PENDAHULUAN SCILAB - · PDF fileModul Praktikum Metode Numerik Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 7 dengan faktor kenaikan sebesar 0.2 w = 1:0.2:7

Modul Praktikum Metode Numerik

PENDAHULUAN SCILAB

1. Struktur Scilab

Program Scilab sudah memiliki text editor di dalamnya. Perintah/kode program Scilab dapat dituliskan

di dalam window Scilab Execution (Scilex) ataupun di window Scipad (text editor Scilab). Namun

untuk praktikum Metode Numerik ini, program dituliskan di dalam Scipad.

2. File Extension

File program Scilab memiliki extension .sce. File ini masih dalam bentuk text format. Untuk

mengeksekusi file .sce, pertama kali file tersebut dibuka di dalam Scilab. Kemudian dieksekusi (ctrl +

l).

3. Perintah Scilab

3.1. Vektor

Cara untuk membuat vektor dalam Scilab sbb : (vektor disebut juga dengan array satu dimensi)

x=[0 ;2 ;5]

3.2. Matriks

Cara untuk membuat matriks dalam Scilab sbb : (matriks disebut juga array dua dimensi)

[1−14

32−3

455]

perintahnya sbb :

A=[13 4 ;−1 25 ;4−35]

3.3. Vector Otomatis

1 Lab Komputer Dasar


Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 7 dengan faktor kenaikan sebesar 0.2

w = 1:0.2:7

3.4. Menjalankan Function pada Vector

Vektor dapat diberlakukan suatu function secara bersamaan dengan perintah :

z = sin(w)

3.5. Membuat Plot dari Vector

Dua vector z dan w dapat dibuat plot w versus z dengan perintah :

plot2d(w,z)

3.6. Matriks Bilangan Random

Cara membuat matriks m x n yang berisi bilangan random sbb :

rand(n,m)

3.7. Loops dan Condition

Looping dan condition di dalam Scilab sbb :

ans = 0; n = 1; term = 1;

while( ans + term ~= ans )

ans = ans + term;

term = term*x/n;

n = n + 1;

end

ans

kemudian dijalankan perintah sbb :



x = 1.0

exec(’ex.sci’)

Selain itu :

for j=4:2:6

disp(j**2)

end

Hasilnya adalah : 16, 4, 0, 4, 16, 36

3.8. Statement IF

Statement IF di dalam Scilab sbb :

if expression then

statements

else if expression then

statements

else

statements

end

3.9. Function

Contoh function pada Scilab :

function y = ex(x)

// EX A simple function to calculate exp(x)

y = 0; n = 1; term = 1;

while( y + term ~= y )

y = y + term;

term = term*x/n;



n = n + 1;

end

endfunction

cara menjalankan :

exec('ex.sci')

ex(1.0)



A. PENYELESAIAN AKARAKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK

Akarakar persamaan karakteristik adalah penyelesaian dari suatu persamaan polinomial. Polinomial

tersebut berorde (berpangkat) 2 atau lebih, biasa disebut dengan persamaan Non Linear. Untuk

persamaan orde 2 atau tiga masih mudah untuk menyelesaikan. Namun untuk persamaan berorde tinggi

diperlukan metode numerik untuk mempermudah pencarian akar persamaan tersebut.

Beberapa metode yang bisa digunakan akan dijelaskan di bawah ini :

1. METODE BISECTION

Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi dengan

persamaan :

X c=XaXb/2 ...(1.1)

dimana nilai f Xa. f Xb0 ...(1.2).

Kelemahan metode ini adalah :

1. Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan satu per

satu/tidak bisa sekaligus.

2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).

3. Proses iterasi tergolong lambat.

Berikut algoritma penyelesaian Metode Bisection :



Langkah pertama, menentukan dua nilai x (Xa dan Xb) sebagai nilai awal perkiraan. Kedua nilai ini

harus memenuhi syarat persamaan 1.2

Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai x (misal Xc) baru

menggunakan persamaan 1.1

Langkah ketiga, mencari nilai f(Xc)

Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(Xc) = 0 atau mendekati 0.

Contoh :

Carilah akar persamaan f x=x3−7x1

Langkah pertama, menentukan dua nilai x awal. Misal : Xa = 2.6 dan Xb = 2.5. Kemudian cek

apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat?

f(Xa) = f(2.6) = 2.63−72.61=0.376

f(Xb) = f(2.5) = 2.53−72.51=−0.875

Karena f(Xa).f(Xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar.

Langkah kedua, mencari nilai Xc

X c=XaXb/2 atau X c=2.62.5/2 = 2.55

dan

f X c=2.553−72.551=−0.2686

karena nilai f(Xc) negatif maka f(Xc) menggantikan f(Xb).

Langkah ketiga, mencari nilai Xd



Xd=2.62.55/2=2.575

dan

f Xd=2.5753−72.5751=−0.04886

Langkah keempat, mencari nilai Xe

Xe=2.62.575/2=2.5625

dan

f X e=2.56253−7 5.56251=−0.11108

Langkah berikutnya, ulangi langkahlangkah di atas hingga menemukan f(Xn) yang mendekati nol

atau f xn−1− f xne . Sedangkan e dapat ditentukan sendiri, misalnya E x10−5

Tugas Anda

1. Buatlah program implementasi dari algoritma di atas! Hasil program di atas f(x) tidak pernah

nol bulat (3,472 x 108) dengan x = 2.571201.

2. Seorang peneliti atom menemukan hubungan waktu luruh radioaktif (t) dengan energi (E) yang

dimiliki atom tersebut dengan suatu persamaan t=4E33E−2E2 . Berapakah energi

yang diperlukan untuk meluruh dalam waktu nol.



2. METODE NEWTON RAPHSON

Metode Newton Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear f(x). Rumus

penyelesaian

Xn1=Xn− f Xn/ f ' Xn ... 2a

Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sbb :

∣ f x1. f ' ' x1/ f ' x1. f ' x1∣ < 1 ... 2b

dimana X1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi.

Keterbatasan dari metode ini adalah :

1. jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akarakar penyelesaian tersebut

tidak dapat dicari secara bersamaan.

2. Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks).

3. Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2b, meskipun

sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan.

4. Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua sangatlah sulit.

Berikut algoritma Metode Newton Raphson :

1. Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.

2. Menentukan nilai X1 sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek apakah

memenuhi persyaratan persamaan 2b.

3. Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai Xn .

4. Begitu seterusnya hingga antara Xn−1−Xn = 0 atau <= nilai e (error). Nilai error ini dapat

ditentukan sendiri.



Contoh :

Carilah persamaan non linear di bawah ini dengan Metode Newton Raphson :

f x=ex−3x2

=0

Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut

f ' x=ex−6x

f ' ' x=ex−6

Langkah kedua, menentukan nilai X1 , misalnya X1 = 1.

f(1) = e3−312=−0.281718

f'(1) = e3−61=−3.281718

f''(1) = e3−6=−3.281718

jadi

∣ f x1. f ' ' x1/ f ' x1. f ' x1∣=0.0858451

karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan.

Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2a untuk mencari Xn jika e (error) = E x10−7 .

x2=x1− f x1/ f ' x1=0.9141155

x1−x2=0.0858845

Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka

x3=x2− f x2/ f ' x2=0.910018

x2−x3=0.0040975

dst. hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e.

Tugas Anda



1. Buatlah program yang menerapkan algoritma di atas. Jika jawaban benar maka akar f(x) =

0.9100076 atau mendekatinya.

2. Seorang ekonom menemukan bahwa hubungan permintaan (x) dengan besar inflasi (y) adalah

y=x4−9x2

2x−2 . Tentukan jumlah permintaan yang menandakan bahwa inflasi sebesar

nol! (error = 0.01).



B. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK

Persamaan Linear serentak adalah suatu persamaan dengan variabel bebas, misalnya :

y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 +... + a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 +... + a2nxn

y2 = a31x1 + a32x2 + a33x3 +... + a3nxn

Penyelesaian dari persamaan tersebut bisa menggunakan bantuan matriks. Namun untuk ordo (jumlah

variabel dan jumlah persamaan) yang tinggi, penyelesaian dapat menggunakan nilai pendekatan. Oleh

sebab itu, metode numerik bisa digunakan untuk persamaan ini. Metode yang bisa dipakai akan

dijelaskan di bawah ini.

1. METODE JACOBI

Metode iterasi Jakobi adalah metode penyelesaian persamaan serentak melalui proses iterasi dengan

menggunakan persamaan sbb :

x1n1

=hi/aii−∑j=1

n

aij/aiix jn...3a

dimana j <> i

Kelemahan dari metode ini adalah :

1. Jika ordo persamaan cukup tinggi maka konsumsi waktu untuk eksekusi program menjadi lama.

2. Metode ini hanya bisa dipakai jika persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat

persamaan berikut

∣aii∣∑j=1

n

∣aij∣, i=1,2,... ,N persamaan3b



dimana j <> I

Berikut algoritma Metode Jacobi

1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 3b. Jika ya,

maka lanjut ke langkah kedua.

2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil.

3. Langkah ketiga adalah menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan

persamaan 3a hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah

dari iterasi yang sebelumnya.

Contoh :

Carilah penyelesaian dari persamaan sbb :

8x1x2x3=8

x1−7x22x3=−4

x12x29x3=12

Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3b.

Urutannya sebagai berikut :

persamaan 8x1x2x3=8 diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan koefisien a11

memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomer dua adalah persamaan x1−7x22x3=−4

dikarenakan koefisien a22 memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah

persamaan x12x29x3=12 .

Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil.

matriks koefisien :



A=8111−72

−129

matriks variabel :

x=x1

x2

x3

matriks hasil :

h= 8−412 Langkah ketiga, menentukan titik awal variabel, misal diambil nilai awal dari x1, x2, x3 = 0.

Kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3a hingga nilai x1, x2, x3 tidak berubah. Contoh iterasi

pertama sbb :

x1=88− a12a11

x2a13

a11

x3x1=8/8−00=1

x2=−4−7

− a21a22x1

a23

a22

x3x2=0.571−00=0.571

x3=129

− a31

a33

x1a32a33

x2x3=1.333−00=1.333

setelah dilanjutkan hingga iterasi ke 8 maka hasil dari x1, x2, x3 semuanya adalah 1.



Tugas Anda

1. Buatlah program yang mengimplementasikan algoritma di atas.

2. Seorang peneliti melakukan penelitian mengenai lintasan elektron yang dipengaruhi oleh 3

faktor, katakanlah x, y, dan z. Hasil dari penelitian tersebut memberikan 3 buah persamaan sbb :

4x−10y6z=30

3x5y−7z=15

6x−8y6z=−8

Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu peneliti tersebut dengan membuatkan

program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 dengan menggunakan Metode Jacobi.



2. METODE GAUSS SEIDEL

Metode Gauss Seidel digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Metode ini lebih cepat

dibandingkan dengan Metode Jacobi. Metode Gauss Seidel ini menggunakan persamaan sbb :

xin1

=bi

aii−∑

j=1

i−1 aij

aii

x jn1

− ∑j=i1

N aij

aii

x jn persamaan 4.a

dimana :

i = 1, 2,...N

n = 1, 2, …

Algoritma Gauss Seidel, sbb :

1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 4a. Jika ya,

maka lanjut ke langkah kedua.

2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil.

3. Menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 4a hingga

didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang

sebelumnya.

Contoh :

Carilah penyelesaian dari persamaan ini menggunakan metode Gauss Seidel :

8x1x2x3=8

x1−7x22x3=−4

x12x29x3=12

Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3b.

Urutannya sebagai berikut :



persamaan 8x1x2x3=8 diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan koefisien a11

memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomer dua adalah persamaan x1−7x22x3=−4

dikarenakan koefisien a22 memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah

persamaan x12x29x3=12 .

Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil.

matriks koefisien :

A=8111−72

−129

matriks variabel :

x=x1

x2

x3

matriks hasil :

h= 8−412 Langkah ketiga, menetukan titik awal misalnya : x1

1 ,x21 ,x3

1=0 kemudian melakukan iterasi

dengan persamaan 4.a, yaitu :

x12=

h1

a11

−∑j=1

0 a1j

a11

x jn1−∑

j=2

3 a1ja11

x jn

x12=h1

a11

−0−a12

a11

x21a13

a11

x31

x12=1−0−00=1



x22=h2

a22

−∑j=1

1 a2j

a22

x jn1

−∑j=3

3 a2ja22

x jn

x22=h2

a22

−0−a21

a22

x12a23

a22

x31

x22=0.571−−1 /70=0.7147

x32=

h2

a22

−∑j=1

2 a3j

a33

x jn1−∑

j=4

3 a3ja33

x jn

x32=

h3

a33

−0−a31

a33

x12

a32

a33

x22

x32=1.333−2/90.714/9=1.032

Setelah dilanjutkan sampai iterasi keN ditemukan hasil dari x1 , x2 ,x3=1 .

Tugas Anda :

1. Buatlah implementasi program dengan Scilab pada persoalan di atas.

3. Seorang peneliti melakukan penelitian mengenai lintasan elektron yang dipengaruhi oleh 3

faktor, katakanlah x, y, dan z. Hasil dari penelitian tersebut memberikan 3 buah persamaan sbb :

4x−10y6z=30

3x5y−7z=15

6x−8y6z=−8

Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu peneliti tersebut dengan membuatkan

program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 menggunakan Metode Gauss Seidel.



C. PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR SERENTAK

Persamaan Non Linear serentak adalah dua buah persamaan berordo(pangkat) lebih dari satu. Masing

masing persamaan memiliki kaitan sehingga penyelesaian persamaan satu dapat digunakan sebagai

penyelesaian dalam persamaan yang lainnya. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk

menyelesaikan persamaan non linear serentak adalah Metode Newton Raphson.

METODE NEWTON RAPHSON

Metode Newton Raphson ini memiliki proses iterasi yang cepat. Namun hanya terbatas pada persamaan

berordo dua atau tiga. Untuk ordo yang lebih besar, persoalan akan menjadi kompleks dikarenakan ada

penghitungan determinan matriks ordo tinggi.

Algoritma Newton Raphson

1. Menyelesaikan 2 persamaan Non Linear serentak menjadi :

F x1 ,x2=0 dan Gx1 ,x2=0

2. Mencari nilai fungsi F x1 ,x2 dan Gx1 ,x2=0 dan turunan fungsi tersebut terhadap

masingmasing variabelnya, yaitu dF /dx1 , dF /dx2 ,dG/dx1 , dG/dx2 pada titik awal

yang ditentukan yaitu x10 dan x2

0 .

3. Mencari nilai r1 dan s1 ( r1 dan s1 adalah deviasi dari nilai x1 dan x2 ),

dengan aturan sbb :

r1=∣−F x1 , x2−Gx1 , x2

dF /dx2

dG/dx2∣

∣dF /dx1

dG /dx1

dF /dx2

dG/dx2∣

s1=∣dF /dx1

dG/dx1

−F x1 ,x2

−Gx1 , x2∣∣dF /dx1

dG/dx1

dF /dx2

dG /dx2∣

kemudian dengan pendekatan didapatkan



x11=x1

0r1

x21=x2

0s1

4. melakukan operasi iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan nilai r dan s nol

atau mendekati nol/error.

Contoh :

Carilah penyelesaian dari persamaan non linear serentak sbb :

x2 x1=12.6−x1e−x2

4lnx2x120.3=3x1x2

Penyelesaiannya adalah :

Langkah pertama, menyusun persamaan di atas menjadi bentuk

F x1 ,x2=0

Gx1 ,x2=0

yaitu :

F x1 ,x2=x1e−x2

−x2 x1−12.6=0

Gx1 ,x2=4lnx2x120.3−3x1x2

Langkah kedua, Mencari nilai fungsi dan turunannya pada x10 dan x2

0 misalkan ditentukan nilai

awalnya sebesar x10=4 dan x2

0=3 akan didapatkan :

F x1 ,x2=x1e−x2

−x2 x1−12.6

F x1 ,x2=4exp−3−34−12.6

F x1 ,x2=−0.799148273

dan

Gx1 ,x2=4lnx2x120.3−3x1 x2



Gx1 ,x2=4ln3420.4−343

Gx1 ,x2=−0.090160536

nilai turunannya :

dF /dx1=−x2e−x2

=−3exp−3=2.9590212932

dF /dx2=−x1−x1e−x2

=−4−4exp−3=−4.199148273

dG /dx1=2x1−3x2=24−33=2.803847577

dG /dx2=4/x2−3x1 /2x2=4/3−34/23=−2.130768282

Langkah ketiga, mencari nilai r1 dan s1

r1=∣−0.7991482730.090160536

−4.199148273−2.130768282∣

∣−2.9502129322.803847577−4.199148273−2.130768282∣

=0.115249096

s1=∣−2.9502129322.803847577

−0.7991482730.090160536 ∣

∣−2.9502129322.803847577−4.1994148273−2.130768282 ∣

=0.109340978

sehingga

x11=x1

0r1=40.115249096=4.115249096

x21=x2

0s1=30.109340978=3.109340978

Langkah keempat, mengulang langkah kedua dan ketiga hingga didapatkan nilai r1 dan s1 sama

dengan nol.

Hasil akhirnya adalah x1=4.1131531474 dan x2=3.1080320798

Tugas Anda

1. Buatlah program menggunakan Scilab pada persoalan di atas.

2. Buatlah program untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak dari persamaan sbb



x1=2logx2x1x2 dan x1 x2=ex23−lnx1

2



D. INTERPOLASI

Interpolasi adalah mencari nilai dari suatu fungsi yang tidak diketahui melalui nilainilai fungsi yang

diketahui. Dengan kata lain, fungsi tersebut tidak diketahui persamaannya namun yang diketahui hanya

nilainya. Misalnya suatu fungsi yang bernilai sbb :

x f(x)

0 0

0.2 0.406

0.4 0.846

0.6 1.386

0.8 2.060

1.0 3.114

1.2 5.114Kemudian dicari nilai x dimana f(x) = 3.015.

Penyelesaian dari interpolasi dapat menggunakan bantuan Tabel Beda Hingga. Berikut penjelasan

mengenai Tabel Beda Hingga.

Tabel Beda Hingga

dari kasus di atas jika dibuat tabel beda hingga sbb :


x f(x) ∆f(x)0.0 0.000

0.4060.2 0.406 0.034

0.440 0.0480.4 0.846 0.082 0.040

0.552 0.088 0.0640.6 1.368 0.170 0.104 0.254

0.692 0.192 0.3180.8 2.060 0.361 0.422

1.054 0.6141.0 3.114 0.976

2.0301.2 5.144

∆f(x)2 ∆f(x)3 ∆f(x)4 ∆f(x)5 ∆f(x)6


1. INTERPOLASI METODE NEWTON GREGORY FORWARD (NGF)

Interpolasi metode NewtonGregory Forward adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan

persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sbb :

f xs= f 0s f 0ss−12!

2 f 0s s−1s−2

3!3 f 0...

s s−1s−2... s−n1n!

n f 0

persamaan 1.D

dimana s=xs−x0

hdan f 0 didapatkan melalui Tabel Beda Hingga.

Metode ini memiliki keterbatasan antara lain :

1. Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced.

( x1−x0=x2−x1=x3−x2=...=xn−xn−1=konstan atau h = konstan)

2. Hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan interpolasi untuk nilai xs terletak di dekat nilai

awal x1 dan x0 (nilai errornya kecil).

3. Tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi balik (invers

interpolation).

Namun metode ini sangat efektif digunakan untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik awal.

Algoritma NGF

Langkah pertama, mencari nilainilai beda hingga dari f(x) dengan bantuan Tabel Beda Hingga.

Langkah kedua, mencari nilai s dan nilai fungsi f(xs) dengan persamaan 1.D.

Contoh :

Carilah nilai dari f(xs) dengan xs = 1.03 menggunakan metode NGF.



n x f(x)

0 1.0 1.449

1 1.3 2.060

2 1.6 2.645

3 1.9 3.216

4 2.2 3.779

5 2.5 4.338

6 2.8 4.898

Penyelesaian :

Langkah pertama, mencari nilainilai beda hingga dari data yang diberikan.

Langkah kedua, mencari nilai s dengan persamaan 1D.

s=xs−x0

h=1.03−11.3−1

=0.1

dengan bantuan tabel didapatkan f 0=0.611 ;2 f 0=−0.026 ;

3 f 0=0.012 ;

4 f 0=0.006 ;

5 f 0=0.004 ;6 f 0=−0.001 sehingga :


s x f(x) ∆f(x)0 1 1.45

0.6111 1.3 2.06 -0.026

0.585 0.0122 1.6 2.65 -0.014 -0.006

0.571 0.006 0.0043 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001

0.563 0.004 0.0034 2.2 3.78 -0.004 0.001

0.559 0.0055 2.5 4.34 0.001

0.5606 2.8 4.9

∆f(x)2 ∆f(x)3 ∆f(x)4 ∆f(x)5 ∆f(x)6


f xs= f 0s f 0s s−12!

2 f 0

s s−1s−23!

3 f 0

s s−1s−2s−3

4!4 f 0

s s−1s−2s−3s−45!

5 f 0

s s−1s−2s−3s−4s−5

6!

6 f 0=1.5118136

Tugas Anda

1. Buatlah program menggunakan Scilab dari persoalan di atas.

2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 2.09 menggunakan NGF

n x f(x)

0 1.0 4.90

1 1.25 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.25 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489



2. INTERPOLASI METODE STIRLING

Interpolasi Metode Stirling adalah metode penyelesaian interpolasi menggunakan persamaan sbb :

f xs= f 0∣s1∣ f

−1 f 02

∣s12 ∣∣s2∣

2

2 f−1∣s13 ∣

3 f−2

3 f−1

2

∣s24 ∣∣s14 ∣2

4 f−2

∣s25 ∣

5 f−3

5 f−2

2∣s36 ∣∣s26 ∣

2

6 f−3...persamaan 2.D

dimana :

s=xs−x0

h

dan ∣s jk ∣=s js j−1s j−2s j−3... s j−k1

k!

Keuntungan dari metode ini adalah jika nilai f(x) yang dicari berada di sekitar nilai tengah maka nilai

errornya kecil.

Algoritma Stirling

Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dan membuat Tabel Beda Hingga.

Langkah kedua, mencari nilai s dan mencari nilai f(xs) dengan persamaan 2D.

Contoh

Carilah nilai f(xs) pada xs = 1.87 dengan Metode Stirling

n x f(x)

3 1.0 1.449

2 1.3 2.060

1 1.6 2.645

0 1.9 3.216



1 2.2 3.779

2 2.5 4.338

3 2.8 4.898Penyelesaian :

Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dari data di atas.

Langkah kedua, mencari nilai s dan f(xs)

s=xs−x0

h=1.87−1.91.3−1

=−0.1

dari tabel beda hingga diketahui f−1=0.571 ; f 0=0.563 ;2 f −1=−0.008 ;

3 f−2=0.006 ;

3 f −1=0.004 ;4F−2=−0.002 ;

5 f −3=0.004 ;

5 f−1=0.003 ;

6 f −3=−0.001

sehingga

f x5= f 0∣15∣ f−1 f 0

2∣512 ∣∣52∣

2

2 f −1∣513 ∣

3 f−23 f−1

2

∣524 ∣∣514 ∣2

4 f −2∣525 ∣

5 f −3

5 f −2

2∣516 ∣∣526 ∣

2

6 f−3=3.159402


s x f(x) ∆f(x)-3 1 1.45

0.611-2 1.3 2.06 -0.026

0.585 0.012-1 1.6 2.65 -0.014 -0.006

0.571 0.006 0.0040 1.9 3.22 -0.008 -0.002 -0.001

0.563 0.004 0.0031 2.2 3.78 -0.004 0.001

0.559 0.0052 2.5 4.34 0.001

0.5603 2.8 4.9

∆f(x)2 ∆f(x)3 ∆f(x)4 ∆f(x)5 ∆f(x)6


jadi f(1.87) = 3.159402

Tugas Anda

1. Buatlah program menggunakan Scilab dari implementasi permasalahan di atas.

2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 1.89 menggunakan Metode Stirling

n x f(x)

0 1.0 4.90

1 1.25 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.25 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489



3. Interpolasi Metode Lagrange

Interpolasi Lagrange memiliki penyelesaian dengan persamaan sbb :

f x=x−x1x−x2x−x3... x−xn

x0−x1x0−x2x0−x3... x0−xnf 0

x−x0x−x2x−x3... x−xn

x1−x0x1−x2x1−x3... x1−xnf 1

x−x0x−x1x−x3... x−xn

x2−x0x2−x1x2−x3... x2−xnf 2

x−x0x−x1x−x2...x−xnx3−x1x3−x2x3−x3... x3−xn

f 3

...x−x1x−x2x−x3...x−xn−1

xn−x1xn−x2xn−x3... xn−xn−1f n......persamaan3.D

Kelebihan dari metode Lagrange adalah :

1. Interpolasi Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi

equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todak konstan).

2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan invers interpolasi

(interpolasi balik).

3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di

daerah awal, akhir, maupun tengah.

4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga penyelesaian

persoalaan lebih mudah.

Contoh :

Carilah nilai dari f(x) pada x = 1.03 dengan tabel sbb :

n x f(x)



0 1.0 0.000

1 1.2 0.2625

2 1.5 0.9123

3 1.9 2.3170

4 2.1 3.2719

5 2.5 5.7268

6 3.0 9.8875

Penyelesaian :

f x=x−x1x−x2x−x3x−x4x−x5x−x6

x0−x1x0−x2x0−x3x0−x4x0−x5x0−x6f 0

x−x0x−x2x−x3x−x4x−x5x−x6x1−x0x1−x2x1−x3x1−x4x1−x5x1−x6

f 1


f 2


f 3

x−x0x−x1x−x2x−x3x−x5x−x6

x4−x0x4−x1x4−x2x4−x3x4−x5x4−x6f 4


f 5


f 6

=0.031352

Tugas Anda :

1. Buatlah implementasi program dengan Scilab dari persoalan di atas.

2. Carilah nilai f(x) dengan x = 2.39



n x f(x)

0 1.0 4.90

1 1.3 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.4 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489



E. INTEGRASI NUMERIK

1. Integrasi Numerik Metode Trapzoida

Integrasi numerik adalah proses menyelesaikan nilai dari suatu integral f(x) pada batas tertentu (

x=x0−xn ) dengan menggunakan persamaan 1.E untuk non equispaced dan 2.E untuk equispaced.

∫ f xdx=x1−x0

2 f 1 f 0

x2−x12

f 2 f 1...xn−xn−1

2 f n f n−1 ........1.E

∫ f xdx=h2[ f 02 f 1 f 2f 3...f n−1f n ]........2.E

dimana h=x1−x0=x2−x1=...dst

Contoh :

Carilah nilai integral dengan batas x = 1.0 sampai x = 2.8 dari tabel di bawah ini dengan Metode

Trapzoida.

n x f(x)

0 1.0 1.449

1 1.3 2.060

2 1.6 2.645

3 1.9 3.216

4 2.2 3.779

5 2.5 4.338

6 2.8 4.898

Penyelesaian :

Dari tabel di atas diketahui bahwa persamaan yang digunakan adalah equispaced (persamaan 2.E)

∫ f xdx=h2[ f 02 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5f 6]



=1.3−1.0

21.44922.0602.6453.2163.7794.3384.898

=5.76345

Tugas Anda :

1. Buatlah program implementasi dari penyelesaian persoalan di atas dengan Scilab dan Metode

Trapzoida.

2. Carilah nilai dari integral dari x = 1.0 hingga x = 3 dengan Metode Trapzoida dari tabel

berikut :

n x f(x)

0 1.0 4.90

1 1.3 5.00

2 1.5 5.243

3 1.75 5.467

4 2.0 5.689

5 2.4 5.887

6 2.5 6.03

7 2.75 6.288

8 3 6.489



Modul ini disadur dari :

• Munif, Abdul, Metode Numerik

• ANU Computational Teaching Modules, Scilab Tutorials


PENDAHULUAN SCILAB - · PDF fileModul Praktikum Metode Numerik Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 7 dengan faktor kenaikan sebesar 0.2 w = 1:0.2:7

Documents