PENJADWALAN OPERASI BEDAH MENGGUNAKAN …repository.ipb.ac.id/bitstream/handle/123456789/62872/G13fri.pdf · 1 penjadwalan operasi bedah menggunakan integer programming : studi kasus

1

PENJADWALAN OPERASI BEDAH MENGGUNAKAN

INTEGER PROGRAMMING :

STUDI KASUS OPTIMASI WAKTU TARGET AHLI BEDAH

DI RUMAH SAKIT JAKARTA EYE CENTER

FENNY RISNITA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

2

ABSTRAK

FENNY RISNITA. Penjadwalan Operasi Bedah Menggunakan Integer Programming: Studi

Kasus Optimasi Waktu Target Ahli Bedah di Rumah Sakit Jakarta Eye Center. Dibimbing oleh

PRAPTO TRI SUPRIYO dan BIB PARUHUM SILALAHI.

Keterbatasan peralatan operasi, ketersediaan ruang operasi dan ahli bedah serta adanya durasi

waktu penggunaan ruang operasi yang tersedia mempersulit manajemen rumah sakit mengambil

keputusan untuk membuat proses penjadwalan operasi bedah. Setiap ahli bedah yang dimiliki oleh

rumah sakit mempunyai waktu target yang sudah ditentukan oleh pihak rumah sakit untuk

melakukan operasi. Penjadwalan yang ada harus bisa disesuaikan dengan jumlah ahli bedah

beserta waktu target yang dimiliki. Dalam karya ilmiah ini, disajikan model pemrograman integer

menggunakan waktu ruang operasi yang tersedia di rumah sakit dengan meminimalkan banyaknya

waktu pengalokasian yang kurang dari seluruh ruang operasi untuk masing-masing ahli bedah

relatif terhadap waktu target yang dimiliki masing-masing ahli bedah dengan mempertimbangkan

keterbatasan dan ketersediaan dari ahli bedah, peralatan, dan ruang operasi. Penelitian ini

menghasilkan sebuah penjadwalan operasi bedah dengan waktu target ahli bedah yang optimal.

Dalam hal ini, pihak rumah sakit dapat menilai bahwa fasilitas-fasilitas yang dimiliki rumah sakit

seperti peralatan operasi, ruang operasi, dan ahli bedah sudah memadai.

Kata kunci: ruang operasi, penjadwalan, pemrograman integer

3

ABSTRACT

FENNY RISNITA. Surgical Operation Scheduling Using Integer Programming: A Case Study an

Optimization of Target Time Surgeon at Jakarta Eye Center Hospital. Supervised by PRAPTO

TRI SUPRIYO and BIB PARUHUM SILALAHI.

The limitation of operation equipments, the availability of operating room and surgeon as well

as the duration of time available for an operating room use, have complicated hospital

management in making decision to schedule surgical operation. Each surgeon in a hospital has a

target of operating time set by the hospital. Schedule should consider the available surgeon and the

targeted operating time. This paper presented a model of integer programming which use the

availability of operating room to time at a hospital by minimizing the total underallocation of

operating room time for each surgeon, relative toward the targeted time of each surgeon,

considering the limitation and availability of surgeon, equipments, and operating room. The result

of this research is a surgical operation schedule with an optimum surgeon’s targeted operating

time. In this case, the hospital could evaluate that the facilities owned by the hospital, such as

equipment operations, operating room, and surgeon, was already sufficient.

Keywords: operating room, scheduling, integer programming

4

PENJADWALAN OPERASI BEDAH MENGGUNAKAN

INTEGER PROGRAMMING :

STUDI KASUS OPTIMASI WAKTU TARGET AHLI BEDAH

DI RUMAH SAKIT JAKARTA EYE CENTER

FENNY RISNITA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2013

5

Judul Skripsi : Penjadwalan Operasi Bedah Menggunakan Integer

Programming : Studi Kasus Optimasi Waktu Target Ahli Bedah

di Rumah Sakit Jakarta Eye Center

Nama : Fenny Risnita

NIM : G54080055

Menyetujui

Tanggal Lulus:

Pembimbing I,

Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

NIP: 19630715 199002 1 002

Pembimbing II,

Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom.

NIP: 19670101 199203 1 004

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP: 19650505 198903 2 004

6

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya

sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis

sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah

ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Sang pencipta, Tuhan semesta alam Allah swt, atas maha karya-Nya yaitu bumi yang

sempurna ini,

2. keluarga tercinta: papa dan mama sebagai pemberi motivasi, sumber inspirasi, dan selalu

memberikan semangat dan doa,

3. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan

waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,

4. Dr. Ir. Bib Paruhun Silalahi, M.Kom. selaku dosen pembimbing II yang telah

memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya,

5. Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran

dan doanya,

6. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,

7. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Mas Hery, Alm. Bapak Bono,

Bapak Deni, Ibu Ade dan Ibu Yanti atas semangat dan doanya,

8. Hardono atas kasih sayang, semangat, saran, motivasi dan doanya,

9. sahabat yang selalu memberi semangat: teteh Achie, Ghieta dan mamih Wulan,

10. teman seperjuangan: Anggun dan ka Vianey,

11. teman-teman Matematika 45 atas doa dan dukungan semangatnya serta selalu menjadi

bagian dari keluarga,

12. semua teman Matematika 43, 44 dan 46 yang selalu mendukung agar terus berkembang,

13. ka Iput dan ka Imam yang bersedia meluangkan waktu untuk membantu dalam

menggunakan software LINGO 11.0,

14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang

matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Januari 2013

Fenny Risnita

7

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 22 Februari 1991 sebagai anak tunggal, anak dari

pasangan Rifai dan Sri Bardini.

Pada tahun 1996 penulis lulus dari TK Putra Ujung Pandang, tahun 2002 penulis lulus dari SD

Negeri Gondangdia 01 Jakarta kemudian tahun 2005 lulus dari SLTP Negeri 1 Jakarta. Tahun

2008 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi

masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dengan memilih Jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus,

seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA

(Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai bendahara II Badan Pengurus Harian (BPH) tahun

2009/2010 dan sebagai anggota Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM)

tahun 2010/2011. Selain itu, penulis juga pernah menjadi panitia dan koordinator di berbagai acara

kemahasiswaan. Tahun 2009-2010 dan 2011-2012 penulis mendapatkan beasiswa BBM (Bantuan

Belajar Mahasiswa) dari Institut Pertanian Bogor.

8

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ........................................................................................................................ ix

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ ix

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1

1.2 Tujuan ............................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Linear ........................................................................................................ 2

2.2 Pemrograman Linear Integer ............................................................................................. 3

2.3 Metode Branch and Bound ............................................................................................... 4

III PEMODELAN

3.1 Deskripsi Masalah ............................................................................................................ 7

3.2 Formulasi Masalah ........................................................................................................... 7

IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA ...................................................................... 9

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan ........................................................................................................................... 12

5.2 Saran ................................................................................................................................. 12

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 12

LAMPIRAN ........................................................................................................................... 13

viii

9

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Blok yang ditetapkan dalam satu hari ................................................................................ 9

2 Total target jam kerja per minggu (𝑡𝑗 ) dan jenis operasi untuk setiap ahli bedah j ............ 9

3 Hasil penjadwalan .............................................................................................................. 11

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Daerah Fisibel PLI (9) ....................................................................................................... 5

2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 ..................................................... 5

3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi PLI (9) . 6

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Syntax Program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan linear programming dengan Metode

Branch and Bound ............................................................................................................ 14

2 Syntax dan Hasil Komputasi Program LINGO 11.0 untuk Masalah Penjadwalan operasi

bedah di Rumah Sakit Jakarta Eye Center ....................................................................... 16

ix

10

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di beberapa negara, ruang operasi menjadi

hambatan di sebagian besar rumah sakit.

Permintaan operasi yang besar, keterbatasan

peralatan operasi dan ketersediaan dari ruang

operasi dan juga ahli bedah mempersulit

manajemen rumah sakit mengambil keputusan

untuk membuat proses penjadwalan operasi

bedah (Ayag et al. 2010).

Biasanya, di rumah sakit sudah ada angka

pasti untuk waktu penggunaan ruang operasi

yang tersedia dikarenakan keterbatasan ruang

operasi dan aturan rumah sakit (Magerlalein

& Martin 1978). Alokasi waktu ruang operasi

dan jadwal bedah umumnya ditentukan

dengan dua strategi penjadwalan yang

berbeda: strategi blok dan strategi nonblok.

Blok didefinisikan sebagai unit waktu terkecil

untuk ruang operasi tertentu yang dapat

diberikan kepada ahli bedah tertentu. Dalam

strategi penjadwalan blok, jumlah waktu yang

tetap di hari tertentu ditugaskan untuk ahli

bedah di waktu ruang operasi blok, sedangkan

strategi penjadwalan nonblok, ahli bedah

bersaing untuk waktu ruang operasi karena

memiliki sistem siapa yang pertama datang

itulah yang pertama dilayani.

Sistem nonblok memiliki beberapa

kelemahan seperti menunggu lama karena

memiliki sistem siapa yang pertama datang

itulah yang pertama dilayani (Magerlalein &

Martin 1978). Namun, sistem blok juga

memiliki beberapa kelemahan, seperti

menunda operasi bedah darurat karena operasi

pasien yang sudah terjadwal harus

diselesaikan terlebih dahulu sebelum

dilakukan operasi bedah lainnya, dan

menghilangkan kesempatan untuk

menyediakan waktu mempergunakan ruang

operasi yang tidak terpakai bagi prosedur

pembedahan lainnya jika ahli bedahnya

membatalkan operasi terlalu dekat dengan

jadwal operasi bedah atau tidak menggunakan

seluruh waktu yang dialokasikan dan

menyelesaikan pembedahan lebih awal

(Ozkarahan 1995).

Meskipun memiliki kekurangan,

penjadwalan blok adalah strategi yang paling

banyak digunakan ketika mengalokasikan

waktu ruang operasi untuk kelompok bedah

dan operasi dikarenakan penjadwalan blok

memiliki kelebihan, yaitu penurunan

persaingan untuk mendapatkan waktu ruang

operasi diantara para ahli bedah. Model

integer digunakan untuk meminimalkan total

waktu underallocation penalty pada batasan

jumlah ruang operasi yang ditugaskan. Di sini,

perbedaan antara jam target yang ditetapkan

untuk setiap ahli bedah dan waktu sebenarnya

yang telah ditetapkan didefinisikan sebagai

“waktu operasi underallocation”.

Umumnya, ketika jadwal tersebut dibuat

tanpa prosedur metodologis, konflik mungkin

terjadi antara ahli bedah dan perawat ruang

operasi selama jadwalnya subyektif dan tidak

konsisten. Selain itu, ketika perawat ruang

operasi tidak ada maka akan terjadi hambatan

dan kemungkinan kualitas dari penjadwalan

akan rendah. Penjadwalan waktu ruang

operasi yang tidak efisien bisa mengakibatkan

penundaan operasi yang membuat biaya

rumah sakit menjadi mahal bagi pasien dan

rumah sakit itu sendiri.

Pada dasarnya, penjadwalan tersebut

adalah bentuk suatu perencanaan dari pihak

rumah sakit dalam hal operasi bedah untuk

mengetahui apakah fasilitas-fasilitas yang

tersedia di rumah sakit sudah memadai atau

belum di saat permintaan operasi cukup besar.

Permasalahan penjadwalan operasi bedah ini

akan dimodelkan sebagai masalah Integer

Programming dengan masalah kendala

spesifik didasarkan pada ketersediaan ahli

bedah, peralatan, dan ketersediaan ruang

operasi yang terbatas untuk mengalokasikan

waktu ruang operasi dengan strategi blok.

Model ini berdasarkan pada artikel berjudul

“Determining Master Schedule of Surgical

Operations by Integer Programming: A Case

Study” yang ditulis oleh Z Ayag tahun 2007.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah

memodelkan masalah penjadwalan operasi

bedah dalam bentuk Integer Programming

(IP) dengan meminimumkan waktu operasi

underallocation dan menentukan perencanaan

penjadwalan operasi bedah untuk mengetahui

apakah fasilitas-fasilitas yang dimiliki rumah

sakit sudah memadai atau belum.

2

II LANDASAN TEORI

Untuk membangun penjadwalan ruang

operasi bedah diperlukan pemahaman teori

Pemrograman Linear (PL) atau Linear

Programming (LP) dan Pemrograman Linear

Integer (PLI) atau Integer Linear

Programming (ILP).

2.1 Pemrograman Linear

Fungsi linear dan pertidaksamaan linear

merupakan salah satu konsep dasar yang harus

dipahami terkait dengan konsep pemrograman

linear.

Definisi 1 (Fungsi Linear)

Suatu fungsi f dalam variabel-variabel

𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 adalah suatu fungsi linear jika

dan hanya jika untuk suatu himpunan

konstanta 𝑐1 , 𝑐2,… , 𝑐𝑛 , f dapat ditulis sebagai

𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 .

(Winston 2004)

Sebagai contoh, 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) = 10𝑥1 + 3𝑥2

merupakan fungsi linear, sementara

𝑓(𝑥1 , 𝑥2) = 𝑥12𝑥2 bukan fungsi linear.

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan

Linear)

Untuk sembarang fungsi linear f dan

sembarang bilangan c, pertidaksamaan

𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛) ≤ 𝑐 dan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛) ≥ 𝑐

adalah pertidaksamaan linear, sedangkan

suatu persamaan 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛) = 𝑐

merupakan persamaan linear.

(Winston 2004)

Pemrograman Linear (PL) adalah suatu

masalah optimisasi yang memenuhi hal-hal

berikut:

a. Tujuan masalah tersebut adalah

memaksimumkan atau meminimumkan

suatu fungsi linear dari sejumlah variabel

keputusan. Fungsi yang akan

dimaksimumkan atau diminimumkan ini

disebut fungsi objektif.

b. Nilai variabel-variabel keputusannya harus

memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap

kendala harus berupa persamaan linear

atau pertidaksamaan linear.

c. Ada pembatasan tanda untuk setiap

variabel dalam masalah ini. Untuk

sembarang variabel 𝑥𝑖 , pembatasan tanda

menentukan 𝑥𝑖 harus tak-negatif (𝑥𝑖 ≥ 0)

atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted

in sign).

(Winston 2004)

Definisi 3 (Bentuk Standar Pemrograman

Linear)

Misalkan diberikan suatu PL dengan m

kendala dan n variabel (dilambangkan dengan

𝑥1 , 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ). Bentuk standar dari PL tersebut

adalah:

max z = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛

(atau min)

s. t.

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 (1)

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 (2)

⋮

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 (3)

𝑥𝑖 ≥ 0, (𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑛) Jika didefinisikan:

A =

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

,𝒙 =

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

,

𝒃 =

𝑏1

𝑏2

⋮𝑏𝑚

,

maka kendala pada (1), (2), dan (3) dapat

ditulis dengan sistem persamaan

Ax = b (4)

(Winston 2004)

Solusi Pemrograman Linear

Suatu masalah PL dapat diselesaikan

dalam berbagai teknik, salah satunya adalah

metode simpleks. Metode ini dapat

menghasilkan suatu solusi optimum bagi

masalah PL dan telah dikembangkan oleh

Dantzig sejak tahun 1947 (Winston 2004),

dan dalam perkembangannya merupakan

metode yang paling umum digunakan untuk

menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode

iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk

standar.

Pada masalah PL (4), vektor x yang

memenuhi kendala 𝐀𝒙 = 𝒃 disebut solusi PL

(4). Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A

= (B N), dengan B adalah matriks taksingular

berukuran m × m yang elemennya berupa

koefisien variabel basis dan N merupakan

matriks berukuran m × (n – m) yang elemen-

elemennya berupa koefisien variabel nonbasis

pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B

disebut matriks basis untuk PL (4).

Misalkan x dinyatakan sebagai vektor

x = 𝒙𝐁

𝒙𝐍 , dengan 𝒙𝐁 adalah vektor variabel

basis dan 𝒙𝐍 adalah vektor variabel nonbasis,

maka 𝐀𝒙 = 𝒃 dapat dinyatakan sebagai:

3

𝐀𝒙 = (𝐁 𝐍) 𝒙𝐁

𝒙𝐍 = B𝒙𝐁 + N𝒙𝐍 = b. (5)

Karena matriks B adalah matriks

taksingular, maka B memiliki invers, sehingga

dari (5) 𝒙𝐁 dapat dinyatakan sebagai:

𝒙𝐁 = 𝐁−𝟏𝒃 − 𝐁−𝟏N𝒙𝐍 (6)

Kemudian, fungsi objektifnya berubah

menjadi:

min z = 𝒄𝐁𝑇𝒙𝐁 + 𝒄𝐍

𝑇𝒙𝐍

(Winston 2004)

Definisi 4 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel dari suatu PL adalah

himpunan semua titik yang memenuhi semua

kendala dan pembatasan tanda pada PL

tersebut.

(Winston 2004)

Definisi 5 (Solusi Basis)

Solusi basis adalah solusi pada PL yang

didapatkan dengan mengatur variabel n–m

sama dengan nol dan nilai untuk

penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m.

Hal ini dengan mengasumsikan bahwa

mengatur variabel n–m sama dengan nol akan

membuat nilai yang unik untuk sisa variabel

m atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk

sisa dari variabel m merupakan bebas linear.

(Winston 2004)

Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)

Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada

PL yang semua variabel-variabelnya tak-

negatif.

(Winston 2004)

Definisi 7 (Solusi Optimum)

Untuk masalah maksimisasi, solusi

optimum suatu PL adalah suatu titik dalam

daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif

terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi

optimum suatu PL adalah suatu titik dalam

daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif

terkecil.

(Winston 2004)

Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis

diberikan dalam Contoh 1.

Contoh 1

Misalkan diberikan PL berikut:

Minimumkan z = −2𝑥1 − 3𝑥2

dengan kendala −𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 10

−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 = 2

2𝑥1 + 𝑥5 = 3

𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3, 𝑥4 , 𝑥5 ≥ 0 (7)

Dari PL tersebut diperoleh:

A = −1 2 1−2 1 02 0 0

010

001 , b =

1023 .

Misalkan dipilih:

𝒙𝐁 = (𝑥1 𝑥2 𝑥3)𝑇 dan 𝒙𝐍 = (𝑥4 𝑥5)𝑇 .

Sehingga diperoleh:

B = −1 2 1−2 1 02 0 0

,

𝐁−1 =

0 01

2

0 1 1

1 −2−3

2

,

N = 0 01 00 1

,

𝒄𝐁𝑇 = −2 −3 0 , 𝒄𝐍

𝑇 = 0 0 , 𝒙𝐍 = 0 0 𝑇 ,

𝒙𝐁 = 𝐁−𝟏𝒃 = 3

25

3

2 𝑇

. (8)

𝑧 = 𝒄𝐁𝑇𝐁−𝟏𝒃 = −18.

Solusi (8) merupakan solusi basis, karena

solusi tersebut memenuhi kendala PL (7) dan

kolom-kolom pada matriks kendala yang

berpadanan dengan komponen taknol dari (8),

yaitu B bebas linear (kolom yang satu bukan

merupakan kelipatan dari kolom yang lain).

Solusi (8) juga merupakan solusi fisibel basis,

karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau

sama dengan nol.

2.2 Pemrograman Linear Integer

Pemrograman linear integer adalah suatu

model pemrograman linear dengan variabel

yang digunakan berupa bilangan bulat

(integer). Jika semua variabel harus berupa

integer, maka masalah tersebut dinamakan

pure integer programming. Jika hanya

sebagian yang harus berupa integer, maka

disebut mixed integer programming (MIP).

PLI dengan semua variabelnya harus bernilai

0 atau 1 disebut 0-1 PLI.

(Garfinkel & Nemhauser 1972)

Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear)

Relaksasi pemrograman linear atau sering

disebut relaksasi-PL merupakan suatu

pemprograman linear yang diperoleh dari

suatu PLI dengan menghilangkan kendala

integer atau kendala 0-1 pada setiap

variabelnya.

Untuk masalah maksimisasi, nilai

optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih

besar atau sama dengan nilai optimum fungsi

objektif PLI, sedangkan untuk masalah

minimisasi, nilai optimum fungsi objektif

relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan

nilai optimum fungsi objektif PLI.

(Winston 2004)

4

2.3 Metode Branch and Bound

Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk

memperoleh solusi optimum dari masalah PLI

digunakan software LINGO 11.0, yaitu

sebuah program yang dirancang untuk

menentukan solusi model linear, nonlinear,

dan optimisasi integer. Software LINGO 11.0

ini menggunakan metode branch-and-bound

untuk menyelesaikan masalah PLI.

Prinsip dasar metode branch-and-bound

adalah memecah daerah fisibel dari masalah

relaksasi-PL dengan membuat subproblem-

subproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam

algoritma branch-and-bound.

1. Branch (Cabang)

Branching (pencabangan) adalah proses

membagi permasalahan menjadi

subproblem-subproblem yang mungkin

mengarah ke solusi.

2. Bound (Batas)

Bounding (pembatasan) adalah suatu

proses untuk mencari atau menghitung

batas atas (dalam masalah minimisasi) dan

batas bawah (dalam masalah maksimisasi)

untuk solusi optimum pada subproblem

yang mengarah ke solusi.

Metode branch-and-bound diawali dari

menyelesaikan relaksasi-PL dari suatu

pemrograman linear integer. Jika semua nilai

variabel keputusan solusi optimum sudah

berupa integer, maka solusi tersebut

merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak,

dilakukan pencabangan dan penambahan

batasan pada relaksasi-PLnya kemudian

diselesaikan.

Winston (2004) menyebutkan bahwa untuk

masalah maksimisasi nilai fungsi objektif

optimum untuk PLI lebih kecil atau sama

dengan nilai fungsi objektif optimum untuk

relaksasi-PL, sehingga nilai fungsi objektif

optimum relaksasi-PL merupakan batas atas

bagi nilai fungsi objektif optimum untuk

masalah PLI. Diungkapkan pula oleh Winston

(2004) untuk masalah maksimisasi bahwa

nilai fungsi objektif optimum untuk suatu

kandidat solusi merupakan batas bawah nilai

fungsi objektif optimum untuk masalah PLI

asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika

solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi

kendala integer pada masalah PLI, artinya

fungsi objektif dan semua variabelnya sudah

bernilai integer.

Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu

pengertian subproblem yang terukur. Menurut

Winston (2004), suatu subproblem dikatakan

terukur (fathomed) jika salah satu kondisi

berikut terpenuhi:

a. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga

tidak dapat menghasilkan solusi optimum

bagi PLI.

b. Subproblem tersebut menghasilkan suatu

solusi optimum dengan semua variabelnya

bernilai integer. Jika solusi optimum ini

mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih

baik daripada solusi fisibel yang diperoleh

sebelumnya, maka solusi ini menjadi

kandidat solusi optimum dan nilai fungsi

objektifnya menjadi batas bawah (dalam

masalah maksimisasi) dan batas atas

(dalam masalah minimisasi) nilai fungsi

objektif optimum bagi masalah PLI pada

saat itu. Bisa jadi subproblem ini

menghasilkan solusi optimum untuk

masalah PLI.

c. Nilai fungsi objektif optimum untuk

subproblem tersebut tidak melebihi batas

bawah saat itu (untuk masalah

maksimisasi) dan tidak melebihi batas atas

saat itu (untuk masalah minimisasi). Suatu

subproblem dapat dieliminasi apabila

subproblem tersebut takfisibel dan batas

bawah kandidat solusi lebih besar (untuk

masalah maksimisasi) dari nilai fungsi

objektif optimum untuk subproblem

tersebut.

Berikut ini adalah langkah-langkah

penyelesaian suatu masalah maksimisasi

dengan metode branch-and-bound:

• Langkah 0

Didefinisikan z sebagai batas bawah dari

solusi PLI yang optimum. Pada awalnya

tetapkan z = −∞ dan i = 0.

• Langkah 1

Subproblem PL(𝑖) dipilih sebagai bagian

masalah berikutnya untuk diperiksa.

Subproblem PL(𝑖) diselesaikan dan diukur

dengan kondisi yang sesuai.

a) Jika PL(𝑖) terukur, maka batas bawah z

dapat diperbarui. Batas bawah z dapat

diperbaharui jika solusi PLI yang lebih

baik telah ditemukan. Jika tidak, maka

bagian masalah (subproblem) baru i dipilih

dan langkah 1 diulangi. Jika semua

subproblem telah diteliti, maka proses

dihentikan.

b) Jika PL(𝑖) tidak terukur, lanjutkan ke

langkah 2 untuk melakukan pencabangan

PL(𝑖).

• Langkah 2

Dipilih salah satu variabel 𝑥𝑗 yang nilai

optimumnya adalah 𝑥𝑗∗ yang tidak memenuhi

batasan integer dalam solusi PL(𝑖). Bidang

5

𝑥𝑗∗ ≤ 𝑥𝑗 ≥ 𝑥𝑗

∗ + 1 dipecah menjadi dua

subproblem, yaitu

𝑥𝑗 ≤ 𝑥𝑗∗ dan 𝑥𝑗 ≥ 𝑥𝑗

∗ + 1

dengan 𝑥𝑗∗ didefinisikan sebagai integer

terbesar yang kurang dari atau sama dengan

𝑥𝑗∗. Jika PL(𝑖) masih tidak terukur, maka

kembali ke Langkah 1.

(Taha 1996)

Untuk memudahkan pemahaman

mengenai metode branch-and-bound

diberikan contoh sebagai berikut:

Contoh 2

Misalkan diberikan PLI berikut:

maksimumkan z = 8𝑥1 + 5𝑥2

dengan kendala 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

𝑥1 dan 𝑥2 integer (9)

Solusi optimum relaksasi-PL dari masalah

PLI (9) adalah 𝑥1 = 3.75, 𝑥2 = 2.25, dan

𝑧 = 41.25 (lihat Lampiran 1). Batas atas nilai

optimum fungsi objektif masalah ini adalah

𝑧 = 41.25. Daerah fisibel masalah (9)

ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum

berada pada titik perpotongan dua garis dari

kendala pertidaksamaan masalah (9).

x1=3.75

x2=2.25

x1 +x2 = 6

9x1 +5x2 = 45

Daerah fisibel

Gambar 1 Daerah Fisibel PLI (9).

Langkah berikutnya adalah memartisi

daerah fisibel relaksasi-PL menjadi dua

bagian berdasarkan variabel yang bernilai

pecahan (non-integer). Dipilih salah satu

variabel karena kedua variabel bernilai

pecahan, misalkan 𝑥1, sebagai dasar

pencabangan. Jika masalah relaksasi-PL dari

PLI (9) diberi nama Subproblem 1, maka

pencabangan tersebut menghasilkan dua

subproblem, yaitu:

• Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah

kendala 𝑥1 ≤ 3,


kendala 𝑥1 ≥ 4,

Daerah fisibel untuk kedua subproblem di

atas diilustrasikan secara grafis pada Gambar

2.

Subproblem 2

Subproblem 3

x1 +x2 = 6

9x1 +5x2 = 45

Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2

dan Subproblem 3.

Setiap titik (solusi) fisibel dari PLI (9)

termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2

dan Subproblem 3. Setiap subproblem ini

saling lepas. Sekarang dipilih subproblem

yang belum diselesaikan, misalkan dipilih

Subproblem 2. Solusi optimum untuk

Subproblem 2 adalah 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 3, dan

𝑧 = 39 (lihat Lampiran 1). Dapat dilihat

bahwa solusi optimal subproblem ini

semuanya berupa integer maka tidak perlu

dilakukan pencabangan di Subproblem 2.

Solusi dari Subproblem 2 menjadi batas

bawah bagi nilai optimum PLI.

Saat ini subproblem yang belum

diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi

optimum untuk Subproblem 3 adalah 𝑥1 = 4,

𝑥2 = 1.8, dan 𝑧 = 41 (lihat Lampiran 1).

Nilai z pada Subproblem 3 lebih besar

dibandingkan dengan Subproblem 2, maka

ada kemungkinan nilai z pada Subproblem 3

lebih optimum. Oleh karena itu, Subproblem 3

dicabangkan atas 𝑥2, sehingga diperoleh dua

subproblem lagi, yaitu:





Selanjutnya diselesaikan masalah

Subproblem 4 dan Subproblem 5 satu per

satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran

1), maka subproblem ini tidak dapat

menghasilkan solusi optimum.

Solusi optimum untuk Subproblem 4

adalah 𝑥1 = 4.4, 𝑥2 = 1, dan 𝑧 = 40.5 (lihat

Lampiran 1). Karena 𝑥1 = 4.4 bukan integer,

maka dilakukan kembali pencabangan atas 𝑥1,

sehingga diperoleh dua subproblem lagi,

yaitu:



6



Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan

solusi optimum 𝑥1 = 4, 𝑥2 = 1, dan 𝑧 = 37

(lihat Lampiran 1). Dapat dilihat bahwa solusi

optimal subproblem ini semuanya berupa

integer, namun solusi optimum dari

subproblem ini lebih kecil dari batas bawah

bagi nilai optimum PLI yang terdapat pada

Subproblem 2 sehingga tidak perlu dilakukan

pencabangan di Subproblem 6.

Solusi optimum dari Subproblem 7 adalah

𝑥1 = 5, 𝑥2 = 0, dan 𝑧 = 40 (lihat Lampiran

1). Batas bawah yang ditetapkan dari solusi

optimum Subproblem 2 tidak lebih baik dari

nilai solusi optimum yang dihasilkan

Subproblem 7. Dengan demikian, nilai solusi

optimum Subproblem 7, yakni 𝑧 = 40

menjadi batas bawah yang baru. Semua solusi

optimum telah berupa integer dan tidak perlu

dilakukan pencabangan kembali, sehingga

solusi optimum dari Subproblem 7 merupakan

solusi optimum PLI (9), yakni 𝑥1 = 5,

𝑥2 = 0, dan 𝑧 = 40. Pohon pencabangan yang

menunjukkan proses penyelesaian masalah

PLI (9) secara keseluruhan ditunjukkan pada

Gambar 3.

Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi PLI (9).

𝑡 = 1 Subproblem 1

𝑥1 = 3.75, 𝑥2 = 2.25, dan 𝑧 = 41.25

𝑡 = 3 𝑡 = 2 Subproblem 2

𝑥1 = 3, 𝑥2 = 3, dan 𝑧 = 39

Subproblem 3

𝑥1 = 4, 𝑥2 = 1.8, dan 𝑧 = 41


𝑥1 = 4.4, 𝑥2 = 1, dan 𝑧 = 40.5

Subproblem 5

Solusi

takfisibel


𝑥1 = 5, 𝑥2 = 0, dan 𝑧 = 40

Subproblem 6

𝑥1 = 4, 𝑥2 = 1, dan 𝑧 = 37

𝑥1 ≤ 3 𝑥1 ≥ 4

𝑥2 ≤ 1 𝑥2 ≥ 2

𝑥1 ≤ 4 𝑥1 ≥ 5

7

1, jika ahli bedah ditugaskan di ruang

= operasi pada hari di blok .

0, selainnya.

i j k l

j

x l k i

III PEMODELAN

3.1 Deskripsi Masalah

Untuk mendeskripsikan masalah

penjadwalan operasi bedah di rumah sakit,

yang harus diketahui pertama kali adalah

berapa banyak ahli bedah yang bertugas pada

ruang operasi tersebut. Kemudian berapa

banyak blok yang ditetapkan setiap harinya.

Selain itu, ada berapa ruang operasi yang

terdapat di rumah sakit tersebut.

Ketika ada pasien yang harus menjalankan

operasi bedah, rumah sakit akan memeriksa

pasien tersebut untuk menentukan penyakit

apa yang diderita pasien. Setelah itu, rumah

sakit dapat menentukan operasi bedah apa

yang harus dilaksanakan kepada pasien

tersebut dan menentukan ahli bedah mana

yang akan menangani operasi. Setiap operasi

bedah yang akan dilaksanakan, hanya ada satu

ahli bedah yang menangani di dalam ruang

operasi. Dari beberapa ahli bedah yang

dimiliki oleh rumah sakit, masing-masing ahli

bedah memiliki waktu target yang sudah

ditentukan oleh pihak rumah sakit untuk

melakukan operasi. Dari jumlah ahli bedah

beserta waktu target yang ada, rumah sakit

harus bisa menyesuaikan jadwal operasi bedah

dari setiap pasien yang datang.

Banyaknya kamar operasi yang tersedia

untuk melakukan operasi bedah juga menjadi

salah satu pertimbangan untuk membuat

jadwal operasi bedah. Dalam kasus normal,

rumah sakit diasumsikan hanya melayani

permintaan operasi pada hari kerja saja.

Selama satu minggu diasumsikan terdapat

enam hari kerja, yaitu hari Senin sampai Sabtu

dengan jam operasi kerja yang telah

ditentukan oleh rumah sakit. Rumah sakit

menggunakan strategi blok untuk

mengalokasikan waktu ruang operasi dan

jadwal operasi bedah untuk setiap periode.

Pada satu hari terdapat beberapa blok waktu,

seperti blok ke-1 pada Pukul 08.00 – 10.00

WIB, blok ke-2 pada Pukul 10.00 – 12.00

WIB dan seterusnya.

3.2 Formulasi Masalah

Model penjadwalan operasi bedah

bergantung pada keterbatasan peralatan

operasi, ketersediaan dari ruang operasi dan

ahli bedah dan juga berdasarkan pengalaman

dari penjadwalan operasi beberapa bulan

sebelumnya. Penjadwalan operasi yang ada

pada bulan-bulan sebelumnya bisa dijadikan

salah satu gambaran untuk membuat

penjadwalan operasi saat ini. Selanjutnya,

penjadwalan operasi bedah dapat

diformulasikan dalam bentuk PLI.

Model penjadwalan pada karya ilmiah ini

menggunakan lima parameter utama sebagai

penyusun jadwal, yaitu:

1. Blok, yaitu pembagian waktu ruang

operasi yang diberikan kepada setiap ahli

bedah dalam satu hari. Blok diberi indeks

i, dimana i = 1, 2, … , I sebanyak n(I).

2. Ahli bedah, yaitu orang yang bertugas di

ruang operasi. Ahli bedah diberi indeks j,

dimana j = 1, 2, … , J sebanyak n(J).

3. Hari, yaitu hari yang diinginkan pengelola

ruang operasi untuk menjadwalkan operasi

bedah. Hari diberi indeks k, dimana k = 1,

2, … , K sebanyak n(K).

4. Ruang operasi, yaitu ruangan yang

disediakan oleh rumah sakit untuk

melakukan operasi bedah. Ruang operasi

diberi indeks l, dimana l = 1, 2, … , L

sebanyak n(L).

5. Operasi bedah, yaitu jenis operasi yang

dapat dilakukan terkait ketersediaan ahli

bedah. Operasi bedah diberi indeks m,

dimana m = 1, 2, … , M sebanyak n(M).

Variabel – variabel yang digunakan dalam

model penjadwalan operasi bedah ini adalah:

𝑑𝑖 : durasi untuk blok ke-i.

𝑡𝑗 : target total waktu operasi untuk ahli

bedah ke-j dalam satu periode, di mana

periode ini bisa dalam skala waktu

mingguan ataupun bulanan.

Selain itu, diperlukan pula pendefinisian

suatu variabel keputusan:

𝑎𝑗+ = banyaknya waktu pengalokasian yang

berlebih dari seluruh ruang operasi

untuk ahli bedah j relatif terhadap 𝑡𝑗

dalam satu periode.

𝑎𝑗− = banyaknya waktu pengalokasian yang

kurang dari seluruh ruang operasi untuk

ahli bedah j relatif terhadap 𝑡𝑗 dalam

satu periode.

Asumsi-asumsi yang diperlukan dalam

memodelkan jadwal operasi bedah adalah

sebagai berikut:

1. Setiap periode memiliki model permintaan

operasi yang sama dalam horison waktu

8

yang menjadi dasar untuk membangun

model.

2. Rumah sakit hanya ingin meminimalkan

total waktu pengalokasian yang kurang

untuk ahli bedah, sehingga total waktu

pengalokasian yang berlebih tidak

dianggap.

3. Ahli bedah hanya melakukan operasi

sesuai dengan bidang keahlian mereka.

4. Durasi setiap blok adalah dua jam,

termasuk pra-operasi, waktu operasi, dan

pasca operasi. Misal, ruang operasi buka

dari Pukul 08.00 – 18.00 WIB setiap hari

maka blok yang digunakan sesuai dengan i

= 1 adalah 08.00-10.00, … , i = 5 adalah

16.00-18.00.

5. Ada enam hari kerja setiap minggunya,

yaitu Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat,

dan Sabtu.

6. Penjadwalan operasi hanya dilakukan pada

pasien elective bukan emergency.

Pada prinsipnya, rumah sakit

menginginkan pengalokasian waktu yang

sesuai untuk masing-masing ahli bedah

dengan meminimumkan total waktu

pengalokasian yang kurang dari target untuk

masing-masing ahli bedah. Fungsi objektif

dari permasalahan ini adalah meminimumkan

total bobot waktu pengalokasian yang kurang

dari target untuk setiap ahli bedah sehingga

dimodelkan sebagai berikut:

minimumkan 𝑎𝑗−

𝑡𝑗

𝐽𝑗=1

di mana

𝑎𝑗− = max 0, 𝑡𝑗 − 𝑑𝑖𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙

𝐿𝑙=1

𝐾𝑘=1

𝐼𝑖=1

dan

𝑎𝑗+ = max 0, 𝑑𝑖𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙

𝐿𝑙=1

𝐾𝑘=1

𝐼𝑖=1 − 𝑡𝑗 .

𝑑𝑖𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙𝐿𝑙=1

𝐾𝑘=1

𝐼𝑖=1 adalah total waktu

dalam satuan jam dari ruang operasi yang

ditugaskan untuk ahli bedah ke-j selama satu

periode. 1

𝑡𝑗 diterapkan agar ahli bedah yang

memiliki target jam kerja yang rendah akan

lebih diprioritaskan daripada ahli bedah yang

memiliki target jam kerja yang tinggi.

Kendala-kendala yang dimiliki adalah

sebagai berikut:

1. Waktu pengalokasian operasi yang

berlebih dan waktu pengalokasian operasi

yang kurang dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝑑𝑖𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙

𝐿

𝑙=1

𝐾

𝑘=1

𝐼

𝑖=1

− 𝑎𝑗+ + 𝑎𝑗

− = 𝑡𝑗 , ∀𝑗

2. Paling banyak satu ahli bedah dialokasikan

ke ruang operasi.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 ≤ 1 , ∀𝑖, 𝑘, 𝑙

𝐽

𝑗=1

3. Setiap ahli bedah dialokasikan paling

banyak ke satu ruang operasi pada suatu

waktu tertentu.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 ≤ 1 , ∀𝑖, 𝑗, 𝑘

𝐿

𝑙=1

4. Operasi jenis ke-m hanya dilakukan oleh

salah satu anggota dari J’, di mana J’

adalah himpunan ahli bedah yang bidang

keahliannya pada operasi jenis ke-m dan

hanya dilakukan di ruang operasi ke-l’, di

mana l’ adalah ruang operasi yang hanya

memiliki peralatan untuk melakukan

operasi jenis ke-m dikarenakan peralatan

operasi yang dimiliki rumah sakit terbatas.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙𝑙≠𝑙′

𝐾

𝑘=1𝑗𝜖 𝐽 ′

𝐼

𝑖=1

= 0, ∀ 𝑙′ ∈ 𝑁

5. Operasi jenis ke-m hanya dilakukan oleh

salah satu anggota dari J’. Seluruh ahli

bedah yang menangani operasi jenis ke-m

tidak melakukan operasi pada waktu yang

bersamaan karena di saat salah satu ahli

bedah sedang melakukan operasi, maka

ahli bedah yang lain harus memeriksa

pasien di klinik.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙

𝐿

𝑙=1𝑗𝜖 𝐽 ′

≤ 1, ∀𝑖, 𝑘

6. Operasi jenis ke-m memiliki himpunan

ahli bedah J’ dan hanya dilakukan oleh

salah satu anggota dari himpunan tersebut.

Operasi ini tidak boleh dilakukan secara

bersamaan lebih dari n ruang operasi yang

berbeda karena keterbatasan peralatan

operasi yang tersedia di rumah sakit.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙

𝐿

𝑙=1𝑗𝜖 𝐽 ′

≤ 𝑛, ∀𝑖, 𝑘

7. Operasi jenis ke-m memiliki himpunan

ahli bedah J’ dan hanya dilakukan oleh

salah satu anggota dari himpunan tersebut.

Khusus untuk beberapa anggota himpunan

ahli bedah J’ tidak dapat beroperasi di

ruang operasi ke-l karena peralatan khusus

yang sering digunakan tidak terdapat di

ruang operasi tersebut.

9

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 = 0

𝐾

𝑘=1

𝐼

𝑖=1

,

untuk beberapa ahli bedah 𝑗𝜖𝐽′ dan ruang

l.

8. Operasi jenis ke-m yang hanya dilakukan

oleh salah satu anggota ahli bedah J’ tidak

boleh dilakukan setelah operasi jenis ke-

𝑚′ yang memiliki himpunan ahli bedah 𝐽′′ yang dilaksanakan pada ruang dan hari

yang sama karena peralatan operasi yang

terbatas atau memerlukan waktu setting

yang cukup lama.

𝑥𝑖 ′ 𝑗𝑘𝑙𝑗𝜖 𝐽 ′

≤ 𝑛 1 − 𝑥𝑖𝑗 ′′ 𝑘𝑙 , ∀𝑖, 𝑘, 𝑙

𝐼

𝑖 ′ =𝑖+1

, 𝑗′′ 𝜖 𝐽′′

𝑛 ∈ 𝑅+

9. Semua variabel keputusan bernilai nol atau

satu.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 ∈ 0,1 ; ∀𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙

IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA

Studi kasus yang diambil dalam penelitian

ini adalah menentukan penjadwalan operasi

bedah mata di Rumah Sakit Jakarta Eye

Center (JEC), Jakarta. Pelayanan JEC

meliputi beberapa sentra subspesialis mata,

yaitu kornea, glaukoma, infeksi imunologi,

medical vitreoretina, pediatric oftalmologi,

dan lasik. Setiap subspesialis mata tersebut

ditangani oleh beberapa ahli bedah.

JEC memiliki lima ruang operasi untuk

melaksanakan beberapa operasi. Permintaan

operasi hanya dilayani pada hari kerja saja.

Selama satu minggu terdapat enam hari kerja,

yaitu hari Senin sampai Sabtu dengan jam

operasi kerja dari Pukul 08.00 – 20.00 WIB.

Saat ini, rumah sakit menggunakan strategi

nonblok, namun diusulkan kepada pihak

rumah sakit agar menggunakan strategi blok

untuk mengalokasikan waktu ruang operasi

dan menjadwalkan operasi bedah untuk setiap

periode. Tabel 1 menggambarkan blok waktu

yang ditetapkan dalam satu hari.

Tabel 1 Blok yang ditetapkan dalam satu hari

Blok ke- Jam

1 08.00 – 10.00

2 10.00 – 12.00

3 12.00 – 14.00

4 14.00 – 16.00

5 16.00 – 18.00

6 18.00 – 20.00

Dari beberapa ahli bedah yang dimiliki

oleh rumah sakit, masing-masing ahli bedah

memiliki waktu target mingguan yang sudah

ditentukan oleh pihak rumah sakit untuk

melakukan operasi. Dari jumlah ahli bedah

beserta waktu target mingguan yang ada,

rumah sakit berharap bisa menyesuaikan

jadwal operasi bedah dari setiap pasien yang

datang. Tabel 2 menggambarkan ahli bedah

tersebut, jenis operasi dan total target jam

kerja per minggu.

Tabel 2 Total target jam kerja per minggu (𝑡𝑗 )

dan jenis operasi untuk setiap ahli

bedah j

Ahli

bedah

J

Target

waktu

untuk ahli

bedah j

(jam)

Jenis operasi

1 10 Medical Vitreoretina

2 10 Kornea

3 11 Glaukoma

4 11 Kornea

5 9 Glaukoma

6 8 LASIK

7 10 LASIK


9 6 LASIK

10 8 Kornea

11 9 LASIK

12 6 LASIK


14 14 Pediatric Oftalmologi

15 6 Infeksi Imunologi

16 10 Glaukoma

17 13 LASIK

18 8 Pediatric Oftalmologi

19 7 LASIK


21 8 LASIK

22 9 Kornea

23 11 Kornea


25 10 LASIK

26 8 LASIK

Dari studi kasus di atas, formulasi model

PLI-nya adalah sebagai berikut:

minimumkan 𝑎𝑗−

𝑡𝑗

26𝑗=1

10

Terhadap fungsi kendala sebagai berikut:

1. Waktu pengalokasian operasi yang

berlebih dan waktu pengalokasian operasi

yang kurang dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝑑𝑖𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙

5

𝑙=1

6

𝑘=1

6

𝑖=1

− 𝑎𝑗+ + 𝑎𝑗

− = 𝑡𝑗 , ∀𝑗

2. Paling banyak satu ahli bedah dialokasikan

ke ruang operasi.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 ≤ 1 , ∀𝑖, 𝑘, 𝑙

26

𝑗=1

3. Setiap ahli bedah dialokasikan paling

banyak ke satu ruang operasi pada suatu

waktu tertentu.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 ≤ 1 , ∀𝑖, 𝑗,𝑘

5

𝑙=1

4. Operasi pediatric oftalmologi hanya

dilakukan oleh ahli bedah ke-14 dan ke-18

dan hanya dilakukan di ruang operasi ke-1

dikarenakan peralatan yang diperlukan

untuk melakukan operasi pediatric

oftalmologi hanya tersedia di ruangan

tersebut.

(𝑥𝑖14𝑘𝑙

5

𝑙=2

6

𝑘=1

6

𝑖=1

+ 𝑥𝑖18𝑘𝑙) = 0

5. Pembedahan glaukoma hanya dilakukan

oleh ahli bedah ke-3, ke-5 dan ke-16.

Ketiga ahli bedah tersebut tidak

melakukan operasi pada waktu yang

bersamaan karena di saat salah satu ahli

bedah tersebut sedang melakukan operasi,

maka ahli bedah yang lain harus

memeriksa pasien di klinik.

(𝑥𝑖3𝑘𝑙 + 𝑥𝑖5𝑘𝑙 + 𝑥𝑖16𝑘𝑙 ) ≤ 1 ∀𝑖, 𝑘

5

𝑙=1

6. a) Operasi kornea memiliki lima ahli

bedah. Operasi ini tidak boleh dilakukan

secara bersamaan lebih dari empat ruang

operasi yang berbeda karena keterbatasan

peralatan operasi yang tersedia di rumah

sakit.

(𝑥𝑖2𝑘𝑙 + 𝑥𝑖4𝑘𝑙 + 𝑥𝑖10𝑘𝑙 + 𝑥𝑖22𝑘𝑙 + 𝑥𝑖23𝑘𝑙 ) ≤ 4

5

𝑙=1

∀𝑖, 𝑘

b) Operasi medical vitreoretina memiliki

lima ahli bedah. Rumah sakit menyediakan

paling banyak tiga ruang operasi untuk

operasi ini pada waktu yang bersamaan.

(𝑥𝑖1𝑘𝑙 + 𝑥𝑖8𝑘𝑙 + 𝑥𝑖13𝑘𝑙 + 𝑥𝑖20𝑘𝑙 + 𝑥𝑖24𝑘𝑙 ) ≤ 3

5

𝑙=1

∀𝑖, 𝑘

7. Operasi lasik memiliki sepuluh ahli bedah.

Khusus untuk ahli bedah ke-6, ke-7, ke-11

dan ke-12 tidak dapat beroperasi di ruang

operasi ke-1 karena peralatan khusus yang

sering digunakan tidak terdapat di ruang

operasi tersebut.

𝑥𝑖6𝑘1 + 𝑥𝑖7𝑘1 + 𝑥𝑖11𝑘1 + 𝑥𝑖12𝑘1 = 0

6

𝑘=1

6

𝑖=1

8. Operasi glaukoma tidak boleh dilakukan

setelah operasi pediatric oftalmologi yang

dilaksanakan pada ruang dan hari yang

sama karena peralatan operasi yang

terbatas atau memerlukan waktu setting

yang cukup lama, sehingga ahli bedah ke-

3, ke-5 dan ke-16 tidak ditugaskan ke

ruang operasi setelah ahli bedah ke-14 atau

ke-18 bertugas pada hari dan ruang yang

sama.

(𝑥𝑖 ′3𝑘𝑙 + 𝑥𝑖 ′5𝑘𝑙 + 𝑥𝑖 ′16𝑘𝑙 ) ≤ 15(1 − 𝑥𝑖14𝑘𝑙 )

6

𝑖 ′=𝑖+1

∀𝑖, 𝑘, 𝑙

(𝑥𝑖 ′3𝑘𝑙 + 𝑥𝑖 ′5𝑘𝑙 + 𝑥𝑖 ′16𝑘𝑙 ) ≤ 15(1 − 𝑥𝑖18𝑘𝑙 )

6

𝑖 ′=𝑖+1

∀𝑖, 𝑘, 𝑙

9. Semua variabel keputusan bernilai nol atau

satu.

𝑥𝑖𝑗𝑘𝑙 ∈ 0,1 ; ∀𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙

Penyelesaian masalah penjadwalan operasi

bedah pada karya ilmiah ini dilakukan dengan

bantuan software LINGO 11.0. Solusi yang

didapat adalah solusi optimal dengan nilai

fungsi objektif 0.825841 yang didapatkan

pada iterasi ke 7425. Hasil penjadwalan

operasi bedah untuk setiap ahli bedah di

rumah sakit tersebut dengan metode PLI

diberikan pada Tabel 3 berikut.

11

Tabel 3 Hasil penjadwalan

Hari

08.00 – 10.00

Hari

10.00 – 12.00

OR

1

OR

2

OR

3

OR

4

OR

5

OR

1

OR

2

OR

3

OR

4

OR

5

Senin S20 S1 S11 S25 S24 Senin S14 S17 S8 S9 S12

Selasa S24 S4 Selasa S23 S16 S17 S1 S13

Rabu S3 Rabu S22 S2 S4 S23 S11

Kamis S13 Kamis S18 S3

Jumat S5 S17 Jumat S14

Sabtu S2 Sabtu S3

Hari

12.00 – 14.00

Hari

14.00 – 16.00

OR

1

OR

2

OR

3

OR

4

OR

5

OR

1

OR

2

OR

3

OR

4

OR

5

Senin S14 S23 S10 S4 S2 Senin S9 S24 S6 S15

Selasa S13 S1 S3 Selasa S16 S11 S20 S13 S22

Rabu S5 S12 Rabu S6 S23 S22

Kamis S26 S21 S2 S11 S10 Kamis S18 S15 S4 S10

Jumat S7 Jumat S13 S5

Sabtu S2 S12 S24 S22 S17 Sabtu S13 S10 S6

Hari

16.00 – 18.00

Hari

18.00 – 20.00

OR

1

OR

2

OR

3

OR

4

OR

5

OR

1

OR

2

OR

3

OR

4

OR

5

Senin S14 S8 S21 S26 S7 Senin S21 S25 S8

Selasa S18 S1 S13 S4 Selasa S19 S7 S8 S16 S26

Rabu S21 S13 S7 Rabu S24 S16 S25 S15 S7

Kamis S18 S24 S19 Kamis S17 S3 S1

Jumat S14 S9 Jumat S26 S8 S5 S20 S17

Sabtu S14 S24 S19 S25 Sabtu S14 S25 S23 S16 S6

12

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Penjadwalan yang diinginkan sangat

bergantung pada ketersediaan peralatan

operasi, ruang operasi, dan juga ahli bedah

yang terdapat di rumah sakit. Dalam penulisan

karya ilmiah ini telah diperlihatkan

penyelesaian dari masalah penjadwalan

operasi bedah sehingga pihak rumah sakit

dapat menilai bahwa fasilitas-fasilitas yang

dimiliki rumah sakit seperti peralatan operasi,

ruang operasi, dan juga ahli bedah sudah

memadai atau belum di saat permintaan

operasi cukup besar. Masalah ini dipandang

sebagai masalah 0-1 PLI. Penyelesaian

masalah ini menggunakan bantuan software

LINGO 11.0 sehingga diperoleh hasil yaitu

jadwal operasi bedah yang memenuhi

kendala.

5.2 Saran

Pada karya ilmiah ini telah dibahas

pemodelan penjadwalan dengan model PLI.

Karya ilmiah ini dapat dikembangkan dengan

durasi setiap blok yang bervariasi dan jenis

operasi yang lebih kompleks sehingga

diperlukan penyesuaian model kembali. Selain

itu, beberapa data yang digunakan pada karya

ilmiah ini adalah data hipotetik. Akan lebih

baik lagi jika dilakukan penelitian langsung

pada rumah sakit yang bersangkutan.

DAFTAR PUSTAKA

Ayag Z, Batili B, Samanlioglu F. 2010.

Determining Master Schedule of Surgical

Operations by Integer Programming: A

Case Study.

Garfinkel RS, Nemhauser GL. 1972. Integer

Programming. New York: John Willey &

Sons.

Magerlalein JM, Martin JB. 1978. Surgical

demand scheduling: A review. Health

Serv. Res 13: 418-433.

Ozkarahan I. 1995. Allocation of Surgical

Procedures to Operating Rooms. Journal of

Medical Systems 19 (4): 333–352.

Taha H A. 1996. Pengantar Riset Operasi.

Alih Bahasa: Daniel Wirajaya.

Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan

dari: Operations Research.

Winston WL. 2004. Operations Research

Applications and Algorithms 4th

ed. New

York: Duxbury.

13

LAMPIRAN

14

Lampiran 1

Syntax Program LINGO 11.0 untuk

menyelesaikan linear programming dengan

Metode Branch and Bound.

1) Mencari solusi LP-relaksasi dari

subproblem 1 (masalah 9)

Maksimumkan z = 8𝑥1 + 5𝑥2

Terhadap 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

𝑥1 dan 𝑥2 integer

Syntax program pada Lingo 11.0: max=8*x1+5*x2;

x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1>=0;

x2>=0;

Hasil yang diperoleh: Global optimal solution found.

Objective value: 41.25000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost

X1 3.750000 0.000000

X2 2.250000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 41.25000 1.000000

2 0.000000 1.250000

3 0.000000 0.7500000

4 3.750000 0.000000

5 2.250000 0.000000

Karena solusi yang diperoleh belum

memenuhi kendala integer maka harus

dibuat subproblem baru, yaitu:

• Subproblem 2, dimana Subproblem 1 +

kendala (𝑥1 ≤ 3)


kendala (𝑥1 ≥ 4)

2) Mencari solusi LP dari Subproblem 2



9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 ≤ 3

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0



x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1<=3;

x1>=0;

x2>=0;






X1 3.000000 0.000000

X2 3.000000 0.000000


1 39.00000 1.000000

2 0.000000 5.000000

3 3.000000 0.000000

4 0.000000 3.000000

5 3.000000 0.000000

6 3.000000 0.000000

Hasil yang diperoleh telah memenuhi

kendala integer maka Subproblem 2 akan

dijadikan batas bawah.




9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 ≥ 4

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0



x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1>=4;

x1>=0;

x2>=0;






X1 4.000000 0.000000

X2 1.800000 0.000000


1 41.00000 1.000000

2 0.2000000 0.000000

3 0.000000 1.000000

4 0.000000 -1.000000

5 4.000000 0.000000

6 1.800000 0.000000






15






9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 ≥ 4

𝑥2 ≥ 2

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0



x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1>=4;

x2>=2;

x1>=0;

x2>=0;

Hasil yang diperoleh:




9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 ≥ 4

𝑥2 ≤ 1

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0



x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1>=4;

x2<=1;

x1>=0;

x2>=0;






X1 4.444444 0.000000

X2 1.000000 0.000000


1 40.55556 1.000000

2 0.5555556 0.000000

3 0.000000 0.8888889

4 0.4444444 0.000000

5 0.000000 0.5555556

6 4.444444 0.000000

7 1.000000 0.000000











9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 ≥ 4

𝑥2 ≤ 1

𝑥1 ≤ 4

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0



x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1>=4;

x2<=1;

x1<=4;

x1>=0;

x2>=0;






X1 4.000000 0.000000

X2 1.000000 0.000000


1 37.00000 1.000000

2 1.000000 0.000000

3 4.000000 0.000000

4 0.000000 0.000000

5 0.000000 5.000000

6 0.000000 8.000000

7 4.000000 0.000000

8 1.000000 0.000000




9𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 45

𝑥1 ≥ 4

16

𝑥2 ≤ 1

𝑥1 ≥ 5

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0



x1+x2<=6;

9*x1+5*x2<=45;

x1>=4;

x2<=1;

x1>=5;

x1>=0;

x2>=0;






X1 5.000000 0.000000

X2 0.000000 0.000000


1 40.00000 1.000000

2 1.000000 0.000000

3 0.000000 1.000000

4 1.000000 0.000000

5 1.000000 0.000000

6 0.000000 -1.000000

7 5.000000 0.000000

8 0.000000 0.000000

Hasil yang diperoleh telah memenuhi

kendala integer, maka Subproblem 7

menjadi batas bawah yang baru. Semua

solusi optimum telah berupa integer,

sehingga solusi optimum dari Subproblem

7 merupakan solusi optimal PLI (9).

Lampiran 2

Syntax dan Hasil Komputasi Program LINGO 11.0 untuk Masalah Penjadwalan operasi bedah

di Rumah Sakit Jakarta Eye Center

model:

sets:

BLOK/B1..B6/;

SUR/S1..S26/:am1,am2,ap,T;

HARI/H1..H6/;

RUANG/R1..R5/;

BLOK2/BB1..BB6/;

LINK1(BLOK,SUR,HARI,RUANG):X;

Endsets

data:

T= 10 10 11 11 9 8 10 10 6 8 9 6 16 14 6 10 13 8 7 6 8 9 11 14 10 8;

enddata

!FO;

MIN=@SUM(SUR(j):am1(j)/T(j));

@for(sur(j):am2(j)=T(j)-

@SUM(BLOK(i):@SUM(HARI(k):@SUM(RUANG(l):2*X(i,j,k,l)))));

@for(sur(j):am1(j)=am2(j));

!kendala 1;

@FOR(SUR(j):@SUM(BLOK(i):@SUM(HARI(k):@SUM(RUANG(l):2*(X(i,j,k,l)))))-

ap(j)+am1(j)=T(j));

!kendala 2;

@FOR(BLOK(i):@FOR(HARI(k):@FOR(RUANG(l):@SUM(SUR(j):X(i,j,k,l))<=1)));

!kendala 3;

@FOR(BLOK(i):@FOR(SUR(j):@FOR(HARI(k):@SUM(RUANG(l):X(i,j,k,l))<=1)));

!kendala 4;

@SUM(BLOK(i):@SUM(HARI(k):@SUM(RUANG(l)|l#GE#2:X(i,14,k,l)+X(i,18,k,l))))

=0;

17

!kendala 5;

@FOR(BLOK(i):@FOR(HARI(k):@SUM(RUANG(l):X(i,3,k,l)+X(i,5,k,l)+X(i,16,k,l)

)<=1));

!kendala 6a;


+X(i,22,k,l)+X(i,23,k,l))<=4));

!kendala 6b;


+X(i,20,k,l)+X(1,24,k,l))<=3));

!kendala 7;

@SUM(BLOK(i):@SUM(HARI(k):X(i,6,k,1)+X(i,7,k,1)+X(i,11,k,1)+X(i,12,k,1)))

=0;

!kendala 8;

@FOR(BLOK(i):@FOR(HARI(k):@FOR(RUANG(l):@SUM(BLOK2(n)|n#GE#i+1:X(n,3,k,l)

+X(n,5,k,l)+X(n,16,k,l))<=15*(1-X(i,14,k,l)))));

@FOR(BLOK(i):@FOR(HARI(k):@FOR(RUANG(l):@SUM(BLOK2(n)|n#GE#i+1:X(n,3,k,l)

+X(n,5,k,l)+X(n,16,k,l))<=15*(1-X(i,18,k,l)))));

!kendala 9;

@FOR(BLOK(i):@FOR(SUR(j):@FOR(HARI(k):@FOR(RUANG(l):@BIN(X(i,j,k,l))))));

end

Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut:

(Tidak semua hasil ditampilkan, hanya untuk variabel bernilai 1 saja yang ditampilkan) Global optimal solution found.


Objective bound: 0.8258408


Extended solver steps: 0



AM1( S3) 1.000000 0.000000

AM1( S4) 1.000000 0.000000

AM1( S5) 1.000000 0.000000

AM1( S11) 1.000000 0.000000

AM1( S17) 1.000000 0.000000

AM1( S19) 1.000000 0.000000

AM1( S22) 1.000000 0.000000

AM1( S23) 1.000000 0.000000

AM2( S3) 1.000000 0.000000

AM2( S4) 1.000000 0.000000

AM2( S5) 1.000000 0.000000

AM2( S11) 1.000000 0.000000

AM2( S17) 1.000000 0.000000

AM2( S19) 1.000000 0.000000

AM2( S22) 1.000000 0.000000

AM2( S23) 1.000000 0.000000

T( S1) 10.00000 0.000000

T( S2) 10.00000 0.000000

T( S3) 11.00000 0.000000

T( S4) 11.00000 0.000000

T( S5) 9.000000 0.000000

T( S6) 8.000000 0.000000

T( S7) 10.00000 0.000000

T( S8) 10.00000 0.000000

T( S9) 6.000000 0.000000

T( S10) 8.000000 0.000000

T( S11) 9.000000 0.000000

18

T( S12) 6.000000 0.000000

T( S13) 16.00000 0.000000

T( S14) 14.00000 0.000000

T( S15) 6.000000 0.000000

T( S16) 10.00000 0.000000

T( S17) 13.00000 0.000000

T( S18) 8.000000 0.000000

T( S19) 7.000000 0.000000

T( S20) 6.000000 0.000000

T( S21) 8.000000 0.000000

T( S22) 9.000000 0.000000

T( S23) 11.00000 0.000000

T( S24) 14.00000 0.000000

T( S25) 10.00000 0.000000

T( S26) 8.000000 0.000000

X( B1, S1, H1, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B1, S2, H6, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B1, S3, H3, R2) 1.000000 -0.1818182

X( B1, S4, H2, R2) 1.000000 -0.1818182

X( B1, S5, H5, R4) 1.000000 -0.2222222

X( B1, S11, H1, R3) 1.000000 -0.2222222

X( B1, S13, H4, R2) 1.000000 -0.1250000

X( B1, S17, H5, R5) 1.000000 -0.1538462

X( B1, S20, H1, R1) 1.000000 -0.3333333

X( B1, S24, H1, R5) 1.000000 -0.1428571

X( B1, S24, H2, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B1, S25, H1, R4) 1.000000 -0.2000000

X( B2, S1, H2, R4) 1.000000 -0.2000000

X( B2, S2, H3, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B2, S3, H4, R5) 1.000000 -0.1818182

X( B2, S3, H6, R1) 1.000000 -0.1818182

X( B2, S4, H3, R3) 1.000000 -0.1818182

X( B2, S8, H1, R3) 1.000000 -0.2000000

X( B2, S9, H1, R4) 1.000000 -0.3333333

X( B2, S11, H3, R5) 1.000000 -0.2222222

X( B2, S12, H1, R5) 1.000000 -0.3333333

X( B2, S13, H2, R5) 1.000000 -0.1250000

X( B2, S14, H1, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B2, S14, H5, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B2, S16, H2, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B2, S17, H1, R2) 1.000000 -0.1538462

X( B2, S17, H2, R3) 1.000000 -0.1538462

X( B2, S18, H4, R1) 1.000000 -0.2500000

X( B2, S22, H3, R1) 1.000000 -0.2222222

X( B2, S23, H2, R1) 1.000000 -0.1818182

X( B2, S23, H3, R4) 1.000000 -0.1818182

X( B3, S1, H2, R3) 1.000000 -0.2000000

X( B3, S2, H1, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B3, S2, H4, R3) 1.000000 -0.2000000

X( B3, S2, H6, R1) 1.000000 -0.2000000

X( B3, S3, H2, R4) 1.000000 -0.1818182

X( B3, S4, H1, R4) 1.000000 -0.1818182

X( B3, S5, H3, R1) 1.000000 -0.2222222

X( B3, S7, H5, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B3, S10, H1, R3) 1.000000 -0.2500000

X( B3, S10, H4, R5) 1.000000 -0.2500000

X( B3, S11, H4, R4) 1.000000 -0.2222222

X( B3, S12, H3, R4) 1.000000 -0.3333333

X( B3, S12, H6, R2) 1.000000 -0.3333333

X( B3, S13, H2, R1) 1.000000 -0.1250000

X( B3, S14, H1, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B3, S17, H6, R5) 1.000000 -0.1538462

X( B3, S21, H4, R2) 1.000000 -0.2500000

X( B3, S22, H6, R4) 1.000000 -0.2222222

X( B3, S23, H1, R2) 1.000000 -0.1818182

19

X( B3, S24, H6, R3) 1.000000 -0.1428571

X( B3, S26, H4, R1) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S4, H4, R4) 1.000000 -0.1818182

X( B4, S5, H5, R3) 1.000000 -0.2222222

X( B4, S6, H1, R4) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S6, H3, R2) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S6, H6, R3) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S9, H1, R2) 1.000000 -0.3333333

X( B4, S10, H4, R5) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S10, H6, R2) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S11, H2, R2) 1.000000 -0.2222222

X( B4, S13, H2, R4) 1.000000 -0.1250000

X( B4, S13, H5, R1) 1.000000 -0.1250000

X( B4, S13, H6, R1) 1.000000 -0.1250000

X( B4, S15, H1, R5) 1.000000 -0.3333333

X( B4, S15, H4, R3) 1.000000 -0.3333333

X( B4, S16, H2, R1) 1.000000 -0.2000000

X( B4, S18, H4, R1) 1.000000 -0.2500000

X( B4, S20, H2, R3) 1.000000 -0.3333333

X( B4, S22, H2, R5) 1.000000 -0.2222222

X( B4, S22, H3, R4) 1.000000 -0.2222222

X( B4, S23, H3, R3) 1.000000 -0.1818182

X( B4, S24, H1, R3) 1.000000 -0.1428571

X( B5, S1, H2, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B5, S4, H2, R5) 1.000000 -0.1818182

X( B5, S7, H1, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B5, S7, H3, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B5, S8, H1, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B5, S9, H5, R3) 1.000000 -0.3333333

X( B5, S13, H2, R3) 1.000000 -0.1250000

X( B5, S13, H3, R2) 1.000000 -0.1250000

X( B5, S14, H1, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B5, S14, H5, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B5, S14, H6, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B5, S18, H2, R1) 1.000000 -0.2500000

X( B5, S18, H4, R1) 1.000000 -0.2500000

X( B5, S19, H4, R4) 1.000000 -0.2857143

X( B5, S19, H6, R4) 1.000000 -0.2857143

X( B5, S21, H1, R3) 1.000000 -0.2500000

X( B5, S21, H3, R1) 1.000000 -0.2500000

X( B5, S24, H4, R3) 1.000000 -0.1428571

X( B5, S24, H6, R3) 1.000000 -0.1428571

X( B5, S25, H6, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B5, S26, H1, R4) 1.000000 -0.2500000

X( B6, S1, H4, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S3, H4, R4) 1.000000 -0.1818182

X( B6, S5, H5, R3) 1.000000 -0.2222222

X( B6, S6, H6, R5) 1.000000 -0.2500000

X( B6, S7, H2, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S7, H3, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S8, H1, R5) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S8, H2, R3) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S8, H5, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S14, H6, R1) 1.000000 -0.1428571

X( B6, S15, H3, R4) 1.000000 -0.3333333

X( B6, S16, H2, R4) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S16, H3, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S16, H6, R4) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S17, H4, R1) 1.000000 -0.1538462

X( B6, S17, H5, R5) 1.000000 -0.1538462

X( B6, S19, H2, R1) 1.000000 -0.2857143

X( B6, S20, H5, R4) 1.000000 -0.3333333

X( B6, S21, H1, R3) 1.000000 -0.2500000

X( B6, S23, H6, R3) 1.000000 -0.1818182

X( B6, S24, H3, R1) 1.000000 -0.1428571

20

X( B6, S25, H1, R4) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S25, H3, R3) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S25, H6, R2) 1.000000 -0.2000000

X( B6, S26, H2, R5) 1.000000 -0.2500000

X( B6, S26, H5, R1) 1.000000 -0.2500000

PENJADWALAN OPERASI BEDAH MENGGUNAKAN …repository.ipb.ac.id/bitstream/handle/123456789/62872/G13fri.pdf · 1 penjadwalan operasi bedah menggunakan integer programming : studi kasus

Documents