Índice Página 1. Introducción y planteamiento del proyecto 4 1.1. Introducción e historia de los Problemas de mecánica de 4 fluidos resolviendo la ecuación de Navier-Stokes 1.1.1. Historia de mecánica de fluidos 4 1.1.2. Ecuación de Navier-Stokes 7 1.2. Objetivos del presente Proyecto 21 1.3. Motivación del presente proyecto 22 1.4. Ámbito de Aplicación del proyecto 24 1.5. Implantación Numérica 25 1.6. Organización del presente proyecto 26 2.Descripción de los algoritmos desarrollados y los 27 métodos empleados 2.1. Mallador GID 27 2.1.1. Preprocesador de GID 30 2.1.1.1. Creación de mallas para el estudio (Generación de malla a través 30 de parámetros) 2.1.1.2. Mallado 3D en GID 33 2.1.2. Postprocesador del GID: 36 Página 1 de 115
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Índice
Página
1. Introducción y planteamiento del proyecto 4
1.1. Introducción e historia de los Problemas de mecánica de 4
fluidos resolviendo la ecuación de Navier-Stokes
1.1.1. Historia de mecánica de fluidos 4
1.1.2. Ecuación de Navier-Stokes 7
1.2. Objetivos del presente Proyecto 21
1.3. Motivación del presente proyecto 22
1.4. Ámbito de Aplicación del proyecto 24
1.5. Implantación Numérica 25
1.6. Organización del presente proyecto 26
2.Descripción de los algoritmos desarrollados y los 27
métodos empleados
2.1. Mallador GID 27
2.1.1. Preprocesador de GID 30
2.1.1.1. Creación de mallas para el estudio (Generación de malla a través 30
de parámetros)
2.1.1.2. Mallado 3D en GID 33
2.1.2. Postprocesador del GID: 36
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2.1.2.1. Postprocesado 2D 36
2.1.2.2. Postprocesado 3D: 38
3. Programa para resolver la ecuación de transporte puro 42
de Euler en bajo orden para comprobar la difusión
matemática del problema:
3.1. Fundamentos de la ecuación del transporte puro de Euler 42
3.2. Generación de la malla en GID y generación de los 45
archivos de datos necesarios para el problema
3.3. Cálculo del Pie de las características 50
3.4. Cálculo del elemento al que pertenece el pie de las 54
características
3.4.1. Cálculo de los elementos vecinos 54
3.4.2. Paso del triángulo físico a coordenadas locales. 56
3.4.3. Cálculo del elemento al que pertenece el pie de las características 61
3.5. Cálculo del valor de la función en el pie de las características 64
3.6. Funcionamiento completo del programa 66
4.Programa para resolver la ecuación de transporte puro de 67
Euler en alto orden a través del método de los polinomios
De Legendre
4.1. Explicación general del programa 67
4.2. Estructura General del Programa 68
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4.3. Generación de la malla definitiva 70
4.4. Matriz de masa de el espacio de los polinomios de Legendre 74
4.5. Proyección del espacio Real al espacio de los polinomios 75
de Legendre: La subrutina “fromPhys2Leg”
4.6. Proyección del espacio de los polinomios de Legendre al 77
espacio real: La subrutina “fromLeg2Phys”
5.Métodos matemáticos de aproximación empleados 80
5.1. Introducción 80
5.2. Método de interpolación de Lagrange 84
5.2.1. Introducción a los polinomios de Lagrange 84
5.2.2. Interpolación polinómica de Lagrange 1D 85
5.2.3.Interpolación de Lagrange en 2D. Resolución para el caso particular 88
de triángulos cuadráticos:
5.3. Método modal de los polinomios de Legendre 91
6.Comparación de los dos métodos de estudio 95
6.1.Datos tomados para la comparación 95
6.2.Resultados obtenidos para el caso de Lagrange 97
6.3.Resultados obtenidos para el caso de Legendre 109
6.4.Comparación de los dos métodos 114
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1. Introducción y planteamiento del proyecto:
1.1. Introducción e historia de los Problemas de mecánica de fluidos
resolviendo la ecuación de Navier-Stokes:
1.1.1. Historia de mecánica de Fluidos:
Es Claude Loius Marie Henri Navier (1785-1836) quien empieza el desarrollo de
las ecuaciones que se usan hoy en día para los problemas de mecánica de fluidos.
Debido a la muerte de su padre, cuando Claude tenía 8 años, éste quedo a cargo de
su tío, Emiland Gauthey, quien era un destacado ingeniero civil de la época, lo
que impulso a Claude Navier a interesarse por la ingeniería y a ponerse en
contacto con los pensadores e investigadores más importantes de la época. Entre
ellos podemos citar a Fourier, Auguste Comte, etc. Con esta influencia terminó
por convertirse en miembro del cuerpo de puentes y caminos (corps des ponts et
chaussées). Antes de desarrollar sus teorías sobre mecánica de fluidos, fue el
primero en desarrollar una teoría sobre puentes suspendidos, los cuales habían
sido desarrollados siempre de forma empírica, aunque nunca llegó a ponerla en
práctica debido a la falta de apoyo municipal. Tras esto tuvo una vida muy
fructífera en la ingeniería francesa, siendo asesor del gobierno en temas de
ingeniería durante gran parte de su vida. Sin Embargo a Claude Navier le
recordamos por su labor desarrollando las primeras ecuaciones no basadas en
estudios empíricos de la mecánica de fluidos.
Inicialmente no entendía muy bien los esfuerzos cortantes que se daban en los
fluidos hasta que en 1821, gracias a los trabajos de Euler desarrolló dichas
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ecuaciones para fluidos incompresibles, y más tarde en 1822 para fluidos
viscosos.
Las ecuaciones obtenidas por Navier fueron nuevamente desarrolladas con un
entendimiento teórico mayor de los esfuerzos que se generaban en los fluidos por
El Barón Louis de Cauchy (1789-1857) y por George Gabriel Stokes (1819-1903).
A pesar de que Cauchy estaba dedicado sobre todo a la matemática teórica,
desarrolló también en el campo de la mecánica de fluidos las ecuaciones que
regían la naturaleza de los esfuerzos cortantes que se dan en un fluido, así como
las ecuaciones de análisis de Flujos ideales de Cauchy-Rieman.
Stokes, en cambio se dedicó al estudio empírico de las tensiones cortantes en los
fluidos, llegando a la definición de el concepto de ”Fricción Interna” y, con ello, a
formular las ecuaciones de Navier-Stokes, que son las que se usan hoy en día en la
resolución de problemas de mecánica de fluidos. Esta ecuación tiene una
complejidad matemática elevada, hasta el punto de que la resolución analítica de
la misma no es conocida en la actualidad, y se plantea como uno de los seis
problemas matemáticos del siglo. Éste hecho da lugar a la necesidad de resolver la
ecuación de Navier-Stokes a través de métodos numéricos para poder estudiar los
fenómenos que se producen en los fluidos. A raíz de esto nace lo que se conoce
como la dinámica de fluidos computacional, que tiene sus primeras aplicaciones
en la industria aerospacial, que fue donde primeramente se planteó la necesidad
del estudio de la dinámica de un fluido alrededor de un cuerpo.
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A pesar de el gran desarrollo que ha tenido la dinámica de fluidos computacional
durante los últimos años, sigue siendo fundamental la utilización de túneles de
viento y ensayos experimentales para la validación de los resultados obtenidos por
Siempre definidos en el intervalo [-1,1] de la cuadratura de Gauss.
Los polinomios de Legendre se explicarán más adelante, pero a modo de ejemplo,
se añaden a continuación los primeros órdenes para que se puedan entender en
una dimensión:
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Figura 31: Representación de los polinomios de Legendre de orden 1 a orden 8
Para los puntos de Gauss se tomarán los ceros tan solo del polinomio de orden N
modificado para el problema en particular de la ecuación de transporte puro.
Como ejemplo, en la figura 32 se observa la distribución de los puntos de Gauss
para el caso de N=7 en un cuadrado de dimensiones [-1,1]x[-1,1]
Puntos de Gauss
-1,143
-0,857
-0,571
-0,286
0
0,286
0,571
0,857
-1,143 -0,714 -0,286 0 0,286 0,571 0,857
Situación geométrica de los puntos de Gauss en 2D
Figura 32: Distribución de los puntos de Gauss en 2D para N=7
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Se puede comprobar que los valores de x y de y de la cuadrícula que termina
siendo la distribución 2D, provienen de los ceros del polinomio de Legendre de
orden 7. Este hecho se aprecia en la figura 33 donde se pueden ver los ceros de
dicho polinomio.
Figura 33: Polinomio de Legendre de orden 7 (N=7)
Tras calcular los puntos de Gauss para un elemento cuadrado, hemos de recordar
que donde se necesita conocer la distribución de los puntos de Gauss es en el
triángulo de referencia, ya que será en este donde se realice la aproximación.
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4.4. Matriz de masa de el espacio de los polinomios de Legendre
La parte matemática se explicará en el apartado de fundamentos matemáticos de
este mismo documento (capítulo 5) . Aquí se explica brevemente el
funcionamiento del programa para generar dicha matriz.
La subrutina en cuestión tiene dos funciones principales:
1) Formar los polinomios de Legendre para todos los órdenes iguales o inferiores
al fijado en el programa (se puede cambiar en la programación y que el
programa haga los cambios en los vectores pertinentes).
2) Formar la matriz de 2D a través del producto tensorial de los polinomios en las
combinaciones que se consideran adecuadas para el método.
La matriz de masa, es, el equivalente a la aplicación lineal del método de
interpolación lagrangiano. Su función es la de proyectar sobre el espacio de los
polinomios de Legendre, la función, o lo que es lo mismo, generar la
aproximación en dicho espacio a través de los valores conocidos de la función real
en los puntos de Gauss.
Matemáticamente, la matriz relaciona los coeficientes de Legendre con el valor de
la función en un punto. Esta matriz depende de las coordenadas del punto, con lo
que la ecuación queda de la siguiente manera:
f x, y( ) = f x, y( )i=1
n
∑ M ⋅ f = b
Donde f x, y( ) es el valor de la función aproximada, M = φ es la matriz de
masa, f es el valor en el espacio real e los puntos conocidos, y b es lo que se
denomina Right hand side (rhs). Este rhs, no es otro que el vector que contiene los
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coeficientes de Legendre. Estos coeficientes son la proyección sobre el espacio de
los polinomios de Legendre de la aproximación de la función, con lo que para
aproximar el valor de la función en un punto dado, se ha de invertir el proceso, es
decir, partiendo del valor de b se obtiene f
De este modo, el problema inverso queda de la siguiente manera:
f = M −1 ⋅b
De esta forma si extendemos la ecuación tenemos:
f1
f n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
m11 … m1n
mn1 mnn
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
−1
⋅b1
bn
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
4.5. Proyección del espacio Real al espacio de los polinomios de Legendre: La
subrutina “fromPhys2Leg”
Como su propio nombre indica, la utilidad de esta subrutina es la de “proyectar”
en el espacio de los polinomios de Legendre la función que se desea aproximar.
Lo que se consigue con este método es pasar de una función definida en puntos
(los puntos de Gauss en nuestro caso) a una función definida por coeficientes
válida para cualquier punto de el espacio del problema.
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La difusión matemática que se da en la ecuación de transporte puro ocurre
precisamente porque la función está discretizada en el dominio. Además el
transporte implica que en un punto de Gauss en el instante de tiempo tn+1 se
tengan que aproximar su valor a partir de los valores conocidos en el instante de
tiempo tn que no son otros más que los valores de la función en los puntos de
Gauss en el instante de tiempo
Así como con la interpolación Lagrangiana los coeficientes de Lagrange son los
mismos valores de la aproximación en los nodos (que coincide con el valor
aproximado anterior), en el caso de los polinomios de Legendre no es así.
Los coeficientes que se usan, son los que anteriormente hemos denominado rhs,
que a efectos prácticos son el vector b de las ecuaciones antes descritas.
Partiendo de la malla de puntos de Gauss y de la matriz de masa, la subrutina
calcula la ecuación:
M ⋅ f = b
Donde la salida de la ecuación es el vector b de los coeficientes de Legendre. Para
ello, como se ha explicado anteriormente, parte de la matriz de masas (aplicación
lineal del espacio real al de los polinomios de Legendre) y los valores de la
función en los puntos de Gauss.
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Al igual que en el caso de Lagrange, esto se lleva a cabo en coordenadas locales,
de forma que los polinomios de Legendre sean siempre los mismos, que además
resultan ser los definidos en el intervalo [-1,1].
Una vez terminado este proceso, los coeficientes f contienen información para
aproximar cualquier punto en el dominio de la función.
f1
f n
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= Coeficientes de Legendre
4.6. Proyección del espacio de los polinomios de Legendre al espacio Real: La
subrutina “fromLeg2Phys”
Esta subrutina es la segunda parte de la transformación. En esta, se recupera el
valor de la función en el instante de tiempo tn en los pies de las características,
para asignar su valor a los puntos de Gauss del instante de tiempo tn+1 .
La peculiaridad de la subrutina reside en el hecho de que los puntos en los que se
quiere calcular el valor de la función no son puntos conocidos, sino previamente
calculados en la función feetcalc encargada de la búsqueda de los pies de las
características.
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Como entradas toma los valores de los pies de las características pero en
coordenadas locales del triángulo de referencia junto con el elemento en el que se
encuentre el pie de la característica.
El primer paso es pasar estas coordenadas a las coordenadas que usa el método de
los polinomios de Legendre, que es el cuadrado de referencia que va de
[-1,1]x[-1,1], en el que se basa también la generación de los puntos de Gauss,
aunque estos luego se reduzcan a la forma triangular debido a la estructura de la
malla que nos interesa emplear.
Una vez se cambian las coordenadas a este entorno, con los coeficientes de
Legendre, la matriz de masa y las coordenadas locales del pie de característica se
calcula el valor aproximado de la función en ese punto, para “transportarlo al
punto de Gauss en el instante de tiempo tn+1 .
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como resultado, la estructura de todo el programa es a siguiente:
Figura 34: Esquema general del programa de alto orden
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5. Métodos matemáticos de aproximación
empleados:
5.1. Introducción:
La finalidad de este proyecto consiste en estudiar si empleando el método de los
polinomios de Legendre se mejora la calidad de los datos aproximados en la
resolución de la ecuación de transporte puro. Una vez se haya comprobado, estos
resultados serán aplicables a otros problemas, como puede ser la ecuación de
Navier-Stokes, que es para la que se realiza este estudio.
Los métodos empleados son dos: el primero es el método de interpolación
Lagrangiano, y el segundo el el método modal de los polinomios de Legendre.
Ambos son muy distintos el uno del otro, y como se aprecia en los apartados que
hablan de cada uno de los dos programas, necesitan sus propias variables de inicio
y sus propias estructuras.
El método que se ha venido usando típicamente en la resolución de este tipo de
problemas de elementos finitos ha sido el de la interpolación de Lagrange, motivo
por el cual, los resultados del presente documento hablarán de las precisiones
comparadas de ambos métodos con el fin de determinar si el método de los
polinomios de Legendre, es mejor y tiene menor difusión numérica que el de el
método de interpolación de Lagrange.
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La diferencia fundamental entre los dos métodos es que uno usa un tipo de
interpolación denominado nodal y el otro una interpolación modal.
Una interpolación nodal, consiste en el cálculo de unos coeficientes que
multiplicados por los polinomios de Lagrange hacen que la función tenga el valor
de la función a interpolar en el nodo de cada función, y cero en el resto.
Por otro lado, una interpolación modal, es algo similar a los desarrollos en serie
de Fourier, que representan la base de un espacio formado por dichos polinomios.
En el caso de Legendre, los polinomios son base, con la ventaja de ser
polinómicos y por lo tanto de computación más rápida, que es uno de los
objetivos de este proyecto: la velocidad de computación. Esto implica que el valor
de la función en los nodos una vez se ha aproximado, no tiene porqué tomar el
valor de la función en los puntos que se toman para calcular la aproximación de
todo el espacio donde se encuentra la solución.
En la figura 38, podemos ver el caso de la interpolación de Lagrange para una
función de Gauss, en la que se ve que el polinomio correspondiente a cada nodo
toma el valor de la función para el valor del punto y cero para el resto de los
puntos usados.
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Figura 35: Suma de polinomios de Lagrange
En la figura 35 vemos hasta seis funciones de las cuales, la aproximación final es
la de color azul, mientras que el resto son los polinomios correspondientes a cada
uno de los puntos de la aproximación.
Se puede observar que todas las funciones asociadas a cada nodo toman el valor
de la aproximación final en dicho punto, y cero en el resto. Estos valores
coinciden a su vez con el valor de la función aproximada. En este caso la campana
de Gauss. Más adelante se explicará en detalle este fenómeno.
y = e− x2
En el caso de los polinomios de Legendre, los coeficientes no tienen como
significado el valor de la función en dicho punto, y de hecho el valor en los puntos
empleados para la aproximación no tiene porqué coincidir con los valores de la
función que se intenta aproximar.
Otra de las ventajas de los polinomios de Legendre es la ortogonalidad de sus
polinomios. Este hecho permite que su matriz de masas sea casi diagonal.
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Su aproximación en tanto que es modal, representa la suma de unas funciones
multiplicados por unos coeficientes que al sumarlas, producen la aproximación. A
diferencia del método Lagrangiano, estos coeficientes no tienen un significado
físico directamente sino simplemente el de ser los coeficientes o pesos de los
polinomios que se suman. El resto de detalles se explicarán más adelante.
Como se ha podido ver en los párrafos anteriores, ambos son métodos que
convierten una realidad conocida en puntos discretos, en una aproximación válida
para todo el espacio en estudio. Es decir. a través del conocimiento del valor de
una función en algunos puntos, se pretende conocer lo que sucede en sus
alrededores.
Los polinomios de Legendre, al igual que las series de Fourier, permiten hallar
solución a problemas de Sturm-Liouville, con lo que como ya se ha dicho antes,
su aproximación no es individual sumada, sino global en el dominio de estudio.
Una vez vistas a priori las principales diferencias entre los dos métodos, nos
disponemos a describirlos para luego entender mejor su funcionamiento y que se
puede esperar de la comparación entre ambos.
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5.2. Método de interpolación de Lagrange:
5.2.1. Introducción a los polinomios de Lagrange:
Los polinomios de Lagrange son una variedad algebraica definida en función de
un determinado número de nodos. Habrá tantos polinomios de Lagrange como
nodos usemos para la construcción de dichos polinomios.
Por la definición de Lagrange, estos polinomios tendrán un orden de P-1 siendo P
el número de nodos, o puntos conocidos que se usan para calcularlos.
La forma canónica, o de definición de los polinomios de Lagrange es la siguiente:
Como se puede observar por la estructura de la fórmula, es una función en la que
para los distintos valores de Xi la función vale 0, excepto para el caso en el que
i = q en el que el valor de este polinomio es 1.
Al crear polinomios con esta estructura, lo que conseguimos es que cada
polinomio tenga como valor en el nodo al que corresponde, valor unidad. Para
cualquier otro nodo, toma el valor cero.
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En el código, para que estos polinomios sean siempre los mismos y no haya que
calcular dichos polinomios para cada elemento, se usan las coordenadas locales
mencionadas en el capítulo 3.
En nuestro caso se han empleado elementos cuadráticos, lo que implica que por
cada linea divisoria entre elementos hay tres nodos. Los dos primeros, son los de
la malla lineal, que serían las esquinas de los triángulos de la malla (podrían ser
cuadrados, pero el estudio se lleva a cabo con mallas formadas por elementos
triangulares). El último punto, se encuentra en la mediatriz de el lado del triángulo
entre los dos nodos, lo que hace que la interpolación sea cuadrática, es decir, de
orden 2.
La interpolación que se lleva a cabo por este método es de orden 2 ya que para el
problema 1D, que sería una recta, o como en este caso un segmento, el número de
puntos P es 3, y como se expuso anteriormente, el orden de los polinomios de
Lagrange, es P-1 que en este caso es 2.
5.2.2. Interpolación polinómica de Lagrange 1D:
La finalidad de este tipo de aproximación, es que la superficie cubierta por el
elemento quede acotada y aproximada a través de la suma de los polinomios de
Lagrange propios de cada nodo del elemento.
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Si lo que queremos es hallar el valor de un punto cualquiera que se encuentre en
este dominio, lo que debemos hacer es sustituir en cada uno de los polinomios el
valor de la coordenada x. Sustituyendo las coordenadas, en este caso coordenada
del punto a calcular en cada uno de los polinomios de cada nodo, y sumando
después, obtenemos el valor aproximado de la función en dicho punto.
En la figura 36 se muestra una función, unos nodos, y su aproximación formada
por los polinomios de Lagrange para una dimensión.
Figura 36: Aproximación de Lagrange frente a función aproximada
Como podemos ver, la aproximación es mejor cuanto mas cerca del centro del
dominio aproximado nos encontramos.
Para ver la procedencia de la aproximación, hemos de remontarnos a la aplicación
del cálculo de los polinomios de Lagrange para el ejemplo. De este modo
podremos comprender mejor la figura 39.
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En este caso la función a aproximar es una campana de Gauss de altura h=1, con
lo que su función será:
y = e− x2
y su representación la podemos ver en la figura 40.
Figura 37: Campana de Gauss a aproximar
Partimos de un conjunto de puntos de valor conocido de la función, que en este
caso se definen en la figura 38:
Número de Punto x f(x,y)1 0 12 1 1/e3 -1 1/e4 2 1/(e^4)5 -2 1/(e^4)
Tabla 38: Nodos de la aproximación
Por otro lado, se aprecia el ya comentado hecho de que el valor de la función
coincide con el de la aproximación en los nodos tomados para realizar la
aproximación.
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Como los nodos que se toman en nuestro problema son exteriores, y lo que
tratamos de aproximar son los puntos interiores de los elementos, esta
aproximación nos es válida. Además, el orden que se empleará será siempre
cuadrático, lo que quiere decir que el número P de nodos será 3, y el orden de los
polinomios será 2. Más adelante se explicará el caso 2D para que se entienda
mejor este principio.
5.2.3. Interpolación de Lagrange en 2D. Resolución para el caso particular de
triángulos cuadráticos:
En el caso particular de el programa de la resolución de la ecuación de transporte
puro, se ha de realizar una interpolación en 2 dimensiones en elementos
triangulares cuadráticos que previamente se pasan a coordenadas locales para
realizar una mejor aproximación.
Se incluirán los algoritmos usados en la programación a modo de explicación de
lo desarrollado en el proyecto.
Las condiciones que cumplen los polinomios de Lagrange para cada nodo siguen
siendo las mismas que para una sola dimensión, pero aplicada a dos dimensiones.
El valor del polinomio en las coordenadas del nodo al que pertenece un
determinado polinomio de Lagrange es el de la función a aproximar, mientras que
el valor del polinomio en el resto de nodos del elemento vale cero.
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expresado matemáticamente sería:
Lq (xq , yq ) = f (xq , yq )Lq (x≠q , y≠q ) = 0
Siendo el resultado de la aproximación la suma de todos los polinomios (uno por
nodo) de la siguiente manera:
faprox (x, y) = ci ⋅ Li (x, y)i=1
P
∑
Esto a nivel de programa se ve representado por una subrutina que, conociendo de
antemano el polinomio, y con la coordenada x y la coordenada y del punto que se
está aproximando genera el valor de la función de Lagrange para luego
multiplicarlo por el coeficiente, que será el valor de la función en el punto en este
caso.
La estructura de cálculo de pesos, que son los valores de los polinomios una vez
sustituidos x e y, se calcula en coordenadas locales con la siguiente estructura:
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Figura 39: Subrutina de Interpolación Lagrangiana
Figura 40: Asignación de los pesos de los coeficientes
Como se puede ver en la Figura 39, al final el valor aproximado de la función en
el punto (ftransf%cont()) se calcula como la suma (o el valor acumulado) del
producto entre el valor de la función en el instante anterior de los nodos
(fsintransf%cont()) y los valores H.
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Estos valores H vienen definidos por la figura 40, y lo que en realidad están
haciendo es proporcionar la matriz de aplicación lineal de un espacio a otro, pero
con la diferencia de que en este caso el valor siempre es el mismo y solo depende
de las coordenadas locales del punto que se esté tratando de aproximar.
La estructura al final queda descrita de la siguiente forma:
f(x, y) = fi ⋅Hi (xi , yi )i=1
nodperel
∑
Donde Nodperel, es el número de nodos que tiene cada elemento, fi es el valor de
la función en el nodo i del elemento, y H es el peso.
5.3. Método modal de los polinomios de Legendre:
Como ya se ha explicado anteriormente, el método de los polinomios de Legendre
es un método de aproximación modal.
Para una aproximación con polinomios de orden P, al contrario que Lagrange, el
método de Legendre usa polinomios de orden creciente.
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Al contrario que e método de interpolación lagrangiano, los coeficientes de
Legendre no tienen un significado físico, sino que simplemente representan la
proyección del espacio real sobre el espacio de los polinomios de Legendre.
En la figura 41 se incluyen los polinomios de Legendre de orden menor o igual a
6.
Figura 41: Polinomios de Legendre
En este caso están ligeramente modificados con resptecto a los polinomios de
Legendre primarios, pero la base es la misma y conserva sus propiedades de
ortogonalidad, simetría y antisimetría.
Los polinomios de Legendre desde orden 1 hasta orden 6 son los descritos a
continuación.
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Figura 42: Primeros polinomios de Legenre
En este caso se pone un ejemplo 2D salido del programa preliminar de los
polinomios de Legendre. Aunque el método es más complicado, al final, consiste
en proyectar un espacio sobre otro siguiendo unas determinadas normas para
conseguir aproximar el problema.
La función a aproximar será una Campana de Gauss de la siguiente forma:
z x, y( ) = e−
x−0.36( )2 + y−0.5( )2
0.082⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
y su representación gráfica es de la forma expresada en la figura 43.
Figura 43: Campana de gauss dibujada para su posterior aproximación.
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Por otro lado la función ya aproximada tiene el siguiente aspecto:
Figura 44: Aproximación de la campana de Gauss de orden 4 por Legendre
La aproximación para el orden de los polinomios tomado, es muy buena, y el error
cometido es menor al 1%, dato, que de partida es muy bueno.
Una vez explicados los dos métodos y sus diferencias así como sus desventajas
solo falta la comprobación de los métodos ante un mismo problema y una misma
variable.
En los siguientes capítulos se describirán los resultados obtenidos y se contrastará
el método de los polinomios de Legendre con el de Lagrange.
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6. Comparación de los dos métodos en estudio:
6.1. Datos tomados para la comparación:
Para llevar a cabo el estudio comparativo de los dos métodos, se han fijado una
serie de variables de tal forma que el único factor que influya en los resultados sea
el método de aproximación usado. Estos datos, son los descritos en la figura 47,
en los que como se puede apreciar, prácticamente la única diferencia es el método
empleado.
DATOS USADOSTipo de Aproximación usado Lagrange LegendreVelocidad angular del campo de velocidades 3,64E-05 3,64E-05Incremento de tiempo entre pasos 1800 1800Número de pasos dados 96 192iteraciones en búsqueda del pie de las cara 100 25
Número de nodos de la malla 5129 1316Número de elementos de la malla 2498 2498Orden de la aproximación 2 4,5,6
Figura 45: Datos empleados en los dos programas
La malla empleada en los dos casos es la misma.
Figura 46: Malla empleada en la comparación
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La malla de la figura 48 esta definida por tener una distancia media entre nodos de
0.03 unidades, sobre una malla de lado unidad. La diferencia de nodos entre los
dos casos es debido a que en el caso de Lagrange, el programa usa una
aproximación cuadráticas, mientras que en el caso de Legendre se usan mallas
lineales, que dentro del programa se convierten en mallas de alto orden.
A parte de los datos del problema, es necesario también conocer los datos de la
función transportada, que no es otra que la que se usó para aproximar como
ejemplo en la figura 45, y su ecuación es la siguiente:
z x, y( ) = e−
x−0.36( )2 + y−0.5( )2
0.082⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
y su forma es la anteriormente descrita en la misma figura:
Figura 47: Función a transportar
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Una vez que tenemos todos los datos iniciales del problema, procedemos al
estudio de las dos soluciones para más adelante compararlas y sacar conclusiones
sobre los métodos empleados.
6.2. Resultados obtenidos para el caso de Lagrange:
Los datos que se van a comparar más adelante son el valor máximo de la función
en cada instante de tiempo, y a de modo menos exacto, la conservación de la
forma de la función.
Se compararán datos con la misma distancia recorrida, comparando después como
varía de un programa a otro.
En la figura 49 podemos ver una tabla de los datos recogidos para este estudio.
Tiempo Step Valor Pico0 0 0,96437
0,5 10 0,890811 20 0,86486
1,5 30 0,836072 40 0,83255
2,5 50 0,8283 60 0,80977
3,5 70 0,802934 80 0,80218
4,5 90 0,794255 100 0,78416
5,5 110 0,771136 120 0,76316
6,5 130 0,767237 140 0,75201
7,5 150 0,748488 160 0,74528
8,5 170 0,74389 180 0,72617
9,5 190 0,72905Figura 48: Tabla de los datos del método de Lagrange
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En las imágenes de las siguientes figuras (49 a 57) podemos ver las imágenes que
se comparará en cuanto a forma.
Figura 49: Momento Inicial
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Figura 50: t=1 α=35º
Figura 51: t=2.5 α=93,75º
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Figura 52: t=3.5 α=131º
Figura 53: t=5 α=187,5º
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Figura 54: t=6 α=225º
Figura 55: t=7.5 α=281,5º
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Figura 56: t=8.5 α=319º
Figura 57: t=9.5 α=360º
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6.3. Resultados obtenidos para el caso de Legendre:
Los resultados obtenidos para el caso del método de aproximación de los
polinomios de Legendre en forma del valor máximo de la función son los
siguientes:
Tiempo Step Valor Pico0,05 1 1,00446
0,5 10 1,0040171 20 1,002086
1,5 30 0,9952922 40 0,99841
2,5 50 1,006333 60 0,9956201
3,5 70 1,00464 80 0,98357
4,5 90 0,976175 100 0,97908
5,5 110 0,969376 120 0,94744
6,5 130 0,976247 140 0,95084
7,5 150 0,933498 160 0,93376
8,5 170 0,950289 180 0,93609
9,5 190 0,94165
Figura 58:Tabla de los datos del método de Legendre
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La primera apreciación que hacemos es que en la figura 58 los datos no tienen
porqué ser uniformemente decrecientes, y esto es debido a que con el método de
Legendre no tiene porqué ser así.
Para comparar las formas, se han tomado los siguientes momentos de tiempo:
Figura 59: t=0
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Figura 60: t= 1
Figura 61: t=2.5 α=93,75º
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Figura 62: t=3.5 α=131º
Figura 63: t=5 α=187,5º
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Figura 64: t=6 α=225º
Figura 65: t=7.5 α=281,5º
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Figura 66: t=8.5 α=319º
Figura 67: t=9.5 α=360º
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Aunque las figuras 60 a 68, están tomadas con un programa distinto (Tecplot) al
posprocesador GID debido a que la malla es de alto orden, la visualización de los
resultados es similar.
Como se puede observan en estas figuras, la conservación de la forma de la
función es muy clara, sin prácticamente variar desde el principio.
6.4. Comparación de los dos métodos:
En la Gráfica de la figura 69 podemos apreciar la variación de los valores de pico
de la Gaussiana en estudio a lo largo de una vuelta.
Figura 68: Comparación entre los dos métodos: Lagrange vs Legendre p=4
Una vez visto que el resultado de las aproximaciones es mucho mejor si se emplea
el método de los polinomios de Legendre, se hace una comparación entre los
diferentes ordenes de los polinomios a usar.
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En este proyecto, y por la limitada capacidad computacional, se han comparado
únicamente para orden 4, 5 y 6. Tanto para la aproximación de una función de
Gauss, como para el caso de un cono.
La malla usada para esta comparación es de una distancia entre nodos de 0.08
unidades, debido a que esta distancia es la menor que ha sido posible
computacionalmente, para obtener resultados para p=6.
Todos los parámetros son normalizados, y los resultados se justifican en el
programa desarrollado con este fin.
El estudio comparativo realizado entre los distintos órdenes de aproximación, se
puede apreciar en las figuras 70 y 71, donde están representados en forma de
gráfica los valores máximos, en primer lugar del cono y, por último, de la función
de Gauss, ambos en función del ángulo girado con respecto al eje de rotación.
Figura 69: Comparación de los diferentes ordenes de aproximación para un cono
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Figura 70: Comparación de los diferentes ordenes de aproximación para una campana de Gauss
Como se puede apreciar en estas figuras, aunque hay fluctuaciones durante el
ensayo, finalmente, la aproximación mejora al aumentar el orden de los
polinomios.
Cabe destacar que la mejora obtenida por la modificación del orden polinómico
del método de los polinomios de Legendre es significativamente menor que la
obtenida al sustituir el método Lagrangiano por el método de los polinomios de
Legendre.
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Figura 71: Comparación de orden de interpolación para el cono
Aproximación de Cono:
Valor máximo final
p=6 0,538879
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Figura 72: Comparación de orden de interpolación para campana de Gauss
Aproximación de Cono:
Valor máximo final
p=4 0,629119
p=5 0,793500
p=6 0,906894
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Bibliografía:
• [GARC02] Mecánica de Fluidos: Antecedentes y actualidad. Universidad
Politécnica de Yucatán Jorge García Sosa, Armando Morales Burgos y Eduardo
José Escalante Triay 2002
• [PRESS02] PRESSMAN, R. S.: Ingeniería del software, un enfoque práctico.
McGraw- Hill. 2002.
• [ALLI00] ALLIEVI, A. y BERMEJO, R.: Finite Element modified method of
characteristicfortheNavier-Stokesequations. International journal of numerical
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• [ALLI97] ALLIEVI, A. y BERMEJO, R: A Generalized Particle Search-Locate
Algorithm for Arbitrary Grids. Journal of Computational Physics. 1997.
• [RODR02] Creación de un túnel de viento virtual. Alejandro Rodriguez Gallego
2002.
• [ANTA97] ANTANOVSKII, L. K. A. R., H. Long - wave peristaltic transport of
a compressible viscous fluid in a finite pipe subject to a time - dependent
pressure drop. Fluid Dynamics
• [SCHL79] SCHLICHTING, H. Teoría de la Capa Límite. 1979
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• [SACE02] SACERDOTI, J. Univ. politécnica de Buenos Aires. Polinomios y
funciones de Legendre. 2002
• [WINK02] WINKELMAN G.S. Vortex methods for direct numerical simulation
of three-dimensional bluff body flows. Journal of computational physics.