Peluang dan peubah acak diskrit

Assalamualaikum wr.wb

TEORI PELUANG DAN PEUBAH ACAK

DISKRIT

Teori peluang

DEFINISI PELUANG

PELUANG SUATU KEJADIAN

KEJADIAN MAJEMUK

PERMUTASI

KOMBINASI

a. Definisi PeluangPeluang adalah besarnya kemungkinan

terjadinya suatu kejadian.Penentuan nilai peluang kejadian

didasarkan kepada banyaknya titik sampel kejadian dan banyaknya ruang sampel.

Ruang sampel : Keseluruhan kemungkinan yang bisa terjadi atau anggota suatu himpunan.

Titik sampel kejadian : Kemungkinan yang diharapkan terjadi.

Percobaan : Tindakan atau kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan hasil.

B. PELUANG SUATU KEJADIAN Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A).

Misal banyaknya anggota kejadian suatu percobaan n (A) dan banyaknya ruang sampel adalah n (S), maka peluang terjadinya kejadian A adalah :

Contoh :Sebuah dadu dilempar ke atas. Berapa peluang kejadian munculnya bilangan genap (2, 4, 6) ?Jawab :

n(S) = 6n(A) = 3

Jadi, P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = 1/2

P (A) = n(A) / n(S)

Frekuensi harapan : Banyaknya kemunculan yang di harapkan dalam suatu percobaan.

Dimana n = Banyaknya percobaan dilakukan.

Fn= n. P(A)

Contoh :

Sebuah dadu di lempar sebanyak 360 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu prima ?

Jawab : n = 360 n(A) = 3 n(s) = 6

P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = ½Fn = n. P(A) = 360 . ½ = 180

Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu prima sebanyak 180 kali.

c. Kejadian Majemuk Dua kejadian saling lepas

Jika irisan suatu kejadian merupakan himpunan kosong { }

Contoh :

1. Tentukan peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 7 atau munculnya mata dadu dengan jumlah 4.

Jawab :

P(A) = peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 7

P(B) = peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 4

P(A)= 6/36

P(B)= 3/36

P(AB) = P(A)+P(B)

= 6/36 + 3/36

= 9/36

P(AB)= P(A)+ P(B)

Dua kejadian saling bebasBila kejadian yang satu tidak memengaruhi kejadian yang lain.

Contoh :Sebuah dadu dilempar 1 kali. Berapa peluang munculnya mata dadu ganjil dan genap ?

Jawab :mata dadu ganjil = {1, 3, 5}

n(A)=3n(S)=6P(A)=n(A)/n(s) = 3/6 = ½mata dadu genap = { 2, 4, 6}n(B)=3n(S)=6P(B)=n(B)/n(S) =3/6 = ½

P(AB) = P(A) x P(B) =1/2 x ½ = 1/4

P(AB) = P(A). P(B)

Peluang kejadian bersyarat

Peluang A terjadi jika diketahui B terjadi lebih dahulu.

Peluang B terjadi jika diketahui A terjadi lebih dahulu.

P(A|B)= P(AB)/P(B)

P(B|A)= P(AB)/P(A)

Contoh :Tentukan peluang dimunculkannya mata dadu dengan jumlah 7 dengan syarat munculnya mata dadu 1 pada dadu 1 terjadi terlebih dahulu.

Jawab :P(A) = 6/36P(B) = 6/36P(AB) = 1/36P(A|B)= P(AB)/ P(B)

= 1/36 : 6/36 = 1/6

d. PermutasiPermutasi dari sekumpulan

objek adalah banyaknya susunan terurut yang berbeda dari objek-objek tersebut.

Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n

P(n,k) = n! / (n-k)!

Contoh :5 orang akan duduk pada 4 kursi yang disediakan, ada berapa susunan duduk mereka ?

Jawab : 5P4 = 5! / (5-4)!

= 5! / 1! = 1x2x3x4x5 / 1 = 120

Jadi, susunan duduk mereka sebanyak 120 susunan

• Permutasi n objek dari a objek sama, b objek sama dst.

Contoh:Berapa banyaknya huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang membentuk kata JAYABAYA ?

Jawab :

8P(4,2) = 8! / 4!2!

= 5x6x7x8 / 1x2= 840

Jadi, huruf yang dapat sebanyak 840 huruf.

nP(a,b,c…) = n! / a!b!c!....!

• Permutasi siklisPermutasi siklis ialah permutasi yang disusun membentuk lingkaran.

Contoh :4 orang menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar, berapa banyak susunan yang dapat terjadi ?

Jawab :P = (n-1)! = (4-1)!

= 3! = 1x2x3 = 6

Jadi, susunan yang dapat terjadi sebanyak 6 susunan.

P (n, siklis) = (n-1)!

e. Kombinasi

Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan tak terurut dari objek-objek tersebut.

Kombinasi k objek dari n objek yang sama, k≤n

kC n = n! / k! (n-k)!

Contoh :Dari 10 orang pemain akan disusun tim bola voli. Ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk ?

Jawab :n= 10k= 6

6C 10 = n! / k!(n-k)!

= 10! / 6!( 10-6)! = 10x9x8x7 / 1x2x3x4 = 210

Jadi, susunan tim yang mungkin terbentuk sebanyak 210 tim.

Peubah acak

diskrit

Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh atau ruang sampel ke bilangan nyata.

X = K RMisalnya E adalah sebuah eksperimen

dengan ruang sampelnya S. Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s Є S dengan sebuah bilangan real X (s) dinamakan peubah acak.

Ada dua buah himpunan yang melibatkan peubah acak, yaitu ruang sampel S yang berisi anggotanya (titik sampel) s dan Rx berupa nilai-nilai yang mungkin dari X yang berkaitan dengan anggota X nya.

Definisi peubah acak

Misalnya kita mengundi dua mata uang logam Rp. 500 yang seimbang secara sekaligus. Jika X menunjukkan banyak huruf “BANK INDONESIA” yang terjadi, maka apakah X merupakan peubah acak?

Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {HH,HG,GH,GG} Dengan : G = gambar “ BUNGA MELATI” H = HURUF “BANK INDONESIA” s1 = HH maka X (s1) = X {HH} = 2 s2 = HG maka X (s2) = X {HG} = 1 s3 = GH maka X (s3) = X {GH}= 1 s4 = GG maka X (s4) = X {GG} = 0 nilai-nilai yang mungkin dari X, Rx = {0,1,2}

Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi maka X disebut peubah acak.

• HH• HG• GH• GG

210

PEUBAH ACAK DISKRIT

Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai - nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.

Nilai-nilai yang mungkin dari X adalah Rx ={0,1,2,}. Karena banyaknya anggota dari Rx berhingga, maka X termasuk ke dalam peubah acak diskrit.

fungsi peluang dari sebuah peubah acak diskrit X adalah fungsi nilai-nilainya, P(x), memenuhi persyaratan sebagai berikut.

a. p(x) ≥ 0 b. ∑ p(x)= 1 Pasangan yang di urutkan nilai-nilai peubah acak dan

peluangnya dinamakan distribusi peluang dari peubah acak tersebut.

Grafik fungsi distribusi peluang berupa grafik batang / histogram peluang.

fungsi distribusi dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi distribusi dari peubah acak diskrit X didefinisikan sebagai berikut :

F(x) = p (x ≤ x )

F (x) = ∑ p (t)

Bila X dan Y adalah dua variabel acak diskrit disribusi probilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f (x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat di ambil variabel acak X dan Y. sehingga :

f (x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan.

Contoh : Bila dalam suatu penerimaan mahasiswa baru, X

menyatakan nilai rata-rata terendah yang diterima, dan Y menyatakan umur maksimum calon mahasiswa maka f (7.5 , 18) menyatakan probabilitas bahwa nilai rata-rata mahasiswa yang mendaftar adalah 7 dan dia berusia 18 tahun.

F (x,y) = p ( X=x , Y=y )

SOAL LATIHAN

1. Dari 12 siswa yang terdiri dari 7 siswa putra dan 5 siswa putri, akan dibentuk kelompok belajar yang terdiri dari 4 orang. Berapa peluang terbentuknya kelompok belajar putri ?

2. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 4 bola putih dan 5 bola hijau. Jika dari kotak tsb akan di ambil 3 bola. Tentukan peluang terambilnya 3 bola merah jika bola di ambil sekaligus !