Perambatan Gelombang Elektromagnetik filemereka dalam memahami sifat dan karakteristik penjalaran gelombang elektromagnetik. Ak-ibatnya,

Perambatan GelombangElektromagnetik

Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc

Edisi I

Departemen Fisika-FMIPA

Univeristas Indonesia

2007

Untuk:

Nina, Muflih dan Hasan

Be carefull with your desire, because it will become your thought

Be carefull with your thought, because it will become your words

Be carefull with your words, because it will become your action

Be carefull with your action, because it will become your habit

Be carefull with your habit, because it will become your destiny

Kata Pengantar

Ada satu fakta yang seringkali ditemui di kalangan mahasiswa geofisika yaitu kelemahan

mereka dalam memahami sifat dan karakteristik penjalaran gelombang elektromagnetik. Ak-

ibatnya, interpretasi dari suatu fenomena gelombang elektromagnetik tidak dapat diuraikan

secara mendalam. Untuk mengatasi masalah tersebut, buku yang anda sedang anda baca ini

disusun.

Buku ini sebenarnya merupakan bagian dari Tesis S2 penulis ketika kuliah di Departemen

Fisika, FMIPA-UI. Isi buku ini mencoba meletakkan pondasi dasar dari bangunan pemahaman

akan penjalaran gelombang elektromagnetik baik di medium non-konduktor maupun di medi-

um konduktor. Penyusunan buku ini masih akan terus berlanjut ke edisi-2, dimana isinya akan

terus dipertajam secara lebih mendetil sampai pada penurunan rumus-rumus gelombang yang

diturunkan dari persamaan Maxwell.

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede

Djuhana yang telah berkenan membagi format LATEXkepada saya sehingga tampilan tulisan

pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Rasa terima kasih juga

ingin saya teruskan kepada Sarah Wardhani yang telah memicu langkah awal penulisan buku

ini hingga Edisi-1 terselesaikan. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada seluruh

rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Pengantar Geofisika

ATA 2007/2008 di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia.

Semoga buku ini bermanfaat buat kebangkitan ilmu pengetahuan anak bangsa. Saya wariskan

ilmu ini untuk anak bangsa. Saya mengizinkan kalian semua untuk meng-copy dan menggu-

nakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Jika ada

koreksi maupun saran atas isi buku ini, mohon disampaikan secara tertulis melalui email ke

alamat: [email protected]. Terima kasih.

Depok, 12 September 2007

Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc

v

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar v

Daftar Isi vii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xi

1 Gelombang EM pada Medium Udara 1

1.1 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Energi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Gelombang Pada Medium Nonkonduktor 5

2.1 Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas . . . . . . . . . . 7

2.2 Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas . . . . . . . 9

3 Gelombang pada Medium Konduktor 13

3.1 Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Daftar Acuan 19

vii

Daftar Gambar

1.1 Gelombang Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor . . . . . . . . . 7

2.2 Gelombang datang dengan sudut θI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,EoRdan gelombang transmisi, EoT

terhadap

gelombang datang,EoIdengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25 . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ix

Daftar Tabel

2.1 Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al,

1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫr, dan kecepatan gelom-

bang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992) 6

xi

Bab 1

Gelombang EM pada Medium Udara

1.1 Persamaan Gelombang

Sejarah telah mencatat bahwa hukum-hukum tentang elektrostatik, magnetostatik dan elektro-

dinamik ditemukan pada awal abad ke-19. Beberapa dari hukum-hukum itu, seperti hukum

Faraday, hukum Ampere dan konsep mengenai displacement current, secara sistematik telah

disusun oleh Maxwell menjadi apa yang dikenal sekarang ini sebagai persamaan Maxwell.

Khusus pada ruang vakum dan berlaku juga pada medium udara, persamaan Maxwell diny-

atakan sebagai

∇ · E = 0 (1.1)

∇ · B = 0 (1.2)

∇× E = −∂B

∂t(1.3)

∇× B = µoǫo∂E

∂t(1.4)

dimana E = vektor medan listrik, B = vektor medan magnet, ǫo = permitivitas listrik di udara

atau vakum (8, 85 × 10−12C2/Nm2), µo = permeabilitas magnet di udara atau vakum (4π ×10−7T.m/A).

Operasi curl yang dilakukan pada persamaan (1.3) dan (1.4) menghasilkan persamaan gelom-

bang medan listrik dan gelombang medan magnet sebagai berikut

∇2E = µoǫo∂2E

∂t2∇2B = µoǫo

∂2B

∂t2(1.5)

dengan kecepatan rambat gelombang di udara dan ruang vakum sebesar

c =1√ǫoµo

≈ 3, 00 × 108m/s (1.6)

Persamaan (1.5) memiliki solusi sebagai berikut

E = Eoei(κx−ωt+δE)j B = Boe

i(κx−ωt+δB)k (1.7)

1

2 BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA

Gambar 1.1: Gelombang Elektromagnetik

dengan Eo adalah amplitudo medan listrik pada sumbu y, sementara Bo adalah amplitudo

medan magnet pada sumbu z. Sedangkan κ = konstanta propagasi, x = arah rambat gelom-

bang, δE = beda fase gelombang medan listrik terhadap titik acuan yaitu pada x=0, y=0, z=0 ,

dan δB = beda fase gelombang medan magnet terhadap titik acuan.

Pada ruang vakum dan medium non-konduktor, tidak terjadi beda fase antara medan

listrik dan medan magnet, sehingga dapat dinyatakan δE = δB = δ.

E = Eoei(κx−ωt+δ)j B = Boe

i(κx−ωt+δ)k (1.8)

atau bila dinyatakan hanya dalam komponen riil

E = Eo cos (κx − ωt + δ)j B = Bo cos (κx − ωt + δ)k (1.9)

Berdasarkan Hukum Faraday, persamaan (1.4), dapat dimengerti bahwa arah getar medan

listrik harus saling tegak lurus dengan arah getar medan magnet. Hubungan antara ampli-

tudo medan listrik dan medan magnet dapat dinyatakan sebagai

κ(Eo) = ω(Bo) (1.10)

atau dalam bentuk yang lebih umum

Bo =κ

ωEo =

1

cEo (1.11)

Jadi suatu gelombang elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai

E(x, t) = Eoei(κx−ωt+δ)j B(x, t) =

1

cEoe

i(κx−ωt+δ)k (1.12)

1.2. ENERGI GELOMBANG 3

dan khusus untuk bagian riil adalah

E(x, t) = Eo cos(κx − ωt + δ)j B(x, t) =1

cEo cos(κx − ωt + δ)k (1.13)

1.2 Energi Gelombang

Energi gelombang elektromagnetik yang tersimpan per satuan volume dinyatakan sebagai

U =1

2(ǫoE

2 +1

µoB2) (1.14)

U = ǫoE2 = ǫoE

2oycos

2(κx − ωt + δ) (1.15)

Selama gelombang merambat, ia membawa energi sepanjang lintasan yang dilaluinya. Kerap-

atan fluks energi yang dibawa oleh medan ditentukan oleh vektor poynting

S =1

µo(E × B) (1.16)

S = cǫoE2oycos

2(κx − ωt + δ)i = cUi (1.17)

Vektor poynting juga menunjukkan arah rambat gelombang. Persamaan di atas menunjukkan

bahwa arah rambat gelombang searah dengan sumbu x. Intensitas gelombang dinyatakan

sebagai harga rata-rata dari S, 〈S〉

I = 〈S〉 =1

2ǫocE

2oy (1.18)

4 BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA

Bab 2

Gelombang Pada Medium

Nonkonduktor

Gelombang elektromagnetik dapat juga merambat pada medium nonkonduktor. Pada kasus

ini, bentuk persamaan Maxwell dimodifikasi menjadi

∇ · D = 0 (2.1)

∇ · B = 0 (2.2)

∇× E = −∂B

∂t(2.3)

∇× H =∂D

∂t(2.4)

dengan D adalah medan listrik pergeseran dan H adalah kuat medan magnet pada medium.

Jika medium bersifat linear, maka

D = ǫE H =1

µB (2.5)

dan bila medium bersifat homogen, maka nilai konstanta permitivitas, ǫ, dan permeabilitas,

µ tidak mengalami variasi pada setiap titik dalam medium , sehingga persamaan Maxwell

dinyatakan sebagai

∇ · E = 0 (2.6)

∇ · B = 0 (2.7)

∇× E = −∂B

∂t(2.8)

∇× B = µǫ∂E

∂t(2.9)

Pada medium non-konduktor, besar kecepatan rambat gelombang elektromagnetik adalah

v =1√ǫµ

(2.10)

5

6 BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR

Sebagian besar mineral geologi yang ada di alam ini memiliki nilai µ yang mendekati µo,

kecuali jika material tersebut memiliki sejumlah besar molekul Fe2O3 yang terkandung di-

dalamnya (Telford et al, 1990)?. Lihat Tabel 2.1. Di lain pihak,lihat Tabel 2.2, ǫ selalu lebih besar

dari ǫo. Hal ini membawa konsekuensi bahwa kecepatan gelombang elektromagnetik pada su-

atu medium, selalu lebih rendah dibandingkan dengan kecepatan gelombang elektromagnetik

di udara.

Tabel 2.1: Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al, 1990)

Mineral Permeabilitas relatif, µ/µo

Magnetite 5Pyrhotite 2,55Hematite 1,05Rutile 1,0000035Calsite 0,999987Quartz 0,999985

Tabel 2.2: Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫr, dan kecepatan gelom-bang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992)

Mineral ǫr Kecepatan (m/ns)

Udara 1 0,30Air laut 80 0,01Pasir kering 3-6 0,15Pasir basah 20-30 0,06Limestone 4-8 0,12Silts 5-30 0,07Granit 4-6 0,13Es 3-4 0,16

Nilai rasio kecepatan gelombang elektromagnetik di udara terhadap kecepatan gelombang

elektromagnetik medium non-konduktor, disebut indeks bias, n,

n =c

v=

√

ǫµ

ǫoµo

∼=√

ǫ

ǫo=

√ǫr (2.11)

dimana ǫr adalah konstanta dielektrik.

Faktor indeks bias dalam pengolahan data GPR menjadi hal yang sangat penting, karena

berpengaruh langsung terhadap arah rambat gelombang refleksi dan tranmisi, terutama bi-

la pulsa-pulsa radar bertemu dengan batas antara dua lapisan batuan. Hal ini akan dibahas

lebih dalam pada bagian tulisan berikutnya. Solusi persamaan gelombang pada medium non-

konduktor adalah

E(x, t) = Eoyei(κx−ωt+δ)j B(x, t) =

1

vEoze

i(κx−ωt+δ)k (2.12)

Kerapatan energi gelombang, vektor poynting dan intesitas pada medium linear dinyatakan

2.1. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT NORMAL TERHADAP BIDANG BATAS 7

Gambar 2.1: Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor

dengan

U =1

2(ǫE2 +

1

µB2) (2.13)

S =1

µ(E × B) (2.14)

I =1

2ǫvE2

oy (2.15)

2.1 Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas

Anggaplah ada bidang pembatas antara dua medium linear yang berbeda. Sebuah gelom-

bang datang dengan frekuensi ω, merambat pada medium 1 searah dengan sumbu x positif

mendekati bidang batas dari arah kiri, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1:

EI(x, t) = EoyIei(κ1x−ωt+δ)j (2.16)

BI(x, t) =1

v1EoyI

ei(κ1x−ωt+δ)k (2.17)

Saat bertemu bidang batas, akan terbentuk gelombang refleksi

ER(x, t) = EoyRei(−κ1x−ωt+δ)j (2.18)

BR(x, t) = − 1

v1EoyR

ei(−κ1x−ωt+δ)k (2.19)


yang merambat berlawanan arah dengan gelombang datang namun tetap merambat pada

medium 1. Hal ini mengakibatkan vektor Poynting berbalik arah, sehingga BR bertanda negatif.

κ1 juga bertanda negatif karena arah rambat gelombang refleksi berlawanan dengan arah ram-

bat gelombang datang . Selain itu akan terbentuk juga gelombang transmisi yang terus mer-

ambat pada medium 2.

ET (x, t) = EoyTei(κ2x−ωt+δ)j (2.20)

BT (x, t) =1

v2EoyT


Pada x = 0, kombinasi gelombang pada medium 1, EI + ER dan BI + BR harus kontinyu

dengan gelombang yang berada pada medium 2, ET dan BT memenuhi syarat-syarat batas

sebagai berikut

Emedium1 = Emedium2 (2.22)1

µ1Bmedium1 =

1

µ2Bmedium2 (2.23)

Berdasarkan kedua syarat batas tersebut maka

EoyI+ EoyR

= EoyT(2.24)

1

µ1

(

1

v1EoyI

− 1

v1EoyR

)

=1

µ2

(

1

v2EoyT

)

(2.25)

atau disederhanakan menjadi

EoyI− EoyR

= βEoyTβ =

µ1v1

µ2v2=

µ1√

ǫ2µ2

√ǫ1

(2.26)

Sebagian besar mineral di alam ini memiliki permeabilitas magnet µ yang hampir sama

dengan nilai permeabilitas magnet di ruang vakum µ0, sehingga dapat diasumsikan µ1 = µ2.

Besar amplitudo gelombang refleksi dan amplitudo gelombang transmisi yang masing-masing

dinyatakan dalam gelombang datang berturut-turut sebagai berikut

EoyR=

(√ǫ1 −

√ǫ2√

ǫ1 +√

ǫ2

)

EoyIEoyT

=

(

2√

ǫ1√ǫ1 +

√ǫ2

)

EoyI(2.27)

Berdasarkan persamaan (2.15), rasio intensitas gelombang refleksi terhadap gelombang datang,

atau koefisien refleksi adalah

R =IR

II=

(

EoyR

EoyI

)2

=

(√ǫ1 −

√ǫ2√

ǫ1 +√

ǫ2

)2

(2.28)

Sementara koefisien transmisi ditentukan oleh

T =IT

II=

ǫ2v2

ǫ1v1

(

EoyT

EoyI

)2

=

√ǫ2√ǫ1

(

2√

ǫ1√ǫ1 +

√ǫ2

)2

(2.29)

2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS9

Gambar 2.2: Gelombang datang dengan sudut θI

2.2 Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas

Jika gelombang EM jatuh pada bidang batas dengan sudut datang tertentu, maka persamaan

syarat batasnya menjadi

ǫ1(EoI+ EoR

)x = ǫ2(EoT)x (2.30)

(BoI+ BoR

)x = (BoT)x (2.31)

(EoI+ EoR

)y,z = (EoT)y,z (2.32)

1

µ1(BoI

+ BoR)y,z =

1

µ2(BoT

)y,z (2.33)

dimana Bo = (k×Eo)/v. Dua syarat batas terakhir merupakan pasangan persamaan, jika salah

satu persamaan dinyatakan dalam komponen-y, maka persamaan lainnya harus dinyatakan

dalam komponen-z. Gambar 2.2 menunjukkan model fenomena refleksi dan transmisi dengan

sudut datang sembarang. Dari syarat batas (2.30) diperoleh

ǫ1(−EoIsin θI + EoR

sin θR) = ǫ2(−EoTsin θT ) (2.34)

syarat batas (2.31) tidak memberikan kontribusi apa-apa, syarat batas (2.32) menjadi

EoIcos θI + EoR

cos θR = EoTcos θT (2.35)

syarat batas (2.33) menjadi1

µ1v1(EoI

− EoR) =

1

µ2v2EoT

(2.36)


Persamaan (2.34) dan (2.36) dapat disederhanakan menjadi

EoI− EoR

= βEoTβ =

µ1v1

µ2v2=

√ǫ2√ǫ1

(2.37)

dan persamaan (2.35) disederhanakan menjadi

EoI+ EoR

= αEoTα =

cos θT

cos θI(2.38)

Berdasarkan Hukum Snellius, faktor α dapat dinyatakan dalam sudut datang dan permitivitas

medium, yaitu

α =

√

1 − sin2 θT

cos θI=

√

1 −(

ǫ1ǫ2

sin θI

)2

cos θI(2.39)

Rasio amplitudo gelombang refleksi dan transmisi terhadap gelombang datang dapat diny-

atakan sebagai berikut

EoR

EoI

=

(

α − β

α + β

)

=

(

ǫ2ǫ1

)

cos θI −√

(

ǫ2ǫ1

)

− sin2 θI

(

ǫ2ǫ1

)

cos θI +

√

(

ǫ2ǫ1

)

− sin2 θI

(2.40)

EoT

EoI

=

(

2

α + β

)

=

2

√

ǫ2ǫ1

cos θI

(

ǫ2ǫ1

)

cos θI +

√

(

ǫ2ǫ1

)

− sin2 θI

(2.41)

Kedua persamaan terakhir dikenal dengan Persamaan Fresnel. Berdasarkan kedua per-

samaan tersebut dapat dimengerti bahwa gelombang transmisi selalu sefase dengan gelom-

bang datang, sedangkan gelombang refleksi akan sefase bila α > β, tetapi berlawanan fase bila

α < β. Lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.3

Ketika gelombang datang bertemu dengan bidang batas dari arah normal (θI = 0), maka α

= 1, dan hasil-hasil penurunan rumusnya sesuai dengan pembahasan terdahulu. Namun, yang

paling menarik adalah ketika α = β, hal ini mengakibatkan hilangnya gelombang refleksi, dan

yang tersisa hanya gelombang transmisi. Sudut datang yang menyebabkan fenomena tersebut

disebut sudut Brewster, θB

sin2 θB =1 − β2

ǫ1ǫ2

− β2(2.42)

jika µ1 = µ2, sudut Brewster dapat dinyatakan dengan

tan θB =

√

ǫ2ǫ1

(2.43)

2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS11

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sudut datang(θ)

Mag

nitu

de

(θB)

Rasio Eot/EoiRasio Eor/Eoi

Gambar 2.3: Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,EoRdan gelombang transmisi, EoT

terhadapgelombang datang,EoI

dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25

Intesitas gelombang datang, refleksi dan transmisi masing-masing adalah

II =1

2ǫ1v1E

2oI

cos θIIR =1

2ǫ1v1E

2oR

cos θRIT =1

2ǫ2v2E

2oT

cos θT (2.44)

sehingga besar koefisien refleksi dan transmisi berturut-turut dapat ditentukan sebagai berikut

R =IR

II=

(

EoR

EoI

)2

=

(

α − β

α + β

)2

(2.45)

T =IT

II=

ǫ2v2

ǫ1v1

(

EoR

EoI

)2 cos θT

cos θI= αβ

(

2

α + β

)2

(2.46)

Secara grafik dapat dilihat pada Gambar 2.4.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

sudut datang(θ)

Mag

nitu

de Koef. TransmisiKoef. Refleksi

Gambar 2.4: Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25

Bab 3

Gelombang pada Medium Konduktor

Bentuk persamaan Maxwell dalam medium konduktor adalah

∇ · E = 0 (3.1)

∇ · B = 0 (3.2)

∇× E = −∂B

∂t(3.3)

∇× B = µσE + µǫ∂E

∂t(3.4)

dimana σ adalah konstanta konduktivitas.

Dari persamaan di atas, dapat diturunkan persamaan gelombang medan listrik dan medan

magnet sebagai berikut

∇2E = µǫ∂2E

∂t2+ µσ

∂E

∂t∇2B = µǫ

∂2B

∂t2+ µσ

∂B

∂t(3.5)

Kedua persamaan ini memberikan solusi persamaan gelombang bidang, yaitu

E(x, t) = Eoyei(κx−ωt+δE)jB(x, t) = Boze

i(κx−ωt+δB)k (3.6)

dimana bilangan gelombang, κ, berbentuk bilangan kompleks

κ2 = µǫω2 + iµσω (3.7)

yang dapat disederhanakan menjadi κ = κ+ + iκ−

, dengan

κ+(ω) = ω

√

ǫµ

2

[

√

1 +( σ

ǫω

)2+ 1

]1/2

κ−(ω) = ω

√

ǫµ

2

[

√

1 +( σ

ǫω

)2− 1

]1/2

(3.8)

dengan demikian, solusi lengkap persamaan gelombang di atas dapat ditulis sebagai

E(x, t) = Eoye−κ

−xei(κ+x−ωt+δE)jB(x, t) = Boze

−κ−

xei(κ+x−ωt+δB)k (3.9)

13

14 BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR

Faktor κ−

, bagian imajiner dari κ, menjelaskan terjadinya atenuasi gelombang, yaitu gejala

melemahnya amplitudo seiring dengan bertambahnya jarak tempuh gelombang. Disamping

itu, κ−

juga menentukan kedalaman skin depth, yaitu suatu jarak tertentu dimana amplitudo

gelombang melemah dengan faktor 1/e, dan dihitung dengan cara

d =1

κ−

(3.10)

Bagian riil dari κ, yaitu faktor κ+ berhubungan dengan panjang gelombang, λ, kecepatan ram-

bat gelombang, v, dan indeks bias, n, yang masing-masing dinyatakan dengan

λ =2π

κ+=

2π

ω

√

ǫµ

2

[

√

1 +( σ

ǫω

)2+ 1

]1/2(3.11)

v =ω

κ+=

1√

ǫµ

2

[

√

1 +( σ

ǫω

)2+ 1

]1/2(3.12)

n =cκ+

ω= c

√

ǫµ

2

[

√

1 +( σ

ǫω

)2+ 1

]1/2

(3.13)

Bila gelombang elektromagetik berfrekuensi tinggi merambat pada medium berkonduktiv-

itas rendah (non konduktor), atau dengan kata lain memenuhi syarat

σ << ωǫ (3.14)

maka komponen riil dan imajiner dari bilangan gelombang, κ, dapat ditulis sebagai

κ+(ω) ∼= ω√

ǫµ κ−

∼= σ

2

√

µ

ǫ(3.15)

Besar kecepatan gelombang pada medium seperti itu adalah

v =1√µǫ

(3.16)

Hasil ini sama persis dengan penurunan rumus kecepatan pada pembahasan gelombang elek-

tromagnetik dalam medium non-konduktor. Selain itu dapat dimengerti pula bahwa skin depth

terbebas dari pengaruh frekuensi, sehingga penetrasi gelombang elektromagnetik pada miner-

al berkonduktivitas rendah atau non-konduktor semata-mata hanya ditentukan oleh parame-

ter listrik-magnet mineral tersebut.

Pada kasus yang lain yaitu ketika gelombang elektromagnetik ber-frekuensi tinggi meram-

bat pada medium berkonduktivitas tinggi, atau dengan kata lain memenuhi syarat

σ >> ωǫ (3.17)

3.1. GELOMBANG MONOKROMATIK PADA MEDIUM KONDUKTOR 15

maka faktor κ+ dan κ−

mempunyai harga yang hampir sama

κ+(ω) ∼= κ−(ω) ∼=

√

ωσµ

2(3.18)

tetapi pada kasus ini, skin depth dipengaruhi oleh frekuensi. Skin depth semakin dangkal bila

frekuensi semakin tinggi demikian pula sebaliknya.

3.1 Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor

Solusi persamaan gelombang untuk medium konduktor, sebagaimana yang telah dibahas pada

bagian yang terdahulu adalah sebagai berikut

E(x, t) = Eoye−κ

−xei(κ+x−ωt+δE)j (3.19)

B(x, t) =(κ

ω

)

Eoze−κ

−xei(κ+x−ωt+δB)k (3.20)

yang menunjukkan bahwa gelombang medan listrik dan medan magnet saling tegak lurus.

Seperti bilangan kompleks lainnya, κ juga dapat diekspresikan dalam modulus dan fase:

κ = κ+ + iκ−

= |κ|eiφ (3.21)

dengan

|κ| =√

κ2+ + κ2

−

= ω

√

ǫµ

√

1 +( σ

ǫω

)2(3.22)

dan

φ = tan−1

(

κ−

κ+

)

(3.23)

Mengacu pada persamaan (3.19) dan (3.20), amplitudo medan listrik dan medan magnet saling

dihubungkan dengan

BozeiδB =

|κ|eiφ

ωEoye

iδE (3.24)

Jadi, secara matematis dapat dibuktikan bahwa perambatan gelombang elektromagnetik pada

medium konduktor akan menghadirkan beda fase antara medan listrik dan medan magnet,

sebagaimana diperlihatkan Gambar 3.1. Beda fase tersebut adalah

δB − δE = φ (3.25)

Secara fisis artinya adalah gelombang medan magnet selalu tertinggal di belakang gelom-

bang medan listrik. Pada sisi lain, amplitudo riil dari medan listrik dan medan magnet di-

hubungkan oleh persamaan berikut

Boz =|κ|ω

Eoy =

√

ǫµ

√

1 +( σ

ǫω

)2Eoy (3.26)

16 BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR

Gambar 3.1: Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa

Akhirnya, gelombang medan listrik dan medan magnet pada medium konduktor harus diny-

atakan sebagai

E(x, t) = Eoye−κ

−x cos(κ+x − ωt + δE)j (3.27)

B(x, t) =|κ|ω

Eoye−κ

−x cos(κ+x − ωt + δE + φ)k (3.28)

Pada konduktor, energi gelombang tidak dibagi secara merata pada gelombang medan

listrik dan medan magnet

U =1

2(ǫoE

2 +1

µoB2) (3.29)

U =1

2E2

oye−2κ

−x

(

ǫ cos2(κ+x − ωt + δE) +|κ|µω2

cos2(κ+x − ωt + δE + φ)

)

(3.30)

Energi rata-rata dinyatakan sebagai

< U >∼= 1

4ǫE2

oye−2κ

−x

[

1 +

√

1 +( µ

ǫω

)2]

(3.31)

Suku kedua dari persamaan (3.31) menunjukkan dominasi medan magnet. Bahkan, bila suatu

material tergolong dalam konduktor yang baik, maka

< U >∼= 1

4

µ

ωE2

oye−2κ

−x (3.32)

Sementara, fluks energi rata-rata ditentukan oleh vektor poynting sebagai berikut

< S >=1

2

κ+

µωE2

oye−2κ

−xi (3.33)

3.2. REFLEKSI DAN TRANSMISI PADA PERMUKAAN KONDUKTOR 17

3.2 Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor

Anggaplah terdapat bidang yz sebagai batas antara medium 1 yang non-konduktor dan medi-

um 2 yang konduktor. Suatu gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1, melintasi

bidang batas, menuju medium 2 seperti gambar 2.1 Persamaan gelombang untuk gelombang

datang, refleksi dan transmisi adalah sebagai berikut

EI(x, t) = EoyIei(κ1x−ωt+δ)j BI(x, t) =

1

v1EoyI


ER(x, t) = EoyRei(−κ1x−ωt+δ)j BR(x, t) = − 1

v1EoyR

ei(−κ1x−ωt+δ)k (3.35)

ET (x, t) = EoyTei(κ2x−ωt+δ)j BT (x, t) =

κ2

ωEoyT


Gelombang transmisi mengalami atenuasi ketika memasuki konduktor, karena κ2 merupakan

bilangan kompleks.

Syarat batas harus memenuhi dua syarat batas, yaitu

EoyI+ EoyR

= EoyT(3.37)

dan1

µ1v1(EoyI

− EoyR) =

1

µ2

κ2

ωEoyT

) (3.38)

atau

EoyI− EoyR

= βEoyTβ =

(

µ1v1κ2

µ2ω

)

(3.39)

Dari persamaan (3.37) dan (3.39) diperoleh

EoyR=

(

1 − β

1 + β

)

EoyIEoyT

=

(

2

1 + β

)

EoyI(3.40)

Hasil ini identik dengan yang diperoleh sebelumnya pada batas antar dua bahan non-konduktor,

hanya saja sekarang β merupakan bilangan kompleks. Untuk konduktor yang sempurna

(σ = ∞), β menjadi tak terhingga, sehingga

EoyR= −EoyI

EoyT= 0 (3.41)

Pada kasus ini, semua gelombang datang akan dipantulkan menjadi gelombang refleksi den-

gan beda fase 180.

Daftar Pustaka

19

Perambatan Gelombang Elektromagnetik filemereka dalam memahami sifat dan karakteristik penjalaran gelombang elektromagnetik. Ak-ibatnya,

Documents