Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP 2015 (m2suidhat.blogspot.com)

Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015

Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang

Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/ 1

Naskah Soal dan Pembahasan

OSN Guru 2015 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP

OSN Guru Matematika SMP (Olimpiade Sains Nasional)

Diketik Ulang Oleh:

Mohammad Tohir




NASKAH SOAL OSN GURU MATEMATIKA SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA MARET 2015

1. Jika , maka nilai ab adalah ...

2. Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ...

3. Nilai dari

adalah ...

4. Jika 4x + 4x = 7, maka nilai 8x + 8x adalah ...

5. Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan

kali bilangan itu. Bilangan itu adalah ...

6. Bilangan asli n terbesar yang memenuhi (

) (

) (

) (

) kurang dari 2015

adalah ...

7. Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas

segitiga adalah satuan luas.

8. Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm

2 yang berbeda adalah ...

9. Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5. Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah .

10. Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan bilangan asli terkecil.

11. Jika diketahui ( ) ( )

untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...

12. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggota dua bilangan adalah




13. Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar

persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah . Satuan.

14. Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi

Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah

15. Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta

mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta

itu adalah .

16. Jika x2 + xy + 6x = 3 dan y2 + xy + 6y = 6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah

17. Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu

sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).

Jari-jari lingkaran kecil adalah .




18. Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri

antara 100 dan 2015 adalah

19. Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti pada gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah .

20. Jika 101 102 103 104 105 2013 2014 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari bilangan-bilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah .

21. Selesaikan n2 + m2, jika

, untuk m dan n bilangan asli.

Diketik Ulang oleh : Mohammad Tohir

Jika ada saran, kritik maupun masukan

silahkan kirim ke- My email: [email protected]

Terima kasih.

My blog : http://matematohir.wordpress.com/

http://m2suidhat.blogspot.com/




SOAL DAN PEMBAHASAN OSN GURU MATEMATIKA SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA MARET 2015

1. Jika , maka nilai ab adalah ...

Pembahasan:

=

( ) = ( ) (kedua ruas dikuadatkan)

=

= 0 = 0

Jadi,

2. Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ....

Pembahasan:

Mencari pola penyelesaian jumlah semua bilangan genap positif < 2015 dan mencari pola

penyelesaian jumlah kelipatan tiga genap < 2015, yakni sebagai berikut:

1) Bilangan genap positif < 2015, yakni bilangan genap terbesar dari 2015 dibagi 2.

Sehingga banyak bilangan genap positif < 2015 =

= 1007

Dengan demikian nilai a = 2, b = 2 dan n = 1007 , maka Un = 2014

Sn =

( )

S1007 =

( )

=

( )

= 1.015.056

2) Mencari banyaknya bilangan kelipatan 3 genap positif < 2015, yakni bilangan kelipatan 3 genap terbesar dari 2015 dibagi 6 atau tepatnya banyaknya bilangan kelipatan 6 < 2015.

Sehingga banyak bilangan kelipatan 6 < 2015 =

= 335

Dengan demikian nilai a = 6, b = 6 dan n = 335 , maka Un = 2010

Sn =

( )

S335 =

( )

=

( )

= 337.680

Dengan demikian, jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan

kelipatan 3 = 1.015.056 337.680 = 677.376

Jadi, jumlah semua bilangan genap positif yang dimaksud adalah 677.376




3) Tentutkan nilai dari

Pembahasan:

= (

) (

) (

) (

)

= (

) (

) (

) (

)

= (

)

= (

)

Jadi, nilai dari

4) Jika 4x + 4x = 7, maka tentukan 8x + 8x !

Pembahasan:

Diketahui 4x + 4

x = 7

Mencari pola penyelesaian untuk 8x + 8

x, yakni sebagai berikut:

(2x + 2

x)2 = (2

x)2 + (2

x)2 + 2(2

x)(2

x)

= (22)x + (2

2)x

+ 2

= 4x + 4

x + 2

= 7 + 2

= 9

(2x + 2

x) = 3

Kemudian, mencari pola penyelesaian langkah berikutnya, yakni sebagai berikut:

(2x + 2

x)3 = 8

x + 8

x + 3(2

x 2

x)(2

x + 2

x)

8x + 8

x = (2

x + 2

x)3 3(2x + 2x)

= (3)3 3(3)

= 27 9 8

x + 8

x = 18

Jadi, 8x + 8

x = 18

5) Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan

kali bilangan itu. Tentukan bilangan itu!

Pembahasan:

Diketahui Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan

kali bilangan itu.

Misalkan bilangan tersebut adalah a, maka

a + 5 =

a

a

a = 5

= 5

= 5

a = 30

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 30




6) Bilangan asli n terbesar yang memenuhi (

) (

) (

) (

) kurang dari 2015

adalah ...

Pembahasan:

Diketahui (

) (

) (

) (

)

= (

) (

) (

) (

) (

) (

)

= (

) (

) (

) (

) (

) (

) artinya nilai n < 2015, apabila (2015 1) 2 = 4028, yakni

= (

) (

) (

) (

) (

) (

) (n = 4028)

= (

)

< 2015

Jadi, Bilangan asli n terbesar yang memenuhi adalah 4028

7) Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi

terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas

segitiga adalah satuan luas.

Pembahasan:

Diketahui pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua

kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan sisi terpendeknya = x.

Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.

(2x)2 = x

2 + (x + 1)

2

4x2 = x

2 + x

2 + 2x + 1

2x2 2x 1 = 0

Kemudian mencari nilai x dengan menggunakan rumus kuadratik

( ) ( )( )

( ) diketahui a = 2, b = 2, dan c = 1

nilai x yang memenuhi adalah

2x

x

x + 1




Dengan demikian luas segitiga yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Luas segitiga =

(x)(x + 1)

=

(x

2 + x)

=

[(

)

]

=

*(

)

+

=

*(

)

+

=

(

)

=

( )

Luas segitiga =

( )

Jadi, Luas segitiga adalah

( ) satuan luas.

8) Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan

asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah ...

Pembahasan:

Diketahui keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm

No.

Keliling (K) Panjang (p) Lebar (l)

Luas (L)

2(p + l) = 26 p l

1 p + l = 13 12 1 12

2 p + l = 13 11 2 22

3 p + l = 13 10 3 30

4 p + l = 13 9 4 36

5 p + l = 13 8 5 40

6 p + l = 13 7 6 42

Jadi, Banyaknya ukuran luas dalam cm2 yang berbeda adalah 6

9) Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.

Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah .

Pembahasan:

Misalkan 5 bilangan yang dimaksud adalah a + b + c + d + e = 20

Nilai a yang mungkin adalah 1 dan 2, yakni sebagai berikut.

Jika nilai a = 1 dan b = 2, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 3 dan 4

Untuk nilai c = 3

(1) 1 + 2 + 3 + d + e = 20

d + e = 14 maka nilai d = 4 dan e = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20

maka nilai d = 5 dan e = 9 1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20

maka nilai d = 6 dan e = 8 1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20




Untuk nilai c = 4

(2) 1 + 2 + 4 + d + e = 20


maka nilai d = 6 dan e = 7 1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20

Jika nilai a = 1 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4

(3) 1 + 3 + 4 + d + e = 20


Jika nilai a = 2 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4

(4) 2 + 3 + 4 + d + e = 20


Dengan demikian nila a + b + c + d + e = 20 seluruhnya adalah

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20 2. 1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20 3. 1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20 4. 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 5. 1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20 6. 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20 7. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20

Jadi, banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah

sebanyak 7

10) Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan

bilangan asli terkecil.

Pembahasan:

Perhatikan tabel berikut

Kelipatan sama 8 24 48 72 96 120 144 ....

12 24 48 72 96 120 144 ....

Di kurangi 1 23 47 71 95 119 144

Dibagi 11 sisa 2 3 5 7 9 1

Jadi, bilangan asli terkecil yang dimaksud adalah 144

11) Jika diketahui ( ) ( )

untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...

Pembahasan:

Diketahui ( ) ( )

dan f(1) = 2

Untuk n = 1 ( ) ( )

( )

( )

=

Untuk n = 2 ( ) ( )

( )

(

)

=




Untuk n = 3 ( ) ( )

( )

(

)

=

Untuk n = 4 ( ) ( )

( )

(

)

=

Untuk n = 5 ( ) ( )

( )

(

)

=

. . .

. . .

. . .

Untuk n = n ( ) ( )

( )

Sehingga f(2015) ( )

= 1009

Jadi, nilai dari f(2015) = 1009

12) Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H

yang beranggota dua bilangan adalah

Pembahasan:

Diketahui H = {semua faktor positif dari 2015}

H = {1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015}

Banyaknya anggota bagian dari H sebanyak = 2n(H)

= 28 = 256

Sedangkan banyaknya anggota bagian dari H yang beranggotakan 1 sebanyak = 8

Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan atau lebih adalah

sebanyak 256 8 = 248

13) Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling

persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar

persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah . Satuan.

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut

P

C

1

1 2

2 A B 2 Q 4 satuan

2




Perhatika ABC!

Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.

AC2 = AB

2 + BC

2

32 = AB

2 + 1

2

AB =

AB =

Dengan demikian panjang persegi panjang adalah PQ = PA + AB + BQ

= (2) + (2 ) + (1)

PQ = 3 + 2

Jadi, panjangnya adalah 3 + 2 satuan

14) Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi

Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah

Pembahasan:


1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14

15 16 17 18

19 20 21 22 23

24 25 26 27 28

Untuk ukuran 1 1 ada sebanyak 28

2 2 ada sebanyak 15

3 3 ada sebanyak 6

4 4 ada sebanyak 1

Dengan demikian total cara seluruhnya = 28 + 15 + 6 + 1 = 50

Jadi, Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah 50




15) Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai 1

jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta

mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta

itu adalah .

Pembahasan:

Diketahui dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar,

dinilai 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong) Misalkan nilai yang dicapai = N

nilai benar = b

nilai salah = s

nilai tidak menjawab = t

3b s + t = 23 3b s = 23 karena nilai t = 0 Kemudian kita coba nilai s dari yang terkecil, yakni sebagai berikut

Jika s = 0, 3b 0 = 23 (tidak mungkin, karena nilai tidak bulat)

Jika s = 1, 3b 1 = 23 3b = 24

b = 8

Jadi, banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta itu adalah 8

16) Jika x2 + xy + 6x = 3 dan y2 + xy + 6y = 6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah

Pembahasan:

Diketahui x2 + xy + 6x = 3 dan y2 + xy + 6y = 6

Kemudian, kita mencari pola penyelesaian dari kedua persamaan tersebut untuk menentukan nilai

x + y, yakni sebagai berikut.

x2 + xy + 6x = 3

y2 + xy + 6y = 6

x2 + y

2 + 2xy + 6(x + y) = 9

(x + y)2 + 6(x + y) = 9 [mengingat bentuk (x + y)2 = x + y + 2xy]

(x + y)2 + 6(x + y) + 9 = 0

[(x + y) + 3]2 = 0

(x + y) + 3 = 0

x + y = 3

Jadi, x + y = 3

17) Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu

sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).

Jari-jari lingkaran kecil adalah .




Pembahasan:


Misalkan jari-jari lingkaran kecil = x cm

Perhatikan BCD! Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.

BC2 = BD

2 + CD

2

(10 + x)2 = (x 10)2 + 102

100 + 20x + x2 = x

2 20x + 100 + 100

40x 100 = 0 x = 2,5

Jadi, Jari-jari lingkaran kecil adalah 2,5 cm

18) Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri

antara 100 dan 2015 adalah

Pembahasan:

Diketahui bilangan asli simetri antara 100 dan 2015

Perhatikan tabel berikut

Bilangan Bentuk Rincian Keterangan

Ratusan

100 999 aba

a sebanyak 9

b sebanyak 10 sebanyak 9 10 = 90

Ribuan

1000 1991 abba

a sebanyak 1


Ribuan

2000 2015 abba

a sebanyak 1


Total sebanyak 101

Jadi, banyaknya bilangan asli simetri antara 100 dan 2015 adalah 101

19) Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti pada gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir dalam cm

2 adalah

A B

C D

10 cm

x




Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan panjang BE = a

Panjang CE = b

Sehingga AB = a + b = 7 ..... (1)

Perhatikan BCE! Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.

CE2 = BC

2 + BE

2

b2 = 3

2 + a

2

b2 a2 = 9

(b a)(b + a) = 9

Sehingga, karena a + b = 7, maka

(b a)(7) = 9

7b 7a = 9 ..... (2)

Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat

7b 7a = 9 | 1 7b 7a = 9

a + b = 7 | 7 7a + 7b = 49

14a = 40

a =

Luas BCE =

a 3

=

3

=

Dengan demikian, luas yang di arsir didapat sebagai berikut.

Luas arsir = Luas persegi panjang 2 Luas BCE

= 7 3 (

)

= 21

=

=

Luas arsir = 12

Jadi, Luas daerah yang diarsir dalam cm2 adalah 12

cm

2

a

3

3 a

b

b

A B

C D

E

F

b




20) Jika 101 102 103 104 105 2013 2014 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari

bilanganbilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah .

Pembahasan:

Bentuk dari 101 102 103 104 105 2013 2014 2015. Hal ini dapat ditulis dalam bentuk 2015! 100!

Untuk mengetahui banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015!, carilah pangkat dari 5 yang

memenuhi pada bilangan 2015!, kemudian carilah pangkat dari 5 yang memenuhi pada bilangan

100! Yakni sebagai berikut:

a) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 2015! adalah

5

2015 +

25

2015 +

35

2015 +

45

2015 = 403 + 80 + 16 + 3 = 502

b) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 100! adalah

5

100 +

25

100 = 20 + 4 = 24

Dengan demikian Banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015! 100! = 502 24 = 478

Jadi, banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah sebanyak 478

21) Selesaikan n2 + m2, jika

, untuk m dan n bilangan asli.

Pembahasan:

Dengan demikian

n = 14

m = 2

Jadi, n2 + m

2 = 200

Disusun oleh : Mohammad Tohir

Jika ada saran, kritik maupun masukan

silahkan kirim ke- My email: [email protected]

Terima kasih.

My blog : http://matematohir.wordpress.com/

http://m2suidhat.blogspot.com/

n2 + m

2 = 14

2 + 2

2 = 196 + 4 = 200

Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP 2015 (m2suidhat.blogspot.com)

Documents