Page 1
i
PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Yofian Paskalis Putra Tumanggor
NIM: 153114029
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 2
ii
CAUCHY FUNCTIONAL EQUATIONS
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Mathematics
Mathematics Study Program
By:
Yofian Paskalis Putra Tumanggor
NIM: 153114029
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 3
vi
MOTTO
βLakukanlah kewajibanmu dengan setia terhadap Tuhan, Allahmu, dengan
hidup menurut jalan yang ditunjukkanNya, dan dengan tetap mengikuti
segala ketetapan, perintah, peraturan dan ketentuanNya, seperti yang
tertulis dalam hukum Musa, supaya engkau beruntung dalam segala yang
kaulakukan dan dalam segala yang kautujuβ (1 Raja-raja 2:3)
βWhat, then, shall we say in response to these things? If God is for us, who
can be against us?β (Rome 8:31)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 4
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tuaku dan keluargaku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 5
viii
ABSTRAK
Persamaan adalah pernyataan yang menegaskan dua ekspresi. Fungsi adalah
suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota
kodomain. Jadi, persamaan fungsional adalah persamaan di mana unsur yang tidak
diketahui mewakili fungsi.
Persamaan fungsional pada tugas akhir ini difokuskan pada persamaan
fungsional Cauchy. Penulis mempelajari persamaan fungsional aditif Cauchy dan
menunjukkan kekontinuan atau fungsi aditif yang terintegral lokal adalah linear.
Selanjutnya, penulis menyelidiki perilaku persamaan fungsional aditif diskontinu
dan menunjukkan bahwa fungsi menampilkan perilaku tak biasa, yaitu grafiknya
padat dalam bidang. Lebih lanjut akan dibahas mengenai basis Hamel dan
penggunaannya untuk membangun fungsi aditif diskontinu. Fungsi aditif kompleks
juga akan dibicarakan. Terakhir, penulis mempelajari bagaimana tiga jenis
persamaan fungsional Cauchy, yakni penyelesaian persamaan fungsional pangkat,
logaritma, dan multiplikatif Cauchy.
Kata kunci: persamaan fungsional, persamaan fungsional aditif Cauchy,
penyelesaian kontinu, basis Hamel, penyelesaian diskontinu, persamaan fungsional
pangkat Cauchy, persamaan fungsional logaritma Cauchy, persamaan fungsional
multiplikatif Cauchy.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 6
ix
ABSTRACT
Equation is a statement that asserts the equality of two expressions. Function
is a relation that connects every member of the domain with exactly one member of
the codomain. Functional equation is an equation where the unknowns are
functions.
The functional equation in this thesis is focused on the Cauchy functional
equations. The author studies the Cauchy additive functional equation and shows
that the continuity or locally integrable additive functions are linear. Next, the
author explore the behavior of discontinuous additive functional equations and
show that they display a very strange behavior, that is their graphs are dense in the
plane. Further, it will be discussed the Hamel basis and its use for constructing
discontinuous additive functions. Complex additive functions are also discussed.
Lastly, the author studies the three types of Cauchy functional equations, namely
the solution of the exponential, logarithmic, and multiplicative Cauchy functional
equation.
Keywords: functional equation, additive Cauchy functional equation, continuous
solution, Hamel basis, discontinuous solution, Cauchy exponential functional
equation, Cauchy logarithmic functional equation, Cauchy multiplicative
functional equation.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 7
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. v
MOTTO ............................................................................................................ vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................... vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ...................................................................................................... ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................ x
KATA PENGANTAR ....................................................................................... xi
DAFTAR ISI ................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3
C. Batasan Masalah ....................................................................................... 3
D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 3
F. Metode Penulisan ...................................................................................... 3
G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 4
BAB II PERSAMAAN FUNGSIONAL ADITIF CAUCHY ............................ 5
A. Penyelesaian Kontinu Persamaan Fungsional Aditif Cauchy ..................... 5
B. Penyelesaian Diskontinu Persamaan Fungsional Aditif Cauchy ............... 14
C. Kriteria Linearitas ................................................................................... 22
D. Fungsi Aditif pada Bidang Kompleks ...................................................... 25
BAB III BEBERAPA PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY LAINNYA
.......................................................................................................................... 30
A. Penyelesaian Persamaan Fungsional Pangkat Cauchy .............................. 30
B. Penyelesaian Persamaan Fungsional Logaritma Cauchy .......................... 34
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 8
xiv
C. Penyelesaian Persamaan Fungsional Multiplikatif Cauchy....................... 37
BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 44
A. Kesimpulan ............................................................................................. 44
B. Saran ....................................................................................................... 44
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 45
LAMPIRAN ..................................................................................................... 47
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 9
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Persamaan adalah suatu proposisi yang mengandung relasi sama
dengan dan memuat satu atau lebih variabel. Fungsi adalah suatu relasi yang
menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota
kodomain. Persamaan fungsional adalah persamaan di mana unsur yang
tidak diketahui mewakili fungsi. Contoh-contoh persamaan fungsional antara
lain: π(π₯) β π(π¦) = π₯ β π¦, π(π₯)π(π¦) = π(π₯ + π¦), π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦),
π(π₯) + π(π¦) = π₯ + 2π¦, dan sebagainya. Persamaan fungsional muncul di
banyak cabang matematika dan bahkan di bidang lain seperti teknik dan ilmu
sosial. Ada beberapa persamaan fungsional yang dikenal, antara lain
persamaan fungsional Jensen, persamaan fungsional Cauchy, persamaan
fungsional Pexider, persamaan fungsional dβAlembert, persamaan
fungsional Pompeiu, persamaan fungsional Hosszu, persamaan fungsional
Davison, dan persamaan fungsional Abel.
Persamaan fungsional yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah
persamaan fungsional Cauchy, yang salah satunya berbentuk π(π₯ + π¦) =
π(π₯) + π(π¦) dan biasa disebut persamaan fungsional aditif Cauchy.
Kemudian akan dibahas juga sifat-sifat yang berkaitan antara lain mencari
penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy, penyelesaian persamaan
fungsional pangkat Cauchy, penyelesaian persamaan fungsional logaritma
Cauchy, dan penyelesaian persamaan fungsional multiplikatif Cauchy.
Pada tugas akhir ini akan banyak menggunakan sebuah cabang dari
matematika yaitu kalkulus. Seperti kita ketahui, kalkulus adalah suatu cabang
matematika yang mempelajari tentang limit, kekontinuan, turunan, integral
dan deret tak hingga. Teori kalkulus yang banyak digunakan dalam
menyelesaikan persamaan ini adalah kalkulus diferensial dan integral.
Persamaan fungsional yang sudah banyak dipelajari adalah persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 10
2
diferensial dan persamaan integral. Beberapa contoh persamaan diferensial
adalah:
1. πβ²(π₯) + ππ₯ = 5
2. π"(π₯) + πβ²(π₯) + sin (π₯) = 0
Jika persamaan diferensial telah banyak dipelajari, maka ada juga
persamaan yang melibatkan integral dari sebuah fungsi yang tidak diketahui
dan dikenal dengan persamaan integral. Beberapa contoh persamaan integral
adalah:
1. π(π₯) = ππ₯ β« ππ₯βπ‘π(π‘)ππ‘π₯
0
2. π(π₯) = sin(π₯) + β« [1 β π₯cos(π₯π‘)]π(π‘)ππ‘1
0
Lebih jauh, akan dibahas tiga bentuk persamaan fungsional Cauchy,
yaitu:
1. π(π₯ + π¦) = π(π₯)π(π¦) (Persamaan fungsional pangkat Cauchy)
2. π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦) (Persamaan fungsional logaritma Cauchy)
3. π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦) (Persamaan fungsional multiplikatif Cauchy)
Banyak dari persamaan fungsional berasal dari matematika terapan.
Pada saat ini, permasalahan di bidang sains dan teknik secara umum
dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial. Untuk menghasilkan kedua persamaan diferensial tersebut
diperlukan beberapa tahap yang tentunya memerlukan fungsi sebagai alat
bantunya. Manfaat lain dari persamaan fungsional adalah pemrograman
dinamis atau dikenal juga sebagai optimisasi dinamis yang selanjutnya
bermanfaat juga dalam optimisasi matematis, bioinformatika, dan
pemrograman komputer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 11
3
B. Rumusan masalah
1. Bagaimana menyelesaikan persamaan fungsional aditif Cauchy dan
sifat-sifat penyelesaian tersebut ?
2. Bagaimana mencari penyelesaian kontinu dan penyelesaian diskontinu
di persamaan fungsional aditif Cauchy ?
3. Bagaimana penyelesaian persamaan pangkat Cauchy, persamaan
logaritma Cauchy, dan persamaan multiplikatif Cauchy ?
C. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini akan dibahas persamaan fungsional yang
dikembangkan oleh Augustin-Louis Cauchy.
D. Tujuan Penulisan
Menyelesaikan berbagai jenis persamaan fungsional Cauchy yang meliputi
penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy, persamaan fungsional
pangkat Cauchy, persamaan fungsional logaritma Cauchy, dan persamaan
fungsional multiplikatif Cauchy.
E. Manfaat Penulisan
Penulis memperoleh pengetahuan baru dan dapat menjadi referensi bagi
pembaca maupun peneliti lain.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah
studi pustaka dengan membaca buku dan jurnal.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 12
4
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN FUNGSIONAL ADITIF CAUCHY
A. Penyelesaian Kontinu Persamaan Fungsional Cauchy
B. Penyelesaian Diskontinu Persamaan Fungsional Cauchy
C. Kriteria Linearitas
D. Fungsi Aditif pada Bidang Kompleks
BAB III BEBERAPA PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY LAINNYA
A. Penyelesaian Persamaan Fungsional Pangkat Cauchy
B. Penyelesaian Persamaan Fungsional Logaritma Cauchy
C. Penyelesaian Persamaan Fungsional Multiplikatif Cauchy
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 13
5
BAB II
PERSAMAAN FUNGSIONAL ADITIF CAUCHY
A. Penyelesaian Kontinu Persamaan Fungsional Aditif Cauchy
Pada subbab ini, kita perkenalkan persamaan fungsional aditif Cauchy dan
bagaimana menentukan penyelesaian umumnya. Persamaan fungsional adalah
persamaan di mana unsur yang tidak diketahui mewakili fungsi, misalnya
π(π₯ + π¦) = π(π₯) + π(π¦), π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦), π(π₯) β π(π¦) = π₯ β π¦,
π(π₯ + π¦) =π(π₯)+π(π¦)
1βπ(π₯)π(π¦), dan sebagainya.
Diketahui fungsi π βΆ β βΆ β, dengan β adalah himpunan semua bilangan real,
yang memenuhi persamaan fungsional
π(π₯ + π¦) = π(π₯) + π(π¦), (1.1)
untuk setiap π₯, π¦ β β. Persamaan fungsional ini dikenal sebagai persamaan
fungsional aditif Cauchy. Persamaan (1.1) ini pada awalnya dipelajari oleh A.M.
Legendre (1791) dan C.F. Gauss (1809), tetapi A.L. Cauchy (1821) yang pertama
kali menemukan penyelesaian umum yang kontinu dari persamaan (1.1).
Persamaan (1.1) mempunyai peran penting dalam matematika dan ditemui pada
banyak bidang matematika.
Definisi 1.1
Sebuah fungsi π βΆ β β β disebut fungsi aditif jika memenuhi persamaan
fungsional aditif Cauchy
π(π₯ + π¦) = π(π₯) + π(π¦)
untuk setiap π₯, π¦ β β.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 14
6
Definisi 1.2
Sebuah fungsi π βΆ β β β disebut fungsi linear jika berbentuk
π(π₯) = ππ₯,
untuk setiap π₯ β β dengan π adalah suatu konstanta.
Grafik fungsi linear π(π₯) = ππ₯ adalah sebuah garis non-vertikal yang melewati titik
pusat koordinat.
Lema 1.1
Setiap fungsi linear memenuhi persamaan fungsional aditif Cauchy.
Bukti:
Ambil sebarang π₯, π¦ β β, maka berlaku
π(π₯ + π¦) = π(π₯ + π¦) = ππ₯ + ππ¦ = π(π₯) + π(π¦) β
Selanjutnya muncul pertanyaan, apakah ada fungsi lain yang memenuhi persamaan
fungsional aditif Cauchy?
Kita mulai dengan menunjukkan bahwa hanya fungsi linear yang merupakan
penyelesaian kontinu dari persamaan fungsional aditif Cauchy. Penyelesaian
kontinu dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821. Kita ingat dahulu Teorema
Fundamental Kalkulus yaitu jika π kontinu pada selang tertutup terbatas [π, π] dan
π₯ sebarang titik di (π, π), maka berlaku : π
ππ₯β« π(π‘)ππ₯ = π(π₯)
π₯
π.
Teorema 1.1
Jika fungsi kontinu π βΆ β β β memenuhi persamaan fungsional aditif Cauchy
(1.1), maka π adalah fungsi linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 15
7
Bukti:
Pertama, ditetapkan sebuah nilai π₯. Selanjutnya, dengan mengintegralkan terhadap
variabel π¦ kita memperoleh
π(π₯) = β« π(π₯)ππ¦1
0
= β« [π(π₯ + π¦) β π(π¦)]ππ¦1
0
= β« π(π’)ππ’ β1+π₯
π₯β« π(π¦)ππ¦,
1
0
dengan π’ = π₯ + π¦. Karena π kontinu dan dengan menggunakan Teorema
Fundamental Kalkulus diperoleh
πβ²(π₯) = π(1 + π₯) β π(π₯). (1.2)
Sifat aditif dari π memberikan
π(1 + π₯) = π(1) + π(π₯). (1.3)
Substitusikan persamaan (1.3) ke persamaan (1.2), untuk mendapatkan
πβ²(π₯) = π(1 + π₯) β π(π₯) = π(1) + π(π₯) β π(π₯) = π,
dengan π = π(1) β β. Dengan menyelesaikan persamaan diferensial orde satu di
atas diperoleh
π(π₯) = ππ₯ + π, (1.4)
untuk suatu konstanta π. Selanjutnya, dengan mensubstitusi persamaan (1.4) ke
persamaan (1.1),
π(π₯ + π¦) = π(π₯) + π(π¦)
ππ₯ + ππ¦ + π = ππ₯ + π + ππ¦ + π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 16
8
π = 2π.
Oleh karena itu π harus nol. Dengan kata lain, dari persamaan (1.4), terbukti bahwa
π linear. β
Diperhatikan bahwa pada Teorema 1.1 kekontinuan dari π telah digunakan untuk
menyimpulkan bahwa π juga terintegral. Keterintegralan π mengakibatkan
penyelesaian π dari persamaan aditif Cauchy menjadi linear. Dengan kata lain,
setiap penyelesaian terintegral dari persamaan aditif Cauchy juga linear.
Definisi 1.3
Sebuah fungsi π βΆ β β β dikatakan terintegral lokal pada β jika dan hanya jika π
terintegral pada setiap interval tertutup dan terbatas πΌ β β. Sebagai contoh,
π(π₯) = 1, π(π₯) = π₯2, π(π₯) = sin π₯, dan sebagainya
Dari contoh di atas, π(π₯) = 1 merupakan fungsi terintegral lokal pada β tetapi
tidak terintegral pada β saat garis real menuju tak hingga. Contoh lain fungsi
terintegral lokal pada β tetapi tidak terintegral pada β yaitu, π(π₯) =1
π₯ pada
interval (0, π) dengan π > 0.
Teorema 1.1.1
Setiap penyelesaian terintegral lokal dari persamaan aditif Cauchy merupakan
fungsi linear.
Bukti:
Dari persamaan aditif Cauchy, yakni
π(π₯ + π¦) = π(π₯) + π(π¦)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 17
9
untuk setiap π₯, π¦ β β, dan dengan menggunakan keterintegralan lokal dari f
diperoleh
π¦π(π₯) = β« π(π₯)ππ§π¦
0
= β« [π(π₯ + π§) β π(π§)]ππ§π¦
0 (π’ = π₯ + π§)
= β« π(π’)ππ’ βπ₯+π¦
π₯β« π(π§)ππ§
π¦
0
= β« π(π’)ππ’ βπ₯+π¦
0β« π(π’)ππ’ β β« π(π’)ππ’
π¦
0
π₯
0.
Ruas kanan dari persamaan di atas tidak berubah terhadap pertukaran x dan y. Jadi,
π¦π(π₯) = π₯π(π¦)
untuk setiap π₯, π¦ β β. Oleh karena itu, untuk π₯ β 0, diperoleh
π(π₯)
π₯= π,
untuk suatu konstanta c. Pernyataan di atas mengatakan bahwa π(π₯) = ππ₯ untuk
setiap π₯ β β \{0}. Misalkan x = 0 dan y = 0 pada persamaan (1.1), diperoleh π(0) =
0. Dari kedua hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa f fungsi linear pada β. β
Diperhatikan bahwa bukti Teorema 1.1 merupakan pembuktian yang
singkat dan hanya melibatkan kalkulus. Akan diberikan sebuah pembuktian yang
berbeda untuk memahami perilaku penyelesaian dari persamaan aditif Cauchy. Kita
mulai dengan definisi berikut.
Definisi 1.4
Sebuah fungsi π βΆ β β β dikatakan homogen rasional jika
π(ππ₯) = ππ(π₯), (1.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 18
10
untuk setiap π₯ β β dan π β β.
Teorema berikut menunjukkan bahwa setiap penyelesaian persamaan aditif
Cauchy adalah homogen rasional.
Teorema 1.2
Jika fungsi π βΆ β β β adalah penyelesaian dari persamaan aditif Cauchy, maka π
adalah fungsi homogen rasional. Dengan kata lain, π linear pada β.
Bukti:
Misalkan π₯ = 0 = π¦ pada (1.1), diperoleh π(0) = π(0) + π(0) dan
π(0) = 0. (1.6)
Substitusi π¦ = βπ₯ pada persamaan (1.1) dan dengan menggunakan persamaan
(1.6), diperoleh π adalah sebuah fungsi ganjil pada β, yaitu
π(π₯ β π₯) = π(π₯) + π(βπ₯)
π(0) = π(π₯) + π(βπ₯)
0 = π(π₯) + π(βπ₯)
π(βπ₯) = βπ(π₯) (1.7)
untuk setiap π₯ β β. Sampai di sini berlaku penyelesaian dari persamaan aditif
Cauchy adalah nol di titik asal dan merupakan sebuah fungsi ganjil. Selanjutnya,
akan ditunjukkan bahwa penyelesaian dari persamaan aditif Cauchy adalah
homogen rasional. Untuk setiap π₯ berlaku
π(2π₯) = π(π₯ + π₯) = π(π₯) + π(π₯) = 2π(π₯).
Akibatnya
π(3π₯) = π(2π₯ + π₯) = π(2π₯) + π(π₯) = 2π(π₯) + π(π₯) = 3π(π₯).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 19
11
Secara umum, untuk setiap π β β berlaku
π(ππ₯) = ππ(π₯) (1.8)
Bukti dari (1.8):
Pernyataan tersebut benar untuk π = 1 karena π(1π₯) = π(π₯) = 1 . π(π₯).
Misalkan pernyataan benar untuk π = π. Akan ditunjukkan bahwa pernyataan
benar untuk π = π + 1, yakni π((π + 1)π₯) = (π + 1)π(π₯). Perhatikan
π((π + 1)π₯) = π(ππ₯ + π₯)
= π(ππ₯) + π(π₯)
= ππ(π₯) + π(π₯)
= (π + 1)π(π₯)
untuk setiap π β β.
Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematis pernyataan benar untuk setiap π β β. Jika
π negatif, maka β π positif dan menurut persamaan (1.8) dan (1.7) diperoleh
π(ππ₯) = π(β(βπ)π₯)
= βπ(βππ₯)
= β(βπ)π(π₯)
= ππ(π₯).
Selanjutnya, diberikan sebarang bilangan rasional π. Karena π β β, berlaku
π =π
π
untuk suatu bilangan bulat π dan bilangan asli π. Lebih lanjut, ππ₯ = π(ππ₯). Dengan
menggunakan sifat homogen π pada bilangan bulat diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 20
12
π(ππ₯) = π(ππ₯) = π(π(ππ₯)) = ππ(ππ₯)
yakni,
π(ππ₯) =π
ππ(π₯) = ππ(π₯).
Dengan kata lain, π homogen rasional. Lebih lanjut, misalkan π₯ = 1 dan π = π(1)
pada persamaan di atas, diperoleh
π(π) = ππ
untuk setiap π β β. Dengan demikian, π linear pada β. β
Sekarang, akan ditunjukkan alternatif bukti yang kedua dari Teorema 1.1. Kita
membutuhkan sifat kepadatan β di dalam β.
Teorema 1.2
(1) Jika π₯ dan π¦ adalah dua bilangan real dengan π₯ < π¦, maka terdapat sebuah
bilangan rasional π sehingga π₯ < π < π¦.
(2) Untuk setiap bilangan real π₯ ada barisan bilangan rasional (ππ)πββ dengan ππ βΆ
π₯ untuk π βΆ β.
Teorema 1.1
Jika fungsi kontinu π βΆ β β β yang memenuhi persamaan fungsional aditif
Cauchy (1.1), maka π adalah fungsi linear.
Bukti:
Misalkan π adalah penyelesaian kontinu dari persamaan aditif Cauchy. Ambil
sebarang π₯ β β, dari sifat kepadatan ada barisan bilangan rasional (ππ)πββ dengan
ππ βΆ π₯ untuk π βΆ β. Karena π memenuhi persamaan fungsional aditif Cauchy,
maka menurut Teorema 1.2, π linear pada β, yaitu ada konstanta π sehingga
π(ππ) = πππ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 21
13
untuk setiap π β β. Karena π kontinu pada β dan barisan ππ konvergen ke π₯, maka
π(π₯) = limπβΆβ
π( π₯π) dan diperoleh
π(π₯) = π ( limπβΆβ
ππ)
= limπβΆβ
π(ππ)
= limπβΆβ
πππ
= π limπβΆβ
ππ
= ππ₯ β
Teorema selanjutnya dibuktikan pertama kali oleh G. Darboux (1875).
Teorema 1.3
Diketahui π adalah sebuah penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy. Jika
π kontinu di sebuah titik, maka π kontinu di setiap titik.
Bukti:
Misalkan π kontinu di π‘ β β, ambil sebarang titik π₯ β β. Karena π kontinu di π‘,
maka kita mempunyai limπ¦βΆπ‘
π(y) = π(π‘). Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa π
kontinu di π₯. Perhatikan
limπ¦βΆπ₯
π(y) = limπ¦βΆπ₯
π(π¦ β π₯ + π₯ β π‘ + π‘)
= limπ¦βΆπ₯
[π(π¦ β π₯ + π‘) + π(π₯ β π‘)]
= limπ¦βΆπ₯
π(π¦ β π₯ + π‘) + limπ¦βΆπ₯
π(π₯ β π‘)
= π(π‘) + π(π₯ β π‘)
= π(π‘) + π(π₯) β π(π‘)
= π(π₯)
Terbukti π kontinu di π₯. Karena π₯ sebarang, maka terbukti π kontinu di setiap titik
pada garis real.
β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 22
14
Teorema berikut merupakan akibat langsung dari Teorema 1.1 dan Teorema 1.3.
Teorema 1.4
Diketahui π adalah penyelesaian persamaan fungsional aditif Cauchy. Jika π
kontinu di sebuah titik, maka π linear.
B. Penyelesaian Diskontinu Persamaan Fungsional Cauchy
Pada subbab sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa penyelesaian kontinu dari
persamaan fungsional aditif Cauchy adalah fungsi linear. Dengan perkataan lain
fungsi aditif kontinu adalah linear. Bahkan jika kita melonggarkan kondisi
kekontinuan menjadi kekontinuan di suatu titik, fungsi aditif tetap linear. Bertahun-
tahun keberadaan fungsi aditif diskontinu adalah masalah terbuka. Matematikawan
tidak dapat membuktikan bahwa setiap fungsi aditif kontinu atau menunjukkan
contoh fungsi aditif diskontinu. Pada tahun 1905 seorang matematikawan Jerman
G. Hamel pertama kali berhasil membuktikan bahwa ada fungsi aditif diskontinu.
Untuk memulai mencari penyelesaian diskontinu persamaan fungsional aditif
Cauchy, dimulai dengan mempelajari penyelesaian nonlinear persamaan aditif
Cauchy. Pertama, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian nonlinear persamaan aditif
Cauchy menunjukkan perilaku yang tak biasa.
Definisi 1.5
Grafik fungsi π βΆ β β β adalah himpunan
πΊ = {(π₯, π¦) β β2 βΆ π¦ = π(π₯)}.
Mudah untuk dilihat bahwa grafik πΊ dari fungsi π βΆ β β β adalah
subhimpunan pada bidang β2. Sebelumnya diingat dahulu pengertian himpunan
padat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 23
15
Definisi 1.5.1
Himpunan π β β padat di dalam β jika untuk setiap π₯ β β terdapat barisan {π₯π}
β π sehingga
limπβΆβ
π₯π = π₯.
Teorema 1.5
Grafik setiap penyelesaian nonlinear π βΆ β β β dari persamaan aditif Cauchy
bersifat padat di mana-mana pada bidang β2.
Bukti:
Diketahui grafik πΊ
πΊ = {(π₯, π¦) βΆ π¦ = π(π₯), π₯ β β }.
Ambil sebarang bilangan real tak nol π₯1. Jika π adalah penyelesaian nonlinear
persamaan aditif Cauchy, maka untuk sebarang konstanta π terdapat bilangan real
tak nol π₯2 sehingga
π (π₯1)
π₯1β
π(π₯2)
π₯2.
Andaikan tidak demikian. Ambil π =π (π₯1)
π₯1 dan dengan memisalkan π₯1 = π₯,
diperoleh π(π₯) = ππ₯ untuk setiap π₯ β 0, dan saat π(0) = 0 maka terbukti bahwa
π linear yang bertentangan dengan asumsi bahwa π nonlinear. Ini membuktikan
bahwa
πππ‘ (π₯1 π(π₯1)π₯2 π(π₯2)
) β 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 24
16
Jadi, vektor ππ = (π₯1, π(π₯1)) dan ππ = (π₯2, π(π₯2)) adalah bebas linear dan
merentang seluruh bidang β2. Ini berarti untuk setiap vektor π = (π₯, π(π₯)) ada
bilangan real π1, π2 sehingga
π = π1ππ + π2ππ.
Jika kita membatasi hanya bilangan rasional π1, π2, maka dengan pemilihan yang
tepat, dapat diperoleh π1ππ + π2ππ sebarang dekat dengan setiap vektor bidang π
yang diberikan (karena β padat di dalam β yang berarti juga β2 padat di β2).
Sekarang,
π1ππ + π2ππ = π1(π₯1, π(π₯1)) + π2(π₯2, π(π₯2))
= (π1π₯1+π2π₯2, π1π(π₯1)+π2π(π₯2))
= (π1π₯1+π2π₯2, π( π1π₯1+π2π₯2)).
Jadi, himpunan
οΏ½ΜοΏ½ = {(π₯, π¦) β β βΆ π₯ = π1π₯1+π2π₯2, π¦ = π( π1π₯1+π2π₯2), π1, π2 β β} padat di
mana-mana pada β2. Karena οΏ½ΜοΏ½ βΈ¦ πΊ, maka grafik πΊ dari fungsi aditif nonlinear π
juga padat di β2. β
Grafik dari sebuah fungsi aditif kontinu adalah garis lurus yang melewati titik asal.
Grafik sebuah fungsi aditif nonlinear padat di dalam bidang. Selanjutnya,
diperkenalkan konsep basis Hamel yang berguna untuk menyusun sebuah fungsi
aditif diskontinu.
Perhatikan himpunan
π = { π β β βΆ π = π’ + π£β2 + π€β3, π’, π£, π€ β β }
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 25
17
yang elemennya merupakan kombinasi linear rasional dari 1, β2, β3. Kombinasi
linear rasional adalah tunggal, dalam arti jika sebuah elemen π β π mempunyai dua
kombinasi linear rasional yang berbeda, misalnya,
π = π’ + π£β2 + π€β3 = π’β² + π£β²β2 + π€β²β3,
maka π’ = π’β² , π£ = π£β² dan π€ = π€β². Dari asumsi, diperoleh
(π’ β π’β²) + (π£ β π£β²)β2 + (π€ β π€β²)β3 = 0.
Dengan memisalkan π = (π’ β π’β²), π = (π£ β π£β²) dan π = (π€ β π€β²), diperhatikan
bahwa pernyataan di atas sekarang menjadi
π + πβ2 + πβ3 = 0.
Selanjutnya, diperlihatkan bahwa π = 0 = π = π. Penyataan di atas memberikan
πβ2 + πβ3 = βπ,
dan dengan mengkuadratkan kedua sisi, diperoleh
2ππβ6 = π2 β 2π2 β 3π2
Sebelumnya, akan dibuktikan sifat berikut, β6 merupakan bilangan irasional
Bukti:
Andaikan β6 merupakan bilangan rasional. Dari definisi, berarti ada bilangan bulat
π dan π yang relatif prima (faktor persekutuan terbesar dari π dan π adalah 1),
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 26
18
β6 =ππ
β6π = π
6π2 = π2.
Ini berarti 6 habis membagi π2 yang berarti juga 3 habis membagi π2. Saat 3 habis
membagi π2 maka 3 habis membagi π. Dengan memisalkan π = 3π, π β β€, kita
mendapatkan
6π2 = (3π)2
6π2 = 9π2
3π2 = 2π2.
Oleh karena itu, 3 habis membagi 2π2. Jelas bahwa 3 tidak habis membagi 2, jadi
3 habis membagi π2 dan karenanya 3 juga habis membagi π. Sekarang kita
mempunyai 3 habis membagi π dan 3 habis membagi π. Jelas bahwa 3 > 1 dan ini
kontradiksi dengan fpb (π, π) = 1. Jadi, β6 merupakan bilangan irasional. β
Setelah mengkuadaratkan kedua sisi dan memperoleh 2ππβ6 = π2 β 2π2 β 3π2,
ini membuktikan bahwa π atau π adalah 0. Andaikan tidak demikian, maka dapat
dibagi kedua sisi dengan 2ππ dan diperoleh
β6 =π2β2π
2β3π2
2ππ.
Kontradiksi dengan fakta bahwa β6 adalah bilangan irasional. Jika π = 0, maka
diperoleh π + πβ3 = 0, ini memberikan bahwa π = 0 (jika tidak demikian β3 =
βππ adalah bilangan rasional). Demikian pula jika π = 0, diperoleh π = 0. Jadi π
dan π keduanya adalah nol. Sebagai akibatnya π = 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 27
19
Jika
π΅ = {1, β2, β3} ,
maka setiap elemen π adalah kombinasi linear rasional tunggal dari elemen π΅.
Himpunan π΅ disebut basis Hamel untuk himpunan π. Secara formal, basis Hamel
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.6
Diberikan π β β. Himpunan π΅ β π disebut basis Hamel untuk π jika setiap
anggota π dapat dituliskan secara tunggal sebagai kombinasi linear rasional dari
anggota-anggota π΅.
Jika π = β, maka dapat ditunjukkan bahwa basis Hamel π΅ untuk β ada
(lihat Christopher G. Small, 2007 hal 95). Terdapat hubungan erat antara fungsi
aditif dan basis Hamel. Untuk menunjukkan fungsi aditif cukup dengan
memberikan nilai pada basis Hamel, dan nilai-nilai tersebut dapat ditetapkan secara
sebarang.
Teorema 1.6
Misal π΅ basis Hamel untuk β. Jika dua fungsi aditif mempunyai nilai yang sama
pada setiap anggota π΅, maka kedua fungsi tersebut sama.
Bukti:
Misal π1 dan π2 dua fungsi aditif yang mempunyai nilai yang sama pada setiap
anggota π΅. Maka, π = π1 β π2 juga aditif. Jika π₯ β β, maka terdapat bilangan
π1, π2, β¦ , ππ di π΅ dan bilangan rasional π1, π2, β¦ , ππ sehingga
π₯ = π1π1 + π2π2 + β― + ππππ .
Dengan demikian,
(π1 β π2)(π₯) = π(π₯)
= π(π1π1 + π2π2 + β― + ππππ)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 28
20
= π(π1π1) + π(π2π2) + β― + π(ππππ)
= π1π(π1) + π2π(π2) + β― + πππ(ππ)
= π1[π1(π1) β π2(π1)] + π2[π1(π2) β π2(π2)]
+ β― + ππ[π1(ππ) β π2(ππ)]
= 0.
Jadi, diperoleh π1 = π2 dan bukti selesai. β
Teorema 1.7
Misal π΅ basis Hamel untuk β dan π βΆ π΅ β β sebarang fungsi yang didefinisikan
pada π΅. Maka terdapat sebuah fungsi aditif π βΆ β β β sehingga π(π) =
π(π) untuk setiap π β π΅.
Bukti:
Untuk setiap π₯ β β dapat ditemukan π1, π2, β¦ , ππ β π΅ dan π1, π2, β¦ , ππ β β
sehingga
π₯ = π1π1 + π2π2 + β― + ππππ .
Definisikan π(π₯) sebagai
π(π₯) = π(π1π1 + π2π2 + β― + ππππ) = π1π(π1) + π2π(π2) + β― + πππ(ππ).
Ini mendefinisikan nilai π(π₯) untuk setiap π₯. Dari definisi ini jelas untuk setiap
π₯, pilihan π1, π2, β¦ , ππ , π1, π2, β¦ , ππ adalah tunggal, kecuali urutan di mana ππ dan ππ
dipilih. Untuk setiap π β π΅, diperoleh π(π) = π(π) dari definisi π. Selanjutnya,
akan ditunjukkan bahwa π adalah aditif pada bilangan real. Misal π₯ dan π¦ sebarang
dua bilangan real, maka
π₯ = π1π1 + π2π2 + β― + ππππ
π¦ = π 1π1 + π 2π2 + β― + π πππ ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 29
21
di mana π1, π2, β¦ , ππ , π 1, π 2, β¦ , π π β β dan π1, π2, β¦ , ππ , π1, π2, β¦ , ππ β π΅. Dua
himpunan {π1, π2, β¦ , ππ} dan {π1, π2, β¦ , ππ} mungkin mempunyai beberapa
anggota yang sama. Misalkan gabungan dua himpunan tersebut adalah
{π1, π2, β¦ , ππ}. Maka π β€ π + π, dan
π₯ = π’1π1 + π’2π2 + β― + π’πππ
π¦ = π£1π1 + π£2π2 + β― + π£πππ ,
di mana π’1, π’2, β¦ , π’π, π£1, π£2, β¦ , π£π bilangan rasional, beberapa di antaranya
mungkin nol. Sekarang
π₯ + π¦ = (π’1 + π£1)π1 + (π’2 + π£2)π2 + β― + (π’π + π£π)ππ
dan
π(π₯ + π¦) = π((π’1 + π£1)π1 + (π’2 + π£2)π2 + β― + (π’π + π£π)ππ)
= (π’1 + π£1)π(π1) + (π’2 + π£2)π(π2) + β― + (π’π + π£π)π(ππ)
= [(π’1 + π£1)π(π1) + (π’2 + π£2)π(π2) + β― + (π’π + π£π)π(ππ)]
+[π£1π(π1) + π£2π(π2) + β― + π£ππ(ππ)]
= π(π₯) + π(π¦).
Jadi, π aditif pada himpunan bilangan real β. β
Dengan bantuan basis Hamel, selanjutnya dapat dikonstruksi sebuah fungsi
aditif nonlinear. Misal π΅ basis Hamel pada bilangan real β. Ambil sebarang π β π΅.
Didefinisikan
π(π₯) = {01
jika π₯ β π΅ \ {π}
jika π₯ = π.
Dari Teorema 1.7, ada fungsi aditif π βΆ β β β dengan π(π₯) = π(π₯) untuk setiap
π₯ β π΅. Perhatikan bahwa π nonlinear karena untuk π₯ β π΅ dan π₯ β π, berlaku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 30
22
0 = π(π₯)π₯
β π(π)
π.
Dengan demikian, π adalah fungsi aditif nonlinear.
C. Kriteria Linearitas
Telah diperlihatkan bahwa grafik fungsi aditif nonlinear π padat di dalam bidang
β2 yaitu untuk setiap lingkaran terdapat sebuah titik (π₯, π¦) sehingga π¦ = π(π₯).
Telah diperlihatkan juga bahwa fungsi aditif π menjadi linear saat ada syarat
kekontinuan pada π. Kita dapat melemahkan kondisi kekontinuan ke kekontinuan
di satu titik dan π tetap linear. Pada subbab ini, akan ditunjukkan beberapa kriteria
lain yang akan menyebabkan fungsi aditif menjadi linear.
Definisi 1.6.1
Diberikan fungsi π βΆ π· β β β β. Sebuah fungsi π dikatakan terbatas satu sisi jika
π terbatas ke atas, yakni jika himpunan peta π(π·) = { π(π₯) βΆ π₯ β π·} terbatas ke
atas di dalam β (terdapat π’ β β sehingga π(π₯) β€ π’ untuk setiap π₯ β π·) atau π
terbatas ke bawah, yakni jika himpunan peta π(π·) terbatas ke bawah di dalam β
(terdapat π€ β β sehingga π€ β€ π(π₯) untuk setiap π₯ β π·).
Definisi 1.6.2
Fungsi π βΆ π· β β β β dikatakan terbatas jika terdapat bilangan π > 0 sehingga
|π(π₯)| β€ π, untuk setiap π₯ β π·.
Definisi 1.6.3
Kita katakan fungsi π βΆ π· β β β β naik jika π₯, π¦ β π· dengan π₯ < π¦ memberikan
π(π₯) < π(π¦). Kita definisikan fungsi turun dengan cara yang sama dengan
membalikkan ketaksamaan π. Jika suatu fungsi naik atau turun, kita menyebutnya
monoton.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 31
23
Teorema 1.8
Jika sebuah fungsi aditif π terbatas satu sisi, maka π linear.
Bukti:
Andaikan π nonlinear, maka dari Teorema 1.5, grafik π padat di dalam bidang.
Karena π fungsi terbatas, maka untuk suatu konstanta π fungsi π memenuhi
π(π₯) β€ π, π₯ β β,
dan grafik π tidak beririsan dengan himpunan π΄ = {(π₯, π¦) β β2 | π¦ = π(π₯) > π}.
Oleh karena itu, grafik π tidak mungkin padat di dalam bidang. Kontradiksi.
β
Definisi 1.6.4
Fungsi π(π₯) dikatakan fungsi periodik dengan periode βΊ > 0 jika
π(π₯ + βΊ) = π(π₯) untuk setiap nilai π₯.
Contoh-contoh fungsi periodik antara lain: π(π₯) = sin π₯ dengan periode 2π,
π(π₯) = cos π₯ dengan periode 2π, π(π₯) = tan π₯ dengan periode π, dan
sebagainya.
Teorema 1.9.
Jika sebuah fungsi aditif real π terbatas pada interval tertutup terbatas [π, π], maka
π linear.
Bukti:
Misal π βΆ β β β fungsi aditif dan terbatas pada interval [π, π]. Pertama, akan
ditunjukkan bahwa π(π₯) terbatas pada interval [0, π β π]. Karena π(π₯) terbatas
pada [π, π], terdapat bilangan positif π sehingga
|π(π¦)| < π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 32
24
untuk setiap π¦ β [π, π]. Jika π₯ β [0, π β π], maka π₯ + π β [π, π], sehingga dari
π(π₯) = π(π₯ + π) β π(π)
diperoleh
|π(π¦)| < π + π(π).
Misal βΊ = π β π, maka π(π₯) terbatas pada [0, βΊ]. Kita notasikan π = π( βΊ)
βΊ dan
π(π₯) = π(π₯) β ππ₯. Maka, fungsi π memenuhi
π(π₯ + π¦) = π(π₯ + π¦) β π(π₯ + π¦)
= π(π₯) + π(π¦) β ππ₯ β ππ¦
= π(π₯) β ππ₯ + π(π¦) β ππ¦
= π(π₯) + π(π¦),
dan diperoleh π(βΊ) = π(βΊ) β πβΊ. = 0. Sebagai akibatnya, π(π₯) periodik dengan
periode βΊ, sebab
π(π₯ + βΊ) = π(π₯) + π(βΊ) = π(π₯)
untuk setiap π₯ β β. Lebih jauh, saat selisih dari fungsi terbatas pada [0, π], fungsi
π(π₯) terbatas pada [0, π]. Saat π(π₯) adalah periodik dengan periode βΊ, fungsi π(π₯)
terbatas pada β. Sehingga π(π₯) fungsi aditif yang terbatas pada β. Dengan
demikian, π(π₯) = 0 untuk setiap π₯ β β, atau terbukti π(π₯) = ππ₯. β
Definisi 1.7
Fungsi πdikatakan multiplikatif jika π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦) untuk setiap π₯, π¦ β β
Teorema 1.10
Jika fungsi π aditif dan multiplikatif, maka π linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 33
25
Bukti:
Untuk setiap bilangan positif π₯ berlaku
π(π₯) = π(βπ₯ . βπ₯) = π(βπ₯). π(βπ₯) = [π(βπ₯)]2 β₯ 0.
Oleh karena itu, π terbatas dari bawah dan Teorema 1.8 memberikan π linear. β
D. Fungsi Aditif pada Bidang Kompleks
Pada subbab ini akan ditunjukkan beberapa hasil mengenai fungsi aditif kompleks
pada bidang kompleks. Kita ingat dahulu definisi formal bilangan kompleks yang
diberikan oleh William Hamilton.
Definisi 1.8
Sistem bilangan kompleks β adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan
real (π₯, π¦) dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan oleh
(π₯, π¦) + (π’, π£) = (π₯ + π’, π¦ + π£)
(π₯, π¦)(π’, π£) = (π₯π’ β π¦π£, π₯π£ + π¦π’)
untuk setiap π₯, π¦, π’, π£ β β.
Bilangan real π₯ dapat dipandang sebagai (π₯, 0) dan notasi π digunakan untuk
menyimbolkan bilangan imajiner (0,1) sehingga dapat ditulis sebagai berikut
(π₯, π¦) = π₯ + ππ¦.
Jika notasi sisi kiri dari representasi di atas diubah dengan π§, maka diperoleh π§ =
π₯ + ππ¦. Bilangan real π₯ disebut bagian real dari π§ dan dinotasikan dengan π
π π§.
Bilangan real π¦ disebut bagian imajiner dari π§ dan dinotasikan dengan πΌπ π§. Jika π§
adalah bilangan kompleks π₯ + ππ¦, maka bilangan kompleks π₯ β ππ¦ disebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 34
26
πππππ’πππ‘ (sekawan) dari π§ dan dinotasikan dengan π§. Sebarang fungsi π βΆ β β β
dapat ditulis sebagai
π(π§) = π1(π§) + ππ2(π§), (1.9)
dengan π1 βΆ β β β dan π2 βΆ β β β berturut-turut adalah
π1(π§) = π
π π(π§) dan π2(π§) = πΌπ π(π§). (1.10)
Jika π aditif, maka dari (1.9) dan (1.10) diperoleh
π1(π§1 + π§2) = π
π π(π§1 + π§2)
= π
π [π(π§1) + π(π§2)]
= π
π π(π§1) + π
ππ(π§2) = π1(π§1) + π1(π§2),
dan
π2(π§1 + π§2) = πΌπ π(π§1 + π§2)
= πΌπ [π(π§1) + π(π§2)]
= πΌπ π(π§1) + π
ππ(π§2) = π2(π§1) + π2(π§2).
Teorema 1.11
Jika π βΆ β β β aditif, maka terdapat fungsi aditif πππ βΆ β β β (π, π = 1, 2)
sehingga
π(π§) = π11(π
π π§) + π12(πΌπ π§) + π π21(π
π π§) + ππ22(πΌπ π§).
Bukti:
Dari (1.9), diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 35
27
π(π§) = π1(π§) + ππ2(π§),
dengan π1 : β β β dan π2 : β β β merupakan fungsi bernilai real pada bidang
kompleks. Karena π fungsi aditif, π1 dan π2 juga fungsi aditif. Karena fungsi π1
dan π2 dipandang sebagai fungsi dari β2 ke β. β
Teorema 1.12
Jika π βΆ β β β fungsi aditif kontinu, maka terdapat konstanta kompleks π1 dan π2
sehingga
π(π§) = π1π§ + π2π§, (1.12)
Bukti:
Jika π aditif, maka dari Teorema 1.11 diperoleh
π(π§) = π11(π
π π§) + π12(πΌπ π§) + π π21(π
π π§) + ππ22(πΌπ π§),
dengan πππ βΆ β β β (π, π = 1, 2) merupakan fungsi aditif. Kekontinuan π
memberikan kekontinuan setiap fungsi πππ dan dengan demikian
πππ(π₯) = πππ π₯,
dengan πππ(π, π = 1, 2) adalah konstanta real. Jadi, dengan menggunakan bentuk
π(π§) dan bentuk dari πππ, diperoleh
π(π§) = π11π
π π§ + π12 ππ π§ + π π21π
π π§ + ππ22πΌπ π§
= (π11 + π π21)π
π π§ + (π12 + π π22)πΌπ π§
= π π
π π§ + π πΌπ π§ di mana π = π11 + π π21, π = π12 + π π22
= π π
π π§ β π(ππ) πΌπ π§
=π+ππ
2π
π π§ +
πβππ2
π
π π§ βπ+ππ
2π πΌπ π§ +
πβππ2
π πΌπ π§
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 36
28
=πβππ
2π
π π§ +
πβππ2
π πΌπ π§ +π+ππ
2π
π π§ β
π+ππ2
π πΌπ π§
=πβππ
2(π
π π§ + π πΌπ π§) +
π+ππ2
(π
π π§ β π πΌπ π§)
=πβππ
2π§ +
π+ππ2
π§
= π1π§ + π2π§,
dengan π1 =πβππ
2 dan π2 =
π+ππ2
adalah konstanta kompleks. β
Diperhatikan bahwa tidak seperti fungsi aditif kontinu bernilai real pada garis
real, fungsi aditif kontinu bernilai kompleks pada bidang kompleks tidak linear.
Linearitas dapat diperoleh jika kita mengasumsikan syarat regularitas yang lebih
kuat seperti analitik.
Definisi 1.9
Diberikan π β β sebuah himpunan terbuka. Fungsi π βΆ β β β dikatakan analitik
pada π jika π dapat diturunkan (terdiferensial kompleks) pada π.
Teorema 1.13
Jika π βΆ β β β fungsi aditif analitik, maka terdapat konstanta kompleks π sehingga
π(π§) = ππ§,
yaitu π linear.
Bukti:
Jika π analitik, maka π dapat diturunkan. Dengan menurunkan
π(π§1+π§2) = π(π§1) + π(π§2) (1.12)
terhadap π§1, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 37
29
πβ²(π§1 + π§2) = πβ²(π§1)
untuk setiap π§1 dan π§2 di β. Kemudian, memisalkan π§1 = 0 dan π§2 = π§, diperoleh
πβ²(π§) = π,
di mana π = πβ²(0) adalah sebuah konstanta kompleks. Dari pernyataan diatas,
terlihat bahwa
π(π§) = ππ§ + π,
dengan π adalah sebuah konstanta kompleks. Dengan memasukkan bentuk ini ke
(1.12), diperoleh π = 0 β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 38
30
BAB III
BEBERAPA PERSAMAAN FUNGSIONAL CAUCHY LAINNYA
Terdapat tiga persamaan fungsional Cauchy lainnya yang akan dibahas dalam
bab ini, yaitu persamaan fungsional pangkat Cauchy, persamaan fungsional
logaritma Cauchy, dan persamaan fungsional multiplikatif Cauchy.
A. Penyelesaian Persamaan Fungsional Pangkat Cauchy
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian umum persamaan
fungsional pangkat Cauchy tanpa mengasumsikan syarat regularitas seperti
kekontinuan, keterbatasan, atau keterdiferensialan pada fungsi π yang tidak
diketahui.
Teorema 2.1. Jika persamaan
π(π₯ + π¦) = π(π₯)π(π¦) (2.1)
berlaku untuk setiap bilangan real π₯ dan π¦, maka penyelesaian tersebut adalah
π(π₯) = ππ΄(π₯) atau π(π₯) = 0 β π₯ β β, (2.2)
dengan π΄ βΆ β β β adalah fungsi aditif dan π adalah bilangan natural (basis
logaritma Napier).
Bukti:
Mudah dilihat bahwa π(π₯) = 0 untuk setiap π₯ β β adalah penyelesaian dari (2.1).
Klaim kita adalah π(π₯) bukan fungsi konstan nol, yakni π(π₯) β 0 untuk setiap β
β. Andaikan tidak demikian, maka terdapat π¦0 sehingga π(π¦0) = 0. Dari (2.1),
diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 39
31
π(π¦) = π((π¦ β π¦0) + π¦0) = π((π¦ β π¦0)π(π¦0) = 0
untuk setiap π¦ β β. Kontradiksi dengan asumsi bahwa π(π₯) tidak sama dengan nol.
Terbukti π(π₯) tidak identik dengan 0.
Dengan memisalkan π₯ =π‘2
= π¦ pada (2.1), dapat dilihat bahwa
π(π‘) = π (π‘
2)
2
untuk setiap π‘ β β. Karena itu π(π₯) jelas positif. Sekarang, ambil logaritma natural
pada kedua sisi (2.1), dan diperoleh
ln π(π₯ + π¦) = ln π(π₯) + ln π(π¦).
Kita definisikan fungsi π΄ βΆ β β β dengan π΄(π₯) = ln π(π₯), maka berlaku
π΄(π₯ + π¦) = π΄(π₯) + π΄(π¦). (2.3)
Oleh karena itu diperoleh penyelesaian berbentuk π(π₯) = ππ΄(π₯) β
Akibat 2.1
Jika persamaan fungsional (2.1) berlaku maka penyelesaian umum kontinu (2.1)
adalah
π(π₯) = πππ₯ atau π(π₯) = 0 , β π₯ β β, (2.4)
untuk suatu π β β.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 40
32
Definisi 2.1 Sebuah fungsi π βΆ β β β disebut fungsi pangkat jika memenuhi
π(π₯ + π¦) = π(π₯)π(π¦) untuk setiap π₯, π¦ β β.
Misal π suatu bilangan bulat positif dan persamaan fungsional
π(π₯ + π¦ + ππ₯π¦) = π(π₯)π(π¦) (2.5)
berlaku untuk setiap bilangan real π₯ > β1 π
dan π¦ > β1 π
. Saat π β 0, persamaan
fungsional (2.5) tereduksi menjadi persamaan fungsional pangkat Cauchy.
Persamaan ini dipelajari oleh Thielman (1949).
Teorema 2.2
Setiap penyelesaian π dari persamaan fungsional (2.5) berlaku untuk setiap
bilangan real π₯ > β1 π
dan π¦ > β1 π
berbentuk
π(π₯) = 0 atau π(π₯) = ππ΄(ln(1+ππ₯)) (2.6)
dengan π΄ βΆ β β β adalah sebuah fungsi aditif.
Bukti:
Tulis persamaan fungsional (2.5) menjadi
π ((1+ππ₯)(1+ππ¦)β1
π) = π(π₯)π(π¦). (2.7)
Selanjutnya tuliskan 1 + ππ₯ = ππ’ dan 1 + ππ¦ = ππ£ sehingga π’ = ln (1 + ππ₯) dan
π£ = ln(1 + ππ¦). Sekarang tulis kembali persamaan (2.7), untuk menghasilkan
π (ππ’+π£β1
π) = π (
ππ’β1
π) π (
ππ£β1
π) (2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 41
33
untuk setiap π’, π£ β β. Dengan memisalkan
π(π’) = (ππ’β1
π) (2.9)
dari (2.8), diperoleh
π(π’ + π£) = π(π’)π(π£) (2.10)
untuk setiap π’, π£ β β. Oleh karena itu dari Teorema 2.1, diperoleh
π(π₯) = ππ΄(π₯) atau π(π₯) = 0 β π₯ β β, (2.11)
di mana π΄ βΆ β β β adalah fungsi aditif. Oleh karena itu, dari (2.9) dan (2.11) kita
mempunyai
π(π₯) = 0 atau π(π₯) = ππ΄(ln(1+ππ₯)),
dengan π΄ βΆ β β β adalah fungsi aditif. β
Akibat 2.2
Setiap penyelesaian kontinu π dari persamaan fungsional (2.5) untuk setiap π₯ >
β1 π
dan setiap π¦ > β1 π
berbentuk
π(π₯) = 0 atau π(π₯) = (1 + ππ₯)π , (2.12)
dengan π adalah sebarang konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 42
34
B. Penyelesaian Persamaan Fungsional Logaritma Cauchy
Pada subbab sebelumnya telah dibahas mengenai penyelesaian persamaan
fungsional pangkat Cauchy. Pada subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian
persamaan fungsional logaritma Cauchy.
Teorema 2.3
Jika persamaan fungsional
π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦),
berlaku untuk setiap π₯, π¦ β β \ {0}, maka penyelesaian umum di atas diberikan
oleh
π(π₯) = π΄ (ln|π₯|) β π₯ β β \ {0}, (2.13)
dengan π΄ adalah sebuah fungsi aditif.
Bukti:
Pertama, substitusi π₯ = π‘ dan π¦ = π‘ pada π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦)
untuk memperoleh
π(π‘2) = 2π(π‘).
Selanjutnya, dengan memisalkan π₯ = βπ‘ dan π¦ = βπ‘, diperoleh
π(π‘2) = 2π(βπ‘).
Dengan demikian dapat dilihat bahwa
π(π‘) = π(βπ‘) β π‘ β β \ {0}. (2.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 43
35
Selanjutnya, misalkan persamaan fungsional π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦) berlaku
untuk setiap π₯ > 0 dan π¦ > 0. Misal
π₯ = ππ dan π¦ = ππ‘ (2.15)
sehingga
π = ln π₯ dan π‘ = ln π¦. (2.16)
Perhatikan bahwa π , π‘ β β karena π₯, π¦ β β+ di mana β+ = {π₯ β β | π₯ > 0}.
Substitusi (2.15) ke π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦), menghasilkan
π(ππ +π‘) = π(ππ ) + π(ππ‘).
Misal kita definisikan
π΄(π ) = π(ππ ) (2.17)
dan menggunakan persamaan terakhir, diperoleh
π΄(π + π‘) = π΄(π ) + π΄(π‘)
untuk setiap π , π‘ β β. Dengan demikian, dari (2.17) diperoleh
π(π₯) = π΄ (ln π₯) βπ₯ β β+. (2.18)
Saat π(π‘) = π(βπ‘) dapat dilihat bahwa penyelesaian umum π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦)
adalah
π(π₯) = π΄ (ln |π₯|) β π₯ β β \ {0}
dan bukti selesai. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 44
36
Berikut ini akan diberikan beberapa akibat dari teorema terakhir.
Akibat 2.3
Penyelesaian umum persamaan fungsional π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦), untuk setiap
π₯, π¦ β β diberikan oleh
π(π₯) = π΄ (ln π₯) (2.19)
dengan π΄ βΆ β β β adalah sebuah fungsi aditif.
Akibat 2.4
Penyelesaian umum persamaan fungsional π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦), untuk setiap
π₯, π¦ β β+, diberikan oleh
π(π₯) = 0 β π₯ β β. (2.20)
Bukti:
Substitusi π¦ = 0 pada persamaan π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦) untuk memperoleh
π(0) = π(π₯) + π(0). β
Akibat 2.5
Penyelesaian umum kontinu persamaan fungsional π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦), untuk
setiap π₯, π¦ β β\{0}, diberikan oleh
π(π₯) = π ln |π₯| π₯, π¦ β β\{0}, (2.21)
dengan π sebarang konstanta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 45
37
Definisi 2.2
Fungsi kontinu π βΆ β+ β β disebut fungsi logaritma jika memenuhi persamaan
π(π₯π¦) = π(π₯) + π(π¦) untuk setiap π₯, π¦ β β+.
C. Penyelesaian Persamaan Fungsional Multiplikatif Cauchy
Subbab ini akan membahas persamaan fungsional multiplikatif Cauchy
yakni π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦). Persamaan ini merupakan yang paling sulit di antara tiga
persamaan pada bab ini. Teorema berikut ini menggunakan fungsi signum. Fungsi
signum dinotasikan sebagai sgn(π₯) dan didefinisikan sebagai
sgn(π₯) = {
1 jika π₯ > 0 0 jika π₯ = 0
β1 jika π₯ < 0. (2.22)
Teorema 2.4
Penyelesaian umum persamaan fungsional multiplikatif Cauchy
π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦),
untuk setiap π₯, π¦ β β diberikan oleh
π(π₯) = 0, (2.23)
π(π₯) = 1, (2.24)
π(π₯) = ππ΄(ln|x|)|π ππ(π₯)|, (2.25)
atau
π(π₯) = ππ΄(ln|x|)π ππ(π₯), (2.26)
dengan π΄ βΆ β β β adalah sebuah fungsi aditif dan π adalah basis logaritma Napier.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 46
38
Bukti:
Misalkan π₯ = 0 = π¦ pada persamaan π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦), diperoleh π(0)[1 β
π(0)] = 0 dan dengan demikian
π(0) = 0 atau π(0) = 1. (2.27)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan π₯ = 1 = π¦ pada persamaan π(π₯π¦) =
π(π₯)π(π¦), diperoleh π(1)[1 β π(1)] = 0 dan artinya
π(1) = 0 atau π(1) = 1. (2.28)
Jika π₯ bilangan real positif, maka persamaan π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦) memberikan
π(π₯) = π(βπ₯)2 β₯ 0. (2.29)
Asumsikan terdapat bilangan π₯0 β β, π₯0 β 0, sehingga π(π₯0) = 0. Misalkan π₯ β
β sebarang. Maka, dari persamaan π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦) diperoleh
π(π₯) = π ( π₯0
π₯
π₯0) = π( π₯0)π (
π₯
π₯0) = 0
untuk setiap π₯ β β dan dihasilkan penyelesaian (2.23).
Mulai sekarang, kita asumsikan π(π₯) β 0 untuk setiap π₯ β β\{0}. Dari (2.27) kita
mempunyai π(0) = 0 atau π(0) = 1. Jika π(0) = 1, maka dengan memisalkan
π¦ = 0 pada persamaan fungsional π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦), diperoleh
π(0) = π(π₯)π(0)
dan akibatnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 47
39
π(π₯) = 1.
untuk setiap π₯ β β. Kita mendapatkan penyelesaian (2.24).
Selanjutnya, kita pelajari kasus π(0) = 0. Dalam hal ini klaim kita adalah π
tidak identik nol pada β\{0}. Andaikan tidak demikian, maka ada π¦0 di β\{0}
sehingga π(π¦0) = 0 substitusi π¦ = π¦0 pada π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦), kita memperoleh
π(π₯π¦0) = π(π₯)π(π¦0) = 0.
Jadi,
π(π₯) = 0 β π₯ β β\{0}
yang merupakan kontradiksi. Sehingga π β 0 pada β\{0}.
Dari fakta bahwa π tidak sama dengan nol pada β\{0} dan dari persamaan
(2.29), diperoleh
π(π₯) > 0 untuk π₯ > 0. (2.30)
Misal
π₯ = ππ dan π¦ = ππ‘ (2.31)
sehingga
π = ln π₯ dan π‘ = ln π¦. (2.32)
Perhatikan bahwa π , π‘ β β karena π₯, π¦ β β+. Substitusi (2.31) ke π(π₯π¦) =
π(π₯)π(π¦), menghasilkan
π(ππ +π‘) = π(ππ ) + π(ππ‘).
Saat π(π‘) > 0 untuk setiap π‘ > 0, dengan mengambil logaritma natural pada kedua
ruas dari persamaan terakhir, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 48
40
π΄(π + π‘) = π΄(π ) + π΄(π‘),
dengan
π΄(π ) = ln π(ππ ) β π₯ β β. (2.33)
Jadi, π΄ adalah sebuah fungsi aditif. Dari (2.33) dan (2.32), dihasilkan
π(π₯) = ππ΄(ln|x|) βπ₯ β β+. (2.34)
Dari (2.28) dapat dilihat juga bahwa π(1) = 0 atau π(1) = 1. Jika π(1) = 0,
maka dengan mensubstitusikan π¦ = 1 pada π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦), diperoleh
π(π₯) = 0 β π₯ β β \{0}.
Kontradiksi dengan asumsi bahwa π tidak sama dengan nol pada β\{0}. Jadi,
π(1) = 1. Dengan mengambil π₯ = β1 = π¦ pada π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦), diperoleh
π(1) = π(β1)2 dan dengan demikian
π(β1) = 1 atau π(β1) = β1 (2.35)
Jika π(β1) = 1, maka dengan mengambil π¦ = β1 pada π(π₯π¦) =
π(π₯)π(π¦), diperoleh
π(βπ₯) = π(π₯)π(β1) = π(π₯)
untuk setiap π₯ β β\{0}. Akibatnya, (2.34) memberikan
π(π₯) = ππ΄(ln|x|)
untuk setiap π₯ β β\{0}. Saat π(0) = 0, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 49
41
π(π₯) = { ππ΄(ln|x|)
0
jika π₯ β β \{0} jika π₯ = 0
yakni penyelesaian (2.25) seperti yang diinginkan.
Jika π(β1) = β1, maka dengan mengambil π¦ = β1 pada π(π₯π¦) =
π(π₯)π(π¦), diperoleh
π(βπ₯) = π(π₯)π(β1) = βπ(π₯)
untuk setiap π₯ β β\{0}. Dari sini (2.34) memberikan
π(π₯) = { ππ΄(ln|x|)
βππ΄(ln|x|)
jika π₯ > 0 jika π₯ < 0
untuk setiap π₯ β β\{0}. Bersama dengan fakta bahwa π(0) = 0, diperoleh
π(π₯) = {
ππ΄(ln|x|) jika π₯ > 0 0 jika π₯ = 0
βππ΄(ln|x|) jika π₯ < 0.
yakni penyelesaian (2.26) seperti yang diinginkan. Bukti telah lengkap β
Berdasarkan teorema di atas diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 2.6
Penyelesaian umum kontinu persamaan fungsional π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦), untuk
setiap π₯, π¦ β β\{0}, diberikan oleh
π(π₯) = 0, (2.36)
π(π₯) = 1, (2.37)
π(π₯) = |π₯|βΊ, (2.38)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 50
42
atau
π(π₯) = |π₯|βΊsgn(π₯), (2.39)
dengan βΊ adalah sebarang konstanta real positif.
Bukti:
Dari Teorema 2.4 berlaku π = 0, atau π = 1, atau π memiliki bentuk (2.25) dan
(2.26), di mana π΄ βΆ β β β adalah suatu fungsi aditif. Karena π kontinu dan
π΄(π‘) = ln π(ππ‘),
maka π΄ juga kontinu di β. Oleh karena itu,
π΄(π‘) = βΊ π‘,
dengan βΊ β β adalah sebarang konstanta. Sehingga dari (2.25) dan (2.26), berturut-
turut diperoleh
π(π₯) = |π₯|βΊ
dan
π(π₯) = |π₯|βΊsgn(π₯).
Satu hal yang masih perlu ditunjukkan adalah βΊ > 0. Andaikan βΊ = 0, maka (2.38)
memberikan π(π₯) = 1 untuk π₯ β 0, dan dengan kekontinuan π haruslah terdapat
π(0) = 1. Dengan demikian dihasilkan π = 1, seperti tertera di (2.37). Rumus
(2.39) dengan βΊ = 0 memberikan
π(π₯) = 1 untuk π₯ > 0
dan
π(π₯) = β1 untuk π₯ < 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 51
43
Hal ini berakibat π diskontinu di 0. Demikian pula jika βΊ < 0, maka π diberikan
oleh (2.38) dan (2.39) memenuhi
limπ₯βΆ0+
π(π₯) = β,
sehingga π tidak mungkin kontinu di 0. Bukti selesai. β
Definisi 2.2
Fungsi kontinu π βΆ β β β disebut fungsi multiplikatif jika memenuhi persamaan
π(π₯π¦) = π(π₯)π(π¦) untuk setiap π₯, π¦ β β.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 52
44
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Persamaan fungsional seringkali muncul atau digunakan dalam berbagai bidang
seperti ekonomi, teknik, bahkan matematika itu sendiri. Pada tugas akhir ini dibahas
sebuah kelas khusus persamaan fungsional yakni persamaan fungsional Cauchy.
Pada bab 2 tugas akhir ini dipelajari persamaan fungsional aditif Cauchy dan
menunjukkan bahwa persamaan aditif kontinu atau terintegral lokal adalah linear,
Selanjutnya diselidiki perilaku persamaan fungsional aditif diskontinu dan
menunjukkan perilaku yang tak biasa yaitu padat dalam bidang. Kemudian, dibahas
juga mengenai basis Hamel dan penggunaannya untuk mengkonstruksi fungsi aditif
diskontinu. Pada bab ini juga dibahas mengenai fungsi aditif kompleks. Pada bab
3, dibicarakan mengenai persamaan fungsional Cauchy jenis lainnya yaitu
persamaan fungsional pangkat Cauchy, persamaan fungsional logaritma Cauchy,
dan persamaan fungsional multiplikatif Cauchy.
B. Saran
Tugas akhir ini hanya mencakup sebagian kecil dari persamaan fungsional yang
ada, baik bernilai real atau kompleks. Banyak hal di luar tugas akhir ini yang dapat
dipelajari seperti persamaan fungsional yang dibuat oleh penemu lainnya,
kestabilan persamaan fungsional, penyelesaian fungsional trigonometri,
penyelesaian fungsional kuadrat, dan sebagainya. Saran penulis kepada pembaca
yang ingin melanjutkan tugas akhir ini adalah mempelajari kelas persamaan
fungsional lainnya seperti persamaan fungsional Jensen, Pexider, dβAlembert,
Pompeiu, Hosszu, Davidson, dan Abel. Dapat juga dipelajari mengenai penerapan
persamaan fungsional itu sendiri serta bagaimana menyelesaikan persamaan
fungsional kuadrat dan trigonometri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 53
45
DAFTAR PUSTAKA
Augustin-Louis Cauchy
https://www.britannica.com/biography/Augustin-Louis-Baron-Cauchy
Bartle, R. G., and Sherbert, D. R. 2011. Introduction to Real Analysis, 4th edition.
New York: John Wiley and Sons.
Costas, Efthimieu. (2010). Introduction to Functional Equations. Orlando:
University of Central Florida.
Flajoret, Philippe and Robert Sedgewick. (2001). Analytic Combinatorics:
Functional Equations, Rational and Algebraic Functions. Rocquencourt:
Institut National De Recherche En Informatique Et En Automatique.
Gordon, R. 2002. Real Analysis: A First Course, 2nd edition .
Reading: Addison-Wesley.
Lu, Zhiqin. Functional Equations. [Acrobat Reader]. University of California
Irvine; 2016.
Peng, Shi. (2009). Algebraic Puzzle: Introduction to Functional Equations.
Durham: Duke University.
Sahoo, Prasanna K and Palaniappan Kannappan. (2011). Introduction to Functional
Equations. Boca Raton: CRC Press.
Small, Christopher G. (2007). Functional Equations and How To Solve Them.
Waterloo: Springer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 54
46
Suryawan, Herry P. (2018). Analisis Real Volume I: Bilangan Real. Yogyakarta:
Sanata Dharma University Press.
Watt, Stephen M. (2012). What is an Equation. Ontario: University of Western
Ontario London.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 55
47
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 56
48
Biografi Augustin-Louis Cauchy
Augustin-Louis Cauchy lahir pada 21 Agustus 1789 di Paris, Perancis. Ia
merupakan seorang matematikawan Perancis yang menjadi pelopor dari teori grup
substitusi (grup yang unsur-unsurnya diurutkan urutan dari sekumpulan hal). Ia
merupakan salah satu matematikawan modern terbaik. Awal pendidikannya
ditempuh di Ecole Centrale du Pantheon yang pada saat itu merupakan sekolah
terbaik di Paris saat itu. Cauchy adalah seorang siswa yang sangat pandai dan selalu
mendapat nilai tertinggi di semua mata pelajaran termasuk bahasa latin dan sosial.
Cauchy kemudian mendaftar di Ecole Polytechnique untuk menjadi insinyur dan
menyelesaikan studinya pada tahun 1807. Ia melanjutkan pendidikan di Ecole des
Ponts et Chaussees yang merupakan sekolah khusus untuk membangun jembatan
dan jalan) dan menjadi cikal bakal ia menjadi insinyur militer. Augustin-Louis
Cauchy dinyatakan sangat cerdas dan lulus dari sekolah ini dengan gelar
kehormatan. Saat berusia 23 tahun kesehatannya mulai menurun karena banyaknya
pekerjaan dan memutuskan untuk kembali ke Paris dan mencurahkan seluruh
waktunya untuk matematika. Kontribusi terbesar Cauchy untuk matematika,
ditandai dengan metode yang ia perkenalkan, diwujudkan secara dominan dalam
tiga risalah besarnya: Cours d'analyse de l'Ecole Royale Polytechnique (1821;
βKursus Analisis dari Ecole Royale Polytechniqueβ) ; Ringkasan pelajaran tentang
menghitung tak terhingga (1823; "Ringkasan Pelajaran tentang Kalkulus
Infinitesimal"); dan aplikasi Pelajaran menghitung kalkulus Infinitesimal (1826β
188; βPelajaran tentang Aplikasi Kalkulus Infinitesimal ke Geometriβ). Fase
pertama ketelitian modern dalam matematika berasal dari ceramah dan
penelitiannya dalam analisis selama tahun 1820-an. Dia mengklarifikasi prinsip-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 57
49
prinsip kalkulus dan menempatkannya pada dasar yang memuaskan dengan
mengembangkannya dengan bantuan batasan dan kontinuitas, konsep yang
sekarang dianggap penting untuk dianalisis. Pada periode yang sama termasuk
pengembangan teori fungsi variabel kompleks (variabel yang melibatkan kelipatan
akar kuadrat minus satu), hari ini sangat diperlukan dalam matematika terapan dari
fisika ke aeronautika. Pada awal teror pemerintahan (1793-1794) selama revolusi
Perancis, keluarga Cauchy melarikan diri dari Paris ke desa Arcueil di mana Cauchy
pertama kali berkenalan dengan matematikawan Pierre-Simon Laplace dan ahli
kimia Claude-Louis Berthollet. Cauchy menjadi seorang insinyur militer dan pada
tahun 1810 ke Cherbourg untuk bekerja di pelabuhan dan benteng untuk armada
invasi Inggris Napoleon. Augustin-Louis Cauchy meninggal di Sceaux pada 23 Mei
1857 di usia 67 tahun.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI