PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL · PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 4. Transformasi Z . Content •Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL

Modul 4.

Transformasi Z

Content

• Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi impuls, TZ fungsi sinusoidal

• Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal), fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z) dan TZ fungsi x(n)/n.

Latar Belakang

“Domains of representation ” Domain-n (discrete time) : Sequence, impulse response, persamaan beda

Domain- : Freq. response, spectral representation

Domain-z : Operator, dan pole-zero

Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.

Content

• Transformasi-Z Langsung

• Sifat-sifat Transformasi-Z

• Transformasi-Z Rasional

• InversTransformasi-Z

• Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG

Definisi :

Contoh 1:

n

nznxzX )()(

5321

1

1

7521)(

1,0,7,5,2,1)(.a

zzzzzX

nx

1,0,7,5,2,1)(b. 2 nx

31122 752)( zzzzzX

Contoh 2:

Jawab:

Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:

0),()(c.

0),()(b.

)()(a.

3

2

1

kknnx

kknnx

nnx

1.1)()(a. 01

zznzXn

n

k

n

n zzknzX

)()(.b 2

k

n

n zzknzX

)()(c. 3

Contoh 3:

Jawab:

Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx

1:1dimana,1

1

...1)()(

1

1

21

0

zROCzz

zzznuzXn

n

1:,1

1)()()(

1

zROC

zzXnunx

Contoh 4:

Jawab:

Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx n

zROCzz

AAAAA

zznuzX

n

n

n

n

n

nn

:1dimana,1

1

1

1...1

)(

1

1

32

0

0

1

0

zROCz

zXnunx n :,1

1)()()(

1

TABEL FUNGSI DASAR TZ

SIFAT-SIFAT (PROPERTY) TZ

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Linieritas

3:,31

1)(3)(

2:,21

1)(2)(

122

111

zROCz

zXnunx

zROCz

zXnunx

n

n

Tentukan transformasi Z dari sinyal

3:32:

651

1

31

4

21

3)()3(4)2(3

21

1

11

zROCzzROC

zz

z

zzZXnunx nn

)()()()()()( 2121 zXbzXazXnxbnxanx

Contoh 5:

)()3(4)2(3 nunx nn

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Pergeseran

1:,1

1111

zRROC

zZXnunx x

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab:

ZXznnxn0)( 0

Contoh 5:

)3( nunx

1:,1

31

3

13

zRROC

z

zZXzZXnunx x

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Time Reversal

1:,1

1111

zRROC

zZXnunx x

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab:

Contoh 6:

)( nunx

11:,1

1

1

111

zR

ROCzz

zXnunxx

)()( 1 zXnx

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Diferensiasi dalam domain z

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Contoh 7: dz

zdXznnx

)()(

)()( nuannx n

azRROCaz

zXnuanx xn

:,

1

1)()()(

111

21

1

21

2

11

11

)(

1

1)()()()(

az

az

az

azz

azdz

dz

dz

zdXzzXnuannx n

21

1

1

)(

az

aznuan n

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Konvolusi antara dua sinyal

Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :

Contoh 8:

)()()()(*)()( 2121 zXzXzXnxnxnx

lainnya

nnxnx

,0

50,1)(1,2,1)( 21

543212

211 1)(21)( zzzzzzXzzzX

)1)(21()()()( 543212121

zzzzzzzzXzXzX

76121 1)()()( zzzzXzXzX

1,1,0,0,0,0,1,1)(*)()( 21 nxnxnx

TRANSFORMASI Z RASIONAL

Pole dan Zero

Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =

Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0

N

0k

k

k

M

0k

k

k

N

N

1

1o

M

M

1

1o

za

zb

zazaa

zbzbb

)z(D

)z(N)z(X

Fungsi Rasional

o

NN

o

N

o

MM

o

M

N

o

M

ooo

a

az

a

aZ

b

bz

b

bz

za

zb

zD

zNzXba

11

11

)(

)()(00

N(z) dan D(z) polinom

o

NN

o

N

o

MM

o

M

N

o

M

ooo

a

az

a

aZ

b

bz

b

bz

za

zb

zD

zNzXba

11

11

)(

)()(00

)pz()pz)(pz(

)zz()zz)(zz(z

a

b

)z(D

)z(N)z(X

M21

M21MN

o

o

N

1k

k

M

1k

kMN

)pz(

)zz(

zG)z(X

Tentukan pole dan zero dari 21

1

5,05,11

5,12)(

zz

zzX

Jawab:

)5,0)(1(

)75,0(2

)5,0)(1(

75,02

5,05,1

75,02)(

22

1

zz

zz

zz

zz

zz

z

z

zzX

5,01:

75,00:

21

21

ppPole

zzZero

Contoh 9:

21

1

5,01

1)(

zz

zzX

)]5,05,0()][5,05,0([

)1(

5,0

)1()(

2

jzjz

zz

zz

zzzX

*2121

21

5,05,05,05,0:

10:

ppjpjpPole

zzZero

Tentukan pole dan zero dari

Jawab:

Contoh 10:

INVERS TRANSFORMASI -Z

Definisi Invers Transformasi-Z

n

nznxzX )()( dzzzXj

nx n

1)(2

1)(

Cluardizbila

Cdalamdizbiladz

zfd

kdzzz

zf

j

o

o

zz

k

k

C ko

o

,0

,)(

)!1(

1

)(

)(

2

1 1

1

Teorema residu Cauchy :

Ekspansi deret dalam z dan z-1

n

nznxzX )(

Tentukan invers transformasi-z dari 21

2

1

2

31

1)(

zz

zX

Jawab:

4321

16

31

8

15

4

7

2

31)( zzzzzX

,16

31,

8

15,

4

7,

2

3,1)(nx

Contoh 11:

Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z

)()()()(

)()()()(

2211

2211

nxnxnxnx

zXzXzXzX

KK

KK

21 5,05,11

1)(

zzzX

)5,0()1(5,05,1

)(

)5,0)(1(5,05,1)(

212

2

2

2

z

A

z

A

zz

z

z

zX

zz

z

zz

zzX

Tentukan invers transformasi-z dari

Jawab:

Contoh 12:

)5,0()1(5,05,1

)( 212

z

A

z

A

zz

z

z

zX

)5,0()1(

2)(

z

z

z

zzX

)(])5,0(2[)( nunx n

5,05,1

)5,0()(

)5,0)(1(

)1()5,0(2

212121

zz

AAzAA

zz

zAzA

1215,05,0

5,005,01

21111

122121

AAAAA

AAAAAA

5,05,1

)5,0()(

5,05,1

)(2

21212

zz

AAzAA

zz

z

z

zX

)5,0(

1

)1(

2)(

zzz

zX

)5,01(

1

)1(

2)(

11

zzzX

Pole-pole berbeda semua

N

N

k

k

pz

A

pz

A

pz

A

z

zX

1

1)(

N

Nkk

kk

pz

ApzA

pz

Apz

z

zXpz

)()()()(

1

1

kpz

k Az

zXpz

k

)()(

21

1

861

23)(

zz

zzX

4286

23)( 212

z

A

z

A

zz

z

z

zX

Tentukan invers transformasi-z dari

Jawab:

Contoh 13:

72

14

)2(

23)()4(

42

8

)4(

23)()2(

4

2

2

1

z

z

z

z

z

zXzA

z

z

z

zXzA

4

7

2

4)(

zzz

zX

11 41

7

21

4)(

zzzX

)(])4(7)2(4[)( nunx nn

Ada dua pole yang semua

N

N

k

k

k

k

pz

A

pz

A

pz

A

pz

A

z

zX

2

21

1

1

)(

)(

kpz

kk

z

zXpzA

)()( 2

1

kpz

kk

z

zXpz

dz

dA

)()( 2

2

211 11

1)(

zz

zX

)1()1(1)1)(1(

)( 32

212

2

z

A

z

A

z

A

zz

z

z

zX

2

1

)1(

)()1(

4

1

)1(

)()1(

1

22

2

1

2

2

1

z

z

z

z

z

zXzA

z

z

z

zXzA

Tentukan invers transformasi-z dari

Jawab:

Contoh 14:

4

3

)1z(

z2z

)1z(

)z)(1()1z)(z2(

)1z(

z

dz

d

z

)z(X)1z(

dz

dA

1z

2

2

2

2

22

3

)(4

3

2

1)1(

4

1)( nunnx n

)1(

43

)1(

21

1

41

)(2

zzzz

zX

Pole kompleks

*

*

21

21

AAAA

pppp

22

11

11

21

1

211

11

11

1**)(1

)**(*)(

**1

***

*1

*

1

zaza

zbb

zppzpp

zpAApAA

zppzppz

pzAAzApA

zp

A

pz

A

o

12

21

1

1

11)(

zp

A

zp

AzX

)Re(2*

)Re(2)Im()Re()Im()Re(*

AAAb

AAjAAjAAA

o

)Re(2*)(

)Re(2)Im()Re()Im()Re(*

1 pppa

ppjppjppp

22

222 *)(Im)(Re

)]Im())][Re(Im()[Re(*

pppappp

pjppjppp

)Im()Im(2)Re()Re(2

)]Im())][Re(Im()[Re(

)]Im())][Re(Im()[Re(**

pApA

pjpAjA

pjpAjApAAp

*)Re(2)**(

]Im()Re()Im()[Re()]Im()Im()Re()[Re(

)]Im())][Re(Im()[Re(*

1 AppAApb

pAApjpApA

pjpAjAAp

21

1

5,01

1)(

zz

zzX

22

11

11

21

1

15,01

1)(

zaza

zbb

zz

zzX o

5,0)(Im)(Re5,0

5,0*)Re(1*)Re(2

5,0)Re(1)Re(2

5,0)Re(1)Re(2

2222

1

1

pppa

ApApb

ppa

AAbo

Tentukan invers transformasi-z dari

Jawab:

Contoh 15:

5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222

5,0)ARe(5,0)pRe(

5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2

)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap

5,05,05,0)Im(

5,0)Im(5,025,0*)Re(

jAA

AAp

11

11

)5,05,0(1

5,05,0

)5,05,0(1

5,05,0

*1

*

1)(

zj

j

zj

j

zp

A

pz

AzX

11 )5,05,0(1

5,05,0

)5,05,0(1

5,05,0)(

zj

j

zj

jzX

45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0

nn

njnj

njn

njnj

njn

ejejnx

nn

n

n

n

n

njnj

45sin)707,0(45cos)707,0(

)45sin45)(cos707,0)(5,0(

)45sin45(cos)707,0)(5,0(

)45sin45)(cos707,0)(5,0(

)45sin45(cos)707,0)(5,0(

)707,0)(5,05,0()707,0)(5,05,0()( 4545