PEMBINAAN TUTORIAL MENGGUNAKAN PERISIAN BERGRAFIK ...

PEMBINAAN TUTORIAL MENGGUNAKAN PERISIAN BERGRAFIK

INTERAKTIF KMPLOT

SITI NURADIBAH BINTI HAJI EDROS

Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat

penganugerahan ijazah Sarjana Pendidikan (Matematik)

FAKULTI PENDIDIKAN

UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

NOVEMBER 2007

iii

Dengan nama Allah Yang Maha Pemurah Lagi Maha Penyayang

Terima kasih yang tak nilai

untuk

mak & ayah yang tersayang

&

Terima kasih untuk semua..

iv

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah Yang Maha Pemurah Lagi Maha Penyayang. Selawat

serta salam ke atas junjungan besar Nabi Muhammad SAW dan ahli keluarga

baginda serta sahabat-sahabat baginda. Semoga Allah mencucuri rahmat ke atas roh

mereka. Segala puji dan kesyukuran kepada Allah SWT kerana dengan limpah

kurnia dan keberkatan-Nya, saya dapat penyiapkan Projek Sarjana ini. Syukur

Alhamdulillah.

Setingg-tinggi penghargaan ditujukan kepada Profesor Madya Dr. Zaleha

binti Ismail selaku penyelia projek kerana banyak membantu saya dalam menyiapkan

laporan projek ini dan tidak jemu dengan kerenah dan masalah yang dihadapi oleh

saya. Terima kasih juga ditujukan kepada beliau kerana memberi tunjuk ajar dan

bimbingan beliau yang sangat komited terhadap saya.

Terima kasih saya ucapkan buat keluarga terutama mak dan ayah yang

banyak memahami keperluan saya, bersabar dengan kerenah saya untuk menyiapkan

projek ini selain banyak memberikan sokongan dan semangat terhadap saya. Kepada

sahabat, terima kasih di atas dorongan, perbincangan dan sokongan yang telah

diberikan. Semoga segala usaha saya beroleh kejayaan dan diredhai olehNya.

Amin…

Akhir sekali penghargaan ini ditujukan kepada semua yang terlibat sama ada

secara langsung atau tidak langsung dalam membantu menyiapkan laporan projek

ini.

v

ABSTRAK

Projek ini bertujuan untuk menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif

KmPlot dengan berteraskan teori pembelajaran penemuan. Kajian yang lepas banyak

menunjukkan bahawa penggunaan teknologi komputer memberikan banyak

kelebihan kepada pelajar antaranya meningkatkan pencapaian pelajar dan menambah

minat pelajar terhadap matematik. Tutorial yang dibangunkan untuk dilaksanakan

dalam makmal komputer yang dilengkapi dengan sistem pengoperasian Linux.

Dengan adanya tutorial ini sekali gus dapat menambahkan penggunaan perisian

sumber terbuka, kerana perisian ini adalah percuma. Untuk memastikan tutorial yang

dihasilkan mempunyai ciri-ciri teori pembelajaran penemuan, setiap aktiviti di dalam

tutorial dirancang supaya pelajar dapat bergiat dalam pelbagai operasi kognitif.

Umumnya tutorial ini difokuskan kepada pelajar menengah atas. Topik yang dipilih

di dalam tutorial ialah graf fungsi linear, fungsi kuadratik, fungsi kubik, fungsi

salingan, persamaan serentak dan pembezaan. Sebagai tambahan, tutorial ini

dimuatkan aktiviti graf fungsi parametrik dan graf fungsi polar. Pada setiap aktiviti

mempunyai latihan untuk memperkukuhkan kefahaman pelajar. Manakala bagi

aktiviti yang melibatkan penyelesaian masalah, pelajar dijangka dapat menyelesaikan

masalah berkenaan dan seterusnya meneroka untuk mendalami masalah dengan

bantuan perisian KmPlot. Oleh itu diharap pembinaan tutorial perisian bergrafik

interaktif KmPlot ini dapat memberikan output yang baik kepada guru dan pelajar

kerana perisian ini juga mempunyai fungsi yang baik dan setanding dengan perisian

komersial lain yang terdapat di pasaran.

vi

ABSTRACT

The purpose of this project is to develop tutorial of Kmplot graphical

interactive software based on discovery learning theory. Previous studies had shown

that the use of computer technology gave more benefits to students such as increase

their academic achievement and attracting their interest towards mathematics. The

developed tutorial will be implemented in a computer laboratory that completed with

the Linux operation system. This tutorial can also increase the number of open

source software user because this software is free and it’s easy to get. To ensure this

tutorial is applied of discovery learning theory, each activity in this tutorial was

planned so that students can involve in various cognitive operations. The target users

of this tutorial are upper form students. The chosen topics in this tutorial are graph of

linear function, graph of quadratic function, graph of reciprocal function, graph of

cubic function, simultaneous equation and differentiation. In addition, this tutorial is

included with graph of parametric function and graph of polar function. The

exercises are provided for every activity to reinforce students’ understanding. For

exercise that involving problem solving, the students are expected to solve the

problems and by using the KmPlot, they can explore and extend the problems. It is

hoped that this tutorial can give benefits to teachers and students because KmPlot

software is compatible with with the others software in the current commercial.

vii

KANDUNGAN

BAB PERKARA HALAMAN

DEDIKASI iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

KANDUNGAN vii

SENARAI JADUAL xi

SENARAI RAJAH xiii

SENARAI SINGKATAN xiv

SENARAI LAMPIRAN xv

1 PENGENALAN

1.1 Pendahuluan 1

1.2 Latar Belakang Masalah 3

1.2.1 Implikasi Teknologi dalam Pendidikan Matematik 4

1.2.2 Cabaran Mengintegrasikan Teknologi dalam

Pendidikan Matematik

5

1.2.3 Penggunaan Perisian Sumber Terbuka 6

1.3 Penyataan Masalah 8

1.4 Objektif 8

1.5 Kerangka Konsep 9

1.6 Skop Projek 11

1.7 Kepentingan Projek 11

1.8 Definisi Operasi 12

viii

1.9 Penutup 13

2 SOROTAN KAJIAN

2.1 Pendahuluan 15

2.2 Teknologi dan Pendidikan Matematik 16

2.3 Perisian Sumber Terbuka/Perisian Bebas dan Linux 17

2.3.1 Kelebihan dn Faedah FOSS 21

2.3.2 Organisasi yang Menggunakan FOSS 23

2.4 Perisian Matematik Bergrafik KmPlot 24

2.5 Teori Konstruktivism Bruner 25

2.6 Teori Pembelajaran Penemuan (Discovery Learning) 28

2.6.1 Kelebihan Pembelajaran Penemuan 32

2.6.2 Ciri-ciri Pembelajaran Penemuan di dalam Kelas 33

2.7 Kajian Berkaitan Pembelajaran Matematik Interaktif 39

3 METODOLOGI

3.1 Pendahuluan 42

3.2 Rekabentuk Sistem Pengajaran Model ADDIE 42

3.2.1 Fasa Pertama: Analisis 44

3.2.2 Fasa Kedua: Rekabentuk 45

3.2.3 Fasa Ketiga: Pembangunan 47

3.2.4 Fasa Keempat: Perlaksanaan 48

3.2.5 Fasa Kelima: Penilaian 49

3.3 Penutup 49

4 HASIL PROJEK

4.1 Pendahuluan 50

4.2 Hasil Projek 50

4.2.1 Tutorial 1: Graf Fungsi Linear 51

4.2.1.1 Aktiviti 1.1: Memahami Graf fungsi Linear 52

4.2.1.2 Aktiviti 1.2: Menyiasat Ciri-ciri Graf Fungsi

Linear

55

4.2.1.3 Aktiviti 1.3: Kedudukan Titik Relatif 56

ix

terhadap Graf Linear

4.2.1.4 Aktiviti 1.4: Penyelesaian Masalah

Melibatkan Graf Linear

57

4.2.2 Tutorial 2: Graf Fungsi Kuadratik 58

4.2.2.1 Aktiviti 2.1: Memahami Graf Fungsi

Kuadratik

58

4.2.2.2 Aktiviti 2.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi

Kuadratik

60

4.2.2.3 Aktiviti 2.3: Membanding Graf Kuadratik

dengan Nilai a dan c yang Berbeza

61


Melibatkan Graf Fungsi Kuadratik

63

4.2.3 Tutorial 3: Graf Fungsi Kubik 63

4.2.3.1 Aktiviti 3.1: Graf Fungsi Kubik 64


kubik

66

4.2.3.3 Aktiviti 3.3: Membanding Graf Kubik

dengan Nilai b yang Berbeza

67


Melibatkan Graf Kubik

68

4.2.4 Tutorial 4: Graf Fungsi Salingan 69


Salingan

69


Salingan

71

4.2.4.3 Aktiviti 4.3: Membandingkan Graf Fungsi

Salingan dengan Nilai a yang Berbeza

72


Melibatkan Graf Fungsi salingan

73

4.2.5 Tutorial 5: Penyelesaian Persamaan Serentak 73

4.2.5.1 Aktiviti 5.1: Menyelesaikan Persamaan

Serentak dengan Dua Anu

74

74

x


Melibatkan Persamaan Serentak

4.2.6 Tutorial 6: Penyelesaian dalam Pembezaan 75


Terbitan Pertama

76

4.2.6.2 Aktiviti 6.2: Nilai Terbitan Pertama terhadap

Fungsi y=axn

76

4.2.6.3 Aktiviti 6.3: Terbitan Pertama sebagai

Tangen Kecerunan

77

4.2.7 Tutorial 7: Penerokaan Graf Fungsi Parametrik 78

4.2.7.1 Aktiviti 7.1: Mengkaji Graf Fungsi

Parametrik

78

4.2.8 Tutorial 8: Penerokaan Graf Fungsi Polar 79

4.2.8.1 Aktiviti 8.1: Mengkaji Graf Fungsi Polar 80

4.3 Penutup 81

5 KESIMPULAN DAN CADANGAN

5.1 Pendahuluan 82

5.2 Perbincangan 83

5.3 Cadangan untuk Mengatasi Kelemahan Hasil Projek 85

5.4 Masalah Sepanjang Pembangunan Projek 85

5.5 Cadangan Penambahbaikan Projek 87

5.6 Penutup 87

RUJUKAN 88

LAMPIRAN A - J 94

xi

SENARAI JADUAL

NO. JADUAL TAJUK HALAMAN

4.1 Perbincangan mengenai perubahan nilai pemalar pada graf

linear

53

4.2 Perbincangan mengenai perkaitan nilai pemalar dengan graf

linear

54

4.3 Perbincangan mengenai perubahan pola graf linear dengan

perubahan nilai x

54

4.4 Perbincangan mengenai bentuk graf linear berpandukan nilai a 55

4.5 Perbincangan mengenai kecerunan dan punca graf linear 56

4.6 Perbincangan mengenai kedudukan koordinat terhadap graf

linear

57

4.7 Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kuadratik

dengan perubahan nilai x

60

4.8 Perbincangan mengenai bentuk graf kuadratik berpandukan

nilai a

61

4.9 Perbincangan mengenai nilai punca graf kuadratik 61

4.10 Perbincangan mengenai nilai minimum atau maksimum dan 62

xii

garis simetri graf kuadratik

4.11 Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kubik dengan

perubahan nilai x

65

4.12 Perbincangan mengenai bentuk graf kubik berpandukan nilai a

66

4.13 Perbincangan mengenai nilai punca graf kubik 67

4.14 Perbincangan mengenai bentuk graf kubik dengan nilai a dan b

yang berbeza

68

4.15 Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf salingan dengan

perubahan nilai x

70

4.16 Perbincangan mengenai bentuk graf salingan berpandukan

nilai a

71

4.17 Perbincangan mengenai nilai punca graf salingan 72

4.18 Perbincangan mengenai bentuk graf salingan dengan nilai a

yang berbeza

72

4.19 Perbincangan terhadap perubahan keputusan nilai dxdy dengan

perubahan nilai x

77

4.20 Perbincangan mengenai graf fungsi parametrik 79

4.21 Perbincangan mengenai graf fungsi polar 80

4.22 Kesimpulan penghasilan projek 81

xiii

SENARAI RAJAH

NO. RAJAH TAJUK HALAMAN

1.1 Kerangka Teori Projek 10

2.1 Antara muka perisian KmPlot 24

3.1 Rekabentuk Pengajaran ADDIE 44

xiv

SENARAI SINGKATAN

CD - Compact Dick

FPK - Falsafah Pendidikan Kebangsaan

ICT - Information and Communication Technology

IT - Information Technology

KBSM - Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah

P&P - Pengajaran dan Pembelajaran

xv

SENARAI LAMPIRAN

LAMPIRAN TAJUK HALAMAN

A Buku Panduan Perisian KmPlot 94

B Manual Pengguna Perisian KmPlot 122

C Tutorial 1: Graf Fungsi Linear 133

D Tutorial 2 : Graf Fungsi Kuadratik 149

E Tutorial 3 : Graf Fungsi Kubik 164

F Tutorial 4: Graf Fungsi Salingan 178

G Tutorial 5 : Persamaan Serentak 191

H Tutorial 6 : Pembezaan 198

I Tutorial 7 : Graf Fungsi Parametrik 209

J Tutorial 8 : Graf Fungsi Polar 213

BAB 1

PENGENALAN

1.1 Pendahuluan

Teknologi dalam pendidikan bukan lagi suatu isu yang baru untuk

dibincangkan. Pengajaran berasaskan teknologi seperti komputer, kalkulator

saintifik, perisian dinamik bergrafik mahupun media teknologi maklumat sering

digunakan dalam proses pengajaran dan pembelajaran. Ini selaras dengan kehendak

objektif kurikulum matematik sekolah menengah, iaitu memperkasakan kebolehan

pelajar menggunakan teknologi yang bersesuaian untuk membina konsep, menguasai

kemahiran dan menyelesaikan masalah serta meneroka ilmu matematik

(Kementerian Pendidikan Malaysia, 2000).

Berteraskan kepada kurikulum sekolah menengah yang disemak semula, juga

mementingkan kebolehan para pelajar menggunakan teknologi dengan cara yang

berkesan dalam pembelajaran. Ini jelas menunjukkan dalam era perkembangan

teknologi ini, penggunaan teknologi seperti komputer, kalkulator saintifik, perisian

pembelajaran interaktif dan dinamik, merupakan elemen yang penting dalam

pengajaran dan pembelajaran. Ia bertujuan untuk mempersiap dan memperkasakan

pelajar dalam menghadapi cabaran di masa hadapan. Selaras dengan kandungan dan

harapan Falsafah Pendidikan Kebangsaan, iaitu memperkembangankan potensi

individu secara menyeluruh dari aspek intelek, rohani, emosi dan jasmani yang

bertujuan melahirkan masyarakat yang berilmu pengetahuan, berketrampilan,

berakhlak mulia, bertanggungjawab dan berkeupayaan dalam mencapai

kesejahteraan diri dan seterusnya memberikan sumbangan terhadap keharmonian dan

2

kemakmuran keluarga, masyarakat dan Negara. (Kementerian Pendidikan Malaysia,

2000).

Terdapat beberapa strategi pembelajaran yang boleh digunakan oleh guru

untuk mengaplikasikan teknologi dalam proses pengajaran dan pembelajaran.

Antaranya menggunakan paparan multimedia, internet dan perisian interaktif yang

kaya dengan teknologi terkini. Untuk memastikan teknologi digunakan di dalam

kelas, maka guru perlu mempunyai persepsi dan kesediaan terhadap teknologi yang

digunakan. Ini kerana persepsi guru terhadap teknologi maklumat memainkan

peranan yang penting sebagai faktor yang menentukan keberkesanan penggunaan

komputer dalam pengajaran dan pembelajaran matematik (Yushau, 2006). Dalam

Pelan Rancangan Malaysia Kesembilan juga memberi perhatian terhadap

kepentingan teknologi dalam pengajaran pendidikan, iaitu

Kurikulum bagi latihan perguruan juga akan dikaji semula, antaranya untuk

menambah baik kandungan mata pelajaran, meningkatkan kemahiran pedagogi dan

membolehkan penggunaan ICT yang lebih meluas dalam bidang pendidikan.

(RMK 9, 2006, p. 31)

Menyedari kepentingan penggunaan ICT pada masa kini, maka guru

digalakkan mengukuhkan penggunaan teknologi dalam proses pengajaran. Antara

usaha untuk membentuk satu proses pengajaran supaya pelajar memahami sesuatu

konsep adalah dengan mengintegrasikan penggunaan teknologi dalam bentuk yang

boleh difahami oleh pelajar. Untuk menjadikan suasana pembelajaran lebih

bermakna dengan mengintegrasikan teknologi di dalam pengajaran ini juga, guru

perlu mempunyai kesediaan dan pengetahuan mengenai teknologi yang akan

digunakan. Terutamanya memberi perhatian terhadap bagaimana dan bila teknologi

dapat digunakan dengan berkesan di dalam kelas matematik (Powers & Blubaugh,

2005). Penggunaan teknologi sebagai bahan bantu mengajar juga dapat

menggalakkan pembelajaran secara penemuan dan bereksperimen.

3

1.2 Latar Belakang Masalah

Teknologi dijadikan sebagai suatu bahan pengajaran yang digunakan dengan

kaedah yang berbeza (Garofalo et. al., 2000). Antara strategi pengajaran dapat

dipelbagaikan dengan menggunakan teknologi seperti komputer, internet dan

kalkulator saintifik. Dengan menjadikan teknologi sebagai bahan bantu mengajar

secara langsung dapat meningkatkan kualiti pengajaran di dalam kelas, serta

meningkatkan minat dan motivasi pelajar. Oleh itu, penggunaan teknologi dalam

pendidikan boleh membawa kepada pengajaran yang lebih efektif dan meningkatkan

prestasi pelajar (Garofalo et. al., 2000). Ini selaras dengan pendapat Shamatha, et. al.,

(2004) iaitu tranformasi teknologi adalah perlu dalam pengajaran dan pembelajaran

matematik. Bermaksud inovasi dan penciptaan perisian atau aplikasi teknologi

terkini dapat membantu aktiviti pengajaran dan pembelajaran menjadi lebih aktif,

bermakna dan mencabar. Komputer telah digunakan dalam pendidikan sejak

beberapa dekad yang lepas, dan sekarang ini ianya dapat diterima tanpa pertikaian

atau tanpa syarat sebagai sebahagian daripada sistem pendidikan (Yushau, 2006). Ini

disokong dengan pendedahan penggunaan komputer dalam proses pengajaran dan

pembelajaran dalam sukatan pelajaran matematik.

Dengan pemerhatian secara tidak langsung yang dilakukan oleh membangun

projek terhadap setiap buku teks matematik sekolah menengah, terdapat beberapa

topik menyediakan satu ruangan pembelajaran menggunakan teknologi seperti

komputer sebagai alat bantu pembelajaran. Antara teknologi yang digunakan adalah

seperti Geometer’s Sketchpad, perisian interaktif dan internet. Walau bagaimana pun,

kebanyakkan perisian yang digunakan kebanyakkannya perlu dibeli dengan kos yang

tinggi. Selain itu, terdapat beberapa perisian yang mempunyai kos yang mahal ini

tidak dapat dimiliki oleh setiap pelajar sebaliknya perisian ini hanya terdapat di

sekolah dan sekiranya pelajar yang ingin menggunakan perisian tersebut, mereka

hanya boleh digunakan di waktu persekolahan sahaja. Dengan adanya penggunaan

teknologi yang mudah dan murah untuk dimiliki oleh pelajar seperti perisian sumber

terbuka, maka penggunaan teknologi dapat diaplikasikan dan diintegrasikan dengan

lebih meluas semaksima yang mungkin.

4

1.2.1 Implikasi Teknologi dalam Pendidikan Matematik

Penggunaan teknologi dalam pendidikan telah diperkenalkan di negara-

negara Amerika dan Eropah sejak tahun 60-an. Penciptaan mikro komputer pada

awal tahun 70-an serta penggunaan "spreadsheet" di sekolah menengah pada tahun

80-an telah memberi kesan mendalam kepada penggunaan teknologi dalam

pendidikan di Malaysia. Teknologi juga memberi kesan yang kuat dalam banyak

aspek terutamanya dalam kehidupan seharian (Ferber & Trkman, 2003). Atas alasan

inilah maka terjelmanya konsep sekolah bestari di Malaysia dan pada hari ini warga

pendidik banyak bercakap tentang penggunaan teknologi terutaman teknologi

maklumat dalam pendidikan. Rasional perkaitan penubuhan sekolah bestari dengan

teknologi adalah mewujudkan masyarakat pelajar saintifik dan progresif dengan

bertumpukan teknologi maklumat.

Mengintegrasikan teknologi dalam pendidikan dengan berkesan dapat

membentuk suasana dan persekitaran pembelajaran yang bermakna, berpusatkan

pelajar dan guru sebagai fasilitator. Teknologi banyak membantu pelajar dalam

pendidikan. Sebagai contoh pelajar menggunakan maklumat daripada sumber

internet sebagai alat kognitif untuk mendapatkan sesuatu maklumat, mengintegrasi

idea baru kepada pengetahuan sedia ada untuk mempertingkatkan pengetahuan.

Dengan penggunaan komputer untuk menjalankan aktiviti di dalam kelas dan

kemudian berkomunikasi untuk menyampaikan apa yang mereka perolehi di dalam

aktiviti juga dapat membentuk suasana pembelajaran yang aktif. Penggunaan

teknologi yang bersesaian, suasana pembelajaran yang bermakna dan pelajar terlibat

secara aktif secara langsung dapat menyumbang ke arah mencapai matlamat dan

objektif pembelajaran.

Pengintegrasian teknologi dalam pendidikan matematik banyak mendorong

dan memberi perhatian kepada pengkaji-pengkaji menjalankan kajian. Pengkaji

berpendapat bahawa teknologi banyak memberi kesan kepada pencapaian pelajar.

Menurut Schacter (1999), lebih 700 kajian empirikal yang dilakukan oleh pengkaji

menunjukkan bahawa pencapaian pelajar yang menggunakan teknologi dalam

5

pembelajaran meningkat dengan peratusan yang tinggi jika dibanding dengan pelajar

yang tidak menggunakan teknologi.

Selain itu, penggunaan teknologi juga memberi kesan terhadap sikap dan

atitud pelajar di dalam kelas matematik. Kajian yang diakukan oleh Yushau (2006)

menunjukkan bahawa wujudnya atitud positif pelajar terhadap penggunaan komputer

di dalam aktiviti pembelajaran. Pelajar menunjukkan perubahan yang positif

terhadap sikap dan kebolehan kendiri mereka dalam menggunakan pelbagai jenis

teknologi ketika membuat pembentangan di dalam kelas (Willis & Raines, 2001).

Peningkatan positif sikap pelajar terhadap penggunaan teknologi, telah menjadikan

suasana pembelajaran lebih efektif dengan komunikasi dua hala antara pelajar-pelajar

dan pelajar-guru. Ini menyokong pendapat (Flores, et. al., 2000) iaitu apabila

menggunakan teknologi yang sesuai ia dapat membantu pelajar dalam pembangunan

pengetahuan pelajar. Ia boleh menjadikan proses pendidikan lebih bermakna, hebat

dan terhubungkait antara satu sama lain.

1.2.2 Cabaran Mengintegrasikan Teknologi dalam Pendidikan Matematik

Penggunaan peralatan atau medium teknologi dalam pengajaran dan

pembelajaran (P&P) masih lagi terhad. Aplikasi yang digunakan dalam kelas

matematik kebanyakkannya bukan daripada perisian sumber terbuka (open source).

Perisian atau peralatan ini perlu dibeli antara perisian yang digunakan dalam

pendidikan ialah CAD (Computer Aided Design) berperanan menghasilkan reka

bentuk grafik, GSP (Geometer’s Sketchpad) membantu proses pengajaran dan

pembelajaran dalam penghasilan gambar rajah geometri dan boleh mengukur lilitan,

sudut-sudut dalam bulatan dan sebagainya. CAI (Computer Assissted illustrations)

pula dapat meringankan beban guru dan pentadbiran sekolah dalam pemeriksaan

jawapan objektif, penyusunan jadual serta menyimpan rekod guru dan pelajar.

Perisian atau peralatan ini perlu dibeli untuk tujuan pembelajaran, pengurusan dan

sebagainya. Sementara itu, pemerhatian yang dilakukan oleh pembangun projek

mendapati bahawa kandungan buku teks matematik sekolah menengah tidak banyak

menggunakan perisian sumber terbuka yang dijadikan sebagai bahan bantu mengajar.

6

Terdapat banyak cabaran dalam mengintegrasikan teknologi dalam

pendidikan matematik. Bukan sahaja melibat kepada kesesuaian perisian yang

digunakan, malah juga melibatkan sikap guru. Guru perlu bersedia menerima

perubahan ini dengan fikiran terbuka dan positif serta berusaha menangani

perubahan dalam proses pengintegrasian teknologi ini. Guru perlu menyesuaikan diri

dengan alat teknologi dan menguasai pedagogi untuk mengurus kelas. Ini

menyokong pendapat Yushau (2006) iaitu untuk memastikan komputer digunakan

secara meluas dalam kelas matematik, guru perlu membina sikap positif terhadap

teknologi. Dalam situasi pembelajaran, guru perlu membuat perkaitan yang eksplisit

atau jelas antara teknologi dan pengetahuan professional mereka sebagai kaedah,

atau kandungan subjek yang diajar. Guru perlu menghubungkan penggunaan

teknologi dengan konsep yang diajar (Hughes, 2004).

1.2.3 Penggunaan Perisian Sumber Terbuka Bebas (Free Open Source

Software)

Umumnya, perisian sumber terbuka bebas atau FOSS adalah suatu program

yang memberi kebebasan kepada pengguna untuk menggunakan program ini dengan

pelbagai tujuan. Antaranya bertujuan untuk mempelajari dan membaikpulih program,

serta mengedarkan semula salinan samada yang tulen atau yang telah dibaikpulih.

Semua aktiviti ini adalah tanpa bayaran. FOSS telah menjadi fenomena

antarabangsa, beralih dengan drastic dalam tempoh yang singkat, daripada peringkat

yang kabur kepada peringkat yang sering diperdepatkan (Wong & Sayo, 2004).

Di Malaysia, kerajaan telah memberi sokongan terhadap FOSS semenjak

tahun 2001. Pada tahun 2002, PIKOM telah membuat kertas cadangan iaitu Malaysia

secara rasminya menerima perisian sumber terbuka (Wong & Sayo, 2004). Dengan

menyahut seruan kerajaan dalam menggunakan perisian sumber terbuka (open

source software), menjadikan tunjang kepada projek ini dibangunkan. Antara

kelebihan penggunakan perisian sumber terbuka ini ialah kita boleh mendapatkan

kod sumber (source code), tidak kawalan oleh vendor dan kandungan standard

perisian ini adalah lebih lengkap (Izwan, 2006). Untuk memperolehi penyelesaian

7

dalam teknologi maklumat dan komunikasi, kerajaan menyedari bahawa perisian

sumber terbuka mempunyai banyak kebaikan, kos perisian pula murah dan paling

penting adalah memberikan kita kebebasan untuk belajar, membuat pembaharuan

dan mencipta sesuatu yang baru (Izwan, 2006). Oleh itu kerajaan telah bersetuju

dengan syarikat DRM-Hicom Information Technologies Sdn Bhd (BHIT),

membekalkan komputer menggunakan sistem pengoperasian Linux di sekolah-

sekolah kerajaan. Dalam laporan tersebut, menteri kewangan bersetuju bahawa

komputer yang menggunakan sistem pengoperasian Linux ini lebih efektif dan sudah

semestinya lebih murah (Utusan, 2003).

Bagi mengembangkan pemikiran dan minda pelajar khususnya, pendekatan

pengajaran dan pembelajaran teknologi maklumat di sekolah perlu menitikberatkan

kepada pemikiran penyelidikan, mengumpul maklumat, menganalisis data ke arah

menggalakkan kreativiti dan motivasi pelajar. Pendekatan pengajaran secara

tradisional secara pemberian nota-nota seharusnya dikikis dari pemikiran guru, dan

sebaliknya guru-guru perlu dibekalkan pengetahuan dan kemahiran ke arah

mendapatkan maklumat melalui teknologi.

Dengan kesedaran yang ada ini juga telah membuatkan pembangun projek

ingin membina tutorial perisian bergrafik interaktif dengan menggunakan perisian

KmPlot dalam persekitaran Linux. tutorial yang akan dibangunkan ini diharap dapat

menjadikan sebagai satu landasan kepada guru-guru matematik untuk meningkatkan

kualiti pengajaran dan seterusnya mempunyai usaha dan inisiatif dalam

membangunkan tutorial atau modul pembelajaran atau menjadikan perisian sumber

terbuka sebagai fokus utama dalam menggunakan teknologi.

Projek yang dibangunkan ini bertujuan untuk memberi satu lagi peluang

kepada pendidik untuk mengeksplotasi teknologi dengan lebih efektif lagi dalam

proses pengajaran dan pembelajaran. Perisian KmPlot ini merupakan perisian

interaktif dalam topik persamaan fungsi matematik yang dilaksanakan dalam sistem

pengoperasian Linux. Kmplot dapat digunakan untuk memplot berbagai fungsi

secara serentak dan menggabungkan fungsi-fungsi tersebut membentuk satu fungsi

yang baru. Selain digunakan sebagai alat memplot graf, ia juga dapat digunakan

dalam topik pembezaan.

8

1.3 Penyataan Masalah

Pemerhatian dan kesedaran terhadap peri pentingnya kesan, implikasi dan

cabaran penggunaan teknologi dalam pendidikan matematik dan penggunaan

perisian sumber terbuka kepada generasi muda, khususnya pelajar, ditambah pula

dengan kekurangan pendedahan penggunaan perisian terbuka di dalam kelas

matematik. Maka projek pembangunan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot

ini diharap dapat membantu dalam memperkasakan penggunaan aplikasi perisian

sumber terbuka.

Untuk tujuan pengajaran dan pembelajaran (P&P) matematik, manual dan

buku panduan perisian yang digunakan ini memenuhi keperluan minima. Oleh itu

untuk kemudahan guru dan juga pelajar, tutorial yang dibangunkan ini menyajikan

pelbagai aktiviti yang menarik dan bermakna adalah sangat berguna sebagai satu

langkah untuk memperluaskan penggunaan teknologi berperisian sumber terbuka.

1.4 Objektif

Dalam memastikan projek ini dapat dijalankan dengan jelas, pembangun

projek telah menentukan objektif. Ini supaya di sempanjang menyiapkan projek ini,

pembangun akan sentiasa menjadikan objektif projek sebagai panduan. Objektif bagi

projek ini ialah menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot dengan

berteraskan penemuan dalam pembelajaran untuk tujuan penguasaan konsep dan

penyelesaian masalah. Selain itu bertujuan untuk memberi pendedahan kepada

pelajar tentang teknologi komputer dan aspek penerokaan dalam matematik.

9

1.5 Kerangka Konsep

Projek ini menekankan pembentukan tutorial perisian bergrafik interaktif

yang mana dianggap boleh memberi manfaat kepada individu sasaran, iaitu pelajar.

Fokus projek ini adalah untuk membangunkan tutorial perisian bergrafik interaktif

KmPlot yang menekankan teori pembelajaran penemuan (discovery learning).

Pembelajaran penemuan juga dikenali sebagai pembelajaran inkuiri (inquiry

learning).

Teori pembelajaran penemuan ini diilhamkan oleh Jerome Bruner pada

sekitar tahun 1960-an. Pembelajaran penemuan menggalakkan pelajar menggunakan

intuisi (gerak hati), imaginasi dan kreativiti secara aktif. Pendekatan ini

menggunakan pemikiran induktif (inductive reasoning) iaitu bermula dengan sesuatu

yang khusus dan kemudian beralih kepada umum. Dalam pengajaran, guru boleh

membentuk pemikiran induktif dengan menggalakkan pelajar membuat andaian

terhadap bukti yang tidak jelas dan kemudian membuat pengesahan atau penafian

terhadap andaian tersebut secara sistematik.

Guru memberikan beberapa permasalahan yang memberikan satu atau lebih

jawapan yang sesuai dan memberikan penemuan kepada konsep-konsep tertentu. Ia

merupakan pendekatan yang memberi peluang kepada pelajar untuk membuat

keputusan, menyelesaikan masalah atau juga membuat inisiatif tertentu. Matlamat

pendekatan pembelajaran ini ialah menggalakkan pembelajaran yang lebih

mendalam, menggalakkan kemahiran metakognitif seperti kemahiran penyelesaian

masalah, kemahiran pemikiran aras tinggi dan kreatif, menggalakkan penglibatan

pelajar dalam pengajaran dan pembelajaran, memupuk perasaan ingin tahu

dikalangan pelajar, membentuk kemahiran pembelajaran sepanjang hayat dan juga

menggalakkan motivasi dikalangan pelajar dengan memberi peluang kepada pelajar

untuk mengkaji, dan menemui sesuatu yang bermanfaat kepada diri mereka. Rajah

1.1 di bawah menunjukkan kerangka teori dalam projek ini.

10

Pembelajaran Penemuan

Pembelajaran bermakna

Psikologi Kognitif

Teori Pembelajaran

Bruner

Operasi Kognitif idea Monsston (1972)

Penyediaan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot

Rajah 1.1 : Kerangka Teori Projek

11

1.6 Skop Projek

Pembinaan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot ini merujuk kepada

topik matematik yang berkaitan graf fungsi, persamaan serentak dan pembezaan.

Bahan pengajaran yang dibina ini meliputi tutorial untuk pelajar. Proses pengajaran

dilakukan di dalam makmal komputer yang dilengkapi dengan sistem pengoperasian

Linux atau pun Live CD Linux. Selain itu, pembinaan tutorial ini memberi tumpuan

kepada kefahaman konsep dan penguasaan kemahiran dalam pemplotan graf. Pelajar

akan didedahkan dengan pengetahuan yang melibatkan beberapa jenis graf fungsi,

persamaan serentak dan pembezaan. Daripada pendedahan konsep ini, akan

membentuk penguasaan topik yang dipelajari dan seterusnya pelajar akan

didedahkan dengan latihan yang melibatkan penyelesaian masalah sebagai

pengukuhan dalam topik tersebut. Tutorial yang dibangunkan adalah berpandukan

kepada teori pembelajaran penemuan idea Bruner dan idea operasi kognitif Monsston

(1972).

1.7 Kepentingan Projek

Kepentingan projek ini ialah:

i. Diharap dapat membina satu tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot

dan pada masa yang sama ia membantu guru dan pelajar dalam proses

pengajaran dan pembelajaran.

ii. Membekalkan hasil projek yang berguna kepada guru dalam merancang

strategi yang berkualiti untuk menerapkan kaedah pembelajaran yang

berbantu komputer dalam proses pengajaran dan pembelajaran.

iii. Penggunaan perisian sumber terbuka (open source) dalam sistem

pendidikan di Malaysia masih dianggap baru, maka ia memerlukan projek

berterusan dan penglibatan yang aktif. Oleh itu, diharap projek ini dapat

membangkitkan usaha para guru untuk mengkaji perisian terbuka ini dan

12

sekaligus menjadikan perisian ini sebagai fokus utama dalam

menggunakan teknologi dalam pengajaran dan pembelajaran.

1.8 Definisi Operasi

Terdapat beberapa takrifan yang digunakan oleh pembangun projek dalam

menerangkan projek yang dijalankan. Beberapa istilah yang digunakan dalam projek

ini mempunyai makna yang tersendiri.

1. Perisian Sumber Terbuka Bebas (Free Open Source Software)

Merupakan perisian yang mempunyai sumber kod (bahasa

pengaturcaraan) yang diedarkan secara percuma dengan memberikan

kebenaran untuk mengubah kod aturcara, dan kos penghasilannya murah

dan munasabah. Program yang memberi kebebasan kepada pengguna

untuk menggunakan program ini dengan pelbagai tujuan, untuk

mempelajari dan membaikpulih program, dan mengedarkan semula

salinan samada yang tulen atau yang telah dibaikpulih

2. Linux

Sistem operasi yang mengawal komputer, dan ia merupakan perisian yang

percuma. Ia memberikan kebebasan kepada pengguna untuk mempelajari,

menyalin, mengubah dan mengedar semula kepada umum.

3. KmPlot

Perisan fungsi pemplot matematik untuk KDE-Desktop dalam

persekitaran Linux. Ia merupakan perisian pemplotan yang membolehkan

kita membina pelbagai fungsi plot secara serentak dan menggabungkan

fungsi-fungsi tersebut membentuk satu fungsi yang baru

4. Pembelajaran Penemuan (discovery learning)

Pendekatan pembelajaran ini berasaskan kaedah pembelajaran inkuiri.

Matlamat pendekatan pembelajaran ini ialah menggalakkan pembelajaran

13

yang lebih mendalam, menggalakkan kemahiran metakognitif seperti

kemahiran penyelesaian masalah, kemahiran pemikiran aras tinggi dan

kreatif, menggalakkan penglibatan pelajar dalam pengajaran dan

pembelajaran, memupuk perasaan ingin tahu dikalangan pelajar,

membentuk kemahiran pembelajaran sepanjang hayat dan juga

menggalakkan motivasi dikalangan pelajar dengan membenarkan peluang

kepada pelajar untuk mengkaji, dan menemui sesuatu yang bermanfaat

kepada diri mereka

5. Tutorial

Bahan seperti buku, kelas atau langkah-langkah kebiasaannya melibatkan

arahan secara individu yang menyediakan pengajaran spesifik dalam

bidang-bidang tertentu. Tutorial mempunyai beberapa ciri:

• Persembahan kandungan, kebiasaanya beserta dengan contoh-

contoh dan dibahagikan kepada modul-modul atau bahagian-

bahagian tertentu.

• Mengandungi latihan pengukuhan untuk menguji kefahaman

kandungan yang terdapat di dalam modul atau bahagian.

• Sebagai tambahan kepada pengajaran yang sedia ada.

1.9 Penutup

Penggunaan teknologi banyak memberi manfaat yang positif dalam pelbagai

bidang. Mengintegrasikan penggunaan teknologi yang bersesuaian dengan berkesan

di dalam pengajaran dan pembelajaran dapat memberikan hasil yang mengagumkan

kepada pelajar. Ini termasuklah meningkatkan pencapaian pelajar dalam keputusan

ujian, meningkatkan sikap, minat, dan semangat pelajar di dalam kelas.

Guru dan pentadbir sekolah perlu memahami cabaran yang mungkin dihadapi

yang membolehkan teknologi diintegrasi secara berkesan dalam pengajaran dan

pembelajaran matematik. Guru harus bersedia untuk menangani perubahan yang

bakal timbul daripada pengintegrasian teknologi ini termasuklah dari segi masa,

14

latihan guru, sumber dan juga sokongan. Guru juga harus menyesuaikan diri kepada

alat teknologi pengajaran yang baru seperti komputer dan internet di mana alat

teknologi ini berbeza daripada alat pengajaran yang lama dan mengubah kaedah

mengajar.

Teknologi secara tabiinya adalah abstrak. Pembelajaran akan menjadi lebih

bermakna jika mengintegrasikan teknologi di dalam kelas. Di samping memastikan

perisian yang digunakan bersesuai dan mempelbagaikan penggunaannya.

BAB 2

SOROTAN KAJIAN

2.1 Pendahuluan

Mata pelajaran Matematik merupakan mata pelajaran teras bagi setiap pelajar

samada sekolah menengah mahupun sekolah rendah. Pendidikan matematik

bukanlah satu mata pelajaran yang asing dikalangan pelajar dan masyarakat

Malaysia. Penguasaan dalam matematik ini adalah amat penting kerana ia antara

salah satu syarat bagi pelajar-pelajar untuk melanjutkan pelajaran pada peringkat

yang lebih tinggi iaitu memerlukan keputusan kredit dalam matapelajaran matematik.

Dengan itu, pelajar perlu sentiasa mempersiapkan diri mereka untuk menguasai

konsep dan kemahiran dan mengaplikasikannya dalam matapelajaran ini.

Dari masa ke semasa, corak pendidikan di Malaysia sentiasa dikemaskini dan

diolah bertujuan untuk meningkatkan kualiti pendidikan itu sendiri. Bermula dari

proses pengajaran dan pembelajaran menggunakan pensil dan kertas, berpusatkan

guru, sehinggalah kepada pembentukan kurikulum yang baru. Dengan adanya

kurikilum ini, menjadikan teknologi sebagai modul atau bahan pengajaran. Ia

bertujuan untuk memastikan perkembangan pendidikan di Malaysia seiring dengan

perkembangan teknologi dan sekaligus memastikan pendidikan Malaysia seiring

standard atau piawai negara membangun atau negara maju yang lain.

Dalam bab sorotan kajian ini, bukan hanya tertumpu kepada perbincangan

hasil yang diperolehi daripada kajian-kajian yang lepas yang berkaitan dengan projek

yang dibangunkan ini. Tetapi ia juga meliputi perbincangan mengenai pendidikan

16

dan teknologi, aplikasi perisian sumber terbuka berserta sistem operasi linux.

Perisian Kmplot juga dibincangkan di dalam bab ini, termasuk juga perbincangan

mengenai pembelajaran penemuan yang berkaitan dengan penyelesaian masalah,

matematik bereksperimen dan penyiasatan, penerokaan dan penemuan dalam

matematik. Bahagian terakhir dalam bab ini akan menyentuh mengenai perbincangan

kajian terdahulu.

2.2 Teknologi dan Pendidikan Matematik

Teknologi pada asasnya memberi fokus kepada capaian pengesahan dan

pemprosesan maklumat. Teknologi juga membawa maksud melibatkan perpindahan

atau aliran dan penyimpanan maklumat terutamanya pembangunan, pemasangan,

perlaksanaan dan pengurusan dalam sistem komputer antara syarikat, institut

pendidikan dan organisasi lain. Selain itu juga, teknologi boleh didefinisikan seperti

berikut:

The technology involved with the transmission and storage of information, especially

the development, installation, implementation, and management of computer systems

within companies, universities, and other organizations.

The American Heritage Science Dictionary

Era teknologi maklumat semakin berkembang pesat dan untuk memastikan

supaya pembentukkan sistem pendidikan di sekolah tidak ketinggalan dengan

perkembangan teknologi maklumat, maka penggunaa teknologi diserap dalam

pendidikan. Para pelajar dituntut untuk menguasai teknologi maklumat supaya ia

dapat dimanfaatkan kelak. Ini kerana pelajar atau generasi muda merupakan

penggerak kepada pembangunan negara yang akan datang dan sekaligus menjadikan

negara yang membangun ini sebagai sebuah negara maju. Ini secara tidak langsung

menyokong pendapat yang dinyatakan oleh Tamrin Anuar (2003) bahawa kemajuan

dunia dan adunan baru dalam sistem pendidikan akan mebawa rakyat ke era

teknologi maklumat. Tengku Mohd Azzman (2001) pula berpendapat bahawa,

17

... teknologi mahupun insfrastruktur yang dihasilkan bukanlah penggerak

utama. Nadinya ialah maklumat dan ilmu yang menggerakkan revolusi ilmu semasa.

Manusia pula merupakan medan dan punca utama maklumat dan ilmu tersebut.

Ia membawa maksud bahawa dalam konteks pendidikan, guru merupakan

penggerak kepada pendedahan penggunaan teknologi kepada pelajar-pelajar. Dengan

adanya sikap dan kesediaan para guru dalam mengeksplotasi teknologi ini akan

menjadikan pelajar lebih tersedia dan dilengkapi dengan penguasaan teknologi

maklumat.

2.3 Perisian Sumber Terbuka/Perisian Bebas dan Linux

Sebagaimana yang telah nyatakan dalam bab satu, perisian sumber terbuka

(open source software-OSS) atau perisian terbuka (free software-FS) juga dikenali

sebagai perisian sumber terbuka bebas (free open source software-FOSS). Ia

merupakan suatu program yang memberikan kebebasan sepenuhnya kepada

pengguna untuk pelbagai tujuan, untuk mengkaji, untuk mengubah kandungan

program dan untuk mengedarkan semula salinan samada ianya dalam bentuk yang

asal atau pun yang telah ada perubahan.

FOSS diibaratkan kenderaan yang efektif tinggi dalam pemindahan yang

besar daripada dunia perindustrian kepada pembangunan negara (Leonard &

Andrew, 2001). Kebanyakkan produk FOSS seperti Red hat, SuSE, Debian dan

sebagainya boleh diperolehi dari internet tanpa sebarang bayaran. Tetapi dalam kos

perlesenan, aplikasi FOSS adalah lebih murah berbanding perisian hak milik. Kos

perlesenan ini bukan hanya tertumpu kepada kos pekej perisian atau prasarana. Ia

juga melibatkan kos individu, keperluan perkakasan, kos lapangan dan kos latihan,

dikenali sebagai jumlah kos pemilikan (Total Cost Ownership-TCO)

18

Terdapat dua istilah dalam FOSS iaitu asas perisian bebas (free software

foundation-FSF) dan inisiatif atau daya usaha sumber terbuka (open source

inisiative-OSI).

FSF adalah berkaitan tentang melindungi kebebasan pengguna, di mana:

i. Bebas menggunakan program atau aturcara dalam pelbagai tujuan.

ii. Bebas mengkaji bagaimana program berfungsi dan menyesuaikan

kepada keperluan pengguna. Mencapai kod aturcara adalah prasyarat.

iii. Bebas untuk mengedarkan salinan, dengan ini ia membantu pengguna-

pengguna lain.

iv. Bebas untuk memperbaiki program dan membenarkan pengguna lain

menggunakan program yang telah diperbaiki. Oleh itu kebenaran untuk

mencapai kod sumber adalah prasyarat.

OSI pula mempunyai ciri berikut:

i. Idea asas di sebalik perisian terbuka adalah mudah iaitu apabila

pengaturcara (programmer) boleh membaca, mengedar, dan

membaikpulih kod sumber untuk sesuatu perisian, maka perisian

tersebut akan berkembang dan semakin bertambah baik.

ii. OSI fokus kepada nilai teknikal untuk menjadikannya lebih hebat,

perisian yang boleh dipercayai dan lebih mesra-pengguna berbanding

FSF. Ianya kurang memberi tumpuan kepada isu-isu moral perisian

bebas dan ia memberikan kelebihan kepada pengedaran pembangunan

FOSS.

19

Walau pun FSF dan OSI berbeza, kedua-duanya mempunyai ciri-ciri yang

sama dalam persekitaran pembangunan perisian, usaha terhadap hak milik perisian,

dan juga bentuk perisian. FSF dan OSI boleh diibaratkan sebagai dua parti politik

dalam komuniti yang sama (Wong & Sayo, 2004).

Perisian sumber terbuka atau pun dikenali sebagai Open Source software

adalah perisian yang mempunyai kod sumber (source code) yang diedahkan secara

percuma dengan mengubah kod, dan pengedaran semula adalah tidak terbatas.

Perisian terbuka bukan hanya bermaksud mencapai kepada kod sumbernya, tetapi

istilah terhadap pengedaran sumber terbuka mempunyai ciri-ciri seperti berikut

(Open Source Competency Center, 2004):

1. Pengagihan bebas (Free distribution)

Kebenaran atau lessen tidak terhad kepada mana-mana bahagian jualan

atau himpunan pengagihan perisian yang mengandungi pelbagai aturcara

daripada sumber yang berbeza. Kebenaran tersebut tidak memerlukan

royalti atau sebarang bayaran yang dianggap sebagai jualan.

2. Kod Sumber (Source code)

Program perlu mengandungi kod sumber, dan membenarkan pengedaran

dalam bentuk kod sumber begitu juga dalam bentuk penyusunan atau

compile. Kod sumber boleh dimodifikasi oleh pengaturcara.

3. Hasil Perolehan (Derived works)

Membenarkan membuat modifikasi dan diedarkan dalam terma yang

sama sebagai lessen yang asal.

4. Integriti Kod Sumber Pengarang/Pencipta (Integrity of the author’s

source code)

Kebenaran kod sumber mungkin terhad daripada diedar dalam bentuk

yang telah diubah

20

5. Tiada diskriminasi antara individu perseorangan atau kumpulan (No

discrimination againsts persons or groups)

Tiada diskriminasi dalam menggunakannya samada secara perseorangan

atau berkumpulan.

6. Tiada Diskriminasi antara Lapangan Percubaan (No discrimination

against fields of endeavor)

Kebenaran tidak terhad kepada penggunaan perseorangan atau kumpulan.

Ia buleh digunakan untuk urusan perniagaan atau dijadikan sebagai bahan

kajian.

7. Pengedaran Lesen (Distribution of license)

Tidak memerlukan kebenaran tambahan untuk mengedarkan program.

8. Kebenaran tidak Khusus kepada Produk (License must not be specific to a

product)

Kebenara program tidak semestinya bergantung kepada sebahagian

daripada pengedaran perisian. Jika program yang diekstrak daripada

edaran, dan digunakan atau diedar semula, semua bahagian dalam

program tersebut perlu mempunyai kebenaran yang sama dengan perisian

yang asli (belum diubah)

9. Lesen tidak Terhad kepada Perisian Lain (The license must not restrict

other software)

Kebenaran tidak terhad terhadap perisian lain yang diedarkan dengan

kebenaran perisian. Contohnya, kebenaran tidak semestinya semua

program diedarkan dalam bentuk yang sama itu adalah OSS.

10. Lesen Perlu Berteknologi –Neutral (Lecense must be technology-neutral)

Tiada persediaan kebenaran yang dijangkakan terhadap teknologi atau

gaya antaramuka.

21

2.3.1 Kelebihan dan Faedah FOSS

FOSS juga mempunyai banyak kelebihan selain daripada kosnya yang

rendah. Kelebihan FOSS banyak memberi faedah kepada individu atau organisasi

yang menggunakan FOSS. Antaranya ialah:

1. Jaminan keselamatan (Security)

Kod sumber yang boleh dicapai menjadikan pembangun sistem dan

pengguna memperbaiki ketidaksempurnaan sebelum ia diexploitasikan.

Kebanyakkan ketidaksempurnaan diperbaiki dalam peringkat audit.

Selain itu FOSS lebih memberi fokus kepada keteguhan dan kefungsian

berbanding mudah untuk diguna. Sebelum sesuatu ciri ditambah ke dalam

aplikasi FOSS, keselamatan akan dipertimbangkan dahulu kerana ia

adalah penting dan ciri tersebut akan ditambah hanya jika dikenalpasti

bukan untuk mengkompromi sistem kawalan.

2. Kebolehpercayaan dan kestabilan (Reliability/ Stability)

Red Hat Linux, Caldera System OpenLinux dan Microsoft’s Windows

NT Server 4.0 with Service Pack 3 telah diuji oleh Zdnet untuk melihat

kebolehpercayaannya selama 10 bulan. Hasil ujian mendapati NT

mengalami masalah sekali setiap enam minggu, tetapi sistem FOSS tidak

berlaku sebarang masalah sepanjang 10 bulan pengujian tersebut (Nicols

V., dan Steven J. 1999). Pada tahun 1995, ujian kegagalan sistem

mensimulasi data terhadap tujuh sistem komersial dan sistem GNU/Linux

dilakukan. Hasil ujian mendapati sistem komersial mengalami purata 23%

kegagalan manakala Linux 9% dan GNU mengalami kegagalan sebanyak

6%. Kajian dilakukan pada tahun seterusnya mendapati kesemua

kegagalan yang dihadapi oleh GNU/Linux dapat diatasi, pada sistem

komersial tiada perubahan (Wheeler & David, 2003).

22

3. Piawai terbuka dan vendor bebas (Open standard and vendor

independence)

Standard terbuka memberi pengguna (individu atau organisasi), fleksible

dan bebas untuk mengubah antara pekej perisian, platform dan vendor.

Menggunakan sistem FOSS untuk tujuan meningkatkan kebebasan

vendor semakin bertambah dalam pelbagai bidang. Laporan yang

dilakukan oleh kerajaan UK mendapati bahawa kewujudan perlaksanaan

bahan OSS yang semakin cekap, telah mencadangkan kerajaan

menggunakannya dalam sistem pentadbiran.

4. Mengurangkan kebergantungan kepada bahan import

Insentif utama Negara membangun ialah menerima sistem FOSS

disebabkan oleh kos yang besar terhadap lesen perisian hak milik. Hampir

semua perisian yang diimport menggunakan pembayaran mata wang

asing yang tinggi. Maka dengan itu, dengan menggunakan sistem FOSS

yang lebih murah boleh menggantikan peruntukkan tersebut kepada

perbelanjaan matlamat pembangunan yang lain.

5. Keupayaan perkembangan perisian tempatan

Aplikasi FOSS adalah amat mudah dah fleksibel bukan sahaja dari segi

inovasi malah juga dari askpek pengedarannya.

6. Cetak rompak, harta intelek (Intellectual Property Rights-IPR),

pertubuhan perdagangan sedunia (World Trade Organization-WTO)

Cetak rompak dan undang-undang yang tidak ketat boleh mendatangkan

masalah yang besar bagi sesebuah negara. Sesebuah megara yang

mempunyai pelindungan harta intelek yang lemah akan menyebabkan

pelabur asing kurang yakin untuk melabur.

7. Penumpuan/penempatan (Localization)

Pengguna boleh membuat perubahan FOSS supaya ia bersesuaian dengan

budaya, situasi atau kehendak di mana ia akan digunakan.

23

2.3.2 Organisasi yang Menggunakan FOSS

Dengan mengetahui bahawa FOSS mempunyai banyak kelebihan dan faedah,

makan banyak organisasi di seluruh dunia menggunakannya untuk urusan rasmi.

Walaupun usaha untuk menggunakan kelebihan FOSS ini masih lagi dalam

peringkat permulaan, tetapi permintaan terhadap penggunaan FOSS di dalam sektor

kerajaan semakin tinggi. Sebagai contoh Negara Asia Pasifik seperti China, India,

Taiwan, Thailand dan Malaysia juga mengambil keuntungan daripada penggunaan

FOSS.

Kerajaan Malaysia telah menyokong FOSS semenjak November 2001 lagi.

Pada 2002, PIKOM telah menghasilkan kertas kerja mencadangkan bahawa

Malaysia secara rasminya menerima OSS. Komnas pula telah menghasilkan Linux

versi tempatan seperti web browser dan utility lain. Pada tahun 2003, Negara China

merupakan Negara yang paling banyak menggunakan FOSS di mana penggunaan

Linux semakin berkembang sehingga 175 peratus (Wong & Sayo, 2004). Manakala

di India pula menggunakan FOSS dengan meluasnya. Sebanyak 1000 komputer di

Jabatan Pusat Latihan telah ditukarkan kepada Linux. Di sekolah-sekolah India pula

telah menggunakan 6000 komputer yang mempunyai sistem operasi Linux Red Hat.

Di Negara Taiwan telah melancarkan “National Open Source Plan” pada

tahun 2003. Pelan dua tahun ini adalah untuk membina industri yang boleh

menggantikan kesemua sistem hak milik perisian di sektor kerajaan dan sekolah.

Kelebihan FOSS yang telah membawa banyak faedah telah mendorong kementerian

ICT di Negara Thailand membuat sasaran pada akhir tahun 2003 iaitu menggunakan

sistem operasi Linux sebanyak lima peratus di dalam sistem kerajaannya.

Linux adalah nama bagi kernel yang dicipta oleh Linus Torvalds. Kernel

ialah pusat sistem operasi yang mengawal penggunaan CPU, mengurus memori dan

peralatan perkakasan. Linux juga dikatakan sebagai klon kepada Unix. Linux

memiliki semua ciri-ciri yang dimiliki oleh Unix antaranya multitasking, virtual

memory, shared libraries, demand loading dan rangkaian. Linux diedarkan oleh

GNU General Public License. Iaitu pemilik program tetap memegang hak ciptanya

24

tetapi ia boleh diedar, dimodifikasi atau menjual kembali program tersebut oleh

individu lain dengan syarat kod sumbernya tetap disertakan di dalam program.

2.4 Perisian Matematik Bergrafik KmPlot

KmPlot adalah perisian pemplot dua dimensi fungsi matematik untuk desktop

KDE. KmPlot merupakan sebahagian daripada projek KDE-EDU. KDE atau K

Desktop Environment adalah rangkaian kontemporari persekitaran desktop untuk

UNIX. Huruf ‘m’ yang terdapat pada KmPot adalah bermaksud mathematical

function. KDE berusaha untuk memenuhi keperluan dalam kemudahan menggunakan

desktop UNIX. Projek KDE-EDU ini memberi fokus kepada pelajar-pelajar berusia 3

hingga 18 tahun. Kmplot mempunyai parser binaan dalam yang hebat. Ia boleh

digunakan untuk memplot berbagai-bagai fungsi dalam masa yang sama dan

menggabungkan fungsi-fungsi tersebut membentuk fungsi yang baru.

Rajah 2.1 : Antara muka perisian KmPlot

25

KmPlot juga mempunyai banyak kelebihan yang lain. Perisian ini

menyokong fungsi parametrik dan fungsi polar. Selain itu, ia juga menyediakan

beberapa ciri-ciri numerik dan visual seperti mengisi dan mengira luas antara plot

dengan paksi, mendapatkan nilai minimum dan maksimum, mengubah parameter

fungsi dan memplot fungsi pembezaan. Rajah 2.1 menunjukkan antara muka perisian

KmPlot.

Antara muka KmPlot mempunyai tujuh menu utama iaitu File, Edit, Plot,

Zoom, Tools, Settings dan Help. Sebagai panduan, Lampiran A menunjukkan buku

panduan perisian KmPlot yang diperolehi dari laman web KDE.. Di dalam buku

panduan ini mengandungi penerangan penggunaan KmPlot. Lampiran B pula adalah

manual penggunaan perisian KmPlot yang dihasilkan oleh pembangun. Manual

penggunaan perisian KmPlot boleh digunakan bersama-sama dengan buku panduan

perisian KmPlot untuk meningkatkan pemahaman dalam mengaplikasikan perisian

ini. Untuk tujuan pengajaran dan pembelajaran (P&P) matematik, manual dan buku

panduan ini memenuhi keperluan minima. Oleh itu tujuan kemudahan guru dan juga

pelajar, tutorial yang menyajikan pelbagai aktiviti yang menarik dan bermakna ini

adalah sangat berguna.

2.5 Teori Konstruktivism Bruner

Jerome Bruner merupakan pelopor kepada pembangunan teori pengajaran

konstruktivisme. (Snelbecker, 1974). Konstruktivisme adalah terma yang digunakan

oleh ahli psikologi kognitif untuk menerangkan pendekatan ini dalam pembelajaran

(Borich & Tombari, 1997). Konstruktivisme adalah suatu keyakinan iaitu pelajar

secara aktif membentuk pengetahuan mereka sendiri berasaskan kepada pengetahuan

atau pengalaman yang lepas. Dalam proses ini pelajar mengadaptasikan pengetahuan

yang mereka terima dan pengetahuan yang lepas untuk membentuk satu pengetahuan

yang baru (Norjoharudeen, 2003). Pelajar memilih dan memindahkan maklumat,

membina hipotesis, dan membuat keputusan, berpandu kepada struktur kognitif.

Struktur kognitif (seperti skema, model mental) memberikan makna dan organisasi

untuk dialami dan membenarkan seseorang individu bergerak ke arah maklumat

26

yang diberikan (Kearsley, 1999). Ia menekankan penglibatan aktif pelajar semasa

proses pembelajaran dengan menghubungkan pelajar dengan aktiviti yang bermakna

(Karakirik and Durmus, 1999).

Teori pengajaran yang dicadangkan oleh Bruner ini mempunyai empat aspek

iaitu pengaruh ke arah pembelajaran, cara bagaimana pengetahuan distrukturkan

supaya mudah difahami oleh pelajar, urutan yang efektif dalam mempersembahkan

bahan pengajaran dan cara yang sesuai untuk memberikan ganjaran atau hukuman

(Kearsley, 1999). Konstruktivisme mendorong pelajar bergerak ke hadapan dalam

proses pengajaran. Matlamat utamanya ialah untuk membentuk semula amalan

pengajaran supaya ia terancang dan berstruktur untuk menggalakkan pelajar

menggunakan pengalaman mereka untuk membina pemahaman mereka sendiri.

Amalan pengajaran kontruktivisme dalam pelbagai bidang ilmu seperti

bidang matematik, sains, dan sebagainya mempunyai ciri-ciri seperti berikut (Borich

& Tombari, 1997):

i. Pengajaran dan pembelajaran diorganisasikan dalam persekitaran idea

yang penting.

ii. Mengetahui kepentingan pembelajaran yang lepas (maklumat dan

pengetahuan sedia ada).

iii. Mencabar keupayaan pengetahuan pelajar.

iv. Melengkapkan kekaburan dan keraguan

v. Mengajar pelajar bagaimana untuk belajar

vi. Menganggap pembelajaran sebagai hubungan kognitif

vii. Menilai pengetahuan yang diperolehi oleh pelajar semasa proses

pengajaran.

Konstruktivisme juga memberi kesan kepada pembelajaran matematik.

Pelajar perlu membina kefahaman mereka terhadap setiap konsep matematik yang

dipelajari. Dengan itu peranan utama pengajaran bukan hanya menyampai,

menerangkan atau pun mencuba untuk memindahkan pengetahuan matematik, tetapi

mewujudkan situasi yang membolehkan pelajar memupuk pembinaan mental

(Norjoharudeen, 2003).

27

Antara kesan kepada pengajaran dan pembelajaran matematik ialah:

i. Pengajaran dan pembelajaran berpusatkan pelajar.

ii. Guru berperanan sebagai fasilitator, membantu pelajar membina

pengetahuan dan menyelesaikan masalah.

iii. Guru berperanan sebagai perekebentuk pengajaran yang melengkapkan

pelajar berpeluang untuk membina pengetahuan baru

iv. Pengetahuan yang diperolehi oleh pelajar adalah hasil aktiviti pelajar,

bukan daripada pengajaran yang diterima secara pasif.

Semasa proses pengajaran dan pembelajaran, guru boleh menggalakkan

pelajar bertanya dan memberikan idea, menggalakkan proses inkuiri (penyiasatan),

memberi peluang kepada pelajar membina pengetahuan baru dengan melibatkan diri

pelajar kepada situasi sebenar dan menjadikan proses pembelajaran berkepentingan

yang sama dengan hasil pembelajaran.

Pembelajaran berasaskan kontruktivisme ini memberikan kelebihan dalam

aspek pemikiran, pemahaman, pengekalan (retention), dan keyakinan. Semasa proses

membina pengetahuan baru, pelajar akan terdorong untuk berfikir apabila mereka

menyelesaikan masalah, menghasilkan idea, dan membuat keputusan yang bijak

dalam menghadapi cabaran. Dengan melibatkan diri secara aktif ketika membentuk

idea baru, pelajar akan memahami sesuatu konsep dan idea yang mereka pelajari

dengan mendalam. Dengan pemahaman yang mendalam ini membolehkan pelajar

mengaplikasikan apa yang dipelajari pada masa hadapan. Apabila pelajar diberikan

kuasa untuk membina pemahaman mereka berpandukan kepada pengetahuan yang

lepas, maka mereka akan lebih berkeyakinan dalam menghadapai cabaran atau

menyelesaikan masalah. Konstruktivisme juga memberi kesan kepada kemahiran

sosial iaitu pelajar dapat menguasai dan meningkatkan kemahiran sosial yang

diperlukan apabila berkerja dalam kumpulan.

28

2.6 Teori Pembelajaran Penemuan (Discovery Learning)

Pembelajaran penemuan telah dipelopori oleh Jerume Bruner pada tahun

1966. kaedah pempelajaran penemuan memerlukan penglibatan pelajar dalam

membuat pelbagai keputusan mengenai apa, bagaimana dan bila sesuatu akan

dipelajari dan juga memainkan peranan yang penting dalam membuat sesuatu

keputusan (Snelbecker, 1974). Ia merupakan organisasi pengetahuan mengenai asas-

asas dan prinsip-prinsip berbanding fakta yang diskrit (Borich & Tombari, 1997).

Pembelajaran penemuan menggunakan psikologi kognitif sebagai asas, iaitu

melibatkan pendekatan pengajaran menerusi interaksi pelajar dengan persekitaran

mereka melalui cara menyiasat dan memanipulasi sesuatu, berhadapan dengan

persoalan dan kontroversi, atau pencapaian eksperimen (Conway J., 1997).

Pembelajaran penemuan meliputi model dan strategi pembelajaran yang

memberi fokus kepada pembelajaran aktif, pembelajaran kendiri pelajar-pelajar

(Castronova, 2002). Ia merujuk kepada proses untuk mendapatkan pengetahuan

dengan usaha individu. Di dalam kelas, pembelajaran penemuan boleh berlaku

apabila aktiviti di dalam kelas memerlukan pelajar untuk memanipulasi, menyiasat

dan menyelidik sesuatu perkara atau bahan yang boleh membentuk mereka ke arah

menemui prinsip-prinsip atau hubungan yang penting. Maka dengan itu pelajar tidak

didedahkan terus dengan konsep-konsep, sebaliknya memerlukan pelajar

memformulasi konsep tersebut.

Bruner percaya bahawa pembelajaran yang terbaik adalah dengan cara

penemuan dan pelajar bertindak sebagai penyelesai masalah di mana pelajar

berinteraksi dengan pengujian hipotesis persekitaran dan membentuk suatu

generalisasi atau suatu kesimpulan umum. Bruner juga berpendapat bahawa

matlamat pendidikan seharusnya berteraskan pembangunan intelektual,

mengukuhkan pembentukan kemahiran penyelesaian masalah menerusi inkuiri dan

penemuan.

29

Mengetahui (knowing) adalah merupakan suatu proses, berbanding

menghimpunkan kebijaksanaan sesuatu ilmu yang dipersembahkan di dalam buku

teks. Untuk mempelajari sesuatu konsep dan menyelesaikan masalah, pelajar perlu

didedahkan dengan pelbagai situasi yang berbeza-beza (Kearsley, 1999). Dengan

adanya bimbingan motivasi intrinsik, kemahuan pelajar untuk menyelesaikan sesuatu

masalah akan terbentuk sekali gus pembelajaran penemuan akan wujud di dalam

kelas.

Pembelajaran penemuan mengandungi tiga ciri utama, iaitu (Bicknell-Holmes

& Hoffman, 2000, lihat Castronova, 2002):

i. Menerusi penyelidikan dan penyelesaian masalah, pelajar mencipta,

menggabung dan mengeneralisasi pengetahuan.

ii. Kebolehan pelajar, aktiviti yang menarik yang mana pelajar

mengenalpasti perkaitan sesuatu pengetahuan yang diperolehi.

iii. Aktiviti yang menggalakkan penggabungan antara pengetahuan baru

dengan pengetahuan pelajar yang sedia ada.

Lima perkara yang membezakan pembelajaran penemuan dengan

pembelajaran tradisional ialah (Bonwell, 1998; Mosca & Howard, 1997; Parpert,

2000, lihat Castronova, 2002):

i. Pembelajaran adalah aktif berbanding pasif.

ii. Pembelajaran adalah berteraskan proses berbanding berteraskan fakta.

iii. Kegagalan adalah penting.

iv. Tindak balas adalah perlu.

v. Pemahaman adalah penting.

Guru mengaplikasikan pembelajaran penemuan di dalam kelas untuk

mengukuhkan beberapa tujuan pengajaran. Antaranya untuk memastikan pelajar-

pelajar tahu bagaimana untuk berfikir secara aktif dan mendapatkan idea dan

maklumat daripadanya berbanding hanya bergantung kepada maklumat yang

disampaikan oleh guru. Selain itu, memastikan bagaimana pelajar mendapatkan

pengetahuan dan maklumat hasil daripada aktiviti di dalam kelas. ia bermaksud

30

melatih pelajar mendapatkan pengetahuan dengan mengumpul, menyusun, dan

menganalisis maklumat untuk mendapatkan kesimpulan. Guru juga menggunakan

kedah pembelajaran penemuan untuk menggalakkan kemahiran pemikiran aras tinggi

di kalangan pelajar seperti menganalisis, mengsintesis dan menilai.

Pembelajaran penemuan mempunyai beberapa ciri-ciri yang tertentu. Iaitu

peranan guru bukanlah sebagai penyampai pengetahuan sebaliknya mencipta

pengalaman suasana kelas dengan menghubungkaitkan penemuan pengetahuan dan

pelajar. Guru menggalakkan pelajar berfikir secara mendalam disamping pelajar

menitegrasikan inkuiri dalam pembelajaran. Pelajar menerima cabaran untuk

mendapatkan maklumat dengan sendiri tanpa menerima maklumat dengan pasif

daripada guru. Pembelajaran penemuan juga melibatkan penglibatan dan interaksi

pelajar yang eektif, banyak pendapat diberikan dan menerima banyak maklumat hasil

daripada pembelajaran penemuan di dalam kelas.

Teori kognitif ini dibina dalam persekitaran idea pengkategorian

(categorization) dan pengorganisasian (organization). Bruner percaya bahawa setiap

maklumat yang diperolehi, minda akan mencuba untuk memudah dan menyesuaikan

dengan sesuatu situasi. Pengkategorian adalah bagaimana minda memudahkan

maklumat yang simpan di dalam ingatan jangka pendek. Manakala pengorganisasian

pula melibatkan penyusunan maklumat dalam bentuk sistem kod. Contoh sistem kod

ialah sepertu penyusunan sesuatu dalam hierarki yang mana bentuk yang umum

terletak di atas hierarki dan diikuti dengan yang lebih spesifik di bahagian bawah

heirarki tersebut. Bruner juga berpendapat bahawa minda manusia mengorganisasi

maklumat secara spontan dalam gaya heirarki dengan mengorganisasi sesuatu

pengetahuan tersebut di dalam ingatan jangka panjang. Beliau juga percaya bahawa

semua perkara mempunyai persamaan struktur, iaitu fakta disokong oleh konsep dan

kemudian disokong oleh generalisasi (Borich & Tombari, 1997).

Dalam proses pengajaran, generalisasi, konsep dan fakta perlu diorganisasi

atau disusun dengan cara yang bersistematik supaya proses pengajaran dan

pembelajaran di dalam kelas dapat dilaksanakan dengan baik. Pengajaran yang baik

adalah dengan membantu pelajar melakukan penemuan dengan sendiri perkaitan

31

sesuatu generalisasi (umum) dengan konsep dan fakta berbanding menyampaikan

kandungan pengajaran secara terus kepada pelajar.

Inti sari dalam pembelajaran penemuan ialah fakta yang penting, konsep dan

generalisasi sesuatu bidang ilmu yang tidak disampaikan kepada pelajar di awal

pengajaran dalam bentuk yang tersusun, sebaliknya ia diajar bagaimana pelajar

menemui perhubungan di antara fakta, konsep dan generalisasi dan distruktur atau

disusun dalam ingatan jangka panjang mereka. Pembelajaran penemuan

membolehkan pelajar mengingati apa yang dipelajari dalam jangka masa yang

panjang.

Dalam mengaplikasikan teori pembelajaran penemuan di dalam kelas, ia

perlu mempertimbangkan lima ciri asas iaitu set pengajaran, set motivasi, asas

pengetahuan, pelbagai contoh dan hierarki kurikulum tersusun. Set pengajaran ialah

matlamat atau objektif yang diterangkan oleh guru di dalam kelas di awal sesi

pengajaran. Dalam pembelajaran penemuan, guru menerangkan kepada pelajar

objektif pembelajaran yang bersesuaian untuk aras perkembangan pelajar. Set

motivasi melibatkan apa yang akan guru lakukan untuk merangsang, mendorong atau

membangkitkan pelajar untuk mencapai objektif pembelajaran. Asas pengetahuan

merujuk kepada keluasan deklaratif pelajar dan pengetahuan yang relevan dengan

kandungan pembelajaran. Pelajar dianggap dapat melihat kepentingan hubungan dan

menemui kepentingan prinsip dan generalisasi yang penting sekiranya mereka

memperolehi maklumat yang bersesuaian. Pelbagai contoh bermaksud memberi

pelbagai contoh atau situasi yang sebanyak mungkin yang berkaitan dengan sesuatu

subjek yang sedang mereka pelajari. Hierarki kurikulum tersusun menekankan

bahawa kurikulum perlu disusun bersama dengan hierarki generalisasi, konsep dan

fakta. Guru perlu merancang pembelajaran dengan memahami struktur hierarki

maklumat yang perlu mereka sampaikan. Dengan ini pelajar akan didedahkan dengan

fakta tertentu daripada konsep yang pelajar temui dan seterusnya melalui peringkat

generalisasi.

32

2.6.1 Kelebihan Pembelajaran Penemuan

Pembelajaran penemuan memberikan banyak kelebihan dalam proses

pengajaran dan pembelajaran di dalam kelas. Bruner juga ada menyenaraikan

kelebihan-kelebihan penggunakan kaedah pembelajaran penemuan di dalam kelas.

antaranya ialah pertama, ia dapat meningkatkan potensi intelektual pelajar. Pelajar

lebih terdorong untuk mendapatkan pola dalam penyelesaian masalah, belajar

bagaimana memindah dan mengorganisasi maklumat supaya mereka memperolehi

maklumat tambahan daripada maklumat yang sedia ada. Dengan menggalakkan

pembelajaran penemuan di dalam kelas, pelajaran akan bekerja dan berusaha dengan

bebas untuk mendapatkan pengetahuan baru tanpa mengharapkan bantuan yang

sepenuhnya daripada guru.

Kedua ialah peralihan daripada ganjaran ekstrinsik kepada intrinsik.

Pembelajaran sesuatu konsep atau prinsip dengan menemukan perkaitan terhadap

contoh-contoh, berbanding memberikan penyataan yang analitik mengenai sesuatu

konsep, boleh memberi rangsangan kepada kepuasan pelajar dalam proses

pembelajaran dan ia memupuk sikap yang memberikan ganjaran intrinsik.

Disamping itu, pelajar juga akan mahir terhadap sesuatu yang mereka alami dan

meningkatkan keupayaan pelajar. Selain itu, pembelajaran penemuan juga dapat

membentuk kemahiran pelajar dalam menyelesaikan masalah dan berfikiran kreatif.

Ketiga, mempelajari heuristik atau strategi untuk membuat penemuan akan

datang. Bermaksud dengan amalan prosedur penemuan yang efektif akan

menghasilkan pembelajaran yang terbaik terhadap bagaimana menemui maklumat

yang baru. Terakhir sekali iaitu pengekalan dan penemuan semula maklumat.

Menurut Bruner, maklumat yang terdapat pada pelajar dan struktur kognitif pelajar

(ingatan) boleh menjadikan maklumat lebih berguna dan berupaya memindahkan

kepada situasi yang baru.

Kelebihan pembelajaran penemuan juga memberi kesan kepada kebolehan

memotivasikan pelajar, pengekalan (retention), dan pencapaian (Castronova, 2002).

Pembelajaran penemuan juga mengganggap bahawa kesilapan dalam menyelesaikan

33

masalah adalah penting. Dengan kesilapan ini, dapat meningkatkan sikap

tanggunjawab pelajar terhadap kesalahan yang mereka lakukan dan berusaha untuk

memperbaikinya. Oleh itu, mereka akan lebih bersedia untuk menyelesaikan masalah

apabila menghadapi masalah yang sama atau hampir sama.

Dengan pembelajaran penemuan, ia memberi peluang kepada pelajar untuk

memanipulasi, menyiasat dan menyelidik sesuatu yang dikaitkan dari luar

persekitaran pembelajaran. Sekali gus menjadikan pembelajaran lebih menarik

(Castronova, 2002). Kajian yang dilakukan oleh Hardy (1967) menunjukkan bahawa

pelajar yang diajar menggunakan pendekatan pembelajaran penemuan memberikan

keputusan yang positif dalam ujian selepas (post-test) dan ujian sebelum (pre-test)

berbanding pelajar yang diajar dengan kaedah berpusatkan guru (Castronova, 2002).

Pembelajaran penemuan mempunyai sedikit persamaan dengan pembelajaran

tradisional dalam konteks pengekalan maklumat. Iaitu pelajar mengingat kembali

aktiviti yang melibatkan pengalaman pembelajaran. Tetapi dalam konteks ini,

umumnya pelajar lebih mengingat kembali pengalaman pembelajaran penemuan

berbanding pembelajaran tradisional. Pembelajaran penemuan juga telah

mempengaruhi pencapaian pelajar dalam pembelajaran.

2.6.2 Ciri-ciri Pembelajaran Penemuan Berlaku di dalam Kelas.

Castronova (2002) telah menerangkan bahawa terdapat tiga sifat utama yang

terkandung di dalam pembelajaran penemuan iaitu pelajar mencipta, menggabung

dan membuat generalisasi terhadap penyelidikan dan penyelesaian masalah, aktiviti

yang menyeronokkan akan menarik minat pelajar untuk belajar dan mengaitkan

antara pengetahuan sedia ada dengan pengetahuan yang baru mereka perolehi

daripada hasil pembelajaran. Dengan atribut ini sekaligus dapat membezakan

suasana pembelajaran penemuan amat berbeza dengan suasana pembelajaran

tradisional.

34

Pembelajaran penemuan merupakan pembelajaran yang aktif, proses

pembelajaran lebih penting, memerlukan interaksi dua hala antara guru-pelajar dan

pelajar-pelajar, pemahaman dianggap penting berbanding mengingati maklumat yang

diterima oleh pelajar dan kesilapan dalam menjalankan aktiviti untuk mendapatkan

keputusan atau jawapan yang betul tidak dianggap sebagai kelemahan pelajar,

sebaliknya ia dijadikan sebagai panduan untuk pelajar berfikir lebih mendalam dan

sentiasa membuat refleksi dalam proses mendapatkan maklumat dan keputusan yang

tepat.

Ormrod (1995) berpendapat bahawa pembelajaran penemuan akan berlaku di

dalam kelas apabila pelajar memiliki kemahiran pemikiran aras tinggi, kreatif dan

pembelajaran kendiri dalam menyelesaikan masalah di dalam aktiviti kelas. selain

itu, dengan menggalakkan pembelajaran penemuan, pelajar menjadi lebih berminat

dan seterusnya pembelajaran akan menjadi lebih efektif. Dengan memiliki

pengetahuan sedia dan relevan pelajar sudah pasti menerima banyak faedah daripada

pembelajaran penemuan. Mereka dapat melakukan interpretasi daripada pemerhatian

yang mereka lakukan dalam sesuatu eksperimen.

Ormrod (1995) juga yakin bahawa pembelajaran yang bermakna hanya akan

berlaku apabila pelajar memiliki pengalaman dan pengetahuan sedia ada dan mereka

boleh membuat perkaitan pengalaman dan pengetahuan mereka dengan maklumat

yang baru mereka perolehi.

Slavin (2003) berpendapat bahawa beberapa ciri perlu ada dalam menjadikan

suasanakan pembelajaran berteraskan kepada pembelajaran penemuan. Antaranya

ialah:

i. Dengan penglibatan secara aktif oleh pelajar, mereka dapat mempelajari

sesuatu pengetahuan dengan lebih luas mengenai konsep dan prinsip

sesuatu ilmu. Pelajar mengalami dan membentuk eksperimen dengan

galakan daripada guru untuk mendapatkan sendiri sesuatu konsep dan

prinsip.

35

ii. Mengetahui (knowing) dianggap sebagai sesuatu proses dan bukannya

hasil.

iii. Pelajar mempunyai sikap ingin tahu dan dimotivasikan oleh guru

supaya mereka berusaha untuk mendapatkan jawapan.

iv. Pelajar membuat analisis, memanipulasi maklumat dan berfikir secara

kritikal untuk menyelesaikan masalah.

Dalam membentuk suasana pembelajaran penemuan, Gibson (1980) juga

mencadangan beberapa ciri yang perlu ada di dalam kelas.

i. Pelajar dapat membentuk pemahaman yang lebih baik terhadap

maklumat atau idea asas dan konsep sesuatu ilmu yang dipelajari.

ii. Pelajar dalam mengaplikasikan maklumat yang diperolehi dan

kemudian dipindahkan kepada situasi pembelajaran yang baru atau

dalam kehidupan seharian mereka.

iii. Pelajar mempunyai usaha dan berkeupayaan untuk berfikir dan bekerja

dengan bantuan yang minimum oleh guru.

iv. Pelajar boleh berfikir secara intuitif, membentuk dan menguji hipotesis

mereka. Dengan itu mereka dapat menghadapi berbagai situasi dan

samada dalam proses pembelajaran atau pun dalam kehidupan seharian

mereka.

Pembelajaran penemuan adalah berteraskan kepada teori kognitif. Oleh itu,

kebanyakkan apa yang disifatkan oleh teori kognitif juga terkandung di dalam

pembelajaran penemuan (Parsons, 2001). Beliau berpendapat bahawa pembelajaran

penemuan meletakkan pengukuhan yang terbaik terhadap motivasi dan kepuasan

pelajar (learner satisfying). Pembelajaran penemuan akan berlaku di dalam kelas

apabila pelajar membuat andaian berdasarkan maklumat yang tidak lengkap di dalam

sesuatu aktiviti dan guru pula merangsang pelajar untuk menyelesaikan masalah

36

dengan pelajar menggunakan strategi mereka sendiri. O’Donnell et. al., (2007)

mencirikan pembelajaran penemuan sebagai penaakulan induktif atau pun abstrak

prinsip umum daripada gabungan berbagai contoh-contoh.

Pelajar melakukan pengkelasaan dan kategori terhadap pengetahuan atau

maklumat yang mereka perolehi di dalam kelas dan kemudian membentuk suatu

konsep. Daripada pengetahuan prinsip-prinsip, pelajar dapat membuat generalisasi

terhadap konsep yang mereka perolehi daripada aktiviti di dalam kelas.

Selain daripada itu, aktiviti menganalisis, mensintesis, menilai,

mengorganisasi dan mentafsir merupakan kemahiran pemikiran aras tinggi. Ia juga

dikenali sebagai metakognitif. Pelajar bekerja tanpa terlalu bergantung kepada guru.

Mereka membuat analisis, mensintesis terhadap sesuatu masalah dan berfikir untuk

menentukan strategi yang bersistematik dalam menyelesaikan masalah. Berinteraksi

sesama pelajar atau guru juga boleh mendorong dan merangsang pelajar berfikir

dengan lebih mendalam untuk mendapatkan penyelesaian sesuatu masalah.

Dengan adanya maklumat dan pengetahuan yang sedia ada, pelajar dapat

membuat perkaitan dengan maklumat baru yang mereka terima dan

mengintegrasikan kesemua maklumat tersebut untuk tujuan menyelesaikan sesuatu

masalah. Dengan adanya aktiviti yang melibatkan penyemakan dan penjanaan

maklumat, pelajar akan membuat andaian terhadap maklumat yang tidak tepat untuk

mereka menguji hipotesis yang telah mereka bentuk dalam usaha untuk mendapatkan

keputusan yang tepat. Dengan aktiviti yang menarik dan merangsang minda, pelajar

terdorong untuk menyelesaikan masalah. Pelajar akan berusaha untuk menjawab

persoalan yang mereka, rakan atau guru bangkitkan mengenai aktiviti yang mereka

lakukan dan mempunyai motivasi intrinsik untuk menyelesaikannya. Pembelajaran

menjadi lebih bermakna apabila pelajar memahami sesuatu konsep dengan

menjalankan aktiviti secara praktikal.

Tahap pengetahuan pelajar juga penting untuk membantu dalam mewujudkan

suasana pembelajaran penemuan. Dimensi pengetahuan ini berfungsi sebagai

panduan dalam proses pembelajaran. Ia juga membantu pengajaran menjadi lebih

berstruktur, terancang, dan mempunyai hubungan yang jelas antara objektif

37

pembelajaran dan proses pengajaran. Tahap pengetahuan ini terdiri daripada empat

jenis dimensi pengetahua iaitu (Amer, 2006):

i. Pengetahuan Fakta.

Elemen asas yang perlu pelajar ketahui dalam sesuatu disiplin atau

menyelesaikan masalah.

a. Pengetahuan terhadap istilah.

b. Pengetahuan terhadap ciri-ciri dan elemen-elemen khusus.

ii. Pengetahuan Konsep.

Hubung kait di antara elemen-elemen asas di dalam struktur yang luas

yang membolehkan ianya berfungsi

a. Pengetahuan terhadap pengkelasan dan pengkategorian.

b. Pengetahuan terhadap prinsip-prinsip dan generalisasi.

c. Pengetahuan terhadap teori-teori, model-model dan struktur-

struktur.

iii. Pengetahuan Prosedur.

Melibatkan aktiviti bagaimana melakukan sesuatu. Ia melibatkan inkuiri,

dan kriteria dalam menggunakan kemahiran, algoritma, teknik dan

kaedah.

a. Pengetahuan terhadap kemahiran dan algoritma.

b. Pengetahuan terhadap teknik dah kaedah.

c. Pengetahuan terhadap kriteria untuk mengenalpasti penggunaan

prosedur yang tepat dan bersesuaian.

iv. Pengetahuan Metakognitif.

Pengetahuan kognitif secara umum dan juga kesedaran dan pengetahuan

kognitif individu.

a. Pengetahuan strategik.

b. Pengetahuan mengenai tugasan kognitif, termasuk kesesuaian

kontekstual dan syarat pengetahuan.

c. Pengetahuan kendiri (self-knowledge).

38

Daripada huraian pengkaji dan penyelidik terhadap atribut dan ciri

pembelajaran penemuan, dapat disimpulan bahawa pembelajaran penemuan

mempunyai ciri-ciri yang terkandung di dalam operasi kognitif (Mosston, 1972 lihat

Edutechwiki, 2007). Dengan adanya ciri-ciri ini, dapat memberi panduan dan

membantu perekabentuk pengajaran dalam membangunkan suasana pengajaran

berteraskan pembelajaran penemuan dengan dan menjadikan pembelajaran yang

lebih bermakna kepada pelajar.

i. Mengecam (Recognise)

Mengenalpasti sesuatu sebagaimana yang pernah dilihat atau

diketahui.

Mengenalpasti daripada pengetahuan sesuatu ciri-ciri tertentu.

ii. Menganalisis (Analysing).

Memecahkan atau mengasingkan sesuatu bahan atau abstrak

kepada elemen-elemen yang lebih terperinci atau khusus.

iii. Mensintesis (Synthesizing).

Menggabungkan elemen-elemen yang khusus atau sub-elemen

daripada sumber yang berasingan kepada satu unit yang lebih

besar.

iv. Membanding (Comparing) dan Membeza (Contrasting).

Membanding: Mengkaji dua atau lebih objek atau perkara

untuk mendapatkan persamaan atau perbezaan.

Membeza: Perbandingan yang menunjukkan sesuatu perkara

atau objek tidak mempunyai persamaan atau berbeza.

Mempunyai ciri-ciri yang berbeza dan bertentangan.

v. Membentuk kesimpulan (Drawing conclusions).

Bahagian terakhir pada sesuatu kajian atau ujian.

Kebiasaannya ia adalah ringkas, mengandungi kenyataan

pendapat keputusan yang dicapai.

39

vi. Membentuk hipotesis (Hypothesizing).

Suatu penyataan, usul atau pendapat yang dikemukakan

sebagai suatu penjelasan sesuatu fenomena atau situasi samada

ianya benar atau andaian yang mendorong kepada penyiasatan.

vii. Mengingat (Memorizing).

Mengingat kembali fakta-fakta atau konsep yan diperolehi

daripada pengalaman dan pengetahuan yang lepas.

viii. Inkuiri (Inquiring).

Keinginan dalaman atau pencarian terhadap kebenaran sesuatu

maklumat atau pengetahuan.

Pencarian maklumat hasil daripada pertanyaan atau

penyiasatan.

ix. Mencipta (Inventing).

Mencipta atau mewujudkan sesuatu hasil daripada

kebijaksanaan atau kepintaran seseorang.

x. Menemui (Discovering).

Penghasilan sesuatu yang baru hasil daripada gabungan

sesetengah maklumat atau sesuatu yang sedia ada. Lanjutan

maklumat daripada maklumat atau hasil yang sedia ada.

2.7 Kajian berkaitan Pembelajaran Matematik Interaktif

Dalam era teknologi yang begitu pesat berkembang dengan setiap hari ada

sahaja teknologi baru yang diinovasi dan dihasilkan, banyak memberi kesan kepada

corak kehidupan masyarat. Impak daripada kederasan perkembangan teknologi ini

tanpa mengira masa telah menyedarkan kelompok pendidik bahawa betapa

pentingnya melengkapkan diri pelajar dengan penguasaan pengetahuan dan

kemahiran yang seiring dengan teknologi. Di dalam konteks matematik, pengajaran

40

dalam kebanyakan topik perlulah diselaraskan dengan teknologi dan inovasi yang

baru dan terkini supaya pelajar mendapat memberikan kebaikan yang optimum

kepada kehidupan seharian mereka (Noraini, 2006)

Tiwari (2007) telah membuat kajian keberkesanan penggunaan perisian

interaktif Matematica terhadap dua kumpulan pelajar iaitu kumpulan kawalan dan

kumpulan eksperimen dalam mengukuhkan pengetahuan konsep dan kebolehan

menyelesaikan masalah bagi topik pembezaan. Kumpulan kawalan tidak

menggunakan perisian interaktif Matematika dan kumpulan eksperimen pula

menggunakan perisian interaktif Matematica. Hasil kajian mendapati kumpulan

eksperimen menunjukkan markah yang lebih tinggi berbanding pelajar dari

kumpulan kawalan. Hasil kajian Tiwari menunjukkan bahawa penggunaan komputer

khususnya perisian interaktif berfungsi dengan begitu efektif dalam menvisualkan

hubungan antara fungsi dan fungsi pembezaannya, dan pembolehubah. Penyelesaian

abstrak terhadap kebanyakkan aplikasi masalah memberi makna kepada pelajar.

Kurz, et. al., (2005) berpendapat bahawa komputer berperanan sebagai tutor,

peralatan dan totee. Pelajar dibantu oleh komputer untuk menjalankan aktiviti di

dalam kelas, pelajar menggunakan komputer sebagai alat pembelajaran, dan pelajar

bertindak sebagai tutor kepada komputer menerusi bahasa atau arahan. Penggunaan

teknologi dalam proses pembelajaran menyokong proses kognitif dengan

mengurangkan beban ingatan pelajar dan menggalakkan kesedaran terhadap proses

penyelesaian masalah. Penggunaan teknologi juga dapat membantu pelajar

menjimatkan masa pelajar dalam proses pengiraan. Ini kerana pelajar tidak perlu

melakukan pengiraan dengan menggunakan kaedah tradisional. Teknologi

menggalakkan pelajar memperkembangkan kebolehan pelajar dalam

mengaplikasikannya dengan lebih meluas dan bukan tertumpu di dalam kelas sahaja.

Sesetengah perisian interaktif juga menggalakkan proses taakulan logik dan

pengujian hipotesis dengan menggalakkan pelajar menguji andaian dengan mudah.

Teknologi menggalakkan pelajar menemui hubungan matematik menerusi

eksperimen yang dilakukan. Perisian interaktif spreedsheet menggalakkan pelajar

memanipulasikan maklumat dengan cepat dan membentuk model andaian atau

pengujian visual, seterusnya mendapatkan pola atau generalisasi sesuatu maklumat

41

Drier 2001). Pelajar boleh menyiasat masalah matematik dan membuat penemuan

konsep matematik daripada eksperimen maklumat yang diperolehi dan mendapatkan

hasil yang sah.

Kajian yang dilakukan Kulik (1994) terhadap pelajar sekolah menengah

mengenai penggunaan komputer di dalam pengajaran memberikan keptusan yang

memuaskan terhadap sikap, minat dan pencapaian pelajar. Pencapaian pelajar yang

menggunakan teknologi di dalam kelas meningkat berbanding pelajar yang tidak

menggunakan teknologi. Kajian Kulik juga menunjukkan pelajar memerima

pengetahuan lebih banyak dalam masa yang singkat apabila mengintegrasikan

teknologi di dalam kelas.

BAB 3

METODOLOGI

3.1 Pengenalan

Pengajaran adalah suatu set peristiwa yang memberi kesan kepada pelajar-

pelajar dengan cara bagaimana pengajaran dilaksanakan. Salah satu daripada

kepentingan dalam merekabentuk sistem pengajaran adalah membezakan kandungan

dan strategi. Kandungan bermaksud maklumat yang telah dikenalpasti dan

didokumentasikan, kandungan pengajaran diskrit. Strategi adalah rentetan khusus set

komponen dalam konteks pilihan media untuk tutorial pengajaran.

Pengajaran merupakan suatu usaha yang bertujuan untuk membantu individu

belajar. Walaupun pembelajaran boleh berlaku tanpa sebarangan pengajaran, tetapi

kesan pengajaran itu swndiri dalam pembelajaran kebiasaannya memberi banyak

kelebihan dan mudah untuk diperhatikan. Apabila pengajaran dibentuk untuk tujuan

memenuhi sesuatu objektif pembelajaran, ia boleh jadi samada objektif pembelajaran

itu berjaya atau sebaliknya.

3.2 Rekabentuk Sistem Pengajaran Model ADDIE

Model ADDIE adalah model yang generik. Ianya merupakan suatu

pendekatan sistematik dalam proses merekabentuk pengajaran. Model ini membantu

43

untuk memastikan hasil pengajaran adalah efektif dan proses-proses yang kreatif

menjadi lebih efisyen sebagaimana yang diharapkan oleh objektif pengajaran. Model

ADDIE ini juga dikenali sebagai rekabentuk pengajaran yang sistematik. Rekabentuk

pengajaran memberi fokus kepada pengajaran dan pembelajaran yang lebih

berpusatkan pelajar. Dengan itu pembelajaran efektif dapat menggantikan suasana

pembelajaran tradisional seperti pengajaran dan pembelajaran yang berpusatkan

guru. Setiap komponen dan kandungan dalam pengajaran berpandukan kepada hasil

atau objektif pembelajaran. Hasil pembelajaran ini dikenalpasti menerusi analisi

terhadap keperluan pelajar-pelajar.

Model ADDIE ini mengandungi lima fasa iaitu analisis (analysis),

rekabentuk (design), pembangunan (development), perlaksanaan (implement) dan

akhir sekali penilaian (evaluation). Umumnya analisis bermaksud proses

mengenalpasti apa yang perlu dipelajari oleh pelajar. Rekabentuk mewakili proses

yang khusus bagaimana pelajar mempelajari sesuatu pengajaran yang disampaikan

oleh guru. Pembangunan bermaksud proses mengarang dan menghasilkan sesuatu

bahan pengajaran. Proses yang melibatkan perlaksanaan projek dalam konteks yang

sebenar berlaku dalam fasa perlaksanaan. Fasa terakhir, penilaian adalah proses

mengenalpasti kelengkapan dan kesempurnaan pengajaran.

Fasa-fasa ini ada kalanya bertindih dan boleh saling berkait antara satu sama

lain. Model ini dinamik, garis panduan yang fleksibel membolehkan pembangunan

pengajaran menjadi lebih efektif dan efisyen. Selain itu, proses dalam merekabentuk

model ini berulang-ulang iaitu hasil penilaian formatif pada setiap fasa mungkin

mendorong pereka melihat kembali mana-mana fasa yang sebelumnya untuk

membuat pembaikkan (McGriff, 2000). Hasil terakhir dalam sesuatu fasa adalah

hasil awalan bagi fasa seterusnya. Rajah 3.1 menunjukkan rekabentuk pengajaran

menggunakan model ADDIE.

44

Analisis

Rekabentuk

Pembangunan

Perlaksanaan

Penilaian Formatif

Rajah 3.1 : Rekabentuk Pengajaran ADDIE

3.2.1 Fasa Pertama: Analisis

Fasa analisis merupakan asas kepada fasa-fasa yang lain dalam rekabentuk

pengajaran. Dalam Fasa ini masalah dikenalpasti, kemudian penyelesaian yang

bersesuaian ditentukan masalah tersebut. Hasil dalam fasa ini biasanya mengandungi

matlamat pengajaran dan senarai kerja yang perlu diajar.

Dalam projek untuk menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif

KmPlot ini, bukanlah sesuatu yang biasa jika dibandingkan dengan pembangunan

tutorial pembelajaran yang lain seperti tutorial pengajaran goemetri. Ini kerana

terdapat banyak perisian yang digunakan di dalam kelas yang melibatkan

45

pembelajaran geometri seperti geometer’s sketchpad, kalkulator bergrafik dan

perisian interaktif lain. Ditambah pula, perisian ini tidak mempunyai tutorial yang

lengkap untuk membolehkan pengguna menggunakan perisian ini dengan mudah.

Oleh itu, beberapa perkara akan dianalisis dalam peringkat ini. Antaranya seperti

memastikan samada perisian yang dicadangkan bersesuaian dengan kandungan


Analisi pertama yang dibuat ialah dengan melihat kandungan sukatan

pelajaran KBSM matematik Tingkatan 1 hingga Tingkatan 5, dan sukatan pelajaran

KBSM matematik tambahan Tingkatan 4 dan Tingkatan 5. Kandungan sukatan

pelajaran KBSM matematik terbahagi kepada 3 bahagian iaitu nombor, bentuk dan

ruang, dan perkaitan. Manakala kandungan sukatan pelajaran KBSM matematik

tambahan pula terbahagi kepada lima komponen. Iaitu geometri, algebra, kalkulus,

trigonometri dan statistik. Daripada bahagian-bahagian tersebut, topik yang berkaitan

dengan pemplotan atau pun yang bersesuaian dengan perisian akan dipilih.

Kemudian, kesemua buku teks KBSM matematik dan matematik tambahan

dianalisis. Analisis kandungan buku teks ini tidak tertumpu kepada subjek yang

berkaitan graf sahaja. Sebaliknya ia memberi tumpuan kepada topik pembelajaran

yang bersesuaian dengan perisian KmPlot. Secara umumnya, tutorial ini dibina untuk

pelajar peringkat menengah atas iaitu pelajar dalam Tingkatan 4 dan Tingkatan 5. Ia

bertujuan untuk memperluaskan penggunaan perisian KmPlot di dalam kelas.

3.2.2 Fasa Kedua: Rekabentuk

Dalam merekabentuk pengajaran terdapat beberapa perkara yang perlu

dipertimbangkan. Antaranya ialah mengetahui apakah objektif pembelajaran yang

perlu dikuasai oleh pelajar di akhir proses pembelajaran. Kedua, kenalpasti dan

menilai penguasaan pelajar dari segi kemahiran, pengetahuan dan sikap yang ingin

dibentuk dalam proses pembelajaran di kalangan pelajar termasuklah penyelesaian

masalah. Ketiga, apakah strategi pengajaran yang digunakan termasuklah teori

pembelajaran yang digunakan.

46

Perkara-perkara yang perlu dipertimbangkan semasa pemilihan aktiviti

pembelajaran adalah:

i. Aktiviti itu hendaklah sesuai dengan objektif pelajaran, iaitu berkaitan

dengan isi pelajaran.

ii. Aktiviti itu dapat menambahkan keberkesanan pengajaran guru.

iii. Aktiviti itu hendaklah dapat memudahkan pemahaman pelajar

terhadap konsep-konsep yang disampaikan.

iv. Aktiviti yang digunakan memudahkan guru menyampaikan konsep

serta dapat menjadikan pembelajaran lebih bermakna serta

menyeronokkan.

Tutorial yang akan dibangunkan dalam projek ini terdiri daripada beberapa

bahagian mengikut sub topik yang telah ditetapkan. Topik yang telah dipilih ialah

graf fungsi (meliputi linear, kuadratik, kubik dan salingan), persamaan serentak,

pembezaan, graf fungsi parametrik dan graf fungsi polar. Topik yang dipilih tidak

terikat pada mana-mana Tingkatan yang tertentu. Sebaliknya tutorial yang

dibangunkan ini memaksimakan seberapa banyak topik dalam matematik dan

matematik tambahan yang bersesuaian dengan pengintegrasian perisian KmPlot. Ini

bertujuan untuk menjadikan perisian sumber terbuka khususnya KmPlot sebagai

salah satu bahan bantu mengajar di dalam kelas matematik.

Objektif pembelajaran adalah suatu pernyataan mengenai pengetahuan,

kefahaman, kemahiran dan kebolehan pelajar dalam menerangkan dan menunjukkan

kembali apa yang telah mereka pelajari di akhir pembelajaran. Objektif pembelajaran

adalah alat pengukuran khusus untuk mengukur pencapaian pelajar (Stephen, 2004).

Oleh itu, tutorial pembelajaran menggunakan perisian KmPlot ini mempunyai hasil

pembelajaran yang bersesuaian dengan aktiviti-aktiviti yang disediakan. Objektif

pembelajaran pada setiap aktiviti memberi tumpuan kepada kesesuaian tahap

keupayaan dan penguasaan kognitif pelajar.

Untuk memastikan tutorial yang dibangunkan ini memberi hasil yang

memuaskan di akhir pembelajaran, teori pembelajaran yang bersesuaian ditentukan.

Untuk menjadikan suasana pembelajaran yang aktif, berpusatkan pelajar dan guru

47

bertindak sebagai pemudah cara atau fasilitator, maka teori pembelajaran penemuan

dipilih. Pembelajaran penemuan menggalakkan pelajar belajar secara aktif dan

efektif. Pelajar dibimbing oleh guru untuk mendapat maklumat daripada sesuatu

situasi yang diberikan. Daripada maklumat tersebut pelajar dapat membentuk konsep

dan generalisasi. Dengan penguasaan konsep dan kemahiran asas, pelajar seterusnya

akan didedahkan dengan aktiviti penyelesaian masalah. Ia bertujuan supaya pelajar

dapat mengaplikasikan kemahiran dan konsep yang telah mereka kuasai kepada

situasi yang memerlukan mereka menyelesaikan masalah. Untuk memastikan tutorial

yang dibangunkan bersesuaian dengan teori pembelajaran yang dipilih, maka ciri-ciri

pembelajaran penemuan dijadikan sebagai panduan untuk merekabentuk tutorial.

Antara ciri-ciri yang terkandung di dalam pembelajaran penemuan ialah mengecam,

menganalisis, mensintesis, membanding dan membeza, membentuk kesimpulan,

membentuk hipotesis, mengingat, inkuiri, mencipta dan menemui.

3.2.3 Fasa Ketiga: Pembangunan

Fasa pembangunan adalah fasa ketiga hasil daripada fasa analisis dan fasa

rekabentuk. Ia melibatkan proses menterjemahkan rancangan dalam fasa rekabentuk

kepada pengajaran (Morrison, et. al., 2001). Tujuan fasa ini ialah untuk menjana

pelan pengajaran dengan menggunakan bahan yang tertentu. Oleh itu, hasil

perbincangan dari dua fasa sebelum ini, lapan tutorial dibina dengan mempunyai

beberapa aktiviti, penyelesaian masalah dan latihan. Topik yang dipilih ialah graf

linear, graf kuadratik, graf kubik, graf salingan, persamaan serentak, pembezaan, graf

fungsi parametrik dan graf fungsi polar.

Tutorial yang dibangunkan ini berteraskan interaktif antara pelajar dengan

teknologi. Oleh itu setiap aktiviti yang disedia di dalam tutorial, dilengkapi dengan

langkah-langkah bagaimana mengaplikasikan perisian Kmplot didalam proses

pengajaran dan pembelajaran. Untuk memastikan langkah-langkah di dalam aktiviti

ini tepat, pengujian dan perlaksanaan terhadap penggunaan perisian KmPlot

dilakukan terlebih dahulu dan juga memastikan perisian KmPlot ini dapat digunakan

48

dengan semaksimum yang mungkin dan dapat memberi manfaat sebagai bahan bantu

mengajar.

Dengan adanya langkah-langkah yang telah disediakan di dalam tutorial ini,

guru bertindak sebagai fasilitator dan pembelajaran berpusatkan pelajar akan berlaku.

Pelajar diberi peluang untuk menyiasat, mengkaji dan menemui sesuatu konsep atau

prinsip dan kemudian di akhir aktiviti, pelajar akan mengaplikasikan pengetahuan

dan kemahiran yang mereka perolehi dengan menjawab soalan berbentuk

penyelesaian masalah. Bagi setiap aktiviti di dalam tutorial ini disediakan latihan

untuk memperkayakan penguasaan pengetahuan, kemahiran dan kebolehan pelajar.

Beberapa peringkat pembaikkan tutorial dibuat dari masa ke semasa untuk

memastikan tutorial yang dibina dapat digunakan oleh pelajar dan guru sebaiknya.

Antara pembaikkan yang buat ialah menyesuaikan objektif pembelajaran tutorial

dengan kandungan yang perlu dipelajari oleh pelajar, menyesuaikan dan

memperbanyakkan penggunaan perisian KmPlot dengan topik yang bersesuaian dan

menyusun langkah-langkah aktiviti supaya pelajar mudah faham dan menjadikan

suasana pembelajaran lebih bermakna dan menyeronokkan dan berstruktur.

3.2.4 Fasa Keempat: Perlaksanaan

Tutorial yang dibangunkankan ini akan dilaksanakan di dalam makmal

komputer yang dilengkapi dengan sistem pengoperasian Linux atau dengan

menggunakan live CD Linux. Para pelajar akan dibimbing oleh guru semasa proses


49

3.2.5 Fasa Kelima: Penilaian

Fasa ini mengukur keberkesanan pengajaran, Penilaian berlaku pada

sepanjang fasa samada di antara fasa, di dalam sesuatu fasa dan selepas

perlaksanaan. Umumnya, dalam fasa kelima model ADDIE ini mengandung dua

jenis penilaian. Iaitu penilaian formatif dan penilaian sumatif. Di dalam projek yang

dibangunkan ini, penilaian formatif dipilih untuk melihat keberkesanan tutorial

pembelajaran yang dibangunkan. Penilaian terhadap tutorial yang dibangunkan ini

dibuat oleh penyelelia projek. Di samping itu, perbincangan antara pembangun

projek dan penyelia juga dilakukan bertujuan untuk memastikan tutorial yang

dibangunkan dapat memberikan manfaat kepada pelajar dan guru. Jika terdapat

kelemahan pada tutorial pembelajaran ini maka proses penambahbaikan akan

dilakukan dengan membuat refleksi terhadap fasa-fasa yang terlibat pada

sebelumnya.

3.3 Penutup

Secara umumnya, untuk menghasilkan tutorial pembelajaran ini agak mudah,

tetapi memandangkan tutorial yang dibangunkan tidak tertumpu kepada mana-mana

Tingkatan yang khusus, maka setiap topik di dalam sukatan pelajaran Matematik

KBSM diteliti dan dianalisis untuk mengenalpasti perisian KmPlot sesuai

diaplikasikan dengan topik-topik Matematik KBSM. Oleh itu, bagi memastikan

tutorial yang dibangunkan memberi manfaat kepada pelajar dan guru, pemerhatian

dan perlaksanaan yang teliti dan berperingkat perlu dilakukan pada setiap fasa dalam

membangunkan tutorial ini. Penilaian pada setiap fasa juga dilakukan untuk

memastikan tiada masalah yang akan timbul apabila beralih kepada fasa yang

seterusnya.

BAB 4

HASIL PROJEK

4.1 Pengenalan

Bab ini membincangkan mengenai hasil projek pembinaan tutorial perisian

bergrafik interaktif KmPlot. Perbincangan ini meliputi topik yang telah dipilih

melalui peringkat analisis, rekabentuk dan pembangunan. Tutorial dibangunkan

dengan berdasarkan objektif pembelajaran dan juga operasi kognitif berdasarkan

teori pembelajaran penemuan.

4.2 Hasil Projek

Untuk menghasilkan dan membangunkan tutorial perisian bergrafik interaktif

KmPlot ini, operasi kognitif dan objektif pembelajaran adalah penting. Ia bertujuan

untuk memastikan matlamat pembelajaran dapat dicapai dengan baik dan berkesan.

Di dalam projek ini, aktiviti dilaksanakan di dalam makmal komputer supaya pelajar

benar-benar dapat merasai suasana pembelajaran menggunakan berkomputer. Selain

itu, dengan adanya tutorial ini, pelajar dapat berinteraksi dengan komputer dengan

menggunakan perisian interaktif KmPlot. Aktiviti ini menekankan pembelajaran

aktif, berpusatkan pelajar dan guru bertindak sebagai fasilitator dalam pengajaran

dan pembelajaran ini untuk memastikan pembelajaran berjalan dengan baik dan

hasilnya memberi makna kepada pelajar. Topik-topik yang dipilih meliputi topik graf

fungsi, persamaan serentak, dan pembezaan.

51

Tutorial yang dibangunkan ini sesuai untuk pelajar menengah rendah. Kerana

untuk menggunakan tutorial ini di dalam kelas matematik, pelajar seharusnya

mempunyai pengetahuan dan kemahiran asas mengenai topik-topik yang disediakan.

Sebagai contoh untuk melaksanakan tutorial graf fungsi linear, pelajar perlu

mengetahui bentuk asas persamaan linear, pelajar mengetahui konsep anu dan

pemboleh ubah di dalam persamaan. Dengan itu dapat membantu pelajar memahami

konsep graf fungsi linear tersebut. Walau bagaimana pun, tutorial yang dibangunkan

ini masih lagi boleh digunakan oleh pelajar-pelajar sekolah menengah atas kerana

perisian Kmplot ini sesuai bagi pelajar berumur 13 hingga 18 tahun dan fungsi atau

ciri yang terdapat di dalam perisian KmPlot ini secara keseluruhannya sesuai

digunakan untuk topik yang dipilih oleh pembangun projek.

4.2.1 Tutorial 1: Graf Fungsi Linear

Tutorial pertama ialah graf fungsi linear. Topik graf fungsi linear terkandung

di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingakatan tiga dan Tingkatan lima.

Di dalam tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi linear.

Aktiviti tersebut ialah:

i. Understand the graphs of linear

ii. Investigate the characteristics of graphs of linear

iii. Position of a point relative to the graph of y = ax +b

iv. Problem solving involving the graphs of linear

Aktiviti ini bertujuan untuk membantu pelajar memahami konsep graf fungsi

linear. Setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran dan

operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat membantu

pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi linear ini.

Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan disediakan pada

setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf linear ini pelajar dapat mengenalpasti konsep

graf linear seperti bentuk graf, perkaitan perubahan pemalar dengan graf, ciri graf

52

linear dan menyelesaikan masalah yang melibatkan graf linear dengan baik. Sebagai

panduan, Lampiran C merupakan tutorial pembelajaran graf fungsi linear.

4.2.1.1 Aktiviti 1.1: Memahami Graf Fungsi Linear

Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi linear. Objektif pembelajaran

aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi linear menggunakan

perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar yang memberi kesan

terhadap graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan kecondongan graf linear,

mengenalpasti perkaitan nilai b dengan paksi-y dan mengenalpasti pola graf apabila

nilai x berubah-ubah. Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah Recognising,

Analysing dan Drawing conclusion.

Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf linear menggunakan perisian

KmPlot dengan berpandukan langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial ini.

Langkah-langkah memplot graf adalah asas untuk pelajar mengeksplorasi graf yang

diplot. Oleh itu pelajar perlu mengetahui bagaimana memplot graf menggunakan

perisian KmPlot dan menginterpretasikan graf tersebut.

Daripada graf yang telah diplot, pelajar dikehendaki mengkaji, menentukan

dan menghuraikan graf tersebut. Pelajar juga dikehendaki mengenalpasti pola graf

apabila nilai pemalar a atau b berubah samada positif atau negatif dan kemudian

dikehendaki membuat kesimpulan terhadap pemerhatian yang mereka lakukan. Iaitu

apakah bentuk atau arah graf linear apabila nilai pemalar adalah positif atau pun

negatif. Pelajar dikehendaki merekod dan membincangkan hasil pemerhatian yang

mereka lakukan seperti di dalam Jadual 4.1.

53

Jadual 4.1: Perbincangan mengenai perubahan nilai pemalar pada graf linear

Function Discussions and Conclusions

i. 0)0(2 +−= xy

0)4(2 +−= xy

0)5(2 ++= xy

ii. 4)0(2 −−= xy

4)0(21

−−= xy

4)0(4 −−= xy

iii. 0)0(2 +−= xy

4)0(2 −−= xy

5)0(2 +−= xy

iv. 5)0(2 +−= xy

5)4(2 +−−= xy

5)5(0 +−= xy

v. 63 += xy

73 += xy

53 −= xy

Selain itu pelajar dikehendaki membuat pemerhatian dan analisis terhadap

perkaitan nilai a dengan arah graf linear dan juga perkaitan nilai b dengan

persilangan paksi-y. Hasil kesimpulan mengenai perkaitan nilai a dengan arah graf

dan perkaitan nilai b dengan persilangan paksi-y pada graf linear perlu di rekodkan

seperti di dalam Jadual 4.2.

Untuk melihat pola perubahan graf apabila nilai x berubah, pelajar

dikehendaki mengkaji dan menganalisis graf linear yang telah mereka plot pada

perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan

mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan linear. Kemudian

pelajar dikehendaki merekodkan kesimpulan mereka seperti di dalam Jadual 4.3.

54

Jadual 4.2: Perbincangan mengenai perkaitan nilai pemalar dengan graf linear

Function Relationships between

value of a and the slope

Relationships between

value of b with the

y-intercept

i. 2+−= xy

ii. 04 =− xy

iii. 223 =− yx

iv. 25 −= xy

v. xy231 −=+

vi. 72 −=− xy

Jadual 4.3: Perbincangan mengenai perubahan pola graf linear dengan

perubahan nilai x

Function x value y value Conclusions

-1

0

0.5

1

2+−= xy

1.5

-1

0

0.5

1

223 =− yx

1.5

-1

0

0.5

1

73 += xy

1.5

55

4.2.1.2 Aktiviti 1.2: Menyiasat Ciri-ciri Graf Fungsi Linear

Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi linear. Objektif

pembelajaran di dalam aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengkelas dan

membandingkan jenis dan bentuk graf linear, menunjukkan kecerunan graf linear

samada positif, negatif, sifar atau tidak tertakrif, dan mendapatkan nilai punca

daripada graf yang diplot. Operasi kognitif yang ditekankan di dalam aktiviti ini ialah

Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam

tutorial ini juga mengandungi langkah-langkah untuk memplot graf dan mengkaji

graf yang diplot berdasarkan kepada objektif pembelajaran.

Di dalam aktiviti ini, pelajar dikehendaki memplot graf linear yang diberikan,

kemudian membuat pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada nilai a

tersebut pelajar perlu mengkelaskan fungsi linear mengikut kumpulan dan

seperti di dalam Jadual 4.4. Hasil pengkelasan fungsi tersebut pelajar dapat

menentukan kecerunan graf.

0>a

0<a

Jadual 4.4: Perbincangan mengenai bentuk graf linear berpandukan nilai a

Shape of graph Type of graph

a > 0 a < 0

Straight Line

Kemudian pelajar dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut

langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang

disediakan seperti Jadual 4.5.

56

Jadual 4.5: Perbincangan mengenai kecerunan dan punca graf linear

Group A : a>0 Gradient Roots Group B : a<0 Gradient Roots

34 −= xy

34 −−= xy

221

−= xy

221

−−= xy

4.2.1.3 Aktiviti 1.3: Kedudukan Titik Relatif terhadap Graf Linear

Aktiviti ketiga ini menetapkan objektif pembelajaran mengkaji kedudukan

titik relatif terhadap graf linear. Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah

Recognising dan Analysing. Aktiviti ini juga menyediakan langkah-langkah untuk

menentukan kedudukan titik pada graf fungsi yang diberikan. Di dalam aktiviti ini

pelajar dikehendaki membuat andaian kedudukan koordinat terhadap graf linear dan

kemudian pelajar dikehendaki memplot fungsi tersebut pada perisian KmPlot.

Daripada pemerhatian terhadap graf yang diplot, pelajar perlu menentukan

kedudukan koordinat tersebut samada berada pada graf, di atas graf atau pun di

bawah graf.

Hasil daripada graf yang diplot pada KmPlot pelajar dikehendaki membuat

semakan terhadap andaian yang telah mereka lakukan dan mengisi jadual yang


57

Jadual 4.6: Perbincangan mengenai kedudukan koordinat terhadap graf linear

Line Point y 6x+6 y<6x+6 y=6x+6 y>6x+6

Below On Above

(2,3) 3 11 √ √

(2,0)

(-1,0)

(0,6)

(-2,-1)

Aktiviti 1.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Linear

Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf linear menggunakan

perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi linear, pelajar akan didedahkan

dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah

memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah melibatkan graf fungsi linear

dengan menggunakan perisian KmPlot di samping menggunakan pentahuan dan

kemahiran lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah

Memorising, Recognising, Analysing, Drawing conclusion dan Discovering. Di

dalam aktiviti ini pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan pengalaman yang lepas

terhadap konsep graf linear dan kemahiran penggunaan perisian KmPlot untuk

menyelesaikan masalah.

Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki memahami kehendak masalah dan

menukar masalah berayat tersebut kepada bentuk matematik sebelum mereka

menyelesaikannya. Pelajar juga diberikan masalah lanjutan yang perlu mereka

mengkaji dan mendapatkan maklumat baru daripada maklumat yang sedia ada.

58

4.2.2 Tutorial 2: Graf Fungsi Kuadratik

Tutorial kedua ialah graf fungsi kuadratik. Topik graf fungsi kuadratik

terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingkatan tiga, empat dan

lima. Di dalam tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi

kuadratik. Aktiviti tersebut ialah:

i. Understand the graphs of quadratic

ii. Investigate the characteristics of graphs of quadratic

iii. Compare the graphs of quadratic with different values of a

iv. Problem solving involving the graphs of quadratic


kuadratik. Pada setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran

dan operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat

membantu pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi

kuadratik ini. Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan di

sediakan pada setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf kuadratik ini pelajar dapat

mengenalpasti konsep graf kuadratik seperti bentuk graf, perkaitan pemalar dengan

graf, ciri graf kuadratik, nilai minimum atau maksimum, garisan simetri graf, dan

dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan graf kuadratik dengan baik. Sebagai

panduan, Lampiran D merupakan tutorial pembelajaran graf fungsi kuadratik.

4.2.2.1 Aktiviti 2.1: Memahami Graf Fungsi Kuadratik

Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi kuadratik. Objektif

pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi kuadratik

menggunakan perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar memberi

kesan terhadap graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan bentuk graf,

mengenalpasti perkaitan nilai c dengan paksi-y dan mengenalpasti pola graf apabila

59

nilai x berubah-ubah. Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah Recognising,

Analysing dan Drawing conclusion.

Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf kuadratik menggunakan perisian




perisian KmPlot.

Daripada graf yang telah diplot menggunakan KmPlot, pelajar dikehendaki

mengkaji, menentukan dan menghuraikan graf tersebut. Pelajar dikehendaki

mengenalpasti pola graf apabila nilai pemalar a, b atau c berubah samada positif atau

negatif. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan terhadap pemerhatian yang

mereka lakukan pada graf yang diplot, iaitu:

• Mengesan pola graf apabila nilai a berubah dan apabila nilai . 0=a

• Mengesan pola graf apabila nilai b berubah dan apabila nilai . 0=b

• Mengesan pola graf apabila nilai c berubah dan apabila nilai . 0=c


nilai a dengan bentuk graf kuadratik dan juga nilai c dengan persilangan paksi-y.

Hasil pemerhatian tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan mengenai

perkaitan nilai a dengan benruk graf dan perkaitan nilai c dengan persilangan paksi-y

pada graf kuadratik.

Seterusnya, pelajar dikehendaki mengkaji dan menganalisis pengaruh

perubahan nilai x terhadap perubahan bentuk graf kuadratik yang telah mereka plot

pada perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat

kesimpulan mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan

kuadratik. Kemudian pelajar dikehendaki memberikan kesimpulan seperti di dalam

Jadual 4.7.

60

Jadual 4.7: Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kuadratik


Function x value y value Conclusion

-3

-2

-1

0

1

2

22 =−− xxy

3

4.2.2.2 Aktiviti 2.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi Kuadratik

Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi kuadratik. Objektif


membandingkan jenis dan bentuk graf kuadratikdan mendapatkan nilai punca





Di dalam aktiviti ini, pelajar dikehendaki memplot graf kuadratik yang

diberikan, kemudian membuat pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada

nilai a tersebut pelajar perlu mengkelaskan fungsi kuadratik mengikut kumpulan

dan 0>a 0<a seperti di dalam Jadual 4.8.

61

Jadual 4.8: Perbincangan mengenai bentuk graf kuadratik berpandukan nilai a


a > 0 a < 0

Parabola

Kemudian berpandukan kepada beberapa persamaan fungsi kuadratik yang

diberikan, pelajar dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut langkah-

langkah yang disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang


Jadual 4.9: Perbincangan mengenai nilai punca graf kuadratik

Group A : a<0 Root Group B : a<0 Root

562 2 −+= xxy 562 2 −+−= xxy

22

2

−=xy

2

2

2

−−=xy

4.2.2.3 Aktiviti 2.3: Membanding Graf Kuadratik dengan Nilai a dan c yang

Berbeza

Aktiviti ketiga pula ialah membandingkan graf kuadratik

dengan nilai a dan c yang berbeza. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar

berkebolehan membandingkan bentuk graf kuadratik dengan nilai a yang berbeza

dan mengkaji garis simetri serta titik minimum atau maksimum dengan nilai a dan c

yang berbeza.

)( 2 cbxaxy ++=

62

Di dalam aktiviti ini pelajar diberikan beberapa fungsi kuadratik dan

dikehendaki membuat andaian terhadap bentuk graf kuadratik tersebut. Kemudian

dengan memplot graf pada KmPlot, pelajar perlu membuat perbandingan,

pengkelasan dan menghasilkan kesimpulan terhadap graf tersebut.

Seterusnya, daripada graf yang telah dikelaskan mengikut nilai dan

, pelajar dikehendaki mengkaji graf tersebut samada mempunyai nilai

minimum atau maksimum. Kemudian mendapatkan nilai tersebut dengan mengikut

langkah-langkah yang telah disediakan di dalam aktiviti ini. Daripada pemerhatian

dan analisis yang dibuat terhadap graf yang diplot, pelajar dikehendaki

mengenalpasti garis simetri. Pelajar dikehendaki merekod hasil yang mereka

perolehi di dalam jadual seperti Jadual 4.10. Di akhir aktiviti pelajar dikehendaki

membuat kesimpulan mengenai pengaruh perubahan nilai pemalar terhadap

perubahan graf kuadratik.

0>a

0<a

Jadual 4.10: Perbincangan mengenai nilai minimum atau maksimum

dan garis simetri graf kuadratik

Function Minimum/maximum

point

Symmetrical

line

yxx =−+ 322

412 =− xy Group 1 :

a > 0

42 =− yx

244 xxy −=

2

21 xxy +− Group 1 :

a > 0

02 =+− yxx

63

4.2.2.4 Aktiviti 2.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Fungsi Kuadratik

Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf kuadratik

menggunakan perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi kuadratik,

pelajar akan didedahkan dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif

pembelajaran aktiviti ini ialah memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah

melibatkan graf kuadratik dengan menggunakan perisian KmPlot di samping

menggunakan pentahuan dan kemahiran lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di

dalam aktiviti ini ialah Memorising, Recognising, Analysing, Drawing conclusion

dan Discovering. Di dalam aktiviti ini pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan

pengalaman yang lepas terhadap konsep graf kuadratik dan kemahiran penggunaan

perisian KmPlot untuk menyelesaikan masalah.





Antaranya seperti pelajar dikehendaki membuat perbandingan persamaan kuadratik

yang sedia ada dengan persamaan yang baru sekiranya terdapat pertambahan atau

pengurangan nilai pemalar.

4.2.3 Tutorial 3: Graf Fungsi Kubik

Tutorial ketiga ialah graf fungsi kubik. Topik graf fungsi kubik terkandung di

dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingkatan tiga dan lima. Di dalam

tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi kubik. Aktiviti

tersebut ialah:

i. Understand the graphs of cubic

ii. Investigate the characteristics of graphs of cubic

iii. Compare the graphs of cubic with different values of b

64

iv. Problem solving involving the graphs of cubic


kubik. Pada setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran dan

operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat membantu

pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi kubik ini.

Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan disediakan pada

setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf kubik ini pelajar dapat mengenalpasti konsep

graf kubik seperti bentuk graf, perkaitan pemalar dengan graf, ciri graf kubik dan

dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan graf kubik dengan baik. Sebagai

panduan, Lampiran E merupakan tutorial pembelajaran graf fungsi kubik.

4.2.3.1 Aktiviti 3.1: Memahami Graf Fungsi Kubik

Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi kubik. Objektif pembelajaran

aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi kuadratik menggunakan

perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar memberi kesan terhadap

graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan bentuk graf, mengenalpasti perkaitan

nilai d dengan paksi-y dan mengenalpasti pola graf apabila nilai x berubah-ubah.

Operasi kognitif di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing dan Drawing

conclusion.

Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf kubik menggunakan perisian




perisian KmPlot.



mengenalpasti pola graf apabila nilai pemalar a, b atau c berubah samada positif atau

65

negatif. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan terhadap pemerhatian yang

mereka lakukan pada graf yang diplot, iaitu:

• Mengesan pola graf apabila nilai a berubah dan apabila nilai . 0=a

• Mengesan pola graf apabila nilai d berubah dan apabila nilai . 0=d


nilai a dengan bentuk graf kubik dan juga nilai d dengan persilangan paksi-y. Hasil

pemerhatian tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan mengenai perkaitan

nilai a dengan bentuk graf dan perkaitan nilai d dengan persilangan paksi-y pada graf

kubik.


perubahan nilai x terhadap perubahan bentuk graf kubik yang telah mereka plot pada

perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat kesimpulan

mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan kubik. Kemudian

pelajar dikehendaki memberikan kesimpulan seperti di dalam Jadual 4.11.

Jadual 4.11: Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf kubik



-3

-2

-1

0

1

2

1033 =+− xxy

3

66

4.2.3.2 Aktiviti 3.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi Kubik

Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi kubik. Objektif


membandingkan jenis dan bentuk graf kubik dan mendapatkan nilai punca daripada

graf yang diplot. Operasi kognitif yang ditekankan di dalam aktiviti ini ialah



graf yang diplot berdasarkan kepada objektif pembelajaran. Di dalam aktiviti ini,

pelajar dikehendaki memplot graf kubik yang diberikan, kemudian membuat

pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada nilai a tersebut pelajar perlu

mengkelaskan fungsi kubik mengikut kumpulan dan seperti di dalam

Jadual 4.12.

0>a 0<a

Jadual 4.12: Perbincangan mengenai bentuk graf kubik berpandukan nilai a


a > 0 a < 0

Graf kubik

Kemudian berpandukan kepada beberapa fungsi kubik yang diberikan, pelajar

dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut langkah-langkah yang

disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang disediakan seperti

Jadual 4.13.

67

Jadual 4.13: Perbincangan mengenai nilai punca graf kubik

Group A : a>0 Root Group B : a<0 Root

181 23 +−= xxy 1

81 23 +−−= xxy

541 3 −= xy 5

41 3 −−= xy

3

21 xy = 3

21 xy −=

4.2.3.3 Aktiviti 3.3: Membanding Graf Kubik dengan Nilai b yang Berbeza

Aktiviti ketiga pula ialah membandingkan graf kubik dengan

nilai b yang berbeza. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan

membandingkan bentuk graf kubik dengan nilai b yang berbeza dan mengenalpasti

perkaitan nilai b dengan paksi-y. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan

mengenai perkaitan nilai b dengan paksi-y bagi graf kubik.

)( 3 baxy +=

Di dalam aktiviti ini pelajar diberikan beberapa fungsi kubik. Pelajar

dikehendaki mengkelaskan fungsi kubik tersebut seperti di dalam Jadual 4.14.

Kemudian dengan memplot graf pada KmPlot, pelajar perlu membuat pemerhatian

dan kesimpulan terhadap:

• Keadaan paksi-y apabila nilai a positif dan nilai b bertambah atau

berkurang.

• Keadaan paksi-y apabila nilai a negatif dan nilai b bertambah atau

berkurang.

68

Jadual 4.14: Perbincangan mengenai bentuk graf kubik dengan

nilai a dan b yang berbeza

Function b = 0 b > 0 b <0

a > 0

a < 0

4.2.3.4 Aktiviti 3.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Kubik

Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf kubik menggunakan

perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi kubik, pelajar akan didedahkan

dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah

memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah melibatkan graf kubik dengan

menggunakan perisian KmPlot di samping menggunakan pentahuan dan kemahiran

lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah Memorising,

Recognising, Analysing, Drawing conclusion dan Discovering. Di dalam aktiviti ini

pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan pengalaman yang lepas terhadap konsep

graf kubik dan kemahiran penggunaan perisian KmPlot untuk menyelesaikan

masalah.





Antaranya seperti pelajar dikehendaki membuat perbandingan persamaan kubik yang

sedia ada dengan persamaan yang baru sekiranya terdapat pertambahan atau


69

4.2.4 Tutorial 4: Graf Fungsi Salingan

Tutorial keempat ialah graf fungsi salingan. Topik graf fungsi salingan

terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingkatan lima. Di dalam

tutorial ini mengandungi empat aktiviti yang melibatkan graf fungsi salingan.

Aktiviti tersebut ialah:

i. Understand the graphs of reciprocal

ii. Investigate the characteristics of graphs of reciprocal

iii. Compare the graphs of reciprocal with different values of b

iv. Problem solving involving the graphs of reciprocal


salingan. Pada setiap aktiviti dalam modul ini mengandungi objektif pembelajaran

dan operasi kognitif. Dengan adanya objektif pembelajaran yang jelas dapat

membantu pelajar memahami tujuan mereka mempelajari dan meneroka graf fungsi

salingan ini. Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan

disediakan pada setiap aktiviti. Di akhir tutorial graf salingan ini pelajar dapat

mengenalpasti konsep graf salingan seperti bentuk graf, perkaitan pemalar dengan

graf, ciri graf salingan dan dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan graf

salingan dengan baik. Sebagai panduan, Lampiran F merupakan tutorial

pembelajaran graf fungsi salingan.

4.2.4.1 Aktiviti 4.1: Memahami Graf Fungsi Salingan

Aktiviti pertama adalah memahami graf fungsi salingan. Objektif

pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi salingan

menggunakan perisian Kmplot, mengenalpasti perubahan nilai pemalar memberi

kesan terhadap graf, mengenalpasti perkaitan nilai a dengan sukuan graf, dan

mengenalpasti pola graf apabila nilai x berubah-ubah. Operasi kognitif di dalam

aktiviti ini ialah Recognising, Analysing dan Drawing conclusion.

70

Di awal aktiviti, pelajar akan memplot graf salingan menggunakan perisian




perisian KmPlot.



mengenalpasti sukuan graf apabila nilai pemalar a berubah samada positif atau

negatif. Pelajar juga dikehendaki membuat kesimpulan terhadap perubahan nilai a

tersebut.


perubahan nilai x terhadap perubahan bentuk graf salingan yang telah mereka plot

pada perisian KmPlot. Daripada aktiviti tersebut pelajar dikehendaki membuat

kesimpulan mengenai perkaitan perubahan nilai x terhadap nilai y persamaan

salingan. Kemudian pelajar dikehendaki memberikan kesimpulan seperti di dalam

Jadual 4.15.

Jadual 4.15: Perbincangan mengenai perubahan bentuk graf salingan



-5

-3

-1

0

1

3

8=xy

5

71

4.2.4.2 Aktiviti 4.2: Mengkaji Ciri-ciri Graf Fungsi Salingan

Aktiviti kedua pula ialah mengkaji ciri-ciri graf fungsi salingan. Objektif


membandingkan jenis dan bentuk graf salingan dan mendapatkan nilai punca





Jadual 4.16: Perbincangan mengenai bentuk graf salingan berpandukan nilai a


a > 0 a < 0

Hyperbola

Di dalam aktiviti ini, pelajar dikehendaki memplot graf salingan yang

diberikan, kemudian membuat pemerhatian dan analisa terhadap nilai a. Daripada

nilai a tersebut pelajar perlu mengkelaskan fungsi salingan mengikut kumpulan

dan 0>a 0<a seperti di dalam Jadual 4.16.

Kemudian berpandukan kepada beberapa fungsi salingan yang diberikan,

pelajar dikehendaki mendapatkan nilai punca dengan mengikut langkah-langkah

yang disediakan di dalam tutorial. Pelajar perlu mengisi jadual yang disediakan

seperti Jadual 4.17.

72

Jadual 4.17: Perbincangan mengenai nilai punca graf salingan

Group A: a>0 Root Group B : a<0 Root

xy 1=

xy 1

−=

xy 8=

xy 8

−=

xy 20=

xy 20

−=

4.2.4.3 Aktiviti 4.3: Membandingkan Graf Fungsi Salingan dengan Nilai a yang

Berbeza

Aktiviti ketiga pula ialah membandingkan graf salingan )(xay = dengan nilai

a yang berbeza. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan

membandingkan bentuk graf salingan dengan nilai a yang berbeza dan

mengenalpasti perkaitan nilai a dengan sukuan graf. Di dalam aktiviti ini pelajar

diberikan beberapa fungsi salingan. Pelajar dikehendaki mengkelaskan fungsi

salingan tersebut seperti di dalam Jadual 4.18.

Jadual 4.18: Perbincangan mengenai bentuk graf salingan dengan

nilai a yang berbeza

For a > 0 For a < 0

Quadrant : Quadrant :

73

4.2.4.4 Aktiviti 4.4: Penyelesaian Masalah Melibatkan Graf Fungsi salingan

Setelah pelajar telah menguasai kemahiran memplot graf salingan

menggunakan perisian KmPlot dan pengetahuan konsep graf fungsi salingan, pelajar

akan didedahkan dengan beberapa masalah berbentuk ayat. Objektif pembelajaran

aktiviti ini ialah memastikan kebolehan pelajar menyelesaikan masalah melibatkan

graf salingan dengan menggunakan perisian KmPlot di samping menggunakan

pentahuan dan kemahiran lepas. Operasi kognitif yang diterapkan di dalam aktiviti

ini ialah Memorising, Recognising, Analysing, Drawing conclusion dan Discovering.

Di dalam aktiviti ini pelajar mengaplikasikan pengetahuan dan pengalaman yang

lepas terhadap konsep graf salingan dan kemahiran penggunaan perisian KmPlot

untuk menyelesaikan masalah.





Antaranya seperti pelajar dikehendaki membuat perbandingan persamaan salingan

yang sedia ada dengan persamaan yang baru sekiranya terdapat pertambahan atau


4.2.5 Tutorial 5: Penyelesaian Persamaan Serentak

Tutorial kelima ialah penyelesaian persamaan serentak. Topik persamaan

serentak terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingakatan tiga

dan Tingkatan empat. Di dalam tutorial ini mengandungi dua aktiviti yang

melibatkan persamaan serentak. Aktiviti tersebut ialah:

i. Solving simultaneous equations in two unknown

ii. Problem solving involving the simultaneous equations

74

Aktiviti ini bertujuan untuk menunjukkan perkaitan persilangan dua graf

dengan persamaan serentak menggunakan formula yang biasa pelajar gunakan di

dalam kelas. Untuk mengukuhkan pemahaman dan penguasaan pelajar, latihan

disediakan pada setiap aktiviti. Di akhir tutorial persamaan serentak ini pelajar dapat

mengenalpasti perkaitan titik persilangan antara dua graf dengan penyelesaian

persamaan serentak. Sebagai panduan, Lampiran G merupakan tutorial pembelajaran

penyelesaian persamaan serentak.

4.2.5.1 Aktiviti 5.1: Menyelesaikan Persamaan Serentak dengan Dua Anu

Aktiviti pertama adalah menyelesaikan persamaan serentak dengan dua anu.

Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengenalpasti perkaitan

penyelesaian persamaan serentak dengan persilangan dua graf fungsi dan

menyelesaiakan persamaan serentak menggunakan perisian KmPlot. Operasi kognitif

di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing dan Drawing conclusion.

Di awal aktiviti, pelajar dikehendaki memplot graf yang diberikan

menggunakan perisian KmPlot. Kemudian pelajar mendapatkan titik persilangan

antara dua graf dengan mengikut langkah-langkah yang disediakan di dalam tutorial.

Dengan menggunakan kaedah penggantian atau penghapusan, pelajar mendapatkan

jawapan bagi persamaan serentak tersebut. Hasil yang mereka perolehi daripada

kaedah memplot graf dan pengapusan atau penggantian, pelajar membuat

perbandingan dan membentuk kesimpulan.

4.2.5.2 Aktiviti 5.2 : Penyelesaian Masalah Melibatkan Persamaan Serentak

Aktiviti kedua pula ialah penyelesaian masalah yang melibatkan persamaan

serentak. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah memastikan pelajar berkebolehan

memahami kehendak masalah dan dapat menyelesaikan masalah dengan baik dan

berstruktuk. Dengan adanya pengetahuan dan maklumat yang sedia ada, pelajar

75

dapat menggabungkannya dengan pengetahuan yang baru untuk mendapatkan

penyelesaian masalah. Masalah yang diberikan kepada pelajar adalah berbentuk ayat

dan pelajar dikehendaki menukarkan masalah berbentuk ayat kepada bentuk

matematik. Dengan menggunakan kaedah memplot pada KmPlot dan kaedah

penghapusan atau penggantian, pelajar dikehendaki membuat kesimpulan hasil

penyelesaian yang mereka perolehi. Aktiviti penyelesaian masalah yang melibatkan

persamaan serentak ini menggalakkan pelajar berfikir secara kritis dan kreatif untuk

mendapatkan penyelesaian.

4.2.6 Tutorial 6: Penyelesaian dalam Pembezaan

Tutorial keenam ialah penyelesaian dalam pembezaan. Topik pembezaan

terkandung di dalam sukatan pelajaran KBSM Matematik Tingakatan empat. Di

dalam tutorial ini mengandungi dua aktiviti yang melibatkan pembezaan. Aktiviti

tersebut ialah:

i. Understand the graphs of first derivative of functions

ii. Value of the first derivative of the function y=axn.

Aktiviti ini bertujuan untuk menunjukkan perkaitan antara penyelesaian dxdy

menggunakan kaedah memplot pada Kmplot dan dengan kaedah pengiraan. Untuk

mengukuhkan kemahiran pelajar, latihan disediakan pada setiap aktiviti. Di akhir

tutorial pembezaan ini pelajar dapat mengenalpasti perkaitan hasil penyelesaian yang

mereka perolehi dengan menggunakan dua kaedah tersebut. Sebagai panduan,

Lampiran H merupakan tutorial pembelajaran penyelesaian persamaan serentak.

76

4.2.6.1 Aktiviti 6.1: Memahami Graf Fungsi Terbitan Pertama

Aktiviti pertama ialah memahami graf fungsi terbitan pertama. Objektif

pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mengandaikan graf fungsi

terbitan pertama, memplot dan mendapatkan graf fungsi pertama daripada graf yang

diplot pada KmPlot, dan membuat perbandingan terhadap andaian graf tersebut.

Operasi kognitif yang perlu pelajar capai dalam aktiviti ini ialah Analysing,

Comparing dan Drawing conclusions. Hasil daripada pemerhatian, analisis dan

andaian yang telah dibuat oleh pelajar terhadap bentuk graf fungsi tembitan pertama

(dxdy ), mereka di kehendaki membentuk satu kesimpulan mengenai perkaitan graf

dxdy yang diandaikan dengan graf yang diplotkan. Selain itu, pelajar juga dikehendak

menganalisis ciri-ciri graf dxdy yang terhasil seperti bentuk graf tersebut.

4.2.6.2 Aktiviti 6.2: Nilai Terbitan Pertama terhadap Fungsi y=axn

Aktiviti kedua ini merupakan lanjutan daripada aktiviti pertama. Objektif

pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar berkebolehan mendapatkan nilai bagi terbitan

pertama dengan menggunakan perisian KmPlot. Operasi kognitif yang perlu dimiliki

oleh setiap pelajar dalam aktiviti ialah Recognising, Analysing dan Drawing

conclusions. Pelajar perlu mengikut langkah-langkah yang telah disediakan di dalam

tutorial untuk mendapatkan nilai bagi dxdy dengan menggunakan nilai x yang

diberikan. Kemudian sekiranya pelajar diberikan nilai x yang berlainan, pelajar

dikehendaki membuat pemerhatian dan kesimpulan mengenai fungsi baru yang akan

wujud samada bertambah atau pun berkurangan. Pelajar juga dikehendaki membuat

analisis, pemerhatian dan kesimpulan terhadap perubahan bentuk graf apabila nilai x

berubah samada positif atau negatif.

77

4.2.6.3 Aktiviti 6.3: Terbitan Pertama sebagai Tangen Kecerunan

Aktiviti ketiga di dalam tutorial keenam ini ialah membuktikan terbitan

pertama sebagai tangen kecerunan. Objektif pembelajaran aktiviti ini ialah pelajar

berkebolehan membuktikan terbitan pertama sebagai tangen kecerunan dengan

mendapatkan nilai dxdy dan menggunakan nilai x yang diberikan. Operasi kognitif

yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing, Comparing dan

Drawing conclusion.

Jadual 4.19: Perbincangan terhadap perubahan keputusan

nilai dxdy dengan perubahan nilai x

x dxdy (using KmPlot)

dxdy (using formula)

-1

0

0.5

1

1.5

2

Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki mendapatkan nilai dxdy

menggunakan perisian KmPlot dan kemudian mendapatkan nilai dxdy dengan

menggunakan kaedah pengiraan. Pelajar dikendaki mengisi keputusan mereka di

dalam jadual seperti Jadual 4.19. Setelah merekod keputusan yang mereka perolehi,

pelajar dikehendaki membuat kesimpulan terhadap perbandingan hasil yang mereka

perolehi.

78

4.2.7 Tutorial 7: Penerokaan Graf Fungsi Parametrik

Tutorial penerokaan graf fungsi parametrik ini merupakan tutorial tambahan

di dalam projek ini. Graf fungsi parametrik tidak terdapat di dalam sukatan pelajaran

Matematik KBSM. Tujuan modul ini dibangunkan adalah untuk menarik minat

pelajar terhadap pembelajaran berkomputer di samping meningkatkan kemahiran

pelajar menggunakan perisian KmPlot. Bab ini mempunyai satu akktiviti sebagai

meningkat dan memperluaskan pengetahuan pelajar mengeskplorasi fungsi

parametrik dan juga perisian Kmplot. Sebagai panduan, Lampiran I merupakan

tutorial graf fungsi parametrik.

4.2.7.1 Aktiviti 7.1: Mengkaji Graf Fungsi Parametrik

Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki terlibat dengan aktif untuk

mengeksplorasi fungsi-fungsi parametrik yang telah diberikan. Objektif

pembelajaran di dalam bab ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi

parametrik dan mengenalpasti bentuk graf parametrik yang terhasil. Operasi kognitif

yang diterapkan di dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing, Comparing dan

Drawing conclusion. Pelajar akan menerangkan bentuk yang terhasil daripada graf

yang mereka plot pada KmPlot. Untuk meningkatkan daya pemikiran kritis dan

kreatif pelajar, mereka dikehendaki mencuba menggabungkan fungsi parametrik

yang bersuaian untuk membentuk beberapa bentuk graf yang abstrak.

Daripada aktiviti tersebut, pelajar akan mencatat keputusan dan membuat

kesimpulan terhadap perkaitan gabungan fungsi-fungsi dengan bentuk yang terhasil

seperti di dalam Jadual 4.20.

79

Jadual 4.20: Perbincangan mengenai graf fungsi parametrik

Function Conclusion

i. tttx sin)( −=

tty cos1)( −=

ii. tttx 3)( 3 −=

1)( 2 −= tty

iii. )1()1()( 4

2

++

=ttttx

)1()1()( 4

2

+−

=tttty

iv. ttx cos2.0)( +−=

ttxy sintan2.0)( +−=

v. )2cos(2)( tttx +=

)3sin(3)( ttty +=

vi. tttx 8coscos2)( +=

ttty 8sinsin2)( +=

4.2.8 Tutorial 8: Penerokaan Graf Fungsi Polar

Tutorial penerokaan graf fungsi polar ini merupakan tutorial tambahan di

dalam projek ini. Graf fungsi polar tidak terdapat di dalam sukatan pelajaran

Matematik KBSM. Tujuan modul ini dibangunkan adalah untuk menarik minat

pelajar terhadap pembelajaran berkomputer di samping meningkatkan kemahiran

pelajar menggunakan perisian KmPlot. Bab ini mempunyai satu akktiviti sebagai

meningkat dan memperluaskan pengetahuan pelajar mengeskplorasi fungsi polar dan

juga perisian Kmplot. Sebagai panduan, Lampiran J merupakan tutorial graf fungsi

polar.

80

4.2.8.1 Aktiviti 8.1: Mengkaji Graf Fungsi Polar

Di dalam aktiviti ini pelajar dikehendaki terlibat dengan aktif untuk

mengeksplorasi fungsi-fungsi polar yang telah diberikan. Objektif pembelajaran di

dalam bab ini ialah pelajar berkebolehan memplot graf fungsi polar dan

mengenalpasti bentuk graf polar yang terhasil. Operasi kognitif yang diterapkan di

dalam aktiviti ini ialah Recognising, Analysing, Comparing dan Drawing conclusion.

Pelajar akan menerangkan bentuk yang terhasil daripada graf yang mereka plot pada

KmPlot. Untuk meningkatkan daya pemikiran kritis dan kreatif pelajar, mereka

dikehendaki mencuba menggabungkan fungsi polar yang bersuaian untuk

membentuk beberapa bentuk graf yang abstrak. Daripada aktiviti tersebut, pelajar

akan mencatat keputusan dan membuat kesimpulan terhadap perkaitan gabungan

fungsi-fungsi dengan bentuk yang terhasil seperti di dalam Jadual 4.21. Pelajar juga

dikehendaki menggunakan sumber-sumber lain seperti internet untuk mendapatkan

fungsi polar yang lain, mengeksplorasi dan membuat kesimpulan terhadap ciri-ciri

fungsi tersebut

Jadual 4.21: Perbincangan mengenai graf fungsi polar

Function Conclusion

i. ttr 3sin)( =

ii. θsin=r

iii. πttr 6)( =

iv. tr cos1+=

81

4.3 Penutup

Hasil analisis projek ini dapat disimpulkan bahawa setiap tutorial yang

dihasilkan mempunyai sekurang-kurangnya satu operasi kognitif yang menyokong

teori pembelajaran penemuan. Walau bagaimana pun, setiap aktiviti yang disediakan

di dalam tutorial ini mengandungi lebih daripada satu operasi kognitif. Ini kerana,

penentuan operasi kognitif dan juga objektif pembelajaran adalah saling berkaitan

antara satu sama lain. Sebagai contoh, apabila pelajar dikehendaki membuat

kesimpulan daripada analisis, andaian dan pemerhatian yang dilakukan terdapat graf

yang diplot, bermakna operasi kognitif yang ada di dalam aktiviti ini ialah

mengecam, menganalisis, membuat hipotesis dan membentuk kesimpimpulan.

Jadual 4.22 di bawah menunjukkan operasi kognitif yang terdapat di dalam tutorial

ini:

Jadual 4.22: Kesimpulan penghasilan projek

Tutorial Operasi

Kognitif 1 2 3 4 5 6 7 8

Mengecam √ √

Menganalisa √ √ √ √ √ √

Mensintesis

Membanding

& membeza √ √ √

Membentuk

kesimpulan √ √ √ √ √ √

Membentuk

hipotesis √ √ √ √

Mengingat √ √ √ √

Inkuiri √ √ √ √

Mencipta

Menemui √ √ √

BAB 5

KESIMPULAN DAN CADANGAN

5.1 Pengenalan

Bab ini membincangkan hasil projek pembangunan tutorial perisian bergrafik

interaktif KmPlot. Di dalam bab ini akan membincangkan mengenai kekuatan dan

kelemahan projek yang dibangunkan. Diikuti dengan masalah yang dihadapi oleh

pembangun projek sepanjang menjalankan projek ini. Di akhir perbincangan pula

pembangun projek menyenaraikan beberapa aspek atau perkara cadangan untuk

penambahbaikan projek ini bagi individu yang berminat untuk menyambung projek

ini ke tahap yang lebih luas.

Topik-topik yang dipilih oleh pembangun tutorial ini berpandukan kepada

kandungan matapelajaran Matematik KBSM yang meliputi topik graf fungsi,

persamaan serentak, dan pembezaan. Aktiviti yang dibina di dalam tutorial ini

berteraskan kepada teori pembelajaran penemuan. Aktiviti yang melibatkan

penyelesaian masalah pula dijadikan sebagai nilai tambah tutorial ini untuk

meningkatkan kemahiran penyelesaian masalah pelajar dengan menggunakan

komputer.

Penghasilan projek ini diharapkan dapat memberikan sumbangan dari segi

idea dan penggunaan perisian sumber terbuka dalam konteks pembelajaran yang

berkesan dan bermakna melibatkan aktiviti yang berpusatkan pelajar.

83

5.2 Perbincangan

Untuk menghasilkan dan membangunkan tutorial perisian bergrafik interaktif

KmPlot ini, operasi kognitif teori pembelajaran penemuan dan objektif pembelajaran

dijadikan panduan, untuk mencapai objektif projek yang dibangunkan. Aktiviti

tutorial dilaksanakan di dalam makmal komputer yang dilengkapi dengan sistem

pengoperasian Linux bertujuan supaya pelajar benar-benar dapat merasai suasana

pembelajaran berkomputer. Di samping itu untuk memberi pendedahan kepada

pelajar terhadap sistem pengoperasian Linux.

Projek pembinaan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot ini banyak

memberikan kebaikan dan kekuatan. Pembangun projek juga telah mengekspotasi

perisian untuk memastikan perisian ini boleh memberikan output yang baik terhadap

proses pengajaran dan pembelajaran. Tutorial ini menyediakan pengetahuan terhadap

topik graf fungsi, persamaan serentak dan pembezaan. Graf fungsi yang terdapat di

dalam tutorial ini ialah linear, kuadratik, kubik dan salingan. Dengan menggunakan

tutorial ini pelajar juga dapat mengenalpasti perkaitan atau relevannya ilmu yang

mereka perolehi melalui menggunakan perisian KmPlot ini dengan konsep topik

tersebut. Sebagai tambahan, fungsi parametrik dan polar juga terdapat di dalam

tutorial. Walau pun fungsi parametrik dan polar tidak terdapat di dalam sukatan

pelajar KBSM Matematik, tetapi ia tetap diletakkan di dalam tutorial kerana untuk

memperkayakan penggunaan perisian KmPlot selain itu dia dijadikan sebagai

pengenalan kepada fungsi parametrik dan fungsi polar.

Aktiviti penyelesaian masalah yang terdapat dihujung setiap topik

menjadikan tutorial yang dihasilkan ini bukan sahaja tertumpu kepada konsep-

konsep asas. Malah ia memberi ruang kepada pelajar meningkatkan kemahiran dalam

menyelesaikan masalah. Dengan meneliti buku teks KBSM Matematik, kebanyakkan

aktiviti penyelesaian masalah menggunakan model Polya. Oleh itu, dengan adanya

ruangan aktiviti penyelesaian masalah yang terdapat di dalam tutorial ini dapat

memperkembangkan teknik atau kaedah dalam menyelesaikan masalah dengan

menggunakan teknologi seperti perisian interaktif KmPlot.

84

Untuk membangunkan tutorial ini, pembangun telah membuat pemerhatian

dan analisis pada buku teks KBSM Matematik untuk memastikan perisian KmPlot

ini dapat diaplikasikan dengan lebih meluas dan bersesuaian dengan topik dalam

sukatan pelajaran. Tutorial yang dibangunkan ini umumnya boleh diaplikasikan

untuk pelajar menengah atas. Memandangkan topik yang dipilih adalah terkandung

di dalam sukatan pelajaran Tingkatan empat dan lima.

Penggunaan perisian Kmplot dapat membantu memperkembangkan strategi

pengajaran dan pembelajaran. Selain daripada pembelajaran berasaskan pensil dan

kertas, penggunaan perisian ini dapat digunakan sebagai salah satu strategi atau alat

untuk pengajaran dalam meningkatkan penguasaan konsep sesuatu ilmu. Dengan

menekankan operasi kognitif dalam pembelajaran penemuan dapat mendorong

penglibatan pelajar secara aktif. Ini kerana setiap aktiviti di dalam tutorial ini

mempunyai operasi kognitif yang bersesuaian dengan objektif pembelajaran.

Di samping itu, pada setiap aktiviti di dalam tutorial ini mengandungi

ruangan latihan. Latihan yang disediakan di dalam setiap aktiviti bertujuan untuk

mempertingkatkan kefahaman pelajar. Dengan adanya latihan ini, pelajar dapat

mengaplikasikan pengetahuan yang mereka perolehi daripada aktiviti untuk

menjawab latihan tersebut.

Kekuatan yang lain pula ialah dengan adanya buku panduan dan manual

penggunaan perisian KmPlot yang disertakan di dalam projek ini dapat membantu

kepada para pengguna mengenali dan mengalami penggunaan perisian ini dengan

lebih jelas. Malah dengan adanya manual dan panduan ini, guru tiada lagi alasan

kesukaran dalam mengaplikasi dan memperkayakan penggunaan perisian sebagai

salah strategi pengajaran dan pembelajaran dalam matapelajaran matematik.

Pun begitu, masih juga terdapat sedikit kelemahan di dalam tutorial ini.

Walau pun di dalam perisian ini terdapat ciri yang boleh digunakan untuk topik

pengamiran, tetapi ia tidak dapat disertakan di dalam tutorial ini kerana apabila diuji

oleh pembangun projek, hasil yang diperolehi daripada aktivit pengamiran

memberikan jawapan yang tidak tepat. Ini kerana terdapat ralat sintaks yang

mungkin disebabkan oleh kod sumber yang salah juga.

85

Selain itu, memandangkan perisian KmPlot ini baru bagi pembangun projek,

maka pembangun projek mengalami kakangan masa yang agak terhad untuk

mengeksplotasi perisian ini. Pembangun projek perlu mengenali ciri-ciri yang

terkandung di dalam perisian, mempelajari penggunaan perisian menggunakan buku

panduan dan kemudian barulah pembangun berusaha untuk mengenalpasti topik

yang bersesuaian untuk digunakan di dalam perisian ini.

5.3 Cadangan untuk Mengatasi Kelemahan Hasil Projek

Berikut adalah beberapa cadangan yang dikemukakan untuk mengatasi

kelemahan-kelemahan tersebut:

i. Memerlukan masa yang mencukupi untuk mengenalpasti kesalahan hasil

jawapan dalam pengamiran.

ii. Memerlukan masa yang mencukupi untuk pembangun projek

mengeksplotasi perisian KmPlot bagi memilih aktiviti-aktiviti yang

mempunyai ciri-ciri penemuan untuk menarik minat pelajar.

5.4 Masalah Sepanjang Pembangunan Projek

Di sepanjang perlaksanaan projek, terdapat beberapa masalah yang dihadapi

oleh pembangun untuk menyelesaikan projek ini. Untuk membangunkan projek ini,

pembangun projek menjadikan objektif sebagai panduan. Antara objektif projek ini

ialah menghasilkan tutorial perisian bergrafik interaktif KmPlot dengan berteraskan

teori pembelajaran penemuan. Oleh itu, pembangun perlu mengetahui dengan jelas

mengenai teori pembelajaran penemuan, ciri-ciri yang perlu ada dalam pembelajaran

penemuan dan apakah output yang diharapkan apabila menjadikan pembelajaran

penemuan sebagai teras membentuk tutorial ini. Selain itu, pembangun juga

membuat analisa bagaimana mengintegrasikan perisian Kmplot dengan pembelajaran

86

penemuan. Pembangun projek juga perlu berkreatif untuk menghasilkan tutorial yang

dapat meningkatkan minat pelajar dalam pembelajaran.

Selain daripada itu, pembangun juga mengalami kekangan masa untuk

mempelajarai perisian KmPlot ini kerana perisian ini adalah baru bagi pembangun.

Untuk mengeksplotasi perisian ini, pembangun telah mendapatkan maklumat terkini

mengenai versi perisian. Di awal proses mengeksplotasi perisian ini, pembangun

menggunakan Live CD Linux yang diperolehi oleh penyelia projek. Walau

bagaimana pun, versi yang terdapat di dalam Live CD tersebut bukanlah yang terkini.

Maka pembangun berusaha untuk mendapatkan versi perisian KmPlot yang terkini

dengan menginstalasi sistem pengoperasian Linux di dalam komputer, tetapi versi

perisian juga bukan yang terkini. Untuk memastikan versi perisian yang digunakan

untuk membina tutorial ini adalah yang terkini, sekali lagi pembangun mendapatkan

Live CD Linux yang terkini daripada penyelia. Walau bagaimana pun, versi perisian

yang diinginkan juga tidak dapat diperolehi. Dengan kekangan masa yang amat

terhad untuk mengeksplotasi perisian KmPlot, pembangun membuat keputusan untuk

menggunakan Live CD yang diperolehi daripada penyelia projek. Selain daripada itu,

pengetahuan pembangun projek mengenai Kmplot yang agak minima memerlukan

masa yang agak lama untuk mengeksplorasi perisian ini. Namun dengan bantuan

sumber yang diperolehi daripada internet, panduan penggunaan perisian dan idea

yang diberikan oleh penyelia telah banyak membantu pembangun projek.

Dalam menghasilkan tutorial ini, proses terhadap langkah-langkah, isi aktiviti

dan latihan telah mengalami beberapa kali pengubahsuaian. Ini bertujuan untuk

memastikan langkah-langkah pada setiap aktiviti di dalam tutorial ini tepat dan

bersesuaian dengan langkah-langkah penghasilan graf pada perisian KmPlot. Untuk

menjadikan aktiviti tutorial berteraskan pembelajaran penemuan juga memerlukan

kerja yang teliti supaya ia benar-benar mengikut objektif projek. Langkah-langkah

penggunaan perisian KmPlot juga perlulah tersusun dan tertib kerana pelajar

merupakan pengguna baru yang menggunakan perisian ini.

87

5.5 Cadangan Penambahbaikan Projek

Terdapat beberapa cadangan sekiranya terdapat individu yang ingin

melanjutkan projek ini iaitu:

i. Menggunakan perisian Kmplot yang berversi terbaru untuk mendapatkan

ciri-ciri yang lebih terkini.

ii. Melaksanakan dan menguji tutorial ini di sekolah-sekolah menengah

untuk melihat keberkesanan dan penerimaan pengguna terhadap perisian

ini.

iii. Menggunakan perisian lain yang mempunyai ciri yang menarik minat

pelajar yang boleh dilaksanakan dalam persekitaan sistem pengoperasian

sumber terbuka. Antaranya ialah seperti GeoNet dan GeoGebra. Perisian

ini adalah bersifat percuma, pelbagai guna dan boleh diaplikasikan di

dalam sistem pengoperasian seperti Windows, Mac, dan Linux. Perisian

ini merupakan perisian matematik yang dinamik yang menggabungkan

geometri algebra dan kalkulus. Oleh itu, pembelajaran akan menjadi lebih

menarik dan meluas.

5.6 Penutup

Penghasilan tutorial seperti ini umumnya banyak memberikan faedah

terutama dalam menggunakan perisian sumber terbuka. Dengan adanya pembelajaran

interaktif ini dapat menjadikan suasana pembelajaran lebih bermakna. Pelajar dengan

sendiri dapat mengalami dan merasai pengetahuan yang diperolehi dari aktiviti ini.

Selain itu, pembelajaran yang mengintegrasikan komputer di dalam kelas dapat

membantu guru mempersiapkan sedikit sebanyak diri pelajar dalam kesediaan untuk

menghadapi perkembangan teknologi yang berlaku disekeliling mereka. Penggunaan

teknologi juga dapat meningkatkan motivasi pelajar disamping merangsang minat

pelajar dalam matapelajaran matematik.

88

RUJUKAN

Airasian, P. W. (2005). Classroom Assessment. Concepts and Applications.

McGraw-Hill. Boston.

Allen M. (2002). Discovery Learning: Repurposing an Old Paradigm. How to make

learning active and student centered. LTI Newsline.

Amer, A. (2006).Reflection on Bloom’s Revised Taxonomy. Electronic Journal of

Research in Educational Psychology. 4(1), 213-230.

Borich, G. D. & Tombari, M. L. (1997). Educational Paychology. A Contemporary

Approach. Longman. New York.

Castronova J. A. (2002). Discovery Learning for the 21st Century: What is it and

How does it Compare to Traditional Learning in Effectiveness in 21st Century?.

Valdosta State University Georgia USA, 1(1), 1-21.

Conway, J. (1997). Educational Technology’s Effect on Model of Instruction.

Retrieve on August 2007:

http://copland.udel.edu/~jconway/EDST666.htm#dislrn

Drier, H. (2001). Teaching and Learning Mathematics with Interactive Spreadsheets.

School Science and Mathematics, 10(4), 170-179.

Edutechwiki (2007). Giuded Discovery Learning: Features of Discovery Learning.

Retrieve on October 2007:

http://edutechwiki.unige.ch/en/Guided_discovery_learning

89

Ferbar L. & Trkman P. (2003). Impact of Information Technology on Mathematics

Education – A Slovenian Experience. University of Ljubljana. Slovenia.

Flores A., Knaup J. E., Middleton J. A. & Staley F. A. (2001). Integration of

Technology, Science, and Mathematics in the Middle Grade: A Teache

Preparation Program. Arizona State University.

Garofalo, J., Drier, H., Harper, S., Timmerman, M.A., & Shockey, T. (2000).

Promoting appropriate uses of technology in mathematics teacher preparation.

Contemporary Issues in Technology and Teacher Education, 1(1), 66-88.

Gibson, J. T. (1980). Psychology for the Classroom. Prentice-Hall International, Inc.,

London.

Hughes, J. (2004). Technology Learning Principles for Preservice and in-Service

Teacher Education. Contemporary Issues in Technology and Teacher

Education.4(3), 345-362.

Izwan Ismail. (2006). Impact from Software Neutrality. The News Straits Times

newspaper. Malaysia.

Joyce A. (2002). Discovery Learning for the 21st Century: What is it and how does it

compare to traditional learning ib effectiveness in the 21st Century?. Valdosta

State University Georgia. USA.

Kearsley, G. (1999). Jerome Bruner and Discovery Learning. Retrieve on August

2007: http://tip.psychology.org/bruner.html’

Kementerian Pendidikan Malaysia (2000). Sukatan Pelajaran Kurikulum Bersepadu

Sekolah Menengah Matematik. Pusat Perkembangan Kurikulum. Malaysia

Kenneth Wong, Sayo P. (2004). Free/Open Source Software. UNDP-APDIP.

Malaysia.

http://tip.psychology.org/bruner.html

90

Kulik, J. A. (1994). Meta-analysis Studies of Finding on Computer-based

Instruction. Technology Assessment in Education and Training. Hillsdale NJ:

Lawrence Erlbaum.

Kurz, T. L., Middleton, J. A., & Yanik, H. B. (2005), A Taxonomy of Software for

Mathematics Instruction. Contemporary Issues in Technology and Teacher

Education, 5(2), 123-137.

Lawrence A. (2001). Taxomomy For The Technology Domain. Information Science

Publishing. London.

Leonard & Andrew (2001). An Alternative Voice: How to Tech-Poor Can Still Be

software Rich. The International Herald Tribune. Retrieved on August 2007:

http://www.iht.com/cgi-

bin/generic.cgi?template=articleprint.tmplh&ArticleId=24330

McGriff, S. J., (2000). Instruction System Design (ISD):Using the ADDIE Model.

Instruction System, College of Education, Penn State University.

Morrison, G. R., Ross, S.M., & Kemp, J. E., (2001). Designing Effective Instruction.

John Wiley & Son, Inc. New York.

Nicholas, V. & Steven, J. (1999). ‘Can You Trust This Penguin?’. ZDNet

SmartPartnet. Retrieve on August 2007:

http://web.archive.org/web/20010606035231/http://www.zdnet.com/sp/stories/i

ssue/0,4537,2387282,00.html;

Niess M. L. (2006). Guest Editorial: Preparing Teachers to Teach Mathematics with

Technology. Contemporary Issues in Technology and Teaching Education,

6(2), 195-203.

Noraini Idris (2006). Explore the Effects of TI-84 Plus on a Achievement and Anxiety

in Mathematics. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology

Education, 2(3), 66-78.

http://www.iht.com/cgi-bin/generic.cgi?template=articleprint.tmplh&ArticleId=24330

http://www.iht.com/cgi-bin/generic.cgi?template=articleprint.tmplh&ArticleId=24330

91

Norjoharuddeen Mohd Nor (2003). Constructivist Approach Cognitively-Guided

Instruction. Southeast Asian Ministers of Education Organisation Regional

Centre for Education in Science and Mathematics and Malaysian Ministry of

Education.

O’Donnell, A. M., Reeve, J., Smith, J. K. (2007). Educational Psychology. Reflection

for Action. John Wiley & Son, Inc, United State.

Open Source Competency Center (2007). Open Source Software. Retrieved on

August 2007: http://opensource.mampu.gov.my

Ormrod, J. E. (1995). Educational Psychology. Principles and Applicatios. Prentice-

Hall International (UK) Limited, London.

Parsons, R. D., Hinson, S. L., Brown, D. S., (2001). Educational Psychology: A

Practitioner-Researcher Model of Teaching. Wadsworth Thomson Learning,

Australia.

Powers R., Blubaugh W. (2005). Technology in Mathe,atics Education: Preparing

Teacher for the Future. Contemporary Issues in Technology and Teaching

Education, 5(3/4), 254-270.

Schacter J. (1999). The impact of Education Technology on Student Achivement.

What Most Current Research Has to Say. The Milken Family Foundation.

Shamatha, J. H., Peressini, D., & Meymaris, K. (2004). Technology-supported

mathematicsactivities situated within an effective learning environment

theoretical framework. ContemporaryIssues in Technology and Teacher

Education, 3(4), 362-381.

Slavin, R. E., (2003). Educational Psychology: Theory and Practice. Allyn & Bacon,

Boston.

http://opensource.mampu.gov.my/

92

Snelbecker, G. E. (1974). Learning Theory, Instructional Theory, and

Psychoeducation Design. McGraw-Hill Company. New York.

Stephen A. (2004). Using Learning Outcome. University of Westminster. Scotland.

Tamrin Anuar (2003). ‘Mendidik’ Walaupun Dikritik. Berita Harian.

Tengku Mohd Azzman Shariffadeen (2001). Ilmu dan Kegunaanya dalam

Pembangunan. Ucapan Penghargaan Penerimaan Ijazah Kehormat Doktor

Sains Universiti Malaya. Universiti Malaya.

The American Heritage (2002). Science Dictionary. Houghton Mifflin Company

Tiwari, T. K., (2007). Computer Graphics as an Instructional Aid in an Introductory

Differential Calculus Course. International Electronic Journal of Mathematics

Education, 2(1), 32-48.

Wheeler & David (2003). ‘Why OSS/FS? Look at the Numbers!’. Retrieve on August

2007: http://www.dwheeler.com/oss_fs_why.html

Willis, E., & Raines, P. (2001). Technology and the Changing Face of Teacher

Preparation. Contemporary Issues in Technology and Teacher

Education.1(3), 412-420

Wong, K. & Sayo, P. (2004). Free/Open Source Software. A General Introduction.

UNDP-APDIP.

Yushau B. (2006). Computer Attitude, Use, Experience, Software Familiarity and

Perceived Pedagogical Usefulness: The Case of Mathematics Professors.

Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 2(3), 1-17

_____ (2006). Rancangan Malaysia Kesembilan. Unit Perancangan Ekonomi.

Jabatan Perdana Menteri. Putrajaya.

http://www.dwheeler.com/oss_fs_why.html

93

_____ (2003). Gevernment Agress to Komnas Trial by Education Ministry. Utusan

Online. Retrieve on August 2007:

http://www.utusan.com.my/utusan/archive.asp?y=2003&dt=0802&pub=utusa

n_express&sec=front%5Fpage&pg=fp_08.htm&arc=hive

http://www.utusan.com.my/utusan/archive.asp?y=2003&dt=0802&pub=utusan_express&sec=front%5Fpage&pg=fp_08.htm&arc=hive

http://www.utusan.com.my/utusan/archive.asp?y=2003&dt=0802&pub=utusan_express&sec=front%5Fpage&pg=fp_08.htm&arc=hive

94

THE KmPlot HANDBOOK

Source: http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/index.html

Klaus-Dieter Möller (kd.moeller t-online.de)

KmPlot is a mathematical function plotter for the KDE Desktop.

KmPlot is part of the KDE-EDU Project: http://edu.kde.org/

Version 1.2.0 © 2001-2007 Klaus-Dieter Möller KmPlot is distributed under the terms of the GNU General Public License (GPL), Version 2.

Description

KmPlot is a mathematical function plotter for the KDE-Desktop.

It has built in a powerful parser. You can plot different functions simultaneously and combine their function terms to build new functions. KmPlot supports functions with parameters and functions in polar coordinates. Several grid modes are possible. Plots may be printed with high precision in correct scale.

Features

• powerful mathematical parser • precise metric printing • different plot types (functions, parametric, polar) • highly configurable visual settings (plot line, axes, grid) • export to bitmap format (BMP and PNG) and scalable vector graphics (SVG) • save/load complete session in readable xml format • trace mode: cross hair following plot, coordinates shown in the status bar • support zooming • ability to draw the 1st and 2nd derivative and the integral of a plot function • support user defined constants and parameter values • various tools for plot functions: find minium/maximum point, get y-value and draw

the area between the function and the y-axis

http://edu.kde.org/

http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

95

Chapter 1. Introduction

KmPlot is a mathematical function plotter for the KDE Desktop. It has a powerful built-in parser. You can plot different functions simultaneously and combine them to build new functions.

KmPlot supports several different types of plots:

• Explicit cartesians plots of the form y = f(x). • Parametric plots, where the x and y components are specified as functions of an

independent variable. • Polar plots of the the form r = r(θ). • Implicit plots, where the x and y coordinates are related by an expression. • Explicit differential plots.

KmPlot also provides some numerical and visual features like:

• Filling and calculating the area between the plot and the first axis • Finding maximum and minimum values • Changing function parameters dynamically • Plotting derivatives and integral functions.

These features help in learning the relationship between mathematical functions and their graphical representation in a coordinate system.

96

Chapter 2. First Steps With KmPlot

Table of Contents

Simple Function Plot Edit PropertiesSimple Function Plot

In the sidebar on the left, there is a button with a drop down menu for creating new plots. Click on it, and select Cartesian Plot. The text box for editing the current equation will be focused. Replace the default text with

y = x^2

and press Enter. This will draw the plot of y = x2 in the coordinate system. Clicking on the Create New Plot button again, select Cartesian Plot, and this time enter the text

y = 5sin(x)

to get another plot.

Click on one of the lines you have just plotted. Now the crosshair becomes the color of the current plot and is attached to the it. You can use the mouse to move the crosshair along the plot. In the status bar at the bottom of the window the coordinates of the current position is displayed. Note that if the plot touches the x-axis the root will be displayed in the status bar, too.

Click the mouse again and the crosshair will be detached from the plot.

Edit Properties

Let us make some changes to the function and change the color of the plot.

The Function Editor lists all the functions that you have plotted. If y = x^2 isn't already selected, select it. Here you have access to a lot of options. Let us rename the function and move the plot 5 units down. Change the function equation to

parabola(x) = x^2 - 5

and hit enter. To select another color for the plot, click the Appearance button at the bottom of the function editor and select a new color.

Note

All changes can be undone via Edit->Undo.

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/edit-properties.html

97

Chapter 3. Using KmPlot

Function Types Cartesian Functions Parametric Functions Functions in Polar Coordinates Implicit Functions Differential Functions

Combining Functions Changing the appearance of functions Popup menu

KmPlot deals with several different types of functions, which can be written in function form or as an equation:

• Cartesians plots can either be written as e.g. “y = x^2”, where x has to be used as the variable; or as e.g. “f(a) = a^2”, where the name of the variable is arbitrary.

• Parametric plots are similar to Cartesian plots. The x and y coordinates can be entered as equations in t, e.g. “x = sin(t)”, “y = cos(t)”, or as functions, e.g. “f_x(s) = sin(s)”, “f_y(s) = cos(s)”.

• Polar plots are also similar to Cartesian plots. They can be either be entered as an equation in θ, e.g. “r = θ”, or as a function, e.g. “f(x) = x”.

• For implicit plots, the name of the function is entered separately from the expression relating the x and y coordinates. If the x and y variables are specified via the function name (by entering e.g.“f(a,b)” as the function name), then these variables will be used. Otherwise, the letters x and y will be used for the variables.

• Explicit differential plots are differential equations whereby the highest derivative is given in terms of the lower derivatives. Differentiatation is denoted by a prime ('). In function form, the equation will look like “f''(x) = f' − f”. In equation form, it will look like “y'' = y' − y”. Note that in both cases, the “(x)” part is not added to the lower order differential terms (so you would enter “f'(x) = −f” and not “f'(x) = −f(x)”).

All the equation entry boxes come with a button on the right. Clicking this invokes the advanced Equation Editor dialog, which provides:

• A variety of mathematical symbols that can be used in equations, but aren't found on normal keyboards.

• The list of user constants and a button for editing them. • The list of predefined functions. Note that if you have text already selected, it will be

used as the function argument when a function is inserted. For example, if “1 + x” is selected in the equation “y = 1 + x”, and the sine function is chosen, then the equation will become “ y = sin(1+x)”.

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/combining-functions.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/function-appearance.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/popupmenu.html

98

Function Types

Cartesian Functions

To enter an explicit function (i.e., a function in the form y=f(x)) into KmPlot, just enter it in the following form:

f(x) = expression

where:

• f is the name of the function, and can be any string of letters and numbers. • x is the x-coordinate, to be used in the expression following the equals sign. It is a

dummy variable, so you can use any variable name you like to achieve the same effect.

• expression is the expression to be plotted, given in the appropriate syntax for KmPlot. See the section called “Mathematical Syntax”.

Parametric Functions

Parametric functions are those in which the x and y coordinates are defined by separate functions of another variable, often called t. To enter a parametric function in KmPlot, follow the procedure as for a Cartesian function for each of the x and y functions. As with Cartesian functions, you may use any variable name you wish for the parameter.

As an example, suppose you want to draw a circle, which has parametric equations x = sin(t), y = cos(t). After creating a parametric plot, enter the appropriate equations in the x and y boxes, i.e., xcircle(t) = sin(t) and ycircle(t) = cos(t).

You can set some further options for the plot in the function editor:

Min, Max

These options control the range of the parameter t for which the function is plotted.

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/math-syntax.html

99

Functions in Polar Coordinates

Polar coordinates represent a point by its distance from the origin (usually called r), and the angle a line from the origin to the point makes with the x-axis (usually represented by θ the Greek letter theta). To enter functions in polar coordinates, create a new Polar Plot from the Create New Plot button. In the definition box, complete the function definition, including the name of the theta variable you want to use, e.g., to draw the Archimedes' spiral r = θ, enter:

r(theta) = theta

so that the whole line reads “r(theta) = theta”. Note that you can use any name for the theta variable, so “r(foo) = foo” will produce exactly the same output.

Implicit Functions

An implicit expression relates the x and y coordinates as an equality. To create a circle, for example, create a new Implicit Plot from the Create New Plot button. Then, enter into the equation box (below the function name box) the following:

x^2 + y^2 = 25

Differential Functions

KmPlot can plot explicit differential equations. These are equations of the form y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), where yk is the kth derivative of y(x). KmPlot can only interpret the derivative order as the number of primes following the function name. To draw a sinusoidal curve, for example, you would use the differential equation y'' = − y.

However, a differential equation on its own isn't enough to determine a plot. Each curve in the diagram is generated by a combination of the differential equation and the initial conditions. You can edit the initial conditions by clicking on the Initial Conditions tab when a differential equation is selected. The number of columns provided for editing the initial conditions is dependent on the order of the differential equation.

You can set some further options for the plot in the function editor:

Step

The step value in the precision box is used in numerically solving the differential equation (using the Runge Kutta method). Its value is the maximum step size used; a smaller step size may be used if part of the differential plot is zoomed in close enough.

Combining Functions

Functions can be combined to produce new ones. Simply enter the functions after the equals sign in an expression as if the functions were variables. For example, if you have defined functions f(x) and g(x), you can plot the sum of f and g with:

sum(x) = f(x) + g(x)

100

Changing the appearance of functions

To change the appearance of a function's graph on the main plot window, select the function in the Function Editor sidebar. You can change the plot's line width, color and many other aspects by clicking on the Appearance button at the bottom.

If you are editing a Cartesian function, the function editor will have three tabs. In the first one you specify the equation of the function. The Derivatives tab lets you draw the first and second derivative to the function. With the Integral tab you can draw the integral of the function.

Popup menu

When right-clicking on a plot function or a single-point parametric plot function a popup menu will appear. In the menu there are three items available:

Hide - Hides the selected graph. Other plots of the graph's function will still be shown.

Remove - Removes the function. All its graphs will disappear.

Edit - Selects the function in the Function Editor for editing.

Depending on the plot type, there will also be up to four tools available:

Get y-Value - Opens a dialog in which you can find the y-value corresponding to a specific x-value. The selected graph will be highlighted in the dialog. Enter an x value in the X: box, and hit Enter. The corresponding y will be automatically calculated and shown underneath.

Search for Minimum Value - Find the minimum value of the graph in a specified range. The selected graph will be highlighted in the dialog that appears. Enter the lower and upper boundaries of the region in which you want to search for a minimum. Note: You can also tell the plot to visually show the extreme points via the plot's Appearance dialog, accessible via the Function Editor.

Search for Maximum Value - This is the same as Search for Minimum Value above, but finds the maximum value instead of the minimum value.

Calculate Integral -Select the x-values for the graph in the new dialog that appears. Calulates the integral and draws the area between the graph and the x-axis in the selected range in the color of the graph.

101

Chapter 4. Configuring KmPlot

Table of Contents

General Configuration Diagram Configuration Colors Configuration Fonts Configuration Coordinate System Configuration

The Axes ConfigurationConstants Configuration

To access the KmPlot configuration dialog, select Settings->Configure KmPlot.... A number of settings (Constants... and Coordinate System...) can only be changed from the Edit menu.

General Configuration

Here you can set global settings which automatic will be saved when you exit KmPlot. In the first page you can set angle-mode (radians and degrees), zoom in and zoom out factors, and whether to show advanced plot tracing.

Diagram Configuration

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/diagram-config.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/colors-config.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/font-config.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/coords-config.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/constants-config.html

102

You can set the Grid Style to one of four options:

None

No gridlines are drawn on the plot area

Lines

Straight lines form a grid of squares on the plot area.

Crosses

Crosses are drawn to indicate points where x and y have integer values (e.g., (1,1), (4,2) etc.).

Polar

Lines of constant radius and of constant angle are drawn on the plot area.

Other options for the diagram appearance can also be configured:

Axis width:

Sets the width of the lines representing the axes.

Line width:

Sets the width of the lines used for drawing the grid.

Tic width:

Sets the width of the lines representing tics on the axes.

Tic length:

Sets the length of the lines representing tics on the axes.

Show labels

If checked, the names (x, y) of the axes are shown on the plot and the axes' tics are labeled.

Show axes

If checked, the axes are visible.

Show arrows

If checked, the axes are displayed with arrows at their ends.

103

Colors Configuration

In the Coords tab of the Colors configuration dialog, you can change the colors of the axes and grid of the main KmPlot area.

The Default Function Colors control which colors are cycled through when creating new functions.

Fonts Configuration

Axis font

The font used for drawing the axis numbers and x/y labels.

Label font

The font used for drawing diagram labels (e.g., those showing the plot name or extreme points.

104

Coordinate System Configuration

The Axes Configuration

X-axis Range

Sets the range for the x-axis scale. Note that you can use the predefined functions and constants (see the section called “Predefined Function Names and Constants”) as the extremes of the range (e.g., set Min: to 2*pi). You can even use functions you have defined to set the extremes of the axis range. For example, if you have defined a function f(x) = x^2, you could set Min: to f(3), which would make the lower end of the range equal to 9.

Y-axis Range

Sets the range for the y-axis. See “X-axis Range” above.

X-axis Grid Spacing

This controls the spacing between grid lines in the horizontal direction. If Automatic is selected, then KmPlot will try to find a grid line spacing of about two centermeters that is also numerically nice. If Custom is selected, then you can enter the horizontal grid spacing. This value will be used regardless of the zoom. For example, if a value of 0.5 is entered, and the x range is 0 to 8, then 16 grid lines will be shown.

Y-axis Grid Spacing

This controls the spacing between grid lines in the vertical direction. See “Y-axis Grid Spacing” above.

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/func-predefined.html

105

Constants Configuration

Constants can be used as part of an expression anywhere inside of KmPlot. Each constant must have a name and a value. Some names are invalid, however, such as existing function names or existing constants.

There are two options that control the scope of a constant:

Document

If you select the Document checkbox, then the Constant will be saved along with the current diagram when you save it to file. However, unless you have also selected the Global option, the constant will not be available between instances of KmPlot.

Global If you select the Global checkbox, then the Constant's name and value will be written to KDE settings (where it can also be used by KCalc). The constant will not be lost when KmPlot is closed, and will be available again for use when KmPlot is started again.

106

Chapter 5. KmPlot Reference

Table of Contents

Function Syntax Predefined Function Names and Constants

Trigonometric Functions Hyperbolic Functions Other Functions Predefined Constants

Extensions Mathematical Syntax Plotting Area Crosshair CursorFunction Syntax

Some syntax rules must be complied with:

name(var1[, var2])=term [;extensions]

name - The function name. If the first character is “r” the parser assumes that you are using polar coordinates. If the first character is “x” (for instance “xfunc”) the parser expects a second function with a leading “y” (here “yfunc”) to define the function in parametric form.

var1 - The function's variable

var2 - The function “group parameter”. It must be separated from the function's variable by a comma. You can use the group parameter to, for example, plot a number of graphs from one function. The parameter values can be selected manually or you can choose to have a slider bar that controls one parameter. By changing the value of the slider the value parameter will be changed. The slider can be set to an integer between 0 and 100.

term - The expression defining the function. Predefined Function Names and Constants

All the predefined functions and constants that KmPlot knows can be shown by selecting Help->Predefined Math Functions.

These functions and constants and even all user defined functions can be used to determine the axes settings as well. See the section called “The Axes Configuration”.

Trigonometric Functions

By default, the trigonometric functions work in radians. However, this can be changed via Settings->Configure KmPlot.

sin(x), arcsin(x), cosec(x), arccosec(x) - The sine, inverse sine, cosecant and inverse cosecant respectively.

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/func-predefined.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/func-extension.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/math-syntax.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/coord-area.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/coord-cross.html

107

cos(x), arccos(x), sec(x), arcsec(x) - The cosine, inverse cosine, secant and inverse secant respectively.

tan(x), arctan(x), cot(x), arccot(x) - The tangent, inverse tangent, cotangent and inverse cotangent respectively.

Hyperbolic Functions

The Hyperbolic Functions.

sin(x), arcsin(x), cosec(x), arccosec(x) - The hyperbolic sine, inverse sine, cosecant and inverse cosecant respectively.

cos(x), arccos(x), sec(x), arcsec(x) - The hyperbolic cosine, inverse cosine, secant and inverse secant respectively.

tan(x), arctan(x), cot(x), arccot(x) - The hyperbolic tangent, inverse tangent, cotangent and inverse cotangent respectively.

Other Functions

sqr(x) - The square x^2 of x.

sqrt(x) - The square root of x.

sign(x) - The sign of x. Returns 1 if x is postive, 0 if x is zero, or −1 if x is negative.

H(x) - The Heaviside Step Function. Returns 1 if x is positive, 0.5 if x is zero, or 0 if x is negative.

exp(x) - The exponent e^x of x.

ln(x) - The natural logarithm (inverse exponent) of x.

log(x) - The logarithm of x to base 10.

abs(x) - The absolute value of x.

floor(x) - Rounds x to closest integer less than or equal to x.

ceil(x) - Rounds x to the closest integer greater than or equal to x.

round(x) - Rounds x to the closest integer.

gamma(x) - The gamma function.

factorial(x) - The factorial of x.

min(x ,x ,...,x )1 2 n - Returns the minimum of the set of numbers {x1,x2,...,xn}.

max(x ,x ,...,x )1 2 n - Returns the maximum of the set of numbers {x1,x2,...,xn}.

108

mod(x ,x ,...,x )1 2 n - Returns the modulus (Euclidean length) of the set of numbers {x1,x2,...,xn}.

Predefined Constants

pi, π - Constants representing π (3.14159...).

e - Constant representing Euler's Number e (2.71828...). Extensions

An extension for a function is specified by entering a semicolon, followed by the extension, after the function definition. The extension can either be written in the Quick Edit box or by using the DCOP method Parser addFunction. None of the extensions are available for parametric functions but N and D[a,b] work for polar functions too. For example:

f(x)=x^2; A1

will show the graph y=x2 with its first derivative. Supported extensions are described below:

N - The function will be stored but not be drawn. It can be used like any other user-defined or predefined function.

A1 - The graph of the derivative of the function will be drawn additionally with the same color but less line width.

A2 - The graph of the second derivative of the function will be drawn additionally with the same color but less line width.

D[a,b] - Sets the domain for which the function will be displayed.

P[a{,b...}] - Give a set of values of a group parameter for which the function should be displayed. For example: f(x,k)=k*x;P[1,2,3] will plot the functions f(x)=x, f(x)=2*x and f(x)=3*x. You can also use functions as the arguments to the P option.

Please note that you can do all of these operations by using the function editor dialog too.

Mathematical Syntax

KmPlot uses a common way of expressing mathematical functions, so you should have no trouble working it out. The operators KmPlot understands are, in order of decreasing precedence:

^ : The caret symbol performs exponentiation. e.g., 2^4 returns 16. *, / : The asterisk and slash symbols perform multiplication and division . e.g.,

3*4/2 returns 6. +, − : The plus and minus symbols perform addition and subtraction. e.g., 1+3−2

returns 2.

109

<, >, ≤, ≥

: Comparison operators. They return 1 if the expression is true, otherwise they return 0. e.g., 1 ≤ 2 returns 1.

√ : The square root of a number. e.g., √4 returns 2. |x| : The absolute value of x. e.g., |−4| returns 4. ±, : Each plus-minus sign gives two sets of plots: one in which the plus is taken,

and one in which the minus is taken.e.g.. y = ±sqrt(1−x^2) will draw a circle. These, therefore, cannot be used in constants.

Note the precedence, which means that if parentheses are not used, exponentiation is performed before multiplication/division, which is performed before addition/subtraction. So 1+2*4^2 returns 33, and not, say 144. To override this, use parentheses. To use the above example, ((1+2)*4)^2 will return 144.

Plotting Area

By default, explicitly given functions are plotted for the whole of the visible part of the x-axis. You can specify an other range in the edit-dialog for the function. If the plotting area contains the resulting point it is connected to the last drawn point by a line.

Parametric and polar functions have a default plotting range of 0 to 2π. This plotting range can also be changed in the Function Editor.

Crosshair Cursor

While the mouse cursor is over the plotting area the cursor changes to a crosshair. The current coordinates can be seen at the intersections with the coordinate axes and also in the status bar at the bottom of the main window.

You can trace a function's values more precisely by clicking onto or next to a graph. The selected function is shown in the status bar in the right column. The crosshair then will be caught and be colored in the same color as the graph. If the graph has the same color as the background color, the crosshair will have the inverted color of the background. When moving the mouse or pressing the keys Left or Right the crosshair will follow the function and you see the current x- and y-value. If the crosshair is close to y-axis, the root-value is shown in the statusbar. You can switch function with the Up and Down keys. A second click anywhere in the window or pressing any non-navigating key will leave this trace mode.

For more advanced tracing, open up the Configure KmPlot dialog, and select "Draw tangent and normal when tracing" from the General Settings page. This option will draw the tangent, normal and oscullating circle of the plot currently being traced.

Chapter 6. Command Reference

Table of Contents

110

The File Menu The Edit Menu The View Menu The Tools Menu The Settings Menu The Help MenuThe File Menu

File->New (Ctrl+N)

Starts a new Plot by clearing the coordinate system and resetting the function parser.

File->Open... (Ctrl+O)

Opens an existing document.

File->Open Recent

Displays a list of recently opened files. Selecting one from this list plots the functions in the file.

File->Save (Ctrl+S)

Saves the document.

File->Save As...

Saves the document under another name.

File->Print... (Ctrl+P)

Sends the plot to a printer or file.

File->Export...

Export values to a textfile. Every value in the parameter list will be written to one line in the file.

File->Quit (Ctrl+Q)

Exits KmPlot.

The Edit Menu

Edit->Undo

Undo the last command.

Edit->Redo

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/a-edit-menu.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/a-view-menu.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/a-tools-menu.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/a-settings-menu.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/a-help-menu.html

111

Redo the last command that was undone.

Edit->Coordinate System...

Displays the Coordinate System dialog box. See the section called “Coordinate System Configuration”.

Edit->Constants...

Displays the Constants dialog box. See the section called “Constants Configuration”.

The View Menu

The first three items in the menu are related to zooming.

View->Zoom In (Ctrl+1)

This tool can be operator in two different manners. To zoom in on a point on the graph, click on it. To zoom in on a specific section of the graph, hold and drag the mouse to form a rectangle, which will be the new axes ranges when the mouse button is released.

View->Zoom Out (Ctrl+2)

The tool can also be used in two different manners. To zoom out and center on a point, click on that point. To fit the existing view into a rectangle, hold and drag the mouse to form that rectangle.

Zoom->Fit Widget to Trigonometric Functions

The scale will be adapted to trigonometric functions. This works both for radians and degrees.

Settings->Show Sliders

Toggles the visibility of the slider dialog.

Edit->Coordinate System I

Show both positive and negative x- and y-values on the grid.

Edit->Coordinate System II

Show positive and negative y-values, but positive x-values only

Edit->Coordinate System III

Show only positive x- and y-values.

The Tools Menu

This menu contains some tools for the functions that can be useful:



http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/constants-config.html

112

Tools->Get y-Value...

Let the user get the y-value from a specific x-value. Type a value or expression in the text box under "X:". In the list below all the available functions are shown. Press Enter to calculate the function's y-value. The result will be shown in the y-value box.

Tools->Search for Minimum Value...

Find the minimum value of the graph in a specified range.

Tools->Search for Maximum Value...

Find the maximum value of the graph in a specified range.

Tools->Calculate Integral

Select a graph and the x-values in the new dialog that appears. Calulates the integral and draws the area between the graph and the x-axis in the range of the selected x-values in the color of the graph.

The Settings Menu

Settings->Show/Hide Statusbar

Toggle on and off the display of the status bar at the bottom of the KmPlot main window. The default is on.

Settings->Full Screen Mode (Ctrl-Shift-F)

With this action you toggle the full screen mode.

Settings->Configure Shortcuts...

Personalize the keybindings for KmPlot.

Settings->Configure Toolbars...

Personalize the toolbars for KmPlot.

Settings->Configure KmPlot...

Customize KmPlot. The options available to you are described in Chapter 4, Configuring KmPlot.

Settings->Show/Hide Toolbar

Toggle on and off the display of the toolbar. The default is on.

The Help Menu

KmPlot has a standard KDE Help as described below, with one addition:

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/configuration.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/configuration.html

113

Help->Predefined Math Functions...

Opens a window with a list of the predefined function names and constants that KmPlot knows.

The standard KDE Help entries are:

Help->KmPlot Handbook (F1)

Invokes the KDE Help system starting at the KmPlot help pages. (this document).

Help->What's This? (Shift+F1)

Changes the mouse cursor to a combination arrow and question mark. Clicking on items within KmPlot will open a help window (if one exists for the particular item) explaining the item's function.

Help->Report Bug...

Opens the Bug report dialog where you can report a bug or request a “wishlist” feature.

Help->About KmPlot

This will display version and author information.

Help->About KDE

This displays the KDE version and other basic information.

Chapter 7. Scripting KmPlot

A new feature in KDE 3.4 is that you can write scrips for KmPlot with DCOP. For example, if you want to define a new function f(x)=2sin x+3cos x, set its line width to 20 and then draw it, you type in a console:

dcop kmplot-PID Parser addFunction "f(x)=2sin x+3cos x" As a result, the new function's id number will be returned, or -1 if the function could not be defined.

114

>dcop kmplot-PID Parser setFunctionFLineWidth 20 ID This command sets the function with the id number ID the line width to 20.

>dcop kmplot-PID View drawPlot This command repaints the window so that the function get visible.

A list over the available functions:

KmPlotShell fileOpen &url

Load the file url.

MainDlg isModified

Returns true if any changes are done.

MainDlg editColors

Opens the color edit dialog.

MainDlg editAxes

Opens the coordinate system edit dialog.

MainDlg editScaling

Opens the scaling edit dialog.

MainDlg editFonts

Opens the fonts edit dialog.

MainDlg editConstants

Opens the constants edit dialog.

MainDlg newFunction

Opens the new function plot dialog.

MainDlg newParametric

Opens the new parametric plot dialog.

MainDlg newPolar

Opens the new polar plot dialog.

MainDlg toggleShowSlider0

Shows/hides parameter slider window number 1.

115







MainDlg slotSave

Saves the functions (opens the save dialog if it is a new file).

MainDlg slotSaveas

The same as choosing File->Save As in the menu.

MainDlg slotEditPlots

Opens the edit plots dialog.

MainDlg slotPrint

Opens the print dialog.

MainDlg slotExport

Opens the export dialog.

MainDlg slotSettings

Opens the settings dialog.

MainDlg slotNames

Shows a list of predefined math functions.

MainDlg slotCoord1

Coordinate System I.

MainDlg slotCoord2

Coordinate System II.

MainDlg slotCoord3

Coordinate System III.

116

MainDlg getYValue

The same as choosing Tools->Get y-Value... in the menu.

MainDlg findMinimumValue

The same as choosing Tools->Search for Minimum Value... in the menu.

MainDlg findMaximumValue

The same as choosing Tools->Search for Maximum Value... in the menu.

MainDlg graphArea

The same as choosing Tools->Calculate Integral in the menu.

Parser addFunction f_str

Adds a new function with the expression f_str. If the expression does not contain a function name, it will be auto-generated. The id number of the new function is returned, or -1 if the function couln't be defined.

Parser delfkt id

Removes the function with the id number id. If the function could not be deleted, false is returned, otherwise true.

Parser setFunctionExpression f_str id

Sets the expression for the function with the id number id to f_str. Returns true if it succeed, otherwise false.

Parser countFunctions

Returns the number of functions (parametric functions are calculated as two).

Parser listFunctionNames

Returns a list with all functions.

Parser fnameToId f_str

Returns the id number of f_str or -1 if the function name f_str was not found.

Parser id x

Calculates the value x for the function with the ID id or returns 0.0 if id does not exist.

Parser functionFVisible id

Returns true if the function with the ID id is visible, otherwise false.

117

Parser functionF1Visible id

Returns true if the first derivative of the function with the ID id is visible, otherwise false.

Parser functionF2Visible id

Returns true if the second derivative of the function with the ID id is visible, otherwise false.

Parser functionIntVisible id

Returns true if the integral of the function with the ID id is visible, otherwise false.

Parser setFunctionFVisible visible id

Shows the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false

Parser setFunctionF1Visible visible id

Shows the first derivative of the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionF2Visible visible id

Shows the second derivative of the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionIntVisible visible id

Shows the integral of the function with the ID id if visible is true. If visible is false, the function will be hidden. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser functionStr id

Returns the function expression of the function with the ID id. If the function not exists, an empty string is returned instead.

Parser functionFColor id

Returns the color of the function with the ID id.

Parser functionF1Color id

Returns the color of the first derivative of the function with the ID id.

Parser functionF2Color id

118

Returns the color of the second derivative of the function with the ID id.

Parser functionIntColor id

Returns the color of the integral of the function with the ID id.

Parser setFunctionFColor color id

Sets the color of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionF1Color color id

Sets the color of the first derivative of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionF2Color color id

Sets the color of the second derivative of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionIntColor color id

Sets the color of the integral of the function with the ID id to color. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser functionFLineWidth id

Returns the line width of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.

Parser functionF1LineWidth id

Returns the line width of the first derivative of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.

Parser functionF2LineWidth id

Returns the line width of the first derivative of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.

Parser functionIntLineWidth id

Returns the line width of the integral of the function with the ID id. If the function not exists, 0 is returned.

Parser setFunctionFLineWidth linewidth id

Sets the line width of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.

119

Parser setFunctionF1LineWidth linewidth id

Sets the line width of the first derivative of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionF2LineWidth linewidth id

Sets the line width of the second derivative of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser setFunctionIntLineWidth linewidth id

Sets the line width of the integral of the function with the ID id to linewidth. True is returned if the function exists, otherwise false.

Parser functionParameterList id

Returns a list with all the parameter values for the function with the ID id.

Parser functionAddParameter new_parameter id

Adds the parameter value new_parameter to the function with the ID id. True is returned if the operation succeed, otherwise false.

Parser functionRemoveParameter remove_parameter id

Removes the parameter value remove_parameter from the function with the ID id. True is returned if the operation succeed, otherwise false.

Parser functionMinValue id

Returns the minimum plot range value of the function with the ID id. If the function not exists or if the minimum value is not definied, an empty string is returned.

Parser functionMaxValue id

Returns the maximum plot range value of the function with the ID id. If the function not exists or if the maximum value is not definied, an empty string is returned.

Parser setFunctionMinValue min id

Sets the minimum plot range value of the function with the ID id to min. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.

Parser setFunctionMaxValue max id

Sets the maximum plot range value of the function with the ID id to max. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.

Parser functionStartXValue id

120

Returns the initial x point for the integral of the function with the ID id. If the function not exists or if the x-point-expression is not definied, an empty string is returned.

Parser functionStartYValue id

Returns the initial y point for the integral of the function with the ID id. If the function not exists or if the y-point-expression is not definied, an empty string is returned.

Parser setFunctionStartXValue min id

Sets the initial x point for the integral of the function with the ID id to x. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.

Parser setFunctionStartYValue max id

Sets the initial y point for the integral of the function with the ID id to y. True is returned if the function exists and the expression is valid, otherwise false.

View stopDrawing

If KmPlot currently is drawing a function, the procedure will stop.

View drawPlot

Redraws all functions.

If you want to contribute to KmPlot feel free to send a mail to (kd.moeller AT t-online.de), (f_edemar AT linux.se) or (david AT bluehaze.org).

Chapter 9. Credits and License

KmPlot - Program copyright 2000-2002 Klaus-Dieter Möller (kd.moeller AT t-online.de)

Contributors

• CVS: Robert Gogolok (mail AT robert-gogoloh.de) • Porting GUI to KDE 3 and Translating: Matthias Messmer (bmlmessmer AT

web.de) • Various improvements: Fredrik Edemar (f_edemar AT linux.se) • Porting to Qt 4, UI improvements, features: David Saxton (david AT

bluehaze.org)

Documentation copyright 2000--2002 by Klaus-Dieter Möller (kd.moeller AT t-online.de).

121

Documentation extended and updated for KDE 3.2 by Philip Rodrigues (phil AT kde.org).

Documentation extended and updated for KDE 3.3 by Philip Rodrigues (phil AT kde.org) and Fredrik Edemar (f_edemar AT linux.se).

Documentation extended and updated for KDE 3.4 by Fredrik Edemar (f_edemar AT linux.se).

Documentation extended and updated for KDE 4.0 by David Saxton (david AT bluehaze.org).

This documentation is licensed under the terms of the GNU Free Documentation License.

This program is licensed under the terms of the GNU General Public License.

Appendix A. Installation

KmPlot is part of the KDE project http://www.kde.org/.

KmPlot can be found in the kdeedu package on ftp://ftp.kde.org/pub/kde/, the main FTP site of the KDE project.

KmPlot is part of the KDE EDU Project: http://edu.kde.org/

KmPlot has its own homepage on SourceForge. You can also find archives of older versions of KmPlot there, for example, for KDE 2.x

In order to compile and install KmPlot on your system, type the following in the base directory of the KmPlot distribution:

% ./configure% make% make install

Since KmPlot uses autoconf and automake you should have no trouble compiling it. Should you run into problems please report them to the KDE mailing lists

MANUAL PENGGUNAAN PERISIAN KMPLOT

Berikut merupakan Manual Penggunaan Perisian Kmplot. Manual ini

menerangkan beberapa ciri dan maklumat yang penting. Oleh itu, manual juga boleh

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/common/fdl-license.html

http://docs.kde.org/development/en/kdeedu/kmplot/common/gpl-license.html

http://www.kde.org/

ftp://ftp.kde.org/pub/kde/

http://edu.kde.org/

http://kmplot.sourceforge.net/

122

digunakan bersama-sama dengan buku panduan KmPlot di dalam Lampiran A untuk

meningkatkan pemahaman dan penguasaan terhadap perisian ini.

1. Perisian KmPlot mempunyai 7 menu utama yang dipaparkan di barisan atas pada

antara muka perisian. Rajah 1 di bawah menunjukkan antara muka perisian

KmPlot.

Rajah 1 Antara muka perisian KmPlot

2. Menu Edit:

a. Color → Configure – KmPlot

Coords berfungsi untuk membuat pilihan warna bagi garis paksi

graf dan grid graf. (Rajah 2)

123

Rajah 2 Antara muka Coords

Default Function Colors berfungsi sebagai pilihan warna untuk graf

yang diplot. (Rajah 3)

Rajah 3 Antara muka Default Function Colors

b. Coordinate System → Configure – KmPlot

Axes berfungsi untuk menetapkan julat bagi paksi x dan paksi y

(Rajah 4).

124

Rajah 4 Antara muka Axes

Grid berfungsi untuk membuat pilihan gaya grid samada tiada grid,

garisan, persilangan atau pun polar (Rajah 5).

Rajah 5 Antara muka Grid

c. Scaling → Configure – KmPlot

Edit Scaling berfungsi untuk mengubah ketebalan paksi untuk

paparan dan cetakan(Rajah 6).

125

Rajah 6 Antara muka Edit Scaling

d. Fonts → Configure – KmPlot

Edit Fonts berfungsi untuk menetapkan jenis tulisan, saiz dan

tajuk(Rajah 7).

Rajah 7 Antara muka Edit Fonts

e. Coordinate System I berfungsi untuk menetapkan graf pada jarak yang

sama dari titik (0,0) (Rajah 8).

126

Rajah 8 Antara muka Coordinate System I

f. Coordinate System II berfungsi untuk menetapkan graf pada jarak yang


Rajah 9 Antara muka Coordinate System II

g. Coordinate System III berfungsi untuk menetapkan graf pada jarak yang


127

Rajah 10 Antara muka Coordinate System III

3. Menu Plot

a. New Function Plot

i. Function (Rajah 11)

Fungsi:

Menandakan fungsi di ruangan Equation

Graf fungsi boleh dipaparkan atau sebaliknya dengan membuat

pilihan pada kotak Extensions

Boleh menetapkan nilai parameter

Boleh menetapkan jarak minimum dan maksimum plot graf

Boleh mengubah ketebalan garis graf fungsi

Boleh menetapkan warna bagi graf yang diplot.

128

Rajah 11 Antara muka New Function Plot

ii. Derivatives (Rajah 12)

Fungsi:

Mempunyai dua peringkat pembezaan

Memaparkan graf pembezaan

Rajah 12 Antara muka Derivatives

129

iii. Integral (Rajah 13)

Fungsi:

Memaparkan graf pengamiran.

Rajah 13 Antara muka Integral

b. New Parametric Plot (Rajah 14)

Fungsi:

Pada kotak Definition → Name diisi sebagai pengenalan kepada

fungsi parametrik

Mempunyai pilihan untuk memapar atau tidak graf yang diplot

Menetapkan julat minimum dan maximum

Membuat pilihan bagi ketebalan dan warna graf

130

Rajah 14 Antara muka New Parametric Plot

c. New Polar Plot (Rajah 15)

Fungsi:

Pada kotak Definition → Equation untuk memasukkan pesamaan.

Mempunyai pilihan untuk memapar atau tidak graf yang diplot

Menetapkan julat minimum dan maximum

Membuat pilihan bagi ketebalan dan warna graf

Rajah 15 Antara muka New Polar Plot

131

d. Edit Plot (Rajah 16)

Fungsi:

Membaiki fungsi yang telah diplot

Membuang fungsi yang tidak diingini

Menyalin fungsi pada antara muka Kmplot lain

Rajah 16 Antara muka Edit Plot

4. Menu Tools

a. Get y-Value berfungsi untuk mendapatkan nilai y dengan memberikan nilai

x pada graf yang dipilih (Rajah 17).

Rajah 17 Antara muka Get y-Value

132

b. Search for minimum Value berfungsi untuk mendapatkan nilai minimum

bagi graf (Rajah 18)

Rajah 18 Antara muka Search for minimum Value

c. Search for maximum Value berfungsi untuk mendapatkan nilai maksimum

bagi graf (Rajah 19)

Rajah 19 Antara muka Search for maximum Value

133

1 : THE GRAPH OF

LINEAR FUNCTION

Activity 1.1: Understand the graph of linear functions

Activity 1.2: Investigate the characteristics of graph of linear

Activity 1.3: Position of a point relative to the graph of y = ax +b

Activity 1.4: Problem solving involving the graphs of linear

134

Activity 1.1: Understand the graph of linear functions

Learning Objectives:

Student will be able to:

1. Plot the graph of linear functions using KmPlot. baxy += , where a and b

are constants.

2. Investigate, determine and explain the changes value of constants can effect

the graphs.

3. Investigate, determine and explain the relationships between the value of a

and the slope of graph of linear functions.

4. Investigate, determine and explain the relationships between the value of b

with the y-intercept.

5. Find the pattern of the graphs when the value of x is changing.

Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring, and Drawing conclusion.

Instruction:

1. Plot the functions 24 += xy and 2+= xy using KmPlot. (Make sure the

equation is in a form of y in terms of x).

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function in the

Equation box and click Ok.

24 += xy

3. By using the same grid, repeat step (2) for the function 2+= xy .

4. Observe the value of a and b, what can you conclude about the similarities or

differences between the functions and the graphs.

5. To “Save” the graphs and the diagrams:

a. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.

b. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File

menu.

135

To find the value of y, given a value of x using KmPlot:

1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a form

of y in terms of x).

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the Equation

box and click Ok.

3. Select Get y-value from Tool menu and insert the value of x in the required

space.

4. Select the required function. Then click Calculate.

5. Complete the table below.

Function x value y value

-1

-0.5

0

0.5

34 −= xy

1

-1

-0.5

0

0.5

221

−−= xy

1

6. From the table above, what can you conclude about the pattern of the graphs

when the value of x is sequenced in ascending and descending order?

136

Exercise 1.1

1. Plot each set of three functions below on the same grid through KmPlot.

Discuss the results obtained through the graphs.

Function Discussions

i. 0)0(2 +−= xy

0)4(2 +−= xy

0)5(2 ++= xy

ii. 4)0(2 −−= xy

4)0(21

−−= xy

4)0(4 −−= xy

iii. 0)0(2 +−= xy

4)0(2 −−= xy

5)0(2 +−= xy

iv. 5)0(2 +−= xy

5)4(2 +−−= xy

5)5(0 +−= xy

v. 63 += xy

73 += xy

53 −= xy

137

2. Plot the graph for each of the functions using KmPlot.

Explore the graph, then

a) Investigate, determine and explain the relationships between the value of

a and the slope of the graph.

b) Investigate, determine and explain the relationships between the value of

b with the y-intercept.

What can you conclude? Complete the table below.

Function Relationships between

value of a and the slope

Relationships between

value of b with the

y-intercept

i. 2+−= xy

ii. 04 =− xy

iii. 223 =− yx

iv. 25 −= xy

v. xy231 −=+

vi. 72 −=− xy

138

3. From the functions below, find the value of y using KmPlot if the value of x is

given. What can you conclude about the pattern of the graphs when the value of

x is sequenced in ascending and descending order? Complete the table below.

Function x value y value Conclusions

-1

0

0.5

1

2+−= xy

1.5

-1

0

0.5

1

223 =− yx

1.5

-1

0

0.5

1

73 += xy

1.5

-1

0

0.5

1

xy231 −=+

1.5

139

4. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions below with

the correct graphs.

1234 =− yx

xy 57 +=

xy 57 −=

2)35( −

−= xy

Graphs Functions

140

Activity 1.2: Investigate the characteristics of graph of linear



1. Classify and compare the types and shapes of graphs of linear functions.

2. Derive the gradient of the graphs whether negative, positive, zero or

undefined in terms of a value.

3. Find the roots of functions on the graphs using KmPlot.

Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring, Comparing, Drawing

conclusion and Discovering.

Instruction:

1. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot for

a>0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function and

click Ok.

Group A : a>0

34 −= xy

221

−= xy

2. Open new Kmplot window.

3. Plot each of the following group of functions on the same grid using Kmplot for

a<0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function and

click Ok.

Group B : a<0

34 −−= xy

221

−−= xy

141

4. Compare the shapes of each type of functions when a>0 and a<0. Complete the

table below. What can you conclude about the shapes of the graphs?


a > 0 a < 0

Straight Line

5. From the graphs, identify the gradient of the graph whether negative, positive,

zero or undefined.

6. Identify the roots of functions by clicking the mouse to the graph. Move the

cursor along the graph until x=0. What can you conclude about the results

obtained?


Group A : a>0 Gradient Roots Group B : a<0 Gradient Roots

34 −= xy

34 −−= xy

221

−= xy

221

−−= xy

142

Exercise 1.2

1. Identify each of the functions and answer all the questions.

(a) 2−=− xy (b) 923

=− xy (c) 6=− xy

(d) 923

=+ xy (e) 6=+ xy (f) 2−=+ xy

a) Classify the graphs into two groups, which Group 1 for a>0, and Group 2

for a<0.

b) Predict the gradient of the graphs and sketch the graphs. Then, plot on the

same grid using KmPlot and check your prediction.

c) Identify the gradient of graphs whether negative, positive, zero or

undefined.

d) What can you conclude about the relationships between the value of a and

the gradient?

e) Find the roots for each of the functions.

f) Complete the table below.

Group 1 : a > 0 Root Group 2 : a < 0 Root

Gradient: Gradient:

143

Activity 1.3: Position of a point relative to the graph of y = ax +b

Learning Objective:


1. Investigate the position of a point relative to the graph of y = ax + b.

Operation Cognitive: Recognising and Analysing.

Instruction:

1. Plot the graph of 53 += xy using KmPlot. Select New Function Plot from

menu Plot. Insert the function and click Ok.

2. According to the graphs, identify the position of points given. Move the

mouse until the status bar show the point given.

3. What can you conclude about the position of a point?



Below On Above

(2,3) 3 11 √ √

(-2,-1)

(-7,-3)

(0,0)

(3,0.5)

(1.2, 3)

144

Exercise 1.3

1. Predict the position of the points based on the function of , and then

using KmPlot, plot that function. Explore the graph based on the point. Check

and explain your prediction. Complete the table below.

66 += xy


Below On Above

(2,3) 3 11 √ √

(2,0)

(1,6)

(-4,0)

(-1,0)

(0,6)

(-2,-1)

145

Activity 1.4: Problem solving involving the graphs of linear

Learning Objective:


1. Solve the problems involving the linear graphs.

Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Hypothesizing, and

Drawing conclusion.

Example:

A triangle ABC has sides measuring nAB = , nBC21

= and . The

perimeter of the triangle is P.

4+= nAC

a) Write an equation of P in term of n.

b) Plot the equation using KmPlot.

c) Find the value of n if the perimeter or triangle is 10 units from the

graph.

d) If 2=AB units, find the perimeter of the triangle from the graph.

e) If all of the length of sides increasing by 2 units, what will happen

to the equation? Compare new equation with the original equation;

explain any changes of the shapes, slopes or the y-intercepts of the

graph.

146

Solution:

A

Ca) ACBCABP ++=

)4(21

+++= nnnP

425

+= nP

Change 425

+= nP to the y in term of x:

425

+= xy

B

b) Select New Function Plot from Plot menu, insert the function

425

+= xy and click Ok.

c) Move the mouse until the status bar show the 10=y . Then it will get n

value. ____== nx

d) Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the

function. Then click Calculate. ____== Py

e) Increasing by 2:

2+= nAB , 221

+= nBC and 2)4( ++= nAC .

ACBCABP ++=

)2)4(()221()2( +++++== nnnP

1025

+= nP (New function)

425

+= nP (Original function)

The shape and slope of the graphs are similar, but the y-intercept is

increasing by 6 units.

147

Exercise 1.4

1. The table shows the coordinate of points K, L and M. Answer all the questions.

Point K L M

Coordinates (2,2) (-3,-13) (3,6)

a) Predict the gradient of the function 43 −= xy whether positive or

negative.

b) Using the KmPlot, is your prediction on the gradient correct? Explain.

c) Determine which of the point is not lying on the line . Explain. 43 −= xy

d) Using K and L coordinate. If the y-coordinate of K decreases by 4 units

i. Explain the changes of the graph.

ii. Explore the graph, what is the new value of y-intercept?

2. Kamal used the table of values as shown to draw the graph of functions

74 += xy . He found that one of the points does not lie on the straight line.

Coordinate A B C D

x -4 1 2 3

y -9 11 15 19

a) Using KmPlot, plot the function 74 += xy and identify which point does

lie on the straight line.

b) What can he conclude about the results obtained if the value of x is

changing?

c) According to A and C coordinates, what will happen to the graph if x

coordinate of C decreases by 3 units?

148

3. Encik Ali and Mr. Wong are housemates. They go to the office together. Given

that td325 += , where d is a distance travelled by Mr. Wong in km and t is the

time after leaving the house in minutes.

a) Plot the graph td325 += using KmPlot.

b) At what time the distance is 8km?

c) Find the distance if they stop to have a breakfast after their travelling is

15 minutes.

149

2 : THE GRAPH OF

QUADRATIC FUNCTION

Activity 2.1: Understand the graph of quadratic functions

Activity 2.2: Investigate the characteristics of graph quadratic

Activity 2.3: Compare the graphs of quadratic with different values of a and

Activity 2.4: Problem solving involving the linear graphs

150

Activity 2.1: Understand the graph of quadratic functions



1. Plot the graphs of quadratic functions using KmPlot. , where

a, b and c are constants, a ≠ 0.

cbxaxy ++= 2

2. Investigate, determine and explain the changes value of constants can effect

the graphs.


and the shape of the graph of quadratic functions.

4. Investigate, determine and explain the relationships between the value of c



Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Inquiring and Drawing conclusion.

Instruction:

1. Plot the functions , and using KmPlot.

(Make sure the equation is in a form of y in terms of x).

73 2 −−= xxy 382 +=+ yxx 2xy −=

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function

in the Equation box and click Ok.

73 2 −−= xxy

3. By using the same grid, repeat step (2) for the functions and

.

382 +=+ yxx2xy −=

4. Observe the value of a and c, what can you conclude the similarities or





menu.

151


1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a form

of y in terms of x).

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the Equation

box and click Ok.


space.




-3

-2

-1

0

322 −+= xxy

1

-0.5

0.5

1

1.5

248 xxy −=

2


when the value of x is sequenced in ascending and descending order?

152

Exercise 2.1

1. Answer all the questions:

i. Predict what will happen to the graph of form for the

following values of a: {2, 1, 0.5, 0, -0.5, -1, and -2}. Plot on KmPlot and

check your prediction. What special case occurs at ? Explain why

the patterns occur.

452 ++= xaxy

0=a

ii. Predict what will happen to the graph of form for the

following values of b: {6, 3, 0, -3, and -6}. Plot on KmPlot and check

your prediction. What special case occurs at

42 ++= bxxy

0=b ? Explain why the

patterns occur.

iii. Predict what will happen to the graph of form for the

following values of c: {8, 4, 0, -4 and -8}. Plot on KmPlot and check your

prediction. What special case occurs at

cxxy ++= 52

0=c ? Explain why the patterns

occur.

2. Plot the graphs for each of the functions using KmPlot.

a. 121 2 =− xy b. 26 xxy −=

c. 542 2 −=−− xxy d. 92 −−= xy



a and the shape of the graph.


c with the y-intercept.

What can you conclude?

153

3. From the functions below, find the value of y using KmPlot with the x-value

given. For each function construct a table of your result. What can you conclude

about the pattern of the graphs when the value of x is changing?

i. 22 =−− xxy 33 ≤≤− x

ii. 24 xxy −= 52 ≤≤− x

iii. 562 2 +−= xxy 33 ≤≤− x

iv. yxx =−+ )5)(1( 51 ≤≤− x

Example:


-3

-2

-1

0

1

2

22 =−− xxy

3

-2

-1

0

1

2

3

4

24 xxy −=

5

154

4. By Plotting the functions below on the KmPlot, match the functions with the

correct graphs.

242 +−−= xxy

422 −+= xxy

23 2 −+= xxy

23 2 ++= xxy

Graphs Functions

155

Activity 2.2: Investigate the characteristics of graph quadratic



1. Classify and compare the types and shapes of graphs of quadratic functions.


Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Inquiring, Drawing

conclusion & Discovering.

Instruction:

1. Plot each of the following groups of functions on the same grid using Kmplot

for a>0.

2. Select New Function Plot from menu Plot. Insert the function and click Ok

Group A : a>0

562 2 −+= xxy

22

2

−=xy



for a<0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function

and click Ok

Group B : a<0

562 2 −+−= xxy

22

2

−−=xy

156

5. Compare the shapes of each type of functions when and 0>a 0<a


a > 0 a > 0

Parabola



obtained?


Group A : a<0 Root Group B : a<0 Root

562 2 −+= xxy 562 2 −+−= xxy

22

2

−=xy

2

2

2

−−=xy

157

Exercise 2.2

1. Identify each of the function. Answer all the questions below.

(a) yxx =+− 882 2 (b) 386 2 −=+ yxx (c) 722 −+= xxy

(d) )56( x

yx−

= (e) 422 −=− yx

x (f) 02 =+ xy

a) Classify the graphs into two groups, which is Group 1 for a>0, and Group

2 for a<0.

b) Predict the shapes of the graphs by sketch the graphs. Then, plot on the


c) What can you conclude about the relationships between the value of a and

shapes of the graphs?

d) Find the roots for each of the functions.

e) Complete the table below.

Group 1 : a<0 Root Group 2 : a<0 Root

158

Activity 2.3: Compare the graphs of quadratic with different values of a and c



1. Compare the shapes of graph with different values of a. cbxaxy ++= 2

2. Explore the line of symmetry and the minimum or maximum point of the

graphs when a and c is changing.

Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing, Drawing conclusion &

Discovering.

Instruction:

1. Plot each of the following groups of graphs on the same grid using KmPlot.

Group A (a>0) Group B (a<0)

2

41 xy = 2

41 xy −=

26xy = 26xy −=

2. Compare the graphs obtained in each group.

e. What can you conclude about the shapes of the parabola when the value

of a increases or decreases

3. Are there any minimum or maximum points? To get the minimum and maximum

point for the graphs. (The minimum point is the lowest point of the parabola; the

maximum point is the highest point of the parabola).

a. To get the minimum value, click Tool menu and then select Search For

Minimum Value. Then insert the x value range. Select the function that

you want to find minimum value and click button Find.

159

b. To get the maximum value, click Tool menu and then select Search For

Maximum Value. Then insert the x value range. Select the function that

you want to find maximum value and click button Find.

4. Identify whether the graphs are symmetrical and state the line symmetry.

5. What can you conclude?


Conclusion For a > 0 For a <0

Sketch of the graphs

Minimum/maximum

point

Symmetrical line

160

Exercise 2.3

1. Given the function is . Explore the graph and answer the following

questions:

22 += xy

a) What happen to the line of symmetry and the minimum or maximum

point of a graph when value of a is positive and

i. Values of c increases?

ii. Values of c decreases?

b) What happen to the line of symmetry and the minimum or maximum

point of a graph when value of a is negative and

i. Values of c increases?

ii. Values of c decreases?

c) How does the shapes of the curve change when value of c changes?

d) What do you observe if you increase and decrease value of a, while

keeping c as constant?

2. Given the function is . Explore the graph and answer the

following questions:

22 ++= xxy

a) What happen to the axis and the minimum or maximum point of a graph

when value of b increases or decreases?

b) If value of a is negative, what happens to the axis and the minimum or

maximum point of a graph when value of b increases or decreases?

c) How does the shapes of the curve change when value of b changes?


keeping b and c as constant?

161

3. Plot each of the following groups of graphs on the same grid.

a) Predict whether the functions have maximum or minimum point.

b) Using KmPlot, find the minimum or maximum point.

c) Observe the value of a and the value of minimum or maximum point of a

graphs, what can you conclude about the relationships between the value

of a, shapes of the graphs and the value of minimum or maximum point?

d) State the symmetrical line.

Function Minimum/maximum

point

Symmetrical

line

yxx =−+ 322

412 =− xy Group 1 :

a > 0

42 =− yx

244 xxy −=

2

21 xxy +− Group 1 :

a > 0

02 =+− yxx

4. From the exercises, conclude what you notice about how changing the

constants change the graphs?

162

Activity 2.4: Problem solving involving the linear graphs

Learning Objective:


1. Solve the problems involving the graph of functions.

Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Inquiring, and

Drawing conclusions.

Example:

A ball is thrown upward its height after t second is given , where h

is the measurement in meter.

26 tth −=

a) Plot the graph of using KmPlot. 26 tth −=

b) Use the graph to find the height of the ball when the time is

i. 0.5 second ii. 2.9 second

c) Find the maximum point that the ball can reach.

Solution:

a) Change the equation to y in term of x → . Select

New Function Plot from Plot menu. Insert the function and

click Ok.

26 tth −= 26 xxy −=

26 xxy −=

b) Select Get y-value from Tool menu and insert time given in the x-value.

Select the function and click Calculate.

i. 0.5 second ; ____== hy ii. 2.9 second ; ____== hy

c) From the shape of the graph represent the graph has maximum point.

Click Tool menu and then select Search For Maximum Value. Then

insert the x value range (-10 ≤ x ≤ 10). Select the function that you want

to find maximum value and click button Find.

Maximum point of function is = _____ 26 xxy −=

163

Exercise 2.4

1. The diagram shows a rectangle of ABCD and a parallelogram PQRS. Given

that 3=AB cm, 2=AD cm and the PQRS region is y cm2.

(a) Sh

(b) Pr

(c) Us

pr

(d) Fi

(e) If

2. The area

Given th

(a) W

(b) Us

(c) If

(d) If

(e) If

to

ex

mi

A

ow that . 2256 xxy +−=

edict the graph with sketch the function.

ing KmPlot, plot the equation an

ediction.

22815 xxy +−=

nd the value of y when 5.2=x cm using KmPlot

, find the value of x. 6=y

of a rectangular swimming pool is greater than th

at the breadth is x m and the area is A m2

rite an equation of A in term of x.

ing Kmplot, plot the graph of A against x.

the breadth is 1.5 m, find the area of the swimming

the area is 5.8 m2, find the breadth of swimming po

the breadth of the swimming pool decreases by 1.5

the equation? Compare new equation with the orig

plain any changes of the shape, line of symmetry a

nimum of the graph.

B

Q

D
C
P

S

R

x cm

x cm

x cm

x cm

d check your

e breadth by 4 m.

pool.

ol.

m, what will happen

inal equation;

nd maximum or

164

3 : THE GRAPH OF

CUBIC FUNCTION

Activity 3.1: Understand the graph of cubic functions

Activity 3.2: Investigate the characteristics of graph of cubic

Activity 3.3: Compare the graphs of cubic with different values of b

Activity 3.4: Problem solving involving the graphs of cubic

165

Activity 3.1: Understand the graph of cubic functions



1. Plot the graphs of cubic functions using KmPlot. ,

where a, b, c and d are constants, a ≠ 0.

dcxbxaxy +++= 23

2. Investigate, determine and explain the changes of constants can effect the

graphs.


and the shape of graphs.

4. Investigate, determine and explain the relationships between the value of d




Instruction:

1. Plot the functions and using KmPlot. (Make

sure the equation is in a form of y in terms of x).

342 3 ++−= xxy 23 −= xy

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function

and click Ok. 342 3 ++−= xxy

3. By using the same grid, repeat step (2) for the function . 23 −= xy

4. Observe the value of a and d, what can you conclude about the similarities or





menu.

166


1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a

form of y in terms of x).

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the



space.




-2

-1

0

1

23 +−= xy

2

-2

-1

0

1

xxy 33 −=

2


when the value of x is changing?

167

Exercise 3.1


i. Predict what will happen to the graph of form for the

following values of a: {2, 1, 0.5, 0, -0.5, -1, and -2}. Plot on KmPlot and

check your prediction. What special case occurs at ? Explain why

the patterns occur.

43 += axy

0=a

ii. Predict what will happen to the graph of form for the

following values of d: {8, 4, 0, -4 and -8}. Plot on KmPlot and check your

prediction. What special case occurs at

dxy += 3

0=d ? Explain why the patterns

occur.

2. Plot the graphs for each of the functions by using KmPlot.

1. 33 xy −=

2. 723 =−+− xxxy

3. 521 3 =+ xy

4. 92 3 −= xy

5. xxxy ++=− 231

6. 34 xxy −=



a and the shape of the graph.


d with the y-intercept.

What can you conclude?

168



about the pattern of the graphs when the value of x is changing? What is the

effect of the constant factor on the shapes of the graph?

ii. 1033 =+− xxy 33 ≤≤− x

iii. 1033 −+= xxy 42 ≤≤− x

iv. 5103 +−= xxy 5.35.3 ≤≤− x

v. xxxy ++=− 231 33 ≤≤− x

Example:


-3

-2

-1

0

1

2

1033 =+− xxy

3

169


the correct graphs.

32 3 −+−= xxy

122 23 −−−= xxy

23 +−= xy

23 2 ++= xxy

Graphs Functions

170

Activity 3.2: Investigate the characteristics of graph of cubic



1. Classify and compare the types and shapes of graphs of cubic functions.




Instruction:


for a>0. Select New Function Plot from menu Plot. Then, insert the function

and click Ok.

Group A: a>0

181 23 +−= xxy

541 3 −= xy

3

21 xy =




and click Ok.

171

Group B: a<0

181 23 +−−= xxy

541 3 −−= xy

3

21 xy −=

4. Compare the shapes of each type of functions when a>0 and a<0.


a > 0 a > 0



obtained?


Group A : a>0 Root Group B : a<0 Root

181 23 +−= xxy 1

81 23 +−−= xxy

541 3 −= xy 5

41 3 −−= xy

3

21 xy = 3

21 xy −=

Exercise 3.2

172

1. Identify each of the graphs. Answer all the questions.

(a) 73 += xy (b) 223 +−−= xxy (c) 23 +−= xy

(d) 221 3 −= xy (e) 05 3 =+ xy (f) 333 =+− xxy

a) Grouping the graphs into two groups, which Group 1 for a>0, and Group

2 for a<0.

b) Plot each of the group of functions on the same grid using Kmplot.

c) Observe the value of a and the shape of graph, and the value of d with the

y-intercept. Examine the similarities or differences and what can you

conclude?

d) Find the roots for each of the functions.

e) Complete the table below.

Group 1 : a>0 Root Group 2 : a<0 Root

Activity 3.3: Compare the graphs of cubic with different values of b

173



1. Compare the shapes of graph with different values of b. baxy += 3

2. Investigate determine and explain the relationships between the value of b

and the y-intercept


Discovering.

Instruction:


Group A (a>0) Group B (a<0) 3xy = 3xy −=

53 += xy 53 +−= xy

53 −= xy 53 −−= xy

2. Compare the graphs obtained by each group.

3. What can you conclude about the graphs when the value of b is changes?

4. From the activity, sketch the graphs in the table below (label the x-intercept

and y-intercept, if it exists).

174

b value For a > 0 For a < 0

b = 0

b > 0

b < 0

Exercise 3.3

175

1. Given the function is . Explore the graph and answer the questions: 13 += xy

a) What happen to the y-intercept of a graph when value of a is positive and

i. Values of b increases?

ii. Values of b decreases?

b) What happen to the y-intercept of a graph when value of a is negative and

i. Values of b increases?

ii. Values of b decreases?

c) How does the shapes of the curve change when value of b changes?


keeping b as constant?

2. Answer all the questions.

a) Predict and sketch the function below. Using KmPlot, plot the graphs for

each of the following cubic functions. Check and explain your prediction.

b) Determine the differences shapes of the graphs when the value of b is

change.

c) Observe the value of b and the value y-intercept of the graph, what can

you conclude about their relationship?

a. 14 3 +−= xy b. 63 −= xy c. )5)(1( −+= xxxy

d. 3

31 xy = e. 23 −= xy f. 35xy =

Function b = 0 b > 0 b <0

a > 0

a < 0

Activity 3.4: Problem solving involving the graphs of cubic

176

Learning Objective:


1. Solve the problems involving the graph of functions.

Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Inquiring, and

Drawing conclusions

Example:

Complete the following table for 15313

3

++= xxy

x -5 -3 -1 0 1

y 15

a) Plot the graph of 15313

3

++= xxy using KmPlot.

b) Use the graph to find the y value of

x = 0.5 , y = _______ ; x = 2.9 , y = _______

Solution:

x -5 -3 -1 0 1

y -9.6 3.9 11.9 15 18.1

a) Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function

15313

3

++= xxy and click Ok.

b) Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the

function. Then click Calculate.

Value of y is 16.5 when x = _____

Value of y is 25.6 when x = _____

Exercise 3.4

177

Answer all the questions.

1. Complete the following table for 5103 +−= xxy

x -3.5 -2 0 3 3.5

y -2.9 12.9

(a) Predict and sketch the graph of . Plot the graph of

using KmPlot. Check and explain your prediction.

5103 +−= xxy

5103 +−= xxy

(b) Use the graph to find the y value of

x = 2.3 ; y = _______ ; y = 1.4 ; x = _______

(c) If all the value of x increases by 0.3 units, what will happen to the

equation? Compare new equation with the original equation; explain any

changes the shapes or the y-intercept of the graph.

2. Complete the following table for 1033 +−= xxy

x -3 -2 -1 0 0.5 1.5 2

y 10 12

(a) Predict and sketch the graph of . Plot the graph of

using KmPlot. Check and explain your prediction.

1033 +−= xxy

1033 +−= xxy

(b) Use the graph on KmPlot, find the y value of

i. x = -2.5 ; y = _______ y = 1.5 ; x = _______

(c) If all the value of b decreases by 2 units, what will happen to the

equation? Compare new equation with the original equation; explain any

changes the shapes or the y-intercept of the graph.

178

4 : THE GRAPH OF

RECIPROCAL FUNCTION

Activity 4.1: Understand the graph of reciprocal functions

Activity 4.2: Investigate the characteristics of graph of reciprocal

Activity 4.3: Compare the graphs of reciprocal with different of a

Activity 4.4: Problem solving involving the graph of reciprocal

179

Activity 4.1: Understand the graph of reciprocal functions



1. Plot the reciprocal functions using KmPlot. xay = , where a is a constant, a ≠

0.

2. Investigate, determine and explain the changes of constant can effect the

graphs.


and the quadrant of graphs.



Instruction:

1. Plot the functionsx

y 11= , 3=xy and

xy 1

−= using KmPlot. (Make sure the

equation is in a form of y in terms of x).

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function x

y 11= in the


3. By using the same grid, repeat step (2) for the functions and 3=xyx

y 1−= .

4. Observe the value of a from the functions and the quadrant from the graphs,

what can you conclude about similarities or differences.




menu.

180


1. Using the KmPlot, plot the functions below. (Make sure the equation is in a

form of y in terms of x).

2. Select New Function Plot from Plot menu. Insert the functions in the



space.




-3

-2

-1

0 x

y 1=

1

-0.5

0.5

1

1.5 x

y 8−=

2


when the value of x is changing?

181

Exercise 4.1


(a) Predict what will happen to the graph of form xay = for the following values

of a: {2, 1, 0.5, 0, -0.5, -1, and -2}.

i. Plot on KmPlot and check your prediction.

ii. Explain the patterns occur when the value of a changes.

2. Plot the graphs for each of the functions using KmPlot.

i. 7=xy

ii. 03 =−xy

iii. 04=+

xy

iv. x

y 2−=

v. 01 =+xy

vi. x

y 8−=

a) Explore the graphs.

b) Investigate the relationships between the value of a and the quadrant of

graph. What can you conclude?

182



about the pattern of the graphs when the value of x is changing? What is the

effect of the constant factor on the shapes of the graphs?

i. 8=xy 55 ≤≤− x

ii. y

x 2= 54 ≤≤− x

iii. 04 =−xy 33 ≤≤− x

iv. 23

1+

−=

xy 62 ≤≤− x

v. 2

1+

−=x

y 36 ≤≤− x

vi. 3

1−

=x

y 72 ≤≤− x

Example:


-5

-3

-1

0

1

3

8=xy

5

183


the correct graph.

Function Graph

184


the correct graphs.

xy 1

−=

xy 1=

xy 5

−=

xy 5=

Graphs Functions

185

Activity 4.2: Investigate the characteristics of graph of reciprocal



1. Classify and compare the types and shapes of graphs of reciprocal of

functions.




Instruction:

1. Plot each of the following group of functions on the same grid using Kmplot

for a>0.

2. Select New Function Plot from menu Plot. Insert the function and click Ok

Group A : a>0

xy 1=

xy 8=

xy 20=


4. Plot each of the following group of functions on the same grid using Kmplot


and click Ok.

186

Group B : a<0

xy 1

−=

xy 8

−=

xy 20

−=

5. Compare the shape of each type of functions when a>0 and a<0.


a > 0 a < 0



obtained?


Group A: a>0 Root Group B : a<0 Root

xy 1=

xy 1

−=

xy 8=

xy 8

−=

xy 20=

xy 20

−=

187

Exercise 4.2

1. Identify each of the graphs. Answer all the questions below.

(a) 2−=xy (b) 05=−

xy (c)

xy

32

−=

(d) x

y 1−= (e) 2.4=xy (f) 3=xy

a) Classify the graphs into two groups, which is Group 1 for a>0, and Group

2 for a<0.

b) Predict the shapes of the graph by sketch the graphs. Then, plot on the


c) Find the roots for each of the functions.

d) Complete the table below.

Group 1 : a>0 Root Group 2 : a<0 Root

188

Activity 4.3: Compare the graphs of reciprocal with different of a



1. Classify and compare the shapes of graph xay = with different values of a

using KmPlot.

2. Show the quadrant of the functions.


Discovering.

Instruction:


Group A : a>0 Group B : a<0

xy 1=

xy 1

−=

xy 20=

xy 20

−=

2. Identify the symmetry line of the graphs.

3. Identify the location of quadrant when a > 0 and a < 0.

4. From the activity, what can you conclude about the value of a and the

quadrant? Sketch the graphs with the symmetry line in the table below.

For a > 0 For a < 0

Quadrant : Quadrant :

189

Exercise 4.3

1. Identify the functions below. Answer all the questions.

a) x

y 1−= b) 06 =+xy c)

yx 5=

d) x

y 2= e) y

x−=

2 f) 7=xy

(a) Group the functions in the table below.

(b) Predict and sketch the functions. Then, plot on the same grid using

KmPlot and check your prediction.

(c) Determine the shapes of the graph if the value of a is increase or decrease.

Quadrant I and III Quadrant II and IV

Value of a: Value of a:

190

Activity 4.4: Problem solving involving the graph of reciprocal

Learning Objective:


1. Solve the problems involving the graph of functions

Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing, Inquiring, and Drawing

conclusions

Example:

Complete the following table forx

y 6= .

x -2.5 -1 -0.5 0.5 1 3.2

y -12 1.88

a) Plot the graph of x

y 6= using KmPlot.

b) Use the graph to find the value:

1. x = -4.2 ; y = _____

2. y = 6 ; x = _____

Solution:

x -2.5 -1 -0.5 0.5 1 3.2

y -2.4 -6 -12 1 6 1.88

a) Select New Function Plot from Plot menu. Insert the function x

y 6= and

click Ok.

b)

a. Select Get y-value from Tool menu and select the function. Insert x-

value given. Then click Calculate. x = -4.2 ; y = ____

b. Move the mouse until the status bar show the point given.

y = 6 ; x = __

191

Exercise 4.4

1. Height, length and breadth of a cuboid is 3 cm, y cm and x cm.

(a) The volume of cuboid is 60 cm3, show that x

y 20=

(b) Complete the following table forx

y 20= .

x 0.5 1 2 4 6 8

y 20 3.3

(c) Predict the graph with sketch the function.

(d) Plot the graph of x

y 20= using KmPlot.

(e) Compare your answer in (c) and (d).

(f) Use the graph to find the value:

i. x = 0.2 ; y = _______

ii. y = 0 ; x = _______

(g) If the volume of cuboid decrease by 20 units, what will be the

transformation of equation? Compare new equation with the original

equation; explain the changes the shapes of the graph.

2. Complete the following table forx

y 12−= .

x -3 -2 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 4

y 4 24 -3

(a) Predict the graph with sketch the function.

(b) Plot the graph of x

y 12−= using KmPlot.

(c) Compare your answer in (a) and (b).

(d) Use the graph to find the value:

i. x = 2 ; y = _______ ii. y = 3.5 ; x = _______

192

5 : THE SIMULTANEOUS EQUATION

USING GRAPH

Activity 5.1: Solving simultaneous equations in two unknown

Activity 5.3: Problem solving involving simultaneous equations

193

Activity 5.1: Solving simultaneous equations in two unknown



1. Determine the relevant simultaneous equations completion using KmPlot.

2. Solve two simultaneous equations in two variables using graphing the

equations.

a. Both Linear Equations.

b. One linear equation and one non-linear equation.

Operation Cognitive: Recognising, Analysing & Drawing conclusion

I. Simultaneous Equation: Both Linear Equations

Example:

Solve the following pairs of linear equations by using the KmPlot

4+= xy ; 83 =+ yx

Solution:

1. Change the pairs of equations to y in term of x.

4+= xy → 4+= xy

83 =+ yx → 3

8 xy −=

2. Plot the equations on the same grid in the KmPlot.

3. Identify the intersection between two functions by moving the mouse along the

graphs.

4. What is the point of intersection(s)?

____=x ; ____=y

194

II. Simultaneous Equation: One linear equation and one non-linear

equation

Example:

Solve the following pairs of linear equations by using the KmPlot by find the

intersection between two equations below.

52 =+ xy

3 62 =+ yx

Instruction:


52 =+ xy → xy 25 −=

63 2 =+ yx → 236 xy −=



graphs.

____=x ; ____=y

____=x ; ____=y

4. For save the graphs and the diagrams:

c. Save the graph as <name>.fkt by select Save As from File menu.

d. Save the diagram of graph as <name>.png by select Export from File

menu.

195

Exercise 5.1

1. Solve the following pairs of linear equations by using method below:

a) Plot the pair of equations using Kmplot.

b) Substitution method or elimination method.

i. 532 =− yx

632 −=+ yx

ii. 13 =+ yx

92 =− yx

iii. 729 =+ wv

283 −=− wv

(Let ; xv = yw = )

iv. 13 =+ yx

1373 =+ yx

v. 723 =− yx

654 −=+ yx

vi. 53 =+ xy

423 =− xy

vii. 23 =+ yx

432 =+ yx

viii. 3=− yx

632 =+ yx

ix. 822 =+ xyx

153 =− yx

x. yxx =++ )2)(1(

72 =− xy

c) From the exercise above, explain what you can conclude about the

relevant answer (a) and (b) using methods given?

196

Activity 5.2: Problem solving involving simultaneous equations.

Learning Objective:


1. Solve simultaneous equation involving real-life situation.

Operation Cognitive: Memorising, Recognising, Analysing and Drawing

conclusion

Example 1:

Munir, Siraj and Salim go to Putra Bukit Jalil stadium from Pudu station.

Siraj go with his 3 children, the total fare is RM5.60. Salim go with his wife

and child, the total fare was RM5.20. If Munir want to go there with his 2

children and his wife, how much total fare for Munir’s family?

Solution:

1. Siraj family = RM5.60 (1 adult and 3 children).

Salim family = RM5.20 (2 adult and 1 child).

Change the pairs of equations to y in term of x.

6.53 =+ yx → _______=y

2.52 =+ yx → _______=y



graphs.


____=x ; ____=y

5. Total fare for Munir’s family :

Adult: ______ ;

Children: ______

Total fare: RM ______

197

Example 2:

Pak Ali has 14 m of fence available to enclose an area of 10 m2 in the shape

of rectangle, with sides of length x m and y m, find the values of x and y.

Solution:

1. Perimeter = 14 m → 1422 =+ yx .

Area = 10 m → 10=xy


1422 =+ yx → _______=y

10=xy → _______=y



graphs.


____=x ; ____=y

____=x ; ____=y

198

Exercise 5.2

1. The difference between 2 numbers is 3, if 5 is added to the smaller number, the

result is equal to half of the larger number. What is the sum of the two

numbers?

a) Use the Kmplot to solve the problem. Then, check your answers using

substitution method or elimination method.

2. 8 buns and 9 muffins cost RM9.00 whereas 6 buns and 11 muffins cost

RM9.30. What is the cost of each item?

a) If the cost of 6 buns and 11 muffins are decreases by 50 cent, explain the

changes the cost of muffins and buns.

3. The diagram below represents box A and B. Given that the mass of box A is

three times the mass of box B. The product of the mass of the two boxes is 7.5

kg2. Calculate the mass of box A and B. (give answer correct to 2 decimal

places).

A B

199

6 : THE DIFFERENTIATION

Activity 6.1: Understand the graphs of first derivative of functions

Activity 6.2: Value of the first derivative of the function y=axn

Activity 6.3: The first derivative as a gradient of tangent

200

Activity 6.1: Understand the graphs of first derivative of functions



1. Predict the graphs of first derivative of function.

2. Find the graph of first derivative of functions using KmPlot.

Operation Cognitive: Analysing, Comparing and Drawing conclusions

Example:

Find the graph of dxdy from plotting the graph of function on KmPlot. 33xy =

Instruction:

2. Plot the function using KmPlot. (Make sure the equation is in a form of y

in terms of x).

33xy =

3. Select New Function Plot from Plot menu.

4. Insert the function in the Equation box and click Ok. 33xy =

5. Then select Derivatives section, and mark Show 1st Derivative. Click Ok.




menu.

201

Exercise 6.1

1. Understand and answer all the questions.

a) 22xy −= b) 2

31 xy −=

c) xy 5= d) 34xy =

e) 3xy = f) 2

32 xy =

(a) Plot the function and find the graph ofdxdy using KmPlot.

(b) Solve the function above using the formula. Predict and sketch the graph

of dxdy .

(c) From your answer (a) and (b), compare the graph of function and explain

the characteristic(s) of the graphs. Has KmPlot given the answers you

predicted?

202

Activity 6.2: Value of the first derivative of the function y=axn

Learning Objective:


1. Find the values of the first derivative of the functions for a given

value of x.

naxy =

Operation Cognitive: Recognising, Analysing and Drawing conclusions

Example:

Find the value of dxdy for when 26xy = 2−=x using Kmplot.

Instruction:


2. Insert the function in the Function section. 33xy =


4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value given. Select the

functiondxdy . Then click Calculate. ____=

dxdy

203

Exercise 6.2

1. Find the value of dxdy each of the following function at the given value of x.

Explore the function with the different value of x. Deduce whether the

functions are increasing or decreasing at the given values.

(a) xxy 25 1 −= −

, 1=x 2=x

(b) 2xy =

5.0−=x , 2=x

(c) 7.03.1 −+= xxy

, 5.0=x 5.1=x

(d) 133 23 −+−= xxxy

1−=x , 0=x , 2=x

(e) xxx −+ 23 24

, 0=x 1=x

(f) 3xy =

0=x , 5.3=x

What can you deduce about the shape of the graph between and

5.0=x

5.1=x

204

Activity 6.3: The first derivative as a gradient of tangent

Learning Objective:


1. Proof the first derivative as a gradient of tangent with find the dxdy when

value of x is.

Operation Cognitive: Recognising, Analysing, Comparing and Drawing conclusion.

Example:

Find the gradient of the tangent to the curve at the given point.

a) at the point (-1,9) 532 +−= xxy

Instruction:


2. Insert the function in the Function section. 532 +−= xxy


4. Select Get y-value from Tool menu and insert x-value (-1). Select the

functiondxdy . Then click Calculate.

Therefore, the gradient at (-1,9) is _____

205

I. The first derivative of a function involving addition or subtraction

Example:

Find the derivative of function using KmPlot. Then find the

value of

xxy 34 2 +=

dxdy when 3.2=x .

Instruction:


2. Insert the function in the Function section. xxy 34 2 +=



functiondxdy . Then click Calculate. ____=

dxdy

206

II. The first derivative of a product of two polynomials

Example:

Find the derivative of function using KmPlot. Then find the

value of

)3)(2( 2 xxx −+

dxdy when 1=x , 7.0− and 2−

Instruction:


2. Insert the function in the Function section. )3)(2( 2 xxx −+




1=x ; ____=dxdy

7.0−=x ; ____=dxdy

2−=x ; ____=dxdy

207

III. The first derivative of a quotient of two polynomials

Example:

Given that312

2 ++

=x

xy ,

a) Find the graphdxdy with plot the function

312

2 ++

=x

xy on

KmPlot.

b) Value of dxdy when 3=x .

Instruction:


2. Insert the function 312

2 ++

=x

xy in the Function section.




3=x ; ____=dxdy

208

Exercise 6.3

1. Answer the entire question.

(a) Find the gradient of tangent for the function using KmPlot application

methods and formula method at the given value of x. Complete the

following table.

2x

x dxdy (using KmPlot)

dxdy (using formula)

-1

0

0.5

1

1.5

2

What do you conclude from your table of results?

(b) Repeat exercise (a) for the function below. For each function construct a

table of your result. The value of x: -1, 0, 0.5, 1. 1.5 and 2.

(a) )2(2 +xx

(b) 2)34( −x

(c) 2)27( x−

(d) )1)(1( xxx

++

(e) )8(2 −xx

(f) ))(21( 22 xxx +−

Does this confirm your conclusion in (a)?

209

2. Given that , find the gradient of the graph

when

)143)(1( 22 +−+= xxxy

5.2−=x .

3. If 2

2

213

xxy

−= , find the gradient of the graph at the point (-2, 1).

4. Plot the graphx

xy 19 += . Find the gradient of the curve where 1−=x

5. Find dxdy and the gradient of the curve at the given value or point.

a) )43)(9( ++= xxy , 2−=x b) x

xy 46 −= , (-2,-7)

c) , (2,7) 154 2 +−= xxy d) , (-1,-3) 42 −= xy

e) 25 −=y , 21

=x f) , 4)23( −= xy21

=x

210

7 : THE GRAPH OF

PARAMETRIC FUNCTION

Activity 7.1: Explore the graph of parametric functions

211

Activity 7.1: Explore the graph of parametric functions



1. Plot the graph of parametric functions using KmPlot.

2. Investigate, determine, combine and explain the differences functions and

shapes of parametric functions.


Instruction:

1. For plot parametric function, select New Parametric Plot from Plot menu.

2. You can fill box of Name with the suitable name.

3. Then plot and ttx sin)( = tty cos)( =

4. From the graph, explore the graph when the value of functions is increases,

decreases, positive or negative.


i. Save the graph as <name>.fkt by selecting Save As from File menu.

ii. Save the diagram of graph as <name>.png by selecting Export from File

menu.

212

Exercise 7.1

1. Function below show the pair of parametric functions. Answer all the

questions.

(a) Using KmPlot, explore the pair of functions.

(b) Find what the shapes of the graph are.

(c) Then, try combining the functions to create a new graph.

i. tttx sin)( −=

tty cos1)( −=

ii. tttx 3)( 3 −=

1)( 2 −= tty

iii. )1()1()( 4

2

++

=ttttx

)1()1()( 4

2

+−

=tttty




)3sin(3)( ttty +=


ttty 8sinsin2)( +=

(d) From the graph, what can you conclude about the shapes of the graphs?

213

(e) Complete the table below.

Function Conclusion

i. tttx sin)( −=

tty cos1)( −=

ii. tttx 3)( 3 −=

1)( 2 −= tty

iii. )1()1()( 4

2

++

=ttttx

)1()1()( 4

2

+−

=tttty




)3sin(3)( ttty +=


ttty 8sinsin2)( +=

214

8 : THE GRAPH OF

POLAR FUNCTION

Activity 8.1: Explore the graphs of polar functions

215

Activity 8.1: Explore the graphs of polar functions



1. Plot the graphs of polar functions using kmPlot.

2. Investigate, determine, combine and explain the different functions and

shapes of polar functions.


Instruction:

6. For plot parametric function, select New Polar Plot from Plot menu.

7. Then plot the Equation box. thetathetar =)(

3. For save the graphs and the diagrams:

c. Save the graph as <name>.fkt by select Save As from File menu.

d. Save the diagram of graph as <name>.png by select Export from File

menu.

216

Exercise 7.1

1. Function below show the pair of parametric functions. Answer all the questions.

(f) Using KmPlot, explore the pair of functions and find what the shapes of the

graph.

(g) Then, try to combine the suitable functions to create the new graphs.

(h) From the graphs, what can you conclude about the shapes of the graphs?

1. ttr 3sin)( =

2. θsin=r

3. πttr 6)( =

4. tr cos1+=

(i) Complete the table below.

Function Conclusion

i. ttr 3sin)( =

ii. θsin=r

iii. πttr 6)( =

iv. tr cos1+=

217

(j) Discus with your class, find the others function of polar via internet or others

sources, and explore the functions using KmPlot. Try to construct the shape

such as flower. Then, fill the table below.

Function Shape Conclusion

PEMBINAAN TUTORIAL MENGGUNAKAN PERISIAN BERGRAFIK ...

Documents