Pengertian Persamaan linear satu variabelPersamaan linear satu
variabel merupakan sebuah konsep kalimat terbuka yang hanya
memiliki sebuah variabel berpangkat satu. Kalimat terbuka tersebut
biasanya dihubungkan sengan sebuah tanda sama dengan (=).
Contoh persamaan linear satu variabel adalah:
x - 3 = 03x + 2 = 8
PENTING:Kalimat terbuka merupakan sebuah kalimat yang di
dalamnya terkandung satu atau lebih variabel yang nilai
kebenarannya belum diketahui. Contoh kalimat terbuka adalah"
x+ 3 = 5p + 2 = 7
x dan p disebut sebagai sebuah variabel.
Contoh soal dan cara menyelesaikan soal persamaan linear satu
variabel
Pertama:Cara menyelesaikan persamaan linear yang pertama adalah
dengan menambahkan atauoun mengurangkan masing-masing ruas (kanan
dan kiri) dengan menggunakan bilangan yang sama. Contohnya:
Carilah penyelesaian dari x + 8 = 4
Cara menjawabnya:Kita harus menghilangkan angka 8 agar tersisa
variabel x saja, karena angka 8 di dalam persamaan tersebut
bernilai positif maka kita harus menyisipkan angka negatif pada
ruas kanan dan kiri menjadi:
x + 8 - 8 = 4-8 x = -4 (sangat mudah)
Kedua:Cara kedua yang bisa kalian gunakan dalam menyelesaikan
soal persamaan linear satu variabel adalah dengan membagi
masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan bilangan yang sama.
Contohnya:
Carilah penyelesaian dari 3x/4 = 3
Cara menjawabnya:Pertama, kalikan persamaan tersebut dengan
penyebutnya:
3x/4 . 4 = 6 . 4 3x = 24
Setelah itu, bagi kedua ruas tersebut dengan koefisien dari x ,
dalam soal tersebut adalah 3
3x/3 = 24/3 x = 8
Cukup panjang tapi tidak begitu sulit untuk diselesaikan.
Pertidakasamaan Linear Satu VariabelPertidaksamaan linear satu
variabel merupakan sebuah bentuk kalimat terbuka yang dinyatakan
dengan lambang-lambang yang menunjukkan pertidaksamaan seperti:
> = Lebih dari< = Kurang dari>= Lebih dari atau sama
dengan 5
Cara menjawabnya:
Kita aka menghilangkan angka 3 agar menyisakan x saja:
x + 3 -3>5 - 3x>2
Mudah, bukan?
KeduaCara kedua adalah dengan mengalikan/membagikan
masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan bilangan yang sama.
Contohnya:
Carilah penyelesaian dari 3x - 6 < 12
Cara menjawabnya:
3x - 6 + 6 < 12 + 6 3x < 18 3x/3 < 18/3x < 6
Demikianlah pembahasan materi yang bisa disampaikan di dalam
artikel ini mengenaiPersamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu
Variabel Kelas 7 SMP.Kalian harus terus belajar dan berlatih agar
lebih menguasai materi-materi yang telah saya sampaikan di atas.
Cobalah untuk berlatih dengan mengerjakan soal-soal seputar
persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Itu akan semakin
mengasah kemampuan kalian dalam menjawab berbagai jenis soal
matematika.
Kalimat terbukaadalah suatu kalimat yang belum dikatakan benar
atau salah.Contoh:
Jika variabeldiganti dengan angka 7, maka hasilnya salah.
Sebaliknya, jika variabeldiganti dengan angka 8, maka hasilnya
benar.Telah dijelaskan bahwapersamaan linear satu variabeladalah
persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari
variabel tersebut adalah satu.Contoh:
Kedua kalimat di atas disebutpersamaan.Persamaanadalah kalimat
terbuka yang menyatakan hubungan = (sama dengan).Contoh: Tentukan
persamaan dari. 2x - 1 = 5 2x=5+1 2x= 6 x=3 Tentukan persamaan
dari. 2 + 5 = 5 - 10 2 + 5 - 5 = 5 - 10 - 5 2 = 5 - 15 15 = 5 - 2
15 = 3 3.1/3 = 15.1/3 = 5
Pertidaksamaan linear satu variabeladalah pertidaksamaan yang
memuat satu variabel dan pangkat terbesarnya adalah
satu.Pertidaksamaan linear satu variabel menggunakan tanda,,
dan.Keterangan: lebih dari kurang dari sama dengan lebih dari sama
denganContoh: Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dari. 5x +
2 > 8 5x + 2 - 2 > 8-2 5x > 6 5x/5 > 6/5 x >
1,2T
Persamaan Linear Satu Variabel1.Kalimat Terbuka, Variabel, dan
Konstantaa.Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat
diketahui nilai kebenarannya.b.Variable (peubah) adalah lambang
(symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang
anggota himpunan yang telah ditentukanc.Konstanta adalah lambang
yang menyatakan suatu bilangan tertentuPada kalimat berikut x + 5 =
12Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai
(x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang
bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau
salah. Jika (x) diganti dengan 3 , kalimat itu bernilai salah ;
tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar.
Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam
abjad lainnya, yaitu ; a, b,c, x,y,z dari bentuk diatasx+5 +12
(kalimat terbuka)3+ 5 = 12 (kalimat Salah )7+5 = 12 (kalimat
benar)Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan
5 dan 12 disebut konstantaContoh :Kalimat
TerbukaPeubahKonstanta
x + 13 + 17x13 dan 17
7 y = 12y7 dan 12
4z 1 = 11z-1 dan 11
Catatan :Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu
atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.contoh:x
+ 2 =5
2.Pengertian Persamaan Linier Satu VariabelPersamaan Linier Satu
Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan
( =) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 . bentuk umum
persamaan linier satu variable adalahax + b = 0contoh :1.x + 3
72.3a + 4 = 193.= 10Pada contoh diatas x, a, b adalah variable
(peubah) yang dapat diganti dengan sembarang bilangan yang memenuhi
.
3.Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)Himpuana
Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian
suatu persamaan .Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan
himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable ,
yaitu :a.Subtitusi ;b.Mencari persamaan-persamaan yang
ekuivalenSuatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang
ekuivalen, dengan cara :a.Menambah atau mengurangi kedua ruas
dengan bilangan yang samab.Mengalikan atau membagi kedua ruas
dengan bilangan bukan nol yang sama.
Contoh :1.Dengan menggunakan kode cara diatas , selesaikan
persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6)
!Jawab :3x-1+14 x P = (3,4,5,6)a.Cara subtitusi :3x-1= 14; jika x =
3 = maka 3(3) 1 = 8 (salah)3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) 1 = 11
(salah)3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) 1 = 14 (benar)3x-1= 14;
jika x = 6 = maka 3(6) 1 = 17 (salah)Jadi , penyelesaian dari
3x-1+14 adalah 5b.Mencari persamaan-persamaan yang
ekuivalenPersamaanOperasi HitungHasil
A
b.
c.3x-1=14 (i)Kedua ruas ditambah 13x-1+1 = 14 + 1 3x = 15
(ii)
3x = 15Kedua ruas dikalikan 1/33x =15x = 5 (iii)
X =5
Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan
(c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .(a)3x-1=14 3
(5) 1 = 14 14 = 14 (ekuivalen)(b). 3x =15 15 = 15 (ekuivalen)(c) x
= 5 5 = 5 (ekuivalen)Berarti 3x 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan
persamaan yang ekuivalen .4.Persamaan yang ekuivalenPersamaan yang
ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan
penyelesaian sama jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi
tertentu suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan
tanda
Contoh :1.Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan
kebalikan bilangan contoh : Carilah penyelesaian dari : 3 (3x + 4)
= 6 ( x -2) jawab :9x + 12 = 6x 129x 6x = -12-123x = -24x =24/3= -8
Jadi , HP = {-8}
2.Perhatikan persamaan 6x 3 = 2x + 1 dengan x variable pada
himpunan bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari
persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam
persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :Jawab :6x 3 = 2x +
16x 3 + 3 = 2x + 1+36x = 2x + 46x 2x = 44x = 4x = 1jadi himpunan
pnyelesaiannya adalah 1dalam garis bilangan , grafik hipunan
pnyelesaian suatu persamaan dengan satu variable dinyatakan dengan
sebuah noktah (titik) yang ditebalkan. Jadi grafik himpunan
penyelesaian dari 6x 3 = 2x + 1 adalah :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Contohnya :Gambarlah grafik penyelesaian persamaan berikut1.P +
2 = 14Jawab :P + 2 = 14-p = 14 2-p = 12Grafik :
-14 -13 -12 -11 -10 Titik pada -12 ditebalkan
2.2a + 3 = 62a = 6 32a = 3a =grafik :
Titik padaditebalkan .
B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)1.Pertidaksamaan
Linier Satu Variabel Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang
menggunakan lambing , , dan . Contohnya bentuk pertidaksamaan : y +
7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4 Pertidaksamaan linier dengan satu
variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu
variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang , , dan
. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu.
Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan
satu variable (peubah).
2.Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu
variable Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :1.Jika pada suatu
pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan
yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen
dengan pertidaksamaan semula2.Jika pada suatu pertidaksamaan
dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh
pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan
semula3.Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan
negatif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen
dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan
dibalik 4.Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara
menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK
penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang .
Contoh 1 :1.Tentukan himpunan penyelesaian 3x 7 > 2x + 2 jika
x merupakan anggota {1,2,3,4, ,15}Jawab :3x 7 > 2x + 2; x {1, 2,
3, 4 15}3x 2x 7 > 2x - 2x + 2 ( kedua ruas dikurangi 2x)x 7 >
2x 7 + 7 > 2 + 7 ( kedua ruas dikurangi7 )x > 9jadi himpunan
penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli 15}HP = {10,
11, 12, 13, 14, 15}
Contoh 2 :Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x
1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.Jawab
:3x 1 < x + 33x 1+ 1 < x + 3 + 1 (kedua ruas ditambah 1 )3x
< x + 43x + (-x) < x + (-x) +4 (kedua ruas ditambah x)2x <
4X < 2Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x <
2 adalah x = 0 atau x = 1Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1
} .Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah
sebagai berikut
-1 0 1 2 3 4 5
PenyelesaianContoh :
x + < 6 +x 13
Jawab : 5z - 2 > 13 5z > 13+2 5z > 15 z > 3
Pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang
cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel. Ada tiga cara
yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear satu
variabel yakni dengan carasubstitusi,persamaan ekuivalendanpindah
ruas. Ketiga cara di atas juga berlaku pada pertidaksamaan linear
satu variabel.
Cara SubstitusiUntuk menyelesaikan pertidaksamaan linear satu
variabel dengan cara substitusi hampir sama caranya seperti
menyelesaikan persamaan linear satu variabel dengan cara
substitusi. Untuk memahami hal tersebut sekarang perhatikan
pertidaksamaan 10 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan
bilangan asli. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda
harus mensubstitusi x dengan sembarang bilangan asli.Jika x = 1
maka:10 3 . 1 > 27 > 2 (pernyataan benar)Jika x = 2 maka:10 3
. 2 > 24 > 2 (pernyataan benar)Jika x = 2 maka:10 3 . 3 >
21 > 2 (pernyataan salah)Jika x = 4 maka:10 3 . 4 > 2 2 >
2 (pernyataan benar)Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan
10 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan
penyelesaian dari 10 3x > 2 adalah {1, 2}.
Secara umum dapat dituliskan bahwa penyelesaian dari
pertidaksamaan linear satu variabel adalah pengganti variabel dari
suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian
pertidaksamaan linear satu variabel dengan cara substitusi,
silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan p +
59 jika peubah pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda
harus mensubstitusi x dengan sembarang bilangan cacah.Jika x = 0
maka: p + 590 + 5959 (pernyataan salah)Jika x = 1 maka: p + 591 +
5969 (pernyataan salah)Jika x = 2 maka: p + 592 + 5979 (pernyataan
salah)Jika x = 3 maka: p + 593 + 5989 (pernyataan salah)Jika x = 4
maka: p + 594 + 5999 (pernyataan benar)Jika x = 5 maka: p + 595 +
59109 (pernyataan benar)Jika x = 6 maka: p + 596 + 59119
(pernyataan benar)Ternyata untuk x = 4, 5, 6, . . . pertidaksamaan
p + 59 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari
p + 59 adalah {4, 5, 6, . . }.
Penyelesaian pertidaksamaan linear dengan cara substitusi agak
sulit dilakukan karena kita harus main terka terhadap bilangan yang
akan kita masukan. Kita tahu bahwa bilangan ada tak terhingga
banyaknya. Jadi kita gunakan alternatif yang kedua untuk
menyelesaikan persamaan linear satu variabel yaitu dengan
menggunakan persamaan ekuivalen.
Persamaan EkuivalenSuatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke
dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut:
a). Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama
tanpa mengubah tanda ketidaksamaan; b). Mengalikan atau membagi
kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda
ketidaksamaan; c). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan
bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah,
dimana> menjadi , menjadi , dan menjadi .
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian suatu
pertidaksamaan linear satu variabel dengan persamaan ekuivalen,
silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 2Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3(2t
1)2t + 9 jikapeubah pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian: 3(2t 1)2t + 9 6t 3 2t + 9 6t 3 + 3 2t + 9 + 3
(ditambah 3) 6t 2t + 12 6t 2t 2t 2t + 12 (dikurangi 2t) 4t 12 ()4t
()12 (dikali ) t 3
Contoh Soal 3Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2(x
30) < 4(x 2) jikapeubah pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian: 2(x 30) < 4(x 2) 2x 60 < 4x 8 2x 60 + 60
< 4x 8 + 60(ditambah 60) 2x < 4x + 52 2x 4x < 4x 4x +
52(dikurangi 4x) 2x 52 () .2x () . 52 (dikali dantandanya berubah
karena dikalikan dengan bilangan negatif dari menjadi ) x 26
Bagaimana? Mudah bukan? Cara di atas terlalu banyak menyita
waktu dan terlalu panjang, maka ada alternatif yang boleh dibilang
paling mudah yakni dengan pindah ruas.
Pindah RuasUntuk mengerjakan pertidaksamaan linear satu variabel
caranya sama seperti mengerjakan persamaan linear satu variabel
dengan pindah ruas. Cara ini pada dasarnya sama seperti
menyelesaikan pertidaksamaan dengan persamaan ekuivalen. Oke, kita
langsung saja ke contoh soal agar Anda lebih mudah memahaminya.
Contoh Soal 4Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 6 2(y
3)3(2y 4) jika peubah pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian: 6 2(y 3) 3(2y 4) 6 2y + 6 6y 12 2y 6y 12 6 6 8y 24
y 24/ 8 y 3
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELA.KALIMAT
TERBUKA1.PernyataanDalam kehidupan sehari-hari sering kita
menjumpai berbagai macam kalimat berikuta.Jakarta adalah ibukota
Indonesiab.Gunung Merapi terletak di Jawa Tengahc.8 > -5Ketiga
kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap
orang mengakui kebenaran kalimat tersebut. Selanjutnya perhatikan
kalimat-kalimat berikut.a.Tugu Monas terletak di Yogyakartab.2 + 5
< -2c.Matahari terbenam diarah timurKetiga kalimat tersebut
merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang tidak
sependapat dengan kalimat tersebut.Kalimat yang dapat ditentukan
nilai kebenarannya(bernilai benar atau salah) disebut
pernyataan.2.Kalimat terbuka dan Himpunan penyelesaian kalimat
terbukaDapatkah kalian menjawab kalimat pernyataan Indonesia
terletak di benuax. Jikaxdiganti Asia maka kalimat itu bernilai
benar. Adapun jikaxdiganti Eropa maka kalimat tersebut bernilai
salah. Kalimat Indonesia terletak di benuax disebutkalimat
terbuka.Contoh:a.3 -x= 6, xanggota bilangan bulatb.12 y= 7,yanggota
himpunan bilangan cacahc.z 5 = 15, zanggota himpunan bilangan
asliKalimat 3 x= 6,xanggota bilangan bulat akan bernilai benar
jikaxdiganti dengan 3. Selanjutnyaxdisebut variabel, sedangkan 3
dan 6 disebut konstantaKalimat terbuka adalah kalimat yang memuat
variabel dan belum ditentukan nilai kebenarannyaVariabeladalah
lambang(simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh
sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan.Konstantaadalah
nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.Sekarang
perhatikan kalimat9. Jika variabel x diganti -3 atau 3 maka
kalimat= 9 bernilai benar. Dalam hal inix= -3 ataux= 3 adalah
penyelesaian dari kalimat terbuka9. Jadi himpunan penyelesaian= 9
adalah {-3, 3}.
Himpunan penyelesaian dari kalimat terbukaadalah himpunan dari
semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka
sehingga kalimat tersebut bernilai benar.
UJI KOMPETENSI 11.Tentukan nilai kebenaran kalimat
berikut.a.Jumlah dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan
genapb.18 + 6 = 6 + 18 merupakan sifat asosiatif penjumlahanc.Hasil
kali 3 dan 9 adalah 21d.Arti 45 adalah 5 + 5 + 5 + 5e.Jika p dan q
adalah bilangan prima maka pq adalah bilangan ganjil2.Jika x adalah
variabel pada bilangan 3,6,9,12 dan 15, tentukan penyelesaian
kalimat terbuka dibawah ini.a.xhabis dibagi 3b.xadalah bilangan
ganjilc.xadalah faktor dari 30d.x 3 = 6e.xadalah bilangan
prima3.Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat berikut jika
variabel pada himunan bilanan bulat.a.x+ 8 = 17b.y: 5 = - 12c.15 p=
42d.9 m= 108e.n+ n+ n+ n= 52f.a a= 814.Tentukan himpunan
penyelesaian kalimat terbuka berikut jikaxadalah variabel pada
himpunan A = {1,2,3,25}a.xadalah faktor dari 25b.xadalah bilangan
primac.xadalah bilangan ganjil kurang dari 15d.xadalah kelipatan
2
B.PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL1.Pengertian persamaan dan
himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabelPerhatikan
kalimat terbukax+ 1 = 5Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh
tanda sama dengan (=). Selanjutnya,kalimat terbuka dihubungkan oleh
tanda sama dengan (=) disebutpersamaan.Persamaan dengan satu
variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebutpersamaan
linear satu variabelJikaxpada persamaanx+ 1 = 5 diganti denganx= 4
maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jikaxdiganti
bilangan selain 4 maka persamaanx+ 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal
inix= 4 disebut penyelesaian dari persamaan linearx+ 1 = 5.
Selanjutnya himpunan penyelesaian darix+ 1 = 5 adalah {4}.Pengganti
variabelxyang mengakibatkan persamaan bernilai benar
disebutpenyelesaian persamaan linear.Himpunan semua penyelesaian
persamaan linear disebuthimpunan penyelesaian persamaan
linear.Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang
dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai variabel
berangkat satu. Bentuk umum persamaan liear satu variabel adalahax+
b = 0 dengana 0.Contoh:1.Dari kalimat berikut tentukan yang mana
merupakan persamaan linear satu variabela.2x 3 = 5b.- x= 2c.x=
5d.2x+ 3y= 6Penyelesaian:a.2 x 3 = 5Variabel pada 2x 3 = 5 adalah x
dan berpangkat 1,sehingga persamaan2 x 3 = 5 merupakan ersamaan
linear satu variabelb.-x= 2Variabel pada persamaanx= 2
adalahxberpangkat 1 dan 2. Karena terdapatxberpangkat 2 maka
persamaan-x= 2 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.
c.x= 5Karena variabel pada persamaanx= 5 adalahxdan berpangkat
1,makax= 5 merupakan persamaan linear satu variabel.d.2 x+ 3y=
6Variabel pada persamaan2 x + 3 y= 6 ada dua yaituxdany, sehingga
2x+ 3y= 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.2.Himpunan
penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan
SubstitusiPenyelesaian persamaan linear satu variabel dapat
diperoleh dengan cara subtitusi, yaitu mengganti variabel dengan
bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat
yang bernilai benar.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaanx+ 4 = 7, jikaxpada himpunan bilangan
cacahPenyelesaian:Jikaxdiganti bilangan,diperolehSubstitusix= 0,
maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)Substitusix= 1, maka 1 + 4 = 7
(kalimat salah)Substitusix= 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat
salah)Substitusix= 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)Substitusix= 4,
maka 4 + 4 = 7 (kalimat salah)Ternyata untukx= 3, persamaanx+ 4 = 7
menjadi kalimat yang benar. Jadi himpuna penyelesaian persamaanx+ 4
= 7 adalah {3}
UJI KOMPETENSI 21.Tentukan yang merupakan persamaan linear satu
variabel dan berikan alasannya.a.x+y+z= 20b.+ 2x 5 = 0c.d.3x 2 =
7e.+= 16f.
2.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan
dibawah ini dengan cara substitusi, jika peubah (variabelnya) pada
himpunan bilangan bulat.a.4 +p= 3 g.b.q 2 = 6 h.c.2a+ 3 = 6 i. 2
z=z- 3d.9 3r= 6 j. 3a 2 = -a+ 18e.18 = 10 2m k.(4x+ 2) = 3f.1 = 9+
x l. 2a 1 = 3a 5
3.Persamaan-persamaan yang ekuivalenPerhatikan uraian
berikut.a.x 3 = 5jikaxdiganti bilangan 8, maka 8 3 = 5 (benar)jadi,
penyelesaianx 3 = 5 adalahx= 8b.2x 6 = 10 (kedua ruas pada
persamaan a dikalikan 2)Jikaxdiganti bilangan 8 maka 2(8) 6 = 1016
6 = 10 (benar) Jadi, penyelesaian persamaan 2x 6 = 10 adalahx=
8c.x+ 4 = 12 (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)jika x diganti
bilangan 8, maka 8 + 4 = 12 (benar)jadi, penyelesaian persamaanx+ 4
= 12 adalahx= 8Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa ketiga
persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitux= 8.
Persamaan-persamaan diatas disebut persamaan yangekuivalen.Suatu
persamaan yang ekuivalen dapat dinotasikan dengan .Dengan demikian
bentukx 3 = 5; 2x 6 = 10;danx+ 4 = 12 dapat dituliskan sebagaix 3 =
52x 6 = 10x+ 4 = 12. Jadi dapat dikatakan seperti berikut.Dua
persamaan atau lebih dikatakanekuivalenjika mempunyai himpunan
penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda .
Amatilah uraian berikut.Pada persamaanx 5 = 4, jikaxdiganti 9
maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian darix 5 =
4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan
dengan bilangan 5 makax 5 = 4x 5 + 5 = 4 + 5 x= 9Jadi, himpunan
penyelesaian persamaanx 5 = 4 adalah {9}. Dengan kata lain,
persamaanx 5 = 4 ekuivalen dengan persamaanx= 9, atau ditulisx 5 =
4x= 9Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang
ekuivalen dengan caraa.menambah atau mengurangi kedua ruas dengan
bilangan yang sama;b.mengalikan atau membagi kedua ruas dengan
bilangan yang sama.Contoh:1.Tentukan himpunan penyelesaian
persamaan 4x 3 = 3x+ 5 jikaxvariabel padahimpunan bilangan
bulat.Penyelesaian:4x 3 = 3x+ 54x 3 + 3 = 3x+ 5 + 3 (kedua ruas
ditambah 3) 4x = 3x+ 8 4x 3x= 3x 3x+ 8 (kedua ruas dikurangi 3x) x=
8Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x 3 = 3x+ 5 adalahx=
{8}.2.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x+ 13 =5 x,
untukxvariabel pada himpunan bilangan bulat.Penyelesaian:3x+ 13 = 5
x3x+ 13 13 = 5 x 13 (kedua ruas dikurangi 13)3x = 8 x3x+x= 8
x+x(kedua ruas ditambahx)4x= 8x4x =x(-8)(kedua ruas dikalikan)x =
(-2) Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 3x+ 13 = 5
xadalahx= {2}.
UJI KOMPETENSI 31.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
berikut dengan menambahatau mengurangi kedua ruas dengan bilangan
yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.a. m 9 = 13b.
11 +x= 3c. 2a+ 1 =a 3d. 12 + 3a= 5 + 2ae. 3(x+ 1) = 2(x+ 4)f. 5(y
1) = 4yg. 4(3 2y) = 15 7yh. 3(2y 3) = 5(y 2)i. 8 2(3 4y) = 7y 1j.
5x+ 7(3x+ 2) = 6(4x+ 1) 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan berikut dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan
bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.a.
2x+ 3 = 11b. 7x= 8 + 3xc. 3p+ 5 = 17 pd. 7q= 5q 12e. 6 5y= 9 4yf.
7n+ 4 = 4n 17g. 2(5 2x) = 3(5 x)h. 2x+ 5 = (x+ 9)i. 18 + 7x= 2(3x
4)j. 3(2x 3) 2(1 x) (x+ 3) = 0
C.PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELDalam kehidupan
sehari-hari, tentu kalian pernah menjumpai atau
menemukankalimat-kalimat seperti berikut.a. Berat badan Asti lebih
dari 52 kg.b. Tinggi badan Amri 7 cm kurang dari tinggi badanku.c.
Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya tidak
kurang dari 165 cm.d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari
55 orang.Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk
kalimat matematika?Untuk dapat menjawabnya pelajari uraian
berikut.1. Pengertian KetidaksamaanAgar kalian memahami pengertian
ketidaksamaan, coba ingatkembali materi di sekolah dasar mengenai
penulisan notasi , , , dan .a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.b.
8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.c.xtidak lebih dari 9 ditulisx 9.d.
Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y16. Kalimat-kalimat 3
< 5, 8 > 4,x 9, dan 2y 16 disebut ketidaksamaan.Secara umum
dapat dituliskan sebagai berikut.Suatu ketidaksamaan selalu
ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut. untuk menyatakan
lebih dari. untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dariatau
sama dengan. untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari
atau sama dengan.
2. Pertidaksamaan Linear Satu VariabelDi bagian depan telah
kalian pelajari bahwa suatu persamaanselalu ditandai dengan tanda
hubung =. Pada bagian ini kalian akan mempelajari cirisuatu
pertidaksamaan.
Perhatikan kalimat terbuka berikut.a. 6x< 18 c.p+ 2 5b. 3p 2
>p d. 3x 1 2x+ 4Kalimat terbuka di atas menyatakan hubungan
ketidaksamaan.Hal ini ditunjukkanadanya tanda hubung , , atau .
Kalimat terbuka yang menyatakanhubungan ketidaksamaan (, , atau )
disebut pertidaksamaan.Pada kalimat (a) dan (d) di atas
masing-masing mempunyai satu variabel yaituxyang berpangkat satu
(linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyai satuvariabel
berpangkat satu, yaitup. Jadi, kalimat terbuka di atas
menyatakansuatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan
berpangkat satu.Pertidaksamaan linear satu variabel adalah
pertidaksamaan yang hanya mempunyaisatu variabel dan berpangkat
satu (linear).Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan
pertidaksamaan linear dengansatu variabel.a.x 3 < 5b.a 1 2bc. 3x
4Penyelesaian:a. x 3 < 5Pertidaksamaanx 3 < 5 mempunyai satu
variabel,yaituxdan berpangkat 1, sehinggax 3 < 5 merupakan
pertidaksamaan linear satu variabel.b.a 1 2bPertidaksamaana 1
2bmempunyai dua variabel,yaituadanbyang masing-masing berpangkat
1.Dengan demikiana 1 2bbukan suatu pertidaksamaan linearsatu
variabel.c. 3x 4Karena pertidaksamaan 3x 4 mempunyai variabelxdan,
maka 3x 4 bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.
UJI KOMPETENSI 4
1.Sisipkan lambang >, =, atau < di antara pasangan
bilangan di bawah ini sehinggamenjadi pernyataan yang benar.a. 3 8
d. 2 4b. 16 42 e.c. 0,1 0,52. Tulislah kalimat berikut dalam bentuk
ketidaksamaan. a. 9 kurang dari 13 b. 3 terletak antara 2 dan 5 c.
mlebih dari 4 d.ytidak kurang dari 50 e.ntidak lebih dari 45 f.
lpaling sedikit 723. Nyatakan bentuk-bentuk berikut menjadi satu
ketidaksamaan. a. 3 < 5 dan 5 < 8 b. 0 > 1 dan 1 > 5 c.
10 > 4 dan 10 < 15 d. 2 < 6 dan 2 > 3 e. 3 > 6 dan 3
< 10 f. 5 < 0 dan 5 > 74. Tulislah kalimat berikut dalam
bentuk ketidaksamaan. a. Jumlahxdan 4 kurang dari 6. b. Hasil
penguranganpdari 9 lebih dari 6. c. 3 dikurangkan dariyhasilnya
tidak kurang dari 2. d. Hasil kali 5 danxkurang dari atau sama
dengan 12.5. Dari bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan
pertidaksamaan linear satu variabel? Jelaskan jawabanmu.a.x+ 6 <
9b. 8 > 1c.m+n 4d.- - 3e. 4 2x 0
f. 3(x 5) < 2(8 x)g. 2 4pq + 3> 0h. 4x 4 3y+ 83.
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu VariabelPada bagian depan
telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu
variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini
juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.Perhatikan
pertidaksamaan 10 3x> 2, denganxvariabel pada himpunan bilangan
asli.Jika x diganti 1 maka 10 3x> 210 3 1 > 27 > 2
(pernyataan benar)Jika x diganti 2 maka 10 3x> 210 3 2 > 24
> 2 (pernyataan benar)Jika x diganti 3 maka 10 3x> 210 3 3
> 21 > 2 (pernyataan salah)Jika x diganti 4 maka 10 3x>
210 3 4 > 22 > 2 (pernyataan salah)Ternyata untukx= 1 danx=
2, pertidaksamaan 10 3x> menjadi kalimat yang benar. Jadi,
himpunan penyelesaian dari 10 3x> 2 adalah {1, 2}.Secara umum
dapat dituliskan sebagai berikut.Pengganti variabel dari suatu
pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yangbenar disebut
penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu
variabel.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
4x 2 > 3x+ 5 denganxvariabel pada himpunan bilangan
cacah.Penyelesaian:Cara 1Dengan mengganti tanda > dengan =
diperoleh persamaan 4x 2 = 3x+ 5.Dengan cara menyelesaikan
persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah
x= 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari
7 dan lebih dari 7.Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
4x 2 > 3x+ 5.Jika x diganti 6 maka 4 6 2 > 3 6 + 522 > 23
(bernilai salah)Jika x diganti 8 maka 4 8 2 > 3 8 + 530 > 29
(bernilai benar)Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar
dari 7, maka himpunan penyelesaiandari 4x 2 > 3x+ 5 adalah {8,
9, 10, ...}.
Cara 24x 2 > 3x+ 5 4x 2 + 2 > 3x+ 5 + 2 (kedua ruas
ditambah 2)4x> 3x+ 74x+ (3x) > 3x+ (3x) + 7 (kedua ruas
ditambah 3x)x> 7Karenaxvariabel pada himpunan bilangan cacah
maka himpunanpenyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.
Cara 34x 2 > 3x+ 54x 2 5 > 3x+ 5 5 (kedua ruas dikurangi
5)4x 7 > 3x4x+ (4x) 7 > 3x+ (4x) (kedua ruas ditambah 4x)7
> x7 : (1) < x: (1) (kedua ruas dibagi dengan 1 tetapi tanda
ketidaksamaan berubah menjadi menjadi ;2) menjadi ; 4) menjadi
.
UJI KOMPETENSI 5Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
berikut jika peubah padahimpunan bilangan cacah.1. 2x 1 < 72.p+
5 93. 4 3q 104. 4x 2 > 2x+ 55. 2(x 3) < 3(2x+ 1)6. 12 6y
6
D.MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG
BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABELPermasalahan dalam
kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu
variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk
menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika
berdasarkan soal cerita tersebut.Kemudian,selesaikanlah.Untuk lebih
jelasnya, pelajari contoh berikut.
Contoh:1. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk
persegi panjang. Lebar tanahtersebut 6 m lebih pendek daripada
panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luastanah petani
tersebut.Penyelesaian:Misalkan panjang tanah =xmaka lebar tanah =x
6.Model matematika dari soal di samping adalahp=xdanl=x 6,
sehinggaK = 2(p+l)60 = 2(x+x 6)x- 6 xPenyelesaian model matematika
di atas sebagai berikut.K= 2(p+ l)60 = 2(x+x 6)60 = 2(2x 6)60 = 4x
1260 + 12 = 4x 12 + 1272 = 4x =18 =xLuas =p l=x(x 6)= 18(18 6)= 18
12 = 216Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216
2. Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang
sandal. Seorang pedagangmembeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang
sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp275.000,00.a. Buatlah
model matematika dari keterangan di atas.b. Selesaikanlah model
matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasangsepatu dan 5
pasang sandal.
Penyelesaian:a.Misalkan harga sepasang sepatu =xdan harga
sepasang sandal =y. Modelmatematika berdasarkan keterangan di atas
adalahx= 2ydan 4x+ 3y= 275.000.b.Dari model matematika diketahuix=
2ydan 4x+ 3y= 275.000. Digunakanmotode substitusi, sehingga
diperoleh 4x+ 3y = 275.0004 (2y) + 3y= 275.0008y+ 3y = 275.00011y =
275.000y = 25.000Karenax= 2ydany= 25.000, makax= 2 25.000x=
50.000Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga
sepasang sandal Rp25.000,00.Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang
sandal dapat ditulis sebagai 3x+ 5y, sehingga 3x+ 5y = (3 50.000) +
(5 25.000)= 150.000 + 125.000= 275.000Jadi, harga 3 pasang sepatu
dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.
UJI KOMPETENSI 61. Diketahui harga 1 kg buah anggur tiga kali
harga 1 kg buah salak. Jika ibu mem beli 2 kg buah anggur dan 5 kg
buah salak maka ibu harus membayar Rp38.500,00.a. Buatlah kalimat
matematika dari keterangan di atas, kemudian selesaikanlah.b.
Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah salak?c. Jika
seseorang membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak, berapakah
ia harus membayar?2.Model kerangka sebuah balok dibuat dari seutas
kawat berukuran panjang(x+ 6) cm, lebarxcm, dan tinggi (x 5)
cm.a.Berdasarkan keterangan tersebut, nyatakan rumus panjang kawat
yang dibutuhkandalamx.b. Jika panjang kawat yang diperlukan 100 cm,
tentukan ukuran balok tersebut.c. Hitunglah volume balok
tersebut.
3. Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108.
Tentukan bilangan-bilangan itu.4. Umur Vera 4 tahun kurangnya dari
umur Togar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun, tentukan umur mereka
masing-masing.5. Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang
(3x 4) cm dan lebar (x+ 1) cm.a. Tulislah rumus kelilingnya dan
nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.b. Jika kelilingnya 34
cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.
E.MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG
BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL1. Suatu model
kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x+ 5) cm,
lebar (x 2) cm, dan tinggixcm.a. Tentukan model matematika dari
persamaan panjang kawat yang diperlukan dalamx.b. Jika panjang
kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan
ukuran maksimum balok tersebut.Penyelesaian:a. Misalkan panjang
kawat yang diperlukan = K, maka model matematikanya sebagai
berikut.K = 4p+ 4l+ 4t= 4(x+ 5) + 4(x 2) + 4 x xcm= 4x+ 20 + 4x 8 +
4x= 12x+ 12 (x 2) cm (x+ 5) cmb.Panjang kawat tidak lebih dari 132
cm dapat ditulis K = 12x+ 12 132 cm,sehingga diperoleh 12x+ 12
13212x+ 12 12 132 1212x 120 12x 120 xx= 10Nilai maksimumx= 10 cm,
sehingga diperolehp= (x+ 5) cm = 15 cml= (x 2) cm = 8 cmt=x= 10
cm.Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 8 10) cm.
3.Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang
16xcm dan lebar10xcm. Jika luasnya tidak kurang dari 40, tentukan
ukuran minimum permukaan meja tersebut.Penyelesaian:Diketahui
panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) =10x, dan luas =
L.Model matematika dari luas persegi panjang adalahL = pl= 16x 10x=
160 Luas tidak kurang dari 40= 4.000dapat ditulis L = 160 4.000,
sehingga diperoleh160 4.000 25 x 5 Nilai minimum x = 5 cm, sehingga
diperoleh p= 16xcm = 16 5 cm = 80 cm l= 10xcm = 10 5 cm = 50 cm.
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 50) cm.
UJI KOMPETENSI 71.Persegi panjang mempunyai panjang (x+ 7) cm
dan lebar (x 2) cm. Jikakelilingnya tidak lebih dari 50 cm,
tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.2. Panjang
diagonal-diagonal suatu layang-layang adalah (2x 3) cm dan (x+ 7)
cm. Jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua,
tentukan luas minimum layang-layang tersebut.3. Model kerangka
kubus dibuat dari kawat yang panjang rusuknya (x+ 2) cm. Jika
panjang kawat yang diperlukan tidak melebihi 180 cm, tentukan
panjang rusuk kubus tersebut.4.Panjang diagonal-diagonal suatu
jajargenjang diketahui berturut-turut (3x 5) cm dan(x+ 7) cm. Jika
diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, susunlah
pertidaksamaan yang memenuhi dan selesaikanlah.5.Suatu lempeng
logam berbentuk segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3acm, 4acm,dan
5acm. Jika kelilingnya tidak kurang dari 72 cm, tentukan ukuran
minimum segitiga tersebut.EVALUASI1.Penyelesaian dari persamaan 6
2x= 5x+ 20 denganxvariabel pada himpunanbilangan bulat adalah
....a.x= 1 c.x= 2b. x= 2 d.x= 12. Diketahui persamaan-persamaan
berikut. (i)- 3 = 1 (iii)x 15 = 5 (ii)x 5 = 5 (iv) 3x 45 = 15 Dari
persamaan di atas yang merupakan persamaan ekuivalen adalah .... a.
(i), (ii), dan (iii) b. (i), (iii), dan (iv) c. (i), (ii), dan (iv)
d. (ii), (iii), dan (iv)3. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga
diketahui 2xcm, (2x+ 2) cm, dan (3x+ 1) cm. Jika kelilingnya 24 cm,
panjang sisi yang terpanjang adalah .... a. 6 cm c. 10 cm b. 8 cm
d. 12 cm4. Harga sebuah buku sama dengan dua kali harga pensil.
Jika 6 buku dan 15 pensil harganya Rp21.600,00, harga satu buku
adalah .... a. Rp1.600,00 c. Rp800,00 b. Rp1.500,00 d. Rp750,005.
Tiga bilangan genap yang berurutan jumlahnya 108. Bilangan yang
terbesar adalah .... a. 36 c. 40 b. 38 d. 446. Jika pengurangan 2x
dari 3 hasilnya tidak kurang dari 5 maka nilaixadalah.... a.x 4 c.x
4 b.x 1 d. x 1