Peluang (probabilitas)
Perbandingan banyaknya kejadian dan banyaknya anggota Ruang Sampel.
kejadian adalah sesuatu peristiwa yang diharapkan muncul/terjadi
Ruang Sampel adalah Alat/objek/ sesuatu yang dianggap objek.
Anggota Ruang sampel disebut juga Titik Sampel
Contoh :
Dua uang logam dilempar bersamaan. Tentukanlah banyaknya anggota ruang sampel ?
Tiga uang logam dilempar bersamaan . Tentukanlah titik titik sampel nya ?
Dua uang logam Kejadiannya : Melempar dua uang logam Ruang Sampelnya : dua uang logam Anggota ruang Sampel bisa diketahui
dengan cara 1.Dengan cara mendata/Tabulasi
A G
A
G
L1
L 2
A
A G
G
A
G
A
G
G
2. Dengan Cara Diagram pohon
AG
AG
AG
UANG LOGAM
AA
AG
GA
GG
3.Dengan cara Kotak Perkalian3.Dengan cara Kotak Perkalian
2 2L1 L2
Perkaliannya = 2 x 2 =
4
kesimpulannyakesimpulannya Titik Sampelnya = {AA, AG ,GA ,GG }Titik Sampelnya = {AA, AG ,GA ,GG } Banyaknya Titik Sampel = 4.Banyaknya Titik Sampel = 4.
Bagaimana titik sampel dan banyaknya Bagaimana titik sampel dan banyaknya titik sampel tiga uang logam yang titik sampel tiga uang logam yang dilempar bersamaan ?dilempar bersamaan ?
TIGA UANG LOGAM• Kejadiannya : Melempar tiga uang
logam• Ruang Sampelnya : tiga uang logam• Anggota ruang Sampel bisa diketahui
dengan cara• 1.Dengan cara mendata/Tabulasi•
A G
A
G
L1
L 2
A
A
A
G
G
A
G
G
L1 L 2L 3 A G
Titik Sampel = {AAA,AAG,AGA,AGG,GAA, GAG,GGA,GGG}
Banyaknya titik sampel = 8
AA
AG
GA
GG
AA
A
AA
G
AG
A
AG
G
GA
A
GA
G
GG
A
GG
G
2. Dengan cara Diagram pohon2. Dengan cara Diagram pohon
A
G
A
G
A
G
A
G
AG
A
A
G
G
AAA
AAG
AGAAGG
GAA
GAG
GGA
GGG
UANG
LOGAM
3. Dengan cara Kotak Perkalian
2 2 2
L1 L2 L3
2 x 2 x 2 = 8
Contoh Lainnya• 1. Susunlah bilangan-bilangan yang terdiri dari tiga angka yang berbeda
(tidak boleh berulang) dari angka-angka : 2,3,4,5. yang lebih kecil dari 300 ?• Jawab :
2 3 4 5
2 x 23 24 25
3 x x X x
4 x X x x
5 x x x x
2 3 4 5
23 x x 234 235
24 x 243 x 245
25 x 253 254 x
Bilangan-bilangan tsb ={ 234,235,243,245,253,254 }
Banyaknya bilangan yang tersusun = 6
atau dengan cara Kotak Perkalian
1 3 2 1 x 2 x 3 = 6
2
3
4
5
4
5
3
53
4
234
235
243
245
253
254
2. Kota A dan kota B dihubungkan dengan 3 jalur yang berbeda serta kota B dan kota C dihubungkan dengan 2 jalur yang berbeda . Berapakah jalur yang dapat dilalui si Amat yang akan berangkat dari kota A menuju kota C ?
• 3. Sebuah organisasi akan memilih satu Ketua, satu Sekretaris, dan satu Bendahara. Berapakah cara organisasi tersebut dapat memilih dari 6 anggotanya ?
Faktorial
• Definisi faktorial :• n ! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3) !• 0! = 1 dan 1 ! = 1
• Contoh : • 1. 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
30561234
123456
!4
!6.2 === x
xxx
xxxxx
atau
3056!4
!456
!4
!6 === xxx
Permutasi
)!(
!
kn
nP
n
k −=
2045!3
!345
!3
!5
)!25(
!55
2====
−= x
xxP
Contoh:
Kombinasi
!)(
!5
2 kn
nC −
=
102
45
!312
!345
!3!.2
!5
)!25!.(2
!552 ====
−= x
xx
xxC
Cara Tabulasi
• Untuk Faktorial• Menghitung 4 ! , dimisalkan a,b,c,d
a b c d
a x ab ac ad
b ba x bc bd
c ca cb x cd
d da db dc x
a b c d
ab x x abc abd
ac x acb x acd
ad a adb adc x
ba x x bac bad
bc bca x x bcd
bd bda x bdc x
ca x cab x cad
cb cba x x cbd
cd cda cdb x x
da x dab dac x
db dba x dbc x
dc dca dcb x x
a b c d
abc x x x abcd
abd x x abdc x
acb x x x acbd
acd x acdb x x
adb x x adbc x
adc x adcb x x
bac x x x bacd
bad x x badc x
bca x x x bcad
bcd bcda x x x
bda x x bdac x
bdc bdca x x x
cab x x x cabd
cad x cadb x x
cba x x x cbad
cbd cbda x x x
cda x cdab x x
cbd cbda x x x
cda x cdab x x
cdb cdba x x x
dab x x dabc x
dac x dacb x x
dba x x dbac x
dbc dbca x x x
dca x dcab x x
dcb dcba x x x
abcdabdcacbdacdbadbcadcb
bacdbadc
bcad
bcdabdac
bdaccabdcadbcbadcbdacdabcbdacdabcdbadabcdacbdbacdbcadcabdcba
Cara Diagram pohon
a
b
c
d b
c dd cb dd bb cc
b
a
c
d a
d cab
c
b
ad
c
c d
c
a
b
d b
dd
a dd ab aa
bb
d
a
b
c a
c ba cc aa bb
cb
abcdabdc
acbdacdb
adbcadcb
badcbacd
bcadbdac
bcdabdac
cabdcadb
cbadcbda
cdabcbda
cdabcdba
dabcdacb
dbacdbca
dcabdcba
PERMUTASI
Misal : P5
2 dengan : a,b,c,d,e
a
b
c
d
e
bcd
eacd
eabd
e
a
bc
e
abc
d
abacadae
babcbdbe
cacbcdce
dadbdcde
eaebeced
Ada 20 susunan yang berbeda
KOMBINASI
Misal : c5
2 dengan : a,b,c,d,e
a
b
c
d
e
bcd
eacd
eabd
e
a
bc
e
abc
d
abacadae
babcbdbe
cacbcdce
dadbdcde
eaebeced
Maka susunan Kombinasi : ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de
PERMUTASI MELINGKARPermuatsi melingkar dipakai untuk kejadian penyusunan unsur atau objek dalam bentuk lingkaran, contoh : ada 4 orang duduk mengelilingi suatu meja bendar, maka permutasi melingkar dari keempat orang tersebut digambarkab sbb :
A
D
B
C A
C
B
D A
D
C
B
A
B
C
D A
B
D
C A
C
D
B
(4 – 1 ) !
= 3 !
= 6
Bentuk Permutasi melingkar diambil dari diagram pohon dengan satu objek pada satu posisi
B
C
D
A
C
D
D
C
B
D
D
BB
C
C
B
PERMUTASI DENGAN UNSUR YANG SEJENIS
CONTOH :
Susunlah huruf huruf yang berbeda dari kata “ A R A “ !
R
AA
A
R
A
AR
A
A
R
AA
A
R
ARA
AAR
RAA
RAA
ARA
AAR
Ada 3 susunan kata yang berbeda
dari rumus :
3!2
!23
!1!.2
!3 == x
PERMUTASI DENGAN PEMULIHANBiasanya permutasi disusun dengan urutan yang berbeda(tidak boleh berulang), disebut juga Permutasi tanpa pemulihan.adakalanya objek yang tersedia dapat digunakan lagi(boleh berulang) yang disebut Permutasi dengan pemulihan.
Contoh : Menyusun tiga bilangan yang terdiri dari dua angka (boleh berulang) dari angka – angka : 1, 2, dan 3 ?
Jawab:
1
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
11,12,13
21,22,23
31,32,33
Rumus : 32 = 9
PELUANG SUATU KEJADIAN
Peluang suatu kejadian K = SampelRuanganggotabanyaknya
Kkejadiananggotabanyaknya
Notasi/Lambang :
Kejadian K ditulis ; K(x)
Banyak anggota kejadian = n[(kx)]
Ruang Sampel ditulis R
Banyaknya anggota Ruang Sampel = n(R)
Contoh Soal :
)(
)]3([)3(3
Rn
KnPdadumatamunculPeluang ==
1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan: a. Peluang kejadian muncul mata dadu 3
b. Peluang Kejadian muncul mata dadu bilangan Prima
Jawab :
a. Ruang Sampel = R = {1 dadu } = {1,2,3,4,5,6}
Banyaknya anggota Ruang sampel : n( R ) = 6
Kejadian mata dadu 3 = K(3) = {3}
Banyaknya anggota Kejadian mata dadu 3 = n[K(3)] = 1
6
1)3( =P
b. n( R ) = 6 , K = { 2, 3, 5 } ,n[K(prima)] = 3
2
1
6
3
)(
)]([)( ===
Rn
primaKnprimaP
2. Dua uang logam setimbang dilempar bersamaan sekali.
Tentukan :
a. Peluang muncul angka dan gambar
b. Peluang muncul angka dan angka
Jawab :
a. R = {dua uang logam} = { AA, AG, GA, GG } ,n( R ) = 4
R = A G
A AA AG
G GA GG
L1L2
K = { AG, GA } , n[K(angka dan gambar)] = 2
4
2)( =gambardanangkaP
b. K = { AA } , n[ K( angka dan angka)] = 1
4
1)( =angkadanangkaP
3. Didalam keranjang terdapat 4 bola merah dan 6 bola hijau. Jika 3 bola diambil sekaligus . Tentukanlah :
a. Peluang terambil ketiganya adalah bola merah
b. Peluang terambil 2 merah dan 1 hijau
Jawab :
Dalam keranjang terdapat : 4 + 6 = 10 bola
Diambil 3 bola sekaligus :
Banyak cara mengambil 3 bola dari 10 bola yang tersedia adalah
120!7!.3
!10
!)310!.(3
!10103 ==
−=C n( R ) = 120
a. Banyak cara mengambil 3 bola merah dari 4 bola merah yang tersedia adalah
6!2!2
!4
!)24(!2
!442 ==
−=C
30
1
120
4
)(
)]3([)3( ===
Rn
merahbolaKnmerahbolaP
4!)34(!3
!443 =
−=C
N[ K ( 3 bola merah ) ] = 4
b. Banyak cara mengambil 2 bola merah dari 4 bola merah yang tersedia adalah
Banyak cara mengambil 1 bola hijau dari 6 bola hijau yang tersedia adalah
6!5!1
!6
!)16(!1
!661 ==
−=C
)(
)13([)13(
Rn
hijauboladanmerahbolaKnhijauboladanmerahbolaP =
10
3
120
36)12( ==hijauboladanmerahbolaP
N[K(3bola merah dan 1 bola hijau)] = 6 x 6 = 36
PELUANG DARI KEJADIAN SALING LEPAS DAN
KEJADIAN TAK SALING LEPAS
Jika kejadian A dan B saling lepas, maka peluang
kejadian A atau B terjadi adalah
P ( A υ B ) = P(A) + P(B)
atau
P ( A atau B ) = P(A) + P(B)
dengan syarat :
A ∩ B = Ǿ
Jika kejadian A dan B tidak saling lepas , maka
peluang kejadian A atau B terjadi adalah
P ( A υ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B)
Atau
P ( A atau B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B)
Dengan syarat :
A ∩ B ≠ Ǿ
Pada pelemparan dua dadu setimbang secara bersamaan, Tentukan
peluang :
a. Munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10
b. Munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap
Jawab :
a. Ruang Sampel = { dua dadu }
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
R = n( R ) = 36
a. K = {dua mata dadu jumlahnya delapan } , n( K ) = 5
L = { dua mata dadu jumlah sepuluh } , n( L ) = 3
Peluang dua mata dadu jumlahnya delapan ;
36
5
)(
)()( ==
Rn
KnKP
36
3
)(
)()( ==
Rn
LnLP
Peluang dua mata dadu jumlahnya sepuluh ;
Peluang muncul jumlah mata dadu jumlah sama dengan 8 atau 10
36
8
36
3
36
5)()()108( =+=+= LPKPatauP
M = kejadian mata dadu jumlahnya bilangan prima ,
M = { 2,3,5,7,11} } , n( M ) = 15
N = kejadian mata dadu jumlahnya bilangan genap
N = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } , ,n( N ) = 18
N ∩ M = { 2 } , n( N ∩ M ) = 1
P( M υ N ) = P ( M ) + P ( N ) – P ( N ∩ M )
9
8
36
32
36
1
36
18
36
15)( ==−+=∪ NMP
KEJADIAN SALING BEBAS
Dua kejadian saling bebas , jika kejadiann pertama tidak tergantung dengan kejadian yang kedua.
Jika dua kejadian saling bebas , maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut sama dengan hasil kali peluang kedua kejadian.
Misal peluang kejadian A = P(A) , dan peluang kejadian B = P(B) , jika kejadian A dan B saling bebas , maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :
P( A ∩ B ) = P( A dan B) = P( A ) x P( B )
Contoh :
Pada pelemparan dua dadu setimbang bersamaan, Tentukan peluang :
a. Munculnya dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5
b. Munculnya mata dadu pertama kurang dari 3 dan mata dadu kedua kurang dari 5
Jawab :
a. R1 = dadu ke 1 , n(R1) = 6 , dan R2 = dadu ke 2 , n(R2) = 6
K1 = { 3 } , n{K1) = 1 dan K2 = { 5 } , n(K2 ) = 1
6
1)(
6
1)( 21 == KPKP
36
1
6
1
6
1)()( 2121 ===∩ xKdanKPKKP
b. K1 = { 1,2} , n(K1)= 2 ,
K2 = { 1, 2, 3, 4 } , n(K2) = 46
2)( 1 =KP
6
4)( 2 =KP
36
8
6
4
6
2)()( 2121 ===∩ xKdanKPKKP
CONTOH SOAL
Dalam sebuah kotak berisi 8 bola merah dan 10 bola hijau. Jika dua bola diambil secara acak satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambil kedua bola berwarna merah ?
Jawab :
Satu bola merah diambil dari kotak, maka peluang terambil bola merah adalah
18
8)( =merahP
Bola merah yang terambil tersebut tidak dikembalikan lagi dalam kotak , maka dalam kotak berisi 7 bola merah dan 10 bola hijau atau 17 bola ,
Jika pada pengambilan kedua adalah bolamerah lagi, maka peluang terambil bola merah =
16
7)( =merahP
Jadi Peluang terambil bola merah yang pertama dan bola merah yang kedua adalah
153
28
17
7
18
8)( == xkeduamerahdanpertamamerahP
PELUANG BERSYARAT
P( B l A ) , Dibaca : Peluang terjadinya kejadian B apabila kejadian A telah
terjadiPengertian :
Jika kejadian terjadi secara berurutan dan kedua kejadian tersebut tidak saling lepas , tetapi saling mempengaruhi maka kejadian tersebut adalah KEJADIAN BERSYARAT
Contoh soal :
Dua buah dadu setimbang dilempar secara bersamaan. Jika mata dadu pertama adalah bilangan genap , tentukan peluang bahwa jumlah mata dadu yang muncul bilangan Prima ?
Jawab :Kejadian muncul bilangan prima = {(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,6),(6,1),(6,5)}
Kejadian mucul bilangan genap = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5)
(6,2),(6,4),(6,6) }
P(bil.Genap) =36
1536
18
36
1
P(bil.Prima) =
P(bil.genap ∩ bil.Prima) =
peluang bahwa jumlah mata dadu yang muncul bilangan Prima jika jumlah
mata dadu pertama bilangan genap adalah 15
1
3615361
=