Page 1
i
PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
PEMOTONGAN KAYU
DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA
oleh
SWARGADI RIFKY HABIBI
M0101048
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2009
Page 2
ii
SKRIPSI
PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU
DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA
yang disiapkan dan disusun oleh
SWARGADI RIFKY HABIBI
M0101048
dibimbing oleh
Pembimbing I,
Dra. Diari Indriati, M.Si NIP 19610112 198811 2 001
Pembimbing II,
Drs. Tri Atmojo K, M.Sc, Ph.D NIP 19630826 198803 1 002
Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Rabu, tanggal 22 Juli 2009
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Drs. Siswanto, M.Si
NIP 19670813 199203 1 002 1. ......................
2. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si
NIP 19690116 199402 2 001 2. ......................
3. Drs. Kartiko, M.Si
NIP 19500715 198601 1 001 3. ......................
Surakarta, ..... Juli 2009
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan, Ketua Jurusan Matematika,
Prof. Drs. Sutarno, M.Sc., Ph.D Drs. Kartiko, M.Si NIP 19600809 198612 1 001 NIP 19500715 198601 1 001
Page 3
iii
ABSTRAK
Swargadi R, 2009. PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT
UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT.
INDO VENEER UTAMA SURAKARTA, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret
Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) adalah dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Salah satu penggunaan pemrograman bilangan bulat dalam bidang industri yaitu masalah optimalisasi produksi, yang membutuhkan variabel bernilai bulat. Pada permasalahan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama terdapat variasi panjang kayu dan jumlah persediaan kayu yang terbatas. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan permasalahan program linear bilangan bulat yaitu meminimumkan sisa potongan kayu dengan menggunakan metode cabang dan batas. Berdasarkan pembahasan, diperoleh solusi optimal untuk diameter 50-79 cm yaitu x1 = 1; x2 = 13; x5 = 1; x8 = 24; x9 = 4, sedangkan untuk diameter ≥ 80 cm diperoleh hasil x9 = 9; x11 = 3; x14 = 1; x17 = 1; x18 = 2; x22 = 3, dengan xj adalah banyaknya kayu dengan panjang standar yang dipotong menurut pola j. Kata kunci: Pemrograman Bilangan Bulat, Metode Cabang dan Batas.
Page 4
iv
ABSTRACT
Swargadi R, 2009. THE USAGE OF INTEGER PROGRAMMING TO
SOLVE THE PROBLEM OF CUTTING WOOD IN PT. INDO VENEER
UTAMA SURAKARTA, Faculty of Mathematics and Natural Sciences,
Sebelas Maret University
The main idea used in the integer linear programming is by formulating
the problem from available information, then transforming it into mathematical model. One of using the integer programming in the field of industry that is problem optimalization production, which requiring integer variable. Problems of cutting wood in PT. Indo Veneer Utama are long wood variation and limited wood supply. The objective of this paper is to solve the integer linear programming problem that is minimizing the rest of wood cutting by using branch and bound method. Based on the result of research, it is obtained that the optimal solution for diameter 50-79 cm is x1 = 1; x2 = 13; x5 = 1; x8 = 24; x9 = 4, while for diameter ≥ 80 cm is x9 = 9; x11 = 3; x14 = 1; x17 = 1; x18 = 2; x22 = 3, where xj is the number of wood with crosscut standard length according pattern j.
Key words: Integer Programming, Branch and Bound Method.
Page 5
v
MOTTO
“Allah SWT tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan
kesanggupannya ”
( QS. Al Baqarah: 286 )
“Sesungguhnya Allah SWT beserta orang – orang yang yang sabar”
( QS. Al Anfaal: 46 )
“Apa saja nikmat yang kamu peroleh adalah dari Allah SWT, dan apa saja
bencana yang menimpamu, maka dari (kesalahan) dirimu sendiri”
( QS. Al Nisaa’: 79 )
“Jangan pernah berhenti berjuang, karena setiap langkah perjuangan kita ada
harapan dari orang-orang tercinta kita demi masa depan kita”
“Suatu keputusan yang Bijaksana adalah fokus dalam mencari solusi dari
masalah bukan fokus pada masalah”
You Can, if You Think You Can
( Dr Norman V Peal )
Page 6
vi
PERSEMBAHAN
Karya sederhana ini kupersembahkan untuk :
v Bapak, Ibu & Seluruh Keluarga
v Seseorang yang benar – benar menginginkan
saya bisa lulus kuliah
Page 7
vii
KATA PENGANTAR
Puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tercurah kepada suri teladan
kita, Rasulullah Muhammad SAW.
Skripsi ini tidak akan dapat tersusun tanpa adanya bimbingan, petunjuk,
saran, dan dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada pihak yang telah membantu penulis
dalam penyusunan skripsi ini, terutama kepada :
1. Ibu Dra. Diari Indriati, M.Si, dan Bapak Drs. Tri Atmojo K, M.Sc, Ph.D,
selaku Dosen Pembimbing I dan Dosen Pembimbing II yang dengan sabar
mengarahkan dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini,
2. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si, selaku Pembimbing Akademis yang telah
memberikan bimbingan, masukan dan dorongan semangat untuk lebih baik,
3. Seluruh staf dosen dan karyawan, khususnya di Jurusan Matematika dan
umumnya di Fakultas MIPA,
4. Bapak Yadi, atas bantuan dan kemudahan dalam pengambilan data,
5. Teman – teman seperjuangan angkatan 2001, Suparno, Guritna, Intan,
Priyanto dan Tezar atas bantuan, semangat, ilmu serta dukungannya,
6. Sri Mulyani, seseorang yang selalu sabar dalam memberi semangat, dukungan
serta do’anya,
7. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini, yang tidak dapat
penulis sebutkan satu persatu.
Terlepas dari kekurangan yang ada dalam skripsi ini, semoga memberikan
manfaat bagi para pembaca.
Surakarta, Juni 2009
Penulis
Page 8
viii
DAFTAR ISI
JUDUL ………………………………………………………………………..... i
PENGESAHAN ...……………………………………………………………… ii
ABSTRAK ...…………………………………………………………………… iii
ABSTRACT …………………………………………………………………....... iv
MOTTO ...………………………………………………………………………. v
PERSEMBAHAN ...…………………………………………………………..... vi
KATA PENGANTAR ...……………………………………………………….. vii
DAFTAR ISI ...………………………………………………………………… viii
DAFTAR TABEL ...…………………………………………………………… x
DAFTAR GAMBAR...………………………………………………………… xi
DAFTAR LAMPIRAN ...……………………………………………………… xii
I. PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah ...…………………………………………….. 1
1.2 Perumusan Masalah ...…………………………………………………. 3
1.3 Batasan Masalah ...…………………………………………………….. 3
1.4 Tujuan Penulisan ……...……………………………………………….. 3
1.5 Manfaat Penulisan ...…………………………………………………… 3
II. LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka ...…………………………………………………….. 4
2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat ...……………………………….... 4
2.1.2 Bentuk Umum Program Bilangan Bulat ……………...………… 4
2.1.3 Metode Cabang dan Batas .....................……………...………… 5
2.1.3.1 Pencabangan .................................................................... 5
2.1.3.2 Pembatasan ...................................................................... 7
Page 9
ix
2.1.3.3 Penghentian ..................................................................... 8
2.1.3.4 Uji Keoptimuman............................................................. 8
2.1.4 Metode Simpleks ...................................……………...………… 9
2.2 Kerangka Pemikiran ...………………………………………………..... 11
III. METODE PENELITIAN 12
IV. PEMBAHASAN 13
4.1 Deskripsi Lokasi………....…………………………………………....... 13
4.2 Bahan Baku…………………………………..…………....…………… 13
4.3 Peralatan…………..……………………………………………………. 13
4.4 Sistem Kerja….......……....………………………………………….......13
4.5 Data Hasil Penelitian .………………………..…………....…………… 14
4.6 Pembuatan Model....……………………………………………………. 14
4.6.1 Asumsi-asumsi...….........................………..………………….... 14
4.6.2 Pembuatan Model Matematika .………………………..………..15
4.6.2.1 Model Matematika Pemotongan Kayu
Diameter 50 – 79 cm .................................................18
4.6.2.2 Model Matematika Pemotongan Kayu
Diameter ≥ 80 cm ......................................................18
4.7 Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas
dan Analisis Hasil Penyelesaian …………..…………………………… 19
V. PENUTUP 31
5.1 Kesimpulan ...………………………………………………………….. 31
5.2 Saran ...………………………………………………………………… 32
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………… 33
LAMPIRAN ……………………………………………………………………. 34
Page 10
x
DAFTAR TABEL
4.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50 - 79 cm dengan Panjang Standar
10,24 m.................................………………………………………….......... 15
4.2 Pola Pemotongan untuk Diameter > 80 cm dengan Panjang Standar
11,3 m............................................................................................................. 16
Page 11
xi
DAFTAR GAMBAR
4.1 Contoh Pencabangan ..................................................................................... 6
4.2 Iterasi Pertama Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 – 79 cm ................ 21
4.3 Iterasi Kedua Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 – 79 cm .................. 21
4.4 Iterasi Ketiga Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 – 79 cm .................. 22
4.5 Iterasi Pertama Pencabangan Kayu dengan Diameter ≥ 80 cm..................... 26
4.6 Iterasi Kedua Pencabangan Kayu dengan Diameter ≥ 80 cm........................ 27
4.7 Iterasi Ketiga Pencabangan Kayu dengan Diameter ≥ 80 cm........................ 28
Page 12
xii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm...............… 34
Lampiran 2. Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter ≥ 80 cm...........…….. 36
Lampiran 3. Penyelesaian Metode 2 Tahap untuk Kayu Logs Merbau
dengan Diameter 50-79 cm ………............................................… 38
Lampiran 4. Pohon Penyelesaian Kayu Logs Merbau
dengan Diameter 50-79 cm...................................................…….. 41
Lampiran 5. Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan
dan Pembatasan untuk Kayu Logs Merbau
dengan Diameter 50-79 cm..……….................………………...... 42
Lampiran 6. Penyelesaian Metode 2 Tahap untuk Kayu Logs Merbau
dengan Diameter ≥ 80 cm ……..…............................................… 51
Lampiran 7. Pohon Penyelesaian Kayu Logs Merbau
dengan Diameter ≥ 80 cm...................................................……… 57
Lampiran 8. Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan
dan Pembatasan untuk Kayu Logs Merbau
dengan Diameter ≥ 80 cm..……….................………………........ 61
Page 13
xiii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai permasalahan dengan
tujuan untuk mendapatkan suatu penyelesaian secara optimal, hal ini dapat dilihat
dari usaha untuk memaksimalkan atau meminimalkan sumber-sumber yang
terbatas. Sumber-sumber tersebut antara lain mesin, tenaga kerja, bahan baku,
peralatan, dan lain sebagainya. Dengan alasan itulah, diperkenalkan riset operasi
(operation research) yang pada prinsipnya berisi teknik kuantitatif yang banyak
dipakai dalam pengambilan keputusan.
Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan atau
merumuskan permasalahan sehari-hari ke dalam pemodelan matematika untuk
mendapatkan penyelesaian yang optimal (Bustani, 2005). Salah satu alat riset
operasi yang efektif untuk menyelesaikan masalah optimalisasi adalah
pemrograman linear. Pokok pikiran dalam menggunakan program linear adalah
dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian
menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Sifat linear di sini
memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi
linear, sedangkan kata pemrograman merupakan sinonim dari perencanaan.
Pemrograman linear dapat digunakan pada berbagai permasalahan dalam berbagai
bidang kegiatan. Permasalahan-permasalahan ini dapat dimodelkan menjadi
bermacam-macam model, seperti model transportasi, model penugasan, dan lain-
lain sebagainya.
Pada penelitian ini, mengkhususkan pembahasan mengenai penggunaan
pemrograman linear dalam bidang industri yaitu masalah optimalisasi produksi.
Hampir semua perusahaan komersial mempunyai tujuan yaitu pencapaian
keuntungan hingga semaksimal mungkin dan penekanan kerugian hingga
seminimal mungkin. Salah satu faktor yang mempengaruhi pendapatan adalah
penanganan persediaan bahan. Penanganan persediaan bahan yang tepat dapat
1
Page 14
xiv
membantu perusahaan meraih keuntungan. Sebaliknya, penanganan persediaan
bahan yang tidak tepat dapat menyebabkan kerugian bagi perusahaan.
Masalah produksi ini kadang mengharuskan beberapa atau semua
variabelnya bernilai bulat. Seperti pada industri mebel, yang optimalisasi
produksinya adalah menentukan jumlah produk-produk yang akan dibuat. Produk
seperti kayu untuk bahan membuat meja, kursi dan lemari harus dibuat dalam
keadaan utuh atau bernilai bulat, sehingga diperlukan suatu pemrograman lain
untuk mengoptimalkan.
Permasalahan pemrograman linear yang membutuhkan variabel bernilai
bulat dapat menggunakan pemrograman bilangan bulat (integer programming)
(Gamal, 2003). Pemrograman bilangan bulat ini dikatakan linear jika fungsi
obyektif dan kendalanya berbentuk linear, sehingga pemrograman ini disebut
pemrograman linear bilangan bulat (integer linear programming). Pada
pemrograman linear bilangan bulat, fungsi-fungsinya hampir sama dengan
pemrograman linear, hanya ditambahkan syarat bilangan bulat pada kendala
nonnegativitas.
PT. Indo Veneer Utama, salah satu industri perkayuan yang ada di
Surakarta. PT. Indo Veneer Utama memproduksi batangan-batangan kayu
menjadi persediaan kayu dalam potongan-potongan yang lebih kecil. Tetapi
selama ini penggunaan bahan baku kurang optimal sehingga menyebabkan
banyaknya sisa hasil produksi yang tidak bisa digunakan lagi.
Pada penulisan ini dikaji penyelesaian permasalahan pemotongan kayu di
PT. Indo Veneer Utama dimana terdapat variasi panjang kayu dan mempunyai
jumlah persediaan yang terbatas. Setiap potongan kayu yang diperoleh dari kayu
batangan yang dipotong menurut ukuran yang dikehendaki, dimana sebatang kayu
dapat dipotong menurut berbagai pola potong sesuai ukuran permintaan
(Linawati, 2005). Oleh karena itu, perlu dibangun suatu model yang dapat
meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu. Berdasarkan model yang
diperoleh, meminimalkan penggunaan kayu berarti juga meminimalkan nilai total
sisa pemotongan kayu.
Page 15
xv
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, permasalahan yang dibahas dalam
penulisan skripsi ini adalah
1. bagaimana membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa
pemotongan kayu?
2. bagaimana menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut sehingga
tercapai keoptimalan dan menganalisisnya?
1.3 Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi oleh hal-hal sebagai
berikut
1. persediaan bahan homogen berbentuk kayu batangan lurus tanpa cacat,
2. serpihan bahan yang terbuang pada proses pemotongan diabaikan (dianggap
tidak ada),
3. pola pemotongan satu dimensi.
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan dalam penulisan skripsi ini adalah
1. dapat membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa
pemotongan kayu,
2. dapat menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut sehingga
tercapai keoptimalan dan menganalisisnya.
1.5 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah
1. menambah wawasan dan memperluas penerapan matematika khususnya
bidang riset operasi pada industri dan perusahaan,
2. perusahaan PT. Indo Veneer Utama yang mempunyai permasalahan
pemotongan kayu bisa menyelesaikan permasalahannya sehingga bisa
meningkatkan keuntungan perusahaan.
Page 16
xvi
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat
Menurut Hillier dan Lieberman (1994), model matematika untuk
pemrograman bilangan bulat sama dengan model pemrograman linear, dengan
penambahan satu batasan yaitu batasan bahwa semua atau sebagian nilai
variabelnya berupa bilangan bulat. Jika semua nilai variabelnya bilangan bulat,
maka pemrograman ini disebut pemrograman bilangan bulat murni, tetapi jika
hanya beberapa variabel berupa bilangan bulat, maka disebut pemrograman
bilangan bulat campuran.
2.1.2 Bentuk Umum Program Bilangan Bulat
Menurut Mulyono (1991), bentuk umum program bilangan bulat adalah :
Maksimalkan / Minimalkan å=
=n
jjj xcZ
1
Kendala :
å= ÷
÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
³=£
n
jijij bxa
1
(2.1)
xj ≥ 0
xj bilangan bulat
untuk i = 1, 2, ..., m;
j = 1, 2, ..., n.
Z : fungsi tujuan
cj : koefisien fungsi tujuan
xj : variabel yang tidak diketahui
aij : koefisien kendala
bi : nilai ruas kanan kendala
4
Page 17
xvii
Bentuk umum program tersebut harus berada pada bentuk standar.
Perubahan ke bentuk standar dengan cara sebagai berikut
1. Menambahkan variabel slack pada setiap persamaan kendala yang
mengandung hubungan fungsional (≤).
2. Mengurangkan variabel surplus pada setiap persamaan kendala yang
mengandung hubungan fungsional (≥).
3. Menambahkan variabel buatan pada setiap persamaan yang mengandung
hubungan fungsional (≥ atau =).
2.1.3 Metode Cabang dan Batas
Salah satu metode untuk menyelesaikan program bilangan bulat adalah
metode pencabangan dan pembatasan (Hillier dan Lieberman, 1994). Dalam
metode pencabangan dan pembatasan didefinisikan program linear relaksasi yaitu
program bilangan bulat yang dihilangkan batas bilangan bulatnya. Pada dasarnya
metode pencabangan dan pembatasan mengandung 3 langkah dasar, yaitu
pencabangan, pembatasan, dan penghentian.
2.1.3.1 Pencabangan
Variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat
pada penyelesaian program linear relaksasi dipilih sebagai variabel pencabangan.
Misal kx = *kx , dimana kx adalah variabel yang dibatasi bilangan bulat,
sedangkan *kx adalah bilangan bukan bilangan bulat, maka kx dapat dipilih
sebagai variabel pencabangan. Dengan memilih kx sebagai variabel pencabangan
diperoleh 2 submasalah, yaitu :
Submasalah 1.
Submasalah 1 dibuat dengan cara menambahkan kendala kx < [ *kx ] pada
bentuk umum, sehingga bentuknya menjadi seperti berikut
Maksimalkan / Minimalkan å=
=n
jjj xcZ
1
Page 18
xviii
1 2
Awal
Kendala :
å= ÷
÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
³=£
n
jijij bxa
1
kx < [ *kx ]
xj ≥ 0
xj bilangan bulat
untuk i = 1, 2, ..., m;
j = 1, 2, ..., n.
Submasalah 2.
Submasalah 2 dibuat dengan cara menambahkan kendala kx > [ *kx ] + 1 pada
bentuk umum, sehingga bentuknya menjadi seperti berikut
Maksimalkan / Minimalkan å=
=n
jjj xcZ
1
Kendala :
å= ÷
÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
³=£
n
jijij bxa
1
kx > [ *kx ] + 1
xj ≥ 0
xj bilangan bulat
untuk i = 1, 2, ..., m;
j = 1, 2, ..., n.
Dengan [ *kx ] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari *
kx , dan
[ *kx ] + 1 adalah bilangan bulat terkecil yang lebih dari *
kx .
Pencabangan tersebut diilustrasikan seperti tampak dalam Gambar 2.1 kx < [ *
kx ] kx > [ *kx ] + 1
Gambar 2.1 Contoh Pencabangan
Page 19
xix
Menurut Bronson (1996), biasanya pencabangan dilakukan pada program
yang mendekati optimal. Apabila terdapat lebih dari satu program yang menjadi
calon untuk pencabangan selanjutnya, dipilih program yang memiliki harga Z
terbesar jika fungsi objektifnya hendak dimaksimalkan, atau yang memiliki harga
Z terkecil jika fungsi objektifnya hendak diminimalkan.
Pada tiap pencabangan ditambahkan sebuah kendala tambahan. Jika suatu
aproksimasi pertama mengandung lebih dari satu variabel tak bulat, maka
kendala-kendala yang baru ini hanya diperkenalkan pada variabel yang
menyimpang paling jauh dari bilangan bulat, yakni variabel yang bagian
pecahannya mendekati 0,5. Dalam hal berakhir seri, maka dapat dipilih secara
sembarang salah satu variabelnya.
Seandainya suatu program bilangan bulat memiliki lebih dari satu
pemecahan, maka dapat dipilih secara sembarang salah satu pemecahannya
sebagai yang optimal dan mengabaikan yang sisanya.
Pencabangan dilakukan setahap demi setahap sampai diperoleh
penyelesaian bilangan bulat optimal. Seluruh tahapan pencabangan digambarkan
sebagai pohon penyelesaian.
2.1.3.2 Pembatasan
Untuk setiap submasalah diperlukan suatu batas untuk penyelesaian fisibel
terbaiknya, yaitu dengan menyelesaikan program linear relaksasi dari submasalah
tersebut menggunakan metode simpleks.
Proses pencabangan akan terus dilakukan hingga diperoleh sebuah
pemecahan bilangan bulat yang pertama. Nilai obyektif dari pemecahan bilangan
bulat yang pertama harus disimpan sebagai incumbent (penyelesaian terbaik
sementara) dan menjadi suatu batas terbawah untuk masalah memaksimalkan atau
sebagai batas teratas untuk masalah meminimalkan.
Proses pencabangan ini terus berlanjut dari nilai obyektif pemecahan
bilangan tak bulat yang memberikan nilai-nilai fungsi obyektif dan lebih kecil
daripada batas teratas (untuk masalah meminimalkan). Jika dalam proses
pencabangan ditemukan sebuah pemecahan bilangan bulat baru, yang nilai fungsi
obyektifnya lebih kecil daripada batas teratas maka nilai dari fungsi obyektif
Page 20
xx
tersebut menjadi batas atas yang baru. Nilai fungsi obyektif yang menghasilkan
nilai yang sama dengan batas teratas atau lebih besar dari batas teratas yang
terbaru (meminimalkan) selanjutnya akan diabaikan (pencabangan dihentikan).
2.1.3.3 Penghentian
Suatu submasalah dengan variabel keputusan yang dibatasi bilangan bulat
pada program linear relaksasinya mempunyai nilai yang bilangan bulat, maka
penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian optimal submasalah itu sendiri dan
disimpan sebagai incumbent. Nilai ini dinyatakan sebagai Z* sama dengan nilai
untuk incumbent sementara.
Selanjutnya suatu submasalah dapat dihentikan atau dihapuskan apabila
memenuhi salah satu dari uji penghentian berikut
Uji 1. Batas submasalah > Z*
Suatu submasalah dengan Z > Z* harus dihentikan karena apabila
dilakukan pencabangan untuk submasalah ini maka tidak akan diperoleh
penyelesaian yang lebih baik dari Z* atau incumbent.
Uji 2. Penghentian langsung
Jika dengan metode simpleks program linear relaksasinya tidak
mempunyai penyelesaian fisibel, maka submasalah tersebut dihilangkan /dihapus.
Uji 3. Penyelesaian optimal program linear relaksasinya berupa
penyelesaian bilangan bulat.
Jika penyelesaian ini lebih baik (lebih kecil) dari incumbent yang ada
maka penyelesaian ini menjadi incumbent yang baru, dan uji 1 digunakan kembali
untuk submasalah yang belum dihentikan dengan nilai Z* baru yang lebih kecil.
2.1.3.4 Uji Keoptimalan
Penyelesaian program (2.1) optimal jika tidak ada lagi submasalah yang
masih harus dicabangkan. Penyelesaian optimal dari masalah (2.1) adalah
penyelesaian yang menjadi incumbent terakhir. Jika tidak ada penyelesaian yang
menjadi incumbent, maka disimpulkan bahwa masalah (2.1) tidak mempunyai
penyelesaian fisibel.
Page 21
xxi
2.1.4 Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu prosedur berulang-ulang yang bergerak dari
satu penyelesaian dasar fisibel ke arah penyelesaian fisibel berikutnya sedemikian
sehingga fungsi tujuan ke arah optimal. Penyelesaian dasar fisibel diperoleh jika
semua variabel dasar tidak negatif. Suatu penyelesaian dasar fisibel yang
mengoptimalkan fungsi tujuan disebut penyelesaian dasar fisibel optimal.
Berikut diberikan definisi-definisi yang dikutip dari buku Taha (1996)
Definisi 2.1.1 Variabel dasar adalah variabel yang nilainya tidak nol dalam tabel
simpleks. Sebaliknya, variabel tidak dasar adalah variabel yang bernilai nol
dalam tabel simpleks.
Definisi 2.1.2 Entering variabel (ev) adalah variabel tidak dasar yang akan
menjadi variabel dasar pada iterasi berikutnya.
Definisi 2.1.3 Leaving variabel (lv) adalah variabel dasar yang akan keluar
menjadi variabel tidak dasar pada iterasi berikutnya.
Definisi 2.1.4 Elemen Pivot adalah elemen yang merupakan irisan antara kolom
masuk dan persamaan pivot.
Definisi 2.1.5 Kondisi Optimalitas : variabel masuk dalam maksimisasi
(minimisasi) adalah variabel nondasar dengan koefisien yang paling negatif
(positif) dalam persamaan tujuan Z.
Definisi 2.1.6 Kondisi Kelayakan : untuk masalah maksimisasi maupun
minimisasi, variabel keluar adalah variabel dasar saat ini yang memiliki titik
potong terkecil (rasio minimal dengan penyebut yang positif secara ketat) dalam
arah variabel masuk.
Langkah-langkah dalam metode simpleks sebagai berikut
Langkah 0 :
Dengan menggunakan bentuk standar, ditentukan pemecahan dasar awal yang
fisibel.
Langkah 1 :
Dipilih ev diantara variabel nondasar dengan menggunakan kondisi
optimalitas.
Page 22
xxii
Langkah 2 :
Dipilih lv dari variabel dasar dengan menggunakan kondisi kelayakan.
Langkah 3 :
Ditentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat ev tersebut sebagai
variabel dasar dan lv sebagai variabel nondasar. Kembali ke Langkah 1.
Setelah ev dan lv ditemukan, iterasi berikutnya dilakukan dengan
metode Gauss-Jordan. Metode ini menyebabkan adanya perubahan dalam
variabel dasar dengan menggunakan dua jenis perhitungan :
Tipe I (persamaan pivot)
persamaan pivot baru = persamaan pivot lama dibagi elemen pivot
Tipe II (untuk semua persamaan)
persamaan baru = persamaan lama dikurangi (koefisien kolom masuk
dikalikan persamaan pivot baru)
Dalam metode simpleks terkadang muncul suatu kejadian khusus sehingga
tidak diperoleh suatu keputusan yang jelas (Taha, 1996). Kejadian-kejadian
khusus tersebut adalah sebagai berikut
1. Degenerasi.
Degenerasi merupakan suatu kondisi di mana variabel dasar bernilai nol pada
iterasi selanjutnya dan nilainya tujuannya tidak berubah.
Degenerasi mempunyai 2 implikasi, implikasi pertama berkaitan dengan
fenomena perputaran (cycling) yang nantinya akan mengulang urutan iterasi
yang sama tanpa pernah memperbaiki nilai tujuan dan tidak pernah
mengakhiri perhitungan, implikasi kedua timbul argumen untuk kemungkinan
menghentikan perhitungan meski pemecahan tidak optimal.
2. Optimal alternatif.
Hal ini terjadi bila suatu masalah mempunyai lebih dari satu penyelesaian
fisibel dasar yang optimal. Suatu penyelesaian dengan metode simpleks
mempunyai penyelesaian alternatif bila sekurang-kurangnya satu di antara
variabel-variabel tidak dasar memiliki koefisien nol pada fungsi tujuan.
Apabila variabel ini dipilih sebagai ev maka tidak akan mengubah nilai Z.
Page 23
xxiii
3. Penyelesaian tidak dibatasi.
Hal ini terjadi apabila ruang penyelesaian tidak dibatasi sehingga tujuan dapat
meningkat secara pesat.
4. Penyelesaian tidak fisibel.
Pemecahan tidak fisibel terjadi bila kendala tidak dipenuhi secara simultan.
2.2 Kerangka Pemikiran
Model Matematika dari permasalahan pemotongan kayu dapat diturunkan
dengan terlebih dulu mendefinisikan variabel-variabel dan tujuannya. Selanjutnya,
dapat dibangun kendala dan fungsi tujuan model matematika dari permasalahan
pemotongan kayu. Model matematika dari permasalahan pemotongan kayu
diselesaikan dengan metode simpleks. Apabila salah satu nilai optimal variabel
keputusan yang diperoleh dari metode simpleks tidak bilangan bulat maka
penyelesaian optimal bilangan bulat dicari dengan pemrograman bilangan bulat.
Page 24
xxiv
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah gabungan studi
literatur dan studi kasus. Langkah-langkah yang dilakukan adalah
1. Mengkaji tentang program linear, metode simpleks, program bilangan
bulat.
2. Mengambil data-data yang diperlukan di PT. Indo Veneer Utama.
3. Membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa
pemotongan kayu.
4. Menyelesaikan model matematika tersebut dengan metode simpleks
program bilangan bulat.
5. Aplikasi menggunakan paket software TORA.
6. Menganalisis hasil penyelesaian model matematika tesebut.
7. Menarik kesimpulan.
12
Page 25
xxv
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1. Deskripsi Lokasi
Penelitian dilakukan di PT. Indo Veneer Utama yang merupakan salah satu
perusahaan besar yang bergerak di bidang usaha perkayuan yang ada di Surakarta,
Jawa Tengah. Lokasi perusahaannya berada di jalan Adi Sucipto, desa Blulukan,
Kecamatan Colomadu, Kabupaten Karanganyar, Jawa Tengah. Luas area
perusahaan adalah 3.820 m3.
4.2. Bahan Baku
Bahan baku utama yang digunakan PT. Indo Veneer Utama untuk
pembuatan furniture adalah kayu logs merbau. Yang disebut logs adalah kayu
hasil penebangan dan dari sini proses pembuatan furniture berawal. Bahan baku
ini dipasok dari Surabaya menggunakan trailer.
4.3. Peralatan
1. Sawmilling
Alat untuk memotong kayu hasil penebangan (logs).
2. Traktor Pengangkut
Kendaraan untuk mengangkut kayu hasil penebangan (logs) ke tempat
penggergajian.
3. Meteran
Alat untuk mengukur panjang kayu.
4.4. Sistem Kerja
Sistem kerja di PT. Indo Veneer Utama sampai dengan proses
penggergajian adalah sebagai berikut
1. Kayu hasil penebangan (logs) yang datang langsung masuk PT. Indo Veneer
Utama dan didata di bagian logistik.
2. Logs dikelompokkan sesuai dengan kelompok diameter.
13
Page 26
xxvi
3. Masuk ke proses penggergajian sesuai dengan kelompok diameter.
4. Proses penggergajian menggunakan sawmilling.
4.5. Data Hasil Penelitian
Dari penelitian yang penulis lakukan di PT. Indo Veneer Utama diperoleh
data-data mengenai bahan baku produksi, jenis produksi, dan laporan hasil
produksi selama bulan Januari 2009. Perincian data bahan baku produksi PT. Indo
Veneer Utama sebagai berikut
Bahan Baku Utama Produksi di PT. Indo Veneer Utama adalah kayu logs
merbau yang diambil dari Surabaya. Data bahan baku untuk kayu diameter
50-79 cm dan untuk kayu dengan diameter > 80 cm diberikan pada Lampiran 1
dan Lampiran 2.
Berdasarkan data, diperoleh panjang standar untuk kayu dengan diameter
50-79 cm adalah 10,24 m dan panjang standar untuk kayu dengan diameter
> 80 cm adalah 11,3 m, dimana panjang standar adalah panjang rata-rata kayu.
4.6. Pembuatan Model
4.6.1 Asumsi-asumsi
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam pembuatan model matematika dari
formulasi persoalan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama adalah :
1. agar kayu dapat selalu diproduksi setiap waktu produksi, diasumsikan bahan
berupa kayu logs merbau selalu tersedia untuk proses produksi, artinya
persediaan kayu logs merbau selalu ada tidak dipengaruhi oleh keadaan alam.
2. pembuatan model setiap bulan tidak dipengaruhi oleh sisa produksi bulan
sebelumnya.
3. persediaan bahan homogen berbentuk kayu batangan panjang lurus tanpa
cacat.
4. perusahaan hanya menerima pemotongan kayu dengan panjang minimalnya
adalah panjang standar. Panjang standar adalah panjang rata-rata logs. Panjang
standar untuk pemotongan kayu dengan diameter 50-79 cm adalah 10,24
Page 27
xxvii
meter dan panjang standar untuk pemotongan kayu dengan diameter > 80 cm
adalah 11,3 meter.
4.6.2 Pembuatan Model Matematika
Tabel 4.1. Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm
dengan panjang standar 10,24 m
Pola (j) Jumlah Panjang
100cm (Batang)
Jumlah Panjang
220 cm (Batang)
Jumlah Panjang
440 cm (Batang)
Sisa (cm)
1 10 0 0 24
2 8 1 0 4
3 5 2 0 84
4 5 0 1 84
5 3 3 0 64
6 3 1 1 64
7 1 4 0 44
8 1 2 1 44
9 1 0 2 44
Keterangan :
Cara menentukan pola yaitu kayu dengan panjang standar 10,24 m
dipotong–potong sesuai dengan panjang yang diinginkan, dengan segala
kemungkinan cara pemotongan. Untuk membuat GF (Garden Furniture)
diperlukan kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm, 220 cm, dan 440 cm.
Pola 1, dari panjang standar 10,24 m dipotong–potong untuk panjang 100
cm diperoleh 10 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 24 cm.
Pola 2, dari panjang standar 10,24 m dipotong–potong untuk panjang 100
cm diperoleh 8 potongan kayu, untuk panjang 220 cm diperoleh 1 potongan kayu
dan masih mempunyai sisa 4 cm.
Pola 3 s/d pola 9 diperoleh dengan cara yang sama.
Page 28
xxviii
Tabel 4.2. Pola Pemotongan untuk Diameter > 80 cm
dengan panjang standar 11,3 m
Pola (j) Jumlah
Panjang 100
cm (Batang)
Jumlah
Panjang 220
cm (Batang)
Jumlah
Panjang 285
cm (Batang)
Jumlah
Panjang 440
cm (Batang)
Sisa (cm)
1 11 0 0 0 30
2 9 1 0 0 10
3 8 0 1 0 45
4 6 2 0 0 90
5 6 1 1 0 25
6 6 0 0 1 90
7 5 0 2 0 60
8 4 3 0 0 70
9 4 2 1 0 5
10 4 1 0 1 70
11 4 0 1 1 5
12 3 1 2 0 40
13 2 4 0 0 50
14 2 2 0 1 50
15 2 0 0 2 50
16 2 0 3 0 75
17 1 2 2 0 20
18 1 0 2 1 20
19 0 5 0 0 30
20 0 3 0 1 30
21 0 1 3 0 55
22 0 1 0 2 30
Keterangan :
Cara menentukan pola yaitu kayu dengan panjang standar 11,3 m
dipotong–potong sesuai dengan panjang yang diinginkan, dengan segala
Page 29
xxix
kemungkinan cara pemotongan. Untuk membuat SD (Solid Door) diperlukan
kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm, 220 cm, 285 cm, dan 440 cm.
Pola 1, dari panjang standar 11,3 m dipotong–potong untuk panjang 100
cm diperoleh 11 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 30 cm.
Pola 2, dari panjang standar 11,3 m dipotong–potong untuk panjang 100
cm diperoleh 9 potongan kayu, untuk panjang 220 cm diperoleh 1 potongan kayu
dan masih mempunyai sisa 10 cm.
Pola 3 s/d pola 21 diperoleh dengan cara yang sama.
Permintaan :
1. Untuk membuat GF (Garden Furniture) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran
panjang 100 cm sebanyak 140 buah, 220 cm sebanyak 64 buah, dan 440 cm
sebanyak 32 buah.
2. Untuk membuat SD (Solid Door) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran
panjang 100 cm sebanyak 52 buah, 220 cm sebanyak 24 buah, 285 cm
sebanyak 18 buah, dan 440 cm sebanyak 12 buah.
Merumuskan persoalan Program Linear sebagai berikut
Minimalkan : å=
=n
jjj xcZ
1
Kendala :
å= ÷
÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
³=£
n
jijij bxa
1
xj ≥ 0
xj bilangan bulat
untuk i = 1, 2, ..., m
j = 1, 2, ..., n
Z : fungsi tujuan
cj : koefisien fungsi tujuan
xj : banyaknya kayu dengan panjang standar yang dipotong menurut pola j.
Page 30
xxx
aij : jumlah potongan untuk panjang i dengan pola j
bi : banyaknya pesanan untuk panjang i
m : banyaknya pesanan
n : banyaknya pola pemotongan yang mungkin.
4.6.2.1 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter 50–79 cm
Sisa pemotongan + total permintaan = total panjang kayu yang di potong.
Total permintaan pelanggan (m) = 140 (1) + 64 (2,2) + 32 (4,4) = 421,6
Total panjang kayu yang dipotong (m) = 10,24 (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
+ x7 + x8 + x9)
Sisa pemotongan (m) = 10,24x1 + 10,24x2 + 10,24x3 + 10,24x4 + 10,24x5 +
10,24x6 + 10,24x7 + 10,24x8 + 10,24x9 – 421,6
Fungsi tujuannya adalah meminimalkan sisa pemotongan, yaitu
z = 10,24 x1 + 10,24 x2 + 10,24 x3 + 10,24 x4 + 10,24 x5 + 10,24 x6 + 10,24 x7
+ 10,24 x8 + 10,24 x9 – 421,6
Tanpa mempengaruhi optimasi, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140
x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64
x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32
x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat. ( 4.1 )
4.6.2.2 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter ≥ 80 cm
Sisa pemotongan + total permintaan = total panjang kayu yang di potong.
Total permintaan pelanggan (m) = 52 (1) + 24 (2,2) + 18 (2,85) + 12 (4,4) = 208.9
Total panjang kayu yang dipotong (m) = 11,3(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8
+ x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 +
x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22)
Sisa pemotongan (m) = 11,3x1 + 11,3x2 + 11,3x3 + 11,3x4 + 11,3x5 + 11,3x6 +
11,3x7 + 11,3x8 + 11,3x9 + 11,3x10 + 11,3x11 + 11,3x12 +
Page 31
xxxi
11,3x13 + 11,3x14 + 11,3x15 + 11,3x16 + 11,3x17 + 11,3x18
+ 11,3x19 + 11,3x20 + 11,3x21 + 11,3x22 – 208.9
Fungsi tujuannya adalah meminimalkan sisa pemotongan, yaitu
z = 11,3 x1 + 11,3 x2 + 11,3 x3 + 11,3 x4 + 11,3 x5 + 11,3 x6 + 11,3 x7 + 11,3 x8
+ 11,3 x9 + 11,3 x10 + 11,3 x11 + 11,3 x12 + 11,3 x13 + 11,3 x14 + 11,3 x15
+ 11,3 x16 + 11,3 x17 + 11,3 x18 + 11,3 x19 + 11,3 x20 + 11,3 x21 + 11,3 x22
– 208.9
Tanpa mempengaruhi optimasi, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13
+ x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +
2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21
+ x22 > 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18
x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12
x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat ( 4.2 )
4.7. Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas
dan Analisis Hasil Penyelesaian
4.7.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm
Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase)
Minimalkan
r = R1 + R2 + R3
= 236 - 10x1 - 9x2 - 7x3 - 6x4 - 6x5 - 5x6 - 5x7 - 4x8 - 3x9 + x10 + x11 + x12
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 - x10 + R1 = 140
x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 - x11 + R2 = 64
x4 + x6 + x8 + 2x9 - x12 + R3 = 32
x1, x2, ..., x12, R1, R2, R3 > 0 dan bilangan bulat.
Page 32
xxxii
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan
pada Lampiran 3.
Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter
50–79 cm adalah x2 = 13,94; x7 = 12,52; x9 = 16; Z = 42,45.
Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode
pencabangan dan pembatasan.
Ditetapkan Z* = ∞
Iterasi 1
Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.1), variabel yang
dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah
x7 = 12,52; sehingga x7 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini
membuat dua submasalah baru, yaitu :
Submasalah 1 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x7 < 12.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140
x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64
x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32
x7 < 12
x1, x2, ..., x9 > 0 dan bilangan bulat.
Submasalah 2 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x7 > 13.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 140
x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 ≥ 64
x4 + x6 + x8 + 2x9 ≥ 32
x7 ≥ 13
x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat.
Page 33
xxxiii
0
2 1
4 3
1
Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.1
127 £x 137 ³x
Gambar 4.1 Iterasi pertama
Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12; 1,03; 15.48); dengan
nilai Z = 42,45.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 16); dengan nilai
Z = 42,50.
Karena nilai Z pada submasalah 1 ≤ submasalah 2, submasalah 1 harus
dicabangkan lagi.
Iterasi 2
Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat
dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah
x9 = 15,48; sehingga x9 menjadi variabel pencabangan.
Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu :
Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x9 < 15
Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x9 > 16
Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.2
159 £x 169 ³x
Gambar 4.2 Iterasi kedua
Page 34
xxxiv
6 5
3
Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11,52; 12; 15); dengan
nilai Z = 42,45.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 12; 0; 16); dengan
nilai Z = 42,48.
Karena nilai Z pada submasalah 3 ≤ submasalah 4, submasalah 3 harus
dicabangkan lagi.
Iterasi 3
Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat
dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah
x7 = 11,52; sehingga x7 menjadi variabel pencabangan.
Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu :
Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x7 < 11
Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x7 > 12
Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.3
117 £x 12x 7 ³
Gambar 4.3 Iterasi ketiga
Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11; 3,03; 14,48); dengan
nilai Z = 42,45.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 12; 2; 15); dengan nilai
Z = 42,48.
Page 35
xxxv
Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus
dicabangkan lagi.
Iterasi selanjutnya
Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena
nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.
Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode
pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal
bilangan bulat untuk masalah (4.1). Hasil penerapan metode pencabangan dan
pembatasan pada masalah (4.1) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada
pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor
submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah
dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan
lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di
dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak
dicabangkan.
Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan
pembatasan untuk kayu dengan diameter 50–79 cm (ada sebanyak 41 iterasi)
diberikan pada Lampiran 4 dan Lampiran 5.
Berdasarkan hasil pada Lampiran 4 dan Lampiran 5, Incumbent 1 (Z* baru)
diperoleh dari submasalah 58 dalam iterasi 29 dan tidak ada incumbent yang baru
(yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 3 penyelesaian optimal, yaitu pada
submasalah 58 dalam iterasi 29, submasalah 75 dalam iterasi 38 dan submasalah
81 dalam iterasi 41. Selanjutnya akan diuji pada ketiga penyelesaian optimal
tersebut manakah yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm
yang paling minimal.
Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter 50-79 cm yang
menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z Keterangan
58 ( 1; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 43 Integer,Incumbent 1 (Z* = 43)
Page 36
xxxvi
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 13(4 cm)
+ 1(64 cm) + 24(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 52 + 64 + 1056 + 176 ) cm
= 1372 cm = 13,72 m.
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z Keterangan
75 ( 1; 10; 3; 0; 1; 2; 0; 22; 4 ) 43 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 10(4 cm)
+ 3(84 cm) + 1(64 cm) + 2(64 cm) + 22(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 40 + 252
+ 64 + 128 + 968 + 176 ) cm = 1652 cm = 16,52 cm.
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z Keterangan
81 ( 1; 8; 5; 0; 1; 5; 0; 19; 4 ) 43 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 8(4 cm)
+ 5(84 cm) + 1(64 cm) + 5(64 cm) + 19(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 32 + 420
+ 64 + 320 + 836 + 176 ) cm = 1872 cm = 18,72 cm.
Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu
diameter 50–79 cm paling minimal diperoleh dari dari submasalah 59. Jadi untuk
meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm diperoleh dari
melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 1 sebanyak 1 buah, pola
pemotongan 2 sebanyak 13 buah, pola pemotongan 5 sebanyak 1 buah, pola
pemotongan 8 sebanyak 24 buah dan pola pemotongan 9 sebanyak 4 buah.
4.7.2 Pola Pemotongan untuk Diameter ≥ 80 cm
Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase)
Minimalkan
r = R1 + R2 + R3 + R4
= 106 - 11x1 - 10x2 - 9x3 - 8x4 - 8x5 - 7x6 - 7x7 - 7x8 - 7x9 - 6x10 - 6x11 - 6x12
- 6x13 - 5x14 - 4x15 - 5x16 - 5x17 - 4x18 - 5x19 - 4x20 - 4x21 - 3x22 + x23 + 5x24
+ x25 + x26
Page 37
xxxvii
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +
2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 - x23 + R1 = 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21
+ x22 - x24 + R2 = 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 - x25 + R3 = 18
x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 - x26 + R4 = 12
x1, x2 , ..., x26, R1, R2, R3, R4 ≥ 0 dan bilangan bulat
Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan
pada Lampiran 6.
Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter ≥ 80 cm
adalah x9 = 0,29; x11 = 12; x17 = 2,86; x19 = 3,54; Z = 18,69.
Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode
pencabangan dan pembatasan.
Ditetapkan Z* = ∞
Iterasi 1
Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.2), variabel yang
dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah
x19 = 3,54; sehingga x19 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini
membuat dua submasalah baru,yaitu :
Submasalah 1 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x19 < 3.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13
+ x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +
2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21
+ x22 > 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18
x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12
Page 38
xxxviii
2 1
0
x19 < 3
x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat
Submasalah 2 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x19 > 4.
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13
+ x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +
2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21
+ x22 > 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18
x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12
x19 > 4
x1, x2, ..., x22 > 0 dan bilangan bulat.
Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.4
39 £x 49 ³x
Gambar 4.4 Iterasi pertama
Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,
x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,23; 0; 2,06; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0; 0; 0; 3,54);
dengan nilai Z = 18,69.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,
x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,18; 0; 12; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 0 );
dengan nilai Z = 18,73.
Page 39
xxxix
4 3
1
Karena nilai Z pada submasalah 1 ≤ submasalah 2, submasalah 1 harus
dicabangkan lagi.
Iterasi 2
Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat
dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah
x22 = 3,54; sehingga x22 menjadi variabel pencabangan.
Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu :
Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x22 < 3
Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x22 > 4
Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.5
322 £x 422 ³x
Gambar 4.5 Iterasi kedua
Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,
x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,14; 0; 3,14; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 0; 3 );
dengan nilai Z = 18,69.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,
x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,18; 0; 4; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 4 );
dengan nilai Z = 18,73.
Karena nilai Z pada submasalah 3 ≤ submasalah 4, submasalah 3 harus
dicabangkan lagi.
Iterasi 3
Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat
dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah
x19 = 0,54; sehingga x19 menjadi variabel pencabangan.
Page 40
xl
6 5
3
Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu :
Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x19 < 0
Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x19 > 1
Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.6
019 £x 119 ³x
Gambar 4.6 Iterasi ketiga
Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,
x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,69; 0; 5,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0 );
dengan nilai Z = 18,69.
Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,
x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,69; 0; 6,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 1; 2,54; 0; 0 );
dengan nilai Z = 18,73.
Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus
dicabangkan lagi.
Iterasi selanjutnya
Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena
nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.
Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode
pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal
bilangan bulat untuk masalah (4.2). Hasil penerapan metode pencabangan dan
pembatasan pada masalah (4.2) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada
pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor
submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah
dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan
Page 41
xli
lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di
dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak
dicabangkan.
Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan
pembatasan untuk kayu dengan diameter ≥ 80 cm (ada sebanyak 31 iterasi)
diberikan pada Lampiran 7 dan Lampiran 8.
Berdasarkan hasil pada Lampiran 7 dan Lampiran 8, Incumbent 1 (Z* baru)
diperoleh dari submasalah 48 dalam iterasi 24 dan tidak ada incumbent yang baru
(yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 4 penyelesaian optimal, yaitu pada
submasalah 48 dalam iterasi 24, submasalah 50 dalam iterasi 25, submasalah 56
dalam iterasi 28 dan submasalah 59 dalam iterasi 30. Selanjutnya akan diuji pada
ketiga penyelesaian optimal tersebut manakah yang menghasilkan sisa
pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm yang paling minimal.
Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter ≥ 80 cm yang
menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )
Nilai Z Keterangan
48 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer,Incumbent 1 (Z* = 19)
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 9(5 cm) + 3(5 cm)
+ 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 45 + 15 + 50 + 20 + 40 + 90 )
cm = 260 cm = 2,6 m.
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )
Nilai Z Keterangan
50 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0; 2; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(90 cm) + 8(5 cm)
+ 2(5 cm) + 1(50 cm) + 2(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 90 + 40 + 10 + 50
+ 40 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m.
Page 42
xlii
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )
Nilai Z Keterangan
56 ( 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(25 cm) + 8(5 cm)
+ 3(5 cm) + 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 25 + 40 + 15 + 50
+ 20 + 40 + 90 ) cm = 280 cm = 2,8 m.
NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )
Nilai Z Keterangan
59 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 2; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer
Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(60 cm) + 8(5 cm)
+ 2(5 cm) + 2(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 60 + 40 + 10 + 100
+ 20 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m.
Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu
diameter ≥ 80 cm paling minimal diperoleh dari submasalah 48. Jadi untuk
meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm diperoleh dari
melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 9 sebanyak 9 buah, pola
pemotongan 11 sebanyak 3 buah, pola pemotongan 14 sebanyak 1 buah, pola
pemotongan 17 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 18 sebanyak 2 buah dan pola
pemotongan 22 sebanyak 3 buah.
Page 43
xliii
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut
1. Model matematika berbentuk program bilangan bulat untuk meminimalkan
nilai total sisa pemotongan kayu adalah
a. Kayu berdiameter 50–79 cm
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
kendala :
10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140
x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64
x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32
x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat.
b. Kayu berdiameter ≥ 80 cm
Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 +
x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
kendala :
11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11
+ 3x12 + 2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52
x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 +
3x20 + x21 + x22 > 24
x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18
x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12
x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat
31
Page 44
xliv
2. Untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu dilakukan pemotongan
kayu dengan cara
a. Pada pemotongan kayu berdiameter 50–79 cm dilakukan pemotongan
dengan menggunakan pola pemotongan 1 sebanyak 1 buah, pola
pemotongan 2 sebanyak 13 buah, pola pemotongan 5 sebanyak 1 buah,
pola pemotongan 8 sebanyak 24 buah dan pola pemotongan 9 sebanyak
4 buah.
b. Pada pemotongan kayu berdiameter ≥ 80 cm dilakukan pemotongan
dengan menggunakan pola pemotongan 9 sebanyak 9 buah, pola
pemotongan 11 sebanyak 3 buah, pola pemotongan 14 sebanyak 1 buah,
pola pemotongan 17 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 18 sebanyak
2 buah dan pola pemotongan 22 sebanyak 3 buah.
5.2 Saran
Penulis menyarankan kepada para pembaca, khususnya yang tertarik pada
bidang Riset Operasi, agar dapat menindaklanjuti hasil penelitian penulis ini. Pada
penulisan ini, dibahas pola pemotongan satu dimensi. Selanjutnya dapat dibahas
pola pemotongan dua dimensi.
Page 45
xlv
DAFTAR PUSTAKA
Bronson, R. Alih Bahasa : Hans J. Waspakrik. (1996). Teori dan Soal-Soal
Operations Research. Erlangga. Jakarta.
Bustani, H. (2005). Fundamental Operation Research. PT Gramedia
Pustaka Utama. Jakarta.
Hiller, F.S, and Lieberman, G.J (1994). Pengantar Riset Operasi. Penerbit
Erlangga, Jakarta.
Linawati, L. (2005). Model Pemrograman Multi Tujuan untuk
Permasalahan Cutting Stock Berdimensi-satu dengan Panjang
Bahan Bervariasi dan Persediaan Terbatas, Prosiding Seminar
Nasional Matematika dan Informatika, Jurusan Matematika UNS.
MDH Gamal, Z.B. (2003). Pendekatan Program Linear Untuk Persoalan
Pemotongan Stok (Pola Pemotongan Satu Dimensi), Jurnal Natur
Indonesia 5(2): 113-118.
Mulyono, S. (1991). Operations Research. Lembaga Penerbit Fakultas
Ekonomi Universitas Indonesia. Jakarta.
Taha, H.A. (1996). Riset Operasi : Suatu Pengantar. Binapura Aksara.
Jakarta.
33
Page 46
xlvi
LAMPIRAN 1
Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm
No Panjang dalam (cm)
Diameter dalam (cm)
Luas penampang (cm2)
Isi Logs (m3)
1 800 52 2122,64 1,7
2 630 55 2374,625 1,5
3 640 56 2461,76 1,58
4 1540 56 2461,76 3,79
5 1010 57 2550,465 2,58
6 670 58 2640,74 1,77
7 800 58 2640,74 2,11
8 800 58 2640,74 2,11
9 1000 58 2640,74 2,64
10 1270 58 2640,74 3,36
11 1470 59 2732,585 4,02
12 800 60 2826 2,26
13 670 62 3017,54 2,02
14 920 62 3017,54 2,78
15 1140 62 3017,54 3,44
16 740 63 3115,665 2,31
17 1070 63 3115,665 3,34
18 830 64 3215,36 2,67
19 1400 64 3215,36 4,5
20 790 65 3316,625 2,62
21 780 66 3419,46 2,67
22 790 66 3419,46 2,7
23 1010 66 3419,46 3,46
24 1340 66 3419,46 4,58
25 1450 66 3419,46 4,96
26 1610 66 3419,46 5,51
27 1090 67 3523,865 3,84
28 1000 67 3523,865 3,53
29 970 68 3629,84 3,52
30 1010 68 3629,84 3,67
31 1060 68 3629,84 3,85
Page 47
xlvii
lanjutan Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm
32 800 69 3737,385 2,99
33 1570 69 3737,385 5,87
34 1100 70 3846,5 4,23
35 890 71 3957,185 3,52
36 1190 71 3957,185 4,71
37 820 71 3957,185 3,25
38 1470 72 4069,44 5,99
39 800 73 4183,265 3,35
40 820 73 4183,265 3,43
41 1000 73 4183,265 4,19
42 1030 73 4183,265 4,31
43 1170 74 4298,66 5,03
44 1010 75 4415,625 4,46
45 1230 75 4415,625 5,43
46 800 77 4654,265 3,73
47 1140 77 4654,265 5,31
48 1420 77 4654,265 6,61
49 1190 78 4775,94 5,69
50 810 78 4775,94 3,87
51 1170 79 4899,185 5,73
52 800 79 4899,185 3,92
53 940 79 4899,185 4,61
Σ 54270 189556,3 195,62
x 1023.962 3576,534
Sumber : Data sekunder pada PT. Indo Veneer Utama
Page 48
xlviii
LAMPIRAN 2
Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter ≥ 80 cm
No Panjang dalam (cm)
Diameter dalam (cm)
Luas penampang (cm2)
Isi Logs (m3)
1 1090 80 5024 5,48
2 800 81 5150,385 4,12
3 800 81 5150,385 4,12
4 1250 81 5150,385 6,44
5 1490 81 5150,385 7,68
6 1660 81 5150,385 8,55
7 700 82 5278,34 3,7
8 1010 82 5278,34 5,33
9 1040 82 5278,34 5,49
10 1480 82 5278,34 7,82
11 860 84 5538,96 4,77
12 1370 84 5538,96 7,59
13 1420 84 5538,96 7,87
14 800 86 5805,86 4,65
15 820 86 5805,86 4,76
16 1520 86 5805,86 8,83
17 970 90 6358,5 6,17
18 800 92 6644,24 5,32
19 810 92 6644,24 5,38
20 1040 92 6644,24 6,91
21 1470 92 6644,24 9,77
22 800 93 6789,465 5,43
23 1180 93 6789,465 8,02
24 1200 93 6789,465 8,15
25 1490 94 6936,26 10,34
26 1460 96 7234,56 10,57
27 1010 100 7850 7,93
28 1420 101 8007,785 11,38
29 800 102 8167,14 6,54
30 800 103 8328,065 6,67
31 840 103 8328,065 7
Page 49
xlix
lanjutan Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter ≥ 80 cm
32 1560 104 8490,56 13,25
33 1600 105 8654,625 13,85
34 990 106 8820,26 8,74
35 1200 106 8820,26 10,59
36 800 108 9156,24 7,33
37 1270 111 9671,985 12,29
38 1560 115 10381,63 16,2
39 890 117 10745,87 9,57
Σ 44070 268820,9 304,6
x 1130 6892,843
Sumber : Data sekunder pada PT. Indo Veneer Utama
Page 50
l
LAMPIRAN 3
Metode 2 Tahap
Tahap I
Tabel awal untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm
V
B
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x1
0
x1
1
x1
2
R1 R2 R3 Sol
usi
Ra
tio
r 10,
00
9,
00
7,
00
6,
00
6,
00
5,
00
5,
00
4,
00
3,
00
-
1,
00
-
1,
00
-
1,
00
0,
00
0,
00
0,
00
236
,00
R
1
10,
00
8,
00
5,
00
5,
00
3,
00
3,
00
1,
00
1,
00
1,
00
-
1,
00
0,
00
0,
00
1,
00
0,
00
0,
00
140
,00
14
*
R
2
0,0
0
1,
00
2,
00
0,
00
3,
00
1,
00
4,
00
2,
00
0,
00
0,
00
-
1,
00
0,
00
0,
00
1,
00
0,
00
64,
00
-
R
3
0,0
0
0,
00
0,
00
1,
00
0,
00
1,
00
0,
00
1,
00
2,
00
0,
00
0,
00
-
1,
00
0,
00
0,
00
1,
00
32,
00
-
Tabel Iterasi I untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm
VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 R1
r 0,00 1,00 2,00 1,00 3,00 2,00 4,00 3,00 2,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00
x1 1,00 0,80 0,50 0,50 0,30 0,30 0,10 0,10 0,10 -0,10 0,00 0,00 0,10
R2 0,00 1,00 2,00 0,00 3,00 1,00 4,00 2,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
R3 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 -1,00 0,00
Tabel Iterasi II untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm
VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12
r 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 -1,00
x1 1,00 0,78 0,45 0,50 0,23 0,28 0,00 0,05 0,10 -0.1 0.03 0,00
x7 0,00 0,25 0,50 0,00 0,75 0,25 1,00 0,50 0,00 0,00 -0.25 0,00
R3 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 -1,00
Tabel Iterasi III untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm
VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12
r 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Page 51
li
x1 1,00 0,78 0,45 0,45 0,23 0,23 0,00 0,00 0,00 -0,10 0,03 0,05
x7 0,00 0,25 0,50 0,00 0,75 0,25 1,00 0,50 0,00 0,00 -0,25 0,00
x9 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,00 -0,50
Tahap II
Minimalkan Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
x1 + 0,78x2 + 0,45x3 + 0,45x4 + 0,23x5 + 0,23x6 – 0,1x10 + 0,03x11 + 0,05x12 =
10,8
0,25x2 + 0,5x3 + 0,75x5 + 0,25x6 + x7 + 0,5x8 – 0,25x11 = 16
0,5x4 + 0,5x6 + 0,5x8 + x9 – 0,5x12 = 16
Minimalkan Z = - 0,025x2 + 0,05x3 + 0,5x4 + 0,025x5 + 0,025x6 + 0,1x10 +
0,225x11 + 0,45x12 + 42,8
Tabel Tabel awal untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter 50-79 cm
VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
Z 0,00 0,025 - 0,05 - 0,50 - 0,025 - 0,025 0,00 0,00 0,00 - 0,10 - 0,025
x1 1,00 0,78 0,45 0,45 0,23 0,23 0,00 0,00 0,00 -0,10 0,03
x7 0,00 0,25 0,50 0,00 0,75 0,25 1,00 0,50 0,00 0,00 -0,
x9 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,5 0,00 0,50 1,00 0,00 0,00
Tabel Iterasi I untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter 50-79 cm
VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Z - 0,03 0,00 - 0,06 - 0,06 - 0,03 - 0,03 0,00 0,00 0,00 - 0,
x2 1,29 1,00 0,58 0,58 0,29 0,29 0,00 0,00 0,00 -0,1
x7 - 0,32 0,00 0,35 - 0,15 0,68 0,18 1,00 0,50 0,00 0,03
x9 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00
Page 52
lii
LAMPIRAN 4
Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm
Keterangan : simbol X menunjukkan bahwa submasalah tersebut tidak
dicabangkan lagi.
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm
0
Z = 42,45 1
2
Z = 42,45
Z = 42,5
3
4
Z = 42,45
Z = 42,48
5
6
Z = 42,45
Z = 42,5
7
8
Z = 42,45
Z = 42,48
x7 < 12
9
10
Z = 42,45
Z = 42,5
x7 > 13
x9 < 15
x7 < 11
x9 < 14
x7 < 10
x9 > 16
x7 > 12
x9 > 15
x7 > 11
11
12
Z = 42,48
x9 < 13
x9 > 14
X
X
X
X
X
Z = 42,45
19
Z = 42,45 21
Z = 42,45 23
24
Z = 42,45
x7 < 7
x9 < 10
x9 > 11
25
26
Z = 42,
x7 < 6
x7 > 7
X
Z = 42,45
Page 53
liii
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm
27
Z = 42,45 29
30
Z = 42,45 31
32
Z = 42,45
Z = 42,48
33
34
Z = 42,45
Z = 42,5
35
36
Z = 42,45
Z = 42,48
x7 < 5
37
38
Z = 42,45
Z = 42,5
x7 > 6
x9 < 8
x7 < 4
x9 < 7
x7 < 3
x9 > 9
x7 > 5
x9 > 8
x7 > 4
39
40
Z = 42,48
x9 < 6
x9 > 7
X
X
X
X
X
Z = 42,45
Page 54
liv
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm
41
Z = 42,45 43
44
Z = 42,45
Z = 42,48
45
46
Z = 42,45
Z = 42,5
47
48
Z = 42,45
Z = 42,48
49
50
Z = 42,45
Z = 42,5
x9 < 5
51
52
Z = 42,5
Z = 42,48
x9 > 6
x7 < 1
x9 < 4
x7 < 0
x9 < 3
x7 > 2
x9 > 5
x7 > 1
x9 > 4 53
54
Z = 42,67
x2 < 13
x2 > 14
X
X
X
X
X Z = 42,5
Z = 42,55 61
Z = 42,75
Z = 42,64 Z = 42,67 x < 0
69
x < 0
X
Z = 42,
Page 55
lv
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm
73
Z = 42,78 75
76
Z = 43
Z = 42,82
77
78
Z = 42,89
Z = 43
79
80
Z = 43,2
Z = 42,91
Z = 43x6 < 2
x6 > 3 x2 < 9
x6 < 3
x2 < 8
x2 > 10
x6 > 4
x2 > 9
Page 56
lvi
LAMPIRAN 5
Tabel Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan dan Pembatasan untuk
Pemotongan Kayu Diameter 50–79 cm
NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )
Nilai Z
Keterangan
0 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12,54; 0; 16 ) 42,45 Z* = ∞
1 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12; 1,03;
15,48 )
42,45
2 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 16 ) 42,5
3 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11,52; 2; 15 ) 42,45
4 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 12; 0; 16 ) 42,48
5 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11; 3,03;
14,48 )
42,45
6 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 12; 2; 15 ) 42,5
7 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 10,52; 4; 14 ) 42,45
8 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 11; 2; 15 ) 42,48
9 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 10; 5,03;
13,48 )
42,45
10 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 11; 4; 14 ) 42,5
11 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 9,52; 6; 13 ) 42,45
12 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 10; 4; 14 ) 42,48
13 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 9; 7,03;
12,48 )
42,45
14 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 10; 6; 13 ) 42,5
15 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 8,52; 8; 12 ) 42,45
16 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 9; 6; 13 ) 42,48
17 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 8; 9,03;
11,48 )
42,45
18 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 9; 8; 12 ) 42,5
Page 57
lvii
19 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 7,52; 10; 11 ) 42,45
20 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 8; 8; 12 ) 42,48
21 (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 7; 11,03;
10,48)
42,45
22 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 8; 10; 11 ) 42,5
23 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 6,52; 12; 10 ) 42,45
24 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 7; 10; 11 ) 42,48
25 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 6; 13,03;
9,48 )
42,45
26 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 7; 12; 10 ) 42,5
27 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 5,52; 14; 9 ) 42,45
28 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 6; 12; 10 ) 42,48
29 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 5; 15,03;
8,48 )
42,45
30 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 7; 14; 9; 0 ) 42,5
31 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 4,52; 16; 8 ) 42,45
32 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 5; 14; 9 ) 42,48
33 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 4; 17,03;
7,48 )
42,45
34 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 5; 16; 8 ) 42,5
35 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 3,52; 18; 7 ) 42,45
36 ( 0; 13,94; 0; 0; 0,76; 0; 4; 16; 8 ) 42,48
37 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 3; 19,03;
6,48 )
42,45
38 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 4; 18; 7 ) 42,5
39 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 2,52; 20; 6 ) 42,45
40 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 3; 18; 7 ) 42,48
41 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 2; 21,03;
5,48 )
42,45
42 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 3; 20; 6 ) 42,5
Page 58
lviii
43 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 1,51; 22; 5 ) 42,45
44 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 2; 20; 6 ) 42,48
45 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 1; 23,03;
4,48 )
42,45
46 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 2; 22; 5 ) 42,5
47 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 0,52; 24; 4 ) 42,45
48 ( 0; 13,94; 0; 0; 0,76; 0; 1; 22; 5 ) 42,48
49 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 0; 25,03;
3,48 )
42,45
50 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 1; 24; 4 ) 42,5
51 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 0; 26; 3 ) 42,5
52 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 0; 24; 4 ) 42,48
53 ( 0,5; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 42,5
54 ( 0; 14; 0; 0; 0,67; 0; 0; 24; 4 ) 42,67
55 ( 0; 13; 1,56; 0,06; 0; 0; 0; 23,94;
4 )
42,56
56 ( 1; 12,29; 0; 0; 1,24; 0; 0; 24; 4 ) 42,52
57 ( 1,2; 12; 0; 0; 1,33; 0; 0; 24; 4 ) 42,53
58 ( 1; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 43 Integer, Incumbent 1
(Z* = 43)
59 ( 1,05; 12; 0,5; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 42,55
60 ( 2,6; 10; 0; 0; 2; 0; 0; 24; 4 ) 42,6
61 ( 1,25; 12; 0; 0; 1; 0; 0; 24,5; 4 ) 42,75
62 ( 1; 11,86; 1; 0; 0,71; 0; 0; 24; 4 ) 42,57
63 ( 1; 11,27; 2,36; 0; 0; 0; 0; 24; 4 ) 42,64
64 ( 1,6; 11; 1; 0; 0; 0; 0; 24; 4 ) 42,6
65 ( 1; 11,6; 1; 0,3; 1; 0; 0; 23,7; 4 ) 42,6
66 ( 2; 10,27; 1,36; 0; 0; 1; 0; 24; 4 ) 42,64
67 ( 1; 11; 1,67; 0,67; 1; 0; 0; 23,33;
4 )
42,67
Page 59
lix
68 ( 1; 12; 1; 0,5; 1; 0; 0; 23,5; 4 ) 43 Z > Z*
69 ( 1; 11; 1,67; 0; 1; 1,33; 0; 22,67;
4 )
42,67
70 ( 1; 10,45; 2,27; 1; 1; 0; 0; 23; 4 ) 42,73
71 ( 1; 11; 1; 0; 1; 2,4; 0; 22,8; 4 ) 43,2 Z > Z*
72 ( 1; 10,7; 2; 0; 1; 1,7; 0; 22,3; 4 ) 42,7
73 ( 1; 10; 2,78; 0; 1; 2,56; 0; 21,44;
4 )
42,78
74 ( 1; 11; 2; 0; 1; 0,5; 0; 23,5; 4 ) 43 Z > Z*
75 ( 1; 10; 3; 0; 1; 2; 0; 22; 4 ) 43 Integer (Z* = 43)
76 ( 1; 9,64; 3,18; 0; 1; 3; 0; 21; 4 ) 42,82
77 ( 1; 9; 3,89; 0; 1; 3,78; 0; 20,22; 4
)
42,89
78 ( 1; 10; 2,5; 0; 1; 3; 0; 21,5; 4 ) 43 Z > Z*
79 ( 1; 9; 4,2; 0; 1; 3; 0; 21; 4 ) 43,2 Z > Z*
80 ( 1; 8,82; 4,09; 0; 1; 4; 0; 20; 4 ) 42,91
81 ( 1; 8; 5; 0; 1; 5; 0; 19; 4 ) 43 Integer (Z* = 43)
82 ( 1; 9; 3,75; 0; 1; 4; 0; 20,25; 4 ) 43 Z > Z*
Page 60
lx
LAMPIRAN 6
Metode 2 Tahap
Tahap I
Tabel Iterasi Awal untuk Tahap I untuk kayu dengan
diameter ≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14
r 11,00 10,00 9,00 8,00 8,00 7,00 7,00 7,00 7,00 6,00 6,00 6,00 6,00 5,00
R1 11,00 9,00 8,00 6,00 6,00 6,00 5,00 4,00 4,00 4,00 4,00 3,00 2,00 2,00
R2 0,00 1,00 0,00 2,00 1,00 0,00 0,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,00 4,00 2,00
R3 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00
R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 lanjutan Tabel Iterasi Awal
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 5,00 4,00 4,00 3,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 5,00 3,00 1,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00
Tabel Iterasi I untuk Tahap I untuk kayu dengan
diameter ≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 r 0,00 1,00 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 3,00 3,00 2,00 2,00 3,00 4,00 3,00x1 1,00 0,82 0,73 0,55 0,55 0,55 0,45 0,36 0,36 0,36 0,36 0,27 0,18 0,18R2 0,00 1,00 0,00 2,00 1,00 0,00 0,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,00 4.00 2,00R3 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 1.00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00
lanjutan Tabel Iterasi I
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 5,00 4,00 4,00 3,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,09 0,00 0,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 5,00 3,00 1,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00
Page 61
lxi
Tabel Iterasi II untuk Tahap I untuk kayu dengan
diameter ≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 xr 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 2,00 0,00 1,00 1,00 2,00 2,00 0,00 1,00 2x1 1,00 0,82 0,73 0,55 0,55 0,55 0,45 0,36 0,36 0,36 0,36 0,27 0,18 0,18 0x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0R3 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2
lanjutan Tabel Iterasi II
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 Solusi0,00 1,00 3,00 2,00 0,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,09 0,00 0,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00
Tabel Iterasi III untuk Tahap I untuk kayu dengan
diameter ≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 xr 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,55 0,33 0,36 0,30 0,36 0,30 0,15 0,18 0,18 0x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 0,33 0,00 0,33 0,67 0,00 0,00 0R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2
lanjutan Tabel Iterasi III
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 Solusi 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 12,00 0,00 0,00 -0,18 0,00 -0,09 0,00 0,06 0,00 0,09 0,00 -0,06 0,00 3,65 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00 4,80 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,33 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00 6,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 12,00
Tabel Iterasi IV untuk Tahap I untuk kayu dengan
diameter ≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
r 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,46 0,33 0,36 0,30 0,27 0,21 0,15 0,18 0,09 0,x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0,x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 0,33 0,00 0,33 0,67 0,00 0,00 0,x15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,50 1,
Page 62
lxii
lanjutan Tabel Iterasi IV
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 Solusi0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 -0,09 -0,18 -0,18 -0,09 0,00 0,06 0,09 0,09 0,00 -0,06 -0,09 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,33 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00 0,00 0,50 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,50 0,00 0,00 0,00 0,50
Tahap II
Minimalkan Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 +
x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22
x1 + 0,82x2 + 0,67x3 + 0,55x4 + 0,49x5 + 0,46x6 + 0,33x7 + 0,36x8 + 0,3x9 +
0,27x10 + 0,21x11 + 0,15x12 + 0,18x13 + 0,09x14 – 0,03x17 – 0,12x18 – 0,09x20 –
0,18x21 – 0,09x22 = 2,57
0,2x2 + 0,4x4 + 0,2x5 + 0,6x8 + 0,4x9 + 0,2x10 + 0,2x12 + 0,8x13 + 0,4x14 + 0,4x17
+ x19 – 0,6x20 – 0,2x21 – 0,2x22 = 4,8
0,33x3 + 0,33x5 + 0,67x7 + 0,33x9 + 0,33x11 + 0,67x12 + x16 + 0,67x17 + 0,67x18 +
x21 = 6
0,25x6 + 0,25x10 + 0,25x11 + 0,25x14 + 0,5x15 + 0,25x18 + 0,25x20 + 0,5x22 = 3
Minimalkan Z = – 0,02x2 + 0,05x4 – 0,02x5 + 0,04x6 + 0,04x8 – 0,04x9 + 0,03x10
– 0,05x11 – 0,02x12 + 0,02x13 + 0,01x14 – 0,04x17 – 0,05x18 +
0,14x20 + 0,18x21 + 0,27x22 + 19,37
Tabel Iterasi Awal untuk Tahap II untuk kayu dengan
diameter ≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
Z 0,00 0,02 0,00 -0,05 0,02 -0,04 0,00 -0,04 0,04 -0,03 0,05 0,02 -0,02 -0,01 0,x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,41 0,33 0,36 0,30 0,23 0,17 0,15 0,18 0,05 -0.09x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0,x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 0,33 0,00 0,33 0,67 0,00 0,00 0,x15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,00 0,00 0,00 0,25 0,25 0,00 0,00 0,25 0,
lanjutan Tabel Iterasi Awal
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 0,00 0,01 0,02 0,02 -0,09 -0,20 -0,27 -0,41
Page 63
lxiii
0,00 -0,14 -0,18 -0,27 -0,09 0,00 0,06 0,14 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,33 0,00 0,00 0,25 0,00 0,50 0.00 0,00 0,00 -0,25
Tabel Iterasi I untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter
≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 Z 0,00 0,02 0,00 -0,05 0,02 -0,09 0,00 -0,04 0,04 -0,07 0,00 0,02 -0,02 -0,06 x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,24 0,33 0,36 0,30 0,06 0,00 0,15 0,18 -0,12 x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 -0,33 0,67 0,00 0,33 -0,33 0,00 0,67 0,00 -0,33 x11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00
lanjutan Tabel Iterasi I
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 0,00 -0,04 0,02 -0,07 -0,09 -0,20 -0,27 -0,36 0,00 -0,30 -0,18 -0,61 -0,09 0,00 0,06 0,30 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 -0,33 1,00 -0,67 0,00 0,00 -0,33 0,33 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00
Tabel Iterasi II untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter
≥ 80 cm
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
Z -0,12 -0,08 -0,08 -0,12 -0,04 -0,12 -0,04 -0,08 0,00 -0,08 0,00 0,00 -0,04 -0,04 -0x9 3,29 2,69 2,20 1,80 1,60 0,80 1,10 1,20 1,00 0,20 0,00 0,50 0,60 -0,40 -1x19 -1,32 -0,88 -0,88 -0,32 -0,44 -0,32 -0,44 0,12 0,00 0,12 0,00 0,00 0,56 0,56 0,x16 -1,10 -0,90 -0,40 -0,60 -0,20 -0,60 0,30 -0,40 0,00 -0,40 0,00 0,50 -0,20 -0,20 -0x11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2,
lanjutan Tabel Iterasi II
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 0,00 0,00 0,04 0,00 -0,08 -0,20 -0,28 -0,40 0,00 -1,00 -0,59 -2,00 -0,30 0,00 0,20 1,00 1,00 1,00 0,44 1,00 0,12 -0,20 -0,08 -0,40 0,00 0,00 1,20 0,00 0,10 0,00 -0,40 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00
Tabel Iterasi III untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter
≥ 80 cm
Page 64
lxiv
VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
Z -0,06 -0,03 -0,06 -0,09 -0,03 -0,09 -0,06 -0,06 0,00 -0,06 0,00 -0,03 -0,03 -0,03 -0x9 3,14 2,57 2,14 1,71 1,57 0,71 1,14 1,14 1,00 0,14 0,00 0,57 0,57 -0,43 -1x19 -0,63 -0,31 -0,63 0,06 -0,31 0,06 -0,63 0,37 0,00 0,37 0,00 -0,31 0,69 0,69 0,x17 -1,57 -1,29 -0,57 -0,86 -0,29 -0,86 0,43 -0,57 0,00 -0,57 0,00 0,71 -0,29 -0,29 -0x11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2,
lanjutan Tabel Iterasi III
x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 Solusi0,00 0,00 -0,03 0,00 -0,09 -0,20 -0,26 -0,40 18,690,00 -1,00 -0,43 -2,00 -0,29 0,00 0,14 1,00 0,29 1,00 1,00 -0,31 1,00 0,06 -0,20 0,17 -0,40 3,54 0,00 0,00 1,71 0,00 0,14 0,00 -0,57 0,00 2,86 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 12,00
Page 65
lxv
LAMPIRAN 7
Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm
Keterangan : simbol X menunjukkan bahwa submasalah tersebut tidak
dicabangkan lagi.
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm
0
1
2
Z = 18,69
Z = 18,73
3
4
Z = 18,69
Z = 18,73
5
6
Z = 18,69
Z = 18,69
7
8
Z = 18,69
Z = 18,73
x19 < 3
9
10
Z = 18,71
Z = 18,69
x19 > 4
x22 < 3
x19 < 0
x20 < 3
x22 < 0
x22 > 4
x19 > 1
x20 > 4
x22 > 1 11
12
Z = 18,
x20 < 2
x20 > 3
X
X
X
X
X Z = 18,69
Z = 18,69
15
Z = 18,69 17
Z = 18,71
19
Z = 18,71 21
Z = 18,71 23
24
Z = 18,71
x22 < 2 x9 < 10
x11 < 4
x11 > 5
25
26
Z = 18,
x18 < 0
x18 > 1
X
Z = 18,
Page 66
lxvi
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm
30
Z = 18,71 31
32
Z = 18,71
Z = 18,71
33
34
Z = 18,71
Z = 18,73
35
36
Z = 18,71
Z = 18,73
37
38
Z = 18,77
Z = 18,73
x9 < 9
39
40
Z = 18,74
Z = 18,73
x9 > 10
x15 < 0
x13 < 0
x14 < 0
x9 < 7
x15 > 1
x13 > 1
x14 > 1
x9 > 8 41
42
Z = 18,7
x18 < 3
x18 > 4
X
X
X
X
X Z = 18,7
Page 67
lxvii
lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm
45
Z = 18,73 47
48
Z = 18,73
Z = 19 = Z*
49
50
Z = 18,74
Z = 19
51
52
Z = 18,74
Z = 19
53
54
Z = 18,75
Z = 19
x9 < 8
55
56
Z = 18,75
Z = 19
x9 > 9
x17 < 1
x21 < 0
x12 < 0
x5 < 0
x17 > 2
x21 > 1
x12 > 1
x5 > 1
57
58
Z =
x16 < 0
x16 > 1
Z = 18,7
Page 68
lxviii
LAMPIRAN 8
Tabel Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan dan Pembatasan untuk
Pemotongan Kayu Diameter ≥ 80 Cm
NILAI Submasalah
Variabel keputusan
( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,
x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20,
x21, x22 )
Nilai Z
Keterangan
0 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,29; 0; 12; 0;
0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0; 0 )
18,69 Z* = ∞
1 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,23; 0; 2,06;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0; 0; 0; 3,54 )
18,69
2 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,18; 0; 12; 0;
0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 0 )
18,73
3 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,14; 0; 3,14;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 0; 3 )
18,69
4 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,18; 0; 4; 0; 0;
0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 4 )
18,73
5 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,69; 0; 5,6; 0;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0 )
18,69
6 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,69; 0; 6,6; 0;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 1; 2,54; 0; 0 )
18,69
7 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,23; 0; 5,06;
0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3; 0; 0,54 )
18,69
8 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 4,18; 0; 8; 0; 0;
0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 4; 0; 0 )
18,73
9 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,5; 0; 4,33; 0;
0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 3; 0; 0 )
18,71
10 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,69; 0; 4,6; 0;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 2,54; 0; 1)
18,69
Page 69
lxix
11 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,23; 0; 4,06;
0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 2; 0; 1,54)
18,69
12 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,18; 0; 7; 0; 0;
0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 3; 0; 1 )
18,73
13 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 3,33; 0;
0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 2; 0; 1 )
18,71
14 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,69; 0; 3,6; 0;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 1,54; 0; 2)
18,69
15 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,23; 0; 3,06;
0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 1; 0; 2,54)
18,69
16 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,18; 0; 6; 0; 0;
0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 2; 0; 2 )
18,73
17 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,5; 0; 2,33; 0;
0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 1; 0; 2 )
18,71
18 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,69; 0; 2,6; 0;
0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 3)
18,69
19 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,5; 0; 1,33;
0; 0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 0; 0; 3 )
18,71
20 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,18; 0; 5; 0; 0;
0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 1; 0; 3 )
18,73
21 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,42; 0; 4,42;
0; 0; 0; 0,79; 0; 3,08; 0; 0; 0; 0; 3 )
18,71
22 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11; 0; 0,67; 0;
0; 0; 1,08; 0; 0; 3,17; 0; 0; 0; 3 )
18,92
23 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,83; 0; 4; 0; 0;
0; 0,79; 0; 2,67; 0,42; 0; 0; 0; 3 )
18,71
24 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,83; 0; 5; 0;
0,79; 0; 0; 0; 2,08; 1; 0; 0; 0; 3 )
18,71
25 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,68; 0; 4; 0; 0;
0; 1; 0,23; 2,82; 0; 0; 0; 0; 3 )
18,73
Page 70
lxx
26 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,42; 0; 3,42;
0; 0; 0; 0,79; 0; 2,08; 1; 0; 0; 0; 3 )
18,71
27 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,83; 0; 3; 0; 0;
0; 0,79; 0; 1,67; 1,42; 0; 0; 0; 3 )
18,71
28 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,83; 0; 4; 0;
0,79; 0; 0; 0; 1,08; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,71
29 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,68; 0; 3; 0; 0;
0; 1; 0,23; 1,82; 1; 0; 0; 0; 3 )
18,73
30 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,42; 0; 2,42;
0; 0; 0; 0,79; 0; 1,08; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,71
31 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2,83; 0;
0,21; 0; 0,58; 0; 1,08; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,71
32 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10; 0; 1,83; 0;
0; 0; 0,79; 0; 0,5; 2,58; 0; 0; 0; 3 )
18,71
33 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,83; 0; 3; 0;
0,79; 0; 0,08; 0; 0; 3; 0; 0; 0; 3 )
18,71
34 ( 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2; 0; 0;
0; 1; 0; 1,5; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,73
35 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,83; 0; 3; 0; 0;
0,79; 0; 0; 0,88; 2,21; 0; 0; 0; 3 )
18,71
36 ( 0,06; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 3; 0;
1; 0; 0; 0,17; 0; 3; 0; 0; 0; 3 )
18,73
37 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,46; 7,62; 1; 3;
0; 0; 0; 0; 0; 1,69; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,77
38 ( 0; 0,45; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,55; 0; 3;
0; 0; 1; 0; 0; 1,73; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,73
39 ( 0; 0,68; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 2,89;
0; 0; 1,11; 0; 0; 2,05; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,74
40 ( 0; 0,45; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1,55;
0; 0; 1; 0; 0; 0,27; 3,45; 0; 0; 0; 3 )
18,73
Page 71
lxxi
41 ( 0; 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2; 0; 0;
1; 0; 0; 0,5; 3; 0; 0; 0; 3 )
18,73
42 ( 0; 0,68; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 0,89;
0; 0; 1,11; 0; 0; 0,05; 4; 0; 0; 0; 3 )
18,74
43 ( 0; 0,03; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2,87;
0; 0; 1,13; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0,71; 3 )
18,74
44 ( 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 2,5;
0; 0; 1; 0; 0; 1; 2,5; 0; 0; 0; 3 )
18,73
45 ( 0,06; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 3; 0;
0; 1; 0; 0,17; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,73
46 ( 0; 0,65; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,09; 0;
1,91; 0; 0; 1,09; 0; 0; 1; 3; 0; 0; 0; 3 )
18,74
47 ( 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0;
1; 0; 0; 1,5; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,73
48 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 3; 0; 0; 1;
0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer,Incumbent1
(Z* = 19)
49 ( 0; 0,36; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8; 0; 2,87;
0; 0; 1,13; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0,38; 3 )
18,74
50 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 1;
0; 0; 2; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer (Z* = 19)
51 ( 0; 0,17; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8; 0; 2,87;
0,57; 0; 1,13; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,74
52 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1,75; 0; 0; 8; 0; 1; 0; 0;
1,25; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 1; 3 )
19 Z > Z*
53 ( 0; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0; 0; 8; 0; 2,75; 0;
0; 1,25; 0; 0,25; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,75
54 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0; 8; 0; 2; 1; 0;
1,5; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Z > Z*
55 ( 0; 0,13; 0; 0; 0; 0; 0; 0,29; 8; 0; 3;
0; 0; 1; 0; 0,33; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,75
Page 72
lxxii
56 ( 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0; 1;
0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer (Z* = 19)
57 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,69; 0,08; 8; 0;
2,62; 0; 0; 1,38; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,77
58 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1,25; 0; 0; 8; 0; 1; 0; 0;
1,75; 0; 1; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Z > Z*
59 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 2;
0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19 Integer (Z* = 19)
60 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,5; 0,33; 8; 0; 3; 0;
0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
18,83
61 ( 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0,33; 8; 0; 3; 0; 0;
1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19,33 Z > Z*
62 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0,33; 8; 0; 3; 0; 0;
1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )
19,33 Z > Z*