PersamaanDiferensialOrde2dinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.6-Persamaan_Diferensial_Orde_Dua_.pdf · PersamaanDiferensialOrdeDuaHomogen Secaraalamiahnilairiilpadas akanselalunegatif.

Persamaan Diferensial Orde 2

Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum persamaan orde dua adalah:

y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kontinu. 

Jika r(x)=0, p(x) dan q(x) konstan disebut persamaan homogen

Jika r(x)0, disebut persamaan nonhomogen.

Bentuk umum rangkaian orde dua:

dengan fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian

fungsi yang menyatakan sinyal input

)()()()(212

2

txtykdt

tdykdt

tyd

)(ty

)(tx

Persamaan Diferensial Orde Dua

Persamaan orde dua dengan bentuk

merupakan persamaan nonhomogen.

Bentuk persamaan homogennya adalah

Persamaan diferensial homogen inilah yang memberikarakteristik pada solusi persamaannya.

Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentukeksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.

)()()()(212

2

txtykdt

tdykdt

tyd

0)()()(212

2

tykdt

tdykdt

tyd

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Misalkan solusi persamaan diferensial adalah

Persamaan diferensial homogen menjadi

Akar persamaan

0212

2

ststst

Aekdt

dAekdtAed

stAety )(

0212 stAeksks

0212 ksks

24 2

211

2,1

kkks

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Akar persamaan diferensial homogen telah

Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2

s dua nilai riil berbeda saat

s dua nilai riil sama saat

s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat

24 2

211

2,1

kkks

04 221 kk

04 221 kk

04 221 kk

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebutoverdamped:

Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped:

Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umumdisebut critically damped: 

Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehinggadiperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)

tsts BeAety 21)(

ojs 2,1

tBtAety oot sincos)(

steBAtty )(

1s 2s

sss 21

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.

Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.

Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda

)0(ydt

dy )0(

BAy )0(tsts BeAety 21)(

tstststs BesAesBeAedtd

dttdy

212121

)(

sehingga

sehingga BsAsdt

dy21

)0(

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Saat dua akar riil sama

Saat dua akar kompleks

By )0( steBAtty )( sehingga

stst eBsAAeBAtdtd

dttdy

)(

sehingga BAsdt

dy 1)0(

tBtAety oot sincos)( Ay )0(sehingga

tABtBAetBtAedtd

dttdy

oooot

oot sincossincos)(

sehingga oBAdt

dy )0(

Contoh 1

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1

Jawab:

0)()(5)(4 2

2

tydt

tdydt

tyd

Persamaan diferensial: 0)()(5)(4 2

2

tydt

tdydt

tyd

Bila makastAety )(

Sehingga persamaan menjadi

dan diperoleh dua akar riil:

𝑦 𝑡 𝐴𝑠𝑒 dan 𝑦" 𝑡 𝐴𝑠 𝑒

4𝑠 +5s+1=0

𝑠 1 𝑠dan

Contoh 1 (lanj)

Dengan adanya 2 akar riil ‐1 dan ‐1/4 maka solusi umumnyaberbentuk:

Diketahui y(0)=3  maka

Diketahui juga y’(0)=1  maka

sehingga

Dari pers. (1) dan (2) didapatkan:

Solusi persamaan diferensial:

𝑦 𝑡 𝐴𝑒 +𝐵𝑒

𝑦 0 𝐴 𝐵 3

𝑦 𝑡 𝐴𝑒 𝐵𝑒

𝑦 0 𝐴 𝐵 1

(1)

(2)

𝐴 dan 𝐴

𝑦 𝑡 𝑒 + 𝑒

Contoh 2

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5

0)(41)()(

2

2

tvdt

tdvdt

tvd

Solusi:

𝑣 𝑡 2𝑒 6𝑡𝑒

Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama

Contoh 3

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3

Solusi:

0)()(4)(6 2

2

tidt

tdidt

tid

𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin

Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kompleks

Solusi Persamaan Non Homogen

Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen

dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial

nonhomogen maka kombinasi juga

merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen

Persamaan Nonhomogen

)(2 ty

xykyky 21 ''')()()( 21 tytyty

xykykyykyky 2221212111 ''''''

)()()()(212

2

txtykdt

tdykdt

tyd

xykyky 22212 '''

=0

ataugunakan

maka

)()()( 21 tytyty

y1 solusi persamaan homogen

)(1 ty

Solusi Persamaan Non Homogen

Untuk menentukan solusi persamaan diferensial

nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang

menyerupai dengan konstanta bentuk umum. 

Misalnya untuk pilih

Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial danselesaikan untuk konstantanya

)(2 ty

)(tx

ttx 5)( BAtty )(2

Contoh 4

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3Jawab:Persamaan diferensial homogennya adalah

Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperolehpada Contoh 3 yaitu: 

ttidt

tdidt

tid 2)()(4)(6 2

2

0)()(4)(6 2

2

tidt

tdidt

tid

𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin

Contoh 4 (lanj)

Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Pilih dan masukkan ke persamaan di atas

sehingga didapat dan

dan diperoleh dan

ttidt

tdidt

tid 2)()(4)(6 2

2

BAtti )(2

tBAtdt

BAtddt

BAtd 2)()(4)(6 2

2

tBAtA 240

𝐴𝑡 4𝐴 𝐵 2𝑡𝐴 2 4𝐴 𝐵 0

𝐴 2, 𝐵 8 𝑖 𝑡 2𝑡 8

Contoh 4

Solusi persamaan diferensial homogen

Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah

𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin

𝑖 𝑡 2𝑡 8

𝑖 𝑡 𝑖 𝑡 𝑖 𝑡

𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin 2𝑡 8

TABEL SOLUSI PARTIKULAR

PD orde 2: y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x)Solusi: y=yh+yp

yh = solusi homogenyp = solusi partikular

LATIHAN

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER

LATIHAN