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Pensamiento Algebraico Tercer semestre
Programa
Introducción
Un aspecto central en el estudio y desarrollo del pensamiento
algebraico es el poder expresar, de manera compacta y eficiente,
una gran variedad de ideas matemáticas inmersas tanto en la misma
disciplina como en otros contextos. Esto permite que con ideas
algebraicas se puedan estudiar diferentes clases de relaciones
entre objetos matemáticos, entre las que destacan las funciones. El
álgebra es útil para abordar y analizar una gran cantidad de
problemas usando propiedades de manera adecuada.
El uso de alguna computadora (software) o calculadora
graficadora puede ser de utilidad para los estudiantes en el
planteamiento de conjeturas y como herramienta para graficar,
visualizar y entender el significado de ciertas relaciones
matemáticas. En particular se recomienda el uso de la "hoja de
cálculo" como herramienta, para que el estudiante desarrolle
conceptos del álgebra tales como la búsqueda de patrones, funciones
y modelación. Por supuesto, su uso depende de la disponibilidad de
estos instrumentos y de los materiales de apoyo que el profesor
pueda recibir y generar durante su práctica.
Organización de los contenidos
El estudio de esta asignatura se organiza alrededor de cuatro
temas o ejes fundamentales. Aun cuando cada eje se presenta por
separado, es importante mencionar que éstos siempre aparecen
conectados y relacionados en la práctica de promover el desarrollo
del pensamiento algebraico; por ejemplo, las actividades que se
mencionan en cada uno de los ejes, generalmente abordan temas de
varios de ellos. Además, en las actividades se ilustran algunas
estrategias como el uso de tablas, diagramas, gráficas y fórmulas
que los estudiantes deben emplear continuamente en sus experiencias
de aprendizaje.
Las actividades que se presentan son vistas como ejemplos
tipificados que los maestros pueden utilizar para llevar a cabo el
estudio; se trata de que se tomen como punto de referencia para
construir o diseñar otros tipos de problemas o extensiones. En cada
bloque se identifica un conjunto de contenidos que el maestro debe
atender durante la aplicación de las actividades; se pretende que
los recursos matemáticos y las estrategias adquieran sentido o
emerjan durante el proceso de solución de las actividades.
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Orientaciones didácticas
La idea de problematizar el estudio de la disciplina
Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que
el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante
tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la
disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan
en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y
discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de
cierto modo. Esto significa que las actividades deben presentarse
en forma de problemas o preguntas con los cuales el estudiante
tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie
de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio.
Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para
investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y
rediseñar o formular nuevos problemas.
Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en
propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante
donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta
comunidad, la actividad central es la discusión de los
procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o
preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la
situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar
el potencial particular o general de éstos son actividades que
ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de
clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas
que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los
estudiantes. En tal sentido, es importante que tenga en
consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los
estudiantes.
Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere
una reflexión y acción continua acerca de la actividad matemática.
Algunas preguntas, que llegan a ser rutina –en un curso que valore
la resolución de problemas- y que juegan un papel central en el
desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: ¿he
usado o identificado la información importante en el problema?
¿Estoy convencido de la forma de solución del problema? ¿Puedo
convencer a otros compañeros? ¿He resuelto totalmente el problema?
¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución? ¿Puede este
resultado ser generalizado?
Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de
sus exploraciones y presentar justificaciones y explicaciones de
los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye
valorar el trabajo de los demás, aprovechar sus ideas y los
resultados de sus investigaciones; esto requiere que los
estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y a responder
adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.
La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad
de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias
que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su
aprendizaje. Al problematizar el estudio de las
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matemáticas los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer
el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como
una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar.
Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una
búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el
quehacer matemático.
Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes
en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático.
Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera
separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre
ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los
sistemas numéricos –y en general las matemáticas como un todo
estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de
problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma
disciplina.
Propósitos generales
Al término del estudio de los contenidos de este programa se
espera que los estudiantes normalistas:
Utilicen herramientas algebraicas para resolver problemas en
diversos contextos.
Adquieran elementos de tipo didáctico que les permitan analizar
situaciones adecuadas para los alumnos de educación secundaria.
Adquieran elementos para analizar las dificultades con que
tropiezan los alumnos de secundaria en el estudio del álgebra.
Bloque I. La observación, generalización y formalización de
patrones
Temas
1. Procesos de generalización.
2. Expresiones algebraicas y sus operaciones.
3. Diagramas, tablas y gráficas.
4. Uso de variables.
El estudio de la aritmética elemental se enfoca, generalmente,
al tratamiento de relaciones numéricas; en dicho estudio, un paso
importante es la generalización de tratamientos aritméticos a
procesos algebraicos.
En la búsqueda de patrones, el álgebra aporta una herramienta
importante: el empleo de símbolos que permiten identificar y
explotar relaciones o casos generales.
Los procesos de generalización permiten extender el rango de
razonamiento o comunicación más allá de los casos considerados; es
decir, el individuo identifica y
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expone propiedades comunes de los casos analizados que van más
allá de las situaciones mismas. En este proceso, el estudiante
enfoca su atención a detectar patrones, procedimientos, estructuras
y relaciones entre los casos particulares en donde se distingue el
uso de algún lenguaje simbólico.
Las actividades que se presentan muestran aspectos relevantes
relacionados con el desarrollo del pensamiento algebraico de los
estudiantes; en la mayoría éstas ilustran la relación entre varias
representaciones. La idea es que el maestro formule otras
actividades y motive a los estudiantes para que ellos mismos
presenten situaciones parecidas o introduzcan algunos cambios en
las ya formuladas.
Bibliografía básica
SEP (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación
secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria, México.
Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de
problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial
Iberoamérica.
Actividades sugeridas
Actividad 1. Cuatro estudiantes llegan puntuales al curso de
pensamiento algebraico. Cada uno saluda de mano a los otros.
¿Cuántos saludos de mano ocurren? Después llega otro estudiante,
después otro, etcétera, y todos realizan el mismo procedimiento que
sus predecesores. ¿Cuántos apretones de mano se realizan en total,
cuando han llegado 25 estudiantes? ¿Cuál es la expresión algebraica
que permite encontrar el número de apretones de mano para cualquier
número n de estudiantes?
Los estudiantes pueden trabajar en equipos en las fases de
entendimiento de la situación. En particular, pueden simular la
actividad y empezar a registrar el número de apretones a través de
los medios que ellos consideren pertinentes.
El maestro puede ayudar a orientar y controlar el trabajo de los
estudiantes. Su papel incluye plantear preguntas que permitan a los
estudiantes organizar y analizar el trabajo de manera sistemática.
Por ejemplo, después de que los estudiantes resuelven el problema,
el maestro puede presentar tres formas de representar la
información relevante del problema y los estudiantes deben analizar
y contrastar las ventajas que ofrecen estas maneras de organizar la
información.
En la figura siguiente aparece una representación gráfica de la
información relevante del problema.
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Con esta construcción se tienen algunos elementos que ayudan a
lograr un mejor entendimiento de la situación. La tabla que aparece
más abajo permite identificar un patrón entre los casos
particulares que se ilustran con la figura. También permite
identificar el patrón de comportamiento del caso general, con lo
que se pueden contestar las preguntas planteadas.
Núm. de maestros Nuevos saludos Total, otra forma
4 s 6 = 1 + 2 + 3
5 4 10 = 1 + 2 + 3 + 4
6 5 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
7 6 21= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
25 24 21= 1 + 2 + 3 +… + 24 = 25(24/2) = 150
N n-1 n(n-1)/2
Otra forma de representar este problema es por medio de un
arreglo matricial donde 1 representa un saludo y 0 sin saludo
(nadie se saluda a sí mismo).
A B C D ... N
A
B
C
D
.
.
N
0
1
1
1
.
.
1
1
0
1
1
.
.
1
1
1
0
1
.
.
1
1
1
1
0
.
.
1
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
1
.
.
0
En la matriz se observa que si fueran N amigos, entonces se
tendrían N2 - N saludos. Se observa que en la diagonal solamente
aparecen ceros e indican que aquí no hay saludo. Hay N ceros sobre
la diagonal, y como los saludos en la mitad
-
de abajo de la diagonal son los mismos que la de arriba (es lo
mismo que Juan salude a Pedro o que Pedro salude a Juan), entonces
la cantidad total de saludos será: (N2 - N)/2
Actividad 2. Resolver los problemas del tema 14 para tercer
grado del Fichero de actividades didácticas.
Actividad 3. Regularmente, a principios del año escolar los
estudiantes tienen que comprar varios útiles escolares. José decide
comprar cuadernos que cuestan $25.00 y plumas de $15.00. Se plantea
la idea de hacer una tabla donde se muestren las diferentes
combinaciones de estos artículos y el precio que tiene que pagar
por ellos. Empieza a llenar una tabla como la siguiente:
9 s s s s s s s S S
8 S s s s s s s s S
7 S s S s S s S s s
6 s S S s S S S s S
5 S S s S S 200 S S s
4 60 S S s S 185 S s S
3 45 S s s s 170 S S S
2 30 55 80 105 130 155 S s S
1 15 40 65 90 115 140 S s S
0 0 25 50 75 100 125 150 S S
s 0 1 2 3 4 5 S s S
Los estudiantes pueden trabajar individualmente y después en
equipos para discutir cada una de las siguientes preguntas. La idea
central es identificar los distintos caminos que les ayuden a
llenar la tabla y las formas de representarlos. Además, se sugiere
que los estudiantes formulen problemas o situaciones similares.
I. Describe la forma en que José ha llenado las casillas. ¿Es
ésta la única forma de llenarlas?
II. Completa la tabla y explica los cálculos que utilizaste para
obtener la información de cada casilla.
III. Describe lo que significa cada término de la expresión 25x
+ 15y = 320 en relación con lo que José compra.
IV. Observa la expresión 25x + 15y = 182. Si x y y representan
el número de cuadernos y plumas respectivamente, entonces la parte
del lado izquierdo de la igualdad es múltiplo de 5 (¿por qué?).
Como 182 no es múltiplo de 5,
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entonces no existen dos valores enteros que cumplan la igualdad.
Explica este hecho en términos de los cuadernos, plumas y el
precio.
Determina para qué cantidades entre 200 y 300 (en pesos) es
posible comprar una cantidad exacta de cuadernos y plumas.
Actividad 4. Un papel importante en el uso de las variables es
que funcionan como herramientas para expresar generalizaciones
matemáticas. Se sugiere que los estudiantes expresen algunos
resultados y observaciones de sus experiencias con números como
actividad que les permita paulatinamente transitar de la aritmética
al álgebra. ¿Qué ocurre si el triple de un número a es el doble de
ese mismo número? ¿Se puede decir que la suma de dos números
impares será necesariamente par o impar?
Existen muchos fenómenos que el estudiante puede discutir donde
aparece el concepto de variable. Por ejemplo, puede observar que el
costo (variable) que se reporta en una máquina despachadora de
gasolina es una función (lineal) de la cantidad de gasolina que
sale de la bomba (se sugiere que los estudiantes formulen una
función que relacione la cantidad de gasolina con el costo.) Otro
componente importante en el análisis de las expresiones con
variables es la interpretación que puedan admitir dentro de algún
contexto. Por ejemplo, la expresión: a/(a + 1) con a un entero
positivo es susceptible de ser interpretada como:
I. Un valor particular, por ejemplo, 3/4 cuando a = 3.
II. Una expresión algebraica.
III. Un conjunto de valores 1/2, 2/3, 3/4, etcétera.
IV. Una fracción que se acerca a 1 cuando se aumenta el valor de
a.
Es importante que el estudiante identifique y exprese diversos
tipos de patrones. Por ejemplo, en la secuencia 4, 6, 8, 10, 12,…,
se observa un patrón de crecimiento que puede ser expresado como
pn+1 = p n + 2 y donde p1 = 4 que se identifica con una idea
central de crecimiento aritmético. Esta idea es base para el
análisis de fenómenos que se comportan en forma lineal.
Otras ideas centrales son el crecimiento geométrico y el
crecimiento exponencial que pueden servir de marco para que los
estudiantes detecten patrones, formulen expresiones algebraicas que
les permita predecir, controlar y entender la situación.
Argumentos geométricos también desempeñan un papel importante en
la búsqueda de expresiones generales. ¿Puede encontrar la relación
entre la suma 1 + 3 +… + (2n - 1) (números impares) y la siguiente
figura?
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Actividad 5. Resolver los problemas que se plantean en el tema 7
del Fichero de actividades didácticas de segundo grado.
Bloque II. El estudio de las funciones y relaciones
Temas
1. Concepto de función.
2. La idea de variación y sus diferentes representaciones.
3. Clasificación de funciones.
Las funciones y relaciones pueden ser expresadas a través de
múltiples sistemas de representación y también ser la base para
explorar diversos problemas. Por ejemplo, en el estudio del
crecimiento de población, los alumnos pueden representar una
función que describa el fenómeno vía una tabla, una gráfica o una
fórmula. Una cierta transformación geométrica se puede representar
a través de una matriz. Las definiciones recursivas de funciones
son de utilidad para analizar fenómenos en varios contextos.
El concepto de función puede abordarse a partir del análisis de
cantidades que cambian con el tiempo (peso, temperatura, precios,
etcétera) y estableciendo sus representaciones gráficas. La idea de
función involucra el uso de múltiples formas de representación
(lista, tabla, gráfica, fórmula) y un proceso que permite
generalizar. ¿Qué es lo que tienen en común todas estas
instancias?
Bibliografía básica
SEP (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación
secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria, México.
Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de
problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial
Iberoamérica.
Actividades sugeridas
En las actividades siguientes se sugiere que los alumnos se
organicen en grupos pequeños y discutan la "calidad" de los
argumentos en cada una de las respuestas. En todos los casos es
importante que los estudiantes valoren la posibilidad de utilizar
múltiples representaciones que les permitan analizar el
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comportamiento de la situación desde al menos tres ángulos
diferentes: una tabla o lista ordenada, una gráfica y una fórmula.
Además, resulta importante que la información que aparezca en las
representaciones se interprete en términos del fenómeno o situación
bajo estudio. Al final de la discusión grupal, es conveniente que
el maestro promueva una discusión global con todo el grupo donde
los estudiantes puedan conocer y contrastar el trabajo de todos los
equipos o grupos pequeños. Se recomienda que los estudiantes
desarrollen el hábito de buscar otras conexiones de la situación en
estudio o de formular problemas relacionados.
Actividad 1. Realizar los siguientes ejercicios sobre
porcentaje.
I. Si el precio de un artículo se reduce en un 40% inicialmente
y, más tarde, a este nuevo precio se le aumenta un 40%, ¿cómo es el
último precio que se obtiene?:
a) Éste muestra un incremento comparado con el precio
original.
b) Éste muestra una reducción con respecto al precio
original.
c) Éste no muestra ninguna variación comparada con el precio
original.
¿Qué significa calcular el porcentaje de cierta cantidad? ¿Cómo
es la cantidad a la que se le aumenta el 40% comparada con la
cantidad inicial? Estas son algunas preguntas iniciales que pueden
ayudar a identificar los elementos importantes de la situación.
El precio original se reduce en un 40%. La cantidad que después
se aumenta es un 40% del nuevo precio. Como el nuevo precio es
menor que la cantidad original, entonces el resultado muestra una
reducción con respecto al precio original. (El aumento es una
cantidad menor que la de la reducción inicial). En términos
cuantitativos, se observa que:
La reducción del 40% equivale a multiplicar el precio original
por .6.
Aumentarlo en un 40% equivale a multiplicar este nuevo precio
por 1.4.
Realizar las dos operaciones es equivalente a multiplicar
(.6)(1.4) = .84. Esto significa que el precio original tuvo una
reducción neta de un 16% del precio original
d) En una papelería el precio de lista de un cuaderno es
$10.00.
El primer día que aparece a la venta reducen su precio en un
40%.
El segundo día se incrementa el precio del primer día en un
40%.
El tercer día, se reduce el precio del segundo día en un
40%.
Esta acción se repite cada día por un periodo prolongado.
Representar la información de tal manera que fácilmente se
puedan leer las variaciones del precio del cuaderno durante las dos
primeras semanas
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Una representación podría ser una tabla como la siguiente:
PI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10 6 8.4 5.04 7.06 4.23 5.93 3.56 4.98 2.99 4.18 2.51 3.51 2.11
2.95
Con los valores de la tabla se puede construir una
representación gráfica:
¿Cómo se obtuvieron los valores de la tabla?
Día Precio Precio (otra representación)
1 10(.6) 10 (.6) = 6
2 10(.6)(1.4) 10 (.84)
3 10(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)
4 10(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10 (8.4)2
5 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)2
6 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10 (.84)3
7 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6) 6 (.84)3
8 10(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4)(.6)(1.4) 10(8.4)4
Analizando la tabla donde se indican los cálculos, se puede
plantear la tarea de representar el precio para el caso en que el
número de días sea par y para cuando sea impar.
II. El precio inicial es $10.00 y cada dos días es multiplicado
por (.6)(1.4) = .84. Si el número n de días es par, el precio será
multiplicado por (.84) un total de n/2 veces. De aquí que la
fórmula sea:
Precio después de n (n par) días = ($10.00)(.84)n/2.
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III. Si el número n de días tomando como punto de partida
$10.00, es impar, entonces el número de días comenzando con $6.00
será n-1 el cual es par. Aquí el precio $6.00 se multiplica cada
dos días por (1.4)(.6) = .84. Este es el mismo factor que el caso
anterior, pero con un precio diferente $6.00.
El resultado es que el precio de $6.00 será multiplicado por
(.84) un total de (n-1)/2 veces.
La fórmula será:
Precio después de n (n impar) días = (6.00)(.84)(n-1)/2
Otra pregunta: si decides comprar un par de zapatos que tiene un
12% de descuento y al pagarlos, el encargado de la caja plantea:
¿qué prefieres, que primero te haga el descuento del 12% del precio
y después te aumente el IVA o primero te cargo el IVA y después te
hago el descuento? Respalda tu respuesta con un argumento
claro.
Actividad 2. Cuando José cumplió 9 años, su padre le ofreció
darle cierta cantidad de dinero cada año. Le ofreció que escogiera
una opción de las siguientes dos ofertas:
I. José recibiría $1000.00 en su cumpleaños nueve; $1100.00 en
su siguiente cumpleaños; $1200.00 en el siguiente y así
sucesivamente. Es decir, José recibiría un regalo de $1000.00 y
después se incrementaría en $100.00 cada año.
II. José recibiría $1.00 en su cumpleaños 9. Después, en su
siguiente cumpleaños recibiría $2.00, en el siguiente $4.00, el
siguiente $8.00 y así sucesivamente. Es decir, recibiría
inicialmente $1.00 y cada año duplicaría la cantidad del
previo.
¿Qué plan le recomendarías a José? Argumenta tu respuesta.
Edad Plan I Plan II
9 $1,000 $1
10 $1,100 $2
11 $1,200 $4
12 $1,300 $8
13 $1,400 $16
14 $1,500 $32
15 $1,600 $64
16 $1,700 $128
17 $1,800 $256
18 $1,900 $512
19 $2,000 $1,024
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20 $2,100 $2,048
21 $2,200 $4,096
22 $2,300 $8,192
23 $3,400 $16,384
Se recomienda que el estudiante exprese gráficamente el
comportamiento de la información. Además, escribir y discutir
representaciones algebraicas como f(n) = 2n y f(n) = 1000 +
(n-1)100.
Actividad 3. Resolver las actividades del tema 17 del Fichero de
actividades didácticas de segundo grado.
Actividad 4. La tecnología puede ser un recurso importante que
permite a los estudiantes examinar la información relevante de un
problema desde distintos ángulos. En esta actividad se emplea un
software para analizar el comportamiento de parámetros importantes
a partir de su representación gráfica y numérica. El lado AC de un
triángulo se divide en tres segmentos congruentes AD, DE, y EC.
¿Qué se puede decir de los tres ángulos que se forman en el vértice
B?
Se observa que los tres ángulos nunca son congruentes.
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Actividad 5. Otro ejemplo donde los estudiantes tienen
oportunidad de analizar casos particulares y plantear una
generalización y formalización tanto de las dimensiones de las
figuras como de la cuantificación de atributos perímetro y área es:
las figuras representan tres familias de rectángulos con medidas
particulares. ¿Cuáles son las dimensiones del elemento enésimo de
cada familia? Calcula el área y perímetro para algunos casos
particulares de cada familia. ¿Qué se puede decir del valor del
área del enésimo rectángulo de cada familia? ¿Es posible
identificar a partir de qué rectángulo de alguna de las familias el
área o el perímetro es mayor que los otros correspondientes
rectángulos? ¿Cuándo el área y el perímetro son los mismos?
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Representación gráfica de los perímetros correspondientes:
Representación gráfica de las áreas correspondientes
¿Qué se puede decir del comportamiento del perímetro y área de
las familias de rectángulos a partir de las gráficas
anteriores?
Actividad 6. Resolver las actividades del tema 1 y del tema 3
del Fichero de actividades didácticas de tercer grado
Bloque III. Estructuras y transformación de expresiones
algebraicas
Temas
1. Transformación de expresiones algebraicas.
2. Significado del algoritmo de la división.
3. Representación algebraica de procesos aritméticos.
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Una meta importante en el estudio del álgebra es que el
estudiante trabaje problemas y relaciones a través de
generalizaciones y procedimientos en forma sistemática. La
organización del álgebra alrededor de estructuras implica discutir
cómo funcionan los sistemas: ¿qué propiedades de un sistema
permiten que las fracciones se operen o combinen, o que las
ecuaciones se resuelvan? El poder de las matemáticas radica en
abstraer y generalizar las propiedades comunes de un sistema y
aplicar o extender esas ideas a otros. Por ejemplo, el
entendimiento de la estructura de los enteros, permite buscar y
reconocer estructuras similares en otros sistemas. Las propiedades
de las operaciones que se definen en la estructura permiten
realizar una serie de transformaciones en las expresiones, que
pueden ser de utilidad en el manejo y entendimiento de relaciones
matemáticas. Una idea central en el proceso de transformar
expresiones algebraicas es que el estudiante encuentre el sentido
al utilizar diversas expresiones algebraicas. Dos aspectos resaltan
en el entendimiento de cómo y cuando las representaciones
simbólicas deben ser usadas para representar relaciones: a)
generalizaciones y pruebas, que a simple vista parecen ser
invisibles o estar escondidas; y b) habilidad para manipular y leer
expresiones simbólicas como dos aspectos complementarios para
resolver problemas algebraicos.
Bibliografía básica
SEP (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación
secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria, México.
Santos, L. M. (1997), Principios y métodos de la resolución de
problemas en el aprendizaje de las matemáticas, Grupo Editorial
Iberoamérica.
Actividades sugeridas
Actividad 1. Realizar las actividades del tema 6 del Fichero de
actividades didácticas de segundo grado.
Actividad 2. Realiza las operaciones correspondientes en cada
una de las expresiones de la izquierda para que se transformen en
las expresiones de la derecha. En cada caso identifica los valores
de A, B, C, D y E.
Reescriba la expresión En esta forma Escriba el valor de
-2(x + 3(x – 2(x + 1))) A(X + B) A = B =
-3(x – 2)2 + 4 C + X(B + AX)
A = B = C =
-
4X - 3 + 8X + 4 - X - 3 2X - 3
AX +B (CX +D)(EX + D)
A = B = C = D = E =
El maestro puede pedir a los alumnos que procedan a llenar la
tabla anterior y expliquen sus procedimientos. También puede
pedirles que la extiendan, de manera que se incluyan diversas
operaciones algebraicas.
Actividad 3. Significado del algoritmo de la división.
Generalmente cuando se trabajan las expresiones algebraicas se da
mucha atención a los símbolos y reglas sintácticas para
manipularlas y poca atención al posible significado que pueda
otorgársele a determinadas representaciones. Uno de los algoritmos
más útiles es el algoritmo de la división, el cual se presenta
usualmente sin ningún referente que ayude a entender su
significado. La idea geométrica de este algoritmo, que se remonta a
Euclides, puede ser de utilidad para que los estudiantes
identifiquen las ideas claves y sentido de los pasos que se
realizan en este proceso. Se inicia con una representación
geométrica.
Sea b un número mayor que cero, sobre el eje numérico se ubican
puntos a una distancia b y también se ubica un punto de referencia,
cero. Estos puntos se localizan como múltiplos enteros de b y se
representan como en el caso de los números enteros sobre la recta
numérica pero con un cambio de escala.
Cualquier número estará situado entre dos de estos números
consecutivos o será uno de ellos. Si qb (con q un número entero) es
el punto más cerca a la izquierda del punto a, entonces se tiene la
siguiente representación:
Ahora restando qb se tiene:
0 < a – qb < b, si r = a – qb se tiene una interpretación
geométrica del algoritmo de la división: el segmento b cabe q veces
en el segmento a y sobra un segmento de longitud r. Es decir, si se
fija un número real b > 0, entonces para cualquier número real
a, existe un único entero q (cociente) y número real r (residuo), 0
< r < b, tal que a = qb + r.
Los estudiantes verificarán el significado de este algoritmo
para algunos casos particulares de a y b. Con b = 10, y a = 5297,
¿cuáles son los valores de r y q? Con b
-
= 1.5 y a = 145.65, ¿cuáles son los valores de r y q? Con b =
4/5 y a = 103/7, ¿cuáles son los valores de r y q?
Actividad 4. En un triángulo rectángulo el perímetro mide 70
unidades de longitud y la suma de los cuadrados de los lados es
1682. Determine las longitudes de los tres lados.
En una primera fase los estudiantes pueden discutir en equipo
las ideas o conceptos fundamentales relacionados con triángulos.
¿Qué es un triángulo? ¿Qué es lo que caracteriza un triángulo
rectángulo? ¿Cómo se calcula el perímetro o área de un triángulo?,
etcétera. Posteriormente, estos mismos equipos pueden proponer
caminos de solución a todo el grupo. De forma individual, los
estudiantes pueden intentar resolver el problema a partir de las
sugerencias de los equipos. Finalmente, en una discusión global, se
invita a que un estudiante presente su respuesta al problema. El
maestro identifica los conceptos e ideas importantes que aparecen
durante el proceso de solución.
Una figura ayuda a entender los datos:
Se tiene que el perímetro vale 70, esto es a + b + c = 70.
También que la suma de los cuadrados de los lados es 1682. Es
decir, a2 + b2 + c2 = 1682. Como se trata de un triángulo
rectángulo también se cumple el Teorema de Pitágoras, es decir, a2
+ b2 = c2.
Con esta información se tiene que 2c2 = 1682, de donde c2 = 1682
= 841=, de aquí c vale 29.
Utilizando la ecuación a + b + c = 70 y el valor de c se tiene
que:
a + b = 41 (al sustituir el valor de c en la ecuación del
perímetro)
a2 + b2 = 841; ahora, despejando b de la primera (b = 41 – a) y
sustituyendo su valor en esta última ecuación se tiene: 2a2 – 82a +
1681 = 841, la cual se reduce a
a2 – 41a + 420 = 0
(a – 20)(a – 21) = 0
Con esta información se tiene que las medidas de los catetos del
triángulo rectángulo son 20, 21 y con hipotenusa igual a 29. Para
comprobar las condiciones que tienen que cumplir, se tiene que 20 +
21 + 29 = 70 (la condición del
-
perímetro). Además, 202 + 212 + 292 = 400 + 441 + 841 = 1682.
Esto verifica la justifica la validez del procedimiento.
Actividad 5. Dimensiones y área de un rectángulo. Considere
cualquier rectángulo: ¿qué le ocurre a su área si una de las
dimensiones se incrementa en un 10% y la otra disminuye en un
10%?
Sin realizar operaciones se sugiere que los estudiantes
presenten algunas respuestas. Después se pueden analizar algunos
ejemplos particulares. En una discusión con todo el grupo se pueden
plantear algunas preguntas. ¿Cómo organizar la información que se
obtenga al analizar algunos casos particulares? ¿Una tabla? ¿Qué
elementos se deben mostrar en esta tabla? ¿Qué se observa en la
tabla?
Largo (a) Ancho (b) Área Inicial 1.1a .9b Nueva Área
Diferencia
60 40 2400 66 36 2376 24
40 60 2400 44 54 2376 24
90 80 7200 99 72 7128 72
80 90 7200 88 81 7128 72
100 50 5000 110 45 4950 50
Se observa que siempre que se disminuye una dimensión en un 10%
y se aumenta la otra en un 10% el área inicial del rectángulo
disminuye. Para cada caso se puede saber el valor de la diferencia
entre las áreas correspondientes. Por ejemplo, para la primera fila
se tiene que de 2400 el área se reduce a 2376, lo que significa que
el área se reduce en un 1%, ya que 2400 – 2376 = 24
Usando una representación algebraica, la pregunta se puede
traducir como:
Si a y b son las dimensiones, entonces, para calcular la nueva
área se tendría que:
(1.1) a x (.9) b = (1.1)b x (.9) a = .99(ab)
El área siempre disminuye, además se observa que disminuye un 1%
(discutir aquí las ventajas o el poder de la representación
algebraica). El resultado es independiente del orden en que se
seleccione la dimensión que se incremente o disminuya.
Bloque IV. El uso de modelos para representar y entender
relaciones cuantitativas
Temas
1. Tratamiento de la información al resolver problemas. 2.
Formulación de modelos para analizar el comportamiento de una
situación.
-
El poder de los modelos radica en que permiten estudiar
fenómenos o situaciones a través del uso de diversas
representaciones. Las representaciones algebraicas de la situación
o fenómeno que se modela es una manera efectiva de analizar la
información y parámetros relevantes. En este proceso, los
estudiantes pueden explotar sus experiencias previas y recursos
algebraicos en la búsqueda de soluciones de problemas particulares.
Las actividades que aquí se presentan involucran varios aspectos
importantes que los estudiantes deben atender durante el proceso de
solución. Un primer momento incluye el entendimiento de la
situación o problema. Aquí es necesario identificar la información
relevante que permita caracterizar o establecer relaciones entre
parámetros de la situación. Una segunda fase es intentar
representar la información a través de distintos medios que
permitan analizar la información desde distintos ángulos. Esta fase
está ligada a la adopción de un modelo que permita analizar el
comportamiento de la situación.
Bibliografía básica
SEP (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación
secundaria, México.
— (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria, México.
Rojano, T. y S. Ursini (1997), Enseñando álgebra con hojas
electrónicas de cálculo, Grupo Editorial Iberoamérica.
Actividades sugeridas
Actividad 1. Resuelva el problema de la página 319 del Libro
para el maestro.
Actividad 2. Un alumno en la clase de educación física se
lastima una rodilla. El médico de la escuela le receta una medicina
anti-inflamatoria (tabletas) para reducirle la hinchazón. El médico
le explica al paciente la frecuencia en que se tomará las tabletas
y como actuará la tableta en su organismo.
1. La dosis en cada suministro será de 16 unidades (cantidad de
sustancia activa)
2. Cuando el paciente recibe un suministro de medicamento, su
organismo inmediatamente inicia un proceso para asimilar las 16
unidades, y este proceso culmina 10 minutos después. Es decir, 10
minutos después del primer suministro, el cuerpo del paciente habrá
asimilado la cantidad total de sustancia activa que le fue
suministrada.
3. Al momento que el organismo del paciente asimila el total de
la sustancia activa que le fue suministrada, se inicia un proceso
de eliminación del medicamento.
4. Cuando la cantidad máxima de medicamento previa a un
suministro se ha reducido a la mitad, tiene lugar el siguiente
suministro, en este momento se inicia un aumento de la cantidad de
sustancia activa en el organismo del
-
paciente. Para este medicamento en particular, la reducción se
logra cada 4 horas a partir del suministro. Por ejemplo, el segundo
suministro tendrá lugar cuando la cantidad de sustancia activa sea
de 8 unidades (la mitad de 16), lo cual ocurrirá después de cuatro
horas de haber recibido el primer suministro.
5. El paciente recibirá varios suministros durante el
tratamiento.
¿Cómo se comporta la cantidad de sustancia activa en el
organismo del paciente? Por ejemplo, ¿cuánto medicamento tendrá el
paciente después de dos días de tratamiento?
Los estudiantes, trabajando en grupos pequeños o en forma
individual representarán la información usando diferentes formas.
Por ejemplo, el uso de una tabla puede ayudar a detectar el
comportamiento de ciertas relaciones entre los datos a partir de un
análisis cuantitativo. Un camino para determinar las entradas de la
tabla es tratar de incluir las "formas de asignación" que
determinan la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del
paciente en diferentes momentos.
Suministro (núm.) cada 4
horas
Horas transcurridas al momento del suministro
Cantidad de sustancia activa en el organismo
en el momento de cada suministro
Cantidad de sustancia activa en el organismo, 10 minutos después
de
cada suministro
1 0 0 16
2 4 8 24
3 8 12 28
4 12 14 30
5 16 15 31
6 20 15.5 31.5
7 24 15.75 31.75
8 28 15.875 31.875
9 32 15.9375 31.9375
10 36 15.96875 31.96875
La información de la tabla ilustra algunos aspectos de cómo
varía la cantidad de sustancia activa en el organismo después de
que el paciente ha recibido cierto número de suministros. De hecho,
nos permite observar una tendencia de la cantidad de medicamento en
el cuerpo del paciente.
-
Los datos de la tabla, en su representación gráfica, confirman
de manera visual el comportamiento que se había observado en los
números. Se nota que después de cierto suministro la cantidad de
sustancia activa se mantiene en un intervalo con un valor mínimo y
máximo. Se puede decir que la cantidad no pasa cierto límite para
no producir efectos colaterales en el paciente, pero para que surta
efecto tiene que estar por arriba de cierta cantidad. En la
construcción de la tabla se detecta cierta regularidad en la forma
en que se comporta la cantidad de sustancia activa en el cuerpo del
paciente. ¿Cómo describir esas regularidades en forma algebraica?
Una forma es reescribir los valores de la tabla de tal manera que
las operaciones se dejen indicadas. Esto se ilustra en la siguiente
tabla:
Suministro número
Cantidad de sustancia activa en el organismo al momento de cada
suministro
1 0
2 0 + 16 = 16 2 2
3 16 + 16 2 = 16 +2 x 16 2 2
2
4 =
5 =
6 =
Se observa que en el suministro n > 2, la cantidad de
sustancia es la que había en el suministro anterior, n -1, más 16;
todo dividido entre dos.
El comportamiento que se presenta en la tabla se puede escribir
como:
-
Con esta última expresión se pueden verificar los datos que se
obtuvieron en la primera tabla respecto a la cantidad de sustancia
en el organismo del paciente después de cada suministro. También se
observa que 10 minutos después del n-ésimo suministro, el cuerpo
del paciente habrá acumulado la cantidad que tenía en ese momento,
más la que acaba de ser asimilada (16 unidades). Si esta cantidad
la denotamos por An, entonces también se puede obtener una
expresión para esta cantidad:
An = Cn + 16 = 16 + 16
Es claro que la representación algebraica ofrece ciertas
ventajas comparada con las otras representaciones. Por ejemplo, con
la ayuda de las expresiones algebraicas resulta fácil calcular la
cantidad de medicamento en cualquier suministro.
Tarea de extensión. En la situación anterior cambie la dosis que
es suministrada a r unidades y conteste las mismas preguntas.
Actividad 3. Una situación que incluya solamente atributos
matemáticos también puede ser modelada a partir de algún software
dinámico que permita explorar el comportamiento de sus parámetros
importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el rectángulo con mayor área de
todos aquellos que tienen el mismo perímetro? Es una pregunta que
se puede abordar a partir de una representación dinámica que
permita establecer conexiones y examinar el comportamiento o
variación continua del área.
En la figura se observa el valor del área (tabla) de varios
rectángulos con perímetro fijo y estos valores se pueden
identificar en la gráfica de la función que representa el área.
Esto permite visualizar dónde se encuentra el rectángulo con mayor
área.
Introducción y organización de los contenidosOrientaciones
didácticasBloque I. La observación, generalización y formalización
de patronesBloque II. El estudio de las funciones y
relacionesBloque III. Estructuras y transformación de expresiones
algebraicasBloque IV. El uso de modelos para representar y entender
relaciones cuantitativas