Persamaan_Differensial_-_Dr._St._Budi_Waluya

BUKUAJARPERSAMAANDIFERENSIALOleh:Dr. St. BudiWaluya,M.SiJURUSANMATEMATIKAFAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAMUNIVERSITASNEGERISEMARANG2006DaftarIsi1 PengantarPersamaanDiferensial 11.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 TujuanInstruksionalUmum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 TujuanInstruksionalKhusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 PenyajianMateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 KlasikasiPersamaanDiferensial . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 PersamaanDiferensialBiasadanSebagian . . . . . . . . . . . 21.2.3 SistemPersamaanDiferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 OrderPersamaanDiferensial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5 SolusiPersamaanDiferensial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.6 PersamaanLineardanTakLinear. . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.7 LapanganArah/DirectionField . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.8 LatihanSoal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 PersamaanDiferensialOrdeSatu 92.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.1 TujuanInstruksionalUmum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 TujuanInstruksionalKhusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 PenyajianMateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 PersamaanLinear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 PersamaanTerpisah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 PersamaanLineardanTakLinear. . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.4 PersamaanDiferensialBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.5 PersamaanDiferensialEksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.6 PersamaanDiferensialHomogen. . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.7 PenerapanPersamaanDiferensialOrdesatu . . . . . . . . . . 312.2.8 SoalSoalTambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.9 LatihanSoalPemodelanSederhana . . . . . . . . . . . . . . . 443 PersamaanDiferensialOrderDua 453.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.1 TujuanInstruksionalUmum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 TujuanInstruksionalKhusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 PenyajianMateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46iii DAFTARISI3.2.1 PersamaanHomogendenganKoesienKonstan. . . . . . . . 463.2.2 BergantungLineardanWronskian . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 PersamaanTakhomogen: Koesientaktentu. . . . . . . . . 563.2.4 Operator D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.5 PersamaanTakHomogen: VareasiParameter . . . . . . . . . 613.2.6 Aplikasi: ForcedOsilatordanResonansi . . . . . . . . . . . . 643.2.7 PemodelanMatematikaSederhana . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.8 LatihanPemodelan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 PersamaanDiferensialOrderTinggi 754.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.1 TujuanInstruksionalUmum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.2 TujuanInstruksionalKhusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 PenyajianMateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.1 PersamaanLinearOrderken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.2 PersamaanLineardenganKoesienKonstan . . . . . . . . . 794.2.3 MetodaKoesienTakTentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.4 MetodaVareasiParameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.5 LatihanSoal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Bab1PengantarPersamaanDiferensial1.1 PendahuluanDalambabini kitaakanmembicarakangambaranyangluas tentangPersamaanDiferensial. PersamaanDiferensial merupakanmatakuliahyang cukupstrategiskarenaberkaitandenganbagian-bagiansentral dalammatematikaseperti dalamAnalisis, Aljabar, Geometri danyanglainnyayangakansangat berperandalampengenalankonsepmaupunpemecahanmasalahyangberkaitandengandunianya-ta.1.1.1 TujuanInstruksionalUmumSetelahmempelajari pokok bahasanI ini, diharapkananda mampumemahamipengertianpersamaandierensialdansolusinya.1.1.2 TujuanInstruksionalKhususSetelahmempelajaripokokbahasanIiniandadapat1. memahamijenis-jenispersamaandiferensial2. membedakanpersamaandiferensialbiasadansebagian3. memahamimengenaisistempersamaandiferensial4. mengertitentangpengertianorderpersamaandiferensial5. memahamipengertiansolusipersamaandiferensial6. memahamiperbedaanpersamaandiferensiallineardantaklinear7. memahamitentanglapanganarah(directioneld)12 PengantarPersamaanDiferensial1.2 PenyajianMateri1.2.1 KlasikasiPersamaanDiferensialBanyak masalah yang sangat penting dalam mesin, ilmu sika, ilmu sosial dan yanglainya, ketika memformulakan dalam bentuk matematika mensyaratkan fungsi yangmemenuhi persamaanyangmemuat satuataulebihturunan-turunandari fungsiyangtidakdiketahui. Persamaan-persamaandiatasdisebutpersamaandiferensial.PerhatikanhukumNewtonF= m.a. Jikay(t)menyatakanposisipartikelbermasampadawaktutdandengangayaF,makakitaakandapatkanmd2ydt2= Ft, y, dydt

, (1.2.1)dimanagayaFmungkinmerupakanfungsi dari t,y, dankecepatandy/dt. Untukmenentukan gerakan sebuah partikel dengan diberikan gaya Fyakni dengan mencarifungsiyyangmemenuhipersamaan(1.2.1).1.2.2 PersamaanDiferensialBiasadanSebagianKlasikasiinididasarkanpadaapakahfungsiyangdiketahuitergantungpadasatuatau beberapa vareabel bebas. Dalam kasus yang pertama disebut persamaan difer-ensial biasa sedang dalam kasus yang kedua disebut persamaan diferensial sebagian.Persamaan (1.2.1) merupakan salah satu contoh persaman diferensial biasa. Contohlainnya misalnya dalam elektronika kita punyai relasi antara kapasitas C, hambatanR,induktansiL,teganganEdanmuatanQdiberikanLd2Q(t)dt2+ RdQ(t)dt+1CQ(t) = E(t). (1.2.2)ContohlainmisalkandalampeluruhanzatradioaktifakandiberikansebagaidR(t)dt= kR(t), (1.2.3)dimanaR(t)adalahjumlahzatradioaktif padawaktut, dankadalahkonstantapeluruhan. Sedangkancontohuntukpersamaandiferensial sebagianmisalnyaper-samaanLaplaceyangdiberikansebagai2u(x, y)x2+2u(x, y)y2= 0, (1.2.4)persamaanpanas22u(x, t)x2=u(x, t)t, (1.2.5)dimanaadalahkonstantatertentu. Jugapersamaangelombangyangdiberikansebagaia22u(x, t)x2=2u(x, t)t2, (1.2.6)denganakonstantatertentu.1.2PenyajianMateri 31.2.3 SistemPersamaanDiferensialKlasikasi lainadalahtergantungpadabanyaknyafungsi-fungsi yangtidakdike-tahui. Jikahanyaterdapat fungsi tunggal yangakanditentukanmakasatuper-samaansudahcukup. Akantetapi jikaterdapatduaataulebihfungsi yangtidakdiketahui makasebuahsistemdari persamaandiperlukan. Untukcontohnya, per-samaanLotka-Volterraataupredator-prayadalahcontohsistempersamaanyangsangatpentingyangmerupakanmodel dalamekologi. Persamaantersebutmem-punyaibentukdxdt= ax xy, (1.2.7)dydt= cy + xy, (1.2.8)dimana x(t) dan y(t) adalah populasi species prey dan predator. Konstanta a,,c,and didasarkan pada observasi empirik dan tergantung pada spesies tertentu yangsedangdipelajari.1.2.4 OrderPersamaanDiferensialOrder dari persamaan diferesial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunanyangmuncul dalampersamaan. Persamaan(1.2.3) adalahpersamaanordesatu,sedangpersamaan(1.2.4),(1.2.5),(1.2.6)merupakanpersamaan-persamaandiferen-sial berordedua. Secaraumumpersamaandiferensial berordendapatdituliskansebagaiF

t, u(t), u

(t), . . . , u(n)(t)

= 0. (1.2.9)Persamaan(1.2.9) menyatakanrelasi antaravareabel bebas t dannilai-nilai darifungsi u, u

,. . . , u(n). Untuk lebih mudahnya dalam persamaan (1.2.9) biasanya kitatulis y untuku(t), y

untuku

(t) danseterusnya. Jadi persamaan(1.2.9) dapatditulissebagaiF

t, y, y

, . . . , y(n)

= 0. (1.2.10)Untukcontohnya,y

+ 2ety

+ yy

= t4(1.2.11)adalahpersamaandiferensialorde3untuky=u(t). Kitaasumsikanbahwaselalumungkinuntukmenyelesaikanpersamaandiferensialyangdiberikanuntukturunanyangterbesar,yakniy(n)= f

t, y

, y

, . . . , y(n1)

. (1.2.12)Kita hanya akan pelajari persamaan dalam bentuk (1.2.12). Hal ini untuk menghin-dari maknagandayangmuncul bahwasebuahpersamaandalambentuk(1.2.10)bersesuaiandenganbeberapapersamaandalambentuk(1.2.12). Contohnyaper-samaandalambentuky

2+ ty

+ 4y= 0 (1.2.13)4 PengantarPersamaanDiferensialsampaipadaduapersamaany

= t +

t216y2atauy

= t

t216y2. (1.2.14)1.2.5 SolusiPersamaanDiferensialSebuahsolusi dari persamaandiferensial (1.2.12)padainterval 3danakannaikuntuky 019. Temukannilai r sedemikiansehinggapersamaandiferensial yangdiberikanmempunyaisolusidalambentuky= tr, t > 0darit2y

+ 4ty

+ 2y= 0.20. Lakukanhalyangsamauntukt2y

4ty

+ 4y= 0.21. Dengan menggunakan program Maple gambarkan lapangan arah dan temukansolusi umumnya serta perilaku solusi untuk t dari persamaan diferensialberikuta. y

+ 3y= t + e2tb. y

2y= t2e2tc. y

+ y= tet+ 1d. y

+ (1/t)y= 3 cos 2t,t > 0e. y

2y= 3etf. ty

+ 2y= sin t,t > 0g. y

+ 2ty= 2tet2h. 2y

+ y= 3ti. y

+ y= 5 sin 2tj. 2y

+ y= 3t28 PengantarPersamaanDiferensialBab2PersamaanDiferensialOrdeSatu2.1 PendahuluanDalambabini kitaakanmempelajari persamaandiferensial ordesatuyangmem-punyaibentukumumdydt= f(t, y), (2.1.1)dimanafadalahfungsidalamduavariabelyangdiberikan. Sebarangfungsitertu-runkan y= (t) yang memenuhi persamaan ini untuk semua t dalam suatu intervaldisebutsolusi. Tujuankitaadalahuntukmenentukanapakahfungsi-fungsi sepertiini ada dan jika ada kita akan mengembangkan metoda untuk menemukannya. Akantetapi untuksebarangfungsi f tidakterdapatmetodaumumyangdapatdipakaiuntukmenyelesaikannyadalambentukfungsi-fungsi sederhana. Kitaakanmem-bahas beberapametodayangdapat dipakai untukmenyelesaikanbeberapajenispersamaandiferensialordesatu.2.1.1 TujuanInstruksionalUmumSetelahmempelajari pokokbahasanII ini, diharapkanandamampumemahamipersamaandierensialordesatu.2.1.2 TujuanInstruksionalKhususSetelahmempelajaripokokbahasanIIiniandadapat1. memahamimengenaipersamaanlinear2. memahamipersamaanterpisah3. membedakanpersamaanlineardantaklinear910 PersamaanDiferensialOrdeSatu4. memahamipersamaandiferensialBernoulli5. menyelesaikanpersamaaneksakdanfaktor-faktorintegral6. memahamipersamaanhomogen7. mengaplikasikanpersamaandiferensial2.2 PenyajianMateri2.2.1 PersamaanLinearApabila fungsi fdalam persamaan (2.1.1) bergantung linear pada variabel bebas y,makapersamaantersebutdapatdituliskandalambentukdydt+p(t)y= g(t), (2.2.2)dan disebutpersamaanlinearordesatu. Kita asumsikan bahwa p dan gadalahfungsi-fungsikontinupadasuatuinterval 0.Akhirnyakitakatakanbahwasolusi (2.2.7)hanyavaliduntukr =0. Jikar=0persamaan diferesialnya menjadi dy/dt = k, yang mempunyai solusi y= kt+c, yangbersesuaiandengankeluargagarislurusdengangradienk.Faktor-faktor Integral. Denganmemperhatikansolusi dari persamaan(2.2.6)kitadapatmenemukansebuahmetodeyangdapatmemecahkanpersamaanlinearorde satudengankoesientakkonstan. Pertamakitatulis kembali persamaan(2.2.7)dalambentukyert= krert+ c, (2.2.8)kemudian dengan mendeferensialkan kedua ruas terhadap t, dan kita akan dapatkan(y

ry)ert= kert, (2.2.9)2.2PenyajianMateri 13yangekuivalendenganpersamaandiferensial (2.2.6). Periksabahwakitasekarangdapat memecahkan persamaan diferensial (2.2.6) dengan membalik langkah di atas.Pindahkansukurykeruaskiridaripersamaandankalikandenganert,yangakanmemberikanpersamaan(2.2.9). Catat bahwaruas kiri persamaan(2.2.9) adalahturunandariyertsehinggapersamaannyamenjadi(yert)

= kert. (2.2.10)Akhirnyadenganmengintegralkankeduaruaspersamaan(2.2.10)kitaperolehper-samaan(2.2.8)yangmerupakansolusi (2.2.7). Dengankatalainsatucarauntukmemecahkanpersamaan(2.2.6)adalahpertamadenganmengalikandengansebuahfungsi ert. Karenaperkalianini membawapersamaanmenjadi bentukyanglang-sungdapat diintegralkan, fungsi ertdisebut faktor integral untukpersamaan(2.2.6). Untukdapatdipakaidalammenyelesaikanpersamaanlaindenganmetodeini kitaharusdapatmenemukanfaktorintegral dari persamaandiferensial secaralangsung. Sekarangkitakembalipadapersamaanumum(2.2.2). Kitaharusdapatmenemukanfaktorintegralyangmerupakanpengalipersamaandiferensial(2.2.2)y

+ p(t)y= g(t)yangdapat membawakedalambentukyangdapat diintegralkan. Misalkankitakalikanpersamaandiferensial (2.2.2)dengansebuahfungsi yangbelumdiketahui(t). Makakitapunyai(t)y

+(t)p(t)y= (t)g(t). (2.2.11)Kita akan menandai ruas kiri persamaan (2.2.11) sebagai turunan dari sebuah fungsi.Bagaimanamungkinini terjadi? Kenyataannyaterdapatduasukudansalahsatusukunyaadalah(t)y

yangdapat kitadugabahwaruas kiri persamaan(2.2.11)merupakan turunan dari hasil kali (t)y. Agar ini benar maka suku kedua dari ruaskiri persamaan(2.2.11), (t)p(t)y, haruslahsamadengan

(t)y. Ini berarti (t)haruslahmemenuhipersamaandiferensial

(t) = p(t)(t). (2.2.12)Jikasementarakitaasumsikanbahwa(t) positif, makakitadapat tuliskanper-samaan(2.2.12)sebagai

(t)(t)= p(t),atauddt ln (t) = p(t), (2.2.13)dandenganmengintegralkankeduaruaskitaperolehln (t) =

p(t)dt +k. (2.2.14)14 PersamaanDiferensialOrdeSatuDenganmemilihsebarangkonstantak=0, kitaperolehfungsi palingsederhanauntuk,yakni(t) = exp

p(t)dt. (2.2.15)Periksabahwa(t) > 0untuksemuat. Denganfaktorintegralyangdiperolehkitakembali padapersamaan(2.2.2) dankalikandengan(t) dankitadapatkanper-samaan (2.2.11). Karena memenuhi persamaan (2.2.12) maka persamaan (2.2.11)dapatdisederhanakanmenjadi[(t)y]

= (t)g(t). (2.2.16)Denganmengintegralkankeduaruaspersamaan(2.2.16)kitaperoleh(t)y=

(t)g(t)dt +c,atauy=

(t)g(t)dt + c(t). (2.2.17)Karena y menyatakan sebarang solusi dari persamaan (2.2.2), kita simpulkan bahwasetiapsolusi persamaan(2.2.2) termasukdalamruas kananpersamaan(2.2.17).Olehkarenaitupersamaanini disebut solusi umumpersamaan(2.2.2). Periksabahwa untuk menemukan solusi seperti persamaan (2.2.17) dua integrasi disaratkan,pertamauntukmenemukan(t)dari persamaan(2.2.15)dankeduauntukmene-mukanydari persamaan(2.2.17). Catatjugabahwasebelummenghitungfaktorintegral (t)dari persamaan(2.2.15), adalahperluuntukmeyakinkanbahwaper-samaan diferensialadalaheksak dalambentuk (2.2.2) khususnya koesieny

harus-lah1, karenakalautidakp(t)yangdigunakandalampenghitunganakansalah.Kedua setelah menemukan (t) dan mengalikan dengan persamaan (2.2.2) yakinkanbahwasuku-sukunyamemuaty

danyyangtidaklainadalahturunan(t)y. Inidapatdicekpadapenghitungan. Jelassalahsatusolusidapatdiperoleh,danun-tukmengeceknyadenganmensubstitusikankedalampersamaandiferensianya. In-terpretasigeometridaripersamaan(2.2.17)adalahsebuahkeluargatakhinggadarikurva-kurvasolusi, untuksetiapcmerupakangraksolusi persamaan(2.2.5)daripersamaan(2.2.3). Kurva-kurvaini seringdisebutkurva-kurvaintegral. Kadang-kadangpentinguntukmengambil salahsatukurva, ini dapat dilakukandenganmengindentikasi titik kusus (t0, y0) yang disaratkan dilewati oleh grak solusi, danbiasanyaditulisy(t0) = y0, (2.2.18)yangdisebut sebagai kondisi awal. Persamaandiferensial orde satuseperti per-samaan(2.1.1)atau(2.2.2)dansebuahkondisiawalseperti(2.2.18)bersama-samadisebutmasalahnilaiawal.Contoh2. Temukansolusimasalahnilaiawaly

y/2 = et, (2.2.19)y(0) = 1. (2.2.20)2.2PenyajianMateri 15Jawab. Periksabahwapersamaaninimemenuhipersamaan(2.2.2)denganp(t)=1/2dang(t) = et. Sehinggakitapunyaifaktorintegralnya(t) = exp dt2

= et/2,dankitakalikanfaktorintegral ini denganpersamaan(2.2.19)danakankitadap-atkanet/2y

et/2y/2 = e3t/2. (2.2.21)Ruaskiri persamaan(2.2.21)adalahturunandari et/2y, sehinggakitatulisper-samaaninimenjadi(et/2y)

= e3t/2,denganmengintegralkankitadapatkanet/2y= 23e3t/2+c,dimanacadalahsebarangkonstan. Olehkarenaituy= 23et+cet/2(2.2.22)yangmerupakansolusi dari persamaan(2.2.19). Untukmemenuhi kondisi awal(2.2.20) kita substitusikan t = 0 dan y= 1 dalam persamaan (2.2.22) dan pecahkanuntukc, kitaperolehc= 1/3. Jadi sebuahsolusi dari masalahnilai awal yangdiberikanadalahy= 23et13et/2. (2.2.23)Contoh3. Temukanmasalahnilaiawaly

+ 2ty= t, y(0) = 0. (2.2.24)Jawab. Kitapertamamenemukanfaktorintegral,yakni(t) = exp

2tdt = et2.Kitakalikanpersamaannyadengan(t)kitaperolehet2y

+ 2tet2y= tet2,atau(yet2)

= tet2.Olehkarenaituyet2=

tet2dt + c =12et2+ c,16 PersamaanDiferensialOrdeSatusehinggay=12+ cet2(2.2.25)merupakansolusi umumpersamaandiferensial yangdiberikan. Untukmemenuhikondisiawaly(0) = 0kitaharusmemilihc = 1/2. Jadiy=12 12et2merupakansolusi masalahnilai awal (2.2.24). Adasolusi yangmelewati titikasal(0, 0). Periksabahwasemuasolusi mendekati solusi equilibriumy =1/2untukt .LatihanSoalUntuksoalno1sampai5gambarkanlapanganarah, diskripsikanbagaimanaperi-lakuuntuknilaityangbesardantemukansolusiumumnyadangunakanituuntukmenentukanperilakusolusipadat .1. y

+ 3y= t +e2t2. y

+ y= tet+ 13. y

+ y= 5 sin 2t4. y

2y= t2e2t5. ty

+ 2y= sin t,t > 0Temukansolusidarimasalahnilaiawalsoalno6sampai156. y

y= 2te2t, y(0) = 17. y

+ 2y= te2t,y(1) = 08. ty

+ 2y= t2t + 1,y(1) = 1/2,t > 09. y

+ (2/t)y= (cos t)/t2, y() = 0,t > 010. y

2ty= 1; y(0) = 511. y

2y= e2t,y(0) = 212. ty

+ 2y= sin t,y(/2) = 113. t3y

+ 4t2y= et, y(1) = 014. ty

+ (t + 1)y= t,y(ln 2) = 115. y

+ 3y= t + 1 + e2t, y(0) = 016. Tunjukkanbahwa(t)=e2tadalahsolusi dari y

y=0. Tunjukkanjugabahwauntuksebarangc,y= c(t)jugamerupakansolusi2.2PenyajianMateri 1717. Tunjukkanjikay= (t)merupakansolusidariy

+p(t)y= 0,makay= c(t)jugamerupakansolusiuntuksebarangc.18. Misalkany=y1(t)adalahsolusi dari y

+ p(t)y=0, danmisalkany=y2(t)merupakansolusi dari y

+ p(t)y=g(t). Tunjukkanbahway=y1(t) + y2(t)merupakansolusidariy

+ p(t)y= g(t).19. Perhatikanpersamaanlineary

+ p(t)y= g(t).(i) Jikag(t) 0tunjukkanbahwasolusinyay =Aexp[

p(t)dt], denganAkonstan. (ii) Jikag(t) =0asumsikansolusinyay =A(t) exp[

p(t)dt]denganA(t)sebuahfungsi. Denganmensubstitusikaninikedalampersamaandiferensial,tunjukkanbahwaA(t)harusmemenuhiA

(t) = g(t) exp[

p(t)dt].dantemukany.20. Gunakan soal 19 untuk menyelesaikan (i) y

2y= t2e2tdan (ii) y

+(1/t)y=3 cos 2t,t > 0.2.2.2 PersamaanTerpisahKadang-kadangakanlebihbaikmenggunakanxuntukmenyatakanvareabelbebasdaripadatdalampersamaandiferensial. Dalamkasusinipersamaanumumlinearordesatumempunyaibentukdydx= f(x, y). (2.2.26)Jika persamaan(2.2.26) adalahtaklinear, yakni f tidaklinear dalamvareabelbergantung y, maka tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk menye-lesaikannya. Dalambagianini kitaakanmembahassubklasdari persamaanlinearorde satu yang dapat diintegralkan langsung. Pertama kita tulis kembali persamaan(2.2.26)dalambentukM(x, y) + N(x, y)dydx= 0. (2.2.27)Adalah selalu mungkin untuk mengerjakan ini dengan memisalkan M(x, y) = f(x, y)danN(x, y) = 1,tetapimungkincaralainjugabisa. DalamkasusMhanyafungsidarixdanNhanyafungsidariy,makapersamaan(2.2.26)menjadiM(x) + N(y)dydx= 0. (2.2.28)PersamaaninidisebutpersamaanterpisahkarenadapatdituliskandalambentukM(x)dx + N(y)dy= 0, (2.2.29)18 PersamaanDiferensialOrdeSatukemudiankitadapat memisahkannyadalamruas yanglain. Persamaan(2.2.29)lebihsimetrikdandapatmenghilangkanperbedaanvareabelbebasdantakbebas.Contoh1. Tunjukkanbahwapersamaandydx=x21 y2(2.2.30)adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva inte-gralnya.Jawab. Kitadapattulispersamaan(2.2.30)kedalamx2+ (1 y2)dydx= 0, (2.2.31)yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2.2.28), oleh karena itu terpisah. Periksabahwasukupertamapersamaan(2.2.31)yangmerupakanturunandari x3/3dansukuyang ke dua denganmenggunakanaturanrantai merupakanturunandariy y3/3terhadapx. Jadipersamaan(2.2.31)dapatditulikansebagaiddx

x33

+ddx

y y33

= 0,atauddx

x33+ y y33

= 0.Olehkarenaitukitadapatkanx3+ 3y y3= c, (2.2.32)dimanacadalahsebarangkonstan,yangmerupakankurvaintegraldaripersamaan(2.2.31). Sebuahpersamaandarikurvaintegralyangmelaluisebuahtitiktertentu(x0, y0) dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x0 dan y0 untuk x dan y berturut-turut ke dalampersamaan(2.2.32) dankitadapat temukanc. Sebarangfungsiterturunkan y= (x) yang memenuhi (2.2.32) adalah solusi dari persamaan (2.2.30).Dengan menggunakan cara yang sama untuk persamaan (2.2.28) dengan memisalkanH1danH2adalahsebarangfungsisedemikiansehinggaH

1(x) = M(x), H

2(y) = N(y), (2.2.33)makapersamaan(2.2.28)menjadiH

1(x) + H

2(y)dydx= 0. (2.2.34)DenganmenggunakanaturanrantaiH

2(y)dydx=ddxH2(y),makapersamaan(2.2.34)menjadiddx[H1(x) + H2(y)] = 0. (2.2.35)2.2PenyajianMateri 19Denganmengintegralkanpersamaan(2.2.35)kitadapatkanH1(x) + H2(y) = c, (2.2.36)dengancadalahsebarangkonstan. Setiapfungsi y =(x) yangmemenuhi per-samaan(2.2.36)adalahsolusi dari (2.2.28). Dengankatalainpersamaan(2.2.36)mendenisikansolusi implisitdaripadaeksplisit. Fungsi-fungsi H1danH2adalahantiturunandari MdanNberturut-turut. Dalamprakteknyapersamaan(2.2.36)biasanyadiperolehdaripersamaan(2.2.29)denganmengintegralkansukupertamaterhadapxdansukukeduaterhadapy. Jikapersamaan(2.2.28)ditambahden-gankondisiawaly(x0)=y0makasolusinyamerupakansolusidari(2.2.36)denganmensubstitusikanx = x0dany= y0danakandidapatkanc = H1(x0) + H2(y0).Substitusikankembalickedalampersamaan(2.2.36)dancatatbahwaH1(x) H1(x0) =

xx0M(s)ds, H2(y) H2(y0) =

yy0N(s)ds,makakitadapatkan

xx0M(s)ds +

yy0N(s)ds = 0. (2.2.37)Persamaan(2.2.37) merupakansolusi implisit dari persamaandiferensial (2.2.28)yangmemenuhikondisiawaly(x0) = y0.Contoh2. Selesaikanmasalahnilaiawaldydx=3x2+ 4x + 22(y 1), y(0) = 1. (2.2.38)Jawab. Persamaandierensialinidapatdituliskansebagai2(y 1)dy= (3x2+ 4x + 2)dx.Kitaintegralkanruaskiriterhadapydanruaskananterhadapxdanmemberikany22y= x3+ 2x2+ 2x + c, (2.2.39)dengan c adalah sebarang konstan. Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0dany= 1kedalampersamaan(2.2.39)didapatc=3. Jadisolusimasalahnilaiawaldapatdiberikany22y= x3+ 2x2+ 2x + 3. (2.2.40)Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2.2.40) kita pecahkan y sebagaifungsidarixdankitadapatkany= 1 x3+ 2x2+ 2x + 4. (2.2.41)Persamaan(2.2.41)memberikanduasolusi, tetapihanyaadasatuyangmemenuhikondisiawal,yakniy= (x) = 1 x3+ 2x2+ 2x + 4. (2.2.42)Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2.2.41) yangsebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3.Untukmenentukandaerahdimanasolusi (2.2.42)validyakni kitaharustemukannilaidibawahtandaakarharuslahpositif,jadix > 2.20 PersamaanDiferensialOrdeSatuLatihanSoalUntuksoalno1sampai8tentukansolusiumumnya1. y

= x2/y2. y

+ y2sin x = 03. y

= (cos2x)(cos22y)4.dydx=xexy+ey5. y

=x2y(1+x3)6. y

=(3x21)(3+2y)7. xy

= (1 y2)1/28.dydx=x21+y2Untuksoalno9sampai20pecahkanmasalahnilaiawalyangdiberikan9. y

= (1 2x)y2,y(0) = 1/610. y

= (1 2x)/y, y(1) = 211. xdx + yexdy= 0, y(0) = 112. dr/d = r2/, r(1) = 213. y

= 2x/(y + x2y),y(0) = 214. y

= xy3(1 + x2)1/2,y(0) = 115. y

= 2x/(1 + 2y),y(2) = 016. y

= x(x2+ 1)/4y3,y(0) = 1/217. y

= (3x2ex)/(2y 5),y(0) = 118. y

= (exex)/(3 + 4y),y(0) = 119. sin 2xdx + cos 3ydy= 0,y(/2) = /320. y2(1 x2)1/2dy= arcsin xdx,y(0) = 021. y

= ty(4 y)/3,y(0) = 222.dydx=ay+bcy+d, y(0) = 1, a, b, c, dkonstanta.2.2PenyajianMateri 21TugasTerstrukturSelesaikan1. (1 t2)y

ty= t(1 t2), y(0) = 22. t(2 +t)y

+ 2(1 + t)y= 1 + 3t2, y(1) = 13. y

+ 2y= g(t), y(0) = 0,untuk0 t 1, g(t) = 1dang(t) = 0untukt > 14. y

+ y= 1/(1 + t2), y(0) = 02.2.3 PersamaanLineardanTakLinearDidalammempelajarimasalahnilaiawaly

= f(t, y),y(t0) = y0, (2.2.43)pertanyaanmendasaryangharusdipikirkanadalahapakahsolusinyaada, apakahtunggal, padainterval manaterdenisi danbagaimanamengkonstruksi solusinyaataubagaimanamenggambarkangraknya. Jikapersamaanitulinearmakaterda-patformulaumumdarisolusinya, contohnyasepertipadabagianterdahulu. Tam-bahannya untuk persamaan linear terdapat solusi umum (yang memuat sebuah kon-stanta sebarang) yang memuat semua solusi, dan kemungkinan titik-titik diskontinudari solusi dapat dilokalisasi titik-titikdiskontinudari koesien-koesien. Akantetapi dalamkasus taklinear tidakterdapat formulayangbersesuaiansehinggalebihsulituntukmenyatakansifat-sifatumumdari solusi. Dalambagianini kitaakanpelajariperbedaantersebut.TeoremaEksistensi danKetunggalan. Misalkanf danf/ykontinupadadaerah < t < ,< y< yangmemuattitik(t0, y0). Makadalamsuatuintervalh0. Sehinggakitaperolehmodel matem-atikanya,yaknidpdt= kp, p(0) = p0,yangdisebuthukumMaltusatauhukumeksponesial dari pertumbuhanpopulasi.Penyelesaiandari persamaandiferensial hukummaltusdapatdenganmudahkitatemukan,yaknip(t) = p0 exp(kt).Contoh1. Dalamtahun1790jumlahpendudukAmerika3.93juta, kemudiandalam tahun 1890 62.95 juta jiwa. Gunakan model pertumbuhan Maltus, perkiraanpertumbuhanpendudukAmerikasebagaifungsidariwaktu!Jawab: Misalkanuntukt=0di tahun1790, makadari penyelesaianpersamaandiferensialmodelMaltus,kitaakandapatkanp(t) = 3.93 exp(kt),dimanap(t)adalahjumlahpendudukdalamjuta. Untukmenentukankonstantak,kitaperhatikanbahwadalamtahun1890,saatt = 100,kitadapatkanp(100) = 62.95 = 3.93 exp(100k).Dankitamudahmenemukank,yaknik =ln(62.95) ln(3.93)100 0.027737.Jadi kitaperolehperkiraanpertumbuhanpendudukAmerikasebagai fungsi dariwaktuadalahp(t) = 3.93 exp(0.027737t).Contoh2. Banyaknyabakteri padasuatuwaktutumbuhdalamrata-ratayangproposional denganbanyaknyabakteri saat sekarang. Jikapopulasi dari bakteridalam suatu waktu banyaknya dua kali lipat dalam waktu satu jam, temukan banyak-nyabakteridalamwaktu3.5jam!Jawab: Misalkanxadalahbanyaknyabakteri padasuatuwaktut. Makamodelmatematikanyaadalahdxdt= kx,dimanakadalahkonstantaproposional. Dansolusidaripersamaandiferensialper-tumbuhanbakteriadalahx(t) = x0 exp(kt),2.2PenyajianMateri 35misalkan untuk saat t = 0 banyaknya bakteri awal x = 100, maka kita akan dapatkanx(t) = 100 exp(kt).Padawaktut = 1jumlahbakterimenjadiduakalilipat,maka200 = x(1) = 100 exp(k) k = ln(2).Dankitaperolehperkiraanbanyaknyabakterisetelah3.5jamyaitux(3.5) = 100 exp(3.5 ln(2)) = 100.(23.5) = 1131.Dari keduacontohdanpenyelesaianpersamaandiferensial hukumMaltus dapatdiperhatikan bahwa populasi tumbuh secara eksponensial dari populasi awal. Dalamhal tersebutrata-ratapertumbuhanditentukandenganparameterk, dapatdiper-hatikan bahwa jika kbesar maka pertumbuhan populasi akan lebih cepat bila para-meterkkecil. Parameterinijugamenunjukkanperbedaanukurandanpenyebaranpopulasi untuk k besar dan k kecil. Kenyataannya dalam alam, kebanyakan populasitidak bertumbuh secara eksponensial murni karena populasi akan menuju tak hinggajikawaktunyamenujutakhingga. Jadi kitaperlupemodelanyanglebihrealistikuntuk ini, jika suatu populasi menjadi besar maka mereka akan lebih kompetitif baikuntukmakanan, air, tempatuntukhidupdanlainsebagainya. Dalamsuatuarti,bahwateoryDarwinmenunjukkanbahwapopulasitidakdapatkompetitif. Sebuahmodelpertumbuhanyanglebihrealistisadalahdpdt= h(p)p = f(p),yang tetap sama dengan persamaan pertumbuhan Maltus, hanya saja rata-rata per-tumbuhannyadalamhal ini bergantungpadaukuranpopulasi itusendiri. Per-samaandiferensial pertumbuhanini disebut persamaanAutonomous karenaruaskanandari persamaanitutidakbergantungpadawaktu. Untukmendapatkanse-buahmodelyanglebihrealistiskitatentukanbeberapakenyataanJikapkecil,makapopulasitumbuh(h(p) > 0).Jikapbesar,makapopulasimenurun(h(p) < 0).Cara termudahuntukmenggabungkansifat tersebut di atas dalamsebuahper-samaandiferensial,kitamisalkanh(p) = k ap,sedemikiansehinggajikapkecil, h(p) k>0danjikapbesarh(p) ap 0(tumbuh),jika 0 < p < K,dpdt< 0(menurun),jika p > K.Kitahanyamemperhatikanjikap >0karenakitaberbicaramengenai masalahukuranpopulasi. Perilakudynamicdari solusi dapatdiperhatikandalamgambar(2.2) berikut: Dalam gambar (a) ditunjukkan plot solusi p terhadap waktu t. Solusiequilibriump=KdisebutAsimptoticstabil (asymptoticallystable)karenasemuasolusi menujukep=Kjikat . Ini sangatbertolakbelakangdengansolusiequilibriump=0yangadalahsolusi takstabil karenasemuasolusi menjauhinya.Caralainuntukmelihatperilakudari solusi persamaanlogistikini adalahdenganmemplotfungsi f(p)terhadapp(gambar(b)). Kitalihatbahwajikaf(p)>0kitapunyai pertumbuhandansebaliknyajikaf(p)0adalahkonstantapembandingyangbesarnyabergantungpadasatuanyangdigunakan. Jikadigu-nakansatuankaki untukjarak, ponuntukgaya, sluguntukmass(=132pon), dandetikuntukwaktu,makak = 1dan(2.2.61)menjadiF= mdvdt= ma = md2sdt2, (2.2.62)dimanaaadalahrata-rataperubahankecepatan(biasanyadisebutpercepatan)daribenda, sadalahjarakyangditempuhdari bendadari titiktetap. Sebuahgaya1lbakandiberikanpadabendadenganmassa1slugmakapercepatannyabendaituadalah1ft/det2. Ingat bahwaF,a, danvmerupakanvektor artinyakecualimempunyai besaranjugamempunyai arah. Sehinggasangat pentingtandayangterdapatdalamvektor-vektortersebut. Jikakitatulisdvdt=dvdsdsdt,dankitatahubahwav=dsdt,makapersamaan(2.2.62)dapatditulissebagaiF= mvdvds.Newton juga memberikan ke kita hukum atraksi antara dua benda. Jika m1dan m2adalahduabendayangberjarakr,makagayaatraksiantarakeduabendatersebutadalahF= km1m2r2, (2.2.63)dimanakadalahsuatukonstantapembanding. Sekarangkitaakanmempelajarigerakanvertikal. Misalkan,perhatikangambar(2.4)denganM=massadaribumi,m=massabenda,R=jari-jaribumi,dany=jarakbendadiataspermukaanbumi.42 PersamaanDiferensialOrdeSatuDengan menggunakan rumus (2.2.63), maka gaya antara benda dan bumi, kita asum-sikanmassabumidanbendaterkonsentrasipadapusatnya,menjadiF= GMm(R + y)2,dimanaGadalahkonstantagravitasi. Tandanegatif menunjukkanbahwagayaresultannyakebawah, kepusatbumi. Jikajarakydari bendadi ataspermukaanbumi sangatkecil jikadibandingkandenganjari-jari bumi R, makakesalahandaripenulisangayaatraksinyamenjadiF= GMmR2jugaakankecil. Jari-jari bumi Rkirakira4000mil. Jikajarakbendakira-kira1mil masihdianggapkecil karena(4000 5280)2kaki dan(4001 5280)2kakiakansangatkecil perbedaannya. Denganmengganti sdenganydalampersamaan(2.2.62)makakitaakanperolehmd2ydt2= GMmR2.KarenaG,M, danRadalahkonstan, kitabisamenggantiGMR2dengankonstantabaru, misalkandengang. Olehkarenaitukitaperolehpersamaandiferensial daribendajatuhkarenagayagravitasibumi,yaknimd2ydt2= gm, mdvdt= gm, (2.2.64)dimana v=dydt. Dari persamaan (2.2.64) kita bisa dapatkan bahwa gaya atraksi daribumikebawahadalahdydt2= g. (2.2.65)Jadi konstanta gmerupakan suatu percepatan benda berkaitan dengan gaya atraksibumi. Gayaini seringdisebut dengangayagravitasi bumi. Biasanyadi tempatberbedadari bumi akanmemiliki gayagravitasi yangberbedakarenaperbedaanketinggiannya. Gayagravitasi bumi rata-rata32kaki/det2. Jikakitaintegralkanpersamaan(2.2.65)memberikanpersamaankecepatanv=

dydt

= gt + c1.Danjikakitaintegrasikansekalilagikitaakanperolehpersamaanjaraknya,yakniy= gt22+ c1t + c2.2.2PenyajianMateri 432.2.8 SoalSoalTambahanSelesaikanpersamaandiferensialberikut.1.dydx=x+3y1xy52.dydx+ y=1ex+13.dydx=xx2y+y3,Hint: misalkanu = x24. (2y + 3x)dx = xdy5.dydx=y312xy2,y(0) = 16. (x2y +xy y)dy + (x2y 2x2)dy= 07.dydx=x21y2+1,y(1) = 18. xdy ydx = x

x2y2dy9. yy

xy2+x = 010. xdy + ydx = x3y6dx11. (2y x3)dx +xdy= 012. (x2+ y2)dx + 2xydy= 013. (2x + 3y + 4)dx + (3x + 4y + 5)dy= 014. (2xyex2y+ y2exy2+ 1)dx + (x2ex2y+ 2xyexy22y)dy= 015. y(y22x2)dx + x(2y2x2)dx = 016. xy

= y + xey/x17. xy

+ y y2e2x= 018.dydx=2x+y3+3y2x,y(0) = 019. (x + ey)dy dx = 020.dydx= 2xy+1x2+2y21. (cos 2y sin x)dx 2 tan x sin 2ydy= 022.dydx=2y+x2y22x23. (x2y +xy y)dx + (x2y 2x2)dy= 024.dydx= 3x2y+y22x3+3xy,y(1) = 225. 2 sin y cos xdx + cos y sin xdy= 026. sin ydydx= cos y(1 x cos y),v=1cos y27.dydx= 2xy+y2+1x2+2xy44 PersamaanDiferensialOrdeSatu2.2.9 LatihanSoalPemodelanSederhanaSelesaikanmasalahpemodelansederhanaberikut.1. Jikajumlahpenduduksuatukotaberlipatgandadalam50th, danjikake-cepatan bertambah sebanding dengan jumlah penduduk. Dalam berapa tahunjumlahpendudukberlipattiga?2. Suatubakteri tertentumempunyai kecepatanbertambahsebandingdenganjumlahsaatini. (a)Jikajumlahberlipatgandadalam4jam, berapajumlahsetelah12jam? (b) Jikasetelah3jamberjumlah104dansetelah5jamberjumlah4.104,berapajumlahawalnya?3. Suatu zat mendingin di udara sebanding dengan beda suhu zat dan udara. Jikasuhu udara 300Kdan suhu zat mendingin dari 370Kmenjadi 340Kdalam 15menit. Bilamanakahsuhumenjadi310K?4. Suatubendabergerakpadagarislurusdengankecepatan2kali lebihbesarjaraknyadari titiktertentupadagaris itu. Jikav =5bilat =0, carilahpersamaangeraknya?5. Radiumlenyapdengankecepatansebandingdenganjumlahsekarang. Jikawaktu parohnya 1600 tahun. Temukan prosentasi berkurangnya Radium dalam100tahun?6. Suhuudara290K. Zat tertentumendingindari 370Kke 230Kdalam10menit. Carilahsuhusetelah40menit?7. Radio aktif Plutonium 240 berkurang dan memenuhi persamaandQdt= 0.0525Q.(a) Temukan waktu parohnya! (b) Jika sekarang ada 50 mg, berapa sisa setelah10tahun.8. Radium 226 mempunayi waktu paroh 1620 tahun. Berapa lama massa menjadi1/4bagiannya?9. Sebuahpegasyangberatnyadi abaikantergantungvertikal. Suatumassamkgdigantungkanpadaujungpegas. Jikamassabergerakdengankecepatanv0m/dt. Apabila pegas tidak direntangkan, carilah kecepatan v sebagai fungsirentanganx!10. Carilahwaktuyangdiperlukanagar sejumlahuangberliupat duapada5%bungayangterus menerus. Petunjukdx/dt =0.05x, jikaxadalahjumlahsetelahttahun.Bab3PersamaanDiferensialOrderDua3.1 PendahuluanTerdapat dua alasan mengapa persamaan-persamaan linear yang berorde dua men-jadi sangat penting dalammempelajari persamaandiferensial. Pertama bahwapersamaan-persamaanlinearordeduamempunyaistrukturteoritikyangkayaden-ganmetoda-metoda sistematis dalammenentukansolusi. Denganmetoda yangsitematis ini sangat mudahdimengerti untuklevel matematika yang sederhana.Alasan kedua adalah kita tidak mungkin mempelajari lebih jauh mengenai mekanikacairan,aliranpanas,gerakangelombangataupunpenomenaelektromagnetiktanpamenemukansolusipersamaanlinearordedua.3.1.1 TujuanInstruksionalUmumSetelahmempelajari pokokbahasanIII ini, diharapkanandamampumemahamipersamaandierensialorderdua.3.1.2 TujuanInstruksionalKhususSetelahmempelajaripokokbahasanIIIiniandadapat1. memahamipersamaandiferensialhomogendengankoesienkonstan2. memahamipengertianbergantunglineardanwronskian3. memahamipersamaantakhomogendenganmetodakoesientaktentu4. menyelesaikanpersamaandiferensialdenganoperator D.5. menyelesaikanpersamaandiferensialdenganmetodavareasiparameter6. memahamitentangaplikasipersamaandiferensial.4546 PersamaanDiferensialOrderDua3.2 PenyajianMateriDalambabini kitaakanmembahas persamaandierensial linear ordeduayangmempunyaibentukumumy

+ p(t)y

+ q(t)y= g(t), (3.2.1)dimanap(t),q(t), dang(t)adalahfungsi-fungsikontinupadasuatuintervalwaktuI, dandimanay

=dydt. Hal yangsangatberbedadenganpersamaandierensialordesatuadalahkeunikansolusi dari persamaandierensial ordeduadisyaratkandenganduakondisi awal yangharusdipenuhi yakni y(t0) =y0dany

(t0) =y

0.Tetapipadaakhirnyauntukkitabahwapersamaandierensialordeduaakanlebihmudahmenyelesaikannyadibandingkandenganpersamaandierensial orde satu.Dalamhalinikitahanyaberpedomanpadatigaaturan,yakni

et

= et

et

= 2eta2+ b +c = 0 =bb24ac2aKitaakanmenggunakanketigaaturandiatasdanaturanaljabardalammembahaspersamaan dierensial orde dua dalam bab ini. Secara umum persamaan dierensialorde dualebihpentingjikakitabandingkandenganpersamaandierensial ordesatukarenapersamaandierensialordeduamendiskripsikanlebihluasvariasidarisuatupenomena. Untukcontohnya, kitaakanmenunjukkandalambabini sepertipendulumsederhana, sistemmassapegasdanpenomenaosilatorlainyangdapatdinyatakandenganpersamaandierensialordedua.3.2.1 PersamaanHomogendenganKoesienKonstanKitamulai denganmembahas denganapayangdimaksuddengankoesienkon-standanpersamaanhomogenitu. Yangdimaksuddengankoesienkonstanadalahdenganmengambil fungsi-fungsi p(t)danq(t)dalam(3.2.1)dengannilai konstandanjikakitaambil fungsi g(t)=0akankitasebutsebagai persamaanhomogen.Jadi dalam hal ini kita akan dapat persamaan dierensial homogen dengan koesienkonstanyangdapatdinyatakansebagaiay

+ by

+ cy= 0. (3.2.2)Sebagaicontohilustrasidariperilakupersamaanordedua,kitaambilcontohkasusdimanab = 0dana = 1dalampersamaan(3.2.2),jadiy

+ cy= 0. (3.2.3)Jikac= 1, makakitaakanmenemukansolusi dari persamaany

=y. Bentukfungsi yangbagaimanakahjikakitamendifenesialkanduakali akanmemberikanfungsi semula?. Kitaperhatikantigaaturandi atas, jawabannyaadalahsebuahfungsieksponensial. Dalamkenyataannyakitapunyaiy

y= 0 maka y= c1e(t)atauy= c2e(t). (3.2.4)3.2PenyajianMateri 47Menarik dalam hal ini, kita punyai dua solusi dalam masalah ini. Dengan cara yangsamakitajugaakanmendapatkanduasolusiuntukc = 1,yakniy

+ y= 0 maka y= c1 cos(t) atauy= c2 sin(t). (3.2.5)Dapatkitacatatbahwaduasolusiitumembedakandenganpersamaandierensialorde satu yang dibangun oleh satu solusi dengan sebuah konstanta sebarang. Denganalasaninikitamemerlukanduakondisiawaluntukmasalahpersamaandierensialorde dua. Jadi solusi umumdari persamaandierensial orde duaharus meng-hasilkan dua konstanta sebarang sehingga kita bisa memenuhi kondisi awalnya. Un-tuk lebih jelasnya, terdapat cara mudah untuk menemukan solusi umum persamaandierensial ordeduahomogendengankoesienkonstan. Perhatikankembali per-samaan(3.2.2). Denganmengasumsikansolusinyadalambentuky=e(t), makakitaakandapatkanpersamaankuadratdalamyangnantinyaakankitanamakanpersamaankarakteristikuntuk,yaknia2+ b + c = 0 maka = b b24ac2a. (3.2.6)Jadiduasolusikitaadalahy1=e(+t)dany2=e(t), dansolusiumumnyadapatdinyatakansebagaiy= c1y1 + c2y2= c1e(+t)+c2e(t). (3.2.7)Kontantac1danc2dapat ditentukandari kondisi awal y(t0) dany

(t0). BerikutbeberapacontohyangakanmemberikangambaranyanglebihjelasContoh1. Selesaikany

+ 5y

+ 6y= 0dengany(0) = 2dany

(0) = 3.Jawab. Kita misalkan solusi kita dalam bentuk y= e(t), dan kita substitusikan kepersamaan, sehingga kita akan peroleh persamaan karakteristiknya, yakni 2+5+6=0, yangdenganmudahkitaselesaikan, danakankitadapatkan= 2atau = 3. Jadisolusiumumnyamenjadiy= c1e(2t)+ c2e(3t).Dengankondisiawalyangdiberikanmakakitaperolehy(0) = 2 = c1 + c2dany

(0) = 3 = 2c13c2.Dari kedua relasi itu, kita akan peroleh c1= 9 dan c2= 7, sehingga solusi tunggalkitaadalahy= 9e(2t)7e(3t).Kita akan nyatakan diskusi kita dalam bentuk yang lebih formal, dengan memperke-nalkannotasiL[] =

+p

+ q, (3.2.8)dimanapdanqadalahfungsi-fungsi kontinupadasuatuinterval I (artinya, 0, y1= t2.(b) t2y

+ 2ty

2y= 0, t > 0, y1= t56 PersamaanDiferensialOrderDua3.2.3 PersamaanTakhomogen: KoesientaktentuKitaperhatikanpersamaantakhomogenL[y] = y

+p(t)y

+ q(t)y= g(t),dimana p(t),q(t), dan g(t) adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval I.Dalamkasusinikitapunyaiteorema-teoremapentingberikut.Teorema. JikaY1danY2adalahsolusi-solusidaripersamaantakhomogen,makaY1 Y2solusi dari persamaanhomogen. Danjikay1dany2adalahbasis ataupembangundarisolusi-solusiuntukpersamaanhomogen,makaY1Y2= c1y1 +c2y2,dimanac1danc2adalahkonstanta-konstanta. Untukmelihathal tersebutbenar,kitacatatdengandenisiL[Y1] = g(t) danL[Y2] = g(t).KitadapatkanL[Y1] L[Y2] = g(t) g(t) L[Y1Y2] = 0,yangmengakibatkanY1Y2jugasolusidaripersamaan,jadiY1Y2= c1y1 +c2y2,denganc1danc2adalahkonstanta-konstanta. Kitaakangunakanteroremainiun-tukmembuktikanteoremaberikut.Teorema. Solusiumumpersamaantakhomogendapatdinyatakansebagaiy= (t) = c1y1 + c2y2 +Y (t),dimana y1 dan y2 adalah basis dari persamaan homogen, c1 dan c2 adalah konstanta-konstanta,danY (t)adalahpenyelesaiankususdaripersamaantakhomogen.Bukti teoremaini mengikuti langsungdari teorematerdahuludenganmemisalkanY1= (t)danY2(t) = Y (t)sehinggaY1Y2= (t) Y (t) = c1y1 + c2y2,sehinggamemberikankekita(t) = c1y1 + c2y2 + Y (t).Teorema ini memberikan saran kepada kita bagaimana membangun solusi persamaantakhomogen1. Temukansolusiumumpersamaanhomogennya2. Temukansebuahsolusiuntukpersamaantakhomogen3.2PenyajianMateri 573. Jumlahkankeduanya4. Temukanc1danc2darikondisi-kondisiawalnyaKitatahupersisbagaimanamenemukansolusi-solusi homogen(jugaseringdisebutsolusi komplemenyc). Akantetapikitabelummengetahuibagaimanamenemukansolusikususpersamaantakhomogen(jugaseringdisebutdengansolusi partikularyp). Untukmenemukansolusi kususini kitakebanyakanmenggunakantrikcerdik(metodamenebak). BerikutkitabahasbeberapacontohsebagaiilustrasiContoh. Temukansolusikususpersamaany

3y

4y= 3e2t.Jawab. Untukmenemukansolusi kususnya, kitagunakanmetodamenebakyangmembangune2tdiruaskananpersamaan. Olehkarenaitu,kitamisalkanyp= Ae2t,dimanaAadalahkonstantasebarang,dane2tdigunakankarenajikakitaturunkanhanyakoesiennyadikalikandenganfaktor2. Pertamakitahitungy

p= 2Ae2tdany

p= 4Ae2t.Kitasubstitusikankepersamaansemula,danakankitaperoleh4Ae2t3(2)Ae2t4Ae2t= 3e2t.Karenae2t= 0,makakitabagikeduaruaspersamandengane2t,yangakanmeng-hasilkan4A 6A 4A = 3 A = 12.Jadikususyangdimaksudadalahyp= 12e2t.Contoh. Temukansolusikususpersamaany

3y

4y= 2 sin(t).Jawab. Dalamhalinikitaakanmenebaksolusikususnyaberbentukyp= Asin(t) + Bcos(t).Mengapakitagunakanfungsi sindancosuntukmenebaknya. Hal ini dikarenakankeduafungsidibangunolehfungsisinjikakitaturunkanfungsisinsekaliatauduakali. Jadikitadapatkany

p= Acos(t) Bsin(t) dany

p= Asin(t) Bcos(t).KitasubstitusikankedalampersamaandanakankitadapatkanAsin(t) Bcos(t) 3Acos(t) + 3Bsin(t) 4Asin(t) 4Bcos(t) = 2 sin(t).58 PersamaanDiferensialOrderDuaKitakumpulkansuku-sukusejenis,dankitaperoleh(B 3A 4B) cos(t) + (A + 3B 4A) sin(t) = 2 sin(t).Jadikitaakandapatkan3A 5B = 05A + 3B = 2.Denganmudahkitaselesaikanpersamaantersebut,danakanmemberikanA = 517B =317.Jadisolusikususkitaadalahyp= 517 sin(t) +317 cos(t).Adabebarapaaturanyangrelatif mudahuntukmenemukansolusi kusus denganmetodekoesientaktentu.Jikag(t) = et,makafungsitebakannyayp= AetJikag(t) = cos(t)atausin(t),makayp= Acos(t) + Bsin(t)Jika g(t) = antn+. . . +a2t2+a1t +a0, maka yp= Antn+. . . +A2t2+A1t +A0Jikag(t) = t2et,makayp= (A2t2+ A1t + A0)etJikag(t) = etcos(t)atauetsin(t),makayp= et(Acos(t) + Bsin(t)Jikag(t) =g1(t) + g2(t), y1ptebakanuntukg1(t) dany2puntukg2(t), makayp= y1p + y2pWalaupunmetodeinicukupbaik,sekarangmunculmasalahbagaimanajikafungsitebakankitamerupakansalahsatudari solusi homogennya, makafungsi tebakankitatakpernahakanmembangunsebuahsukuyangmemenuhiruaskanantakho-mogeng(t). Sebagaiilustrasiperhatikancontohberikut.Contoh. Selesaikanpersamaany

+ 4y= 3 sin(2t).Jawab. Pertamakitaselesaikanpersamaanhomogennyay

+ 4y=0, yangakanmemberikansolusikomplemen,yakniyc= c1 cos(2t) + c2 sin(2t).Kita akan menemukan solusi kususnya dengan menggunakan metode menebak yangmemuatfunsi-fungsi sin(2t)dancos(2t). Tetapi fungsi-fungsi tersebutmerupakansolusi-solusi homogennya. Oleh karena itu jika kita menebak solusi kususnya dengan3.2PenyajianMateri 59fungsi-fungsi tersebut, kitatakakanpernahmemenuhi bagiantakhomogennya.Sehinggakitamestimenggunakanfungsitebakannyasebagaiyp= At cos(2t) + Bt sin(2t),yangakanmenemukanbentuksederhanasin(2t)dancos(2t)setelahkitadieren-sialkan. Kitahitungy

p= Acos(2t) + Bsin(2t) 2At sin(2t) + 2Bcos(2t)y

p= 4Asin(2t) + 4Bcos(2t) 4At cos(2t) 4Bt sin(2t).Substitusikankedalampersamaan,dankitaakandapatkan4Asin(2t) + 4Bcos(2t) 4At cos(2t) 4Bt sin(2t) + 4At cos(2t)+4Bt sin(2t) = 3 cos(2t),yangdapatdisederhanakanmenjadi4Asin(2t) + 4Bcos(2t) = 3 cos(2t) A = 0, B=34.Jadisolusiumumkitamenjadiy(t) = c1 sin(2t) + c2 cos(2t) +34t sin(2t),dimanac1danc2adalahkonstanta-konstantasebarang.LatihanSoalUntuk soal no 1 sampai 10 tentukan solusi umumpersamaan dierensial yangdiberikan.1. y

2y

3y= 3e2t2. y

2y

3y= 3tet3. y

+ 9y= t2e3t+ 64. 2y

+ 3y

+ y= t2+ 3 sin t5. u

+ 2ou = cos t,2= 206. u

+ 20u = cos 0t7. y

+ y

+ 4y= 2 sinh t8. y

y

2y= cosh 2t9. y

+ 2y

+ 5y= 3 sin 2t10. y

+ 2y

= 3 + 4 sin 2t.Untuksoalno11sampai15tentukansolusimasalahnilaiawal60 PersamaanDiferensialOrderDua11. y

+ y

2y= 2t, y(0) = 0,y

(0) = 1.12. y

+ 4y= t2+ 3et, y(0) = 0,y

(0) = 2.13. y

2y

+ y= tet+ 4, y(0) = 1,y

(0) = 1.14. y

2y

3y= 3te2t, y(0) = 1,y

(1) = 0.15. y

+ 4y= 3 sin 2t, y(0) = 2,y

(0) = 1.TugasTerstrukturTemukansolusipersamaandierensialyangdiberikan.1. y

+ 2y

+ 5y= 4etcos 2t,y(0) = 1, y

(0) = 02. y

+ 3y

+ 2y= 2t4+ t2e3t+ sin 3t,y(0) = 1,y

(0) = 03. y

+ 2y

+ 5y= 3tetcos 2t 2te2tcos t4. y

+ 2y=Nm=1am sin mt, > 0, = m,m = 1 . . . N5. y

+ 3y

+ 2y= et(t2+ 1) sin 2t + 3etcos t + 4et6. y

+ 2y

+ 5y= 3tetcos 2t 2te2te2tcos t,y(0) = 1,y

(0) = 07. y

+ 4y= t2sin 2t + (6t + 7) cos 2t8. y

4y

+ 4y= 2t2+ 4te2t+ t sin 2t3.2.4 Operator DAdametodeyangbisadipertimbangkandalampenyelesaianpersamaandiferensialordedua,yaknidenganoperator D=ddt. Misalkandipunyaipersamaandiferensiallinearordeduatakhomogeny

+ p(t)y

+ q(t)y= g(t). (3.2.9)Misalkan akar-akar karakteristik yang bersesuaian dengan persamaan diferensial ho-mogen adalah r1dan r2, maka persamaan diferensial (3.2.9) dapat dituliskan dalam(D r1)(D r2)y= g(t). (3.2.10)Denganmemisalkan(D r2)y=u, makakitaperolehduapersamaandiferensialordesatu,yakni(D r1)u = g(t) (3.2.11)(D r2)y = u. (3.2.12)Kitaselesaikanuterlebihdahulubarukemudianyuntukmendapatkansolusiyangdiinginkan dengan menggunakan metoda yang telah kita pelajari pada bab terdahulu3.2PenyajianMateri 61(metodeFaktorIntegral).Contoh. Selesaikany

3y

4y= 3e2t.Jawab. Persamaantersebutdapatdituliskandalambentuk(D 4)(D + 1)y= 3e2t.Misalkan(D + 1)y= u,makadiperoleh(D 4)u = 3e2t(3.2.13)(D + 1)y = u. (3.2.14)DenganmetodeFaktorIntegral kitaperolehfaktor-faktorintegralnyaadalahe4tdanet,danpersamaandiatasmenjadi(ue4t)

= 3e2te4t= 3e2t ue4t=

(3e2t)dt ue4t= 32e2t+ c1 u = 32e2t+ c1e4t.Sehinggakitapunyaiuntukpersamaankedua(yet)

= uet= 32e3t+ c1e5t yet=

(32e3t+ c1e5t)dt yet= (12e3t+c15 e5t) + c2 y= 12e2t+c15 e4t+ c2et y= 12e2t+c3e4t+ c2et.3.2.5 PersamaanTakHomogen: VareasiParameterDalam bagian terakhir bab terdahulu kita telah membahas persamaan tak homogendengangayaluarg(t)yangberbentukL[y] = y

+ p(t)y

+ q(t)y= g(et, et, cos(t), sin(t), tn).Jadi dalam hal g(t) memuat fungsi-fungsi cos, sin, eksponensial, atau polinom seder-hana, kitadapatmenemukansolusi kususnyadenganmetodekoesientaktentu(metodamenebak). Metodatersebutagakterbatas, karenametodaitutidakakanbisa digunakan jika kita punyai fungsi g(t) yang lebih rumit dari fungsi-fungsi terse-but diatas. Oleh karena itukita ingin menemukan suatumetoda yang lebihumumuntukmenemukansolusikususuntukbentukumumg(t). Kitaperhatikankembalisolusihomogeny(t) = c1y1(t) + c2y2(t).62 PersamaanDiferensialOrderDuaSekarangkitamisalkansebuahsolusidalambentuky(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t). (3.2.15)Motivasi kitamenggunakanbentuktebakandi atasadalahbahwabentukdi atassangatmiripdengansolusihomogenkita. Mungkindenganmemisalkanu1danu2(yangberkaitandenganc1danc2berturut-turut)berubahsesuaiwaktu,kitaakandapatmenyelesaiaknpersamaantakhomogen. Kitacatatbahway

= u

1y1 + u1y

1 + u

2y2 + u2y

2.Jika kita dierensialkan sekali lagi persamaan di atas, maka kita akan mendapatkansuku-sukudalambentuku

1danu

2,tetapiinimalahakanmenjadirumitdariper-samaansemulakarenakitamengubahpersamaanordeduadenganduapersamaanordeduayanglain. Untukmengatasimasalahtersebutkitabisapilihu

1y1 + u

2y2= 0.Tidak ada alasan mengapa kita tak dapat memilih kondisi di atas. Jadi kita punyaiy

= u1y

1 + u2y

2,sehinggay

= u

1y

1 +u1y

1+u

2y

2 + u2y

2.Kemudian kita substitusikan y

dan y

ke persamaan semula dan kita akan dapatkanu

1y

1 + u1y

1+ u

2y

2 + u2y

2+ p(u1y

1 + u2y

2) + q(u1y1 +u2y2) = g(t),yangdapatkitasederhanakansebagaiu1(y

1+ py

1 + qy1) + u2(y

2+ py

2 + qy2) + u

1y

1 + u

2y

2= g(t).Tetapi duasukupertamapersamaandi atas samadengannol karenay1dany2adalahsolusi-solusi dari persamaanhomogen. Jadi kitadapatkanduasyaratyangmestidipenuhiagarpersamaandiferensialdapatdipecahkandenganmenggunakanmetodevareasiparameter,yaknidenganpemisalanpersamaan(3.2.15)u

1y

1 + u

2y

2= g(t),u

1y1 + u

2y2= 0.Kita harus menemukan u1dan u2dari sistem persamaan di atas. Pertama kita tulisdalambentukmatrik

y1y2y

1y

2

u

1u

2

=

0g(t)

.Kitadapatkan

u

1u

2

=

y1y2y

1y

2

1

0g(t)

=1W(y1, y2)

y

2y2y

1y1

0g(t)

=1W(y1, y2)

y2g(t)y1g(t)

.3.2PenyajianMateri 63Jadikitaperolehu

1= y2g(t)W(y1, y2)danu

2=y1g(t)W(y1, y2).Denganmengintegralkankembalikitaakandapatkanu1=

y2g(t)W(y1, y2)dt danu2=

y1g(t)W(y1, y2)dt.Kitaperolehsolusikususnya,yakniyp= u1y1 + u2y2= y1

y2g(t)W(y1, y2)dt + y2

y1g(t)W(y1, y2)dt,danpenyelesaianumumnyaadalahy= c1y1 + c2y2 + yp,dimanakonstantac1danc2ditentukandari kondisi-kondisi awalnya. Kitaper-hatikanbahwametodainimemberikancaraumumuntukmenemukansolusiumumpersamaantakhomogen. Hanyasajakitaasumsikankitadapatmengintegralkanfungsig(t)diakhir.Contoh. Selesaikany

+ 4y= 3 csc(t).Jawab. Dalam hal ini g(t) = 3 csc(t) yang cukup sulit untuk menggunakan metodakoesientaktentuataumetodamenebak. Kitatahubahwasolusi homogenatausolusikomplemennyaadalahyc= c1 cos(2t) + c2 sin(2t).UntukmenemukansolusikususnyakitahitungWronskiannyaW(y1, y2) = cos(2t)(sin(2t))

sin(2t)(cos(2t))

= 2.Jadisolusipartikularnyayp= 32 cos(2t)

sin(2t) csc(t)dt +32 sin(2t)

cos(2t) csc(t)dt= 3 cos(2t)

sin(t) cos(t)1sin(t)dt+32 sin(2t)

(cos2(t) sin2(t))1sin(t)dt= 3 cos(2t)

cos(t)dt +32 cos2(t)sin(t)sin(t)

dt= 3 cos(2t) sin(t) + cos(t) sin(2t) +32 sin(2t) ln

tan

t2

.Dankitadapatkansolusiumumnyaadalahy = c1 cos(2t) + c2 sin(2t) +32 sin(2t) ln

tan

t2

3 cos(2t) sin(t) + cos(t) sin(2t),dimanac1danc2ditentukandarikondisiawalyangdiberikan.64 PersamaanDiferensialOrderDuaLatihanSoalUntuk soal no 1 sampai 10 tentukan solusi umumpersamaan dierensial yangdiberikan.1. y

5y

+ 6y= 2et2. y

+ 2y

+ y= 3et3. y

y

2y= 2et4. 4y

4y

+ y= 16et/25. y

+ y= tan t,0 < t < /26. y

+ 9y= 9 sec23t,0 < t < /67. y

+ 4y

+ 4y= t2e2t,t > 08. y

2y

+ y= et/(1 + t2)9. y

5y

+ 6y= g(t)10. y

+ 4y= g(t).Untuksoalno11sampai15tunjukkanbahway1dany2memenuhipersamaanho-mogendantentukansolusikususpersamaantakhomogenyangdiberikan11. t2y

2y= 3t21, t > 0,y1(t) = t2,y2(t) = t1.12. t2y

t(t + 2)y

+ (t + 2)y= 2t3,t > 0,y1(t) = t,y2(t) = tet.13. ty

(1 + t)y

+ y= t2e2t, t > 0,y1(t) = 1 + t,y2(t) = et.14. (1 x)y

+xy

y= g(x),0 < x < 1,y1(x) = ex,y2(x) = x.15. x2y

3xy

+ 4y= x2ln x,x > 0,y1(x) = x2,y2(x) = x2ln x.3.2.6 Aplikasi: ForcedOsilatordanResonansiDalam bagian ini kita akan membahas beberapa aplikasi persamaan dierensial ordedua. KitaingatkankembalitentanghukumNewtonkeduaF= m.a,dimanaFadalahjumlahgaya-gaya, madalammasabenda, danaadalahper-cepatanbendatersebut. Untuklebihjelasnyakitaperhatikansebuahpegasyangmempunyai gayatolakdangayageraksecaraperiodik. Jadi dalamhal ini dapatdinyatakansebagaimy

= ky + f0 cos(t),3.2PenyajianMateri 65dimanagayatolaknyadiperolehmenuruthukumHook. Persamaandi atasdapatditulissebagaiy

+ 20y= F0 cos(t),dengan0=

km, danF0=f0m. Untukmenyelesaikanpersamaandiatas kitagunakan metoda yang telah kita pelajari. Pertama kita selesaikan untuk persamaanhomogennya. Persamaankarakteristiknya2+20= 0 = i0.Jadisolusihomogenyadapatditulissebagaiyc= c1 cos(0t) + c2 sin(0t).Solusi partikularnyadapatditentukandenganmetodakoesientaktentu, denganmemisalkanyp= A1 cos(t) + A2 sin(t),yangsetelahkitasubstitusikankepersamaansemulaakankitadapatkan2A1 cos(t) + 20A1 cos(t) 2A2 sin(t) + 20A2 sin(t) = F0 cos(t).DankitadenganmudahmendapatkanA1danA2,yakniA1=F0202,A2= 0,sehinggasolusiumumkitaadalahy= c1 cos(0t) + c2 sin(0t) +F0202 cos(t).Perlu kita catat bahwa solusi tersebut di atas valid jika = 0. Misalkan = 0 danmisalkan kita berikan kondisi awalnya y(0) = 0 dan y

(0) = 0. Kita substitusikan kedalam persamaan,dan kita akan dapatkan konstantac2= 0 danc1= F0202. Jadisolusinyamenjadiy=F0202(cos(t) cos(0t)).Denganmenggunakanidentitastrogonometri, solusi tersebutdi atasdapatdinya-takansebagaiy=2F0202 sin

02t

sin

0 + 2t

.Jadi solusi kita merupakan gabungan dari dua fungsi dengan frekuensi yang berbeda,artinya02dan0+2. Amplitude-amplitudedari duafungsi tersebutmembetuksuatuyangdisebutiramafrekuensi antarakeduanya. Perhatikanbahwafrekuensicepat atau lambat yang membentuk solusinya. Dalam kasus = 0, kita telah catat66 PersamaanDiferensialOrderDuabahwasolusikitamenjaditakberarti. Haliniterjadikarenasolusikususyangkitapilihsebenarnyasolusihomogennya. Sekarangperhatikany

+ 20y= F0 cos(0t).Dalamhalinibentukfungsitebakankitaadalahyp= At cos(0t) + Bt sin(0t).Kitadierensialkan,dankitaakandapatkany

p= Acos(0t) 0At sin(0t) + Bsin(0t) + 0Bt cos(0t),y

p= 20Asin(0t) 20At cos(0t) + 20Bcos(0t) 20Bt sin(0t).Substitusikankepersamaandankitaperoleh20Asin(0t) + 20Bcos(0t) = F0 cos(0t).Persamaandiatas,terpenuhijikaA = 0 danB=F020.Jadisolusikitamenjadiy= c1 cos(0t) + c2 sin(0t) +F020t sin(0t),yangdenganmensubstitusikankondisi-kondisi awal y(0) =y

(0) =0, kitaakanperolehy=F020t sin(0t).Jadi kitapunyai pertumbuhanyangtakterbatas, artinyasistemyangdiberi gayapadafrekuensi asal akanmenyebabkanosilatortumbuhseperti waktu. Dalamhalini solusi tumbuhmenujutakhinggapadaresonansi frekuensi, danini jauhdarikenyataan, sebabkitatakakanpernahmenemukansesuatuyangtumbuhmenujuketahingga pada kenyataannya. Dalam prakteknya, sebarang sistem phisik mempun-yai sejumlah kecil damping karena mungkin gaya gesek, gesekan udara atau sesuatulain. Sehinggakitabenar-benaringinsebuahsistemmy

+ y

+ ky= f0 cos(t),dimanamenunjukkandampingkita. Solusihomogenkitadiberikandengany= et2+ + k = 0 = 2m

24m2 km.Jika24m2 km< 0,maka= i,3.2PenyajianMateri 67dimana =

km 24m2dan=2m. Dansolusihomogenkitaadalahyc= c1etcos(t) + c2etsin(t),yang berkaitan dengan damping osilator. Ini secara eksak yang kita harapkan karenadamping. Solusikususnyasekalilagikitagunakanmetodakoesientaktentuataumetodavareasiparameter. Kitamisalkandalambentukyp= Acos(t) + Bsin(t).Setelah sedikit hitungan dan manipulasi aljabar kita akan peroleh (pembaca diharapmengeceknya)B =0F0(202)2+ 2020,A =F0(202)(202)2+ 2020,dimana 0=m, 20=km, dan F0=f0m. Oleh karena solusi homogennya akan menujunoljikat ,makakitaakandapatkany(t ) =F0(202)2+2020((202) cos(t) + 0 sin(t)).Perludicatatbahwadalamhal ini sukudampingakanmenjagaagarsolusi tidakmenjaditakterbataspadasaat= 0. Sehinggabagaimanapunkecilnyadampingitu,tetapitetapmemilikipengaruh. Beberapaaplikasilainyangberkaitandenganfrekuensi natural seperti mikrowave ovens (frekuensi naturalnya adalah vibrasi modedarimolekulair),lasers,dribblingbolabasket,jugaambruknyaJembatanTacomaNarrowdimanaangindapatmenyebabkannya.Contoh. Selesaikanpersamaandiferensialberikutdanplotsolusinya.1. y

+ y= 0.5 cos 0.8t, y(0) = 0, y

(0) = 02. y

+ y= 0.5 cos 0.8t, y(0) = 0, y

(0) = 03. y

+ y

+y= 0.5 cos 0.8t, y(0) = 1, y

(0) = 04. y

y

+ y= 0.5 cos 0.8t, y(0) = 1, y

(0) = 0Jawab.1. Padasoal 1, diketahui 0=1dan=0.8. Jadi 0 =, sehinggasolusinyadiberikandengany =c1 cos t+c2 sin t 2518 cot4t5 . Setelahdisubstitusikankondisiawaly(0) = 0, y

(0) = 0diperolehy= 2518 cos t +2518 cos 4t5 ,atauy=2518 sin(0.1t) sin(0.9t).Plotsolusidapatdilihatdalamgambar3.168 PersamaanDiferensialOrderDua2101210 20 30 40 50 60tGambar3.1: Ploty

+ y = 0.5 cos 0.8t.2. Padasoal 2, diketahui 0=1dan=1. Jadi 0=, sehinggasolusinyadiberikandengany= c1 cos t + c2 sin t +14 cot 1 +14t sin t.Setelahdisubstitusikankondisiawaly(0) = 0, y

(0) = 0diperolehy=14t sin t.Plotsolusidapatdilihatdalamgambar3.2105051010 20 30 40tGambar3.2: Ploty

+ y = 0.5 cos t.3.2PenyajianMateri 693. Pada soal 3, diketahui akar-akar karakteristiknya adalah = 12i

32. Dapatmudahditemukansolusiumumnyaadalahy= et

c1 cos(32t) + c2 sin(32t)

+225962 cos

4t5

+250481 sin

4t5

Setelahdisubstitusikankondisiawaly(0) = 1, y

(0) = 0diperolehy= 21962 e1/2 tsin

1/23t 3 +737962 e1/2 tcos

1/23t

+225962cos (4/5 t) +250481sin (4/5 t) .Plotsolusidapatdilihatdalamgambar3.30.60.40.200.20.40.60.8110 20 30 40 50tGambar3.3: Ploty

+ y

+ y = 0.5 cos t.4. Pada soal 4,diketahui akar-akar karakteristiknya adalah =12i

32. Dapatmudahditemukansolusiumumnyaadalahy= et

c1 cos(32t) + c2 sin(32t)

+225962cos (4/5 t) 250481sin (4/5 t)Setelahdisubstitusikankondisiawaly(0) = 1, y

(0) = 0diperolehy=21962 e1/2 tsin

1/23t 3 +737962 e1/2 tcos

1/23t

+225962cos (4/5 t) 250481sin (4/5 t) .Plotsolusidapatdilihatdalamgambar3.470 PersamaanDiferensialOrderDua806040200202 4 6 8 10tGambar3.4: Ploty

y

+ y = 0.5 cos t.LatihanSoalSelesaikan persamaan diferensial berikut dan plot solusinya (gunakan program Maple).1. y

+ y= 0.5 sin 0.6t, y(0) = 0, y

(0) = 02. y

+ y= 0.5 sin 0.6t, y(0) = 0, y

(0) = 03. y

+ y

+ y= 0.5 sin 0.6t, y(0) = 1, y

(0) = 04. y

y

+ y= 0.5 sin 0.6t, y(0) = 1, y

(0) = 03.2.7 PemodelanMatematikaSederhana1. Suatuayunandenganpanjangl danmassambergantungdi titikP(lihatgambar 3.5). Dengan mengabaikan semua gaya kecuali gaya gravitasi, temukanpersamaangeraknya.Jawab. MisalkantitikmassaCakanbergerakmelingkardenganjari-jari ldanberpusatdi P. Misalkanadalahsudutdalamarahpositifyangdibuatolehtali dengangarisvertikal padasaatt. Makakomponensepanjanggarissinggungmenjadimg sin . JikasmerupakanpanjangbusurC0C,makaakandipunyais = ldanpercepatansepanjangbusurmenjadid2sdt2= ld2dt2.Sehinggakitaakanmempunyairelasimld2dt2= mg sin ,3.2PenyajianMateri 71Pmgsl mg sin C0CGambar3.5: Pendulum.atauld2dt2= g sin .Denganmengalikanpersamaandiataskitakalikandengan2ddtdankitainte-grasikan,kitaperolehl

ddt

2= 2g cos + C1,ataud2g cos +C1= dtl.Integraltersebuttidakdapatdinyatakandalamfungsisederhana. Dalamhal kecil maka kita bisa aproksimasi sin sehingga persamaan pendulumnyamenjadid2dt2+gl = 0,yangdenganmudahdiselesaikan,yakni = C1 cosglt + C2 singlt.Hasilinimerupakancontohgerakharmoniksederhanadenganamplitudo

C21+ C22 danperiod 2

lg.72 PersamaanDiferensialOrderDua2. SuatuboladenganmassamdilemparkeatastegaklurusdarititikOdengankecepatanawal v0. Carilahtinggi maksimumyangdicapai, denganmeng-gandaikanbahwatekananudarasebandingdengankecepatan.Jawab. Perhatikan gambar 3.6 Misalkan arak bola ke atas dari titikOadalahKvmgOxGambar3.6: Gerak Lurus.positif. Danmisalkanxadalahjarakmassadari Opadasaatt. Padamassaadaduagayayangbekerja,yaknigayagravitasiyangbesarnyamgdangayatahan yang besarnya berbanding dengan kecepatan yakni Kv= Kdxdt, yang se-muagayamempunyaiarahkebawahkarenaboladilemparkeatas. MenuruthukumNewtonbahwamv=jumlahgaya,makamd2xdt2= mg kdxdt,ataukitatuliskand2xdt2+ kdxdt= g,dimanaK= mk. Denganmudahdapatkitadapatkansolusidaripersamaandiferensialordeduahomogen,yakni.x = C1 + C2ektgkt.Dengankondisiawalt=0,x(0)=0,danv(0)=v0, kitaperolehC1=C2=v0k+gk2,sehinggakitaperolehx =1k2(g + kv0)(1 ekt) gkt.Tinggi maksimudicapai bilav=0, dandiperoleht =1k lng+kv0g. Sehinggatinggimaksimumnyax(t) =1k(v0gk ln g + kv0g).3.2PenyajianMateri 733. Suatumassambergerakbebassepanjangsumbux,ditarikmenujutitikasaldengangayasebandingdenganjaraknyadarititikasal. Temukanpersamaangeraknya(a) jikagerakantersebut mulai dari diamdi x=x0dan(b) bilagerakantersebut mulai di x=x0dengankecepatanawal v0yangbergerakdarititikasal.Jawab. Misalkanxadalahjarakdarimassadantitikasalpadasaatt. Makamd2xdt2= Kx,ataud2xdt2+ k2x = 0,denganK= mk2. Kita selesaikan persamaan diferensial tersebut dan menda-patkanx = c1 sin kt + c2 cos kt.Bilakitaturunkanterhadapt,kitadapatkanv=dxdt= kc1 sin kt kc2 sin kt.(a)Bilat = 0, x = x0danv= 0,makadidapatc1= 0danc2= x0. Solusinyamenjadi x=x0 cos kt. Ini merupakangerakanharmonikdenganaplitudox0danperiod2/k.(b)Bilat=0, x=x0danv=v0, makac2=x0,c1=v0/k. Jadi solusinyamenjadix =v0ksin kt + x0 cos kt.Inimerupakangerakanharmonikjugadenganamplitudo

v20 + k2x20k,danperiodenya2/k.3.2.8 LatihanPemodelan1. Sketsafungsix = 2 sin(3t /2)2. Jikax= cos t + 3 sin t, berapakanamplitudodanphasenya. Gambarkangraknya.3. Samadengansoaldiatasuntukx = cos t + 3 sin(t /6)74 PersamaanDiferensialOrderDua4. denganmenggunakanderetTaylorsin x = x x33!+x55! x77!+ . . .cos x = 1 x22!+x44! x66!+ . . .ex= 1 + x +x22!+x33!+. . .Tunjukkanbahwauntukreal(a) eit= cos t + i sin t(b) eit= cos t i sin t5. Tunjukkanbahwax=c1 cos t + c2 sin tadalahsolusi umumdari md2xdt2=kx. Berapakan nilai . Nyatakan solusi terse but dalambentuk x =Bcos(t +0).6. Sebuahmassadigantungkanpadapegassehinggapegasmerenggangsebesar2.5cm. Berapakahfrekuensialamai(natural)dariosilasisistemmassapegas?7. Dalampersamaandiferensial sistemmassapegasmd2xdt2+ cdxdt+ kx=0. Jikafriksi cukupkecil (c2