persamaan_lingkaran

LINGKARAN

PENDAHULUAN

DEFINISI LINGKARAN

LINGKARAN DENGAN PUSAT O JARI-JARI r

POSISI TITIK (a,b) PADA LINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT(a,b) dan

JARI-JARI r

PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

PENUTUP

1

MGMP MATEMATIKA

SD

SMP

SMA

SKKK JAYAPURA

Kami mohon Donasi dari saudara-saudara sekalian agar blog ini tetapEksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat mengakses materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk “POWERPOINT” silahkan salurkan lewat rekening Bank MANDIRI atas nama HENDRIK PICAL,A.Md,S.Sos dengan No. ac Bank1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima Kasih.

4

5

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan persamaan lingkaran

yang memenuhi kriteria tertentu

6

LingkaranLingkaran

tempat kedudukan titik-titikyang berjarak sama

terhadap suatu titik tetap.Jarak yang sama itu disebut jari-jari

dan titik tetap itu disebutpusat lingkaran

7

Persamaan LingkaranPersamaan LingkaranPusat O(0,0) dan jari-jari r

r = jari-jari

x

y

O

r P(x,y)

x

xx22 + y + y22 = r = r22

Pengantar untuk Lingkaran

8

r jari-jaridan O(0,0) diBerpusat

arannyaPers.Lingk }ryx|y){(x,L

atau}r0)(y0)-(x|y){(x,L

}r0)(y0)-(x|y){(x,L

r}OP|y){(x,L

BUKTINYA

222

222

22

9

222 ryxL

lingkaran pada b)P(a, titik Posisi

rP(x,y)x

y

0

r

P(x,y)

x

y

0r

P(x,y)

x

y

0

222 ry x

L pada b)P(a,

222 ry x

L dalam di b)P(a,

222 ry x

Lluar di b)P(a,

10

Soal 1Persamaan lingkaran

pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:

a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25

b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼

c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21

d. r = √3 adalah x2 + y2 = 3

11

Soal 2Persamaan lingkaran

pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1)

adalah….

12

PenyelesaianPenyelesaianMisal persamaan lingkaran yangberpusat di O(0,0) dan jari-jari radalah x2 + y2 = r2

melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2

r2 = 9 + 1 = 10Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 10

13

Soal 3Soal 3Pusat dan jari-jari lingkaran:a. x2 + y2 = 16 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 4b. x2 + y2 = 2¼ adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½ c. x2 + y2 = 5 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = √5

14

Soal 4Soal 4

Persamaan lingkaran yang sepusat

dengan lingkaran x2 + y2 = 144

tetapi panjang jari-jarinya setengah

dari panjang jari-jari lingkaran

tersebut adalah….

15

PenyelesaianPenyelesaianLingkaran x2 + y2 = 144pusatnya O(0,0) dan jari-jarinyar = √144 = 12 → ½r = 6Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya r = 6 adalah x2 + y2 = 62

x2 + y2 = 36

16

Soal 5Soal 5

Jika titik (2a, -5) terletak pada

lingkaran x2 + y2 = 41 maka

nilai a adalah….

17

PenyelesaianPenyelesaianTitik (2a, -5) terletak padalingkaran x2 + y2 = 41, berarti (2a)2 + (-5)2 = 41 4a2 + 25 = 41 4a2 = 41 – 25 = 16 a = 4 → a = 2 atau a = -2

18

Soal 6Soal 6Persamaan lingkaran yang koordinat

ujung-ujung diameternya A(2,-1)

dan B(-2,1) adalah….

19

PenyelesaianPenyelesaian

Diameter = panjang AB

=

=

A(2,-1)

B(-2,1)

diameter

22 ))1(1()22(

5220416

20

Diameter = panjang AB

= 2√5

Jari-jari = ½ x diameter

= ½ x 2√5

= √5

21

Koordinat pusat = = (0,0)

A(2,-1)

B(-2,1)

Pusat

2

)1(1,

2

22

22

Jadi,

persamaan lingkarang yang

jari-jari = √5 dan pusat (0,0)

adalah x2 + y2 = (√5)2

x2 + y2 = 5

Contoh 7

23

58yxpersamaan dengan lingkaran terhadap(2,1)

dan (8,9) (3,7), (4,-5),titik - titikposisiTentukan 22

Jawab :

24

lingkaran didalam terletak (2,1) maka

r512 : (2,1) Posisi

lingkarandiluar terletak (8,9) maka

r 14598 : (8,9) Posisi

lingkaran pada terletak (3,7) maka

r5873 : (3,7) Posisi

lingkaran didalam terletak (4,-5) maka

r 41)5(4 : (4,-5) Posisi

58rdan O(0,0) Pusatnya

222

222

222

222

2

25

(x – a)(x – a)22 + (y - b) + (y - b)22 = r = r22

Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari

a

(a, b)b

(0,0)

Persamaan LingkaranPersamaan LingkaranPusat (a,b) dan jari-jari rPusat (a,b) dan jari-jari r

x

y

26

Soal 1Soal 1Tentukan pusat dan jari-jari lingkarana. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9 jawab: pusat di (3,7) dan jari-jari r = √9 = 3b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6 jawab: pusat di (8,-5) dan jari- jari r = √6

27

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24

jawab: pusat di (-3,5) dan

jari-jari r = √24 = 2√6

d. x2 + (y + 6)2 = ¼

jawab: pusat di (0,-6) dan

jari- jari r = √¼ = ½

28

Soal 2Persamaan lingkaran, pusat di (1,5)

dan jari-jarinya 3 adalah ….

Penyelesaian:(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5

▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9

Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9

29

Soal 3Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0) dan jari-jarinya 3√2 adalah ….

Penyelesaian:(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18

30

Soal 4Persamaan lingkaran yang

berpusat di titik (-2,-7)

dan melalui titik (10,2) adalah ….

31

P(-2,-7)

A(10,2)r

Penyelesaian:Pusat (-2,-7)

→ a = -2, b = -7

Jari-jari = r = APAP =

r =

Jadi, persamaan lingkarannya

(x + 2)2 + (y + 7)2 = 225

22 2)7(10)2(

1522581144 → r2 = 225

32

Soal 5Persamaan lingkaran yang

berpusat di titik (4,-3)

dan melalui titik pangkal

adalah ….

33

P(4,-3)

O(0,0)r

Penyelesaian:Pusat (4,-3)

→ a = 4, b = -3

Jari-jari = r = OPOP =

r =

Jadi, persamaan lingkarannya

(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25

22 )03()04(

525916 → r2 = 25

34

Soal 6Persamaan lingkaran yang

berpusat di garis x – y = 1,

jari-jari √5 dan

melalui titik pangkal adalah ….

35

PenyelesaianMisal persamaan lingkarannya

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0

dan jari-jari r = √5 → r2 = 5

disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2

(0 – a)2 + (0 – b)2 = 5

a2 + b2 = 5 …..(1)

36

▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1 a – b = 1 → a = b + 1 disubstitusi ke a2 + b2 = 5 (b + 1)2 + b2 = 5 b2 + 2b + 1 + b2 = 5 2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0 b = -2 atau b = 1

37

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2 diperoleh pusatnya (2,1), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 5

38

Soal 7Persamaan lingkaran yang

berpusat pada perpotongan garis

y = x dengan garis x + 2y = 6

melalui titik O(0,0) adalah ….

39

Penyelesaian▪ pusat pada perpotongan garis

y = x dengan garis x + 2y = 6

substitusi y = x ke x + 2y = 6

x + 2x = 6

3x = 6 → x = 2

x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)

40

▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)

r = = Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8 x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum

22 )02()02(

844 → r2 = 8

41

xx22 + y + y22 + Ax + By + C = 0 + Ax + By + C = 0

Persamaan LingkaranPersamaan Lingkarandalam bentuk umumdalam bentuk umum

Pusat (-Pusat (-½½A, -A, -½½B)B)

r = CBA 2212

21 )()(

42

Soal 1Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

jawab: A = -2, B = - 6, C = -15

pusat di (-½A,-½B) → (1, 3)

jari-jari r =

=

)15(31 22 525

43

Soal 2Tentukan pusat lingkaran

3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0

jawab: 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 x2 + y2 – x + 2y – 4 = 03

4

Pusat (-½( – ), -½.2)

34

Pusat( , – 1)32

44

Soal 3Jika titik (-5,k) terletak pada

lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0

maka nilai k adalah…

45

Penyelesaian(-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0 (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0 25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0 k2 – 5k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0Jadi, nilai k = 6 atau k = -1

46

Soal 4Jarak terdekat antara titik (-7,2)

ke lingkaran

x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

sama dengan….

47

PenyelesaianPenyelesaianTitik T(-7,2) disubstitusi ke x2 + y2 – 10x – 14y – 151(-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151 49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0berarti titik T(-7,2) beradadi dalam lingkaran

48

Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0

adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5,

7)

QT = PQ - PT = 15 – 13 = 2Jadi, jarak terdekat adalah 2

P(5,7)

Q

rT(-7,2)

)151(75rPQ 22 25225r

PT

13168

22 )72()57(

Garis Singgung Lingkaran

49

211

11

r yyx xasinggungny garis

r jari-jaridan O(0,0) diberpusat Lingkaran Jika A.

LLingkaran Pada

)y,P(x titik melaluiLingkaran Singgung Garis 1.

05-2y-atau x 52y- x:didapat

singgung garis rumus kemasukan 2ydan 1x

: JAWAB

A(1,-2) singgungdititik 5xL

Lingkaran pada singgung garisPersamaan Tentukan

: CONTOH

11

22

y

2. Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r.

50

211

222

rb)b)(y(ya)a)(x(x asinggungny

garispersamaan makarb)(ya)-(xL Jika

093y4xatau 09-3y-4x-

025-123y-44x-

025-4)-3(y-1)-4(x-

254)-4)(y-(11)-1)(x-(-3

: maka 25r serta 4bdan 1a

:JAWAB

A(-3,1) singgungdititik 25)4(1)-(xL

Lingkaran pada singgung garispersamaan Tentukan

:CONTOH

2

22

y

3. Lingkaran Umum dengan bentuk

51

Singgung Garis 0.CByAxyx 22

0C)y(y2

B)x(x

2

Ayyxx

adalah )y,T(x singgung titik melalui Yang

1111

11

52

135y4xatau 013-5y4x

021-1)4(y2)2(xy2x

021-1)(y2

82)(x

2

4y2x

asinggungny garispersamaan maka 1ydan 2x

: JAWAB

A(2,1) singgung titik melalui 021-8y4xyxL

lingkaran pada singgung garisPersamaan Tentukan

: CONTOH

11

22

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu (m)

53

1mrmx y

:adalah mgradien sertar jari-Jaridan O(0,0) di

berpusat yangLingkaran Singgung GarisPersamaan

2

CONTOH

54

0123y-4x :L garisdengan lurusTegak d.

0123y-4x :L garisdengan Sejajar c.

positifsumbu x terhadap30sudut Membentuk b.

2gradien Mempunyai a.

: diketahui Jika 9xL

lingkaran pada singgung garispersamaan Tentukan

0

22

y

JAWAB

55

53-2xyatau 53 2xy

adalah asinggungny garisPersamaan Jadi

532xy

1432x y

1mrmxy : asinggungny garisPersamaan

2 mGradien a.

2

56

positifsumbu x dengan 30sudut Membentuk b. 0

063y-atau x

06 3y- x:asinggungny GarisPersamaan Jadi

63y

3

6

3

1y

3

2.3

3

1y

3

43

3

1y

13

13

3

1y

: asinggungny garisPersamaan

x

x

x

x

x

c. Garis L:4x-3y+12=0 mempunyai m=

57

3

4

53

4yatau

53

4y asinggungny garisPersamaan Jadi

53

4y

3

5.3

3

4y

9

253

3

4y 1

9

163

3

4y

asinggungny garisPersamaan 3

4mgradien makasejajar garisnya Karena

x

x

x

xxx

d. Persamaan garis singgung yang tegak lurus grs.L=4x-3y+12=0

580154y3x

atau 015-4y3x asinggungny garisPersamaan Jadi

15-3x4 4

15

4

3 -y

4

5.3

4

3-y

16

253

4

3- y 1

16

93

4

3-y

4

3m maka lurus tegak garisnya karena

3

4m 21

y

x

x

x

2 Lingkaran berpusat di A(a,b) dan jari-jari r

59

1mra)-m(xb-y

:adalah asinggungny garisPersamaan

2

CONTOH:

600153y4x

dan 05-3y4x :asinggungny Garis Pers Jadi

18--4x3-3ydan 2433

1084333

10)2(

3

41

19

162)2(

3

4-1-y

)1mr(2)m(x1-y

:JAWAB

0143L

garis lurus tegak yang 4)1(2)(xL

lingkaran pada singgung garispersamaan Tentukan

2

22

xy

xy

xy

x

yx

y

61

SELAMAT BELAJAR