sa îşi păstrează semnul.
2.2 Puncte de extrem ale unei funcţii
Definiţii.
Fie RIf : (intervalul RI ). Un punct Ix 0 se numeşte punct de
maxim local al
funcţiei f dacă există o vecinătate )( 0xV a lui x0, astfel
încât )()( 0xfxf , IxVx )( 0 . În
acest caz valoarea )( 0xf se numeşte maxim local al funcţiei
f.
Un punct Ix 0 se numeşte punct de minim local al funcţiei f dacă
există o vecinătate
)( 0xV a lui x0, astfel încât )()( 0 xfxf , IxVx )( 0 . În acest
caz valoarea )( 0xf se
numeşte minim local al funcţiei f.
Punctele de maxim local şi de minim local ale unei funcţii se
numesc puncte de extrem local ale acestei funcţii.
Valorile unei funcţii în punctele ei de extrem local se numesc
extremele locale ale acestei funcţii.
Definiţii.
Fie RIf : (intervalul RI ). Un punct Ix 0 se numeşte punct de
maxim global al
funcţiei f dacă )()( 0xfxf , Ix , iar valoarea lui )( 0xf se
numeşte maximul global al funcţiei
f pe I.
Un punct Ix 0 se numeşte punct de minim global al funcţiei f
dacă )()( 0 xfxf ,
Ix , iar valoarea lui )( 0xf se numeşte minimul global al
funcţiei f pe I.
Punctele de maxim global şi minim global ale unei funcţii se
numesc puncte de extrem global ale acestei funcţii pe I.
Concluzii: Fie funcţia RIf : (intervalul RI ) derivabilă pe
intervalul I şi x0 un punct
interior lui I în care 0)( 0 xf .
1. Dacă 0)( xf , Ix , x < x0, şi 0)( xf , Ix , x > x0,
atunci x0 este punct de
maxim local al funcţiei f (se notează: ).
2. Dacă , , x < x0, şi , , x > x0, atunci x0 este punct
de
minim local al funcţiei f (se notează: ).
3. Dacă derivata unei funcţii are acelaşi semn la stânga şi la
dreapta lui x0, atunci x0 nu este un punct de extrem al acestei
funcţii.
Definiţie. Fie funcţia (intervalul ) derivabilă pe intervalul I.
Punctele în care
ia valoarea zero se numesc puncte critice ale funcţiei f.
Observaţie. Concluziile 1–3 rămân adevărate şi în cazul în care
funcţia f continuă în x0 nu este
derivabilă în x0. Astfel de puncte de asemenea se numesc punct
critice ale lui f.
De exemplu, funcţia , , nu este derivabilă în x0 = 0, însă x0 =
0 este
)( 0xf
0)( xf Ix 0)( xf Ix
)( 0xf
RIf : RI
f
RRf : xxf )(
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
16
punct de minim al acestei funcţii. Într-adevăr, şi derivata îşi
schimbă
semnul în punctul x0 = 0 din „–” în „+”.
Reţineţi: Intervalele de monotonie şi punctele de extrem ale
unei funcţii ( ),
derivabile pe mulţimea E, pot fi determinate aplicând
algoritmul:
o Se calculează .
o Se rezolvă ecuaţia ; soluţiile acestei ecuaţii (zerourile
funcţiei ) sunt eventualele
puncte de extrem ale funcţiei f.
o Se determină semnul funcţiei pe intervalele pe care ea nu se
anulează.
o Se stabilesc intervalele pe care funcţia are semn constant,
acestea fiind intervalele de
monotonie ale lui f.
o Se determină punctele de extrem.
3. Aplicații ale derivatelor în rezolvarea problemelor de
optimizări.
Rezultatele teoretice privind aplicarea derivatelor la
determinarea punctelor de extrem ale unei
funcții pot fi aplicate la rezolvarea unor probleme cu conținut
concret, probleme de fizică, geometrie și
economie, în conținutul cărora se cercetează optimizările. În
acest caz se procedează în felul următor:
mărimea cercetată se exprimă printr-o funcție de o singură
variabilă care fiind cercetată la extreme ne
dă rezolvarea problemei concrete.
Exemple de probleme de optimizări
1. Dintr-o bucată de tablă de formă dreptunghiulară cu laturile
a și b )0( ab se
decupează în fiecare colț un pătrat și apoi se îndoaie marginile
formate. Se obține o cutie forma unui
paralelipiped dreptunghic fără capac. Să se determine înălțimea
cutiei, astfel încât volumul ei să fie
maxim.
Rezolvare:
Notăm cu x lungimea laturii pătratului decupat și obținem
volumul V(x) al cutiei:
abxxbaxxbxaxxV 23 24)2)(2()( ,
Fig. 5
Unde x variază pe intervalul
2,0a
. Astfel problema se reduce la determinarea celei mai mari
valori a funcției Ra
V
2,0: , abxxbaxxV 23 24)( . Aflăm extremele funcție V.
Avem abxbaxxV 412)( 2 . Rezolvăm ecuația 0)( xV și obținem că pe
intervalul
2,0a
ea are o soluție unică: 6
22
0
abbabax
. Cum 0
2)0(
aVV , rezultă că în
punctul 0x funcția V ia cea mai mare valoare.
),0(,1
)0,(,1)(
xdaca
xdacaxf
REf : RE
f
0)( xf f
f
f
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
17
Răspuns: Cubul are volum maxim dacă înălțimea ei este 6
22 abbaba .
2. Să se determine coordonatele punctului graficului funcție
3)(,: 2 xxfRRf
aflat la distanța minimă de punctul )5,10(M .
Rezolvare:
Orice punct A al graficului funcție f are abscisa x și ordonata
32 x , Rx . Notăm cu )(x
distanța dintre punctele M și A și obținem:
104203)53()10()( 24222 xxxxxx .
Problema se reduce la determinarea minimului funcției
104203)(,: 24 xxxxRR Avem:
.20104203
1032)(
24
3
x
xxx
xxx Punctul 20 x este punct de minim local pentru
funcția , deoarece 0 , dacă 2x . Atunci 732)2( 2 f Deci
coordonatele punctului A sunt 2 și 7.
1. Cererea de piață la un produs este descrisă de funcția
,012720)( 2xxxp unde x este numărul de unități de produs, iar p
– prețul (în lei).
Să se determine venitul brut maxim din vînzarea produsului, dacă
cheltuielile medii pentru a
produce o unitate se descriu de funcția xx
xC 25001000
)( . (Funcția cererii și funcția
cheltuielilor medii se determină în baza datelor
statistice.)
Să se determine valoarea prețului pentru care venitul brut este
maxim.
Rezolvare:
Venitul brut
xxxxxCxxpxV )1,02780()()()( 2
.10001,0428025001000 32
xxxxx
x
Derivata .3,08280)( 2xxxxV Din 0)( xV obținem ecuația 028083,02
xx ,
cu soluțiile 6,0
28,20 21 xx (care nu corespunde condiției problemei). Deoarece
0)20( V ,
avem în punctul 20x maxim. Astfel, obținem venitul brut
maxim
22001000201,020420280)20( 32 V (lei) și prețul respectiv
700201,0202780)20( 2 p (lei).
Răspuns: 2200 lei; 700 lei.
4. Calculul integral în inginerie
4.1 Aplicaţiile mecanice ale integralei definite.
4.1.1 Calcularea lucrului mecanic
Fie )(xFF
o forţă care este considerată ca o funcţie continuă pe [a,b] şi
M sub acţiune forţei
F . Reieşind din sensul mecanic al integralei definite, avem că
lucrul mecanic, efectuat de forţa
F (care acţionează în direcţia mişcării) pentru deplasarea
punctului material M din poziţia x=a în poziţia
x=b de-a lungul acestui segment, este egal cu:
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
18
b
a
dxxFA )( (10)
În calitate de forţa
F poate fi considerată: Forţa de acţiune a unui arc elastic;
Forţa de acţiune a unei surse magnetice asupra unui corp
magnetic;
Forţa de interacţiune între două încărcături electrice;
Forţa de atracţie universală între două corpuri; Exemplu. Să se
afle lucrul mecanic efectuat de forţa de elasticitate a unui
resort, fixat cu un
capăt, la deplasarea corpului dat din punctul b al axei 0x în
punctul a al acestei axe, b>a:
Fig. 6
Conform legii lui Cokke, avem
F =-kx, unde k – coeficientul de elasticitate a resortului,
semnul minus arată că forţa
F este orientată în sensul negativ al axei 0x.
Obţinem: b
a
b
a
abk
a
bxkxdxkdxxFA .
22)( 22
2
Exemplu. Forţa de acţiune reciprocă între două încărcături
reciproce q1 şi q2 situate la distanţa
x una de alta, se determină după formula:
2
21
x
qqkF
, k=const
Presupunem că sarcina q1 este situată în originea 0 a axei 0x.
Să se determine lucrul mecanic al
forţei
F la deplasarea sarcinii q2 din punctul M1 situat la distanţa r1
de sarcina q1 în punctul M2 care este situat la distanţa r2 > r1
de sarcina q1. Conform formulei (10), avem:
b
a
r
rrr
qqkr
r
xqqkdx
x
qqkdxxFA
21
21
1
2
212
21 111)(2
1
Exemplu. Să se calculeze lucrul necesar pentru lansarea unui
corp cu masa m de pe suprafaţa
pământului vertical în sus la înălţimea h.
Conform legii atracţiei universale forţa care acţionează asupra
corpului dat este:
2x
mmkF
p , unde mp este masa pământului iar x este distanţa de la corp
pînă la centrul
pământului.
Deci: 22 xx
mmkF
p
, hrrx , unde r – raza pământului, iar h – orice număr real
pozitiv. Dacă x=r, adică corpul se găseşte pe Pământ, atunci
forţa 2
)(r
rF
este egală cu greutatea
acestui corp, adică P=mg, unde g este acceleraţii căderii
libere. Prin urmare, ,2
mgr
2mgr , şi 2
2
)(x
mgrxF , hrrx , 1.
1 I. C. Şcerbaţchi, „Analiza matematică”(probleme), Vol. I şi
II, Editura „Tehnica” 1998, 308, 362 p.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
19
Aşadar, conform formulei (10) obţinem:
hr
mgrh
hrr
hmgr
hrrmgr
r
hr
xmgr
x
dxmgrdxxFA
hr
r
hr
r
)(
11
1)(
22
2
2
2
4.1.2. Centrul de greutate al liniei plane materiale (numită
cablu)
Din cursul de fizică este cunoscut că dacă în planul x0y avem un
sistem de n puncte materiale
μ1(x1,y1), μ2(x2,y2),...,μn(xnyn) ale căror mase sunt respectiv
m1,m2,…,mn, atunci coordonatele
centrului de greutate C(xc,yc) al sistemului se calculează după
formula:
n
i
i
n
i
ii
c
m
mx
x
1
1 ,
n
i
i
n
i
ii
c
m
my
y
1
1 , unde
n
i
imM1
se numeşte masa sistemului, iar mărimile
n
i
iiy mxM1
0 , şi
n
i
iix myM1
0 se numesc momentele statice ale sistemului în raport cu
axele
de coordonate 0y şi 0x. În fizică se mai întîlnesc şi expresii
de forma:
n
i
iiy mxI1
2
0 ,
n
i
iix myI1
2
0 ,
n
i
iii myxI1
22
0
care se numesc momente de inerţie ale sistemului în raport cu
axele de coordonate şi de originii
x0y.
Dacă aceste puncte materiale reprezintă arce de curbe plane
omogene, atunci masele lor
mi(i=1,…,n) sunt proporţionale cu cu lungimile arcelor lor.
Fie BA
un arc de curbă materială neomogenă caracterizată prin graficul
funcţiei y=f(x), care
este continuă cu derivata sa pe [a,b] şi densitatea liniară
γ=γ(x) care este o funcţie pozitivă şi continuă
pe [a,b].
Înpărţim arcul BA
în n arce parţiale cu ajutorul punctelor:
BMMMMMA nii ,...,,,...,, 110
Fig. 7
Şi notăm lungimile acestor arce respectiv prin ni llll
,...,,...,, 21 . Întrucît funcţia f(x),
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
20
],[ bax este continuă împreună cu derivata sa pe [a,b], lungimea
∆li a arcului ii MM 1 se exprimă
cu o mică eroare, prin lungimea coardei ii MM 1 . Deci:
212
11 )()( iiiiiii xfxfxxMMl
Aplicînd teorema Lagrange la funcţia f(x), continuă pe [xi-1xi]
obţinem:
iiiii
iiiiii
xtfxxtf
xxtfxxl
2
1
2
2
1
2
1
)(1)(1
)(
unde ],[ 1 iii xxt
Dacă presupunem că arcul parţial ii MM 1 este omogen cu
densitatea γ=γ(ti), atunci masa
acestui arc se exprimă prin formula aproximativă:
iiiii xtftltm 2
2 )(1)()(
Trecînd la limită cînd λ=max∆xi tinde la zero obţinem
următoarele:
a) masa totală a arcului BA
este:
n
i
n
i
iiii xtftmM1 1
2)(1)( sau conform definiţiei integralei definite
Rienman:
b
a
n
i
iii dxxfxxtftM ;)(1)()(1)(lim2
1
2
0
(11)
b) momente statice:
b
a
y dxyxxM ;1)(2
0 (12)
b
a
x dxyxyM ;1)(2
0 (13)
c) momentele de inerţie ale liniei plane:
b
a
y dxyxxI ;1)(22
0 (14)
b
a
x dxyxyI ;1)(22
0 (15)
d) coordonatele centrului de greutate ale liniei plane:
b
a
b
ay
c
dxyx
dxyxx
M
Mx
;1)(
;1)(
2
2
0
(16)
b
a
b
axc
dxyx
dxyxy
M
My
;1)(
;1)(
2
2
0
(17)
Constatăm că dacă linia materială este omogenă, adică γ=const,
atunci:
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
21
b
a
c dxyxL
x ;11 2
(18)
b
a
c dxyyL
y ;11 2
(19)
unde L este lungimea arcului liniei materiale.
Teoremă. (Guldin) Aria suprafeţei laterale a unui corp de
rotaţie generat prin rotaţia unui arc
de curbă plană în jurul unei axe, care se află în planul ei şi
nu se intersectează cu ea, este egală cu
produsul dintre lungimea arcului care se roteşte şi lungimea
circumferinţei descrise în cursul acestei
rotaţii de centrul de greutate al arcului.
Demonstraţie: din formula (19) b
a
c dxyyL
y ;11 2
pentru f(x)≥0, 0)( xf ,
bax , înmulţind ambele părţi la numărul 2πL, obţinem:
b
a
c dxyyLy ;1222
b
a
x dxyy ;122
0 - aria suprafeţei laterale a corpului de rotaţie generat la
rotaţia
arcului BA
în jurul axei 0x;
2πyc – lungimea circumferinţei descrise de centrul de greutate
al arcului;
L – lungimea arcului BA
1.
Exemplu. să se calculeze coodonatele centrului de greutate al
arcului circumferinţei x2+y2=r2,
situată în cadranele 1 şi 4 , dacă densitatea γ=const=1.
Lungimea arcului de circumferinţă este egal cu rr
L
2
2. Întrucît arcul este simetric în
raport cu axa 0x avem că centrul de greutate se află pe această
axă, adică: yc=0
Aplicînd formula (18) avem:
Fig. 8
1 I. C. Şcerbaţchi, „Analiza matematică”(probleme), Vol. I şi
II, Editura „Tehnica” 1998, 308, 362 p.
y
0
r
-r
r
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
22
y
x 0
r
r
C
dttrtrtdtxx
ytr
r
t
try
trx
dxyxL
x tt
t
b
a
c
2
2
22222
2
2
2cossincos
11cos
1
2,
2
sin
cos
11
rt
rtdt
r 2
2
2sincos
2
2
Prin urmare centrul de greutate al arcului are coordonatele:
rxc
2 , y=0.
Exemplu. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al
arcului de circumferinţă
x2+y2=r2, situat în cadranul 1, considerînd γ=const=1.
Fig. 9
Rezolvare: Lungimea arcului este 24
2 rrL
, aplicăm teorema lui Guldin. Dacă luăm în
calitate de axă de rotaţie axa 0x atunci suprafaţa corpului de
rotaţie este o semisferă de rază r cu aria:
22
0 242
1rrx deci Lycx 20 şi
r
r
r
Ly xc
2
22
2
2
2
0
Similar dacă considerăm că axa de rotaţie este 0x, atunci:
,20 Lrxcx
r
r
r
Lx
y
c
2
22
2
2
20
Deci centrul de greutate este punctul
rrC
2,
2.
Acelaşi rezultat se capătă aplicînd formulele (9) şi (10)
(verificaţi).
Exemplu. Să se determine coordonatele centrului de greutate al
primului arc al cicloidei: x=a(t-
sint), y=a(1-cost), 0 ≤ t ≤ 2π.
Lungimea primului arc al cicloidei este L=8a.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
23
Întrucât primul arc al cicloidei este simetric în raport cu
dreapta x=aπ, avem xc=aπ. Ordonata
centrului de greutate este:
dttatataadtyxy
ay tttc
2
0
2222
2
0
22sincos1cos1
8
1
8
1
2
0
2
0
23
2
0
2
0
22
2sin
2cos1
22sin
2
2sin2
2sin2
8
2cos12cos1
8
ttata
dttt
ta
dttta
aaaa
aa
t
at
at
dt
aa
dtta
3
4
3
2211
3
0
2
3
2cos
0
2
2cos
2cos
2cos
22sin
2
2
0
2
0
3
2
Aşadar centrul de greutate este
aaC
3
4, .
4.1.3. Centrul de greutate al figurii plane materiale (numită
placă)
Fie D un domeniu plan material mărginit de dreptele x=a, x=b, şi
graficele funcţiilor y=f1(x),
y=f2(x), care sunt nenegative, continue pe [a,b] şi f1(x)≤
f2(x), pentru orice bax , . Notăm prin γ=γ(x) densitatea de
suprafaţă unde γ(x)>0 şi continuă pe [a,b] .
Fig. 10
Urmînd principiul general din punctul precedent, descompunem
domeniul D în n fâşii verticale
D1,...,Di,...,Dn prin dreptele x=x0=a,
x=x1,...,x=xi-1,x=xi,...,x=xn=b, paralele cu axa 0x. Înlocuim
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
24
fiecare fâşie Di printr-un dreptunghi, care are înălţimile
f2(ti)- f1(ti), unde 2
1 iii
xxt
şi baza ∆xi=
xi-xi-1. Dacă presupunem că acest dreptunghi este omogen cu
γ=γ(ti) atunci masa fâşiei Di (i=1,...,n)
este:
iiiii xtftftm )()()( 12 Deoarece centrul de greutate al
dreptunghiului omogen coincide cu punctul de intersecţie al
diagonalelor lui, avem (xi)c=ti, 2
)()()( 21 iici
tftfy
. pentru a calcula centrul de greutate al
domeniului D, înlocuim fiecare fâşie prin centrul de greutate al
dreptunghiului respectiv, considerînd
concentrată în el întreaga masă ∆mi.
Aplicînd formulele respective din punctul precedent obţinem
următoarele:
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
i
n
i
ici
c
xtftft
xtftftt
m
mx
x
1
12
1
12
1
1
)(
.
)()()(
)()()(2
1
)()()(
)()()()()(2
1
1
12
1
2
1
2
2
1
12
1
1212
1
1
n
i
iiii
n
i
iiii
n
i
iiii
n
i
iiiiii
n
i
i
n
i
ici
c
xtftft
xtftft
xtftft
xtftfttftf
m
my
y
În numărătorii şi numitorul comun ai acestor fracţiuni avem sume
integrale ale funcţiilor
)()()( 12 xfxfxx , )()()( 2122 xfxfx , şi )()()( 12 xfxfx care
sunt continue pe [a,b]. Trecînd la limita cînd λ=max∆xi→0 obţinem
formulele:
b
a
b
ac
dxxfxfx
dxxfxfxx
x
)()()(
)()()(
12
12
(20)
b
a
b
ac
dxxfxfx
dxxfxfx
y
)()()(
)()()(2
1
12
2
1
2
2
(21)
Masa domeniului D este egală cu:
dxxfxfxMb
a
)()()( 12 (22)
Momentele statice ale figurii materiale D se calculează după
formulele:
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
25
dxxfxfxMb
a
x )()()(21 2
1
2
20 (23)
dxxfxfxxMb
a
y )()()( 120 (24)
Dacă figura materială D este omogenă, adică γ=const, atunci
coordonatele centrului de greutate
se calculează după formulele:
dxxfxfxS
x
b
a
c )()(1
12 (25)
dxxfxfS
y
b
a
c )()(21 2
1
2
2 (26)
unde S este aria domeniului D1.
Teorema 2: (Guldin) volumul corpului obţinut prin rotirea unei
figuri plane în jurul unei axe
ce se află în planul ei şi nu o intersectează este egal cu
produsul dintre aria figurii plane care se roteşte
şi lungimea circumferinţei descrisă în cursul acestei rotaţii de
centrul ei de greutate.
Demonstraţie:
Considerăm în formula (26) că f2(x)> f1(x)≥0, atunci yc>0.
înmulţim ambele părţi ale
egalităţii (26) cu numărul 2πS şi obţinem:
b
a
c dxxfxfSy2
1
2
22 unde
b
a
dxxfxfV 212
2 - Volumul corpului obţinut prin rotirea figurii D în jurul
axei 0x.
2πyc- lungimea circumferinţei descrisă de rotaţia centrului de
greutate al acestei figuri plane în
jurul axei 0x.
S – aria figurii D.
Exemplu. Să se calculeze centrul de greutate al semicercului
omogen de rază r.
Rezolvare: Alegem sistemul de coordonate x0x.
Fig. 12
Deoarece figura este simetrică în raport cu axa 0x, avem yc=0
adică centrul de greutate se află
pe această axă. Pentru aflarea coordonatei xc aplicăm teorema 2
a lui Guldin. Corpul obţinut prin
rotirea prin rotirea semicercului în jurul axei 0x este mărginit
de o sferă de rază r. Deci volumul
1 I. C. Şcerbaţchi, „Analiza matematică”(probleme), Vol. I şi
II, Editura „Tehnica” 1998, 308, 362 p.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
26
acestui corp este 3
3
4r . Aria S a figurii plane care se roteşte este
2
2r. Deci: Sxr c 2
3
4 3
3
4
22
3
4
2
3
r
r
r
xc
Deci:
0,
3
4
rC
Exemplu. Să se calculeze să se calculeze volumul torului
omogen.
Fig. 11
Aplicăm teorema 2 a lui Guldin. SxV cx 20 aici xc=a, S=πr2 –
aria figurii care se roteşte.
Deci: 2220 22 arraV x
Exemplu. Să se afle centrul de greutate al figurii plane omogene
(γ=const=1) mărginită de
parabola y=x2, y=3x, x=1, (0≤ x ≤1
Fig. 13
Figura plană nu-i simetrică coordonatele centrului de greutate
le aflăm după formulele (25) şi
(26).
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
27
Aria plăcii: 6
7
3
1
2
3
0
1
22
33
321
0
2
xxdxxxS
14
9
4
3
7
6
4
11
7
6
1
0
43
3
7
6
37
6)()(
1
43
1
0
32
12
xx
dxxxdxxfxfxS
x
b
a
c
2,15
6
5
14
14
6
5
13
14
6
0
1
53
9
14
6
927
6)()(
2
1
53
1
0
422
1
2
2
xx
dxxxdxxfxfS
y
b
a
c
Centrul figurii:
2,1;
14
9C .
4.1.4. Calculul forţei de presiune a lichidului pe suprafeţe
verticale.
Conform legii lui Pascal forţa forţa de presiune
P asupra unei suprafeţe orizontale se calculează după
formula:
ShgP
(27)
Unde ρ(kg/m3) – densitatea lichidului, g(m/s2)- acceleraţia
căderii libere, S(m2)- aria
suprafeţei, h(m)- adîncimea lichidului deasupra suprafeţei.
Dacă suprafaţa S nu-i orizontală atunci nu se poate aplica
formula (26), fiindcă presiunea
lichidului variază cu variaţia adîncimii.
Fie suprafaţa plană de orice formă este scufundată în lichidul
cu densitatea ρ astfel (vezi fig. 14).
Fig. 14
Trebuie de calculat forţa de presiune asupra suprafeţei
vectoriale. Pentru aceasta placa dată o
divizăm în n făşii elementare paralele cu suprafaţa
lichidului.
h0 =H1,h1,...,hn=H2
La adîncimea hi precăutăm fâşia corespunzătoare (e haşurată) şi
notăm prin f(hi) – lungimea ei,
iar prin ∆ hi – lăţimea. Socotind fâşia de formă dreptunghiulară
aria ei cu anumită aproximare este:
iii hhfS Presupunem (deasemenea cu o anumită aproximare) că
presiunea în orice punct ai fâşiei este
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
28
aceeaşi şi-i egală cu presiunea la adîncimea hi, presiunea,
forţa de presiune a lichidului asupra făşiei
elementare de aria Si este:
iii ShgP sau iiii hhfhgP )(
Sumînd mărimile forţelor de presiune elementare şi trecînd la
limită cînd ∆h=max∆hi tinde spre
zero, conform definiţiei integralei definite (după Rienman) vom
avea:
i
n
i
iih
n
i
iiih
hhfhghhfghP
10
10
)(lim)(lim
Aşadar 2
1
)(
H
H
dhhfhgP (28) – forţa de presiune a lichidului cu densitatea ρ
asupra
plăcii scufundată vertical în el.
Exemplu. O placă triunghiulară cu baza de 0,9 m şi înălţimea
0,12 este scufundată vertical în
apă astfel încît vîrful ei se află cu 0,03 m mai jos de nivelul
apei, iar baza este paralelă lui. De calculat
forţa de presiune asupra plăcii.
Avem: (AB)=0,9m
H=0,12m
H1=0,03m
ρ=1000kg/m3 g=9,8m/s2
P - ?
Fig. 15
Separăm la adîncimea h o făşie subţire şi aflăm lungimea ei
KM=f(h).
Din asemănarea triunghiurilor ∆ABC şi ∆KCM avem:
CD
CE
AB
KM ;
12,09,0
1HhKM ; 03,04
3
12,0
9,01 hHhKM
Deci avem: mHhhf 03,003,0,4
3)( 1 ;
H2=H1+H=0,15 şi după formula (28) avem:
N
hh
dhhhhdhhgP
61,5000014,000009,000034,00011,07350
2
03,0
3
03,0
2
15.003,0
3
15,07350
203,0
37350
03,08,910004
3
4
303,0
332323
15,0
03,0
2
15,0
03,0
E M
A D B
C
K
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
29
Exemplu. De calculat forţa de presiune asupra unui zăgaz
vertical de forma trapezului isoscel:
AD=38 m, BC=20 m, H=12 m.
Nivelul apei coincide cu baza trapezului.
Rezolvare:
Fig. 16
hKM
hxBCAD
x
xBCKM
122
320
1212
9,
2
2
Forţa de presiune după formula (28) este egală cu:
MNN
hh
dhhhhhdhhgP
3456,181834560086427369800
2
1212199800
0
12
2
1
2389800
2
318208,9100012
2
320
323
2
12
0
2
12
0
5. Aplicaţiile integralei duble în mecanică
5.1. Masa unei plăci materiale Considerăm în planul Oxy o placă
materială, adică o porţiune (D) (Fig.40) a planului, în care
este distribuită o masă m cu densitatea în fiecare punct (x,y)
al ei egală cu ),( yxz - funcţie continuă pe (D). Să calculăm masa
acestei plăci.
Pentru aceasta divizăm (D) arbitrar în n părţi elementare cu
ariile
ni AAAA ,,,,, 21 .
Pe fiecare iA luăm arbitrar câte un punct ),( iii yxP , ni ,1
.
Fig. 17
M
A D
B C
K x
h
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
30
Considerăm densitatea pe iA egală cu densitatea în punctul Pi,
ceea ce e cu atât mai exact cu
cât e mai mică aria iii yxA . Atunci pentru masa plăcii
elementare iA obţinem valoarea
aproximativă
iiiiiii yxyxfAPfm ),()( , iar masa aproximativă a întregii plăci
va fi
iiii
n
in yxyxfm
),(1
,(1)
valoarea ce e cu atât mai exactă, cu cât este mai mare n.
Expresia (1) se numeşte sumă integrală
Riemann pentru funcţia ),( yxfz în domeniul (D); ea depinde de
modul de divizare a domeniului
(D) de n şi de alegerea punctelor Pi. Masa exactă a plăcii va fi
limita singurului numeric de sume
integrale ,...,...,,21 innn
mmm , alcătuite cu ajutorul funcţiei f(x,y) pentru domeniul (D)
ca rezultat al
diverselor divizări ale acestui domeniu în domenii
elementare.
Astfel,
iiii
n
i
yxyxfm
),(lim10
, (2)
unde - norma de divizare a domeniului (D), dacă această limită
există şi este finită. Ea nu depinde de modul de divizare a lui
(D), de n şi de alegerea punctelor Pi.
Aşadar masa plăcii materiale
)(
),(D
dxdyyxfm (3)
unde ),(),( yxyxf - densitatea în fiecare punct al plăcii.
5.1.1 Momentele statice ale plăcii materiale
Cunoscând relaţia dintre masa plăcii cu densitatea în fiecare
punct ),( yx şi momentele
statice în raport cu axele de coordonate primim: )(
),(D
x dxdyyxyM - momentul static în
raport cu axa Ox; )(
),(D
y dxdyyxxM - momentul static în raport cu axa Oy.
5.1.2 Momentele de inerţie ale plăcii materiale
)(
2 ),(D
x dxdyyxyI - momentul de inerţie în raport cu axa Ox;
)(
2 ),(D
y dxdyyxxI - momentul de inerţie în raport cu axa Oy;
)(
220 ),(
D
dxdyyxyxI - momente
l de inerţie în raport cu originea de coordonate.
5.1.3 Coordonatele centrului maselor C(xc,yc) ale plăcii (D)
m
Mx
y
c , m
My xc . În caz particular, când 1),( yx , atunci formulele de
calcul a
momentelor de inerţie se transformă în formulele de calcul a
momentelor de inerţie ale figurii plane1.
Exemplul 1. Să se calculeze masa plăcii pătrate în fiecare punct
al căreia densitatea de
suprafaţă este proporţională cu suma distanţelor lui până la
diagonalele pătratului.
1 I. C. Şcerbaţchi, „Analiza matematică”(probleme), Vol. I şi
II, Editura „Tehnica” 1998, 308, 362 p.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și
Problemele Integrării în Spațiul European al Cercetării și
Educației”, Universitatea de Stat „B.P. Hasdeu” din Cahul, 5 iunie
2015, Volumul II
31
Fig. 18
Rezolvare. Alegem sistemul de coordonate, astfel ca diagonalele
pătratului să coincidă cu
axele de coordonate, iar punctul lor de intersecţie să coincidă
cu originea de coordonate1.
Conform condiţiilor, densitatea )(),( yxkyx . Masa plăcii
)(
)(4D
dxdyyxkm unde D:ΔOBC.
Dacă OB=a, atunci ecuaţia dreptei BC este 1a
y
a
x, ayx şi
aa xa
dxxaky
kxydyyxkdxm0
2
0 0 024)(4
a
dxxa
kxakx0
2
2
)()(4
a
dxkx
kaxka
kxkax0
222
224
a akxxkadx
kxka
0
32
22
03
22
224
kaka
ka 33
3
3
4
3
22 .
Exemplul 2. Să se calculeze coordonatele centrului maselor
plăcii plane omogene mărginite
de cardioida ).cos1( a
Fig. 19
1 Н. С. Пискунов, «Дифферен. Интегральное исчисления», том 1,
Издательство «Наука», Москва 1965, 548 с.
-
Conferința științifică internațională „Perspectivele și Pr