Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes JCB 2009 colas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy
Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes
JCB 2009
Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy
Permutations
• Une permutation = (1)(2)…(n), est une bijection de [n] dans [n]
• Diagramme d'une permutation est l'ensemble des points (i, (i)).
• Montée : (a) < (a+1),
• descente, saillant-SG, saillant-SD, … = 5 3 4 9 7 8 10 6 1 2
Permutations de Baxter [Glen Baxter’64]
aa+1
la
la+1
dd+1
ld
ld+1
est une permutation de Baxter si :
1) pour chaque montée a la [(a), (a+1)[ t.q : les
rectangles (a+1, (a)) ; (n, la) et
(1,la+1);(a, (a+1)) soient vides.
2) pour chaque descente d ld [(d+1), (d)[ t.q. : les
rectangles (1, (d)) ; (d, ld) et
(d+1,ld+1)(n, (d+1)) soient vides.
2 chefs d’œuvre du 7ième art…
« Baxter permutations are a well known family of permutations that have been intensively studied over the past 30 years, appearing in various branches of mathematics such as analysis, algebraic «geometry and combinatorics »
Orientation bipolaire plane
Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée :
• Acyclique • 1 seule source s et• 1 seul puits t • s et t sur la face externe.Prop 1 :
Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe.
V: F:
Bord gauche
Bord droits
t
Orientation bipolaire plane
Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée :
• Acyclique • 1 seule source s et• 1 seul puits t • s et t sur la face externe.Prop 1 :
Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe.
V: F:
Orientation bipolaire plane : applications
Dessin de visibilitéDessins orthogonauxStructures transverses…
Enumération
• [Chung et al 79] [Mallows’79]
• Permutation
• Bijections • [Cori, Dulucq, Viennot,
Guibert, Gire] – Arbres jumeaux– Triplets de chemins de
grand Dyck
• [Rodney Baxter’01]• Bipolaires planes
• Bijections– [Fusy, Poulalhon,
Schaeffer’07] Triplets de chemins de grand Dyck
– [Fusy’07] Structures Transverses
– [Felsner, Fusy, Noy, Ordner’07] permutations.
[MBM’03]
m
jn
mn
in
m
jn
mm
in
m
n
nn
ij 1
1
1
1
1
2
1
1
1
)1(
Pas de bijection directePas de bijection simple et directe
Résultat principal
taille n k descentes
l montées i saillants sup gauche
i’ saillants inf droite j saillants sup droite
j’ saillants inf gauche
n arêtesk faces internesl+2 sommetsBord gauche de longueur iBord droit de longueur i’Puits de degré jSource de degré j’
Thm : Une bijection qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires:
: Etape 1
+2
: Etape 2
Propriétés
Prop 1 : est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires
Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2.
Lemme 2 : Le dessin est planaire.
Arbre de génération des Baxter
• Nœuds de l’arbres : permutations de Baxter.
• Bn -> Bn-1 : suppression de l’élément n.
Arbre de génération des Baxter
• Bn -> Bn-1 : suppression de l’élément n.
• Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 – (a) avant le k-ème saillant sup.
gauche – (b) après le k-ème saillant sup
droit.
• Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre :– (1,1)– (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1,
k) : 1 <= k <= j}
• Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.
Arbre de génération des Bipolaires
On -> On-1 Soit e=(t,v) l’arête la plus à droite du puits.
• (a) deg-(v) > 1
– Supprimer e
• (b) deg-(v) = 1
– Contracter e
Arbre de génération des Bipolaires
On -> On+1 :
• (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche.
• (b) « déléguer les k premières arêtes »
Lemme : l’arbre de génération des bipolaires est isomorphe à l’arbre :
(1,1)(i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}
est bien une bijection.
Arbres isomorphes une bijection .Par récurrence sur n on montre que
() =()
Symétrie selon la 1ère diagonale
Rotation de 90° et Dualité
Tx Ty
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
3
4
9
7
8
10
6
1
2
-1
Remarque
Liens étroits avec l’algorithme de dessin de [di Battista et al. 92]
Treillis des orientations bipolaires
• Thm [Ossona de Mendez 94] : l’ensembles des orientations bipolaires d’une carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante :
LOP ROP
Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOPLemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP.
Orientationsbipolaires
Orientations Min
Cartes 2-connexes
Orientation Min&Max
Cartes séries-parallèles
Spécialisations de
Baxter Sn(2413,3142)Baxter Sn(2413)
[Dulucq Gire West 96] [Gire 93]
• Lemme : () contient un LOP contient 41352 () contient un ROP contient 25314
• Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1)– Enumérées par Cn.Cn
(Cn.Cn+1 )[Cori Dulucq Viennot’86] [Dulucq Guibert’98]
• Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1)– Enumérées par Cn
[Guibert Linusson’00]
Perspectives
Travaux en cours
• Orientations mono-source– Involutions de Baxter– Liens avec les cartes
Eulériennes