pengantar_kalkulus2

8/19/2019 pengantar_kalkulus2

1/58

PENGANTAR KALKULUS

ERIDANIDEPARTEMEN MATEMATIKA

UNIVERSITAS AIRLANGGA, SURABAYA

1. Uji Diagnosa

Sebelum mempelajari Kalkulus, akan kita ukur, seberapa kuat dasar penge-

tahuan matematika anda. Yang dimaksud dengan dasar matematika adalah

beberapa pengetahuan dasar meliputi topik-topik: aljabar, geometri analitik,

pengertian fungsi, dan trigonometri.

Aljabar

(1) Tanpa menggunakan kalkulator, sederhanakan:

(−3)4, −34, 3− 4,

523

521,

23

− 2

, 16− 3/ 4.

(2) Sederhanakan ungkapan berikut (hilangkan eksponen negatif dalam

jawab anda):

√ 200 −√ 32, (3 a3b3)(4 ab2)2,3 x3/ 2y3

x2y− 1/ 2

− 2

.

(3) Ekspansikan dalam bentuk yang paling sederhana.

• 3(x + 6) + 4(2 x −5), dan (x + 3)(4 x −5),• (√ a + √ b)(√ a −√ b),• (2x + 3) 2, dan (x + 2) 3.

(4) Faktorkan

• 4x2 −25, dan 2x2 + 5 x −12,• x3 −3x2 −4x + 12 , dan x4 + 27 x,• 3x3/ 2 −9x1/ 2 + 6 x− 1/ 2, dan x3y −4xy.

1


2/58

(5) Sederhanakanx2 + 3 x + 2x2 −x −2

, 2x2 −x −1

x2 −9 · x + 32x + 1

,

x2

x2 −4 − x + 1x + 2

,yx − xy1y − 1x

.

(6) Rasionalkan dan sederhanakan.

√ 10√ 5 −2, √ 4 + h −2

h .

(7) Tuliskan kembali ungkapan berikut dengan cara melengkapkan bentuk

kuadrat.

x2 + x + 1 , 2x2 −12x + 11 .(8) Tentukan bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut.

x + 5 = 14 − 12

x, 2xx + 1

= 2x −1

x , x2 −x −12 = 0,

2x2 + 4 x + 1 = 0 , x4 −3x2 + 2 = 0 , 3|x −4| = 10 ,2x(4 −x)

− 1/ 2 −3√ 4 −x = 0.(9) Tentukan bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan berikut. Tuliskan

jawab anda menggunakan notasi interval.

−4 < 5 −3x ≤17, x2 < 2x + 8 , 2x −3

x + 1 ≤1,x(x −1)(x + 2) > 0, |x −4| < 3.

(10) Benarkah pernyataan-pernyataan berikut?

( p + q )2 = p2 + q 2, √ ab = √ a√ b, √ a2 + b2 = a + b,1 + T C

C = 1 + T,

1x −y

= 1x −

1y

, 1/xa/x −b/x

= 1a −b

.

Geometri Analitik

(1) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di ( −1, 4) dan melaluititik (3 , −2).

(2) Tentukan jejari dan pusat lingkaran dengan persamaan

x2 + y2 −6x + 10 y + 9 = 0 .2


3/58

(3) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2 , −5), dan• mempunyai gradien −3.• sejajar sumbu- x.• sejajar sumbu- y.

• sejajar dengan garis 2 x

−4y = 3.

(4) Misalkan diberikan titik-titik A(−7, 4) dan B (5, −12).• Tentukan gradien garis yang melalui A dan B.• Tentukan persamaan garis yang memuat A dan B. Tentukan titik

potong garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat.

• Tentukan panjang dan titik tengah ruas garis AB.• Tentukan garis yang memotong (tegaklurus) tepat di tengah AB.

• Tentukan persamaan lingkaran dengan AB adalah diameternya.

(5) Sketsalah daerah di bidang koordinat yang memenuhi

(a ). −1 ≤y ≤3; (b ). |x| < 4, dan |y| < 2; (c). y < 1 − 12

x;

(d ). y ≥x2 −1; (e ). x2 + y2 < 4; (f ). 9x2 + 16 y2 = 144.

Fungsi dan Graknya

(1) Misalkan diberikan fungsi

f (x) :=x2, x ≥0,−x, x < 0.

• Tentukan f (−3), f (0), dan f (6).• Tentukan x yang bersifat f (x) = 4 .• Tentukan daerah asal dan daerah hasil f .• Sketsalah grak fungsi di atas.

(2) Jika g(x) := x3

, dan h = 0 , tuliskang(3 + h) −g(3)

h

dalam bentuk yang paling sederhana.3


4/58

(3) Tentukan daerah asal fungsi-fungsi berikut.

f (x) := 2x + 1x2 + x −2

, g(x) :=3√ x

x2 + 1, h(x) := √ 4 −x −√ x2 −1.

(4) Bagaimana cara mensketsa grak fungsi-fungsi berikut

g(x) := −x2, h(x) := x2 + 1 , j (x) := ( x −2)2, jika sketsa grak f (x) := x2 telah diketahui?

(5) Sketsalah grak fungsi-fungsi berikut.

f 1(x) := x3, f 2(x) := ( x + 1) 3, f 3(x) := ( x −2)3 + 3 ,g1(x) := 4 −x2, g2(x) := √ x, g3(x) := 2√ x,

h1(x) := −2x , h2(x) := 1 + x− 1.

(6) Misalkan f (x) := x2 + 2 x

−1, dan g(x) := 2 x

−3. Tentukan

g ◦ f, f ◦g, g ◦g ◦g.

Trigonometri

(1) Konversikan 300 ◦ , dan −18◦ ke dalam radian. Konversikan 5 π/ 3, dan2 ke dalam derajat.

(2) Suatu daerah berbentuk seperempat lingkaran (berjari-jari 12 centime-

ter) akan ditutup dengan pagar. Berapa panjang pagar yang diper-

lukan?

(3) Tentukan nilai eksak tan( π/ 3), sin(7π/ 6), dan sec(5π/ 3).

(4) Misalkan a,b,c adalah sisi-sisi suatu segitiga. Sketsalah segitiga yang

sisi-sisinya memenuhi a2 + b2 = c2.

Jika θ ∈ (0, 90◦ ) adalah salah satu sudut segitiga, dan c = 24, ten-tukan a, b jika θ diketahui.

(5) Misalkan csc x = 3, dan cos y = 4/ 5. Jika 0 < x,y < π/ 2, hitunglah

sin(x + y).

(6) Buktikan identitas berikut.4


5/58

• tan θ sin θ + cos θ = sec θ,• 2tan x = sin2x(1 + tan 2 x).

(7) Tentukan x yang memenuhi sin 2x = sin x, 0 ≤x ≤2π.(8) Sketsalah grak fungsi y = 1 + sin2 x.

2. Pendahuluan

2.1. Mengenal Bilangan. Pada awalnya, perhitungan (meliputi penjumla-

han, pengurangan, perkalian, dan pembagian) yang biasa dilakukan di tingkat

sekolah dasar selalu melibatkan bilangan alam . Kita perkenalkan notasi N yang

menyatakan himpunan bilangan alam, yaitu

N := {1, 2, 3, 4, . . .}.Sebagai perluasan dari N kita punyai himpunan bilangan bulat yang kita

notasikan dengan Z . Tepatnya kita punyai

Z := {0, ±1, ±2, ±3, . . .}.Keunggulan Z bila dibandingkan dengan N salah satunya adalah fakta bahwa

persamaan 6 + x = 4 tidak mempunyai jawab di N, tetapi mempunyai jawab

di Z .

Ini berarti tidak mungkin bisa ditemukan bilangan alam x yang bersifat6 + x = 4, tetapi dapat dengan mudah ditemukan bilangan bulat x, dalam hal

ini x = −2, yang memenuhi 6 + x = 4.Dari verikasi terhadap unsur-unsur, baik di N maupun di Z , cukup jelas

bahwa

N⊂

Z .

Dengan kata lain, N merupakan himpunan bagian sejati dari Z .

Selanjutnya, karena persamaan 2 · x = 3 (baca: “2 kali x sama dengan3”) tidak mempunyai jawab di Z , maka kita perlu memperkenalkan himpunan

bilangan rasional (yang dinotasikan dengan Q ), sedemikian hingga persamaan5


6/58

dimaksud mempunyai jawab. Himpunan ini didenisikan sebagai

Q :=ab

: a, b∈Z , b = 0 .

Untuk kesederhanaan, persamaan 2 ·x = 3 biasa dituliskan sebagai 2 x = 3.Perlu dicatat di sini, unsur Q biasa kita sebut pecahan. Kesamaan antara

dua pecahan didenisikan melalui rumusab

= cd

setara dengan a d = b c, asalkan b = 0 = d.

Dengan demikian pernyataan 3 / 6 = 1/ 2 jelas benar karena alasan

3 ·2 = 6 = 6 ·1.Pernyataan 3 / 6 = 1 / 2 biasa diverikasi dengan notasi

36

= 3 ·13

·2

= 33 ·

12

= 1 · 12

= 12

.

Lebih rumit daripada contoh di atas, adalah1236

= 6 ·26 ·6

= 66 ·

26

= 1 · 1 ·23 ·2

= 1 · 22 ·

13

= 1 ·1 · 13

= 13

.

Kita ingat kembali operasi jumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pem-

bagian di Q melalui contoh-contoh di bawah ini.34

+ 57

= 3 ·7 + 5 ·4

4 ·7 =

21 + 2028

= 4128

,

5

2 − 2

5 =

5

2 + −2

5 =

5 ·5 + (−2) ·22 ·5

= 25−4

10 =

21

10,

23 ×

54

= 23 ·

54

= 2 ·53 ·4

= 1012

= 56

,

23 ÷

815

= 23 ×

158

= 2 ·15

3 ·8 =

2 ·3 ·52 ·3 ·4

= 54

.

Bila kita tuliskan 3 sebagai 3 / 1, atau tepatnya

3 := 31

,

maka seluruh bilangan bulat, termasuk 0 , yang dapat kita tuliskan sebagai

0 := 0/ 1,adalah unsur Q . Dengan demikian kita punyai

Z⊂

Q .6


7/58

Oleh karena √ 2 := 1, 4142 . . . bukan bilangan rasional (buktinya ditunda,dan akan dibahas dalam perkuliahan Dasar-dasar Matematika), maka gabun-

gan bilangan rasional dan takrasional biasa dinotasikan dengan R . Notasi yang

terakhir ini mewakili himpunan bilangan real.

Pada akhirnya, hubungan berikut

N⊂

Z⊂

Q⊂

R ,

dapat dimengerti. Untuk lebih mengenal operasi jumlahan dan perkalian

dalam sistem bilangan real, ada baiknya latihan di bawah ini dicoba.

♠ Misalkan a, b, c∈R .(1) Jika a + b = a, maka b = 0.

(2) Jika c = 0 , dan ac = c, maka a = 1.(3) Untuk setiap a∈

R , selalu berlaku a ·0 = 0.(4) Jika ab = 1, dan a = 0 , maka b = 1/a.

(5) Jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0.

(6) Untuk a, b∈R , selalu berlaku (−a)(−b) = ab.

♠Misalkan a, b, c∈R . Diketahui bahwa untuk bilangan positif a dan b, yangkita notasikan dengan a > 0, dan b > 0, mempunyai sifat ab > 0, dan a + b > 0.

Untuk setiap a∈R selalu berlaku salah satu dari a > 0, a = 0, atau −a > 0.

Situasi yang terakhir biasa dinotasikan dengan a < 0.

Selanjutnya, notasi a ≥0 menyatakan bahwa a > 0 atau a = 0.(1) Jika a ≥b, dan a ≤b, maka a = b.(2) Jika a > b, dan b > c, maka a > c.

(3) Jika a > b, dan c > 0, maka a + c > b + c, dan ac > bc. Apa yang terjadi

jika c < 0?

(4) Jika 0 ≤a < b, maka a2 < b2.(5) Jika ab > 0, maka

• a > 0 dan b > 0, atau 7


8/58

• a < 0 dan b < 0.(6) Jika ab < 0, maka

• a > 0 dan b < 0, atau• a < 0 dan b > 0.

2.2. Pertaksamaan. Pernyataan 1 < 2, atau 3 ≤4 < 8 disebut ketaksamaan ,sedangkan 3 x + 4 < 7 disebut pertaksamaan . Jelas bahwa suatu ketaksamaan

selalu bernilai benar (ketaksamaan bernilai salah hanya dibicarakan untuk

keperluan pengembangan teori logika matematika di matakuliah Dasar-dasar

Matematika, dan tidak dibicarakan di sini), sedangkan suatu pertaksamaan

belum tentu. Dalam hal x = 0, maka pertaksamaan 3 x + 4 < 7 bernilai benar,

sedangkan untuk x = 2, maka pertaksamaan bernilai salah.

Pencarian semua nilai x yang memenuhi 3x + 4 < 7, atau yang membuat

3x+4 < 7 bernilai benar, disebut pencarian jawab atau selesaian pertaksamaan

tersebut. Sedangkan kumpulan semua jawab pertaksamaan disebut himpunan

penyelesaian atau disingkat HP.

Untuk menyelesaikan suatu pertaksamaan, kita dapat melakukan langkah-

langkah seperti menambahkan suku yang sama pada kedua ruas, mengalikan

kedua ruas dengan suku positif, atau mengalikan kedua ruas dengan suku

negatif tetapi dengan mengubah tanda pertaksamaan. HP suatu pertaksamaan

sering disajikan sebagai gabungan beberapa selang atau interval .

Misalkan a, b ∈ R , dan a ≤ b. Kita denisikan selang buka, selang setengah buka atau setengah tutup , dan selang tutup sebagai

(a, b) := {x∈R : a < x < b }, [a, b) := {x∈R : a ≤x < b},(a, b] := {x∈R : a < x ≤b}, [a, b] := {x∈R : a ≤x ≤b}.

Perlu kita catat di sini, bahwa a = b akan berakibat ( a, b) = ∅dan [a, b] = {a}.Jika selang-selang di atas menyatakan beberapa contoh selang dengan pan-

jang berhingga , maka beberapa selang di bawah ini merupakan contoh selang8


9/58

dengan panjang takhingga .

(a, ∞) := {x∈R : a < x }, [a, ∞) := {x∈R : a ≤x},(−∞, b] := {x∈R : x ≤b}, (−∞, b) := {x∈R : x < b}.

Kita tekankan di sini bahwa lambang ∞bukan merupakan salah satu bilanganreal, dan kita juga mendenisikan

R := ( −∞, ∞).

♠ Selesaikan 3x −10 < 8.

♥ Tambahkan 10 pada kedua ruas, bagi kedua ruas dengan 3 , untuk mem-peroleh x < 6. Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertaksamaan ini adalah

HP = ( −∞, 6).

♠ Selesaikan x2 < x + 2 .

♥ Perhatikan fakta di bawah ini.x2 < x + 2 ⇔x

2 −x −2 < 0⇔(x + 1)( x −2) < 0.Diketahui bahwa dua bilangan real A, B yang bersifat AB < 0, akan berakibat

keduanya berbeda tanda. Dengan demikian, dari fakta di atas dapat kita

simpulkan bahwa

x + 1 < 0, x −2 > 0, atau x + 1 > 0, x −2 < 0.Tetapi kita lihat bahwa kesimpulan pertama jelas tidak masuk akal, dengan

demikian kesimpulan kedua yang benar, atau

HP = ( −1, 2).

♠ Selesaikan 1/x < 2, dan x2 + 1 > 0.♥ Kita selesaikan pertaksamaan yang pertama. Kita catat bahwa x = 0

tidak memenuhi pertaksamaan tersebut. Dengan demikian 0 /∈ HP.9


10/58

Jika x ∈ HP, maka x = 0 , dan x2 > 0. Jika kedua pertaksamaan dikalikanx2 > 0, maka akan diperoleh x < 2x2. Ini berarti

x < 2x2⇔0 < 2x2 −x⇔0 < x (2x −1).

Diketahui bahwa dua bilangan real A, B yang bersifat AB > 0, akan berakibat

keduanya bertanda sama. Dengan demikian, dari fakta di atas dapat kita

simpulkan bahwa

x > 0, 2x −1 > 0, atau x < 0, 2x −1 < 0.Seperti pada penjelasan sebelumnya, kita akan memperoleh

HP = ( −∞, 0)∪(12

, ∞).

♠ Selesaikan x/ (x + 2) ≥1/x.

♥ Kita catat bahwa x = 0, dan x = −2 tidak memenuhi pertaksamaantersebut. Dengan demikian {0, −2} tidak termasuk dalam HP.

Misalkan x∈ HP. Karena x = 0 , dan x + 2 = 0 , maka x2 > 0, (x + 2) 2 > 0.

Jika kedua ruas dalam pertaksamaan dikalikan x2(x + 2) 2 > 0, maka akan

diperoleh

x3(x + 2) ≥x(x + 2)

2, atau x(x + 2)( x + 1)( x −2) ≥0.

Dengan menerapkan uji tanda , kita akan sampai pada

HP = ( −∞, −2)∪[−1, 0)∪[2, ∞).

2.3. Nilai Mutlak. Secara geometris, R bisa disajikan sebagai suatu garis

lurus yang dinamakan garis bilangan real . Untuk sebarang x ∈ R , maka kitabisa meletakkan x pada salah satu titik/posisi di garis (bilangan real). Tentu

saja, untuk alasan kemudahan, yang pertama kali kita tetapkan posisinya pada

garis real adalah titik 0 , kemudian dilanjutkan dengan menata posisi semua

unsur N pada garis real.10


11/58

Nilai mutlak dari x, yang dinotasikan sebagai |x|, didenisikan sebagai jaraktitik x ke 0 yang diukur pada garis real. Sebagai contoh, |3| = 3, | −7| = 7,dan |0| = 0 .

Dengan demikian, kita akan punyai denisi

|x| :=x, x

≥0,

−x, x < 0.Secara umum, untuk sebarang x, y ∈R , notasi |x−y|menyatakan jarak antarax dan y di garis real.

Untuk sebarang x, y ∈R , kita punyai sifat-sifat penting berikut.(a). |x| = | −x|, −|x| ≤x ≤ |x|, |xy| = |x||y|, |x|2 = x2,(b). |x ±y| ≤ |x|+ |y|, |x| − |y| ≤ |x −y|.(c). Jika a > 0, maka

(c.1). |x| < a ⇔−a < x < a,(c.2). |x| > a ⇔x < −a atau x > a.

♠ Selesaikan |2x −5| < 11.

♥Jelas bahwa pertaksamaan di atas setara dengan −11 < 2x −5 < 11, danini akan membawa kita kepada HP = ( −3, 8).

♠ Selesaikan |x −1| < |x|.♥ Jika kita kuadratkan kedua ruas, kita akan sampai kepada

(x −1)2 < x 2, atau x2 −2x + 1 < x 2.Langkah selanjutnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

℧ Soal Latihan ℧

(1) Untuk setiap x∈R , tunjukkan bahwa |x| = √ x2.(2) Misalkan x, y ∈R . Buktikan bahwa

|x ±y| ≥ |x| − |y|.11


12/58

(3) Misalkan diberikan bilangan positif a,b,c,d, yang bersifat a/b < c/d.

Tunjukkan bahwaab

< a + cb + d

< cd

.

(4) Jika 0 < a < b, tunjukkan bahwa

a < √ ab ≤ a + b

2 < b.

(5) Selesaikan pertaksamaan-pertaksamaan di bawah ini.

(a) . 3x −4 > 10 −x, x ≤ 2−5x

3 ,

(b) . x2 −1 ≤2x, 21 −x

< 5,

(c). x −1

x > 2,

3x −1 ≤ −

2x

,

(d) . x

2 ≥1 +

4

x, x3 < 16x,

(e). x ≤ 1x2

, x2

2x + 3 > x,

(f). x −1x + 1

< 2x + 53 −4x

.

(6) Misalkan x menyatakan suatu titik pada garis real. Tuliskan kalimat

yang memuat kata “jarak” , untuk mengungkapkan pernyataan aljabar

berikut:

(a) . |x −5| = 3 ,(b) . |x + 2 | > 4,(c). |x + 5 | ≤7.

(7) Jika |x| ≤2, tunjukkan bahwa2 x2 + 3 x + 2

x2 + 2 ≤8.(8) Selesaikan pertaksamaan-pertaksamaan berikut.

|x|+ |x + 1 | < 2, |x2 −3x| < 4, |x| < x 2 + 2 , |x −1| ≥2|x|,x −1x + 2 ≤1,

x + 12x + 1

< 12

,x −1x + 1

>x + 1x −2

,x −1x + 2

+x + 1x −2

< 2.

12


13/58

3. Fungsi dan Jenisnya

Konsep fungsi merupakan salah satu konsep paling mendasar dalam matem-

atika, dan konsep ini memainkan peranan yang sangat penting dalam kalkulus.

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan se-tiap obyek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal atau do-main , dengan sebuah nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua.Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

Misalkan untuk setiap n ∈ N kita denisikan aturan pengaitan atau relasi f (n) := 2 n −5. Dengan demikian, kita bisa memperkenalkan notasi

f : N −→Z ,sebagai suatu pengaitan antara n

∈

N dengan f (n)

∈

Z .

Dari ilustrasi di atas, bisa kita lihat bahwa N adalah daerah asal f, sedangkan

Z menyatakan daerah hasil f .

Untuk memastikan bahwa relasi f adalah suatu fungsi, kita harus menun-

jukkan bahwa untuk setiap n1, n2 ∈ N yang memenuhi f (n1) = f (n2) harusmengarah kepada kesimpulan n1 = n2. Tetapi hal ini adalah mudah, karena

f (n1) = f (n2)⇒2n1 −5 = 2 n2 −5⇒n1 = n2.Tepat seperti yang kita inginkan.

Selain itu,

f (N) := {2n −5 : n∈N}= {−3, −1, 1, 3, 5, . . .}disebut peta dari f . Kita catat bahwa f (N)⊆

Z .

Jika didenisikan

g : Z −→N ,dengan aturan pengaitan g(t) := t2 + 2 , maka cukup jelas bahwa peta dari g

adalah

g(Z ) := {2, 3, 6, 11, . . .}.13


14/58

Untuk memastikan bahwa relasi g adalah suatu fungsi, maka kita kita harus

mengambil t1, t2 ∈ Z yang memenuhi g(t1) = g(t2). Kemudian harus kitaperiksa, apakah t1 = t2?

Dari implikasi berikut

g(t1) = g(t1)⇒t2

1 + 2 = t2

2 + 2⇒t2

1 = t2

2,kita akan sampai pada fakta bahwa t1 = t2, dan t1 = −t2. Dengan demikian,kita simpulkan bahwa t1 = t2.

Misalkan daerah asal dan daerah hasil h adalah Z . Jika didenisikan

h(x) := x + 2 , untuk setiap x∈Z ,

maka cukup jelas bahwa

h(Z ) = Z .Beberapa hal di bawah ini dapat menginspirasi anda untuk mengenal dan

memahami konsep fungsi secara lebih mantap.

♠ Misalkan suatu pasar mempunyai aturan dalam mengelola perparkiran(kendaraan roda dua) dengan cara sebagai berikut:

Tarif parkir 2 jam pertama Rp.1500 , 00. Penambahan setiap jam berikutnya

dikenakan tarif Rp. 500 , 00 perjamnya. Tentukan tarif parkir 5 jam ke depansebagai fungsi dari waktu.

♥Misalkan P (t) menyatakan tarif yang harus dibayar sampai t-jam pertama.Cukup jelas bahwa 0 < t ≤5, dan

P (t) =

1500, 0 < t ≤2,2000, 2 < t ≤3,2500, 3 < t

≤4,

3000, 4 < t ≤5.♠ Misalkan 2 bilangan positif jumlahnya 10 . Tentukan hasil kali 2 bilangan

tersebut sebagai fungsi salah satu bilangan.14


15/58

♥ Misalkan x, y dua bilangan yang dimaksud, maka jelas bahwa0 < x, y, dan x + y = 10.

Jika K menyatakan hasil kali kedua bilangan tersebut, maka K := xy.

Dengan mengingat bahwa x + y = 10, akan diperoleh

K := K (x) = x(10 −x), 0 < x < 10.Melalui pengetahuan tentang grak parabola, kita catat bahwa K akan men-

capai nilai terbesar saat x = y = 5.

♠ Misalkan rusuk-rusuk suatu kotak (tanpa tutup) panjangnya merupakan3 bilangan alam berurutan. Tentukan volume kotak dan luas permukaannya.

♥ Misalkan n ∈ N. Diberikan suatu kotak (tanpa tutup) dengan rusuk-rusuknya mempunyai panjang berturut-turut n, n + 1 , n + 2 satuan panjang.

Jika V dan L berturut-turut menyatakan volume dan luas permukaan kotak

yang dimaksud, maka V := V (n) = n(n + 1)( n + 2) , dan

L := L(n) = 2 n(n + 1) + 2 n(n + 2) + ( n + 1)( n + 2) ,

untuk sebarang n ∈ N. Dapatkah anda mendapatkan rumus yang lain untukL(n)?

♠ Carilah luas segitiga samasisi.

♥ Kita denisikan |AB | sebagai panjang ruas garis AB.Misalkan diberikan segitiga samasisi ∆ ABC dengan panjang sisi-sisi

|AB | = |BC | = |AC | = r > 0.

Misalkan T adalah titik tengah ruas garis BC. Cukup jelas bahwa luas ∆ ABC,yang dinotasikan dengan L, dapat dinyatakan sebagai

L := L(r ) = |BC ||AT |/ 2 = r2

4√ 3, 0 < r.

15


16/58

♠Selembar kertas berbentuk persegipanjang berukuran 20 ×15 centimeter.Tentukan volume kotak yang dapat dibuat dari kertas tersebut sebagai suatu

fungsi dari tingginya.

♥ Dengan memisalkan bahwa x > 0 menyatakan tinggi dan V menyatakanvolume kotak yang dimaksud, cukup jelas bahwa

V := V (x) = 2 x(15 −2x)(10 −x), 0 < x < 15/ 2.Bisakah anda melengkapi detilnya?

♠ Misalkan suatu persegipanjang panjangnya 2 centimeter lebih panjangdaripada lebarnya. Hitunglah luas persegipanjang sebagai fungsi lebarnya.

Jika lebar persegipanjang membesar 20 persen, tentukan prosentase peningkatan

luasnya.

♠ Misalkan diberikan f (t) := t2 + t, dan h = 0 . Hitunglahf (5) −f (2)

5 −2 dan

f (2 + h) −f (2)h

.

Jika f (t) menyatakan posisi benda di suatu garis saat detik ke- t, berikan inter-

pretasi geometris terhadap ungkapan di atas. Apa yang terjadi, jika h semakin

dekat ke 0?

♠ Diberikan segitiga siku-siku samakaki. Tuliskan luas persegi panjang di

dalam segitiga sebagai fungsi sisi segitiga.

♥ Sekarang saatnya kita berkenalan dengan sistem koordinat Kartesius.Misalkan r > 0. Bayangkan ∆ ABC dengan A(0, 0), B(r, 0), dan C (0, r ).

Misalkan 0 < x,y < r. Untuk persegipanjang APQR dengan titik-titik

sudutnya P (x, 0), Q(0, y), dan R(x, y), akan kita punyai luas APQR, yang

dinotasikan dengan L,

L := xy, 0 < x, y < r.

Oleh karena ∆ CQR sebangun dengan ∆ ABC, maka

|QC ||QR |

= |AC ||AB |

, atau y = r −x.16


17/58

Dengan demikian akan kita punyai

L := L(x) = x(r −x), 0 < x < r.

♦ Akan kita tinjau situasi dimana posisi persegipanjang (dalam segitiga)sedikit berbeda daripada sebelumnya.

Misalkan untuk r > 0, kita punyai ∆ ABC dengan A(−r, 0), B(0, r ), danC (r, 0). Misalkan 0 < x ,y < r. Konstruksikan PQRS dengan titik-titik

sudutnya P (−x, 0), Q(x, 0), R(x, y), dan S (−x, y). Ini berarti luas PQRS,yang kita notasikan dengan L, adalah

L := 2 xy, 0 < x,y < r.

Dengan mengingat bahwa ∆ BOC dan ∆ RQC sebangun (di sini O menyatakan

pusat koordinat), maka kita akan sampai pada fakta bahwa y = r

−x.

Dengan demikian, seperti pada penjelasan sebelumnya,

L := L(x) = 2 x(r −x), 0 < x < r.Kita lihat (dengan memberikan B(0, a), untuk sebarang a > 0.) bahwa penje-

lasan yang kedua dapat diperluas untuk menangani permasalahan menemukan

luas persegipanjang dalam sebarang segitiga samakaki.

♠ Sajikan luas permukaan kubus sebagai fungsi dari volumenya.

♠ Misalkan suatu kerucut mempunyai tinggi 5 centimeter, dan jari-jari alas2 centimeter. Misalkan dibuat tabung di dalamnya sedemikian hingga alas

tabung berimpit dengan alas kerucut dan tutup tabung berimpit dengan se-

limut tabung. Tentukan volume tabung yang terjadi.

♠ Misalkan untuk x ∈ R diberikan aturan pengaitan antara x dan f (x),sebagai berikut.

f (x) = √ 4 −x, f (x) = √ 9 −x2, f (x) = 1√ x2 −16, f (x) = 2x −13x + 7 ,

f (x) =√ 2x −1√ 3x + 7 , f (x) =

12x + 7

, f (x) = 3x −22x + 7

, f (x) = x2 −19 −x2

,17


18/58

f (x) = x −1

x2 −3x + 2, f (x) =

x2 −5x + 6x −2

.

Tentukan himpunan terbesar A, B ⊆R , agar f : A →B mendenisikan suatufungsi.

♠ Misalkan diberikan fungsi f : A →B. Fungsi f dikatakan naik jikat1, t2 ∈A, t1 < t 2 ⇒f (t1) ≤f (t2).

Tentukan selang A, agar

f (s) := 4 s −3, f (s) := 1 −s2, f (s) := s2 −9, f (t) := cos t, f (t) := sin t,merupakan fungsi naik.

♠ Misalkan diberikan fungsi g : A →B. Fungsi g dikatakan turun jikat1, t2 ∈A, t1 < t 2 ⇒f (t2) ≤f (t1).

Tentukan selang A, agar

g(s) := 4 −3s, g(s) := 1 −s2, g(s) := s2 −9, g(t) := cos2t, g(t) := sin 3 t,merupakan fungsi turun.

♠ Misalkan diberikan fungsi h : A →B. Fungsi h dikatakan genap jikah(t) = h(−t), untuk setiap t∈A.

Apakah fungsi berikut

h(t) := 4 t2, h(t) := t3, h(t) := |t|, h(t) := |t|−1, h(t) := cos 2t, h(t) := sin 3 t,merupakan fungsi genap? Berikan penjelasan.

Suatu fungsi h : A →B. dikatakan gasal jikah(t) + h(

−t) = 0 , untuk setiap t

∈

A.

Apakah fungsi-fungsi di atas merupakan fungsi gasal? Berikan penjelasan.

♠ Berikan interpretasi geometris terkait pengertian fungsi genap dan gasal.18


19/58

3.1. Fungsi Linier. Dari geometri telah diketahui bahwa persamaan

y = mx + c, atau Ax + By + C = 0 ,

dengan m, c, A, B, dan C adalah suatu konstanta, menyatakan suatu garis

lurus pada bidang koordinat. Kita akan menentukan persamaan suatu garis

(lurus) dalam hal garis tersebut memenuhi beberapa syarat tertentu.Misalkan ℓ adalah garis (takvertikal) yang melalui titik-titik A(x1, y1) dan

B(x2, y2).

Gradien garis ℓ, yang kita notasikan dengan mℓ, didenisikan sebagai

mℓ := y2 −y1x2 −x1

.

Ini berarti, gradien suatu garis adalah laju perubahan dari y terhadap x.

Dengan demikian, suatu garis yang lurus bisa juga diartikan mempunyailaju perubahan konstan (ingat kembali pengertian kesebangunan atau konsep

tangen suatu segitiga).

Beberapa situasi penting terkait persamaan garis dan sifat-sifat lainnya adalah

• Persamaan garis yang melalui ( x1, y1) dan (x2, y2) adalahy −y1y2 −y1

= x −x1x2 −x1

.

• Persamaan garis yang melalui ( x0, y0) dan mempunyai gradien m0 adalahy −y0 = m0(x −x0).

• Misalkan ℓ1, ℓ2 adalah dua garis dengan persamaan y = m1x + c1 dany = m2x + c2. Jika ℓ1, ℓ2 membentuk sudut sebesar α, maka

tan α := m1 −m21 + m1 m2

.

Keadaan m1 = m2 berarti ℓ1, ℓ2 sejajar atau berimpit. Sedangkan

1 + m1 m2 = 0 berarti ℓ1 tegaklurus ℓ2.

Ilustrasi di bawah ini dapat digunakan untuk lebih memantapkan penge-

tahuan anda tentang sifat-sifat penting garis pada bidang koordinat.19


20/58

♠Tentukan persamaan garis yang melalui (1 , 2), dan (4, −1). Tentukan (per-samaan) garis yang melalui (3 , 5) dan mempunyai gradien 5 .

♠Hubungan antara skala Fahrenheit (F) dan Celsius (C) dalam termometersuhu adalah fungsi linier

5F −9C = 160.Tentukan interpretasi sis dari perpotongan grak dengan sumbu- F, dan gra-

dien fungsi linier tersebut.

♠Pimpinan suatu pabrik meubel mengetahui bahwa pembuatan 100 kursi/harimemerlukan biaya Rp. 22 .000.000, 00. Sedangkan pembuatan 300 kursi/hari

memerlukan biaya Rp. 48 .000.000, 00.

Tuliskan biaya sebagai fungsi (linier) dari banyaknya kursi yang diproduksi,dan taksirlah biaya yang diperlukan untuk membuat 350 kursi dalam dua hari.

Berikan interpretasi sis terhadap gradien fungsi yang terjadi.

♠Suatu industri kecil dengan 40 karyawan dan UMR tiap karyawan adalahRp. x per bulan membeli mesin seharga Rp. 50 .000.000, 00 yang dapat di-

gunakan untuk memproduksi barang sebanyak 500 .000 buah. Harga bahan

mentah dan biaya produksi (selain mesin), adalah Rp. 400 , 00 untuk tiap

barang.

(a). Hitung harga pokok tiap barang.

(b). Jika setiap bulan 200 .000 hasil produksinya terjual habis dan pabrik

menginginkan laba Rp. 4000 .000, 00, berapa harga jual setiap barang

(sebutlah H (x))?

(c). Berapa harga jual setiap barang jika 10% pajak penjualan dibebankan

kepada pembeli (sebutlah P (x))?

♠ Tentukan garis yang melalui (2 , 3) dan sejajar garis 2 x − y + 5 = 0 .Tentukan garis yang melalui (1 , 2) dan tegaklurus garis 3 x −2y + 10 = 0 .20


21/58

♠Misalkan ℓ1 dan ℓ2 berpotongan di (1 , 2). Jika keduanya membentuk sudut45◦ , dan ℓ1 mempunyai gradien 2 , tentukan (persamaan) ℓ2.

♠ Misalkan r > 0. Jika diberikan A(−r, 0), B(0, r ), dan C (r, 0), tunjukkanbahwa ∆ ABC adalah segitiga siku-siku.

♥ Soal ini bisa dijawab dengan dua cara berbeda. Yang pertama meng-gunakan konvers teorema Pythagoras, sedangkan yang kedua menggunakan

pengukuran sudut-sudut dalam segitiga yang dimaksud.

♠Tunjukkan bahwa A(1, 1), B(11, 3), C (10, 8), dan D(0, 6) menyatakan titik-titik sudut suatu persegipanjang.

♠Misalkan f (t) := 2 t+3 , menyatakan posisi benda (pada lintasan berbentuk

garis) setelah detik ke- t. Tentukan kecepatan rata-rata benda setelah bergerak

2 detik.

♠ Sebuah pabrik menjual arloji Rp. 50 .000, 00 per buah. Biaya tetap yangdikeluarkan untuk produksi adalah Rp. 10 .000.000, 00 per bulan, sedangkan

biaya variabel adalah Rp. 30 .000, 00 per arloji.

(a). Tuliskan persamaan fungsi pendapatan dan biaya per bulan.

(b). Berapa banyak arloji harus diproduksi dan dijual untuk mencapai titik

balik pokok (Break Event Point )?

♠Sebuah buldozer bernilai Rp. 120 .000.000, 00 dan setiap tahun mengalamidepresiasi sebesar 8% dari nilai awalnya.

(a). Tentukan rumus untuk nilai buldozer setelah t tahun, sebutlah V (t).

(b). Gambarkan V (t) pada bidang koordinat, dengan sumbu- t sebagai sumbu

datar, dan sumbu- V sebagai sumbu tegak.

(c). Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat, lalu tafsirkan arti

titik-titik potong itu.21


22/58

♠ Mengapa 3x + 2y − 1 = 0 dan 3x + 2y + 3 = 0 sejajar? Mengapa3x + 2 y−1 = 0 dan 6x + 4 y−2 = 0 berimpit? Berikan penjelasan secukupnya.

♠Tentukan jarak titik P (2, 6) ke garis ℓ1 dengan persamaan 2 x −y + 1 = 0 .

♥Tentukan garis ℓ2 yang melalui P dan tegaklurus ℓ1. Tentukan titik potongℓ1 dan ℓ2. Jika Q adalah titik potong kedua garis, maka jarak P ke ℓ1 adalah

|P Q |.

3.2. Fungsi Kuadrat. Yang dimaksud dengan fungsi kuadrat adalah

y = f (x), dengan f (x) := ax2 + bx + c.

Grak fungsi kuadrat y = x2 adalah parabola yang menghadap “ke atas”

dan mempunyai “dasar lembah” di (0 , 0).Perhatikan bahwa parabola tersebut juga melalui titik-titik (2 , 4) dan (−2, 4).

Umumnya semua titik dengan koordinat ( a, a 2) dan (−a, a 2), dilalui parabola.Oleh karena kedua titik tersebut “dipisahkan” oleh titik (0 , a2), maka parabola

tersebut simetris terhadap sumbu- y.

♠ Sketsalah grak y = −5 + 6x −x2.

♥ Misalkan f (x) := −5 + 6x −x2. Berikut adalah langkah-langkah untukmensketsa grak fungsi yang dimaksud.

(1) Titik potong dengan sumbu- y akan diperoleh saat kita mengambil x =

0. Dengan demikian akan diperoleh titik (0 , −5) sebagai titik potonggrak dengan sumbu- y.

(2) Titik potong dengan sumbu- x didapat saat y = 0, atau

0 = −5 + 6x −x2

= ( x −1)(5 −x).Ini berarti titik-titik (1 , 0), dan (5, 0) merupakan titik potong grak

dengan sumbu- x.22


23/58

(3) Oleh karena y = −5 + 6x −x2 = 4 −(x −3)2 ≤4 = f (3), maka (3, 4)adalah “puncak” parabola. Ini berarti sketsa grak tidak mungkin

melampaui garis y = 4.

(4) Oleh karena f (3 −a) = f (3 + a), untuk setiap a ∈ R , maka x = 3adalah sumbu simetri parabola.

Sebagai pelengkap, kita bisa lihat bahwa grak yang dimaksud adalah parabola

yang menghadap ke bawah dengan puncak (3 , 4), dan sumbu simetri garis

x = 3.

♠Sketsalah grak y = x2 +3 x−4, y = x2 −10x +31 , dan y = −7+2 x−x2.

♠ (Komputer ). Misalkan telah diketahui sketsa grak y = x2.Sketsalah (dengan menggunakan software penggambar kurva yang telah terse-

dia) grak

• y = ( x −3)2, dan y = ( x + 5) 2,• y = x2 −4, dan y = x2 + 1 ,• y = ( x −3)2 −4, dan y = ( x −3)2 + 1 .

Kesimpulan apa yang dapat diambil?

3.3. Fungsi Kuasa dan Fungsi Akar. Misalkan a > 0. Pandang fungsi

y = xa , yang didenisikan untuk x ≥0. Jika a > 1 maka y = xa disebut fungsi kuasa . Sedangkan y = xa disebut fungsi akar, jika 0 < a < 1.

Untuk mendapatkan gambaran secara jelas (walau tidak terlalu detil), lati-

han berikut dapat dicoba untuk diimplementasikan.

♠ (Komputer ). Misalkan x∈R . Sketsalah grak• y = x3, dan y = x4,• y = x3 −8, y = x3 + 8 , dan y = x4 −16, y = x4 + 1 ,• y = ( x−1)3−8, y = ( x+2) 3 +8 , dan y = ( x−3)4−16, y = ( x+2) 4 +1 .

Berikan komentar.23


24/58

♠ (Komputer ). Misalkan x ≥0. Sketsalah grak• y = √ x, y = √ x −1, y = √ x + 5 , dan y = √ 4 −x,• y = 2 + √ x −1, y = 3 −√ x −5, dan y = 2 −√ 6 −x.

Berikan penjelasan secukupnya terkait hasil yang sudah anda peroleh.

3.4. Fungsi Rasional. Di sini kita hanya akan meninjau fungsi rasional y =f (x), dalam hal

f (x) := a1x2 + a2x + a3b1x2 + b2x + b3

atau f (x) := ax + bcx + d

.

Untuk fungsi rasional yang melibatkan hasil bagi fungsi kuadrat, penjelasan

tentang sketsa graknya ditunda sampai dengan penjelasan tentang nilai ek-

strim fungsi pada topik tentang penerapan turunan fungsi. Sedangkan untuk

fungsi yang berbentuk hasil bagi fungsi linier, kita mulai dengan penjelasanberikut.

♠ (Komputer ) Sketsalah grak fungsi berikut.y =

5x −15x −2

.

♥ Agar pecahan tersebut bermakna, maka haruslah x −2 = 0 . Ini berartidaerah asal fungsi meliputi semua bilangan real kecuali 2 . Dengan demikian

daerah asalnya adalah R \ {2}.Dengan mengambil x = 0, maka akan kita punyai y = 15/ 2. Sedangkan

y = 0 akan mengakibatkan x = 3. Ini berarti titik-titik potong grak dengan

sumbu koordinat, berturut-turut adalah (0 , 15/ 2) dan (3, 0).

Jika x membesar menuju ∞, maka dapat terlihat bahwa 1 /x akan semakinkecil menuju 0, dengan demikian,

y = 5− 15x1 −

2x

akan semakin dekat ke 5 .

Misalkan x = 2 . Oleh karena

y −5 = − 5

x −2,

24


25/58

maka x > 2, akan mengakibatkan y < 5. Sedangkan x < 2 akan berakibat

y > 5. Dari penjelasan tersebut, kita lihat bahwa grak fungsi terdistribusi di

dua tempat, yaitu di

A:= {(x, y) : 2 < x, y < 5}, dan B := {(x, y) : x < 2, 5 < y}.Garis-garis x = 2, dan y = 5, yang berturut-turut disebut asimtut tegak dan

asimtut datar , memisahkan grak fungsi yang dimaksud. Grak fungsinya

biasa disebut hiperbola ortogonal . Tugas sketsa grak selanjutnya, akan diambil

alih komputer.

♠ Sketsalah grak fungsi berikut.y =

15−5xx

−2

, dan y = 3x + 46x + 5

.

℧ Soal Latihan ℧

(1) Sketsalah grak dari harga (pasar) suatu mobil baru sampai dengan 20

tahun berikutnya sebagai fungsi waktu (tahun). Diasumsikan bahwa

mobil selalu dalam keadaan terawat baik.

(2) Suatu kue beku (yang disimpan dalam kulkas) dihangatkan dalam oven

sampai waktu tertentu. Setelah dikeluarkan dari oven dan didiamkan

sejenak kue tersebut mulai disantap. Tentukan sketsa grak temperatur

kue tersebut sebagai fungsi dari waktu.

(3) Sebuah kotak tanpa tutup berkapasitas 10 meter kubik, diketahui pan-

jangnya dua kali lebar alasnya. Misalkan biaya pembuatan alasnya

adalah Rp.10 .000, 00 per meter persegi, dan biaya pembuatan tepinya

adalah Rp.15 .000, 00 per meter persegi, tentukan biaya pembuatan ko-

tak sebagai fungsi lebar alasnya.

(4) Suatu balon berbentuk bola dengan jejari r inci mempunyai volume

V (r ) := 4 πr 3/ 3. Tentukan fungsi yang menyatakan banyaknya udara25


26/58

yang diperlukan untuk menggelembungkan balon sedemikian rupa se-

hingga jejarinya bertambah 1 inci.

(5) Suatu kawat, berukuran 8 meter, dipotong menjadi dua bagian (yang

tidak sama panjang). Jika masing-masing bagian disusun menjadi se-

gitiga samasisi dan persegi, tentukan jumlahan luas keduanya sebagai

fungsi panjang salah satu potongan kawat.

(6) Misalkan f (t) := −t2 + 6 t − 8 menyatakan posisi benda (bergerak)pada garis lurus saat detik ke- t. Tentukan kecepatannya, sebagai fungsi

waktu, jika benda tersebut bergerak dengan waktu tempuh 2 detik.

3.5. Fungsi Trigonometri. Untuk sebarang x ∈ R , kita denisikan hubun-gan y := sin x. Secara faktual, x biasa mempunyai satuan radian .

Fungsi sinus merupakan salah satu contoh fungsi periodik (dengan periode

2π). Ini berarti denisi berikut, untuk suatu bilangan real terkecil t0,

f (x + t0) = f (x), x∈R ,

dipenuhi oleh fungsi sinus (dalam hal ini kita punyai t0 := 2π, dengan π

didenisikan sebagai suatu konstanta positif yang menyatakan luas lingkaran

berjari-jari 1). Dengan demikian, penyelidikan terkait fungsi ini cukup di-lakukan hanya di selang (0 , 2 π).

Kita mulai dengan fakta bahwa y = sin x, 0 ≤x ≤2π, memotong sumbu- xdi 3 titik, yaitu di (0 , 0), (π, 0), dan (2π, 0), hal ini dikarenakan

sin x = 0⇔x∈ {0, π, 2π}.

Diketahui bahwa y = sin x naik pada selang [0, π/ 2), dan [3π/ 2, 2π], turun

pada selang [π/ 2, 3π/ 2). Oleh karena sin( π/ 2 ) = 1 , dan sin(3π/ 2) = −1,maka y = sin x mempunyai puncak dan lembah berturut-turut di ( π/ 2, 1),

dan (3π/ 2, −1). 26


27/58

Pada akhirnya, sketsa grak fungsi di luar selang [0 , 2π] dapat dilakukan den-

gan memanfaatkan fakta bahwa fungsi tersebut adalah fungsi periodik dengan

periode 2π.

♠ (Komputer ) Sketsalah grak-grak fungsi berikut.y = sin 2x, y = sin( x + π), y = sin(2 x −π),

y = cos x, y = cos3x, y = cos(2 x + π).

3.6. Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma. Misalkan a ,b > 1. Kita

ingat kembali bahwa untuk setiap x, y ∈R , kita punyai sifatax+ y = ax ·ay , ay ·a

− y = 1 , (ax )y = axy , (ab)x = ax ·bx , a0 = 1 .

Pandang fungsi eksponen yang didenisikan sebagai y = ax , untuk x ∈ R .Dimulai dari titik (0 , 1) (karena fungsi melalui titik tersebut) kita akan lihat

bahwa fungsi akan “bergerak ke kanan” melewati barisan titik-titik

(1, a), (2, a2), (3, a3), (4, a4), dan seterusnya.

Oleh karena 1 < a < a 2 < a 3 < a 4 < · · · , maka fungsi akan naik menuju ke“titik” ( ∞, ∞).

Di lain hak, mulai dari (0 , 1), fungsi akan “bergerak ke kiri” melewati

barisan titik-titik

(−1, a− 1), (−2, a

− 2), (−3, a− 3), (−4, a

− 4), dan seterusnya.

Oleh karena 0 < · · · < a− 4 < a − 3 < a − 2 < a − 1 < 1, maka fungsi akan turun

menuju ke “titik” ( −∞, 0). Fakta ini sekaligus juga menyatakan bahwa garisy = 0 merupakan asimtut datar fungsi eksponen.

Pada akhirnya akan kita lihat bahwa y = ax , x

∈ R , bergerak mulai dari

(−∞, 0) menuju ke (0 , 1), lalu dilanjutkan menuju ke ( ∞, ∞).Jika grak y = ax kita cerminkan terhadap sumbu- y, maka kita akan mem-

peroleh grak fungsi eksponen negatif dengan persamaan y = a− x . Dengan27


28/58

demikian grak y = a− x bergerak mulai dari ( −∞, ∞) menuju ke (0 , 1), laludilanjutkan ke ( ∞, 0).

Misalkan a > 1. Kita denisikan logaritma (dengan basis a) sebagai

y = alog x ⇔ay = x.

Perlu kita catat di sini bahwa 0 < x < ∞, dan y∈R .Telah diketahui bahwa fungsi logaritma y = a log x merupakan balikan atauinvers fungsi eksponen. Dengan demikian sifat-sifat berikut

a log(xy) = a log x + a log y, alog(x/y ) = a log x − a log y, alog 1 = 0,cukup dapat dimengerti. Akhirnya, sebagai balikan fungsi eksponen, maka

fungsi logaritma mempunyai asimtut tegak garis x = 0, dan bergerak mulai

dari (0 ,

−∞) menuju (1 , 0), lalu dilanjutkan ke “titik” (

∞,

∞).

♠ (Komputer ) Sketsalah grak-grak fungsi berikut.y = 2x − 1, y = 31− x

2

, y = 51+ x2

, y = 12

5− x −1, y = 13

7x + 5 ,

y = 2log(1 −x), y = 2log |1 −x2|, y = 2log(1 − |x|).3.7. Komposisi Fungsi. Misalkan diberikan fungsi f : A → B, g : B → C,dan h : C → D. Kita denisikan komposisi antara f dan g sebagai fungsig ◦f : A → C, dengan ketentuan ( g ◦ f )(t) := g(f (t)) , untuk setiap t ∈ A.Secara serupa, kita juga punyai h ◦g ◦ f : A →D (komposisi antara f,g, danh), dengan ketentuan ( h ◦g ◦f )(t) := h((g ◦ f )(t)) , untuk setiap t∈A.

♠Berikan penjelasan secara detil (termasuk daerah asal dan hasilnya) terkaitf ◦f, f ◦g, g◦f, dan g ◦g, untuk

(a). f (t) := t2 −1, g(t) := 2 t + 1 ,(b). f (t) := t

−2, g(t) := t2 + 3 t + 4 ,

(c). f (t) := 1 −3t, g(t) := cos t,(d). f (t) := √ t, g(t) := 3√ 1 −t,(e). f (t) := t + 1t , g(t) := ( t + 1) / (t + 2) ,

28


29/58

(f). f (t) := t/ (1 + t), g(t) := sin2 t.

♠ Tentukan f ◦g ◦h, untuk(a). f (t) := t + 1 , g(t) := 2 t, h(t) := t −1,(b). f (t) := 2 t −1, g(t) := t2, h(t) := 1 −t,(c). f (t) := √ t −3, g(t) := t2, h(t) := t3 + 2 ,(d). f (t) := tan t, g(t) := x/ (x −1), h(t) :=

3√ t.

♠ Tentukan fungsi-fungsi f dan g yang bersifat F = f ◦g, untuk(a). F (t) := ( t2 + 1) 10 ,

(b). F (t) := 3√ t/ (1 + 3√ t), F (s) := 3 s/ (1 + s)(c). F (t) := √ cos t, F (t) := sin √ t, F (t) := (tan t)/ (1 + tan t).♠ Tentukan fungsi-fungsi f,g, dan h yang bersifat F = f ◦g ◦h, untuk

F (t) := 1 −3− t 2 , F (t) := 8 2 + |t|, atau F (t) := sec 4 √ t

♠ Misalkan diberikan fungsi linier f (t) := m1t + c1, dan g(t) := m2t + c2.Apakah f ◦g linier? Jelaskan jawaban anda.

♠Misalkan diberikan g(t) := 2 t + 1 , dan h(t) := 4 t2 + 4 t + 7 . Carilah f yangbersifat f ◦g = h.

Misalkan f (t) := 3 t + 5, dan h(t) := 3 t2 + 3 t + 2. Carilah g yang bersifat

f ◦g = h.Untuk f (s) := s + 4 , dan h(s) := 4 s −1, carilah g yang memenuhi g◦f = h.

3.8. Balikan Fungsi. Untuk a > 1, didenisikan f (t) := at , dan g(t) := alog t.

Kita ingat kembali hubungan antara fungsi eksponen dan logaritma, yaitu

(f ◦g)( t) = t, dan (g ◦ f )(s) = s, untuk setiap 0 < t < ∞, s∈R .Keadaan seperti ini, biasa kita sebutkan sebagai: f adalah balikan dari g.

Demikian pula sebaliknya, g adalah balikan dari f .29


30/58

Jika untuk suatu fungsi a : A →B, dan b : B →A berlaku(b◦a)(t) = t, dan (a ◦b)(s) = s, untuk setiap t∈A, s∈B,

maka b disebut fungsi balikan dari a.

♠ Misalkan diberikan g(t) := t2

, untuk t ≥0. Carilah h yang bersifat(h ◦g)(t) = t, untuk setiap t ≥0.

♥ Diketahui bahwa g : [0, ∞) →[0, ∞). Dengan demikian, kita harus men-cari h : [0, ∞) → [0, ∞) yang memenuhi ( h ◦ g)( t) = t. Setelah melakukanpengamatan, kita sampai pada kesimpulan bahwa h(t) := √ t adalah fungsiyang dimaksud. Lebih jauh, kita juga punyai fakta

h ◦g = g ◦h.Untuk h yang seperti ini, kita biasa menotasikan h := g− 1. Ini berarti

g ◦g− 1 = g− 1 ◦g.

♠ Carilah f − 1, untuk f (s) := 2 s −3, dengan −1 ≤ s < ∞. Bagaimanadengan f (s) := 5 −3s, s∈(−∞, 3]?

♥ Untuk f : [−1, ∞) → [−5, ∞), kita harus mencari f − 1 : [−5, ∞) →

[−1, ∞) yang memenuhi sifat dimaksud. Pengerjaan selanjutnya diserahkansebagai latihan.

♠ Apakah g(t) := t2, t∈R mempunyai balikan?

♥ Andaikan h : [0, ∞) →R merupakan balikan g, maka haruslah h(g(t)) =t, untuk setiap t ∈ R . Tapi kita lihat bahwa g(−2) = 4 = g(2), dan inimengakibatkan

−2 = h(g(−2)) = h(4) = h(g(2)) = 2 .Apa yang dapat anda simpulkan? Periksa dengan sketsa grak.

30


31/58

♠ Berikan penjelasan terkait balikan fungsi-fungsi berikut.f (t) := t3 +2 , g(t) := √ −1 −t, h(t) :=

t(t + 1) , −1/ 2 ≤ t < 0,t3, 0 ≤ t < ∞.

, j (t) := 3 t2

,

f (t) := √ 10 −3t, g(t) := 4t −12t + 3

, h(t) := 2log(t + 3) , j (t) := 2t

1 + 3 ·2t,

g(t) :=√

3 −52t

, h(t) := 3

log(2 + 3

log x).

♠ Dalam teori relativitas, massa partikel yang bergerak dengan kecepatanv, adalah

m = m(v) := m0

1 −v2/c 2,

dengan m0 adalah massa partikel saat diam, dan c adalah kecepatan cahaya

dalam ruang hampa udara. Menurut ketentuan di atas mungkinkah ada suatu

partikel (dengan massa tertentu) yang mampu bergerak secepat gerak cahaya?

Beri penjelasan. Tentukan balikan fungsi di atas, dan jelaskan interpretasi

sisnya.

4. Pengertian Limit dan Kekontinuan Fungsi

4.1. Ilustrasi Konsep Limit. Apa yang dimaksud dengan limit? Pengertian

tersebut akan coba untuk dibangun melalui beberapa contoh berikut.

♠ Apa yang terjadi dengan f (t) := 3 t + 4, jika t bergerak mendekati 1(dinotasikan dengan t →1)?

♥ Kita perhatikan dua tabel berikut.x 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.990 0.994 0.996 0.998

f (x) 6.700 6.760 6.820 6.880 6.940 6.970 6.982 6.988 6.994

x 1.01 1.009 1.008 1.007 1.006 1.005 1.004 1.003 1.002f (x) 7.030 7.027 7.024 7.021 7.018 7.015 7.012 7.009 7.006

Tabel pertama menyatakan bahwa untuk t yang mendekati 1 dari kiri (dino-

tasikan dengan t →1− ), mengakibatkan f (t) mendekati f (1) = 7 .Sedangkan tabel kedua menyatakan bahwa untuk t yang mendekati 1 dari

kanan (dinotasikan dengan t →1+ ,) akan mengakibatkan hal yang sama.31


32/58

Keadaan di atas kita notasikan dengan

limt→ 1−

f (t) = 7 , dan limt→ 1+

f (t) = 7 .

Jika kedua hal di atas kita gabung, maka dapat kita simpulkan bahwa f (t) →7,pada saat t →1, dan hal ini kita notasikan dengan

limt→ 1

f (t) = limt→ 1

(3t + 4) = 7 = f (1).

Kita lihat dari penjelasan di atas bahwa t → 1, akan berakibat f (t) → 7.Apa yang harus kita lakukan terhadap t, bila kita menginginkan f (t) cukup

dekat ke 7? Tentu kita juga harus membuat t cukup dekat ke 1 . Seberapa

dekat?

♠ Misalkan f (t) := 3 t + 4 . Tentukan kebenaran implikasi berikut:(1) |t −1| < 110 ⇒ |f (t) −7| < 310 ,(2) |t −1| < 115 ⇒ |f (t) −7| < 16 .

Tentukan δ > 0 agar implikasi berikut

|t −1| < δ ⇒ |f (t) −7| < 130

bernilai benar. Berapa banyak δ yang anda peroleh?

Misalkan ε0 > 0 diketahui. Tentukan δ > 0 agar implikasi berikut

|t −1| < δ ⇒ |f (t) −7| < ε 0bernilai benar. Berapa banyak δ yang anda peroleh? Berikan interpretasi

geometris terkait penjelasan di atas.

Jika pada soal sebelumnya kita memberikan bukti geometris (dan dikuatkan

dengan penjelasan analitis) tentang pengertian limit, maka soal di bawah ini

hanya akan memberikan penjelasan analitis saja terkait konsep limit.

♠Misalkan diberikan fungsi h(t) := √ t, 1 ≤ t < ∞. Akan dijelaskan (secaraanalitis) tentang kebenaran

limt→ 4

h(t) = 2 .32


33/58


|t −4| < δ ⇒ |h(t) −2| < 130

bernilai benar.

♥ Oleh karena 1 ≤ t, maka 3 ≤√ t + 2. Dengan demikian

|t −4| < δ ⇒ |h(t) −2| = |t −4|√ t + 2 ≤ |t −4|3 < 13 δ.Detil selanjutnya diserahkan sebagai latihan.

♠ Untuk g(s) := s2, dugalah nilai lims → 3 g(s).

♥ Dari tabel berikut,s 3.1 3.08 3.06 3.04 3.02 · · · 2.96 2.94 2.92 2.9g(s) 9.610 9.486 9.363 9.241 9.120 · · · 8.761 8.643 8.526 8.410

dapat kita simpulkan bahwa lims → 3

g(s) = 9 = g(3).

♠ Misalkan diberikan g(s) := s2, 0 ≤s ≤5. Akan dijelaskan (secara anali-tis) tentang kebenaran

lims → 3

g(s) = 9 .


|s −3| < δ ⇒ |g(s) −9| < 140

bernilai benar.

♥ Oleh karena 0 ≤s ≤5, maka 3 ≤s + 3 ≤8. Dengan demikian

|s −3| < δ ⇒ |g(s) −9| = ( s + 3) |s −3| ≤8|s −3| < 8 δ.Detil selanjutnya diserahkan sebagai latihan.

♠ Misalkan a > 2, dan diberikan h(t) := 1 /t, 2 ≤ t < ∞. Akan dijelaskan(secara analitis) tentang kebenaran

limt→ a

h(t) = h(a).


|s −a| < δ ⇒ |h(t) −h(a)| < 140

33


34/58

bernilai benar.

♥ Oleh karena 2 ≤ t, maka 1/t ≤1/ 2. Dengan demikian

|s −3| < δ ⇒ |h(t) −h(a)| =1t −

1a

= 1t a |t −a| <

12a

δ.

Detil selanjutnya diserahkan sebagai latihan.

Contoh-contoh di atas menimbulkan pertanyaan: Jika secara geometris kita

sudah tahu bahwa (pada contoh pertama) f (t) → 7, untuk t → 1, mengapakita perlu menghitung nilai fungsi disekitar 1?

Contoh berikut menggambarkan bahwa tidak selalu terjadi (untuk fungsi h),

bahwa lims → a

h(s) = h(a), untuk suatu a di daerah asal.

♠ Untuk fungsi berikut,h(t) := (t

2

−4)/ (t −2) , t = 2 ,3 , t = 2,dugalah nilai lim

t→ 2h(t).

♥ Jelas bahwa t → 2 tidak harus berarti t = 2. Dengan demikian kita bisamemandang nilai-nilai t di sekitar 2, tetapi t = 2 . Sementara kita tahu bahwa

h(t) = t + 2 , untuk t = 2 .

Penjelasan di atas mengarahkan kita pada kesimpulan

limt→ 2

h(t) = 4 = 3 = h(2).

Secara operasional, kita biasa menghitung nilai limitnya dengan cara

limt→ 2

t2 −4t −2

= limt→ 2

(t −2)(t + 2)t −2

= lims → 2

(t + 2) = 4 .

♠ Hitunglahlims → 2

s2 −4

√ s −√

2

, lims → 1

√ s −13√ s

−1

, lims → 1

s3 −1s

−1

, lims → 2

s5 −32s3

−8

, lims → 0

√ s2 + 9 −3s2

.

♠ Misalkan a > 0. Untuk masing-masingf (k) := k3 + 2 k2 + 4 , f (k) := √ k + 2 , f (k) := 3√ k + 1 ,

34


35/58

hitunglah

limk→ a

f (k) −f (a)k −a

.

♠ Misalkan diberikan fungsi f : R →R dengan ketentuanf (s) :=

√ 4 −s, s < 4,12

−3s, 4

≤s.

Berapa nilai lims → 4

f (s)?

♥Dengan menggunakan pendekatan dua sisi ke 4 , yaitu s →4− , dan s →4+ ,maka

lims → 4−

f (s) = lims → 4−

√ 4 −s = 0, dan lims → 4+ f (s) = lims → 4+ (12 −3s) = 0 .

♠ Misalkan diberikan fungsi h : [0, ∞) →R dengan ketentuan

h(s) :=s2, 0

≤s < 5,

0, 5 ≤s.Dugalah nilai lim

s → 5h(s).

♥ Secara geometris, tampak bahwa h(s) → 25, jika s → 5− , dan h(s) → 0saat s →5+ . Ini berarti

lims → 5−

h(s) = 25 = 0 = lims → 5+

h(s).

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

lims → 5

h(s) tidak ada .

♠ Untuk fungsif (t) :=

1, 0 < t,0, t = 0,

−1, t < 0,Berapa nilai lim

t→ 0f (t)?

♠ Misalkan diberikan fungsi h : [0,

∞)

→R dengan ketentuan

h(s) :=s2, 0 ≤s ≤5,1/ (s −5), 5 < s.

Dugalah nilai lims → 5

h(s).35


36/58

♥ Dengan tabel berikut,s 5.1 5.01 5.001 5.0001

h(s) 10 100 1000 10000

kita lihat bahwa h(s) membesar takhingga saat s →5+ , dan ini dinotasikandengan

lims → 5+ h(s) = ∞.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

lims → 5

h(s) tidak ada .

4.2. Penjelasan Konsep Limit dan Kekontinuan Fungsi. Dari contoh-

contoh di atas, kita sampai pada penjelasan berikut. Misalkan diberikan fungsi-

fungsi

g : R →R , f : R →R , dan a∈R .(1) Jika lim

s → a+g(s) = L = lim

s → a−g(s), maka

lims → a

g(s) = L.

(2) Jika lims → a+

g(s) = lims → a−

g(s), maka

lims → a

g(s) tidak dapat ditentukan .

(3) Jika salah satu dari lims → a+ g(s) atau lims → a− g(s) tidak ada (atau bernilai±∞), maka

lims → a

g(s) tidak dapat ditentukan .

(4) Bisa saja terjadi lims → a

g(s) = g(a). Jika hal tersebut terjadi, maka dikatakan

bahwa fungsi g kontinu di s = a.

(5) Memanfaatkan informasi sebelumnya, fungsi g dikatakan takkontinu di

s = a, jika salah satu dari situasi berikut

(a). lims → a

g(s) tidak ada, atau

(b). lims → a

g(s) ada, tetapi lims → a

g(s) = g(a),

dipenuhi.36


37/58

(6) Misalkan α∈R . Jika lim

s → ag(s) = L, dan lim

s → af (s) = M, maka

lims → a

(g(s) ±f (s)) = L ±M, lims → a α g(s) = α L,

lims → a

g(s) ·f (s) = L ·M, dan lims → ag(s)f (s)

= LM

.

Tentu saja, rumus terakhir hanya berlaku saat M = 0 .

♠ Berikan penjelasan tentang kekontinuan fungsi f (t) := 3 t + 7 , di t = 2.Misalkan t0 ∈R . Selidiki kekontinuan f di t0 ∈R .

♠ Misalkan a ∈ R , dan diketahui limt→ a t = a. Dengan menggunakan rumus-rumus untuk menghitung limit fungsi, tunjukkan bahwa

limt→ a

(3t2

−4t + 5) = 3 a2

−4a + 5 .

Dari sini simpulkan bahwa h(t) := 3 t2 −4t + 5 kontinu di seluruh R .

♠ Misalkan diberikan fungsif (t) :=

at + b, t ≤1,ct + d, t > 1,

yang sketsa graknya melalui titik (0 , 4). Tentukan syarat untuk a,b, c, dan d,

agar f kontinu di R .

♠ Tentukan syarat untuk a dan b agar

f (t) :=(4 −t2)/ (2 −t), t < 2,at 2 −bt + 3, 2 ≤ t < 3,2t −a + b, 3 ≤ t,

kontinu di R .

♠ Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi

f (t) := 1, 0 < t,0, t = 0,

−1, t < 0,dan h(s) := s

2, 0 ≤s ≤5,1/ (s −5), 5 < s,

takkontinu di suatu titik tertentu di daerah asal.37


38/58

♠ Perhatikan bahwa fungsif (t) := |t|, t = 0 ,

4, t = 0,

takkontinu di t = 0. Dapatkah fungsi tersebut dimodikasi (khususnya untuk

situasi di t = 0), agar menjadi fungsi kontinu? Jelaskan jawaban anda.

4.3. Mencari akar. Misalkan f : [a, b] → R kontinu. Salah satu hal pentingterkait f, adalah kenyataan bahwa dengan mengetahui tanda f (a) dan f (b),

kita dapat menunjukkan keujudan akar dari f. Ini berarti kita bisa menemukan

α∈(a, b) yang memenuhi f (α) = 0 .

Teorema 1. (Teorema Nilai Antara ). Misalkan f : [a, b] −→ R adalah fungsi kontinu yang bersifat

f (a) < 0 < f (b), atau f (b) < 0 < f (a).

Maka dapat ditemukan α∈(a, b) yang memenuhi f (α) = 0 .

♠ Tunjukkan bahwa grak fungsi y := 4 −x2 memotong sumbu- x di duatitik.

♥Oleh karena y = 4 −x2 melalui setidaknya titik-titik ( −3, −5), (0, 4), dan(3, −5), maka sketsa grak fungsi tersebut akan memotong sumbu- x di duatitik yang berlokasi di interval buka ( −3, 0) dan di interval buka (0 , 3).

♠ Misalkan f (t) := 4 t3 −6t2 + 3 t −2. Tunjukkan bahwa f mempunyai akardi interval (1 , 2).

♠Tunjukkan bahwa persamaan di bawah ini mempunyai akar, pada intervalyang diberikan.

(1) x4 + x

−3 = 0 , di (1, 2),

(2) 3√ t = 1 −t, di (0, 1),(3) t = cos t, di (0, 1),

(4) 3log x = 3 − x , di (1, 2).38


39/58

♠ Misalkan f : [1, 5] → R kontinu, dan f (t) = 6 hanya dipenuhi oleht∈ {1, 4}. Jika f (2) = 8 , jelaskan mengapa f (3) > 6?

♠ Apakah f : [−2, 4] →R dengan ketentuan di bawah inif (t) :=

9 −t2, −2 ≤ t ≤0,t2

−4, 0 < t

≤4,

memenuhi Teorema Nilai Antara? Berikan penjelasan.

♠ Misalkan a, b > 0. Tunjukkan bahwaa

x3 + 2 x2 −1 +

bx3 + x −2

= 0,

mempunyai setidaknya satu solusi di interval ( −1, 1).

4.4. Limit di Takhingga. Jika kita amati sketsa grak f (x) := 1 /x, x > 0,

dan g(x) := (2 x + 3) / (x + 1) , x > 0, maka akan tampak bahwa

x 10 50 100 400 1000 3000 10,000 25,000 50,000f (x) 0.1 0.02 0.01 0.0025 0.001 0.0033 0.0001 0.00004 0.00002

x 9 99 999 9999g(x) 2.1 2.01 2.001 2.0001

Secara intuitif tampak bahwa dengan semakin membesarnya x, maka secara

bersamaan akan diperoleh f (x) → 0, dan g(x) → 2. Hal ini kita notasikandenganlim

x →∞f (x) = 0 , dan lim

x→∞g(x) = 2 .

Secara lebih teliti kita lihat bahwa

|g(x) −2| = 1x + 1

< 1x

.

Ini berarti, dengan semakin membesarnya x, maka jarak g(x) ke 2 juga akan

semakin dekat. Sebagai contoh, posisi g(1000) dibandingkan dengan g(100)terhadap 2 jelas amat sangat berbeda, kalau kita amati fakta di bawah ini.

|g(1000) −2| = 11001

> 1101

= |g(100) −2|.39


40/58

♠ Berikan penjelasan numeris yang menyatakan bahwalim

x→∞

1√ x = 0 , limx →∞

1x2

= 0 , dan limx→∞

2x −14x + 3

= 12

.

Dengan menggunakan fakta di atas, hitunglah

limx →∞ (√

x2

+ 4 x −√

x2

+ 9 x), limx →∞ 3x + 54x + 7 , dan limx →∞

x2

−3x + 1

4x2 + 5 x + 6 .

♠ Hitunglah ekspresi berikutlimt→∞

3t −14t2 −2t + 7

, lims →∞

3− s , limx →∞

4x + 24x −5

, limx →∞

( 2log x − 2log(x + 2)) ,

lims →−∞

5s+2 , limx→∞

3x+2 −5x− 33x + 5 x+1

, limt→−∞ 2−t3 −2t , limx→−∞ 2log

xx + 2

.

♠Misalkan diberikan h(t) := 1 / (t−3), untuk t∈R \{3}. Berikan penjelasannumerik dalam bentuk tabel yang menyatakan bahwa h(t) → ∞, saat t →3+ .Apa yang terjadi dengan h(t), saat t →3− ?

Penjelasan di atas biasa dinotasikan dengan

limt→ 3−

h(t) = −∞, dan limt→ 3+ h(t) = ∞.Jika kita perhatikan, maka sketsa grak h terletak pada dua daerah, yaitu

A:= {(x, y) : x < 3, y < 0}, dan B:= {(x, y) : x > 3, y > 0}.Sketsa h dimulai dari “ titik ” (−∞, 0− ) menuju (0 , −1/ 3), kemudian diakhiri

di (3− , −∞). Sketsa kemudian dimulai lagi dari (3 + , ∞) menuju ke (∞, 0).

♠ Sketsalah grak g(x) := 1 / (5 −x)2, x∈R \ {5}, danf (s) :=

s4 −s2

, s∈R \ {−2, 2}.

5. Turunan Fungsi

5.1. Motivasi Pengertian Turunan. Motivasi pengertian turunan dapat

dirunut dari permasalahan geometri maupun mekanika. Permasalahan terse-

but adalah tentang pencarian garis singgung dan pengertian kecepatan sesaat.40


41/58

♠ Pandang grak f (x) := x2, x ∈ R . Tentukan garis lurus yang menying-gung f (x) di titik (3 , 9).

♥Misalkan h > 0. Misalkan ℓh menyatakan garis yang memotong f (x) = x2di A(3, 9), dan B (3 + h, f (3 + h)) . Jelas bahwa ℓh mempunyai persamaan

y −9 = m(h) (x −3), dengan m(h) := f (3 + h) −9h = 6 + h.Agar ℓh menyinggung f di A, maka kita harus “ menggerakkan ” B sepanjang

f untuk mendekati A. Ini berarti, kita harus membuat h → 0+ . Ini mengaki-batkan

m0 := limh → 0+

m(h) = 6 ,

merupakan gradien garis singgung yang dicari. Dengan demikian, garis singgung

yang dimaksud adalah

y −9 = m0 (x −3), atau y = 6x −9.Ulangi proses di atas, untuk B(3 −h, f (3 −h)), dengan h > 0.

Proses di atas dapat juga diulangi dalam hal B(t, f (t)) , untuk t > 3. Dengan

demikian kita akan sampai pada fakta bahwa

m0 := limt→ 3+

f (t) −f (3)t

−3

= 6 .

Persis seperti yang kita inginkan.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa

limt→ 3

f (t) −f (3)t −3

, atau limh → 0

f (3 + h) −f (3)h

menyatakan koesien arah (gradien) garis singgung terhadap kurva f (x) = x2

di titik (3 , f (3)) .

♠Tentukan titik pada kurva y := 2x3 +3 x2 −12x +1 yang mempunyai garissinggung horizontal. Ulangi pertanyaan tersebut untuk kurva

f (x) := x3 + 3 x2 + x + 3 .41


42/58

♥ Garis horizontal mempunyai slope 0 . Dengan demikian harus dicari titik(x0, y0) pada kurva sedemikianhingga garis singgung di titik tersebut mempun-

yai slope/gradien y ′ (x0) = 0 . Oleh karena

0 = y′ (x0) = 6 x20 + 6 x0 −12⇔x0 ∈{1, −2},

maka (1 , −6), dan (−2, 13) adalah titik-titik yang dimaksud.♠ Tunjukkan bahwa tidak ada garis dengan gradien 4 yang menyinggung

kurva y = 6x3 + 5 x −3.

♥Andaikan garis yang dimaksud memang ada. Kita namakan garis tersebutℓ, dengan gradien mℓ. Ini berarti dapat dipilih titik ( x0, y0) pada kurva dengan

sifat y′ (x0) = 18x20 + 5 = 4 . Untuk setiap x0 ∈R selalu berlaku x0 ≥0, dan inimengakibatkan

0 ≤18x20 = 4 −5 = −1.Sesuatu yang mustahil.

♠Tentukan garis singgung pada kurva y = x√ x, dengan x ≥0, yang sejajargaris y = 1 + 3 x.

♥ Misalkan x0 > 0. Cukup jelas bahway′ (x0) =

3x0

2√ x0, dan y′ (0) = lim

t→ 0+

3t

2√ t= 0 .

Dengan demikian salah satu garis singgung yang dimaksud adalah y = 3x,

yang merupakan garis singgung di titik (0 , 0).

Kita ketahui bahwa3x0

2√ x0 = 3⇔x0 = 4.Dengan demikian, garis singgung yang lainnya harus menyinggung kurva di

(4, 8), dan persamaan garisnya adalah y = 3x −4.

♠ Tunjukkan bahwa terdapat dua garis singgung pada kurva y = x2 yangmelalui titik (0 , −4). Ulangi pertanyaan di atas untuk kurva y = x2 + x dengantitik (2 , −3). 42


43/58

♠ Adakah sebuah garis yang menyinggung sekaligus kurva-kurvay = x2, dan y = x2 −2x + 2 ?

♠ Tentukan garis normal pada kurva y = x2 −5x + 4 yang sejajar garisx −3y = 5.

♥ Yang dimaksud dengan garis normal di titik A, adalah garis yang tegaklurus garis singgung di A.

♠ Tunjukkan bahwa garis normal pada kurva y = x − x2 di titik (1 , 0)memotong kurva dua kali.

♠Tentukan parabola y = P (x) yang melalui titik (2 , 5), dan memenuhi sifatP ′ (2) = 3 , P ′′ (2) = 2 .

♠Tentukan kurva y := a0x3 + a1x2 + a2x+ a3 yang mempunyai garis singgunghorizontal di titik (2 , 0) dan (−2, 6).

♠ Misalkan s = f (t) := t3 −4t + 2, menyatakan posisi benda pada suatugaris lurus saat detik ke- t. Tentukan kecepatan benda 2 detik setelah bergerak.

♥ Kita lihat bahwa pada awalnya benda berposisi di titik s = 2. Sedetikkemudian benda berada di s = −1. Ini berarti benda berpindah posisi ke sebe-lah kiri dari posisi awal. Cukup jelas bahwa pada detik ke-2 benda berposisi

di s = 2. Dengan demikian, 2 detik setelah bergerak, benda kembali ke posisi

awal. Karena kecepatan didenisikan sebagai panjang lintasan dibagi waktu

tempuh, makaf (2 + h) −f (2)

h , h > 0,

menyatakan kecepatan benda h detik setelah meninggalkan titik s = 2, menuju

ke arah kanan.

Walaupun f (0) = f (2) = 2 (yang berarti benda tersebut kembali ke posisiasal 2 detik setelah bergerak), tetapi karena alasan

limh → 0+

f (0 + h) −f (0)h

= −4, dan limh → 0f (2 + h) −f (2)

h = 8,

43


44/58

maka pada awalnya benda bergerak ke arah kiri dan pada detik kedua (pada

posisi yang sama) benda bergerak kearah kanan dengan kecepatan dua kali

kecepatan pada awal pergerakan.

♠ Misalkan sebuah batu (di permukaan planet Mars) dilempar ke atas den-gan kecepatan awal 10 meter/detik. t detik kemudian, batu tersebut mencapaiketinggian y := 10t −1.86 t2. Tentukan kecepatan rata-rata gerak batu padainterval-interval berikut.

[1, 2], [1, 1.5], [1, 1.1], [1, 1.01], [1, 1.001].

Dugalah kecepatan batu sesaat setelah detik ke-1 . Bagaimana dengan kecepatan

sesaat sebelum detik ke-1 ?

♠Misalkan s := t3

−3t, menyatakan posisi benda pada suatu garis lurus saat

detik ke- t. Tentukan kecepatan dan percepatan sebagai fungsi dari t. Tentukan

percepatan setelah 2 detik. Berapa percepatannya, jika benda bergerak dengan

kecepatan 2 ?

♠ Misalkan diberikan fungsi f : R → R , dan a ∈ R . Kita gunakan notasif ′ (a) untuk menyatakan nilai

limh → 0

f (a + h) −f (a)h

, atau limt→ a

f (t) −f (a)t

−a

,

asalkan nilai limit kedua ungkapan di atas ada. Secara matematis, f ′ (a) meny-

atakan turunan fungsi f di titik a.

Hitunglah f ′ (x), dalam hal f (t) := √ t, f (t) := t2, f (t) := t3, atau f (t) :=t4.

♠ Hitunglahlimt→ 1

t750 −1t −1

.

♠ Misalkan diberikan fungsi-fungsi f, g : R → R , dan a ∈ R . Jika diden-isikan f 1(t) := f (t) + g(t), untuk setiap t∈

R , tunjukkan bahwa

f ′1(a) = f ′ (a) + g′ (a).44


45/58

Jika didenisikan f 2(t) := f (t) g(t), dan f 3(t) := f (t)/g (t), hitunglah f ′2(a).

Berikan syarat secukupnya agar kita bisa menghitung f ′3(a).

♠ Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa h′ (t) = n t n − 1,

untuk h(t) := tn , dengan t ∈ R , dan n ∈ N. Bagaimana dengan h(t) := t− n ,dengan t > 0, dan n

∈

N ?

♥ Akan ditunjukkan bahwa h(t) := tn akan mengakibatkan h′ (t) = nt n − 1,untuk setiap n∈

N.

Misalkan untuk suatu k ∈N berlakuh(t) := tk⇒h

′ (t) = ktk− 1.

Akan ditunjukkan bahwa implikasi di atas masih tetap berlaku bila k diganti

dengan k + 1 .

Misalkan diberikan h(t) := tk+1 . Dengan mendenisikan f (t) := tk dan

g(t) := t, maka akan kita punyai h(t) := f (t)g(t), dan ini mengakibatkan

h ′ (t) = f ′ (t)g(t) + f (t)g′ (t) = ktk− 1 ·t + tk ·1 = ( k + 1) tk .Dengan demikian

h(t) := tn ⇒h′ (t) = nt n − 1,

berlaku untuk semua n∈N .

Misalkan n∈N . Jika h(t) := t− n , maka kita bisa membuat h(t) = f (t)/g (t),

dengan f (t) := 1 , dan g(t) := tn . Dengan mengingat hasil sebelumnya, maka

kita sampai pada kenyataan bahwa h ′ (t) = −n t − (n +1) .

♠ Dengan menggunakan faktalimt→ 0

sin tt

= 1,

hitunglah limt→ 0

(tan t)/t.

♠ Hitunglah turunan f (t) := sin t, dan g(t) := cos t, di R .Dengan menggunakan sifat-sifat turunan terhadap kombinasi fungsi-fungsi,

tentukan turunan semua fungsi trigonometri yang tersisa.45


46/58

♥ Misalkan h = 0 . Dengan menggunakan rumussin α −sin β = 2 cos

12

(α + β )sin 12

(α −β ),cukup jelas bahwa

sin(t + h) −sin th

= cos t + h2 ·

sin h2h2

.

Misalkan 2s = h, maka h →0 mengakibatkan s →0. Akibatnyalimh → 0

sin h2h2

= lims → 0

sin ss

= 1, dan limh → 0

cos t + h2

= cos t.

Dengan demikian f ′ (t) = cos t.

♠ Misalkan didenisikang(x) := f (x)sin x, dan h(x) :=

cosxf (x)

.

Jika f (π/ 3) = 4 , dan f ′

(π/ 3) = −2, tentukan nilai g′

(π/ 3) dan h′

(π/ 3).

♠ Misalkan diberikan fungsif (t) :=

tan t −1sec t

.

Sajikan f sebagai fungsi dalam sinus dan cosinus, lalu carilah f ′ , atau carilah

f ′ terlebih dahulu, kemudian sajikan f ′ sebagai fungsi dalam sinus dan cosinus.

Apa yang anda peroleh?

♠ Misalkan f (t) := |t|. Hitunglah f ′

(t) untuk t = 0 . Bagaimana denganf ′ (0)?

♥ Cukup jelas bahwaf ′ (t) =

1, t > 0,

−1, t < 0.Tetapi oleh karena

limh → 0+

f (h) −f (0)h

−0

= 1 , dan limh → 0−

f (h) −f (0)h

−0

= −1,maka f ′ (0) tidak dapat ditentukan.

Fakta tersebut dapat diapresiasi dengan cara mencari setidaknya dua garis

singgung pada kurva y := |x| di titik (0 , 0). Sebagai contoh, sebarang garis46


47/58

y = m x, dengan |m| < 1 adalah garis yang menyinggung kurva y = |x| di titik(0, 0).

♠ Evaluasilah turunan fungsi-fungsi berikut.

f 1(t) :=2 −t, t ≤1,t

2

−2t + 2 , t > 1, f 2(s) :=

−1 −2s, s < −1,s2,

−1

≤s

≤1,

s, s > 1,

f 3(x) := |x2 −9|, f 4(t) := |x −1|+ |x + 2 |.

♠ Tentukan m dan b, agar fungsi berikutf (t) :=

t2, t ≤2,mt + b, t > 2,

mempunyai turunan dimanapun.

♠ Tentukan parabola y := ax2

+ bx dengan sifat bahwa garis singgung di(1, 1) mempunyai persamaan y = 3x −2.

♠ Sekarang akan disajikan notasi turunan yang diperkenalkan oleh Leibniz.Misalkan diberikan fungsi y := f (x), dan a ∈ R . Turunan f di x = a, dapatdituliskan menggunakan notasi Leibniz sebagai berikut.

dydx x= a

:= f ′ (a).

Secara umum, kita punyai notasi

dydx

= ddx

f (x) = f ′ (x).

Notasi di atas menyatakan tentang perubahan y terhadap x. Atau secara meka-

nis, dinyatakan bahwa perubahan y dipengaruhi oleh perubahan x.

Hitunglah

ddx

(3 x4 −5 x2 + 2 x), d

ds(tan s) dan

ddt

(2 sin t + 5 cos t).

♠Misalkan diberikan y = f (x), dengan f (x) := √ x, untuk x > 0. Tunjukkanbahwa

dxdy

= 1f ′ (x)

=dydx

− 1

.47


48/58

Dengan demikian kita bisa memperlakukan dy/dx sebagai hasil bagi suatu

entitas/besaran. Tepatnya,dydx

dapat dipandang sebagai hasil bagi differensial .

♥ Cukup jelas bahwa x > 0 akan berakibat bahwa y = √ x setara denganx = y2. Dari kenyataan yang terakhir, kita punyaidxdy

= 2y,

dan kita sampai kepada hasil yang kita inginkan.

Implementasi sifat di atas akan digunakan untuk menurunkan suatu rumus

yang dikenal sebagai aturan rantai .

Misalkan kita punyai y := f (u), dan u := g(x). Jelas bahwadydu

= f ′ (u), dan du

dx = g′ (x).

Tetapi oleh karena kita bisa memandang turunan sebagai hasil bagi enti-

tas/besaran tertentu (hasil bagi differensial), maka akan kita punyai

dydx

= dydu ·

dudx

= f ′ (u)g′ (x) = f ′ (g(x))g′ (x).

♠ Dengan terlebih dahulu menghitung dx/dy, hitunglah dy/dx, jikay := x1/ 5, x ≥0.

Misalkan x > 0. Tinjaulah situasi dalam hal y := x− 1/ 4 .

♥ Jika x > 0, maka y = x1/ 5 akan setara dengan x = y5. Sementara itu,fakta yang terakhir akan membawa kita kepada

dxdy

= 5 y4 = 5 x4/ 5 atau dy

dx =

15

x− 4/ 5.

Jelas bahwa dy/dx tidak ada untuk x = 0, karenalim

x→ 0+

x1/ 5 −0x −0

= limx → 0+

15√ x4

tidak ada nilainya.48


49/58

♠ Dengan menggunakan aturan rantai dan bantuan fungsi g(t) := t1/ 7, hi-tunglah f ′ (x) untuk

f (x) := x3/ 7, x ≥0.Berikan komentar untuk f ′ (0).

♥ Misalkan x > 0. Dengan mengingat bahwa g(t) := t1/ 7

, makaf (x) = x3/ 7 = ( x1/ 7)3 = g(x)3⇒f

′ (x) = 3 g(x)2g′ (x) = 3 x2/ 7·17

x− 6/ 7 = 37

x− 4/ 7.

♠Soal berikut merupakan kesimpulan dari beberapa detil di atas. Misalkanm, n ∈

Z , dan n = 0 . Jika f (s) := sm/n , s > 0, hitunglah f ′ (s).

♠ Tentukan garis yang menyinggung kurvay :=

1sin x + cos x

, atau y := 1 + sin xx + cos x

di titik (0 , 1).

5.2. Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma. Misalkan a > 1. Sekarang

kita akan mencoba membahas turunan fungsi eksponen yang berbentuk

f (x) := ax , x∈R .

Misalkan h = 0 . Jelas bahwaf (x + h) −f (x)

h =

ax+ h −axh

= ax · ah −1

h = f (x) ·

ah −1h

.

Dengan demikian

f ′ (x) ada, jika dan hanya jika f ′ (0) = limh → 0

ah −1h

ada.

♠ Tunjukkan bukti numeris yang menyatakan bahwalimh → 0

2h −1h ≈0.69, dan limh → 0

3h −1h ≈1.10.

♥ Ini dapat dibuktikan dengan mendaftarkan nilai-nilaif 1(h) := 2

h

−1h , dan f 2(h) := 3h

−1h ,untuk beberapa nilai h > 0 yang cukup dekat ke 0 . Sebagai misal, kita bisa

memilih h∈ {0.1, 0.01, 0.001, 0.0001}. 49


50/58

Bilangan Euler e, didenisikan sebagai 2 < e < 3 yang memenuhi

limh → 0

eh −1h

= 1 .

Dengan demikian g(x) := ex mengakibatkan g′ (0) = 1 , dan g′ (x) = g(x).

Misalkan x > 0. Kita denisikan logaritma natural ln x sebagai

y = ln x jika dan hanya jika ey = x.

Oleh karena x = ey mengakibatkandxdy

= ey = x,

maka

y = ln x⇒ dydx

= 1x

, x > 0.

♠ Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.f 1(t) := e2t+5 , f 2(t) := e3

− 4t , f 3(t) := e(t− 3)(2+ t) .

♠ Tentukan turunan kedua, ketiga dan keempat dari y = e2t2 − 3t . Tentukan

turunan kedua fungsi-fungsi berikut.

f 1(s) := es

s3, f 2(s) := ( s −1)es , f 3(s) :=

ses

, f 4(s) := es cos s.

♠ Tentukan garis yang menyinggung kurvay :=

ex

1 + x2

di titik (1 , e/ 2).

♠ Tentukan f ′ (x) untuk f (x) := ln |x|, x = 0 . Bagaimana denganf (x) := √ ln x, x ≥1, atau f (x) := ln |2x −6|, x = 3 ?

♠ Adakah titik-titik pada kurva y := e− x , y := e2x+1 , atau y := ex2 − x yang

garis singgungnya sejajar y = 2x ?

♠ Misalkan diberikan g : R →(0, ∞). Hitunglah f ′ (x), untukf (x) := ln g(x).

50


51/58

5.3. Turunan Fungsi Siklometri. Misalkan kita denisikan y := sin x. Un-

tuk −π/ 2 ≤x ≤π/ 2, kita punyai fakta −1 ≤y ≤1.Secara gras, kita tahu bahwa y = sin x, −π/ 2 ≤ x ≤ π/ 2, adalah fungsi

naik, dengan demikian mempunyai balikan. Kita denisikan balikan fungsi

sinus sebagai berikut.

x = arcsin t jika dan hanya jika t = sin x.

Dari ekspresi yang terakhir, kita punyai faktadtdx

= cos x = |cos x| = √ cos2 x = 1 −sin2 x = √ 1 −t2.Akibatnya

x = arcsin t⇒ dxdt

= 1√ 1 −t2

.

Tentu saja kita catat bahwa, implikasi di atas hanya berlaku untuk

−1 < t < 1,

dan −π/ 2 < x < π/ 2.

♠ Jika y := arccos x, atau y := arctan x, tentukan langkah-langkah untukmendapatkan y′ .

♠ Hitunglah y′ , jika y = arcsin(2 x2 −3x), atauy = arctan 1 −x1 + x .

5.4. Turunan Implisit. Misalkan diberikan fungsi-fungsi

y := g(t) dan x := h(t).

Setelah memahami notasi Leibniz tentang turunan suatu fungsi, kita akan

punyaidydt

= g′ (t)⇔dy = g′ (t) dt.

Selanjutnya, fakta berikutd(x + y)

dt = ddt (h(t) + g(t)) = h

′

(t) + g′

(t)mengakibatkan d(x + y) = h ′ (t)dt + g′ (t)dt = dx + dy, atau

d(x ±y) = dx ±dy.51


52/58

Secara sama, rumus berikut

d(xy)dt

= ddt

(g(t)h(t)) = g′ (t)h(t) + g(t)h ′ (t)

akan mengarah kepada d(xy) = x dy + y dx.

♠ Dapatkan rumus untuk

dxy

.

♠ Hitunglah y′ , jika diketahui x2 + y2 = 5 −2x2y3.

♥ Cukup jelas bahwa d(x2 + y2) = d(5 −2x2y3), dan ini mengakibatkand(x2) + d(y2) = d(5) −d(2x2y3).

Dari fakta berikut

z := x2⇒ dz dx

= 2x⇒dz = 2x dx⇒d(x2) = 2 xdx,

akan kita punyai d(y2) = 2 y dy, d(5) = 0 , atau

d(2x2y3) = 4 xy3 dx + 6 y2x2 dy.

Dengan demikian, kita akan sampai pada kesimpulan bahwa

(2x + 4 xy3)dx + (2 y + 6y2x2)dy = 0.

♠ Tentukan garis-garis (dengan gradien 2) yang menyinggung lingkaranx2 + y2 = 9 .

Tentukan y′′ di setiap titik pada lingkaran.

♥ Kita ingat kembali bahwa x2 + y2 −9 = 0 akan mengakibatkanx + y

dydx

= 0, atau dy

dx = −

xy

,

asalkan y

= 0 . Jika pada ekspresi pertama dikenakan aturan seperti sebelum-

nya, maka

1 + 1·dydx

2

+ y · d2ydx2

= 0 , atau 1+ − xy

2

+ y · d2ydx2

= 0.52


53/58

Karena alasan y = 0 , maka(x2 + y2) + y3

d2ydx2

= 0, atau d2y

dx2 = −

9y3

.

♠ Hitunglah y′′ , jika diketahui x2 + y2 = 5 −2x2y3.

Berikut disarikan metode yang telah digunakan untuk mencari y′

dari soalsebelumnya.

Ekspresi x2 + y2 = 5 −2x2y3 atau x2 + y2 −5 + 2 x2y3 = 0 jika diturunkanterhadap x (dengan menganggap y sebagai suatu konstanta), maka harus dika-

likan 1. Sedangkan jika diturunkan terhadap y (dengan menganggap x sebagai

suatu konstanta), maka harus dikalikan y ′ . Ini berarti

(2x + 4xy3) ·1 + (2y + 6y2x2) · dydx

= 0.

Jika metode di atas diterapkan kembali untuk ekspresi berikut,

(2x + 4 xy3) + (2 y + 6y2x2) · dydx

= 0 ,

maka kita akan mendapatkan

(2+4 y3)+12 xy2 ·dydx

+12 y2x ·dydx

+(2+12 yx2)dydx

2

+(2 y +6 y2x2) ·d2ydx2

= 0 ,

atau

(1 + 2 y3) + (6 xy2 + 6 y2x) · dydx + (1 + 6 yx2) dy

dx2 + ( y + 3 y2x2) · d

2ydx2

= 0.

♠ Tentukan y′′ dari fungsi berikut.x3 + y3 = 4 , 9x2 + y2 = 9 , √ x + √ y = 1.

♠ Tentukan garis yang menyinggung kurva x3 + y3 = 6 xy di titik ( x0, y0).Carilah garis horizontal yang menyinggung kurva tersebut.

♠ Jika sin( x + y) = y2 cos x, tentukan y ′ dan y′′ . Bagaimana dengantan( x −y) =

y1 + x2

?53


54/58

5.5. Laju yang Berhubungan. Jika kita memompa suatu balon sferis (balon

yang diasumsikan berbentuk bola), maka akan kita lihat bahwa ukuran volu-

menya (seperti juga jari-jarinya) akan mengalami perubahan. Jika diimplemen-

tasikan dalam perhitungan, maka laju perubahan volume balon dibandingkan

dengan laju perubahan jari-jari balon, dengan mengingat rumus volume suatu

bola, akan dapat dihitung melalui rumus

dV dr

= 4πr 2.

Tetapi jika dimisalkan bahwa laju perubahan volume balon terhadap waktu

telah diketahui, dapatkah kita menghitung laju perubahan jari-jari balon ter-

hadap waktu?

Seperti telah kita ketahui, jika kita menganggap turunan sebagai suatu hasil

bagi differensial, maka akan dengan mudah kita peroleh fakta berikut.

dV dr

= 4πr 2⇔dV = 4πr2 dr⇔

dV dt

= 4πr 2 drdt

.

♠ Misalkan udara yang dipompakan ke dalam suatu balon sferis mengak-ibatkan volume balon meningkat 100 cm 3/detik. Tentukan laju perubahan

jari-jarinya saat diameter balon 50 centimeter.

♠Suatu tangga dengan panjang 5 meter, diletakkan sedemikianhingga ujungatas tangga menyandar di tembok dan ujung bawah tangga terletak di lan-

tai. Misalkan diasumsikan tembok berposisi tegaklurus terhadap lantai. Jika

tangga digerakkan, dan ujung bawah tangga menjauhi tembok dengan ke-

cepatan 25 cm/detik, berapa laju perubahan jarak ujung atas tangga terhadap

lantai saat bagian atas tangga berjarak 3 meter dari permukaan lantai?

♥Pandang ∆ ABC, yang siku-siku di B, dimana A adalah ujung atas tanggayang bersandar pada tembok AB, dan C adalah ujung bawah tangga yang

terletak pada lantai BC.54


55/58

Jika dimisalkan x := |BC |, dan y := |AB |, maka cukup jelas bahwax2 + y2 = 500 2⇒x ·

dxdt

+ y · dydt

= 0.

Jika kita buat perjanjian bahwa pergerakan menjauhi tembok atau lantai, ke-

cepatannya dinotasikan sebagai suatu entitas negatif, maka

y = 300, x = √ 5002 −3002 = 400, dx

dt = −25,

dan ini mengakibatkandydt

= 100

3 .

♠Mobil A bergerak dari utara lurus menuju terminal X dengan kecepatan 80km/jam, dan secara bersamaan mobil B juga bergerak dari barat lurus menuju

terminal yang sama dengan kecepatan 100 km/jam. Tentukan perubahan jarakantara dua mobil tersebut.

♠Misalkan suatu tangki air berbentuk kerucut terbalik dengan jejari alas 2meter dan tinggi 4 meter. Saat air mencapai ketinggian 3 meter, tentukan laju

ketinggiannya bila air yang dimasukkan ke dalam tangki mempunyai kecepatan

2 meter kubik tiap menit.

♠Suatu tangki silindris dengan jejari alas 5 meter dimasuki air dengan laju3 meter kubik tiap menit. Berapa laju perubahan ketinggian air dalam tangki?

♠ Suatu partikel bergerak di sepanjang kurvay := √ 1 + x3.

Saat mencapai titik (2 , 3), ordinatnya meningkat dengan laju 4 centimeter per

detik. Berapa laju perubahan absisnya saat itu?

♠ Sebongkah bola salju meleleh sedemikian rupa sehingga luas permukaan-nya mengkerut dengan laju 2 centimeter persegi tiap menit. Tentukan laju

penyusutan diameternya saat diameternya 10 centimeter.55


56/58

5.6. Pendekatan Linier dan Differensial. Pandang garis

y = y(x) := 8 x −16yang menyinggung kurva f (x) := x2 di titik (4 , 16). Jelas bahwa y(4) = f (4).

Tetapi secara gras, tampak bahwa entitas berikut

|f (4 + h) −y(4 + h)|dapat dibuat semakin kecil, saat h > 0 juga semakin kecil. Ini berarti y(4 + h)

dapat digunakan untuk mendekati (4 + h)2, asalkan h > 0 cukup kecil. Secara

notasional, kita punyai

(4 + h)2 ≈8(4 + h) −16, atau (4 + h)2 ≈8h + 16 .

♠ Verikasilah kebenaran rumus (4 + h)2 ≈ 8h + 16 untuk h = 0.1, 0.01,dan 0.001. Berikan komentar terhadap nilai pendekatan untuk 4 .0012.

♠ Dengan meninjau garis-garis singgung pada kurva-kurva f (x) := √ 4 + x,di titik (0 , 2), dan g(x) := √ x, di titik (4 , 2), kita peroleh rumus pendekatan

√ 4 + h ≈ h4

+ 2, dan √ x ≈ x4

+ 1.

Gunakan keduanya untuk menaksir √ 4.001, atau √ 3.99.

♠ Dapatkan rumus untuk menaksir nilai 3√ 8.002, dan e0.001 .

♠ Berikan alasan secukupnya, perihal pendekatan berikutsec0.08 ≈1, ln 1.05 ≈0.05, (1.01)6 ≈1.06.

Kita lihat bahwa nilai √ 4.001 tidak berbeda jauh jika dibandingkan den-gan nilai √ 4. Sampai seberapa jauh perbedaannya? Secara umum tentu saja

perbedaannya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut∆ y := f (4 + ∆ x) −f (4) = √ 4.001 −2 ≈0.00025,

untuk ∆ x := 0.001.56


57/58

Misalkan y := f (x), dan dy = f ′ (x)dx. Jika ∆ x cukup kecil, kita dapat

menggantikan perannya dengan dx. Dengan demikian, peran ∆ y akan diganti

oleh dy, melalui penjelasan di bawah ini

∆ y ≈ lim∆ x→ 0f (x + ∆ x) −f (x)

∆ x ·∆ x = f ′ (x) ·dx = dy.

Dengan demikian

∆ y ≈f ′ (x)dx =

12√ 4 ·0.001 =

0.0014

= 14000

,

persis seperti perhitungan sebelumnya.

♠Jari-jari suatu bola ukurannya adalah 21 centimeter, dengan kemungkinankesalahan (galat) pengukuran maksimal adalah 0 .05 centimeter. Berapa galat

maksimal yang mungkin terjadi saat dilakukan pengukuran terhadap volume

bola tersebut.

♥ Dengan menggunakan rumus berikutV :=

43

πr 3⇒ dV dr

= 4 πr 2,

dan fakta bahwa r = 21, dan dr = 0.05, maka kita akan sampai pada

dV = 4 π(21)2 ·0.05 ≈277.Dengan demikian, galat maksimum saat menghitung volume bola adalah (sek-

itar) 277 centimeter kubik.

Kadangkala, dalam penghitungan galat bisa juga dipakai istilah galat relatif,

yang didenisikan sebagai

∆ V V ≈

dV V

= 3 · dr

r =

3 ·0.0521

= 0 .00714.

Berarti, prosentase galat jari-jari 5% , akan mengakibatkan prosentase galat

untuk pengukuran volume sebesar 0 .714%.

♠ Taksirlah semua konstanta pada soal s

pengantar_kalkulus2

Documents