TUZSON ÁGNES PÉLDATÁR és MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ a MATEMATIKA INFORMATIKUSOK ÉS MŰSZAKIAK RÉSZÉRE I. c. tankönyvhöz
TUZSON ÁGNES
PÉLDATÁR
és
MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ
a
MATEMATIKA
INFORMATIKUSOK ÉS MŰSZAKIAK RÉSZÉRE I.
c.
tankönyvhöz
2
Tartalomjegyzék
1 Bevezetés............................................................................................................................ 3
2 Végtelen numerikus sorozatok........................................................................................... 4
3 Egyváltozós valós függvények........................................................................................... 5
3.1 Ismétlés....................................................................................................................... 5
3.2 Függvények intervallumbeli elemi tulajdonságai ...................................................... 7
3.3 Határérték, folytonosság............................................................................................. 8
3.4 Elemi függvények ...................................................................................................... 9
4 Differenciálszámítás......................................................................................................... 12
4.1 Formális differenciálás............................................................................................. 12
4.2 A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 14
5 Integrálszámítás................................................................................................................ 16
5.1 A határozatlan integrál ............................................................................................. 16
5.2 A határozott integrál és alkalmazásai....................................................................... 20
6 Megoldások ...................................................................................................................... 24
3
1 Bevezetés
A feladatgyűjtemény a Matematika informatikusok és műszakiak részére I. (ISBN
963 661 576 4, Miskolci Egyetemi Kiadó, 2003) c. tankönyvben tárgyalt – az analízis
témakörébe tartozó – fejezetek sorrendjében és felépítésében tartalmazza a gyakorlásra
ajánlott feladatokat és kidolgozásukat.
Az egyes fejezetek követik a tankönyv fejezeteit, a feladatok számozása azonban folyamatos a
megoldások könnyebb beazonosítása érdekében. A Megoldások fejezet a szokásosnál
részletesebben, lépésenként mutatja be a feladatok megoldási menetét, remélhetőleg jól
segítve, de nem kiváltva a saját munkán alapuló alapos megértést.
A példatár és megoldási útmutató a TÁMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001 projekt
támogatásával készült.
4
2 Végtelen numerikus sorozatok
Szükséges elméleti ismeretek: – a végtelen sorozat fogalma és tulajdonságai (monotonitás, korlátosság) – a sorozat határértékének és torlódási pontjának fogalma, megkülönböztetése – konvergencia-tételek – műveletek konvergens sorozatokkal – nevezetes konvergens sorozatok
1. Írja fel az alábbi – általános elemükkel adott – sorozatoknak az első három és a tizedik
elemét:
a.) 1
2
nan b.)
2
1
nan
c.)
1
2
n
nan
d.) 1
12
2
n
nan e.)
1
22
n
nan f.)
1
22
3
n
nan
g.) nna 2 h.) n
na 2
i.) nna 1
j.) nan cos k.) 2
sinn
an l.) n
n na
11
m.) n
nn
na9
63 2 n.)
n
nan
...321
o.)
páratlanha,
1párosha,
nn
nnan .
2. Vizsgálja meg az alábbi végtelen sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából:
a.) 1
2
nan b.)
2
1
nan
c.)
1
2
n
nan
d.) 1
12
2
n
nan e.)
1
22
n
nan f.)
1
22
n
nan
g.) nna 2 h.) n
na 2
i.) nna 1
j.) nan cos k.) 2
11
na n
n
l.) 15
15
n
n
na
m.) n
nan
...321
n.)
páratlanha,
1párosha,
nn
nnan
.
5
3. Ellenőrizze, hogy az n
an
11 általános elemű sorozatnak határértéke-e a
2
3A szám!
4. Vizsgálja meg a 2. feladatban szereplő sorozatokat konvergencia szempontjából. A konvergens sorozatoknak adja meg a határértékét. A divergens sorozatoknak adja meg a torlódási pontját/pontjait, ha van(nak)!
5. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét, ha létezik:
a.) nnn
nnan 1542
323
3
b.) nnn
nnan 1542
323
2
c.) nn
nnan 154
32
3
d.) 102
1011
103
26
n
nn
na
e.) n
n nn
na
1
112
12
2
.
6. Az alábbi sorozatok közül a konvergens sorozatokhoz keresse meg az 210 értékhez tartozó küszöbszámot:
a.) 1
2
nan b.)
2
1
nan
c.)
1
2
n
nan
d.) 1
12
2
n
nan e.)
1
22
n
nan f.)
1
22
n
nan
g.) nna 2 h.) n
na 2
i.) nna 1
j.) nan cos k.) 2
11
na n
n
l.) 15
15
n
n
na .
3 Egyváltozós valós függvények
3.1 Ismétlés
Szükséges elméleti ismeretek: – középiskolában tanult nevezetes függvények és tulajdonságaik – függvénytranszformációk
7. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb halmazát, ahol az alábbi függvények
értelmezettek:
6
a.) 1 xxxf b.) 12 xxf
c.) 12 xxf
d.) 21 xxf e.) 2
2
xxf f.)
4
22
x
xf
g.) 4
22
x
xf h.) xxf1
2
i.) xxxf
j.) 1
12
x
xf k.) x
xxf
sin l.) xxxf ln
m.) 1 xxxf n.) 1
1
2 xxf
o.) 1log 22 xxf
p.) xxf lnln q.) xxf sinln
r.) 42log21
xxf .
8. Függvénytranszformáció segítségével vázolja az alábbi függvények grafikonját.
a.) 2 xxxf b.) 652 xxxf
c.) 2 xxf d.) xxf 212
e.) 2
1
xxf f.) 224 xxf
g.) 2
1ln
xxf h.) xxf 2cos2
i.) 124
x
xf j.) 42 1log xxf , 1x .
7
3.2 Függvények intervallumbeli elemi tulajdonságai
Szükséges elméleti ismeretek: – korlátosság – monotonitás – invertálhatóság – párosság, páratlanság – periodicitás fogalma és vizsgálatának módszerei. 9. Vizsgálja meg, hogy az alábbi függvényeknek van-e alsó vagy felső korlátja. Mely
függvények korlátosak?
a.) 0,2
xx
xxf b.) R
x
xxf ,
1
12
c.) 2,2 xxxf d.) 0,1
cos
x
x
xxf
e.) 3,2
1
x
xxf f.) xxxf 0,sinln
10. Az alábbi függvények közül melyik monoton?
a.) xxf 21 b.) 1,1
1
x
xxf
c.) 2 xxf d.) 01,1 2 xxxf
e.) xxxf ee f.) xxxf
2,sinln .
11. A 10. feladat mely függvényei invertálhatóak? Adja meg ezen függvények inverzét! 12. Az alábbi függvények közül melyik páros illetve páratlan?
a.) xxxf 2121 b.) xxxf 2cos
c.) 1ln 2 xxxf d.) xx
xxf sin
tg
2
.
8
13. Az alábbi függvények közül melyek periodikusak?
a.)
egyébként,2
11 ha,2
xf
xxxf
b.) xxf 2sin
c.) xxxf cos .
3.3 Határérték, folytonosság
Szükséges elméleti ismeretek: – határérték – folytonosság fogalma, tulajdonságai és vizsgálatának módszerei. 14. Számítsa ki az alábbi határértékeket, ha léteznek:
a.) 2
lim2 x
xx
b.) 2
lim x
xx
c.) 2
lim x
xx
d.) 2
lim2 x
xx
e.) 4
2lim
22
x
xx
f.) 4
2lim
22
x
xx
g.) 4
2lim
2
x
xx
h.) 4
44lim
2
2
2
x
xxx
i.) 32
2lim
2
2
1
xx
xxx
j.) 32
2lim
2
2
xx
xxx
k.) 32
2lim
3
2
xx
xxx
l.) 32
2lim
2
3
xx
xxx
9
m.) 25
12lim
25
x
xx
n.)
21 1
2
1
1lim
xxx
o.) xxxx
5lim 2 p.) x
xx 3
2sinlim
0
q.) x
xx cos1lim
2
0 r.)
x
xx tg
sinlim
0
s.) x
xx
sinlim
t.) x
xcoslim
u.) xx
xxx cos2
sin3lim
v.)
x
xx cos2
sin3lim
.
15. Számítsa ki az xxf1
2 függvény bal- és jobboldali határértékét az 00 x helyen.
16. Meghatározható-e úgy az a, b, c, d paraméter értéke úgy, hogy az alábbi függvények
értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak legyenek:
a.)
egyébként;,
0ha,
0 és ha,2
sin2
b
xa
xxxx
x
xf
b.)
.1ha,
0ha,
10/ha,1
23
23
xd
xc
,xxx
xxx
xf
R
3.4 Elemi függvények
Szükséges elméleti ismeretek: – részlegesen egyenes vonalú függvények – racionális egész- és törtfüggvények – trigonometrikus függvények és inverzeik – exponenciális és logaritmus függvények – hiperbolikus függvények és inverzeik tulajdonságai.
10
17. Vázolja az alábbi függvények grafikonját (végezzen azonos átalakításokat, ill. számítsa ki a határértéket is, ahol szükséges):
a.) xxxf 1sgn32 b.) x
xfsgn1
1
c.) x
xxf
2sgn d.)
1
1
x
xxf
e.) xxxf sgn1 2 f.) x
xxf
sgn
1 2
g.) 21 xxf h.) 11 2 xxxf
i.) 232 21 xxxxf j.) 11 232 xxxxf
k.) 1
1
xxf l.)
21
1
xxf
m.) 1
12
x
xf n.) 22
2
1
21
xx
xxxf
o.) 22
2
1
21
xx
xxxf p.)
2
3
x
xxxf
q.) 2
2
12
4
xx
xxf r.) 122
3
xx
xxf .
18. Vázolja a következő arkusz függvényeket (ahol szükséges előbb írja fel egyszerűbb
alakban a függvényt):
a.) xxf 2arcsin b.) xxf 21arccos1
c.) 1arctg xxf d.) xxf arccoscos
11
e.) xxf cosarccos f.) xxf arccossin
g.) xxf arctgtg h.) xxf ctgarcctg .
19. Számítsa ki az alábbi kifejezések pontos értékét:
a.)
4
3arccos
4
1arccossin b.)
2arctg
4
1arccoscos
c.)
5
2arccos
5
4arcsintg .
20. Igazolja, hogy
a.) 2
arccosarcsin
xx b.) 2arcctg5
2arccos
5
4arcsin .
21. Vázolja az alábbi hiperbolikus és area függvényeket (ahol szükséges előbb írja fel
egyszerűbb alakban a függvényt):
a.) xxf 2ch1 b.) 2cth22 xxf
c.) 1sh2 xxf d.) xxxf lnsh2
e.) xxf arch1 f.) 1arsh2 xxf
g.) 1arshsh xxf h.) xxf charch .
12
4 Differenciálszámítás
4.1 Formális differenciálás
Szükséges elméleti ismeretek: – a differencia- és a differenciálhányados fogalma, kiszámítása – elemi függvények deriváltja – differenciálási szabályok. 22. Differenciálja a következő függvényeket I.:
a.) 1523 232 xxaxf b.) 2
21
xxxxf
c.) xxxxf 234 2 d.) x
xxf2
23 4
e.) 232 xxxf f.) 125 xxxf
g.) xxxxf h.) 4 32
1x
xxf
i.) 3
2
3
1
x
xxf j.) xxxxf 2arctgcos2
k.) 2
tgsinsin 22 xxxxf l.) xxxf tgcos 22
m.) xxxf 2tgctg n.) x
xxf
2cos1
2cos1
o.) 12arctg xxxf p.) 21
1arccos
xxxf
q.) xxxf sinarc12 r.) xxxf sinarcctg
13
s.) aaxf x ln t.) x
xxf
ln
1
23. Differenciálja a következő függvényeket II.:
a.) xxf x 2ln22 b.) xxf x lncose2
c.) xxf 32 loglog d.) xx
xxf
cos
1ln
2
e.) xxxf f.) xxf xsin
g.) 1sh 2 xxf h.) x
xxf1
th2ch2
i.) x
xxf
2ch
ch1 2 j.) xxxf cth
k.) 2
1arsh
x
xxf
l.) xxxf arch1 2
m.) 2arth2arcth xxxf n.) )!!(!ln xxxf
24. Állítsa elő y -t a következő egyenletekből:
a.) 421 22 yx b.) yxxyy cos2
c.) yxyx 23 d.) 22arctg yxx
y
14
25. Hol differenciálhatók az alábbi függvények? Adja meg a deriváltat ezeken a helyeken!
a.) xxf ln b.)
1ha,
1ha,e22
1
xex
xxf
x
c.) 331 xxf d.) xxxf
26. Számítsa ki az alábbi magasabbrendű deriváltakat:
a.) ?ln xfxxf b.) ?arctg xfxxf
c.) ?
4cos16
xf
xxf d.) ?02 23 xyyxy
4.2 A differenciálszámítás alkalmazásai
Szükséges elméleti ismeretek: – a derivált geometriai jelentése – görbék érintkezése – a differenciálszámítás középértéktételei – Taylor- polinom – Bernoulli-L’Hospital szabály – teljes függvényvizsgálat 27. Adott az 642 xxxf függvény.
a.) Állítsa elő az f függvény 10 x abszcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét.
b.) Van-e az f függvény görbéjének olyan pontja, melyhez húzott érintő átmegy az origón? Ha igen, akkor adja meg e pont koordinátáit.
c.) Van-e az f függvény görbéjének olyan pontja, melyhez húzott érintő az x-tengely pozitív felével os-45 szöget zár be? Ha igen, akkor írja fel az érintő egyenletét.
28. Hányad rendben érintkeznek az alábbi görbék az 0x helyen?
0
6
sin
03
xx
xxg
xxf
29. Mekkora szög alatt metszi az xxf ln függvény görbéje az x-tengelyt? 30. Az a paraméter milyen értéke esetén érinti az 2axxf függvény görbéje a xxg ln
függvény görbéjét?
15
31. Vizsgálja meg, hogy teljesülnek-e a Rolle-tétel feltételei az
8x2ha,66
2x10-ha,2 xx
xxf
függvényre a 6,6 intervallumon. Ha igen, akkor keresse meg értékét/értékeit,
melye(ek)re 0f . 32. Írja fel a Lagrange-féle középértéktételt az 32 23 xxxf függvényre a 3,2
intervallumon. 33. Írja fel az alábbi függvények 0x helyhez tartozó n-edfokú Taylor-polinomját
a.) 5,1,ln 0 nxxxf b.) 2,0,1
sh0
nx
x
xxf
c.) 3,0,e 0
2
nxxf x
d.) 3,0,cossin 0 nxxxxf .
34. Számítsa ki az alábbi határértékeket a Bernoulli-L’Hospital szabály alkalmazásával
a.) 20
sintglim
x
xxx
b.) x
x
x 2sin
1elim
0
c.) 1
lnarctglim
1 x
xx
d.) . x
x
x 3cos
sin21lim
6
e.) 201 ln
2tg
limxx
x
x
f.)
xxx
arcsin2
loglim01
g.)
1lim
1
x
xex h.)
x
xx
2200
ctg1
lim
i.) xxx
5323lim
j.) x
xx tg
00lim
k.) x
xx
lim l.)
x
xx
arctg2
lim00
35. Végezzen teljes függvényvizsgálatot (értelmezési tartomány, zérushely(ek), párosság-
páratlanság, periodicitás, lokális szélsőérték(ek), monoton szakaszok, inflexiós pont(ok), konvex-konkáv szakaszok, határértékek, értékkészlet) az alábbi függvényeken, majd vázolja a függvény görbéjét
16
a.) 33 xxxf b.) xxxf 3
c.) 12
x
xxf d.)
1
12
x
xf
e.) 2
e xxf f.) xxxf ln
g.) 2ln xxf h.) x
xxf
ln
i.) xxxf cossin j.) xxxf e
36. Egy pozitív számhoz adjuk hozzá a reciprokát. Milyen szám esetén minimális ez az
összeg? 37. Hogyan kell adott V térfogat mellett a henger alakú konzervdoboz alapkörének sugarát és
magasságát megválasztani úgy, hogy a doboz felszíne a lehető legkisebb legyen? 38. A r sugarú félkörbe legfeljebb mekkora területű téglalap rajzolható?
5 Integrálszámítás
5.1 A határozatlan integrál
Szükséges elméleti ismeretek: – alapintegrálok – integrálási szabályok – nevezetes függvénytípusok integrálása 39. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat (végezzen azonos átalakításokat az
integrandusz függvényen, ha szükséges)
a.) dxxx
x11
b.) dxxx 3
c.) dxx
x
1
12
2
d.) dxxx 12 e2
17
e.) dxx2tg f.) dxxx
x22
2
cossin
2sin
g.) dxxx
xx
2
2
1
1 h.) dx
x
xx
3
i.) dxxx arccosarcsin j.) dxx
xx
x
1e
e
40. Számítsa ki a felsorolt integrálokat az
RR
R
baxfFCa
baxFdxbaxf
Cxf
dxxfxf
Cxfdxxf
xf
,0/ ésx ahol,***
1/ ha,1
**
ln*
1
formulák alkalmazásával
a.) dxxx
x
24
22
b.) dxxx
x
153
562
c.) xdxctg d.) dxx
x 2cos
2sin3
e.) dxx
x
ln f.) dx
xx ln
1
g.) dxx 23cos h.) dxxx 22
12
i.) dxxx 5 32 32 j.) dxxx e1e 1
k.) dxxx sin32cos l.) dxx
xx 2cos23
cossin
m.) dxx cos1 n.) dxx 12cos (!)
18
41. A következő integrálok kiszámításánál alkalmazza a parciális integrálás módszerét
a.) dxx x 1e32 b.) dxx x e2
c.) xdxx sin2 d.) dx arctgx
e.) xdxx arctg f.) dxx 2ln
g.) dxx arctg h.) dxx x 2
e3
i.) dxx arcsin j.) dxx
xx
21
arcsin
k.) xdxx sine l.) dxx
xx 3sin
cos
42. Az alábbi integrálok kiszámításánál alkalmazza a helyettesítés módszerét
a.) dxxx 3 1 b.) dxxx
x
ln
ln1
c.) dxxsin d.) dx
x
xx2
2
sin1
cossin
e.) dxxx 24 f.) dxx 24
g.) dxe x h.) dxxx
tgx cossin
ln
43. Integrálja az alábbi racionális törtfüggvényeket
a.) dxxx
x 121
b.) 21 x
dx
c.) dxxx
xx
11
3322
2
d.) 123 xxx
dx
19
e.) dxx
x 1
3
f.) 164x
dx
g.) dxxx
xx
34
2 14 h.) 46 xx
dx
i.) dxx
x 12
4
j.) dxxx
x
3
2
4
1
k.) dxxx
x
54
12
l.)
dxxx
x
54
22
44. Integrálja az alábbi trigonometrikus függvényeket
a.) xdxx 2cos2sin 33 b.) xdxx 22 cossin
c.)
dx
x
x
1sin23
1cos d.) dxx 12tg 2
e.) xdx4cos f.) dxx
x4
3
sin
cos
g.) dxxx 2cos3sin h.) dxx
x 2
4
cos
sin
i.) dxx
x
2
2
tg1
tg1 j.) dx
x
x 3
3
cos
sin
45. Integrálja az alábbi hiperbolikus és exponenciális függvényeket
a.) xdx2cth b.) xdxx 2chsh
c.) xdxx 22 chsh d.) xdx2cth
e.) dxx
x sh1
ch f.) xdx2ch
20
g.) dxx
x
2e1
e h.) dx
x
x
e1
e2
46. Integrálja az alábbi irracionális függvényeket
a.) 11 x
dx b.) dx
xx
x 3
c.) dxxx 216 d.) dxx 216
e.) 296 xx
dx f.) dxxx 1
g.) dxx cos1 h.) dxx
x
1
1
47. Alkalmas módszer választásával végezze el a kijelölt integrálásokat
a.) dxxx ee b.) dx
xx
xx
53
223
2
c.) dxxx ln2 2
e
d.) x
dx
cos1
e.) dxx
xx
22
3342 f.) dxxx 23 1
5.2 A határozott integrál és alkalmazásai
Szükséges elméleti ismeretek: – a Riemann-integrál fogalma – a Newton-Leibniz tétel – az improprius integrálok fogalma és kiszámításuk – geometriai alkalmazások 48. A Newton-Leibniz tétel és alkalmasan választott határozatlan integrálási eljárás
megválasztásával számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét.
a.)
0
sin xdx b.) 2
0
sin xdx
21
c.) 2
0
sin dxx d.) e
1
1dx
x
e.)
2
1
dxxx f.)
8
4
2 2sin
1dx
x
g.) 2
1
ln dxxx h.)
1
0221
1dx
x
i.)
3
021
dxx
x j.)
1
0
43 21 dxxx
k.) e2
1
ln xdxx l.)
100
0
cos1 dxx
m.)
2
3
2
sinsgn dxxx n.)
2
1
02
2
1dx
x
x
o.) 1
0
arctg xdxx p.) 1
0
21 dxxx
49. Melyik konvergens az alábbi improprius integrálok közül?
a.)
0
2
e dxx x b.)
0
e dxx x
c.)
1
1dx
x d.)
1421
1dx
x
e.)
0
2 22
1dx
xx f.)
dx
xx 22
12
g.)
0
2e1 dxx x h.)
0
cos xdx
i.)
0
121 x
dx j.)
1
2 1x
dx
22
k.) 2
1
02ln
1dx
xx l.)
e
12ln
1dx
xx
m.) 1
02ln
1dx
xx n.)
2
0 4 324dx
x
x
o.)
1
0 1
1dx
xx p.)
1
02
1dx
x
50. Számítsa ki az alábbi görbék által határolt véges síkrész területét (készítsen ábrát is!).
a.) 25 xy és 1y b.) xyx 422 és xy 22
c.) xy 42 és 42 xy d.) 2xy és xy 2
e.) xy sin , 0y , 0x és 2x
f.) x
xy
ln , 0y és ex
51. Számítsa ki az alábbi forgástest térfogatát.
a.) x
xy
ln , 0y és ex görbék által határolt tartomány forog az x-
tengely körül.
b.) Az 2xy és xy 2 görbék által határolt véges területű lemez forog az x-tengely körül.
c.) Az 12
2
2
2
b
y
a
x ( Rba, , állandó) egyenletű ellipszis forog az x-tengely
körül. 52. Számítsa ki az alábbi görbeívek hosszát.
a.) 40,2
3
xxy b.) 24
,sinln
xxy
23
c.) 21,1ln 2 xxxy
53.
a.) Számítsa ki az 30,122 xxy görbeív x-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest felszínét.
b.) Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét.
24
6 Megoldások
1.
a.) ...,11
2...,,
4
2,
3
2,1 b.) ...,
2
11...,,
2
4,
2
3,1 c.) ...,
11
12...,,
4
5,
3
4,
2
3
d.) ...,
101
99...,,
10
8,
5
3,0 e.) ...,
101
12...,,
10
5,
5
4,
2
3
f.) ...,
101
1002...,,
10
29,
5
10,
2
3
g.) ...,2...,,8,4,2 10 h.) ...,2
1...,,
8
1,
4
1,
2
110
i.) ...,1...,,1,1,1
j.) ...,1...,,1,1,1 k.) ...,0...,,1,0,1
l.) ...,10
11...,,
3
4,
2
3,2
1032
m.) Az általános tag átalakításával:
n
n
n
nn
na3
121
9
63 2
,
...,3
121...,,
27
1727,
9
143,
3
1110
10
n.)
A számtani sorozat összegképletének alkalmazásával: 2
12
1n
n
nn
an
,
...,2
11...,,2,
2
3,1
o.) ...,10...,,3
1,2,
1
1
2.
a.)
Monotonitás vizsgálat:
Nnaa
nnnnaa nnnn 11 0
12
2
1
2
2
2 szigorúan monoton csökkenő
Korlátosság vizsgálat
A sorozat szigorún monoton fogyó, ezért felülről korlátos: 11 aK
Alsó korlát keresése: 01
2
nan teljesül Nn -re, így a sorozat egy alsó korlátja pl. a 0k .
A sorozatnak létezik alsó és felső korlátja, ezért korlátos.
25
b.)
Monotonitás vizsgálat:
Nnaann
aa nnnn ,02
1
2
1
2
211 a sorozat szigorúan monoton növő
alulról korlátos: 11 ak .
Felső korlát keresése: a sorozat felülről nem korlátos, mert az Kn
an
2
1 egyenlőtlenség –
akármilyen nagy K esetén – sem teljesül minden n-re a sorozat nem korlátos.
c.) Monotonitás vizsgálat:
Nnaannnn
nnn
n
n
n
naa nnnn ,0
12
1
12
231
1
2
2
31
2
1 a
sorozat szigorúan monoton fogyó felülről korlátos: 2
3K .
Alsó korlát keresése:
Nnnn
n
n
nan ,1
1
11
1
11
1
2 1k .
A sorozat korlátos.
d.) Szigorúan monoton csökkenő, korlátos.
e.) Szigorúan monoton csökkenő, korlátos.
f.) Szigorúan monoton növő, nem korlátos.
g.) Szigorúan monoton növő, nem korlátos.
h.) Szigorúan monoton növő, korlátos.
i.) A sorozat konstans elemű, ezért egyidejűleg monoton növő és fogyó, korlátos.
j.) Az nn na 1cos átalakítással
párosha,2
páratlanha,21211 11
1 n
naa nnn
nn
a sorozat nem monoton.
N nan ,1 a sorozat korlátos: Kak n 11 .
k.) Nem monoton, korlátos: .1111
2Kak
na nn
26
l.) Monotonitás vizsgálat:
Nnaa
a
annn
n
nn
nn
n
n ,1155
15
155
5151
111 szigorúan monoton fogyó felülről
korlátos, 41 aK .
Alsó korlát keresése: 0,05
15
5
151
1
knan
n
n
n N korlátos.
m.) 1. n.) szerint 2
1 nan
; a sorozat megegyezik a 2. b.) feladatban szereplővel.
n.) Monotonitás vizsgálat:
páratlanha,0
párosha,0
páratlanha,1
párosha,1
1
páratlanha,1
párosha,1
1
2
2
1 n
n
nn
n
nn
nn
nn
n
nnnaa nn nem
monoton. Pozitív elemű a sorozat, ezért alulról korlátos: 0k . Felső korlátja a páros indexű elemek
miatt nem létezik, ezért a sorozat nem korlátos.
3. A határérték definícióját alkalmazva
21
21
2
1
2
11
2
311
2
n
nnn n,
ami ellentmondás, mert a 21
2
-nál nagyobb n-ek esetén a sorozat elemei kívül esnek a
2
3A -sugarú környezetén.
4. A konvergens sorozatokon végezhető műveletek felhasználásával:
a.) 01
01
1
12
lim
n
nn
, konvergens b.)
2
1
2
1lim nn
, divergens
c.) 11
1
11
2lim
n
nn
, konvergens d.) 111
1
111
lim
nn
nnn
, konvergens
27
e.) 01
1
21
lim
2
2
n
nnn
, konvergens f.)
n
nn
n 11
2
lim , divergens
g.)
n
n2lim , divergens h.) 0
2
1lim
n
n, konvergens
i.) 11lim
n
n, konvergens
j.) n
n
nna 1lim1
nem létezik, a
sorozat divergens; torlódási pontjai:
1,1 21 tt
k.) 01
1lim2
nn
n, konvergens l.) 5
5
15lim
1
n
n, konvergens
m.) 2
12
1
n
n
nn
an divergens
(lásd b.)
n.) A sorozat nem korlátos (lásd a páros indexű
elemeket) divergens; egy torlódási pontja
van: 0t .
5.
a.) 2
1154
2
31
lim1542
3lim
2
2
23
3
nn
nnnn
nnnn
b.) 0154
2
31
lim1542
3lim
2
2
23
2
nn
nnnnn
nnnn
c.)
n
nn
nn
nnnn 15
4
3
lim154
3lim
2
3
d.)
110
1
1100
102
1011
6
110
2
13
6
121
lim103
26lim
nn
n
nn
nn
n
28
e.)
e2
1
e
1
2
1
1
11
1
1
11
11
2
11
lim
1
111
12
11
lim1
112
1lim
1
2
2
2
2
2
2
nnn
n
n
n
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
6.
a.)
0
11
2
lim
n
nn
konvergens.
A küszöbszám: *199100
1
1
2
100
10
1
2nn
nn
.
b.)
2
1lim
nn
divergens, nem létezik küszöbszám.
c.)
1
1
2lim
n
nn
konvergens.
A küszöbszám: *299100
1
1
3
100
11
1
2nn
nn
n
.
d.)
11
1lim
2
2
n
nn
konvergens.
A küszöbszám: .199100
1
1
2
100
11
1
1 *22
2
nnnn
n
e.)
0
1
2lim
2n
nn
konvergens.
A küszöbszám:
.95,10195,51502
79610100
0199100100
1
1
2
100
1
1
2
*4
2,1
222
nnn
nnn
n
n
n
f.) A sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.
g.) A sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.
29
h.)
0
2
1lim
n
n konvergens.
A küszöbszám: .64,6100log2100100
1
2
1 *2 nnn
n
i.)
11lim n
n konvergens.
A küszöbszám: *1100
111 nnn .
j.) n
n1lim
határérték nem létezik, a sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.
k.)
01
1lim2n
n
n konvergens.
A küszöbszám: *22
10100100
1111 nn
nnn .
l.)
5
5
15lim
1n
n konvergens.
A küszöbszám:
*5
11
86,386,2100log1
100
1
5
1
100
15
5
15
nnn
nn
.
7.
a.) RfD b.) RfD c.) R xxxDf ,1:
d.) R xxxDf ,1: e.) 2/RfD f.) RfD
g.) 2,2/ RfD h.) 0/RfD i.) 0fD
j.) R xxxDf ,1: k.)
Z
R
k
xkπx:xD f
,, l.) ØfD
m.) RfD n.) 1/RfD o.) R xxxDf ,1:
p.) R xxxDf ,1: q.)
ZR kx
πkxkD f ,
,122 r.)
RxxxDf ,
2
52:
30
8. A megoldás során alkalmazott függvény transzformációk egymást követő függvényeinek képe
zöld, kék, lila színnel jelölt, míg a keresett függvény képe piros színű.
a.) 11112 22
22
12 yxfxyxyxxxxf
b.)
4
1
2
5
4
1
2
565 2
2
22
1
22
yxfxyxyxxxxf
c.) xfxyxxf 12
y1
y2
f(x)
31
d.)
33
21
222
1
2
1
2
122
yxfxy
xyxyxxf
e.) xf
xy
xxf
1
2
11
f.) xx
xf 24
24 átalakítással
32
g.)
22
1
2ln
ln2ln2ln1ln2
1ln
yxfxy
xyxxx
xf
h.)
33
21
22
2cos
2coscos
22cos2
yxfxy
xyxyxxf
i.) 11
12
4
122
4
14 yxfyxf xx
x
33
j.) 2
222124
2
4
1loglog1log41log
yxf
xyxyxxxf
9.
a.) kx
xx
02 0
és
101
2
21
2
220
xfKxx
xx
korlátos.
b.) kx
01
12
és
Kx
x
x
xx
xx
11
11
1
1
1
,0
2
2
2
22
2
R
10 xf
korlátos.
c.) kx 02 ; felülről nem korlátos, mert tetszőlegesen (nagy) pozitív K esetén minden
22 Kx mellett a Kx 2 egyenlőtlenség nem teljesül a függvény nem korlátos.
d.)
1111
1
1
cos
1
cos0
xfxx
x
x
xx
a függvény korlátos.
e.)
1112
1
2
13
xfxx x
a függvény korlátos.
f.) Az intervallumon 1sin0 x a logaritmusfüggvény a 1,0 intervallumon alulról
nem korlátos, felső korlátja azonban létezik: xfK 01ln .
10.
a.) Legyen 21 xx , ekkor 022121 211212 xxxxxfxf ,
ahonnan R xxfxf 12 esetén. A függvény szigorúan monoton fogyó.
34
b.) Legyen 121 xx , ekkor 0111
1
1
1
12
21
1212
xx
xx
xxxfxf .
A függvény szigorúan monoton csökkenő.
c.) Legyen 212 xx , ekkor
12
12
12
12
12
12
12121212
02222
22
22
222222
xfxfxx
xx
xx
xx
xx
xxxxxxxfxf
szigorúan monoton nő.
d.) Legyen 01 21 xx , ekkor
.nőmonotonszigorúan011
11
111111
1221
22
22
21
21
22
21
22
21
222
12212
xfxfxx
xx
xx
xxxxxxxfxf
e.) Legyen 21 xx , ekkor
21
121122
e
1
e
1eeeeee12 xx
xxxxxxxfxf
.0ee
11ee
ee
eeee 12
00
21
12
21
12
12
xfxfxx
xx
xx
xxxx
szigorúan
monoton nő.
f.) Legyen ,2 21
xx ekkor 21 sinsin xx és így 21 sinlnsinln xx , a függvény
szigorúan monoton csökken.
11. A 10. feladatbeli függvények mindegyike szigorúan monoton, ezért invertálható.
a.) 2
121 11 x
xfxfx
b.) 0,11
1
1 11
x
xxf
xfx .
c.) 0,22 211 xxxfxfx .
35
d.) .10,11 2121 xxxfxfx
e.)
2
4e01eeee
2
2,1
2 11111
xxxx xfxfxfxfxf gyökök
közül xf 1
e
pozitív volta miatt csak
2
4e
21
xxxf . Mindkét oldal logaritmusát véve
adódik, hogy R
xxx
xf2
2ln
21 .
f.) xx xfxfxfx esinsinesinln 1111 , ahol a 1sin szimbólum a
szinusz függvény
,2
intervallumbeli ágának inverzét jelöli.
12.
a.) 241 xxf és xfxfxxxf 22 4141 , a függvény páros.
b.) xfxfxxxxxf 2cos2cos , a függvény páratlan.
c.)
.páratlanfüggvénya,
01ln1ln1ln
1ln1ln
2222
22
xfxf
xxxxxxxfxf
xxxxxf
d.) ,sin
tgsin
tgsin
tg
222
xfxx
xx
x
xx
x
xxf
a függvény páratlan.
13.
a.) Periodikus, periódushossza 2.
b.) Periodikus, periódushossza π.
36
c.) Nem-periodikus.
14.
a.) 2
1
4
2
2lim
2
x
xx
b.) 11
21
1lim
2lim
xx
xxx
c.) 11
21
1lim
2lim
xx
xxx
d.) 2
lim2 x
xx
nem létezik, mert a jobb és bal oldali
határértékek különböznek:
2
lim2
lim0202 x
x
x
xxx
e.) 4
1
2
1lim
4
2lim
222
xx
xxx
f.) 2
1lim
4
2lim
222
xx
xxx
nem létezik, lásd d.)-t
g.) 04
1
21
lim4
2lim
2
2
2
x
xxx
xxx
h.) 02
2lim
4
44lim
22
2
2
x
x
x
xxxx
i.) 4
3
3
2lim
31
21lim
32
2lim
112
2
1
x
x
xx
xx
xx
xxxxx
j.) 132
2lim
2
2
xx
xxx
k.) 032
2lim
3
2
xx
xxx
l.)
32
2lim
2
3
xx
xxx
37
m.)
40
1
125
1lim
1255
14lim
12
12
25
12lim
25
12lim
5
52525
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
n.) 2
1
1
1lim
11
1lim
1
21lim
1
2
1
1lim
112121
xxx
x
x
x
xx xxxx
o.)
2
5
15
1
5lim
5
5lim
5
55lim5lim
2
2
222
xxxx
x
xxx
xxxxxxxxx
xx
xx
p.) 3
2
3
2
2
2sinlim
3
2sinlim
00
x
x
x
xxx
q.) 2
2sin
22lim
2sin2
limcos1
lim
2
02
2
0
2
0
x
x
xx
x
xxxx
r.) 1coslim
cos
sinsin
limtg
sinlim
000
x
x
xx
x
xxxx
s.) 0sin
lim x
xx
t.) xx
coslim
nem létezik
u.) 2
3cos
2
sin3
limcos2
sin3lim
x
xx
x
xx
xxxx
v.) x
xx cos2
sin3lim
nem létezik.
15.
xx
x
xx
x
xx
1lim
1
00
1lim
1
00
0000 22lim,022lim a függvénynek nem létezik határértéke
az 00 x helyen.
38
16.
a.) Azt kell megvizsgálni, hogy a függvény az origóban, illetve a és a helyen a két
paraméter alkalmas megválasztásával folytonossá tehető-e.
,02
1
2
1lim
sinlim
2
sinlim
20020af
xx
x
xx
xxxx
azaz az origóban folytonossá tehető
a függvény. Mivel 02
sinlim
20
xx
xx
és 02
sinlim
20
xx
xx
, azaz a két határérték
megegyezik, ezért 0b választással xf -nek nemcsak határértéke létezik a és a
helyen, hanem folytonos is e két helyen.
b.)
2
2
02
2
023
23
0
1lim
1
11lim
1lim
x
x
xx
xxx
xx
xxxxxx
a függvénynek az
origóban végtelen a határértéke, ezért itt nem tehető folytonossá.
41
lim1
11lim
1lim
2
2
12
2
123
23
1 x
x
xx
xxx
xx
xxxxxx
4d választással a
függvény a 0, és a ,0 intervallumon folytonos.
17.
a.)
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xxxf
1 ha,1
1 ha,3
12- ha,5
2 ha,1
1 ha,32
1 ha,3
12- ha,32
2 ha,32
1sgn32
39
b.)
0 ha,1
0 ha,2
1
sgn1
1
x
xx
xf (pozitív x értékekre a függvény nem értelmezett).
c.)
x
x
xx
x
xxf
0 ha1
0 ha,1
2sgn (az origóban a függvény határértéke zérus).
d.) 1,1,arccoscos xxxxf
40
e.)
0ha,1
0ha,0
0ha,1
sgn12
2
2
xx
x
xx
xxxf
f.)
0ha1
0ha,1
sgn
12
22
xx
xx
x
xxf , az 0x helyen nem értelmezett, egyébként
megegyezik az e.) feladat görbéjével.
g.) Racionális egészfüggvény:
22 ,szeres1,1
szeres1,1:kzérushelye111 xy
x
xxxxxf A
41
h.) 3
322
,szeres1,1
szeres2,1:kzérushelye
...1111
xyx
x
xxxxxxf
A
i.) 77232 ,
szeres2,2
szeres2,0
szoros3,1
:kzérushelye...21 xy
x
x
x
xxxxxf A
j.) 77232 ,szeres2,0
szoros3,1:kzérushelye...11 xy
x
xxxxxxf A
42
k.) Racionális valódi törtfüggvény:
0;szeres1,1:pólushelyenincs;zérushelye1
1
Ayx
xxf
l.)
0;szeres2,1:pólushelyenincs;zérushelye1
12
Ayxx
xf
m.) 0;páratlan,1
páratlan,1:ipólushelyenincs;zérushelye
11
1
1
12
Ayx
x
xxxxf
43
n.)
0;páros,1
páros,0:ipólushelye;
páratlan,2
páros,1:zérushelye
1
2122
2
Ayx
x
xx
xxxf
o.)
0;páratlan,1
páros,0:pólushelye;páros,2:zérushelye
1
2122
2
Ayx
x
xx
xxxf
p.)
xy
xx
xx
x
xx
x
xxxf
A
);(!páratlan,0:pólushelyenincs;:zérushelye1
22
2
2
3
44
q.)
0;
9
4
1
2lim
12
4lim;2:hézagpont
;páros,1:pólushelye;páratlan,2:zérushelye12
4
222
2
2
2
2
Axx
yx
x
xx
xx
xxx
xxf
r.)
0;01
lim1
lim;0:hézagpont
nincs;:pólushelye;nincs:zérushelye1
2022
3
0
22
3
Axx
yx
x
xx
xx
xx
xxf
18.
a.) xfxyxyxxf )arcsin(arcsin2arcsin 21
45
b.)
33
21
1
2
12arccos
2
1arccosarccos
2
12arccos
1
yxfxy
xyxyxxf
c.) 32321 1arctgarctg1arctg yxfyyxyxyxxf
d.) 1,1arccoscos xxxxf
46
e.)
,0,,2
,2coscoscosarccos y
Zllx
Zkkxyxyxyxf
f.)
1,1,1arccoscos1arccossin 22
,0arccos1,1
xxxxxf
xx
g.) Rxxxxf ,arctgtg
47
h.) ZR
ZR
llxylxy
xykkxxyxf
,/,,0,
ctgctg,/ctgarcctg
19.
a.)
16
7153
4
7
4
1
4
3
4
15
4
7cos1sin,
4
3cos
20
4
15cos1sin,
4
1cos
20
sincoscossinsin4
3arccos
4
1arccossin
2
2
b.)
54
1521
5
2
4
15
5
1
4
1
5
2
tg1
tgsin,
5
1
tg1
1cos
20
4
15cos1sin,
4
1cos
20
sinsincoscos2arctg4
1arccoscos
22
2
48
c.)
543
534
3
541
53
4
5cos1
1tg
20
3
4
sin1
sintg
20
tgtg1
tgtg
5
2arccos
5
4arcsintg
2
2
20.
a.) 2
arccosarcsin
xx , átrendezve az egyenletet: sin/arccos2
arcsin xx
xxxx arccossin2
cosarccoscos2
sin
az állítás igaz.
b.)
.igaz5
4
5
1
5
2
5
2
5
1
5
1
1
1sin,
5
2
1cos
20
5
1
5
41cos1sin,
5
2cos
20
sincoscossin5
4sin/2arcctg
5
2arccos
5
4arcsin
22
2
?
ctgctg
ctg
21.
a.) 3321 1,2ch,2ch,ch2ch1 yxfxyxyxyxxf
49
b.) 32321 2,2,2cth,cth2cth22 yxfyyxyxyxxf
c.) 1sh2 xxf
d.) 11
2
ee2lnsh2 2
lnln
0
x
xxxxxxxf
xx
x
50
e.) 1,arch1 xxxf
f.) 1arsh2 xxf
g.) R xxxxf ,11arshsh
h.) R xxxxf ,charch
51
22. Az alábbi feladatokban a differenciálás technikájának elsajátítása a fő cél. A differenciálandó
függvények és deriváltjuk értelmezési tartományát csak az elfajuló esetekben tüntetjük fel.
a.) 322 49 xxaxf
b.) 32
411
xxxf
c.) 849223423 22 xxxxxxxf
d.) xx
xxxxfxxxf2
1
3
4
2
2
3
42 32
3
3
1
2
1
3
4
e.) 32232
12
12
xxxxf
f.) 2
126242
12524 11521
2
115
xxxxxxxxxxf
g.)
2
12
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
11
2
11
2
1xxxxxxxfxxxxf
h.) 12
17
12
523
1
4
1
4 32 12
51
xxfxxxx
xf
i.) 3
4
3
2
3
1
3
1
3
1
3
23
2
33
1131
3
231
3
1
xxxxxfxxx
xxf
j.) 2
22
2
41
2sincos2cos2
21
1sincos2cos
xxxxx
xxxxxxf
k.) 2
1
2cos
1sinsin
2tg2coscossin2
2
222 x
xxx
xxxxxf
l.) 2
1
22
122
2
1
cos
1tg
2
12sincos2
x
xxxxxxf
m.) x
x
x
xxf
2cos
ctg2
sin
2tg22
52
n.) 2
2
1
2cos1
2sin22cos12cos12sin2
2cos1
2cos1
2
1
x
xxxx
x
xxf
o.)
2121
112arctg
2
xxxxf
p.)
22
222
1
21
arccos11
1
1
x
xx
xxxxf
q.) A függvény csak az 1x és az 1x helyen értelmezett, tehát sehol sem differenciálható.
r.) xxx
xf cossin2
1
1
12
1
2
s.) aaxf x ln
t.)
xx
xxxf
2ln
11ln
23.
a.) 22
122ln2ln22 22
xxxf xx vagy
x
xxfxxf xxx 142ln4ln42lnln4
b.) x
xxxxf xx 1lnsinelncose2
22
c.) xxxxxf
33 log3ln2ln
1
3ln
1
2lnlog
1
d.)
x
x
xx
xxfxxxxf
cos
sin1
1
2
2
1coslnln1ln
2
12
2
e.) 1ln1lnee lnln xxxxfxf xxxxx
f.)
x
xxxxfxf xxxx
sin
cossinlnee sinlnsinln
53
g.) 1ch2 2 xxxf
h.)
22
11
ch
12sh2ch4
xx
xxxf
i.) x
x
x
xxxx
x
xxxxxxf
2ch
2sh3
2ch
2sh2ch32ch2sh
2ch
2sh2ch12chshch2222
2
Vagy, a függvény átalakításával:
x
x
x
xxfx
x
xxf
2ch
2sh3
2ch
2sh2
2
312ch3
2
1
2ch
2ch3
2
122
1
j.) xx
xx
xxxxxf
222
1
shcth2cth
sh
1cth
2
1cth
k.) 424
2
2
2
1
212
11
1
xxx
x
x
xxx
x
xxf
l.) 1
1
1
arch
1
1arch21
2
12
2
22
2
2
12
x
x
x
xx
x
xxxxxf
m.) Az f függvény sehol sem értelmezett, nem differenciálható.
n.) Az f függvény sehol sem értelmezett, nem differenciálható.
24. Mindkét oldalt differenciáljuk x szerint, majd a kapott egyenletet y -re feloldjuk
a.) 2
102212
y
xyyyx
b.) yxxy
yyyyxyyyxyyy
sin21
cossincos2
22
c.) 2ln21
13ln312ln23ln3
y
xyx yyy
54
d.)
22
22
222222222
22
1
1
yxyx
yxxyy
yx
yyx
yx
yyx
yx
yyx
x
yyx
x
y
25.
a.) 0\RfD ,
0ha,
1
0ha,1
0ha,1
0ha,1
0ha,ln
0ha,ln
xx
xx
xx
xxxf
xx
xxxf
b.)
1ha,e2e2
1ha,022 3 xxx
xxf xx
c.)
0ha,1
30ha,1
63ha,1
6ha,1
0ha,1
30ha,1
63ha,5
6ha,7
x
x
x
x
xf
xx
xx
xx
xx
xf
d.) xxx
xxxf
xx
xxxf 2
0ha,2
0ha,2
0ha,
0ha,2
2
26.
a.) 32
2,
1,
1
xxf
xxf
xxf
b.) 2221
2,
1
1
x
xxf
xxf
c.) xxfxxfxxfxxf 4cos4,...,4sin4,4cos4,4sin4 6632
d.) 0442333043 2222223 yyyyyyyxyyyyyyyxyy
yxy
yyyxyyy
43
6642
222
55
27.
a.) A keresett érintő meredeksége: 242110
x
xfm
Az érintési pont koordinátái: 3,10P
Az érintő egyenlete: 5212300 xyxyxxmxfy
b.) Az origón akkor halad át az érintő egyenes, ha az 00 xfmxmxy egyenletben
000 xfmx teljesül, azaz
6
6606442
02
01200
2000
x
xxxxxx .
Két ilyen pontja van a függvény görbéjének: 6412,601 P és 6412,602 P .
c.) Az érintő meredekségére vonatkozó előírás figyelembe vételével:
2
542145tg 00
0 xxm , és így az érintő egyenlete:
.4
1
2
5610
4
25
xyxy
28.
rendbennegyed010cos
rendbennegyedlegalább000sin
rendbenharmadlegalább111cos
rendbenmásodlegalább00sin
rendbenelsőlegalább112
1cos
rendbenad0legalább006
sin
05
0555
04
0444
00
00
00
2
00
3
pontosan
xgxfxgxxf
xgxfxgxxf
xgxfxgxxf
xgxfxxgxxf
xgxfx
xgxxf
xgxfx
xxgxxf
29. A függvény görbéje az x-tengelyt az 10ln 0 xxxf pontban metszi, ahol a
függvény meredeksége .4
1arctgahonnan,tg11
10
0
xxxf
30. Keressük azt az 00 x értéket, mely mellett a két függvény görbéje legalább első rendben
érintkezik, azaz 00 xgxf és 00 xgxf egyidejűleg teljesül. Az adódó
egyenletrendszer és megoldása:
56
ax
xax
axxxax
2
112
e2
1eln
2
1ln
00
0
00020
.
31. A függvény értékei az intervallum végpontjaiban megegyeznek: 666 ff . A
függvény két folytonos ágból áll, ezért a folytonosságot a 6,6 intervallumon csak az
20 x helyen kell külön vizsgálnunk:
22lim266limlim,lim222
2
020202
fxfxxxfxff
xxxx, tehát
folytonos az 20 x helyen is.
Hasonlóképpen a differenciálhatóságot a 6,6 intervallumon is csak az 20 x helyen kell
külön vizsgálnunk:
262limlim
11limlim
0202
0202
xxf
xf
xx
xx a két határérték nem egyezik meg, ezért a tétel
differenciálhatóságra vonatkozó feltétele nem teljesül. A Rolle-tétel nem alkalmazható.
32. A függvény a 3,2 zárt intervallumon folytonos, a 3,2 nyílt intervallumon
differenciálható, tehát teljesülnek a Lagrange-féle középértéktétel feltételei, így
létezik/léteznek olyan hely/helyek, ahol
4355
25
23
23 2fff , ahonnan
3
1921
és
3
1922
.
33.
a.)
54320
!
2424
66
22
11
11
0ln
54325
00
05
04
55
04
44
03
02
0
0
xxxxxxx
n
xfxT
xfx
xf
xfx
xf
xfx
xf
xfx
xf
xfx
xf
xfxxf
n
nn
57
b.)
2
22
00
02
04
2
02
0
!2
20
!
21
shch1121chsh1ch
11
shch1
01
sh
xxx
xxxn
xfxT
xfx
xxxxxxxxxxf
xfx
xxxxf
xfx
xxf
n
nn
c.)
23
03
02
0
0
1
0e8e8e4
2e4e2
0e2
1e
222
22
2
2
xxT
xfxxxxf
xfxxf
xfxxf
xfxf
xxx
xx
x
x
d.) A függvényt átírjuk egyszerűbb alakba: xxf 2sin2
1
33
0
0
0
0
!3
4
42cos4
02sin2
12cos
02sin2
1
xxxT
xfxxf
xfxxf
xfxxf
xfxxf
34.
a.) 02
0
2
sinsincos2lim
0
0
2
coscos
1
lim0
0sintglim
3
0'
2
0'20
xxx
x
xx
x
xxxLBxLBx
b.) 2
1
2cos2
elim
0
0
2sin
1elim
0'0
xx
x
xLB
x
x
c.)
11
ln1
1lim
0
0
1
lnarctglim
21'1
xxx
xxLBx
d.) 3
1
3
3
3sin3
cos2lim
0
0
02
121
3cos
sin21lim
6'
6
x
x
x
x
xLBx
58
e.)
2sin
2cos21
2cos2
21lim
2
0
0
2cos212
lim21
22
cos
1
limln
2tg
lim
201'
2
2
01
2
2
01'201
xxx
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
x
xLB
xxLBx
f.)
xx
xx
xxx
x
x
x
xLBxx
x
arcsin12lim
1arcsin1
1
2lim
0
0
ln
arcsin2
ln
limarcsin2
loglim
201
2
01'0101
g.) 1elim1
e1
lim0
01
1elim01elim
1
2
1
2
'
11
x
x
x
xLB
x
x
x
x
x
x
x
x
h.)
02
0
2cos22sin4sin2
2cos22sin4cos22cos2lim
0
0
2sinsin2
2sincos22sinlim
cossin2sin2
sincos2cos2cossin2lim
0
0
sin
cossinlimctg
1lim
22
22
00'
22
22
00
22
22
00'
22
222
00
2200
xxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxx
xx
xxxx
x
xLB
x
xLB
xx
i.)
xxxx
x
xx
xx
xx
xxxxxx
xLBxx
xx
532
5
232
23
lim5323
3lim
5323
5323lim
5323
53235323lim5323lim
'
0
j.)
1ee0
1
cossin2lim
0
0sinlim
sin
1
1
lim
ctg
lnlim0tglnlimeelim0lim
0tglnlim
00'
2
00
2
00'
0000
tglnlimtgln
00
0gt
00
00
00
xx
xLBxxLB
xx
xxxx
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxxx
59
k.) 1ee01
1
limln
limeelimlim 0ln
lim
'
lnlim
ln0
x
x
xLBx
x
x
x
x
x
x
x
xx xx
xx
l.)
1ee01arctg2
2lim
0
0
arctg1lim
1arctg1
1
lim1
arctg2
ln
lim
0arctg2
lnlimeelim0arctg2
lim
0arctg
2ln
0lim
00'
2
2
00
2
2
00'00
00
arctg2
ln0
limarctg2
ln
00
0
00
0
0
xx
xLB
xxLBx
x
xxxx
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
xxx
35.
a.) f racionális egészfüggvény:
Értelmezési tartománya RfD
Zérushelyei:
egyszeres,3
egyszeres,3
egyszeres,0
03
3
2
12
x
x
x
xx
Párosság-páratlanság vizsgálat: xfxxxxxf 33 33 páratlan
Nem periodikus
Határértékek:
32
33 3lim,3
1lim3lim xxx
xxxxxx
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel:
1
1033
5
42
x
xxxf
Elégséges feltétel:
2,1maximum,lokális061
2,1minimum,lokális061
max
min
Pf
Pf
Monoton szakaszok:
fogy.maxnő.minfogy
00
,111,111,
f
f
x
Inflexiós pontok keresése:
Szükséges feltétel: 006 6 xxxf
60
Elégséges feltétel: 0,0pontja,inflexiósvan066 iPxf
Konvex-konkáv szakaszok:
.inf
0
,000,
f
f
x
Értékkészlet: RfR
b.) Értelmezési tartomány: R xxxD f ,0
Zérushelyek:
3
003
2
1
x
xxx
Sem páros, sem páratlan nem lehet, mert értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra
Nem periodikus
Határérték:
xxx
3lim
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel: 101
2
31
2
3
2
33
x
x
x
xxxf
Elégséges feltétel: 2,1,minimum lokális02
3
2
1
2
1
2
3min3
3
P
xxxxf
x
61
Monoton szakaszok:
nő.minfogy
0
,111,0
f
f
x
Inflexiós pont:
Szükséges feltétel:
fDxx
xxf 0
1
4
3n nem teljesül, nincs inflexiós pont
Konvex-konkáv szakaszok:
f
f
x
,0
Értékkészlet: R yyyR f ,2
c.) f racionális valódi törtfüggvény
RfD
Zérushely: 01 x (egyszeres); pólushelye, hézagpontja nincs
xfx
x
x
xxf
22 11 páratlan a függvény
Nem periodikus
Határérték:
0lim,0lim xfxf
xx
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel:
1
10
1
1
1
21
3
2
22
2
22
22
x
x
x
x
x
xxxf
Elégséges feltétel:
62
2
1,1maximum, lokális0
2
12
1,1minimum, lokális0
2
1
1
32
1
4422
1
11412
max3
min2
32
2
32
33
42
2222
Pxf
Pxf
x
xx
x
xxxx
x
xxxxxxf
Monoton szakaszok:
fogymaxnőminfogy
00
,111,111,
f
f
x
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel:
3
3
0
01
32
6
5
4
32
2
x
x
x
x
xxxf
Elégséges feltétel:
4
3,30
4
48
4
3,30
4
48
0,006
1
3616
1
136166
346
245
14
42
224
62
2222322
i
i
i
Pxf
Pxf
Pxf
x
xxx
x
xxxxxxf
Konvex-konkáv szakaszok:
.inf.inf.inf
000
,333,000,333,
f
f
x
63
RyyyR f ,
2
1
2
1
d.) Racionális valódi törtfüggvény.
1,1- \RfD
Zérushelye nincs; pólushelyek:
rendűpáratlan 1
rendűpáratlan 1
2
1
x
x; hézagpontja nincs
xfxf , páros a függvény
Nem periodikus
Határérték:
0limlim xfxf
xx
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel:
001
2322
x
x
xxf
Elégséges feltétel:
1,0021
26
1
1812max32
2
42
2222
3
3
P
x
x
x
xxxxf
x
x
Monoton szakaszok:
fogyfogymaxnőnő
0
,11,000,11,
f
f
x
64
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel:
0
1
2632
2
x
xxf nincs inflexiós pont
Konvex-konkáv szakaszok:
f
f
x
,11,11,
0\RfR
e.) RfD
Zérushelye nincs
xfxf páros a függvény
Határértékek:
0
e
1lim
e
1lim 22 xxxx
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel: 00e2 1
2
xxxf x
Elégséges feltétel: 1,002e4e2 max2
1
22
1Pxxf
x
xx
x
Monoton szakaszok:
fogy.maxnő
0
,000,
f
f
x
65
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel:
2
12
1
0122
3
222
x
xxexf x
Elégséges feltétel:
e
1,
2
10
e
1,
2
10
32e4424e2
13
12
33 22
i
i
xx
Pxf
Pxf
xxxxxxf
Konvex-konkáv szakaszok:
.inf.inf
00
,2
1
2
1
2
1,
2
1
2
1
2
1,
f
f
x
RfR
f.) RfD
Zérushely: 10ln 1 xxx
Nem páros, nem páratlan
Nem periodikus
Határértékek:
66
xx
x
x
x
x
xxx
x
xxLBxx
lnlim
0lim1
1
lim1
lnlim0lnlim
00
2
00'0000
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel: e
101ln 2 xxxf
Elégséges feltétel:
e
1,
e
10e
1min
2
2P
xxf
xx
Monoton szakaszok:
nőminfogy
0
,e
1
e
1
e
1,0
f
f
x
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel: 01
xxf nincs inflexiós pontja
Konvex-konkáv szakaszok: miatt0 RfDxf mindenütt konvex
Ryy
eyR f ,
1
g.) 0\RfD
Zérushely:
1
10ln
2
12
x
xx
Párosság, páratlanság: xfxxxf 22 lnln páros a függvény
67
Nem periodikus
Határértékek:
222
0lnlimlnlim,lnlim xxx
xxx
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel: 02
xxf nincs lokális szélsőértéke
Monoton szakaszok:
nőfogy
,00,
f
f
x
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel: 02
2xxf nincs inflexiós pontja
Konvex-konkáv szakaszok: 0xf mindenütt konkáv
RfR
h.) RfD
Zérushely: 10ln
1 xx
x
Nem páros, nem páratlan
Nem periodikus
Határértékek:
01
1
limln
lim,ln
lim00
xx
x
x
xxLBxx
Szélsőérték vizsgálat:
68
Szükséges feltétel: e0ln1
22
x
x
xxf
Elégséges feltétel:
e
1,e0
e
1ln12max34
2
2P
x
xxxxf
xx
Monoton szakaszok:
fogymaxnő
0
,eee,0
f
f
x
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel: 2
3
34e0ln230
ln23
xx
x
xxxf
Elégséges feltétel:
2
32
3
66
22
e2
3,e0
e
23ln232
3
3i
xx
Px
xxxxf
Konvex-konkáv szakaszok:
.inf
0
,eee,0 2
3
2
3
2
3
f
f
x
RyyyR f ,
e
1
69
i.) RfD
Zérushelyek: Z
kkxxx k ,4
3cossin
Párosság-páratlanság:
xf
xfxxxf cossin nem páros, nem páratlan
Periodikus: periódushossza 2
Határértékek: xxx
cossinlim
nem létezik
Szélsőérték vizsgálat: (a periodicitás miatt elegendő a 2,0 intervallumon vizsgálni)
Szükséges feltétel:
4
540sincos
2
1
x
xxxxf
Elégséges feltétel:
2,
4
502
2,4
02cossin
min2
max1
Pxf
Pxfxxxf
Monoton szakaszok: (a periodicitás miatt elegendő a 2,0 intervallumon vizsgálni)
nőminfogymaxnő
00
2,4
5
4
5
4
5,
444,0
f
f
x
Inflexiós pontok: (szintén a 2,0 intervallumon)
Szükséges feltétel:
4
74
3
0cossin
4
3
x
xxxxf
Elégséges feltétel:
0,4
702
0,4
302
sincos
24
13
i
i
Pxf
Pxfxxxf
70
Konvex-konkáv szakaszok:
.inf.inf
00
2,4
7
4
7
4
7,
4
3
4
3
4
3,0
f
f
x
R yyyR f ,22
j.) RfD
Zérushely: 00e 1 xx x
Párosság-páratlanság:
xf
xfxxf xe nem páros, nem páratlan
Nem periodikus
Határértékek:
0e
1lim
elim0elim,elim
xxLBxx
x
x
x
x
xxx
Szélsőérték vizsgálat:
Szükséges feltétel: 101eee 2 xxxxf xxx
Elégséges feltétel:
e
1,10
e
12e max2
2
Pxxfx
x
Monoton szakaszok:
fogymaxnő
0
,111,
f
f
x
71
Inflexiós pontok:
Szükséges feltétel: 202e 3 xxxf x
Elégséges feltétel:
22 e
2,20
e
13e
33ix
x
xPxxf
Konvex-konkáv szakaszok:
.inf
0
,222,
f
f
x
Ry
eyyR f ,
1
36. Keressük az x
xxf1
függvény minimumát az 0x feltétel mellett. Szélsőérték ott
lehet, ahol az első derivált eltűnik: 1101
1 22
xxx
xf a feltétel
figyelembe vételével. Az elégséges feltétel is teljesül, mert 022
11
3
xxf , tehát
valóban minimumhelye van a függvénynek az 1x helyen.
37. Keressük az mrrrF 22 2 függvény minimumát adott mrV 2 térfogat ( 0r )
mellett. A feltétel figyelembe vételével: .2222 22
2
r
Vr
r
VrrrF
Szélsőérték ott
lehet, ahol 302 2
02
4
V
rr
Vr
dr
dF. Az elégséges feltétel is teljesül, mert
72
012844
400
32
2
rrrrr
V
dr
Fda függvénynek lokális minimuma van az 0r
helyen. A henger magassága: 32
00
4
V
r
Vm .
38.
.042sin4
és,4
02cos2
2sinsincos2
222
2
02
22
0
0
rrd
Td
rd
dT
rrabT
A T függvénynek 40
mellett lokális maximuma van, így
a keresett téglalap területe: 2max rT .
39.
a.) CxxxxCxxxdx
xxxdx
xxx
ln2
3
2ln2
3
2111 2
1
2
3
2
1
2
1
,
(a második tag miatt az integrandusz csak pozitív x értékekre értelmezett).
b.) Cxdxxdxxx 2
3
2
13
3
2
c.)
Cxxdxx
dxx
xdx
x
x
arctg21
21
1
21
1
122
2
2
2
d.) CCdxdxdx
xxxxxxxx
4ln1
e2
e4lne
e4e4
e
1e4
e
1e2
1212
e.) Cxxdxx
dxx
xdx
x
xdxx
tg1
cos
1
cos
cos1
cos
sintg
22
2
2
22
f.) Cxdxdxx
xdx
xx
x44
2sin4
12sin
cossin
2sin
2
2
22
2
g.) Cxxdx
xxdx
xx
xxdx
xx
xx
arctgln1
11
1
1
1
122
2
2
2
h.) Cxxdxxxdxxxdxx
xx
6
5
2
3
6
1
2
1
2
1
3
1
2
13
5
6
3
2
r
ra
b
0 φ
73
i.)
Cxdxdxxx22
arccosarcsin (lásd a 20. a.) feladatot)
j.) Cxdxx
dxx
x xxx
x
lnee
11e
e
1
e
e1
40.
a.) Cxxdxxx
xdx
xx
x
f
f
24ln2
1
24
42
2
1
24
2 2
~
22
b.) CxxCxxdxxxxdxxx
x
ff
1532153215356
153
56 22
12
~
2
12
2
2
1
c.) Cxdxx
xxdx
f
f
sinlnsin
cosctg
~
d.)
Cxdxxxdxx
x
ésff
2cos4
12cos2sin
2cos
2sin 2
***~
33
3
e.) Cx
dxxx
dxx
x
ff
2
lnln
1ln 2
~
f.)
Cxdxx
xdx
xx
f
f
lnlnln
1
ln
1
~
g.)
C
xdxx
2
23sin23cos
***
h.)
Cxdxx
dxxx
1arctg
11
1
22
1
***
22
i.) Cxdxxx
ff
5
63
~
5 32 3236
532
5
1
j.) Cdxdx x
ff
xxxx
2
3
~
2
11 e1
e3
2e1e
e
1e1e
2
1
74
k.) Cxdxxx
ff
2
3
~
sin329
2sin32cos
2
1
l.)
Cxdxxxdxx
xx
ésff
2
1
***~
2
1
2cos234
12cos232sin
2
1
2cos23
cossin
2
1
m.) Cx
dxx
dxx
dxx 2sin22
2cos2
2cos2cos1 2 (feltéve, hogy az integrációs
intervallumon 02
cos x
)
n.) Az integrandusz függvény csak az Z kkx , diszkrét helyeken értelmezett, nem létezik
primitív függvénye.
41.
a.) Cxdxxv
udxx xxxx
xv
x
u
11111
1 e2e32e2e32e
2e32
b.) Cxx
dxxxv
udxxx
v
xudxx
xxx
xxxx
v
x
u
xx
v
x
u
e2e2e
e2e2ee
2e2e
e
2e
2
222
c.)
Cxxxxxxdxxxxx
xv
udxxxxx
xv
xudxxx
vuvu
cos2sin2cossin2sin2cos
sin
2cos2cos
cos
2sin
22
22
d.) Cxxxdxx
xxx
xvx
udxxuv
22
2 1ln2
1arctg
1arctg1
1arctg1
e.)
Cxxxx
dxx
xx
dxx
xx
xx
v
xu
dxxxuv
arctg2
1
2
1arctg
2
1
11
2
1arctg
21
11
2
1arctg
22
1
1
arctg
2
2
2
2
22
2
2
f.)
Cxxxxx
dxxxxxxv
xudxxxx
xvx
xudxx
uvuv
2ln2ln
2ln2ln2
1ln2ln
ln2ln1
2
222
75
g.)
CxxxxCttxx
dtt
xxdtt
txxtdt
t
txx
tdtdx
txdx
x
xxx
xvxx
udxx
xt
uv
arctgarctgarctgarctg
1
11arctg
1
11arctg2
12
1arctg
212
1arctg12
1arctg1
22
2
2
2
h.) Cx
dxxx
v
xudxxx xxxx
x
v
x
u
2222
22
e2
1e
2ee
2e2
12
e22
2
i.) Cxxxdxxxxxxv
xu
dxxuv
22
122 1arcsin1arcsin1
1arcsin1
j.) Cxxxdxxx
xvx
udxx
x
x
u
v
arcsin1arcsin1
11
1
arcsin1
22
2
2
2
k.)
Cxx
xdx
Cxdxxx
xv
udxxx
xv
udxx
xx
xxx
x
vu
xxx
vu
x
2
cossinesine
:átrendezve egyenletet Az.sinesinecose
sin
ecosecose
cos
esine
*
l.) Cxx
xdx
xx
x
xv
udxxxx
vu
ctg2
1
sin2sin
1
2
1
sin2sin2
11
sincos222
2
3
42.
a.)
Cxx
Cttdtttdttttdttdx
txdxxx
3
4
3
7
473623
2
33
14
31
7
3
4
3
7
3331
3
11
b.)
1ln1ha,ln1arth2ln12
arth221
112
1
1122
12
ln1
ln
ln122
2
2
2
xCxx
Cttdtt
dtt
ttdt
t
ttdt
x
dxtx
dxxx
x
76
c.)
Cxxx
Cttttdttttv
udttt
tdtdx
txdxx
vu
sin2cos2
sin2cos2cos2cos2cos
2sin2
2sin
2
d.)
Cxx
Cttdtt
dtt
t
dtxdx
txdx
x
xx
sinarctgsin
arctg1
11
1cos
sin
sin1
cossin22
2
2
2
e.)
Cx
Ct
dtttdtxdx
txdxxx
3
4
322
44
2
323
222
2
f.)
)ésévelfeltételez0cosmonintervallu sintegráció Az(
442
arcsin2cossin22
2sin2
2cos12cos4cos2sin14cos2
sin24
2
222
t
Cxxx
CtttCt
t
dtttdttdtttdtdx
txdxx
g.) CxCtdttv
udtt
tdtdx
txdx xtttt
tv
t
u
x
1e2e2e2e2e2e
2e2
2e
2
h.) Cx
Ct
dtt
tdtdx
x
txdx
xx
xxdx
xx
x
2
tgln
2
lnln
cos
1tg
cossin
lntgcos
cossin
lntg 22
22
43. Az integrandusz függvényt – ahol szükséges – először résztörtekre bontjuk:
a.) 1
1
0
21112
121121
B
A
BA
BAxBxAx
x
B
x
A
xx
x
Cxxdxxx
dxxx
x
12ln2
11ln
12
1
1
1
121
b.) 2
12
1
1
0111
1111
1
1
12
B
A
BA
BAxBxA
x
B
x
A
xxx
Cxxdxxxx
dx
1ln1ln2
1
1
1
1
1
2
1
1 2
77
c.)
2
10
02
7
3:
21:
23:
0:
111133
11111
33
0
2
3
2222
2222
2
D
C
B
A
DBAx
DCBx
DCBAx
CBx
xDCxxxBxAxx
x
DCx
x
B
x
A
xx
xx
Cxx
dxxx
dxxx
xx
arctg2
1
1
1
2
7
1
1
2
1
1
1
2
7
11
332222
2
d.)
Cx
xxC
x
xx
dxxxx
dx
xxx
dxxxx
E
D
C
B
A
Ax
BAx
CBAx
ECBx
DCx
ExDxxxCxxxBxxxA
xx
EDx
x
C
x
B
x
A
xxx
3
12arctg
3
21
2
1
3
12arctg
2
3
3
41
2
1
13
12
1
3
41
2
1
43
21
111
1
1
1
0
0
1
1
1:
0:
0:
0:
0:
1111
11
1
22
2222323
0
2
3
4
342222
223
zérushelye valósnincs
23
e.) Az integrandusz függvény áltört, ezért racionális egész és tört összegére bontjuk:
1
11
12
3
xxx
x
x, és így
dx
xxxdx
x
x
1
11
12
3
Cxxxx
1ln23
23
78
f.)
Cx
xx
dxxxx
dxx
D
C
B
A
DBAx
CBAx
DBAx
CBAx
xDCxxxBxxA
x
DCx
x
B
x
A
xxxx
2arctg22ln2ln
32
1
12
1
32
1
2
1
32
1
2
1
32
1
16
18
10
32
132
1
4881:
4440:
220:
0:
442421
422422
1
16
1
24
0
2
3
222
224
g.)
2
2
3
1
1:
4:
1:
0:
1111411
14
0
2
3
322233
2
D
C
B
A
Ax
BAx
CBx
DCx
DxxCxxBxxAxxx
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Cxxxx
dxxxxx
dxxx
xx
1ln2ln23
2
1
1
2231
1
142233
2
h.)
1
0
0
1
0
1
1:
0:
0:
0:
0:
0:
11111
11
1
0
2
3
4
5
4232222
223424
F
E
D
C
B
A
Ax
Bx
CAx
DBx
FCx
EDx
xFExxDxxCxxBxxA
x
FEx
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
Cxxx
dxxxx
dxxx
arctg
1
3
1
1
111
1
1322424
i.) Cxxx
dxx
xdxx
x
arctg31
11
1
3
22
2
4
79
j.)
Cxxxdxxxx
dxxx
x
C
B
A
Ax
CBx
CBAx
xCxxBxxAx
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xx
x
12ln8
512ln
8
5ln
12
1
4
5
12
1
4
51
14
1
4
54
51
1:
0:
2241:
1212141
12121212
1
14
1
2
2
0
2
22
2
2
2
k.)
Cxx
dxxx
xdx
x
xdx
xx
x
2arctg12ln2
1
12
1
12
2
12
1
54
1
2
2222
l.) Cxxdxxx
xdx
xx
x
54ln
2
1
54
42
2
1
54
2 2
22
44.
a.)
Cxx
xdxxxxxdxxxxdxx
12
2cos
8
2cos
2cos2sin2cos2sin2cos2cos12sin2cos2sin
64
533233
b.)
Cx
xxdx
xdxxdxdxxx
xdxx
4
4sin
8
14cos1
8
1
2sin4
12cos1
4
1
2
2cos1
2
2cos1cossin 2222
c.)
Cxdxxxdx
x
x
2
1
2
1
1sin231sin231cos1sin23
1cos
d.)
Cxx
dxx
dxx
xdx
x
xdxx
12tg2
1
112cos
1
12cos
12cos1
12cos
12sin12tg
22
2
2
22
e.)
Cxx
x
dxx
xdxxxdxx
xdx
32
4sin
4
2sin
8
3
2
4cos12cos21
4
12cos2cos21
4
1
2
2cos1cos 2
24
f.) Cxx
xdxxxxxdxxxdxx
x 7
sin
5
sinsincossincossinsin1cos
sin
cos 756442
4
3
80
g.) A „szinuszos” addíciós-tétel alkalmazásával: 2
sin5sin2cos3sin
xxxx
Cxx
dxxx
dxxx2
cos
10
5cos
2
sin5sin2cos3sin
h.)
Cx
xx
dxx
xdxx
xdx
x
xdx
x
x
4
2sin
2
3tg
2
2cos12
cos
1cos2
cos
1
cos
cos1
cos
sin2
222
22
2
4
i.)
Cx
dxxdxxx
xxdx
x
x
2
2sin2cos
sincos
sincos
tg1
tg122
22
2
2
j.)
Cxx
dxxxxxdxxxxdxx
x
3
8
3
2
3
5
3
1
3
12
3
3
cos8
3cos
2
3
cossincossincoscos1sincos
sin
45.
a.)
Cxxdxx
dxx
xdx
x
xxdx cth1
sh
1
sh
sh1
sh
chcth
22
2
2
22
b.) Cx
xdxx 3
chchsh
32
c.)
Cxx
dxx
dxxdxxx
xdxx
832
4sh
12
14ch
4
112ch
4
1
2
12ch
2
12chchsh 222
d.) Cxdxx
xxdx 2shln
2
1
2sh
2ch2cth
e.) Cxdxxxdxx
x
sh12sh1chsh1
ch2
1
f.)
Cxx
dxx
xdx24
2sh
2
12chch 2
g.) CCtt
dt
dtdx
tdx x
x
x
x
x
arctgearctg
1e
e
e1
e22
81
h.)
C
Cttdtt
dtt
t
t
dt
t
t
dtdx
tdx
xx
x
x
x
x
e1lne
1ln1
11
1
11
1e
e
e1
e 22
46.
a.) CxxCttdttt
tdt
tdtdx
tx
x
dx
11ln121ln2
1
22
1
2
2
1
11
2
b.)
Cxxxxxxxxxx
Ctttttttttt
dtt
tttttttt
dtt
tdtt
tt
t
dttdx
txdx
xx
x
1ln23456789
1ln23456789
1
11
1
66
6
6633 26 56 73 43
23456789
2345678
95
23
6
5
6
3
c.) C
xC
tdtt
tdtxdx
txdxxx
3
16
322
1616
2
323
222
2
d.)
Cxxx
Cttt
tdttdttdtttdtdx
txdxx
161
44arcsin8cossin8
2cos18cos16cos4sin14cos4
sin416
2
222
e.)
Cxx
dx
xx
dx
13arcsin
3
1
13196 22
f.)
C
xx
Ctt
dttttdttttdtdx
txdxxx
5
12
3
12
5
2
3
22221
2
11
2
5
2
3
53422
2
g.) Cx
dxx
dxx
dxx2
sin222
cos22
cos2cos1 2
h.)
Cxxx
Cttt
dtt
tdtt
tt
tdtdx
txdx
x
x
1ln22
1ln2
21
112
12
21
1 222
82
47.
a.) CCdtdtdx
tdxdx
xxx tt
x
xxx
eee eeee
eeee
b.) Cxxdxxx
xxdx
xx
xx
53ln
3
1
53
63
3
1
53
2 23
23
2
23
2
c.) Cdxxdxx
xxx
4
eee
2
22 2
2ln2
d.) Cx
xdx
x
dx
2tg
2cos2cos1 2
e.) Cxdxdxxx
x
xx
4
3ln
1
4
332
4
332
2
33422
f.) C
xxC
ttdttt
tdtxdx
txdxxx
3
1
5
1
351
22
11
2
322
5235
2222
23
48.
a.) 20coscoscossin 0
0
xxdx
b.) 00cos2coscossin 20
2
0
xxdx
c.) 41111coscossinsinsin 20
2
0
2
0
xxxdxxdxdxx
d.) 11lnlneln1 e
1
e
1
xdxx
e.) 402
02
2
0
0
1
2
1
xxdxxdxxxdxxx
f.) 2
101
2
1
2ctg
4ctg
2
12ctg
2
1
2sin
18
4
8
4
2
xdxx
83
g.)
8
32ln
8
1
2
12ln
82ln2
2ln
22
1
ln2
21
21
2ln
2
1
42
1
32
1
4
4
2
1
2
1
3
2
tdt
tt
tt
v
tu
dttt
t
x
tdtdxtx
dxxxuv
h.) 2
2arctg0arctg2arctg
2
12arctg
2
1
21
1
21
11
0
1
02
1
02
xdxx
dxx
i.) 2ln1ln4ln2
11ln
2
1
1
3
0
23
02
xdxx
x
j.) 13312
121
12
121
1
0
2
34
1
0
43
xdxxx
k.) 4
1ee2lne2
4e2lne2
2ln
22
1
ln 22
e2
1
e2
1
22
e2
1
2
2
e2
1
xdx
xx
xx
v
xu
dxxxuv
l.)
22000coscos2100
2cos2250
2sin250
2sin2
2sin2cos1
2
0
2
0
100
0
100
0
2100
0
x
dxx
dxx
dxx
dxx
m.) 428
9
8222sinsgn
22222232
2
223
2
23
2
xxxdxxdxdxxx
n.)
8
3
12
4
3
62
1cossin
2
1
2
2cos1cos
cos
sin
0
0
cossin
160
6
0
6
0
2
6
21
2
1
02
2
tttdtt
tdtt
t
t
x
tdtdxtx
dxx
x
o.)
2
1
41arctg1
2
1
8arctg
2
1
8
1
11
2
1
2
1arctg
12
1
2
arctg
2
1
1
arctg
10
1
02
1
02
21
0
2
2
21
0
xx
dxx
dxx
xxxx
v
xu
dxxxuv
p.) 1223
11
3
11
1
0
2
32
1
0
2
xdxxx
84
49.
a.)
2
11
e
1lim
2
1
e2
1limelime
22
22
000RR
R
xR
Rx
R
x dxxdxx konvergens
b.)
ávalalkalmazásszabályHospitalL'Bernoullia0e
1lim
elim:*ugyanis
konvergens11e
1
elime
elim
eelime
1elime
*
0
0
0
00
RRRR
RRR
RxRR
RxRx
Rx
R
v
x
uR
x
R
RR
dxxv
udxxdxx
c.)
1lnlnlimlnlim1
lim1
1
11
Rxdxx
dxx R
R
R
R
Rdivergens
d.)
6
11
21
1lim
6
121
6
1lim
21
1lim
21
13
1
3
14
14 R
xdxx
dxx R
R
R
R
R
konvergens
e.)
konvergens4
3
24
1arctg1arctglim1arctglim11
1lim
22
1 00
2
0
2
Rxdx
xdx
xx RRRR
R
f.)
221arctg1arctglim1arctglim
11
1lim
22
1
12
22
2
1
2
1
2
1
2
12
1
RRx
dxx
dxxx
RR
RR
RR
R
RRR
konvergens, mert a határérték minden 1R és 2R esetén létezik.
85
g.)
R
x
R
xxxx dxxdxxdxxdxxdxx1
21
0
2
1
21
0
2
0
2 e1lime1e1e1e1
Előkészítésként előállítjuk az integrandusz függvény határozatlan integrálját:
Cx
dxx
v
udxx xxx
x
v
x
u
2222
2 e4
21e
2
1e
2
1e
2
11
e1 , melyet felhasználva
.konvergens4
1
e2
1
e4
1
e8
2lim
4
1
e4
1
e4
1
e4
21lim
4
1
e4
1
e4
21lime
4
12e1lime1
2222222
1
21
0
2
1
21
0
2
RRRR
Rx
R
xR
x
R
x
R
xxdxxdxx
(A határérték kiszámításánál a Bernoulli-L’Hospital szabályt alkalmaztuk.)
h.) RxxdxxdxR
R
R
R
Rsinlimsinlimcoslimcos 0
00
, a határérték nem létezik, ezért az integrál
divergens.
i.)
2
1arcsin0arcsinlimarcsinlim1
lim1 0
01
0
0
120
0
12
xx
dx
x
dxkonv.
j.)
1lnlnlim1lnlim
1lim
1 0
12
0
1
20
1
2
xx
dx
x
dxdivergens.
k.)
2ln
1
ln
1
2
1ln
1lim
ln
1limln
1lim
ln
10
2
1
0
2
1
2
0
2
1
02 x
dxxx
dxxx
konvergens.
l.)
1ln
1
lne
1lim
ln
1lim
ln
1lim
ln
10
e
10
e
120
e
12 x
dxxx
dxxx
divergens.
m.) divergens.
ln
1
1ln
1lim
ln
1lim
ln
1lim
ln
1
1200
1
00
1
2
00
1
02
2
1
2
12
1
2
12
1
x
dxxx
dxxx
n.)
konvergens4244lim244lim2
424lim242lim4
lim4
444
0
44 2
0
44 2
0
2
0
4
12
0
2
0 4 32
2
004 32
xdxx
xdx
x
x
o.)
divergens
1lnln2lnlim1lnlnlim1
11lim
1
10
1
0
1
0
1
0
xxdx
xxdx
xx
86
p.)
1
1lim1
lim1
lim1
0
1
0
1
20
1
02 x
dxx
dxx
divergens
50.
a.)
Metszéspontok: 2,215 212 xxx
3
32
34415
2
2
32
2
22
2
2
xxdxxdxxT
A két görbe által közrezárt véges tartomány kétféleképpen is
értelmezhető: egyrészt a körön belüli és a parabolán „kívüli”,
másrészt a körön és a parabolán belüli rész.
Számítsuk ki a bevonalkázott tartomány területét!
Metszéspontok:
2
002
2
4
2
1
2
22
x
xxx
xy
xyx
0
20
cos2
sin2
2
3
24
2
214
2242242
2
2
0
2
32
0
2
2
0
22
0
2
t
x
tdtdx
tx
xdxx
dxxxdxxxxT
b.)
.3
162
3
16
24
3
16cossin4
3
162cos14
3
16cos8 0
2
0
2
0
2
2
tttdttdtt
A másik tartomány területe: 3
162
3
1624
TTkör .
87
c.) Metszéspontok:
xxxy
xy442
/42
4 2
2
2
4
1
2
35
2
16255
016204
2
12,1
2
x
xx
xx
A tartományt „felülről” határoló görbeív nem írható le
egyetlen kifejezéssel, ezért az 1x függőleges egyenessel
két résztartományra bontjuk. A keresett terület e két
résztartomány területének összege:
.93
441
3
321616
3
8
3
44
3
8
242424222
4
1
2
32
1
0
2
3
4
1
1
0
4
1
1
0
xxxx
dxxxdxxdxxxdxxxT
d.)
Metszéspontok:
1
001
2
134
2
2
x
xxxxx
xy
xy
A tartomány területe:
3
1
33
21
0
32
31
0
2
xxdxxxT .
88
e.)
2sin2cos2cos2cos2
cos
2sin2
0
0
2sin
0
0
0
00
2
2
2
ttdttt
tv
udttt
t
x
tdtdxtx
dxxTvu
f.)
4
1elnln
ln2
e1
e12
ln
2e
12
e
1
2e
1
t
tdtt
t
xtdtdx
tx
dxx
xT
Másként integrálva: 4
1
4
lnln
2
1e
1
2e
1
xdx
x
xT
51.
a.) A tartományt az 50./ f.) feladatban már megrajzoltuk.
123
ln
4
ln
4
1lne
1
3e
1
2e
1
2
xdx
x
xdx
x
xV
b.) A megforgatott tartományt az 50./ d.) feladatban már megrajzoltuk. A keletkező forgástest
térfogatát úgy kapjuk, hogy az xy görbe 1,0x darabja forgatásával adódó testből
„kifaragjuk” az 2xy görbe 1,0x darabja forgatásával keletkező testet:
.632
1
0
321
0
1
0
2
xxdxxxV
89
c.) A szimmetria miatt elegendő az ellipszis első
síknegyedbe eső darabját megforgatni az x-tengely
körül:
3
4
3212
2
02
32
02
22 ab
a
xxbdx
a
xbV
aa
.
Vegyük észre, hogy Rba esetben a formula az R
sugarú gömb 3
4 3RVgömb
térfogatát adja meg.
52.
a.) Az ívdarab hossza:
1101027
8
4
91
9
4
3
2
4
91
2
31
4
0
2
32
14
0
4
0
2
xdxxdxxI .
b.)
.8
tgln2
tgln2
sinln2
cosln
2sin2
2cos
2cos2
2sin
2cos
2sin2
2cos
2sin
sin
1
sin
1
sin
cossin
sin
cos1
2
4
2
4
2
4
2
4
222
4
2
4
2
4
2
222
4
2
xxxdx
x
x
x
x
dxxx
xx
dxx
dxx
dxx
xxdx
x
xI
c.) .3111
11
1
11
12
12
2
12
2
12
2
1
2
2
2
xdxx
xdx
xdx
xx
x
x
I
53.
a.)
.3
22822216
3
2
223
12222
12
11122
3
0
2
33
0
23
0
xdxxdx
xxF
a
b
x
y
90
b.) R sugarú gömböt egy R sugarú kör valamely átmérője körüli forgatásával nyerhetünk.
Helyezzük a kör középpontját a koordináta rendszer origójába, a forgatás tengelye pedig legyen
az x-tengely. Elegendő a „felső” félkört forgatnunk: 22 xRy .
2
22
222 42212 RxRRdxdx
xR
xxRF R
R
R
R
R
R
.