-
TUGAS AKHIR - SF 141501
PENGARUH KONSTANTA KOSMOLOGI TERHADAP MODELSTANDAR ALAM
SEMESTA
MUHAMMAD RAMADHANNRP 1111100074
Dosen PembimbingDr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo
JURUSAN FISIKAFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
AlamInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya, 2016
-
UNDERGRADUATE THESIS - SF 141501
INFLUENCE OF COSMOLOGICAL CONSTANT TO THE STAN-DARD MODEL OF THE
UNIVERSE
MUHAMMAD RAMADHANNRP 1111100074
SupervisorDr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo
Department of PHYSICSFaculty of Mathematics and Natural
ScienceInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya, 2016
-
vii
P£ .'(GARUH KONSTANTA KOSMOLOGJ TERHAOAP MODEL STANOAR ALAM
SEMESTA
TUGASAKHIR Diajukan Guua Memeuuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada
Bidang Studi Fisika Teori dan Filsafat A lam Program Studi S 1
Jurusan Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan A lam lnstitut
Teknologi Sepuluh Nopember
Oleh: Muhammad Ramadhan
NRP: 1111100074
-
viii
Halaman ini sengaja dikosongkan
-
ix
PENGARUH KONSTANTA KOSMOLOGI TERHADAP MODELSTANDAR ALAM
SEMESTA
Nama : MUHAMMAD RAMADHANNRP : 1111100074Jurusan : Fisika
FMIPAPembimbing : Dr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo
ABSTRAK
Metrik FLRW adalah sebuah metrik ruang-waktu yang digunakan
un-tuk memodelkan alam semesta. Dalam membangun metrik ini,
digunak-an asumsi prinsip kosmologi, yaitu alam semesta isotropik
dan homogen.Setelah itu, metrik FLRW dikerjakan pada Persamaan
Medan Einstein de-ngan Konstanta Kosmologi, sehingga didapatkan dua
solusi Friedmann.Solusi tersebut adalah solusi Friedmann jenis
pertama dan solusi Frie-dmann jenis kedua. Pada tugas akhir ini,
digunakan solusi Friedmann jenispertama yang telah dimodifikasi
agar sesuai dengan keadaan fisis alamsemesta untuk memodelkan alam
semesta. Dari model ini, dibandingk-an antara model yang memiliki
konstanta kosmologi dan tidak sehinggadidapatkan pengaruh konstanta
kosmologi terhadap model standar alamsemesta.
Kata-Kunci: Persamaan Medan Einstein, Solusi Friedmann,
KonstantaKosmologi
-
x
Halaman ini sengaja dikosongkan
-
xi
INFLUENCE OF COSMOLOGICAL CONSTANT TO THE STAN-DARD MODEL OF THE
UNIVERSE
Name : MUHAMMAD RAMADHANNRP : 1111100074Department :
PhysicsSupervisor : Dr.rer.nat. Bintoro Anang Subagyo
ABSTRACT
Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker metric is a space-time
metricusing to make a model of the universe. Cosmological
principles, isotro-pic and homogeneous universe, is used to build
this metric. After that,the FLRW metric applied to Einstein Field
Equation with CosmologicalConstant and consist two solutions. These
solutions are first Friedmannequation and second Friedmann
equation. In this final project, first Fri-edmann equation with
some modifications are chosen to so it would fitthe physical
properties of the universe. From this model, universe
withcosmological constant can be compared to universe without
cosmologicalconstant. In this work, we investigate the influence of
cosmological con-stant to the standard model of the universe.
Keywords: Einstein Field Equation, Friedmann Equation,
CosmologicalConstant
-
xii
Halaman ini sengaja dikosongkan
-
xv
xiii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
limpahan rahmat berkah, rahmat, dan petunjukNya atas nikmat iman,
Islam, dan ikhsan yang diberikan kepada penulis sehingga dapat
menyelesaikan laporan Tugas Akhir (TA) ini dengan optimal dan tepat
waktu. Sholawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada
Rasulullah, Nabi Muhammad SAW yang telah menuntun kami dari
kebodohan menuju cahaya kebenaran. Tugas Akhir (TA) ini penulis
susun untuk memenuhi persyaratan menyelesaikan pendidikan strata
satu (S1) di Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
Tugas Akhir ini ditulis dengan judul :
“PENGARUH KONSTANTA KOSMOLOGI TERHADAP MODEL STANDAR ALAM
SEMESTA”
Penulis berharap penelitian ini berguna untuk orang-
orang yang tertarik pada bidang kosmologi khususnya . Penulis
mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang membantu
penyusunan laporan Tugas Akhir (TA) dan proses penelitiannya.
1. Keluarga tercinta: kedua orang tua dan saudara-saudara
penulis yang selalu memberi semangat, modal serta dukungan.
2. Bapak Prof. Eddy Yahya sebagai dosen wali yang selalu
memberikan bimbingan dan pengarahan setiap semester juga nasehat
atas masalah-masalah yang sering diberikan oleh penulis.
3. Bapak Dr. rer. nat Bintoro Anang Subagyo, selaku dosen
pembimbing yang telah memberi inspirasi dan
-
xv
xiv
membagi pengalaman serta memberikan pengarahan dalam
menyelesaikan permasalahan kosmologi.
4. Bapak Agus Purwanto D.Sc., dosen Fisika Teori yang sangat
inspiratif dan sering memberikan nasehat-nasehat kepada penulis
agar menjadi seorang fisikawan teoritis yang siap menghadapi
kerasnya kehidupan teoritikus di tanah Indonesia ini.
5. Bapak Heru Sukamto M.Si, seorang dosen Fisika Teori yang
sangat dekat dengan mahasiswanya dan mampu memberikan jalan keluar
yang tidak disangka-sangka saat penulis mengalami kesulitan.
6. Seluruh Staf Pengajar dan Karyawan di Jurusan Fisika ITS 7.
Kawan-kawan di Laboratorium Fisika Teori dan Filsafat
Alam (LaFTiFA) ITS: Mas Nurhadi, Mbak Nova, Mas Yohannes, Mas
Fadlol, Mas Taufiqi, Philin, Usykur, Andika, Afif, Ira, Afidah,
Anom, dan Dwi atas canda tawa, diskusi-diskusi dan
bantuan-bantuannya.
8. Segenap teman-teman Fisika FOTON 2011 yang telah menjadi
keluarga penulis selama di Surabaya dan telah memberikan dukungan
terbaik bagi penulis.
9. Sahabat penulis sedari kecil, Fahmi Gibran Syahadat, atas
semua petuah-petuah, dukungan moral, semangat, dan segala bantuan
yang pernah dan akan diberikan kepada penulis.
10. Kawan-kawan Howling Architecture: Lord Maraya “the Defiler”,
Lord Ivan, Lord Thalib, dan Lord Ahnaf atas nasehat, semangat, dan
kekonyolan yang tidak disangka-sangka yang mampu menghibur penulis
disaat waktu-waktu kesusahan. Mariki’..
11. Pengurus IKAMI SULSEL Surabaya 2012-2013: Syamsualam
Syamsuddin, Hery Nugroho, Bagus Agwin, Jimmy Sa’pang, Syamsul
Irfan, Andi Heynoum Dala Rifat, Rizky Maharja, Azwar, Winda D.P.
serta penasehat-penasehatnya yaitu kak Lilis Widiastuty, kak
Ridhayani Adiningsih, kak Abdul Malik, kak Andi
-
xv
xv
Irhamsyah, kak Taufiq, kak Syafaatul Haq atas kekeluargaan
bernuansa kampung yang sangat dirindukan penulisi di tanah
perantauan.
12. Kakanda RUDAL dan RADAR: Haerul Ahmadi, A.Rosman, A. Ichsan,
Muflih Noer, Yassir Arafat, A. Asrafiani Arafah, A. Sri Rahayu, A.
Wulansari R. atas suasan kekeluargaan dan motivasi kepada
penulis.
13. Meutia Ikawidjaja, seseorang yang spesial, terima kasih atas
motivasi, dukungan, kekhawatiran, dan bantuan lainnya kepada
penulis.
14. Kevin Devalentino, teman senasib dan sesama pendukung
Juventus F.C., terima kasih atas semua bantuan saat penulis
mengalami kesulitan saat praktikum, contoh-contoh laporan, serta
waktu-waktu nonton bareng Juventus. Semoga segera dipertemukan
dengan jodohnya, amin! FINO ALLA FINE FORZA JUVENTUS!
15. Dwita Ratu K.P., sepupu seperjuangan walau berbeda kampus.
EWAKO!
16. Seluruh pihak yang membantu dalam pengerjaan Tugas Akhir
secara langsung dan tidak langsung yang tidak dapat disebutkan satu
per satu.
17. Kamu, yang membaca Tugas Akhir ini. Semoga menjadi inspirasi
ßuntuk memahami alam semesta lebih dalam.
Penulis menyadari dalam penyusunan laporan ini masih
jauh dari sempurna. Oleh karena itu penulis mohon kritik dan
saran membangun dari pembaca guna menyempurnakan laporan ini demi
kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang. Akhir
kata penulis berharap semoga laporan Tugas Akhir ini bermanfaat
bagi semua pihak, terutama untuk penelitian selanjutnya.
-
xv
xvi
Surabaya, Juni 2016
Penulis [email protected]
-
xvii
DAFTAR ISI
Halaman Judul
.............................................................................
i Cover Page
....................................................................................
ii Lembar Pengesahan
..................................................................
vii Abstrak
........................................................................................
ix Abstract
........................................................................................
xi Kata Pengantar
.........................................................................
xiii Daftar Isi
..................................................................................
xvii Daftar Gambar
.........................................................................
xix BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
...................................................................
1 1.2 Perumusan Masalah
........................................................... 2 1.3
Batasan Masalah
................................................................ 2
1.4 Tujuan
...............................................................................
2 1.5 Metode Penelitian
............................................................. 3 1.5
Sistematika Penulisan
...................................................... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Prinsip Kosmologi
............................................................. 5 2.2
Persamaan Medan Einstein dengan Konstanta Kosmologi 7 2.3 Metrik
FLRW (Friedmann – Lemaitre – Robertson –Walker)
..................................................................................
11
BAB III SOLUSI FRIEDMANN
3.1 Solusi Friedmann
............................................................. 17
3.2 Bentuk Lain dari Persamaan Friedmann Jenis Pertama ... 22
BAB IV MODEL STANDAR ALAM SEMESTA 4.1 Model Alam Semesta Pertama
......................................... 27
4.2 Model Alam Semesta Kedua
........................................... 29 4.3 Model Alam
Semesta Ketiga ........................................... 30 4.4
Model Alam Semesta Keempat .......................................
31 4.5 Model Alam Semesta Kelima
.......................................... 33
-
xviii
4.6 Model Alam Semesta Keenam
......................................... 34 4.7 Model Alam Semesta
Ketujuh ......................................... 35
BAB 5 DISKUSI
........................................................................
39 BAB VI PENUTUP
5.1 Kesimpulan
......................................................................
45 5.2 Saran
.................................................................................
46
DAFTAR PUSTAKA
................................................................ 47
LAMPIRAN
...............................................................................
49 BIOGRAFI PENULIS
............................................................
101
-
xix
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Illustrasi Prinsip Kosmologi
................................... 6 Gambar 2.2 Cosmic Microwave
Backrgound ............................ 7 Gambar 4.1 Model Alam
Semesta dengan Dominasi Materi .... 28 Gambar 4.2 Model Alam
Semesta dengan Dominasi Radiasi ... 30 Gambar 4.3 Model Alam
Semesta dengan Dominasi
Konstanta Kosmologi
............................................. 31 Gambar 4.4 Model
Alam Semesta dengan Konstanta
Kosmologi dan Kurvatur tidak Nol ....................... 32
Gambar 4.5 Model Alam Semesta dengan Konstanta
Kosmologi dan Kurvatur tidak Nol ........................ 34
Gambar 4.6 Model Alam Semesta dengan Konstanta
Kosmologi, Materi dan Kurvatur tidak Nol ........... 35 Gambar
4.7 Model Alam Semesta dengan Ω!,! = 0,7 dan
Ω!,! = 0,3
............................................................... 37
Gambar 4.8 Model Alam Semesta dengan Ω!,! = 0,3 dan
Ω!,! = 0,7
............................................................... 38
Gambar 4.9 Model Alam Semesta dengan Ω!,! dan Ω!,!
yang bervariasi
....................................................... 38 Gambar
5.1 Perbandingan dari Model-model Alam Semesta ... 40 Gambar 5.2
Pergeseran Merah Oleh Bintang Supernovae Ia
(Riess et al.,1998)
.................................................. 42 Gambar 5.3
Model Alam Semesta dengan Ω!,! = 0,2 dan
Ω!,! = 0,8
...............................................................
43
-
xx
Halaman ini sengaja dikosongkan
-
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada tahun 1916, Albert Einstein dalam bukunya yangberjudul
Relativity: Special and General Theory memperke-nalkan sebuah
konsep gravitasi baru yang sangat berbeda den-gan Hukum Gravitasi
Universal yang diperkenalkan oleh IsaacNewton. Menurut Einstein,
gravitasi bukan merupakan se-buah gaya biasa, melainkan sebuah
properti dari ruang danwaktu. Dari konsep tersebut, Einstein
berhasil menurunkansebuah persamaan yang dinamakan sebagai
Persamaan MedanGravitasi Einstein (Einstein, 2005).
Pada tahun 1917, Einstein memodifikasi kembali persamaan-nya.
Einstein mengasumsikan bahwa alam semesta yang kitahuni merupakan
alam semesta yang statik. Prinsip Mach men-gatakan bahwa
”keberadaan seluruh materi, secara rata-ratadan global, di alam
semesta, merupakan latar belakang yangmendefinisikan aturan yang
berkaitan dengan gerak dari su-atu materi spesifik di suatu titik
dan di manapun di alamsemesta.” Menurut Mach, keberadaan
”bintang-bintang tetap”-lah yang mendefinisikan kerangka acuan
terhadap gerak benda-benda di suatu posisi dan waktu. Jika suatu
benda dikatakanbergerak dengan kecepatan konstan, maka gerak
tersebut re-latif terhadap bintang-bintang tetap, dan inersia
merupakantanggapan benda terhadap perubahan keadaan geraknya.
Se-hingga untuk memenuhi konsep itu, Einstein mengusulkan se-buah
parameter bebas yang bernama Konstanta Kosmologi(dilambangkan
dengan ⇤) untuk ditambahkan pada Persamaan
1
-
Medan Gravitasi Einstein (Einstein, 1917).Suku ⇤ ini
diinterpretasikan sebagai efek dari gaya to-
lak (repulsif) yang mengkompensasi gaya tarik gravitasi
dandengan demikian dapat mempertahankan struktur ruang
darikeruntuhan akibat alam semesta homogen (Einstein, 1917).Bukti
observasi oleh Hubble menunjukkan bahwa alam semestamemang
mengembang, demikian pula dapat diperoleh suatusolusi non-statik
dari persamaan medan Einstein tanpa sukukonstanta kosmologi,
sehingga akhirnya Einstein menyatakanbahwa tidak perlu lagi
memasukkan konstanta kosmologi kedalam persamaan medannya. Hal ini
sering disebut sebagaikesalahan terbesarnya (Weinberg, 1989).
1.2 Perumusan Masalah
Dalam tugas akhir ini permasalahan yang akan dibahasadalah apa
pengaruh konstanta kosmologi terhadap modelstandar alam
semesta.
1.3 Batasan Masalah
Pada tugas akhir ini permasalahan hanya dibatasi padakonstanta
kosmologi dari Persamaan Medan Einstein dan MetrikFriedmann
Lemaitre Robertson Walker.
1.4 Tujuan
Dalam tugas akhir ini akan dilakukan penurunan ulang se-cara
lengkap mengenai Persamaan Medan Einstein dengan pe-nambahan
konstanta kosmologi, Metrik Friedmann LemaitreRobertson Walker dan
memahami pengaruh konstanta kos-mologi terhadap model standar alam
semesta.
2
-
1.5 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penyusunan Tugas Akhirini adalah
metode analitis dari studi literatur.
1.6 Sistematika Penulisan
Dalam penulisan Tugas Akhir ini , terdiri dari enam bab.BabI
diuraikan mengenai pendahuluan yang meliputi latar be-lakang,
perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan sis-tematika
penulisan. Pada bab II akan diuraikan mengenai tin-jauan pustaka
yang meliputi Prinsip Kosmologi, PersamaanMedan Einsten dengan
Konstanta Kosmologi dan Metrik FLRW.Pada bab III akan diuraikan
mengenai Solusi Friedmann. Padabab IV akan diuraikan bagaimana
memodelkan alam semesta.Pada bab V adalah diskusi dan bab VI berisi
kesimpulan.
3
-
Halaman ini sengaja dikosongkan
4
-
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Prinsip Kosmologi
Kosmologi adalah cabang dari ilmu astronomi yang mem-pelajari
asal-usul dan evolusi alam semesta, dari awal pencip-taan yaitu
Ledakan Besar hingga hari ini dan prediksinya dimasa depan. Sejak
jaman pertengahan, alam semesta dipan-dang sebagai sesuatu yang
tetap, dengan bumi berada di pusatalam semesta. Teori ini dinamakan
sebagai teori geosentris,dimana seluruh benda-benda di langit
seperti bulan, mata-hari, planet, bahkan bintang-bintang, bergerak
dengan orbitlingkaran sempurna. Paham tersebut dipatahkan oleh
Nico-laus Copernicus pada abad ke-16 yang mengatakan bahwabumi
bukan merupakan pusat alam semesta. Copernicus men-gusulkan bahwa
matahari adalah pusat dari alam semesta den-gan planet-planet dan
benda langit yang lain bergerak men-gelilingi matahari. Teori ini
disebut sebagai teori heliosentris(Ryden, 2006).
Pada abad ke-17, Isaac Newton memberikan penjelasanlebih jauh
mengenai interaksi antara benda-benda langit den-gan Hukum
Gravitasi Universal yang ia buat. Hukum ituberbunyi: Setiap benda
di alam semesta akan menarik satusama lain dengan gaya yang
sebanding dengan massa bendatersebut dan berbanding terbalik dengan
jarak kuadrat daribenda tersebut (Newton, 1687). Ilmu kosmologi
kemudianmengalami kemajuan pesat pada abad ke-20.
Albert Einstein memberikan pandangan baru mengenaikosmologi
melalui Teori Relativitas Umum. Teori ini meny-
5
-
atakan ruang dan waktu sebagai satu kesatuan (Einstein,
2005).Masih pada waktu yang sama, ilmuwan-ilmuwan di bidang
as-tronomi mulai melakukan penelitian mengenai alam semestadengan
satu pernyataan mendasar: apakah galaksi tempatbumi berada
merupakan alam semesta secara keseluruhan atauhanya sebuah galaksi
biasa yang mempunyai bintang denganjumlah banyak?
Edwin Hubble menemukan bahwa objek-objek seperti neb-ula berada
di luar Galaksi Bima Sakti, sehingga dari pene-muan Hubble tersebut
dapat disimpulkan bahwa Galaksi BimaSakti hanyalah galaksi biasa di
alam semesta ini. Selain itu,Hubble juga menemukan bahwa di alam
semesta terdapatbanyak galaksi dan terdistribusi secara merata pada
skalayang besar. Skala besar yang dimaksud adalah skala yangtidak
lagi mengacu pada skala galaksi, ataupun kluster galaksi,melainkan
skala dengan orde milyaran tahun cahaya. Padaskala ini, galaksi
mempunyai distribusi isotropik yang berartiterdistribusi secara
merata dengan arah berbeda di langit.Galaksi-galaksi ini juga
terdistribusi secara merata di ruangangkasa, atau homogen
(Weinberg, 1989).
Gambar 2.1: Illustrasi Prinsip Kosmologi (Ryden, 2006).
6
-
Dua fakta ini akhirnya dikenal sebagai dua prinsip
kosmologi:
1. Tidak ada titik spesial di alam semesta;
galaksi-galaksiterdistribusi secara merata di ruang angkasa pada
skalayang sangat besar. Alam semesta dapat dikatakan ho-mogen pada
skala besar ini.
2. Tidak ada arah yang spesial di alam semesta; galaksi-galaksi
terdistribusi secara merata dengan arah yangberbeda-beda pada skala
yang sangat besar. Alam semestaini disebut sebagai isotropik
(Frieman dkk., 2008), (Pad-manabahan, 2003).
Kedua prinsip ini tidak dapat diaplikasikan untuk skalayang
kecil karena adanya ketidak-homogen-an. Namun modelini tetap
digunakan karena dua alasan:
1. Merupakan model paling sederhana dari evolusi alamsemesta
(Friemann dkk., 2008).
2. Bukti observasi berupa CMB (Cosmic Microwave Back-ground)
mengindikasikan bahwa alam semesta memenuhiprinsip kosmologi (lihat
gambar 2.2) (Penzias dkk., 1965).
2.2 PersamaanMedan Einstein dengan Konstanta
Kosmologi
Einstein melalui persamaan medannya mengatakan bahwaseharusnya
materi dan energi membelokkan ruang-waktu. Ben-tuk kelengkungan
ruang-waktu ini digambarkan oleh bentuktensor metrik. Tensor metrik
sendiri dipengaruhi oleh dis-tribusi massa sebagai sumber
gravitasi. Integral aksi total
7
-
Gambar 2.2: Cosmic Microwave Background atau sebuah relik
ca-haya dari awal penciptaan alam semesta, diobservasi pada
tahun1964 oleh Penzias dan Wilson menggunakan teleskop radio
denganpanjang gelombang gamma. Radiasi ini merupakan radiasi
bendahitam dengan temperatur 2,725 K.
yang disebabkan aksi massa sumber dan aksi oleh
gravitasidinyatakan sebagai berikut
S = SG + SM . (2.1)
Untuk mendapatkan persamaan gerak, maka diperlukan prin-sip aksi
minimum dengan variasi
�S = 0. (2.2)
Persamaan (2.1) menjadi
�SG + �SM = 0
�SG = ��SM , (2.3)
8
-
dengan nilai �SG dan �SM masing-masing adalah
�SG =1
2
Z
MLG[gµ⌫ ]
p�gd4x
�SM =
Z
MLM
p�gd4x. (2.4)
Dimana LM adalah lagrangian massa dan LG adalah
lagrangiangravitasi.
Lagrangian gravitasi dengan penambahan suku konstantakosmologi ⇤
adalah
LG = R� 2⇤. (2.5)
Modifikasi ini berdasarkan prinsip Mach. Suku ⇤
diinterpre-tasikan sebagai efek dari gaya tolak (repulsif) yang
mengkom-pensasi gaya tarik gravitasional sehingga dengan demikian
da-pat mempertahankan struktur ruang akibat kehomogenan ma-teri
alam semesta. Persamaan �SG = ��SM menjadi (lihatlampiran A.1 untuk
detail penurunan Persamaan Medan Ein-stein)
1
2
Z
M(R� 2⇤)
p�gd4x = �
Z
MLM
p�gd4x
1
2
Z p�g
✓Rµ⌫ �
1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫
◆�g
µ⌫d
4x =
1
2
Z p�gTµ⌫�gµ⌫d4x.
(2.6)
Solusi persamaan (2.6) adalah
Rµ⌫ �1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫ = 8⇡GTµ⌫ . (2.7)
Persamaan (2.7) merupakan Persamaan Medan Einsteindengan
penambahan konstanta kosmologi. Ruas kiri persamaanmedan Einstein
menggambarkan kelengkungan ruang-waktu
9
-
dan ruas kanannya menggambarkan distribusi materi. Inter-pretasi
dari persamaan ini adalah materi menyebabkan ruang-waktu melengkung
atau kelengkungan ruang waktu memerin-tahkan materi untuk bergerak
(Gron dan Hervik, 2007).
Secara historis, Einstein menambahkan konstanta kosmologiuntuk
mendukung postulatnya bahwa alam semesta ini statis.Namun, pada
1917, de Sitter memberikan model alam semestastatis tanpa
keterlibatan konstanta kosmologi. Selain itu,hasil obervasi
astronom-astronom pada jaman itu memberikanbukti mengenai adanya
pergeseran merah oleh galaksi-galaksiyang berada sangat jauh dari
Bumi. Bukti ini pertama kaliditemukan oleh Slipher pada tahun 1924.
Pada tahun yangsama, Friedmann mengajukan sebuah model kosmologi
den-gan ekspansi alam semesta. Setahun sebelumnya, yaitu tahun1923,
Weyl sudah memprediksi dari model de Sitter bahwamodel yang
diberikan oleh de Sitter akan menghasilkan perge-seran merah oleh
benda angkasa, bertambah seiring jarakbanda tersebut. Hal ini
karena pada metrik de Sitter, sis-tem koordinat yang diberikan
tidak bergantung pada waktu,namun benda yang dijadikan acuan tidak
diam. Berdasarkanprediksi Weyl ini, Einstein kemudian mengirimkan
surat kepadaWeyl, reaksi terhadap ditemukannya ekspansi alam
semestayang berisi: Jika alam semesta ini tidak statis, maka
janganpernah gunakan konstanta kosmologi! (Weinberg, 1989)
Setelah tahun-tahun penuh kontroversi, ditambah denganperkataan
Einstein menjelang akhir hayatnya bahwa konstantakosmologi
merupakan salah satu kesalahan terbesar dalamhidupnya, penggunaan
konstanta ini mulai ditinggalkan. Se-hingga persamaan medan
Einstein yang umum digunakan un-tuk memodelkan alam semesta adalah
persamaan medan Ein-stein tanpa konstanta kosmologi. Namun, pada
tahun 1998,Riess bersama timnya menemukan pergeseran merah oleh
bin-tang Supernova tipe Ia dan menyimpulkan bahwa ada keterli-
10
-
batan konstanta kosmologi dalam pergeseran merah
tersebut.Penemuan ini menyebabkan dibukanya kembali
penggunaankonstanta kosmologi pada model standar alam semesta.
2.3 Metrik FLRW (Friedmann - Lemaitre - Robert-
son - Walker)
Pada tahun 1922, matematikawan Uni Soviet bernamaAlexander
Friedmann menjadi orang pertama yang memprediksiekspansi alam
semesta melalui persamaan matematika. Prediksiini ia dapatkan dari
penurunan Persamaan Medan Einsteindengan menggunakan metrik yang ia
bangun sendiri. Prediksiini di periksa langsung oleh Albert
Einstein , namun Einsteingagal memahami kondisi fisis dari
persamaan Friedmann se-hingga ia menganggap bahwa prediksi
Friedmann ini hanyalahrasa penasaran matematis saja.
Pada tahun 1928, seorang biarawan dan astronom dariBelgia
bernama Georges Lemaitre, secara independen mem-berikan hasil yang
sama dengan prediksi Friedmann. Setahunsetelah hasil kalkulasi
Lemaitre dipublikasian di Belgia, EdwinHubble menemukan bahwa alam
semesta mengembang. Halini memicu Sir Arthur Eddington, seorang
astronom Inggris,untuk menerjemahkan jurnal Lemaitre ke Bahasa
Inggris danmenerbitkannya.
Pada tahun 1935, pekerjaan Friedmann dan Lemaitre dikajilebih
jauh lagi oleh fisikawan Amerika , Howard P. Robertsondan
matematikawan Inggris, Arthur Geo↵rey Walker, yangmembuat metrik
ini dinamakan metrik FLRW. Penamaan inimengikuti nama keempat
ilmuwan yang menggagas metrikini(walaupun terdapat kontroversi
untuk penamaan ini, il-muwan di luar Amerika memberikan nama metrik
ini seba-gai metrik Friedmann - Lemaitre atau metrik FL
berdasarkandua penggagas utama. Sedangkan ilmuwan di Amerika
mem-
11
-
berikan nama metrik ini sebagai metrik Robertson - Walkeratau
metrik RW saja) (Bergstrom, 2006).
Metrik FLRW ini dibangun berdasarkan prinsip kosmologi,yaitu
isotropik dan homogen. Asumsi pertama yaitu alamsemesta adalah
isotropik dan mengalami ekspansi sejauh aseiring waktu, maka bentuk
metrik ruang-waktunya berupa
ds
2 = �c2dt2 + a(t)dl2. (2.8)
Untuk memudahkan perhitungan, maka diambil nilai c=1, se-hingga
metrik tersebut menjadi
ds
2 = �dt2 + a2(t)dl2. (2.9)
Metrik ruang-waktu di atas terdiri atas bagian ruang
dantemporal. Metrik waktu disini dapat diinterpretasikan seba-gai
waktu kosmologi atau waktu alam semesta. Sementaraitu, bagian ruang
harus dikonstruksi berdasarkan sifat alamsemesta, sehingga akan
diambil beberapa asumsi untuk mem-bentuk komponen metrik dari
ruang. Pertama, materi dariruang-waktu dan ruang harus melengkung.
Kehomogenanalam semesta membuat kurvatur dari ruang harus sama
padasetiap titik. Kedua, metrik ruang ini dapat ditinjau
sebagaipermukaan dari ruang Euclid tiga dimensi. Dari asumsi
ini,terdapat dua tipe permukaan yang mempunyai kurvatur ho-mogen,
yaitu bidang datar dan bola. Sehingga metrik ruangalam semesta
dapat dirumuskan sebagai
dl
2 = dx2 + dy2 + dz2. (2.10)
Hanya saja, bidang datar tidak memiliki kelengkungan samasekali
karena kedatarannya, sehingga satu-satunya permukaanyang mungkin
adalah bola. Metrik ruang tersebut harus di-transformasi dari
koordinat kartesian menjadi koordinat bola
12
-
dengan
x = r sin ✓cos�
y = r sin ✓ sin�
z = r cos ✓, (2.11)
maka didapatkan (lihat persamaan A.29 - A.31 pada lampi-ran)
dx =@x
@r
dr +@x
@✓
d✓ +@x
@�
d�
= sin ✓ cos�dr + r cos ✓ cos�d✓ � r sin ✓ sin�d�
dy =@y
@r
dr +@y
@✓
d✓ +@y
@�
d�
= sin ✓ sin�dr + r sin� cos ✓d✓ + r sin ✓ cos�d�
dz =@z
@r
dr +@z
@✓
d✓
= cos ✓dr � r sin ✓d✓. (2.12)
Elemen-elemen garis tersebut dikuadratkan, sehingga
(lihatpersamaan A.32-A.34 pada lampiran)
dx
2 = sin2 ✓ cos2 �dr2 + r cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r sin2 ✓ sin2
�d�2
+2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � 2r sin2 ✓ sin� cos�drd��2r2 cos ✓
cos� sin ✓ sin�d✓d�,
dy
2 = sin2 ✓ sin2 �dr2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2
�d�2
+2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + 2r sin2 ✓ sin� cos�drd�
+2r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d�,
dz
2 = cos2 ✓dr2 � 2r sin ✓ cos ✓drd✓ + r2 sin2 ✓d✓2, (2.13)
dan menyisakan metrik ruang dalam koordinat bola (lihat
per-samaan A.35 pada lampiran)
dl
2 = dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2. (2.14)
13
-
Pada kenyataannya, geometri alam semesta bukan merupakanbidang
Euclid tiga dimensi, namun merupakan tiga dimensihyper-bola atau
bidang Euclid empat dimensi. Sehingga metrikruang diubah lagi
menjadi
dl
2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2, (2.15)
dimana dw adalah suku dari kurvatur empat dimensi
R
2 = x2 + y2 + z2 + w2. (2.16)
Dimisalkan
r
2 = x2 + y2 + z2 (2.17)
maka
R
2 = r2 + w2. (2.18)
Kemudian substitusikan persamaan (2.19) ke persamaan (2.18)
w
2 = R2 � r2
2wdw = �2rdrdw =
�rw
dr
dw
2 = (�rdrw
)2
= [�r dr(R2 � r2)1/2
]2
dw
2 = r2dr
2
R
2 � r2 . (2.19)
Selanjutnya, dari persamaan (2.12) dan (2.19), menyisakan(lihat
persamaan A.43 pada lampiran)
dl
2 = dr2(1
1� r2R2) + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2. (2.20)
14
-
Untuk menyederhanakan bentuk (2.20), diperkenalkan
simbolkurvatur k = 1R2 , sehingga persamaan (2.20) menjadi
dl
2 = dr2✓
1
1� kr2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (2.21)
dengan nilai k adalah nilai kelengkungan kurvatur. Berdasarkank,
alam semesta tertutup mempunyai nilai k = 1, alam semestadatar
mempunyai nilai k = 0 dan alam semesta terbuka mem-punyai nilai k =
-1.
Setelah itu, persamaan (2.24) disubstitusi ke persamaan(2.12)
untuk mendapatkan metrik ruang-waktu seutuhnya
ds
2 = �dt2 + a2(t)dr
2
✓1
1� kr2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
�
(2.22)metrik ruang-waktu diatas disebut sebagai metrik FLRW.
15
-
Halaman ini sengaja dikosongkan
16
-
BAB 3
SOLUSI FRIEDMANN
3.1 Solusi Friedmann
Solusi Friedmann adalah salah satu dari solusi PersamaanMedan
Einstein dengan Konstanta Kosmologi. Solusi ini meru-pakan hasil
dari penurunan metrik FLRW yang tidak noldan pertama kali dilakukan
oleh Friedmann pada tahun 1924yang menceritakan ekspansi alam
semesta akibat adanya fak-tor skala, yaitu sebuah faktor jarak yang
menggambarkanalam semesta mengembang.
Langkah pertama dalam mencari solusi Friedmann
adalahmengidentifikasi tensor metrik gµ⌫ , diberikan oleh Metrik
FLRW
ds2 = �dt2+a2(t)[dr2( 11� kr2 )+r
2d✓2+r2 sin2 ✓d�2]. (3.1)
Dengan mengalikan faktor skala pada metrik ruang, maka
di-dapatkan
ds2 = �dt2 + a2(t)( dr2
1� kr2 ) + a2(t)r2d✓2 + a2(t)r2 sin2 ✓d�2.
(3.2)Dari metrik ruang-waktu tersebut, didapatkan empat
buahelemen, yaitu elemen waktu dt dan tiga buah elemen
ruang,a2(t)1�kr2dr
2, a2(t)r2d✓2, dan a2(t)r2 sin2 ✓d�2. Keempat elemenini adalah
elemen diagonal dari tensor metrik gµ⌫ yang dapat
17
-
dituliskan sebagai
gµ⌫ =
0
BBB@
�1 0 0 00 a
2(t)1�kr2 0 0
0 0 a2(t)r2 00 0 0 a2(t)r2 sin2 ✓
1
CCCA. (3.3)
Bentuk kontravarian dari tensor metrik diatas adalah
gµ⌫ =
0
BBB@
�1 0 0 00 1�kr
2
a2(t) 0 0
0 0 1a2(t)r2 0
0 0 0 1a2(t)r2 sin2 ✓
1
CCCA. (3.4)
Setelah itu, langkah berikutnya adalah mencari nilai darisimbol
Christo↵el jenis ke-2 dari tensor metrik diatas denganpersamaan
��µ⌫ =1
2g��(@µg⌫� + @⌫gµ� � @�gµ⌫). (3.5)
Nilai dari simbol Christo↵el berjumlah 64 komponen dan seba-gian
besar bernilai nol. Komponen-komponen simbol Christof-fel yang
tidak bernilai nol adalah (lihat persamaan A.51 -
18
-
A.114 pada lampiran)
�011 =aȧ
1� kr2�022 = r
2aȧ
�033 = r2aȧ sin2 ✓
�101 = �110 = �
202 = �
220 = �
303 = �
330 =
ȧ
a
�111 =kr
1� kr2�122 = �r(1� kr2)�133 = �r(1� kr2) sin2✓
�221 = �212 = �
313 = �
331 =
1
r�233 = � sin ✓ cos ✓
�323 = �332 =
1
tan ✓. (3.6)
Langkah berikutnya adalah mencari Tensor Ricci (Romeu,2013).
Tensor Ricci merupakan kontraksi dari Tensor Rie-mann dan
dituliskan sebagai
Rµ⌫ = @⌫��µ� � @���µ⌫ + �⇢µ⌫��⇢⌫ � �⇢µ⌫��⇢�. (3.7)
Tensor Ricci bersifat simetri (Rµ⌫ = R⌫µ), sehingga
hanyaterdapat 10 komponen bebas. Untuk komponen Ri0, (i =1,2,3),
didapatkan:
Ri0 = @0��i� � @���i0 + �
⇢i��
�⇢0 � �
⇢i0�
�⇢�. (3.8)
Kondisi statik mensyaratkan bahwa @0gµ⌫ = 0 sehingga @0��i�= 0.
Tensor Ricci menjadi
Ri0 = �@j�ji0 + �⇢ij�
j⇢0 � �
⇢i0�
j⇢j . (3.9)
19
-
Dengan menggunakan nilai �ij0= 0, �⇢0⇢= 0 dan �
0ij= 0, maka
didapatkanRi0 = R0i = 0, (3.10)
maka komponen tensor Ricci yang tersisa adalah komponendalam
arah diagonal (Rµµ). Nilai dari Rµµ ini adalah (lihatpersamaan
A.117 - A.120 pada lampiran):
Rµµ = @µ��µ� � @���µµ + ��⇢µ�⇢µ� � �⇢µµ��⇢�. (3.11)
Untuk µ = 0
R00 = �3ä
a. (3.12)
Untuk µ = 1
R11 =2ȧ2
1� kr2 +aä
1� kr2 +2k
1� kr2 . (3.13)
Untuk µ = 2
R22 = 2r2ȧ2 + r2aä+ 2kr2. (3.14)
Untuk µ = 3
R33 = r2aä2 sin2 ✓ + 2r2ȧ2 sin2 ✓ + 2kr2 sin2 ✓. (3.15)
Kemudian, langkah berikutnya adalah mencari nilai dariSkalar
Ricci dengan persamaan
R = gµ⌫Rµ⌫ . (3.16)
Dari persamaan (3.12), (3.13), (3.14) dan (3.15) terlihat
bahwakomponen Tensor Ricci memiliki nilai hanya jika µ = ⌫,
se-hingga syarat tersebut berlaku juga terhadap metrik gµ⌫ .
Den-gan memasukkan nilai µ = ⌫ = 0, 1, 2, dan 3, maka nilai
SkalarRicci adalah (lihat persamaan A.123 pada lampiran)
R = g00R00 + g11R11 + g
22R22 + g33R33
=6ä
a+
6ȧ2
a2+
6k
a2. (3.17)
20
-
Ruas kiri pada persamaan Medan Einstein telah selesaidikerjakan.
Langkah berikutnya adalah dengan mengerjakanTensor Energi-Momentum
pada ruas kanan persamaan MedanEinstein. Diasumsikan bahwa Tensor
Energi-Momentum dialam semesta adalah fluida ideal
Tµ⌫ = (⇢+ p)UµU⌫ + pgµ⌫ , (3.18)
dengan matriks U
U↵ =
0
BB@
1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
1
CCA , (3.19)
dimana U↵ menyatakan bahwa pada persamaan (3.18) yangmemiliki
nilai adalah ⇢ = 1 dan p = 0.
Sama seperti pada Tensor Ricci dan metrik gµ⌫ ,
TensorEnergi-Momentum yang tidak bernilai nol adalah matriks
di-agonalnya, maka nilai µ harus sama dengan nilai ⌫ denganµ = ⌫ =
0, 1, 2, 3. Sehingga didapatkan solusi umum per-samaan Medan
Einstein (lihat persamaan A.127-A.128 padalampiran):Untuk µ = ⌫ =
0
R00 �1
2Rg00 + ⇤g00 = 8⇡GT00
✓ȧ
a
◆2=
8⇡G⇢
3+
⇤
3� k
a2. (3.20)
Persamaan (3.20) disebut juga sebagai Persamaan Friedmannjenis
pertama. Didefinisikan
✓ȧ
a
◆2= H2, (3.21)
21
-
maka persamaan (3.20) dibaca
H2 ⌘✓ȧ
a
◆2=
8⇡G⇢
3+
⇤
3� k
a2. (3.22)
Sehingga Persamaan Friedmann jenis pertama dikenal jugasebagai
persamaan Parameter Hubble. Solusi ini akan digu-nakan untuk
memodelkan alam semesta.Untuk µ = ⌫ = 1
R11 �1
2Rg11 + ⇤g11 = 8⇡GT11
ä
a+
ȧ2
2a2= �4⇡Gp+ ⇤
2� k
2a2(3.23)
Untuk µ = ⌫ = 2
R22 �1
2Rg22 + ⇤g22 = 8⇡GT22
ä
a+
ȧ2
2a2= �4⇡Gp+ ⇤
2� k
2a2(3.24)
Untuk µ = ⌫ = 3
R33 �1
2Rg33 + ⇤g33 = 8⇡GT33
ä
a+
ȧ2
2a2= �4⇡Gp+ ⇤
2� k
2a2(3.25)
Dari persamaan (3.23), (3.24), dan (3.25) didapatkan solusiyang
sama. Berikutnya adalah mengeliminasi persamaan (3.24)dengan
persamaan (3.20), maka didapatkan (lihat A.129 padalampiran)
ä
a= �4⇡G
3(⇢+ 3p) +
⇤
3. (3.26)
Persamaan (3.26) ini dinamakan sebagai Persamaan Fried-mann
jenis kedua.
22
-
3.2 Bentuk Lain dari Persamaan Friedmann Je-nis Pertama
Setelah didapatkan solusi Friedmann jenis pertama, diper-lukan
modifikasi untuk memenuhi keadaan fisis alam semesta.Ada beberapa
faktor yang berpengaruh pada solusi ini, yaitukurvatur, konstanta
kosmologi, dan materi. Diketahui Per-samaan Friedmann jenis
pertama
H =ȧ
a
H2 =8⇡G
3
✓⇢+
⇤
8⇡G
◆=
k
a2
=8⇡G
3(⇢+ ⇢⇤)�
k
a2(3.27)
dengan
⇢⇤ =⇤
8⇡G(3.28)
dan⇢ = ⇢m + ⇢r. (3.29)
Dimana ⇢m = densitas materi dan ⇢r = densitas radiasi. Dialam
semesta ini, densitas materi berupa
⇢m = ⇢b + ⇢cdm, (3.30)
dengan ⇢b = densitas baryon dan ⇢r = densitas radiasi.
Didefin-isikan lagi densitas radiasi
⇢r = ⇢� + ⇢⌫ , (3.31)
dengan ⇢� = foton dan ⇢⌫ = neutron. Hanya saja, pada Per-samaan
Friedmann, densitas yang digunakan adalah densitasmateri dan
densitas radiasi saja, sehingga
H2 =8⇡G
3(⇢m + ⇢r + ⇢⇤)�
k
a2. (3.32)
23
-
Alam semesta pada saat ini berada dalam keadaan denganmassa dan
volume yang cukup untuk membuat alam semestamenuju penyusutan.
Keadaan ini dinamakan sebagai alamsemesta kritis, dimana bila
keadaan ini telah dicapai makaalam semesta akan berbentuk flat atau
k=0 (Friemann dkk,2008)
H2 =8⇡G
3(⇢m + ⇢r + ⇢⇤)
3H2
8⇡G= (⇢m + ⇢r + ⇢⇤)| {z }
⇢crit
3H2
8⇡G= ⇢crit
3H208⇡G
= ⇢crit,0. (3.33)
Kemudian persamaan (3.33) disubstitusi ke persamaan
(3.32),sehingga
H2 =8⇡G
3(⇢m + ⇢r + ⇢⇤)
H2
⇢crit,0=
8⇡G
3
✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤
⇢crit,0
◆
H2
3H208⇡G
=8⇡G
3
✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤
⇢crit,0
◆
H2
H20=
✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤
⇢crit,0
◆
H2 = H20
✓⇢m + ⇢r + ⇢⇤
⇢crit,0
◆� k
a2, (3.34)
dengan
⌦m =⇢m(a)
⇢crit(a), ⌦r =
⇢r(a)
⇢crit(a), ⌦⇤ =
⇢⇤(a)
⇢crit(a). (3.35)
24
-
Maka
H2 = H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0)�k
a2
k
a2= H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0)�H2. (3.36)
untuk alam semesta saat ini digunakan nilai H = H0 dana0 = 1
k
a20= H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0)�H20
k = H20 (⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0 � 1)
� kH20
= 1� ⌦m,0 � ⌦r,0 � ⌦⇤,0, (3.37)
didefinisikan ⌦k,0 ⌘ � kH20 , maka
⌦k,0 = 1� ⌦m,0 � ⌦r,0 � ⌦⇤,0
⌦k,0 + ⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0 = 1. (3.38)
Pada literatur (Gron dan Hervik, 2007), didapatkan per-bandingan
antara kerapatan dan skala faktor:
⇢r =1
a4
⇢m =1
a3
⇢k =1
a2. (3.39)
Menyempurnakan persamaan (3.32) menjadi
H2 = H20
✓⌦r,0a4
+⌦m,0a3
+⌦k,0a2
+ ⌦⇤,0
◆
25
-
BAB 4
MODEL STANDAR ALAM SEMESTA
Dalam bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa solusiFriedmann
yang didapatkan ada dua, yaitu Persamaan Fried-mann jenis pertama
dan Persamaan Friedmann jenis kedua.Untuk memodelkan alam semesta,
solusi yang digunakan hanyasolusi Friedmann jenis pertama yang
telah diubah bentuknyasesuai dengan keadaan fisis alam semesta. Ada
beberapa pa-rameter yang berpengaruh untuk memodelkan alam
semesta,yaitu parameter materi, parameter radiasi, paramater
kur-vatur, dan parameter konstanta kosmologi (Ohanian dan
Ru�ni,2013).
Pada Tugas Akhir ini, parameter radiasi yang digunakannilainya
sangat kecil atau mendekati nol, sehingga untuk se-mua model
kecuali model alam semesta yang dipenuhi radi-asi, akan digunakan
nilai ⌦r,0 = 0. Selain itu, nilai parame-ter konstanta kosmologi
yang digunakan hanya dibatasi untuk⌦⇤,0 lebih dari nol. Untuk
parameter kurvatur, nilai ⌦k,0 =-1 hanya digunakan untuk satu model
alam semesta saja, se-hingga didapatkan tujuh model alam semesta
yang akan diba-has pada Tugas Akhir ini (untuk detail integral,
lihat lampiranA.4)
4.1 Model Alam Semesta Pertama
Untuk model alam semesta pertama ini diambil nilai ⌦m,0= 1 dan
nilai ⌦r,0 = ⌦k,0 = ⌦⇤,0 = 0. Nilai-nilai ini dima-
27
-
sukkan pada persamaan (3.27), sehingga didapatkan
✓ȧ
a
◆2= H20 (
0
a4+
1
a3+
0
a2+ 0)
✓ȧ
a
◆2= H20
✓1
a3
◆
ȧ
a=
H20
✓1
a3
◆�1/2
1
a
da
dt= H0
✓1
a3/2
◆. (4.1)
Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga didap-atkan
solusi
a(t) =
✓3
2H0t
◆2/3. (4.2)
Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software
Math-ematica.
Gambar 4.1: Model Alam Semesta dengan Dominasi Materi
Alam semesta ini didominasi oleh materi. Bila ditinjausecara
fisis alam semesta, keadaan ini terjadi saat awal mula
28
-
alam semesta mulai terbentuk. Saat itu alam semesta memi-liki
jumlah materi yang sangat berlimpah, sehingga parame-ter radiasi,
parameter konstanta kosmologi belum muncul saatitu. Selain itu,
saat itu alam semesta belum mempunyai ke-lengkungan, sehingga alam
semesta dapat dikatakan flat. Darigrafik terlihat bahwa alam
semesta ini memiliki keadaan awalatau terbentuk dari big bang.
Model ini biasa disebut sebagaimodel alam semesta Friedmann.
4.2 Model Alam Semesta Kedua
Untuk model alam semesta kedua ini diambil nilai ⌦r,0 =1 dan
nilai ⌦m,0 = ⌦k,0 = ⌦⇤,0 = 0. Nilai-nilai ini dimasukkanpada
persamaan (3.27), sehingga didapatkan
✓ȧ
a
◆2= H20
✓1
a4+
0
a3+
0
a2+ 0
◆
✓ȧ
a
◆2= H20
✓1
a4
◆
ȧ
a=
H20
✓1
a4
◆�1/2
1
a
da
dt= H0
✓1
a2
◆. (4.3)
Persamaan (4.3) kemudian diintegralkan, sehingga
didapatkansolusi
a(t) = (2H0t)1/2. (4.4)
Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software
Math-ematica (lihat gambar 4.2).
Alam semesta ini didominasi oleh radiasi. Bila ditinjausecara
fisis alam semesta saat ini, jumlah radiasi sangatlah ke-cil,
sehingga model ini tidak cocok untuk model alam semesta
29
-
Gambar 4.2: Model Alam Semesta dengan Dominasi Radiasi
sekarang. Dari grafik terlihat bahwa alam semesta ini mem-punyai
keadaan awal (t = 0) atau tercipta dari big bang.
4.3 Model Alam Semesta Ketiga
Untuk model alam semesta ketiga ini diambil nilai ⌦⇤,0 =1 dan
nilai ⌦m,0 = ⌦k,0 = ⌦r,0 = 0. Nilai-nilai ini dimasukkanpada
persamaan (3.27), sehingga didapatkan
✓ȧ
a
◆2= H20
✓0
a4+
0
a3+
0
a2+ 1
◆
✓ȧ
a
◆2= H20 (1)
ȧ
a=
�H20
�1/2
1
a
da
dt= H0. (4.5)
Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga dida-
30
-
patkan solusi
a(t) = eH0t. (4.6)
Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software
Math-ematica.
Gambar 4.3: Model Alam Semesta dengan Dominasi Konstanta
Kosmologi
Alam semesta ini didominasi oleh konstanta kosmologi.Bila
ditinjau secara fisis alam semesta saat ini, konstantakosmologi
adalah penyebab terjadinya ekspansi alam semesta.Hanya saja, model
ini mempunyai kekurangan. Terlihat darigrafik, keadaan awal alam
semesta tidak mulai dari t = 0. Halini menyebabkam alam semesta
tidak tercipta dari big bang.
4.4 Model Alam Semesta Keempat
Model alam semesta keempat adalah pengembangan darimodel alam
semesta ketiga. Untuk model alam semesta inidiambil dua parameter
yang memiliki nilai, yaitu ⌦⇤,0 = ⌦k,0= 1 dan nilai ⌦m,0 = ⌦r,0 =
0. Nilai-nilai ini dimasukkan
31
-
pada persamaan (3.27), sehingga didapatkan✓ȧ
a
◆2= H20
✓0
a4+
0
a3+
1
a2+ 1
◆
✓ȧ
a
◆2= H20 (
1
a2+ 1)
ȧ
a=
H20
✓a2 + 1
a2
◆�1/2
1
a
da
dt= H0
✓a2 + 1
a2
◆1/2. (4.7)
Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga didap-atkan
solusi
a(t) = sinh(H0t). (4.8)
Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software
Math-ematica.
Gambar 4.4: Model Alam Semesta dengan Konstanta Kosmologi
dan Kurvatur tidak Nol
Alam semesta ini didominasi oleh konstanta kosmologi na-mun
mempunyai nilai kelengkungan yang lebih dari nol. Hal
32
-
ini akan berimplikasi pada model alam semesta yaitu modelalam
semesta tertutup. Selain itu, nilai kelengkungan yangtidak nol akan
menyebabkan jari-jari kelengkungannya tidakpernah nol sehingga jika
ditinjau secara fisis alam semesta,model ini tidak mempunyai awal
penciptaan atau big bang.
4.5 Model Alam Semesta Kelima
Model alam semesta kelima ini hampir menyerupai modelalam
semesta keempat. Perbedaannya adalah nilai parameterkurvatur yang
diambil. Untuk model alam semesta ini diambildua parameter yang
memiliki nilai, yaitu ⌦⇤,0 = 1, ⌦k,0 = -1dan nilai ⌦m,0 = ⌦r,0 = 0.
Nilai-nilai ini dimasukkan padapersamaan (3.27), sehingga
didapatkan
✓ȧ
a
◆2= H20
✓0
a4+
0
a3� 1
a2+ 1
◆
✓ȧ
a
◆2= H20
✓� 1a2
+ 1
◆
ȧ
a=
H20
✓a2 � 1a2
◆�1/2
1
a
da
dt= H0
✓a2 � 1a2
◆1/2. (4.9)
Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga didap-atkan
solusi
a(t) = cosh(H0t). (4.10)
Setelah itu, solusi tersebut di plot menggunakan software
Math-ematica.
Sama seperti pada model alam semesta keempat, modelalam semesta
kelima ini didominasi oleh konstanta kosmologidan mempunyai nilai
parameter kurvatur yang kurang dari
33
-
Gambar 4.5: Model Alam Semesta dengan Konstanta Kosmologi
dan Kurvatur tidak Nol
nol. Hal ini akan berimplikasi pada model alam semesta
yaitumodel alam semesta terbuka. Perbedaan antara model alamsemesta
kelima dan keempat adalah model alam semesta ke-lima mempunyai awal
atau tercipta dari big bang.
4.6 Model Alam Semesta Keenam
Model alam semesta keenam ini adalah model alam semestadengan
menggunakan tiga parameter yang tidak bernilai
nol.Paramater-parameter tersebut adalah parameter materi,
pa-rameter kurvatur, dan parameter konstanta kosmologi. Diam-bil
masing-masing nilai paramater, yaitu ⌦m,0 = ⌦k,0 = ⌦⇤,0= 1 dan ⌦r,0
= 0. Hanya saja, untuk mendapatkan modelalam semesta dengan
menggunakan parameter ini, tidak da-pat dengan memasukkan langsung
nilai-nilai tersebut padapersamaan (3.27). Hal ini akan membuat
perhitungan sangatsulit untuk dikerjakan. Sehingga model ini
merupakan kom-binasi dari dua model, yaitu model alam semesta yang
hanya
34
-
terdiri dari materi (grafik 4.1) saja kemudian dilanjutkan
den-gan model alam semesta yang terdiri dari konstanta kosmologidan
kurvatur positif (grafik 4.4).
Gambar 4.6: Model Alam Semesta dengan Konstanta Kosmologi,
Materi dan Kurvatur tidak Nol
Model alam semesta ini memenuhi keadaan fisis alam semesta.Pada
awal penciptaan, alam semesta memiliki kelimpahanmateri yang sangat
banyak. Seiring dengan perkembanganalam semesta, kelimpahan materi
tersebut mulai berkurang,sehingga konstanta kosmologi mulai muncul
dan mendomi-nasi alam semesta. Kemudian, alam semesta yang dari
awal-nya tidak memiliki kurvatur setelah big bang, perlahan
mulaimempunyai kelengkungan dan akan terus mengembang.
4.7 Model Alam Semesta Ketujuh
Untuk model alam semesta ini, diambil dua parameteryang tidak
bernilai nol, yaitu ⌦m,0 dan ⌦⇤,0. Sementara itu,nilai ⌦r,0 = ⌦k,0
= 0. Model ini harus memenuhi syarat pa-
35
-
rameter
⌦m,0 + ⌦r,0 + ⌦⇤,0 = 1
⌦m,0 + 0 + ⌦⇤,0 = 1
⌦m,0 + ⌦⇤,0 = 1. (4.11)
Nilai parameter-parameter tersebut dimasukkan ke persamaan(3.27)
Sehingga didapatkan
✓ȧ
a
◆2= H20
✓0
a4+
⌦m,0a3
+0
a2+ ⌦⇤,0
◆
✓ȧ
a
◆2= H20
✓⌦m,0a3
+ ⌦⇤,0
◆
ȧ
a=
H20
✓⌦m,0a3
+ ⌦⇤,0a3
a3
◆�1/2
1
a
da
dt= H0
✓⌦m,0 + ⌦⇤,0a3
a3
◆1/2. (4.12)
Persamaan diatas kemudian diintegralkan, sehingga didap-atkan
solusi
a(t) =
✓⌦m,0⌦⇤,0
◆1/3sinh2/3
✓3
2H0t
p⌦⇤,0
◆. (4.13)
Setelah itu, solusi tersebut diplot dengan menggunakan soft-ware
Mathematica dengan menggunakan nilai ⌦m,0 dan ⌦⇤,0yang
bervariasi.
Alam semesta ini terdiri dari dua komponen, yaitu materidan
konstanta kosmologi. Dari grafik terlihat bahwa ketikajumlah materi
lebih mendominasi dibandingkan dengan kon-stanta kosmologi, maka
alam semesta berekspansi dengan lam-bat. Sebaliknya, ketika
konstanta kosmologi lebih mendomi-nasi bila dibandingkan dengan
jumlah materi, maka pada satu
36
-
Gambar 4.7: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0=0.7 dan ⌦⇤,0=0.3
titik alam semesta akan mulai berekspansi lebih cepat dari-pada
alam semesta dengan dominasi materi.
Bila diinterpretasi menurut keadaan fisis alam semesta,keadaan
materi lebih mendominasi dibanding konstanta kos-mologi terjadi
pada awal terciptanya alam semesta. Hal inimenghasilkan alam
semesta yang linier saja. Setelah itu, seir-ing perkembangannya,
perlahan konstanta kosmologi mulaimendominasi alam semesta,
sehingga terjadi ekspansi dariyang awalnya linier menjadi
eksponensial. Namun, ketiadaaankurvatur membuat model alam semesta
ini berbentuk datar.
37
-
Gambar 4.8: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0=0.3 dan ⌦⇤,0=0.7
Gambar 4.9: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0 dan ⌦⇤,0
yangbervariasi
38
-
BAB 5
DISKUSI
Persamaan Medan Einstein dengan Konstanta Kosmologiyang tidak
nol ini mempunyai berbagai macam solusi, salahsatunya adalah solusi
Friedmann. Solusi Friedmann yang di-dapatkan ada dua, yaitu jenis
pertama dan kedua. Untukmelakukan pemodelan alam semesta, solusi
yang digunakanadalah Persamaan Friedmann jenis pertama. Sementara
itu,Persamaan Friedmann jenis kedua digunakan untuk menda-patkan
parameter-parameter alam semesta yang digunakanuntuk memodifikasi
Persamaan Friedmann jenis pertama (Car-roll, 2001).
Namun sebelum dilakukan pemodelan, solusi ini harus
di-modifikasi terlebih dahulu agar sesuai dengan keadaan fisisalam
semesta. Setelah itu, didapatkan parameter-parameteryang
mempengaruhi pemodelan alam semesta, yaitu param-eter materi (⌦
m,0), parameter radiasi (⌦r,0), parameter kur-vatur (⌦
k,0), dan parameter konstanta kosmologi (⌦⇤,0). Den-gan
memasukkan syarat-syarat parameter dan beberapa penge-cualian, maka
didapatkan tujuh model alam semesta. Namunpada grafik dibawah hanya
akan dibandingkan enam modelalam semesta karena model alam semesta
keenam merupakankombinasi dari alam semesta pertama dan keempat
Dari gambar 5.1, hanya dua model alam semesta saja yangtidak
dipengaruhi oleh konstanta kosmologi, yaitu model alamsemesta
pertama yang hanya berisi materi saja dan modelalam semesta kedua
yang hanya berisi radiasi saja. Sementaraitu, model alam semesta
ketiga hingga model alam semesta ke-tujuh semuanya dipengaruhi oleh
konstanta kosmologi. Hal ini
39
-
Gambar 5.1: Perbandingan dari Model-model Alam Semesta
memperlihatkan pengaruh konstanta kosmologi yang cukupmencolok.
Untuk model alam semesta yang tidak dipengaruhioleh konstanta
kosmologi, terlihat bahwa alam semesta terse-but mengembang secara
linier kemudian pada suatu titik ham-pir konstan atau tidak
mengalami ekspansi sama sekali. Se-baliknya, ketika model alam
semesta diberikan pengaruh kon-stanta kosmologi, maka
perlahan-lahan model tersebut akanmengalami ekspansi terus-menerus
secara eksponensial.
Dari model-model tersebut, ada dua model alam semestayang tidak
dimulai dari big bang, yaitu model alam semestaketiga dan keempat.
Model alam semesta ketiga hanya berisikonstanta kosmologi saja. Hal
ini dapat diinterpretasikanbahwa kehadiran konstanta kosmologi saat
penciptaan alamsemesta belum ada. Begitu pula dengan model alam
semestakeempat. Alam semesta ini berisi konstanta kosmologi
danmemiliki kurvatur positif (k=1). Hal ini dapat
diinterpre-tasikan bahwa pada awal penciptaan, alam semesta
belummemiliki kelengkungan atau masih datar(k=0).
40
-
Sementara itu, dari ketujuh alam semesta yang telah di-modelkan,
ada satu model alam semesta yang cocok untukalam semesta saat ini,
yaitu model alam semesta ketujuh.Model ini memiliki nilai ⌦
m,0 dan ⌦⇤,0 bervariasi, sehinggadiperlukan nilai parameter yang
tepat agar didapatkan modelalam semesta yang sesuai. Untuk
menentukan nilai yang dibu-tuhkan, maka model alam semesta ini
haruslah sesuai den-gan hasil observasi. Pada tahun 1998, Adam G.
Riess dansekelompok astronom menemukan bukti bahwa alam
semestamengembang. Riess dan timnya meneliti pergeseran merahyang
dialami oleh bintang Supernovae Ia dan menyimpulkanbahwa pergeseran
merah tersebut dipengaruhi oleh konstantakosmologi yang ditunjukkan
pada grafik berikutDari gambar 5.2, terlihat bahwa nilai parameter
yang digu-nakan adalah ⌦
m,o
= 0.20 dan ⌦⇤,0=0.80. Nilai-nilai param-eter tersebut dimasukkan
ke model alam semesta ketujuh se-hingga didapatkan grafik seperti
pada gambar 5.3.
Ketika grafik pada gambar 5.2 dan grafik pada gambar
5.3dibandingkan, maka masih terdapat perbedaan. Pada gam-bar 5.2,
grafik ekspansi alam semesta tidak terlalu terlihat,sementara pada
gambar 5.3 terlihat bahwa alam semesta men-galami ekspansi yang
cukup mencolok. Bila perbedaan itudiinterpretasikan pada keadaan
alam semesta sekarang, makaada dua kemungkinan yang bisa
didapatkan. Pertama, umuralam semesta masih sangat muda. Pada
gambar 5.3, sumbux menunjukkan prediksi umur alam semesta, sehingga
dapatdikatakan alam semesta masih berada di daerah 0 < H0t <
1.Kedua, model alam semesta yang terlihat pada gambar 5.3merupakan
prediksi dari model alam semesta yang didapatkanoleh observasi
Riess dan timnya.
Hasil observasi ini tentu saja mengubah pandangan
ilmuwan-ilmuwan mengenai model standar alam semesta yang
digu-nakan. Saat persamaan Medan Einstein pertama kali diru-
41
-
Gambar 5.2: Pergeseran Merah Oleh Bintang Supernovae Ia (Riesset
al.,1998)
muskan oleh Einstein, model alam semesta pertama yang
munculadalah model Einsten-de Sitter. Model ini dibuat oleh de
Sit-ter yang mengatakan bahwa alam semesta statis dan hanyaberisi
materi saja. Model ini telah diuraikan pada subbab 4.1.
Setelah itu, Friedmann mengusulkan adanya pengaruh kon-stanta
kosmologi yang mengatakan bahwa alam semesta mengem-bang. Namun
kontroversi yang muncul pada saat itu membuatkonstanta kosmologi
diragukan dan dihapuskan keberadaan-nya oleh ilmuwan. Beberapa
tahun kemudian, tepatnya padatahun 1998, hasil observasi Riess et
al. membuka babak baru
42
-
Gambar 5.3: Model Alam Semesta dengan ⌦m,0= 0.20
dan⌦⇤,0=0.80
dalam memodelkan alam semesta: konstanta kosmologi adadan
membuat alam semesta mengembang. Sehingga munculsatu pertanyaan,
apakah bentuk dari konstanta kosmologi ini?Hingga saat ini, jawaban
untuk pertanyaan tersebut adalahkonstanta kosmologi di alam semesta
berupa energi gelap. En-ergi ini merupakan energi hipotesis yang
belum dapat dide-teksi keberadaannya, namun membuat alam semesta
men-galami ekspansi.
43
-
Halaman ini sengaja dikosongkan
44
-
LAMPIRAN A
Detail Penurunan Rumus
A.1 PersamaanMedan Einstein dengan Konstanta
Kosmologi
Aksi medan gravitasi pada ruang vakum
SG =1
2
Z
MLG (gµ⌫ , @�gµ⌫)
p�gd4x (A.1)
Bentuk dari LG adalah
LG = R� 2⇤ (A.2)
Pers.(A.2)disubstitusikan ke pers.(A.1)
SG =1
2
Z
M(R� 2⇤)
p�gd4x (A.3)
jika dilakukan variasi terhadap SG di atas, maka
�SG =1
2
Z��p
�gR� 2p�g⇤
�d4x, dengan R = Rµ⌫g
µ⌫
=1
2
Z��p
�gRµ⌫gµ⌫ � 2p�g⇤
�d4x
=1
2
Z(Rµ⌫g
µ⌫�p�g +Rµ⌫
p�g�gµ⌫ + gµ⌫
p�g�Rµ⌫
�2⇤�p�g)d4x (A.4)
dengan
��p
�gR�
= ��p
�ggµ⌫Rµ⌫�
=��p�g
�gµ⌫Rµ⌫ +
p�g (�gµ⌫)Rµ⌫
+p�ggµ⌫ (�Rµ⌫) (A.5)
49
-
karena
�g = ggµ⌫�gµ⌫ = �ggµ⌫�gµ⌫ (A.6)
maka
�p�g = @
p�g
@g�g
= � 12p�g �g
= � 12p�g (�ggµ⌫�g
µ⌫)
= �p�g2
gµ⌫�gµ⌫ (A.7)
Subetitusi pers.(A.7) ke pers.(A.5)
��p
�gR�
= �p�g2
gµ⌫�gµ⌫gµ⌫Rµ⌫ +
p�g (�gµ⌫)Rµ⌫
+p�ggµ⌫ (�Rµ⌫)
= �p�g2
gµ⌫�gµ⌫R+
p�g (�gµ⌫)Rµ⌫
+p�ggµ⌫ (�Rµ⌫)
=p�g
✓Rµ⌫ �
1
2gµ⌫R
◆�gµ⌫ +
p�ggµ⌫ (�Rµ⌫)
(A.8)
dengan suku ke-3 adalah
50
-
gµ⌫�Rµ⌫ = gµ⌫�
⇣@⌫�
⇢µ⇢ � @⇢�⇢µ⌫ + ��µ⇢�
⇢�⌫ � �
�µ⌫�
⇢�⇢
⌘
= gµ⌫��@⌫�
⇢µ⇢ � @⇢�⇢µ⌫
�
+gµ⌫���µ⇢�⇢�⌫ + g
µ⌫��µ⇢��⇢�⌫
�gµ⌫���µ⌫�⇢�⇢ � g
µ⌫��µ⌫��⇢�⇢
+ gµ⌫�⇢⌫⇢���µ� � gµ⌫�⇢⌫⇢���µ�| {z }
suku tambahan=0
= gµ⌫��@⌫�
⇢µ⇢ � @⇢�⇢µ⌫
�| {z }
⇢!�
+gµ⌫⇣�⇢⌫⇢��
�µ� � �
⇢�⇢��
�µ⌫
⌘
| {z }⇢!�
+ gµ⌫���µ⇢�⇢�⌫| {z }
�!µ,µ!⇢,⇢!�
+ gµ⌫��µ⇢��⇢�⌫| {z }
⇢$⌫
�gµ⌫��µ⌫��⇢�⇢| {z }
�!µ,µ!⇢,⇢!�
� gµ⌫�⇢⌫⇢���µ�| {z }⌫$⇢
= gµ⌫�⇣@⌫�
�µ� � @���µ⌫
⌘
+gµ⌫⇣��⌫���
�µ� � �
�����
�µ⌫
⌘
+g⇢⌫�µ⇢����⌫µ + g
µ⇢�⌫⇢����µ⌫
�g⇢⌫�µ⇢⌫���µ� � gµ⇢�⌫⇢⌫���µ�= gµ⌫�
⇣@⌫�
�µ� � @���µ⌫
⌘
+gµ⌫⇣��⌫���
�µ� � �
�����
�µ⌫
⌘
�⇣�g⇢⌫�µ⇢� � g
µ⇢�⌫⇢�
⌘���µ⌫
+��g⇢⌫�µ⇢⌫ � gµ⇢�⌫⇢⌫
����µ� (A.9)
51
-
Karena turunan kovarian tensor metrik adalah nol
D�gµ⌫ = @�g
µ⌫ + �µ⇢�g⇢⌫ + �⌫⇢�g
µ⇢ = 0
@�gµ⌫ = ��µ⇢�g
⇢⌫ � �⌫⇢�gµ⇢ (A.10)
dan
D⌫gµ⌫ = @⌫g
µ⌫ + �µ⇢⌫g⇢⌫ + �⌫⇢⌫g
µ⇢ = 0
@⌫gµ⌫ = ��µ⇢⌫g⇢⌫ � �⌫⇢⌫gµ⇢ (A.11)
pers.(A.10) dan pers.(A.11) disubstitusikan ke pers.(A.9)
gµ⌫�Rµ⌫ = gµ⌫�
⇣@⌫�
�µ�
⌘� gµ⌫�
⇣@��
�µ⌫
⌘
�@�gµ⌫���µ⌫ + @⌫gµ⌫���µ�+gµ⌫
⇣��⌫���
�µ� � �
�����
�µ⌫
⌘
= gµ⌫@⌫⇣���µ�
⌘� gµ⌫@�
⇣���µ⌫
⌘
�@�gµ⌫���µ⌫ + @⌫gµ⌫���µ�+gµ⌫
⇣��⌫���
�µ� � �
�����
�µ⌫
⌘
= @⌫⇣gµ⌫���µ�
⌘
| {z }�$⌫
�@�⇣gµ⌫���µ⌫
⌘
+��⌫�
⇣gµ⌫���µ�
⌘
| {z }�$⌫
�����⇣gµ⌫���µ⌫
⌘
= @�⇣gµ���⌫µ⌫ � gµ⌫���µ�
⌘
+����
⇣gµ���⌫µ⌫ � gµ⌫���µ⌫
⌘(A.12)
didefinisikan vektor-4
52
-
A� = gµ���⌫µ⌫ � gµ⌫���µ⌫ (A.13)
serta menggunakan nilai simbol Christo↵el
���� = @� lnp�g (A.14)
pers.(A.13) dan pers.(A.14) disubstitusikan ke dalam
pers.(A.12)sehingga didapatkan
gµ⌫�Rµ⌫ = @�A� + ����A
�
= @�A� +
1p�g@� ln
p�gA�
=1p�g@�
⇣p�gA�
⌘(A.15)
substitusi pers.(A.15) ke dalam pers.(A.8)
��p
�gR�
=p�g
✓Rµ⌫ �
1
2gµ⌫R
◆�gµ⌫ +
p�ggµ⌫�Rµ⌫
=p�g
✓Rµ⌫ �
1
2gµ⌫R
◆�gµ⌫ +
p�g 1p�g@�
⇣p�gA�
⌘
=p�g
✓Rµ⌫ �
1
2gµ⌫R
◆�gµ⌫ + @�
⇣p�gA�
⌘(A.16)
Pers.(A.16) disubstitusikan pers.(A.4) sehingga
�SG =1
2
Z
M
⇢p�g
✓Rµ⌫ �
1
2gµ⌫R
◆�gµ⌫ + 2⇤�
p�g
+ @�⇣p
�g!�⌘
| {z }=0(teorema Gauss)
9>>=
>>;d4x
=1
2
Z
⌦
p�g
✓Rµ⌫ �
1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫
◆�gµ⌫d4x(A.17)
53
-
Sedangkan aksi oleh massa sumber adalah
�SM =
Z
M@(p�gLM )d4x (A.18)
dengan
�(p�gLM ) =
@(p�gLM )@gµ⌫
�gµ⌫
=
✓@p�g
@gµ⌫LM +
p�g@LM
@gµ⌫
◆�gµ⌫
=
✓@p�g
@g
@g
@gµ⌫LM +
p�g@LM
@gµ⌫
◆�gµ⌫
=
✓� 12p�g
ggµ⌫@gµ⌫@gµ⌫
LM +p�g@LM
@gµ⌫
◆�gµ⌫
=
✓� 12p�g (�
p�g
p�g)gµ⌫LM +
p�g@LM
@gµ⌫
◆�gµ⌫
=
✓1
2(p�g)gµ⌫LM +
p�g@LM
@gµ⌫
◆�gµ⌫
=
✓1
2gµ⌫LM +
@LM@gµ⌫
◆p�g�gµ⌫
(A.19)
karena
Tµ⌫ = �2@LM@gµ⌫
+ gµ⌫LM , (A.20)
54
-
maka
�(p�gLM ) =
1
2
✓gµ⌫LM + 2
@LM@gµ⌫
◆p�g�gµ⌫
= �12Tµ⌫
p�g�gµ⌫
= �12
p�gTµ⌫�gµ⌫
= �12
p�gg�µg�⌫T���gµ⌫
= �12
p�gT��g�µg�⌫�gµ⌫
= �12
p�gT���g��
= �12
p�gTµ⌫�gµ⌫
(A.21)
pers.(A.21) disubstitusikan ke pers.(A.18) sehingga
dida-patkan
�SM = �1
2
Z
M
p�gTµ⌫�gµ⌫ (A.22)
Aksi total adalah
S = SG + SM
�S = �SG + �SM = 0
�SG = ��SM (A.23)
dari pers.(A.17) dan pers.(A.22), didapatkan
55
-
�SG = ��SM1
2
Z
M
p�g
✓Rµ⌫ �
1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫
◆�gµ⌫d4x = �
✓�12
Z
M
p�gTµ⌫�gµ⌫
◆
1
2
✓Rµ⌫ �
1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫
◆=
1
2Tµ⌫
Rµ⌫ �1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫ = Tµ⌫ (A.24)
didefinisikan = 8⇡G (A.25)
maka
Rµ⌫ �1
2Rgµ⌫ + ⇤gµ⌫ = 8⇡GTµ⌫ (A.26)
Pers.(A.26) adalah persamaan medan Einstein dengan kon-stanta
kosmologi.
A.2 Metrik FLRW
Diketahui koordinat Euclid tiga dimensi
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (A.27)
Dengan mengambil asumsi bahwa alam semesta
mempunyaikelengkungan, sehingga koordinat tersebut ditransformasi
kekoordinat bola dengan
x = r sin ✓cos�
y = r sin ✓ sin�
z = r cos ✓ (A.28)
56
-
maka
dx =@x
@rdr +
@x
@✓d✓ +
@x
@�d�
=@r sin ✓cos�
@rdr +
@r sin ✓cos�
@✓d✓ +
@r sin ✓cos�
@�d�
= sin ✓ cos�dr + r cos ✓ cos�d✓ � r sin ✓ sin�d� (A.29)
Hal yang sama dilakukan pada elemen garis y
dy =@y
@rdr +
@y
@✓d✓ +
@y
@�d�
=@r sin ✓ sin�
@rdr +
@r sin ✓ sin�
@✓d✓ +
@r sin ✓ sin�
@�d�
= sin ✓ sin�dr + r sin� cos ✓d✓ + r sin ✓ cos�d� (A.30)
begitu juga dengan elemen garis z
dz =@z
@rdr +
@z
@✓d✓
=@r cos ✓
@rdr +
@r cos ✓
@✓d✓
= cos ✓dr � r sin ✓d✓ (A.31)
Kemudian persamaan (A.29), (A.30), dan (A.31) dikuadratkan
dx2 = (sin ✓ cos�dr + r cos ✓ cos�d✓ � r sin ✓ sin�d�)2
= sin2 ✓ cos2 �dr2 + r2 cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r2 sin2 ✓ sin2
�d�2
+r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � r sin2 ✓ sin� cos�drd�+r sin ✓ cos2
� cos ✓drd✓ � r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d��r sin2 ✓ cos� sin�drd��
r2 cos ✓ cos� sin ✓ sin�d✓d�
= sin2 ✓ cos2 �dr2 + r cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r sin2 ✓ sin2 �d�2
+2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � 2r sin2 ✓ sin� cos�drd��2r2 cos ✓
cos� sin ✓ sin�d✓d� (A.32)
57
-
dy2 = (sin ✓ sin�dr + r sin� cos ✓d✓ + r sin ✓ cos�d�)2
= sin2 ✓ sin2 �dr2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2
�d�2
+r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + r sin2 ✓ sin� cos�drd�
+r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + r2 sin ✓ sin� cos� cos ✓d✓d�
+r sin2 ✓ sin� cos�drd�+ r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d�
= sin2 ✓ sin2 �dr2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2
�d�2
+2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + 2r sin2 ✓ sin� cos�drd�
+2r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d� (A.33)
dz2 = (cos ✓dr � r sin ✓d✓)2
= cos2 ✓dr2 � 2r sin ✓ cos ✓drd✓ + r2 sin2 ✓d✓2(A.34)
maka didapatkan
dl2 = dx2 + dy2 + dz2
= sin2 ✓ cos2 �dr2 + r cos2 ✓ cos2 �d✓2 + r sin2 ✓ sin2 �d�2
+2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ � 2r sin2 ✓ sin� cos�drd��2r2 cos ✓
cos� sin ✓ sin�d✓d�+ sin2 ✓ sin2 �dr2
+r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2
+2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓ + 2r sin2 ✓ sin� cos�drd�
+2r2 sin ✓ sin� cos ✓ cos�d✓d�+ cos2 ✓dr2
�2r sin ✓ cos ✓drd✓ + r2 sin2 ✓d✓2
= [sin2 ✓ cos2 �dr2 + sin2 ✓ sin2 �dr2 + cos2 dr2
+r2cos2✓ cos2 �d✓2 + r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r sin2 d✓2
+r2 sin2 ✓ sin2 �d�2 + r2 sin2 ✓ cos2 �d�2] ! Suku Pertama+[2r
sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ + 2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓
�2r sin ✓ cos ✓drd✓] ! Suku Kedua (A.35)
58
-
Solusi untuk suku pertama
sin2 ✓ cos2 �dr2 + sin2 ✓ sin2 �dr2 + cos2 dr2 + r2cos2✓ cos2
�d✓2
+r2 sin2 � cos2 ✓d✓2 + r sin2 d✓2 + r2 sin2 ✓ sin2 �d�2
+r2 sin2 ✓ cos2 �d�2
= (sin2 ✓ cos2 �+ sin2 ✓ sin2 �+ cos2✓)dr2
+(r2 cos2 ✓ cos2 �+ r2 sin2 � cos2 ✓ + r2 sin2 ✓)d✓2
+(r2 sin2 ✓ sin2 �+ r2 sin2 ✓cos2�)d�2
= [sin2 ✓(cos2 �+ sin2 �) + cos2✓]dr2 + [r2 cos2 ✓(cos2 �+ sin2
�)
+r2 sin2 ✓]d✓2 + [r2 sin2 ✓(sin2 �+ cos2�)]d�2
= (sin2✓ + cos2 ✓)dr2 + (r2 cos2 ✓ + r2 sin2 ✓)d✓2 + (r2 sin2
✓)d�2
= dr2 + r2(cos2 ✓ + sin2 ✓)d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
= dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.36)
Solusi untuk suku kedua
2r sin ✓ cos ✓ cos2 �drd✓ + 2r sin ✓ sin2 � cos ✓drd✓
�2r sin ✓ cos ✓drd✓= 2r sin ✓ cos ✓(cos2 �+ sin2 �)drd✓ � 2r sin
✓ cos ✓drd✓= 2r sin ✓ cos ✓drd✓ � 2r sin ✓ cos ✓drd✓= 0 (A.37)
Sehingga dengan mensubtitusi persamaan (A.33) dan (A.32)ke
persamaan (A.31), didapatkan transformasi koordinatnya
dl2 = dx2 + dy2 + dz2
= dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.38)
Didefinisikan kurvatur untuk 4 - dimensi
R2 = x2 + y2 + z2 + w2 (A.39)
59
-
dengan
r2 = x2 + y2 + z2 (A.40)
sehingga
R2 = r2 + w2
w2 = R2 � r2 (A.41)
Persamaan (A.37) didiferensialkan
2wdw = �2rdrdw =
�rw
dr
dw2 =
✓�rdr
w
◆2
=
�r dr
(R2 � r2)1/2
�2
= r2✓
dr2
R2 � r2
◆(A.42)
60
-
maka didapatkan koordinat baru dengan penambahan kur-vatur
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 + dw2
= dr2 + r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 + r2dr2
R2 � r2
= dr2✓1 +
r2
R2 � r2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
= dr2✓R2 � r2
R2 � r2 +r2
R2 � r2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
= dr2✓
R2
R2 � r2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
= dr2"
R2
(R2 � r2)R2R2
#+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
= dr2
1
1� r2R2
!+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.43)
Diperkenalkan simbol kurvatur k = 1R2 , sehingga
persamaantersebut menjadi
dl2 = dr2✓
1
1� kr2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2 (A.44)
Salah satu asas kosmologi FLRW adalah alam semesta
yangisotropik, sehingga diperkenalkan persamaan metrik FLRW
ds2 = �c2dt2 + a2(t)dl2 (A.45)
diambil nilai c = 1, sehingga didapatkan bentuk akhir darimetrik
FLRW
ds2 = �dt2 + a2(t)dr2
✓1
1� kr2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
�
(A.46)
61
-
A.3 Solusi Friedmann
Didapatkan metrik FLRW
ds2 = �dt2 + a2(t)dr2
✓1
1� kr2
◆+ r2d✓2 + r2 sin2 ✓d�2
�
= �dt2 + a2t
1� kr2 + a2(t)r2d✓2 + a2(t)r2 sin2 ✓d'
(A.47)
sehingga didapatkan metrik gµ⌫
gµ⌫ =
0
BB@
�1 0 0 00 a
2
1�kr2 0 00 0 a2r2 00 0 0 a2r2 sin2 ✓
1
CCA (A.48)
Setelah itu, metrik kontravarian dari gµ⌫ dapat dutentukan
gµ⌫ =
0
BB@
�1 0 0 00 1�kr
2
a2 0 00 0 1a2r2 00 0 0 1
a2r2 sin2 ✓
1
CCA (A.49)
Langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari simbol
Christof-fel jenis kedua dengan persamaan
��µ⌫ =1
2g��(@µg⌫� + @⌫gµ� � @�gµ⌫) (A.50)
Untuk menghitung nilai dari simbol christo↵el, digunakan ni-lai
µ = ⌫ = � = � = 0, 1, 2, 3. Untuk � = � = 0
µ = 0, ⌫ = 0
�000
=1
2g00(@
0
g00
+ @0
g00
� @0
g00
)
= �12[@(�1)@t
]
= 0 (A.51)
62
-
µ = 0, ⌫ = 1
�001
=1
2g00(@
0
g10
+ @1
g00
� @0
g01
)
= �12[0 +
@(�1)@r
� 0]
= 0 (A.52)
µ = 0, ⌫ = 2
�002
=1
2g00(@
0
g20
+ @2
g00
� @0
g02
)
= �12
0 +
@(�1)@✓
� 0�
= 0 (A.53)
µ = 0, ⌫ = 3
�003
=1
2g00(@
0
g30
+ @3
g00
� @0
g03
)
= �12
0 +
@(�1)@'
� 0�
= 0 (A.54)
µ = 1, ⌫ = 0
�010
=1
2g00(@
1
g00
+ @0
g10
� @0
g10
)
= �12
@(�1)@r
+ 0� 0�
= 0 (A.55)
63
-
µ = 1, ⌫ = 1
�011
=1
2g00(@
1
g10
+ @1
g10
� @0
g11
)
= �12
2
40 + 0�@⇣
a2
1�kr2
⌘
@t
3
5
= �12
✓� 1kr2
◆@(a2)
@t
�
=1
2
✓1
1� kr2
◆(2a)(ȧ)
=aȧ
1� kr2 (A.56)
µ = 1, ⌫ = 2
�012
=1
2g00(@
1
g20
+ @2
g10
� @0
g12
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.57)
µ = 1, ⌫ = 3
�013
=1
2g00(@
1
g30
+ @3
g10
� @0
g13
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.58)
µ = 2, ⌫ = 0
�020
=1
2g00(@
2
g00
+ @0
g20
� @0
g20
)
= �12
@(�1)@✓
+ 0� 0�
= 0 (A.59)
64
-
µ = 2, ⌫ = 1
�021
=1
2g00(@
2
g10
+ @1
g20
� @0
g21
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.60)
µ = 2, ⌫ = 2
�022
=1
2g00(@
2
g20
+ @2
g20
� @0
g22
)
= �12
0 + 0� (@a
2r2)
@t
�
= �12(�r2)
�@(a
2)
@t
�
=1
2(r2)(2a)(ȧ)
= r2aȧ (A.61)
µ = 2, ⌫ = 3
�023
=1
2g00(@
2
g30
+ @3
g20
� @0
g23
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.62)
µ = 3, ⌫ = 0
�030
=1
2g00(@
3
g00
+ @0
g30
� @0
g30
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.63)
65
-
µ = 3, ⌫ = 1
�031
=1
2g00(@
3
g10
+ @1
g30
� @0
g31
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.64)
µ = 3, ⌫ = 2
�032
=1
2g00(@
3
g20
+ @2
g30
� @0
g32
)
= �12(0 + 0� 0)
= 0 (A.65)
µ = 3, ⌫ = 3
�033
=1
2g00(@
3
g30
+ @3
g30
� @0
g33
)
= �12
0 + 0�
✓@a2r2 sin2 ✓
@t
◆�
= �12
�r2 sin2 ✓
✓@a2
@t
◆�
=1
2(r22aȧ sin2 ✓)
= r2aȧ sin2 ✓ (A.66)
Untuk � = � = 1
µ = 0, ⌫ = 0
�100
=1
2g11(@
0
g01
+ @0
g01
� @1
g00
)
=1� kr2
2a2
0 + 0� @(�1)
@r
�
= 0 (A.67)
66
-
µ = 0, ⌫ = 1
�101
=1
2g11(@
0
g11
+ @1
g01
� @1
g10
)
=1� kr2
2a2
2
4@⇣
a2
1�kr2
⌘
@t+ 0� 0
3
5
=1� kr2
2a21
1� kr2@(a2)
@t
=1
2a2(2aȧ)
=ȧ
a(A.68)
µ = 0, ⌫ = 2
�102
=1
2g11(@
0
g21
+ @2
g01
� @1
g02
)
=1� kr2
2a2(0 + 0� 0)
= 0 (A.69)
µ = 0, ⌫ = 3
�103
=1
2g11(@
0
g31
+ @3
g01
� @1
g03
)
=1� kr2
2a2(0 + 0� 0)
= 0 (A.70)
67
-
µ = 1, ⌫ = 0
�110
=1
2g11(@
1
g01
+ @0
g11
� @1
g10
)
=1� kr2
2a2
2
40 +@⇣
a2
1�kr2
⌘
@t� 0
3
5
=1� kr2
2a21
1� kr2@(a2)
@t
=1
2a22aȧ
=ȧ
a(A.71)
µ = 1, ⌫ = 1
�111
=1
2g11(@
1
g11
+ @1
g11
� @1
g11
)
=1� kr2
2a2
2
4@⇣
a2
1�kr2
⌘
@r
3
5
=1� kr2
2a2(a2)
@⇣
1
1�kr2
⌘
@t
=1� kr2
2
� (�2kr)(1� 2kr2)2
�
=kr
1� kr2 (A.72)
µ = 1, ⌫ = 2
�112
=1
2g11(@
1
g21
+ @2
g11
� @1
g12
)
=1� kr2
2a2(0 +
@( a2
1�kr2 )
@✓� 0)
= 0 (A.73)
68
-
µ = 1, ⌫ = 3
�113
=1
2g11(@
1
g31
+ @3
g11
� @1
g13
)
=1� kr2
2a2(0 +
@( a2
1�kr2 )
@'� 0)
= 0 (A.74)
µ = 2, ⌫ = 0
�120
=1
2g11(@
2
g01
+ @0
g21
� @1
g20
)
=1� kr2
2a2(0 + 0� 0)
= 0 (A.75)
µ = 2, ⌫ = 1
�121
=1
2g11(@
2
g11
+ @1
g21
� @1
g21
)
=1� kr2
2a2
2
4@⇣
a2
1�kr2
⌘
@✓+ 0� 0
3
5
= 0 (A.76)
µ = 2, ⌫ = 2
�122
=1
2g11(@
2
g21
+ @2
g21
� @1
g22
)
=1� kr2
2a2
0 + 0�
✓@(a2r2)
@r
◆�
=1� kr2
2a2(a2)
�(@(r
2)
@r)
�
=1� kr2
2(2r)
= �r(1� kr2) (A.77)
69
-
µ = 2, ⌫ = 3
�123
=1
2g11(@
2
g31
+ @3
g21
� @1
g23
)
=1� kr2
2a2(0 + 0� 0)
= 0 (A.78)
µ = 3, ⌫ = 0
�130
=1
2g11(@
3
g01
+ @0
g31
� @1
g30
)
=1� kr2
2a2(0 + 0� 0)
= 0 (A.79)
µ = 3, ⌫ = 1
�131
=1
2g11(@
3
g11
+ @1
g31
� @1
g31
)
=1� kr2
2a2
2
4@⇣
a2
1�kr2
⌘
@'+ 0� 0
3
5
= 0 (A.80)
µ = 3, ⌫ = 2
�132
=1
2g11(@
3
g21
+ @2
g31
� @1
g32
)
=1� kr2
2a2(0 + 0� 0)
= 0 (A.81)
70
-
µ = 3, ⌫ = 3
�133
=1
2g11(@
3
g31
+ @3
g31
� @1
g33
)
=1� kr2
2a2
0 + 0�
✓@(a2r2 sin2 ✓)
@r
◆�
=1� kr2
2a2(a2 sin2 ✓)
�(@(r
2)
@r)
�
=1� kr2
2(2r)(sin2 ✓)
= �r(1� kr2) sin2 ✓ (A.82)
Untuk � = � = 2
µ = 0, ⌫ = 0
�200
=1
2g22(@
0
g02
+ @0
g02
� @2
g00
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.83)
µ = 0, ⌫ = 1
�201
=1
2g22(@
0
g12
+ @1
g02
� @2
g01
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.84)
71
-
µ = 0, ⌫ = 2
�202
=1
2g22(@
0
g22
+ @2
g02
� @2
g02
)
=1
2a2r2
@(a2r2)
@t+ 0� 0
�
=1
2a2r2(r2)
@(a2)
@t
=1
2a2(2a)(ȧ)
=ȧ
a(A.85)
µ = 0, ⌫ = 3
�203
=1
2g22(@
0
g32
+ @3
g02
� @2
g03
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.86)
µ = 1, ⌫ = 0
�210
=1
2g22(@
1
g02
+ @0
g12
� @2
g10
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.87)
µ = 1, ⌫ = 1
�211
=1
2g22(@
1
g12
+ @1
g12
� @2
g10
)
=1
2a2r2
2
40 + 0�@⇣
a2
1�kr2
⌘
@✓
3
5
= 0 (A.88)
72
-
µ = 1, ⌫ = 2
�212
=1
2g22(@
1
g22
+ @2
g12
� @2
g12
)
=1
2a2r2
@(a2r2)
@r+ 0� 0
�
=1
2a2r2(a2)
@(r2)
@r
�
=1
2r2(2r)
=1
r(A.89)
µ = 1, ⌫ = 3
�213
=1
2g22(@
1
g32
+ @3
g12
� @2
g13
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.90)
µ = 2, ⌫ = 0
�220
=1
2g22(@
2
g22
+ @0
g22
� @2
g20
)
=1
2a2r2
0 +
@(a2r2)
@t� 0
�
=1
2a2r2(r2)
@(a2)
@t
=1
2a2(2a)(ȧ)
=ȧ
a(A.91)
73
-
µ = 2, ⌫ = 1
�221
=1
2g22(@
2
g12
+ @1
g22
� @2
g21
)
=1
2a2r2
0 +
@(a2r2)
@r� 0
�
=1
2a2r2(a2)
@(r2)
@r
�
=1
2r2(2r)
=1
r(A.92)
µ = 2, ⌫ = 2
�222
=1
2g22(@
2
g22
+ @2
g22
� @2
g22
)
=1
2a2r2
@(a2r2)
@✓
�
= 0 (A.93)
µ = 2, ⌫ = 3
�223
=1
2g22(@
2
g32
+ @3
g22
� @2
g23
)
=1
2a2r2
0 +
@(a2r2)
@'� 0
�
= 0 (A.94)
µ = 3, ⌫ = 0
�230
=1
2g22(@
3
g02
+ @0
g32
� @2
g30
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.95)
74
-
µ = 3, ⌫ = 1
�231
=1
2g22(@
3
g12
+ @1
g32
� @2
g31
)
=1
2a2r2(0 + 0� 0)
= 0 (A.96)
µ = 3, ⌫ = 2
�232
=1
2g22(@
3
g22
+ @2
g32
� @2
g32
)
=1
2a2r2
@(a2r2)
@'+ 0� 0
�
= 0 (A.97)
µ = 3, ⌫ = 3
�233
=1
2g22(@
3
g32
+ @3
g32
� @2
g33
)
=1
2a2r2
0 + 0� @(a
2r2 sin2 ✓)
@✓
�
=1
2a2r2(�a2r2)@(sin
2 ✓)
@✓
= �12(2 sin ✓ cos ✓)
= � sin ✓ cos ✓ (A.98)
Untuk � = � = 3
µ = 0, ⌫ = 0
�300
=1
2g33(@
0
g03
+ @0
g03
� @3
g00
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
0 + 0� @(�1)
@'
�
= 0 (A.99)
75
-
µ = 0, ⌫ = 1
�301
=1
2g33(@
0
g13
+ @1
g03
� @3
g01
)
=1
2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)
= 0 (A.100)
µ = 0, ⌫ = 2
�302
=1
2g33(@
0
g23
+ @2
g03
� @3
g02
)
=1
2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)
= 0 (A.101)
µ = 0, ⌫ = 3
�303
=1
2g33(@
0
g33
+ @3
g03
� @3
g03
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
@(a2r2 sin2 ✓)
@t+ 0� 0
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(r2 sin2 ✓)
@(a2)
@t
�
=1
2a2(2a)(ȧ)
=ȧ
a(A.102)
µ = 1, ⌫ = 0
�310
=1
2g33(@
1
g03
+ @0
g13
� @3
g10
)
=1
2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)
= 0 (A.103)
76
-
µ = 1, ⌫ = 1
�311
=1
2g33(@
1
g13
+ @1
g13
� @3
g11
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
2
40 + 0�@⇣
a2
1�kr2
⌘
@'
3
5
= 0 (A.104)
µ = 1, ⌫ = 2
�312
=1
2g33(@
1
g23
+ @2
g13
� @3
g12
)
=1
2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)
= 0 (A.105)
µ = 1, ⌫ = 3
�313
=1
2g33(@
1
g33
+ @3
g13
� @3
g13
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
@(a2r2 sin2 ✓)
@r+ 0� 0
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(a2 sin2 ✓)
@(r2)
@r
�
=1
2r2(2r)
=1
r(A.106)
µ = 2, ⌫ = 0
�320
=1
2g33(@
2
g03
+ @0
g23
� @3
g20
)
=1
2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)
= 0 (A.107)
77
-
µ = 2, ⌫ = 1
�321
=1
2g33(@
2
g13
+ @1
g23
� @3
g21
)
=1
2a2r2 sin2 ✓(0 + 0� 0)
= 0 (A.108)
µ = 2, ⌫ = 2
�322
=1
2g33(@
2
g23
+ @2
g23
� @3
g22
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
0 + 0� @(a
2r2)
@'
�
= 0 (A.109)
µ = 2, ⌫ = 3
�323
=1
2g33(@
2
g33
+ @3
g23
� @3
g23
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
@(a2r2 sin2 ✓)
@✓+ 0� 0
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(a2r2)
@(sin2 ✓)
@✓
�
=1
2sin2✓(2 sin ✓ cos ✓)
=cos ✓
sin ✓
=1
tan ✓(A.110)
78
-
µ = 3, ⌫ = 0
�330
=1
2g33(@
3
g03
+ @0
g33
� @3
g30
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
0 +
@(a2r2 sin2 ✓)
@t� 0
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(r2 sin2 ✓)
@(a2)
@t
�
=1
2a2(2a)(ȧ)
=ȧ
a(A.111)
µ = 3, ⌫ = 1
�331
=1
2g33(@
3
g13
+ @1
g33
� @3
g31
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
0 +
@(a2r2sin2✓)
@r� 0
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(a2 sin2 ✓)
@(r2)
@r
�
=1
2r2(2r)
=1
r(A.112)
79
-
µ = 3, ⌫ = 2
�332
=1
2g33(@
3
g23
+ @2
g33
� @3
g32
)
=1
2a2r2 sin2 ✓
0 +
@(a2r2 sin2 ✓)
@✓� 0
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(a2r2)
@(sin2 ✓)
@✓
�
=1
2 sin2 ✓(2 sin ✓ cos ✓)
=cos ✓
sin ✓
=1
tan ✓(A.113)
µ = 3, ⌫ = 3
�333
=1
2g33(@
3
g33
+ @3
g33
� @3
g33
)
=1
2a2r2s 22 ✓
@(a2r2 sin2 ✓)
@'
�
=1
2a2r2 sin2 ✓(0)
= 0 (A.114)
80
-
Sehingga didapatkan simbol Christo↵el yang memiliki nilai
�011
=aȧ
1� kr2�022
= r2aȧ
�033
= r2aȧ sin2 ✓
�101
= �110
= �202
= �220
= �303
= �330
=ȧ
a
�111
=kr
1� kr2�122
= �r(1� kr2)�133
= �r(1� kr2) sin2 ✓
�221
= �212
= �313
= �331
=1
r�233
= � sin ✓ cos ✓
�323
= �332
=1
tan ✓(A.115)
Selanjutnya adalah menghitung nilai tensor Ricci dengan
per-samaan
Rµ⌫ = @���µ⌫ � @⌫���⌫ + ������µ⌫ � ���⌫���