5.1 OSNOVNI POJMOVI Stroga metoda deformacija EA l 0 0 - EA l 0 0 0 12EI (1 + Φ)l 3 6EI (1 + Φ)l 2 0 - 12EI (1 + Φ)l 3 6EI l 2 0 6EI (1 + Φ)l 2 4EI (1 + Φ)l 0 - 6EI (1 + Φ)l 2 2EI l - EA l 0 0 EA l 0 0 0 - 12EI (1 + Φ)l 3 - 6EI (1 + Φ)l 2 0 12EI (1 + Φ)l 3 - 6EI l 2 0 6EI (1 + Φ)l 2 2EI (1 + Φ)l 0 - 6EI (1 + Φ)l 2 4EI l 1 4 2 5 3 6 l y x Brojevima su oznaˇ ceni lokalni stepeni slobode kretanja. (Vaˇ zi za sve.) Proizvoljan poloˇ zaj ˇ stapova Transformacija iz lokalnog u globalni koordinatni sistem K glob = T T K loc T Stroga metoda deformacija sa zanemarenjem deformacije smicanja Gornja matrica krutosti sa Φ = 0 Tehniˇ cka metoda deformacija ˇ Stap aksijalno krut ⇔ zanemarena poduˇ zna deformacija EI l 3 12 6l -12 6l 6l 4l 2 -6l 2l 2 -12 -6l 12 -6l 6l 2l 2 -6l 4l 2 1 3 2 4 k 1 k 2 k 3 EI l 3 3 0 -3 3l 0 0 0 0 -3 0 3 -3l 3l 0 -3l 3l 2 1 2 3 k 1 k 2 k 3 EI l 3 3 3l -3 0 3l 3l 2 -3l 0 -3 -3l 3 0 0 0 0 0 Poˇ sto su ˇ stapovi horizontalni ili vertikalni, izbje´ ci ´ cemo premnoˇ zavanje sa matricom transformacije Mogu´ ce je formirati i matrice krutosti za ˇ stap sa otpuˇ stenom popreˇ cnom silom, ˇ sto ´ ce biti dato u zadacima 1 3 2 ˇ Stapovi horizontalni ili vertikalni Metoda zaokreta uglova EI l 4 2 2 4 Matrica transformacije T = I Rotacija ostaje nepromijenjena pri rotaciji koordinatnog sistema u ravni pa ovu matricu krutosti nije potrebno premnoˇ zavati sa matricom transformacije 1 2 Proizvoljan poloˇ zaj ˇ stapova 3EI l 1 Metoda krutih rigli, a vertikalnih elastiˇ cnih stubova (ad hoc naziv; ovakav okvir se zove i “smiˇ cu´ ca greda”) 12EI l 3 1 -1 -1 1 Bi´ ce koriˇ steno kod dinamiˇ ckog proraˇ cuna gdje ´ cemo (da bismo smanjili broj stepeni slobode kretanja) pretpostaviti da su grede potpuno krute a stubovi aksijalno kruti. 1 2 ˇ Stap vertikalan kod okvira sa krutom gredom 3EI l 3 1 -1 -1 1 1 2 Reˇ setka EA l c 2 cs -c 2 -cs cs s 2 -cs -s 2 -c 2 -cs c 2 cs -cs -s 2 cs s 2 = c 0 s 0 0 c 0 s EA l 1 -1 -1 1 c s 0 0 0 0 c s u 1 u 2 u 3 u 4 = c 0 s 0 0 c 0 s u n1 u n2 Matrica krutosti ve´ c premnoˇ zena sa matricom transformacije 1 3 2 4 α l c = cos α s = sin α Slika 5.1: Matrice krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu (osim ˇ stapa reˇ setke) za najˇ ceˇ s´ ce sluˇ cajeve idealizacija ravnih linijskih kon- strukcija. Matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu se dobija transformacijom komponentalnih krutosti iz lokalnog u globalni koordinatni sistem dakle premnoˇ zavaju´ ci matricu krutosti sa matricom transformacije: = . U sluˇ caju kad se radi o horizontalnim i vertikalnim ˇ stapovima elementi matrice su 1 i −1 ˇ sto nam omogu´ cava da efikasno (a bez raˇ cunara) formiramo globalnu matricu konstrukcije. U sluˇ caju reˇ setke zbog proizvoljnosti poloˇ zaja ˇ stapova ne moˇ zemo izbje´ ci matricu transformacije ali moˇ zemo unaprijed proraˇ cunati ˇ sto je gore i dato. Biljeˇ ske sa vjeˇ zbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 93
37
Embed
5.1 OSNOVNI POJMOVI - siljak.ba Statika Konstrukcija I-siljak.ba/statika,,, siljak.ba. 5.3 ZADACI 5.3 Zadaci Zadatak 1 Proraˇcunati ugib u sredini grede na slici5.5 metodom deformacija.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
5.1 OSNOVNI POJMOVI
Stroga metodadeformacija
EA
l0 0 −
EA
l0 0
012EI
(1 + Φ)l36EI
(1 + Φ)l20 −
12EI
(1 + Φ)l36EI
l2
06EI
(1 + Φ)l24EI
(1 + Φ)l0 −
6EI
(1 + Φ)l22EI
l
−EA
l0 0
EA
l0 0
0 −12EI
(1 + Φ)l3−
6EI
(1 + Φ)l20
12EI
(1 + Φ)l3−6EI
l2
06EI
(1 + Φ)l22EI
(1 + Φ)l0 −
6EI
(1 + Φ)l24EI
l
1 4
2 5
3 6
l
y
x
Brojevim
asu
oznacenilokalnistep
enislob
odekretanja.(V
aziza
sve.)
Proizvoljan polozaj stapovaTransformacija iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem Kglob = T
TKlocT
Stroga metodadeformacija sa zanemarenjemdeformacije smicanja
Posto su stapovi horizontalni ilivertikalni, izbjeci cemo premnozavanjesa matricom transformacije
Moguce je formirati i matricekrutosti za stap sa otpustenompoprecnom silom, sto ce biti datou zadacima
1 3
2
Stapovi horizontalni ili vertikalni
Metoda zaokretauglova
EI
l
[
4 22 4
]
Matrica transformacije T = I
Rotacija ostaje nepromijenjena prirotaciji koordinatnog sistema u ravnipa ovu matricu krutosti nije potrebnopremnozavati sa matricom transformacije
1
2
Proizvoljan polozaj stapova[
3EIl
]
1
Metoda krutihrigli, a vertikalnihelasticnih stubova(ad hoc naziv;ovakav okvirse zove i“smicuca greda”)
12EI
l3
[
1 −1−1 1
]
Bice koristeno kod dinamickog proracunagdje cemo (da bismo smanjili broj stepenislobode kretanja) pretpostaviti da su grede potpunokrute a stubovi aksijalno kruti.
Slika 5.1: Matrice krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu (osim stapa resetke) za najcesce slucajeve idealizacija ravnih linijskih kon-strukcija. Matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu se dobija transformacijom komponentalnih krutosti iz lokalnogu globalni koordinatni sistem dakle premnozavajuci matricu krutosti sa matricom transformacije: 𝐾𝑔𝑙𝑜𝑏
𝑒 = 𝑇 𝑇𝐾𝑙𝑜𝑘𝑒 𝑇 . U slucaju kad se
radi o horizontalnim i vertikalnim stapovima elementi matrice 𝑇 su 1 i −1 sto nam omogucava da efikasno (a bez racunara) formiramoglobalnu matricu konstrukcije. U slucaju resetke zbog proizvoljnosti polozaja stapova ne mozemo izbjeci matricu transformacije 𝑇 alimozemo unaprijed proracunati 𝑇 𝑇𝐾𝑙𝑜𝑘
𝑒 𝑇 sto je gore i dato.
Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 93
Slika 5.3: a) Deformaciona energija se moze proracunati kao 𝑈 = 12𝑢𝑇𝐾𝑢. Ako nema deformacije nema ni deformacione energije pa
je za nenulte vektore 𝑢 (za nula vektor trivijalno) koji predstavljaju pomjeranje konstrukcije kao kruto tijelo 𝑢𝑇𝐾𝑢 = 0; za vektorekoji predstavljaju deformisanje konstrukcije je 𝑢𝑇𝐾𝑢 > 0; Dakle za matricu 𝐾 postoje nenulti vektori 𝑢 za koje je kvadratna forma𝑢𝑇𝐾𝑢 = 0 i nenulti vektori 𝑢 za koje je kvadratna forma pozitivna 𝑢𝑇𝐾𝑢 sto je po definiciji pozitivno-semidefinitna matrica, a takavsistem jednacina nema jedinstveno rjesenje.b) Uobicajena procedura rjesavanja sistema jednacina: uvrstavanje poznatih pomjeranja 𝑢𝑟 i rjesavanje po nepoznatim pomjeranjima𝑢𝑢. Za svaki nenulti vektor 𝑢𝑢 je 𝑢𝑇
𝑢𝐾𝑢𝑢𝑢𝑢 > 0 posto dio konstrukcije koji odgovara 𝐾𝑢𝑢 ne moze biti pomjeren bez deformisanja. Podefiniciji pozitivno definitne matrice, matrica 𝐾𝑢𝑢 je pozitivno definitna. Determinanta pozitivno definitne matrice je uvijek pozitivna,sto znaci da matrica 𝐾𝑢𝑢 nije singularna sto dalje znaci da sistem 𝐾𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑓𝑢 ima jedinstveno rjesenjec) Druga mogucnost formiranja rjesivog sistema jednacina konstrukcije je apliciranje opruga krutosti 𝑘. Ovdje se ne radi o opruzi sadva stepena slobode kretanja (iako ovdje mozemo zamisliti i takav element, a onda uvrsteno poznato pomjeranje 0 i lokalno statickikondenzovan pa dobijen element sa jednim stepenom slobode kretanja) vec o opruzi sa jednim stepenom slobode kretanja cija jejednacuna ravnoteze 𝑘𝑢 = 𝑓 gdje su 𝑘, 𝑢 i 𝑓 skalari. 𝑘 se ovdje dodaje globalnoj matrici krutosti, naravno, samo na dijagonalni element𝐺𝑙𝑜𝑏𝐾𝑆𝑆𝐾𝑂,𝑆𝑆𝐾𝑂 gdje je 𝑆𝑆𝐾𝑂 stepen slobode kretanja u kojem je aplicirana opruga. Apliciranjem opruga se sprijeci pomjeranjekonstrukcije kao kruto tijelo i dobije pozitivno definitna matrica sistema jednacina.
96 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba
Zadatak 1 Proracunati ugib u sredini grede na slici 5.5metodom deformacija. Pretpostaviti da je greda aksijalno kruta.
l
g
EI
Slika 5.5
Rjesenje U sredini grede cemo umetnuti cvor. Matrica krutostistapa zglobno vezanog na jednom kraju koji ima dva stepenaslobode kretanja, koja su pomjeranja cvorova okomito na stapje
3𝐸𝐼
𝑙3
[1 −1−1 1
]
1 3
2
1 2
1
Slika 5.6: Obiljezavanje cvorova, stapova i stepeni slobode kre-tanja.
Matrice krutosti stapova sa obiljezenim globalnim stepenimaslobode kretanja:
⎡⎢⎢⎢⎣
1 0 1
03𝐸𝐼
(𝑙/2)3− 3𝐸𝐼
(𝑙/2)3
1 − 3𝐸𝐼
(𝑙/2)33𝐸𝐼
(𝑙/2)3
⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣
2 1 0
13𝐸𝐼
(𝑙/2)3− 3𝐸𝐼
(𝑙/2)3
0 − 3𝐸𝐼
(𝑙/2)33𝐸𝐼
(𝑙/2)3
⎤⎥⎥⎥⎦
𝐾11 =3𝐸𝐼
(𝑙/2)3+
3𝐸𝐼
(𝑙/2)3=
48𝐸𝐼
𝑙3
Opterecenje
𝑇 ∘𝑘𝑖 = 𝑇 ∙
𝑘𝑖 + 1.5𝑀∙
𝑖𝑘
𝑙𝑖𝑘= − 𝑔𝑙
2 · 2 + 1.5−𝑔(𝑙/2)2
12 · 𝑙/2 = −5𝑔𝑙
16
𝑇 ∘𝑖𝑘 = 𝑇 ∙
𝑖𝑘 − 1.5𝑀∙
𝑘𝑖
𝑙𝑖𝑘= − 𝑔𝑙
2 · 2 − 1.5𝑔(𝑙/2)2
12 · 𝑙/2 = −5𝑔𝑙
16
𝑓1 = −5𝑔𝑙
16− 5𝑔𝑙
16= −5𝑔𝑙
8
Postavljamo jednacinu metode deformacija i rjesavamo
𝐾11𝑢1 = 𝑓1 ⇒48𝐸𝐼
𝑙3𝑢1 = −5𝑔𝑙
8⇒ 𝑢1 = − 5𝑔𝑙4
384𝐸𝐼
Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 97
Zadatak 2 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresjecne sile za konstrukciju na slici 5.7.𝐸 = 2 · 107𝑘𝑁/𝑚2. Pretpostaviti da su svi stapovi aksijalnokruti.
4m
3m 3m
150kN
100kN
10kN/m
30/50
30/3
0
30/3
0
Slika 5.7
Rjesenje
1
2
1
34
1
2 3 4
5
1 2
3 4
y
x
x
ySlika 5.8: Obiljezavanje cvorova, stapova i stepena slobode
kretanja. Posto se pretpostavlja aksijalna krutost stapova,cvorovi 2 i 4 imaju isti SSK “1” u horizontalnom pravcu, amogucnost vertikalnog pomjeranja cvorova 2 i 4 ne postoji
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 2 0 0
13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
0
23𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠
−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
0
0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
0
0 0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 1 3 0 0
13𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
−3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
0
33𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠
−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
0
0 −3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
−3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
0
0 0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
3 0 2 4 0
03𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
−3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
0
23𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔
−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
0
4 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
0
0 0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
4 4 0 0 3
43𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
0 0 0 0 0
0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
03𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
33𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
0 −3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
𝐾1,1 =3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
+3𝐸𝐼𝑠𝑙3𝑠
= 1265.625
𝐾1,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
= 2531.25
𝐾1,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙2𝑠
= 2531.25
𝐾2,2 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠
+3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔
= 72625.00
𝐾2,4 =−3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
= −20833.333
𝐾3,3 =3𝐸𝐼𝑠𝑙𝑠
+3𝐸𝐼𝑔𝑙𝑔
= 72625.00
𝐾3,4 =3𝐸𝐼𝑔𝑙2𝑔
= 20833.333
𝐾4,4 =3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
+3𝐸𝐼𝑔𝑙3𝑔
= 13888.889
Matrica krutosti
𝐾 =
⎡⎢⎢⎣1265.625 2531.250 2531.250 0
72625.000 0 −20833.33372625.000 20833.333
simetricno 13888.889
⎤⎥⎥⎦Vektor sila
Za kruto vezan stap 3
𝑀∙23 = −𝑞 · 𝑙
2
12= −10 · 32
12= −7.5
𝑀∙32 =
𝑞 · 𝑙2
12=
10 · 32
12= 7.5
𝑉 ∙23 = −𝑞 · 𝑙
2= −10 · 3
2= −15.0
𝑉 ∙32 = −𝑞 · 𝑙
2= −10 · 3
2= −15.0
Za stap 3 zglobno vezan u cvoru 3
𝑀∘23 =𝑀∙
23 − 0.5 ·𝑀∙32 = −7.5− 0.5 · 7.5 = −11.25
𝑀∘32 = 0
𝑉 ∘23 = 𝑉 ∙
23 − 1.5𝑀∙
32
𝑙23= −15− 1.5
7.5
3= −18.75
𝑉 ∘32 = 𝑉 ∙
32 + 1.5𝑀∙
32
𝑙23= −15 + 1.5
7.5
3= −11.25
𝑓 = 𝑓3 +𝑓𝑛 =
⎡⎢⎢⎣0.00
−11.250.00
−11.25
⎤⎥⎥⎦+
⎡⎢⎢⎣100.00
0.000.00
−150.00
⎤⎥⎥⎦ =
⎡⎢⎢⎣100.00−11.25
0.00−161.25
⎤⎥⎥⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja
𝑢 =
⎡⎢⎢⎣0.092172−0.0277340.021154−0.084943
⎤⎥⎥⎦
98 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba
Sad cemo, da bismo vjezbali metodu deformacija, uvesti stepenslobode kretanja 5 u proracun, kako je prikazano na slici 5.9.U ovom slucaju stap 3 je kruto vezan na oba kraja, dok je stap4 stap sa otpustenim momentom kod cvora 3 cime se ostvarujezglobna veza u cvoru 3.
Uvodenje jos jednog stepena slobode kretanja u proracun
Sad cemo, ponovo u svrhu vjezbanja metode deformacija,uvesti stepen slobode kretanja 6 u proracun, kako je prikazanona slici 5.10. Stapovi 3 i 4 su kruto vezani na oba kraja, aliimaju razlicite rotacione stepene slobode kretanja u cvoru 3 iisti vertikalni (4) SSK cime se ostvaruje zglobna veza.
Zadatak 3 Zglob u cvoru 3 na konstrukciji iz prethodnogzadatka ukrutiti vezom krutosti 𝑐𝑀 = 5000𝑘𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 kakoje prikazano na slici 5.12. Proracunati pomjeranja cvorova,presjecne sile i nacrtati dijagrame presjecnih sila.𝐸 = 2 · 107𝑘𝑁/𝑚2.
4m
3m 3m
150kN
100kN
10kN/m
30/50
30/3
0
30/3
0
cM = 5000kNm
rad
3
Slika 5.12
Rjesenje Obiljezicemo stepene slobode kretanja kao u prethod-nom zadatku
5 6
1
2
1
3
4
1
2
3
4
5
1 2
3 4
cM = 5000kNm
rad
y
x
x
y
Slika 5.13
Matrica krutosti opruge je[
𝑘 −𝑘−𝑘 𝑘
]Sa slike 5.13 vidimo
da opruga povezuje SSK 5 i 6 pa cemo sljedecu matricu dodatimatrici krutosti konstrukcije koju smo proracunali u prethod-nom zadatku
⎡⎣5 6
5 5000 −5000
6 −5000 5000
⎤⎦pa dobijamo
𝐾 =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1265.625 2531.250 2531.250 0 0 0
93458.333 0 −41666.667 41666.667 0
93458.333 41666.667 0 41666.667
55555.556 −41666.667 41666.667
simetricno83333.333+5000.000
0-5000.000
83333.333+5000.000
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Globalni vektor sila ostaje isti kao u prethodnom zadatku
𝑓 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣100.00−7.500.00
−165.007.500.00
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja
Zadatak 4 Konstrukciju iz prethodnog zadatka proracunati saelasticnim osloncima umjesto krutih, prema slici 5.15.
5 6
1
2
1
3
48 10
7
8
9
10
1
2
3
4
5
1 2
3 4
cM = 5000kNm
rad
c1 = 3 · 104kN/m c5 = 2 · 104kN/m
y
x
x
y
Slika 5.15
Rjesenje Na slici 5.15 su takoder dati stepeni slobode kretanja.Mozemo primijetiti da smo u cvorovima 1 i 5 uveli dodatnestepene slobode kretanja 7, 8 i 9, 10. Uvodeci stepen slobodekretanja 8 u cvoru 1, a zadrzavajuci pretpostavku o aksijalnojkrutost stapova, cvor 2 takode dobija mogucnost pomjeranja 8.Isto vazi i za cvor 4 i SSK 10.
Sad cemo istu konstrukciju rijesiti koristeci Scilab. U prvomkoraku implementiracemo matrice krutosti stapova (kruto izglobno vezan) i odgovarajuce vektore opterecenja, a zatimcemo formirati skriptu kojom cemo proracunati konstrukciju.
Takode cemo uvesti dodatne stepene slobode kretanja kakobismo dobili sva pomjeranja, reakcije i presjecne sile koristecijedinstvenu kompaktnu formu proracuna. Da pojasnimo ovo,dakle u prethodnoj sekciji smo za stapove 3 i 5 koji imajuotpusten momenat u cvoru 𝑘 koristili kondenzovanu matricukrutosti pa rotacija kraja stapa 𝜙𝑘 kod cvora 𝑘 nije figuri-rala u globalnom sistemu jednacina, vec rotaciju kraja stapamoramo proracunati naknadno koristeci jednakost 5.3, dokcemo u sljedecem uvesti stepene slobode kretanja 7 i 8 (vidjetisliku 5.22) a onda stapove 3 i 5 posmatrati kao kruto vezane.Zglobna veza izmedu stapa 5 i ostalih stapova u cvoru 4 jepostignuta time sto ostali stapovi imaju razlicit stepen slobodekretanja u cvoru 4 (SSK 2)
Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 107
131 for j = 1:4132 for k = 1:4133 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then134 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..135 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);136 end137 end // for k138 end // for j139
143 for j = 1:4144 if (adresa(j) ˜= 0) then145 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);146 end147 end // for j148 end // for i149
150 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********151
152 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) + 50;153
154 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************155
156 // Nema pomjeranja fiksnih oslonaca pa se za rjesavanje157 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice158 // krutosti i odgovarajuci vektor sila159
160 K11 = KGlob(1:8,1:8);161 F1 = FGlob(1:8,1);162
202 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati203 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje204 // lokalni sistem nije zarotiran pa je
205 // u.l = T' * U.g206
207 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja208 Ke = Kels(:,:,i);209 Fe = Fels(:,:,i);210
211 // proracun vektora sila na stapu212 f = Ke * u - Fe;213
Pomjeranja Δ1 i Δ2 u rezultatu 5.8 predstavljaju relativno pom-jeranje cvorova stapa, dok je rezultat na liniji 225 apsolutnopomjeranje cvora sto mozemo i provjeriti
Druga mogucnost za proracun rotacije grede 2 u cvoru 2 jeuvodenje stepena slobode kretanja 3, koje ulazi u vektor nepoz-natih pomjeranja, kako je prikazano na slici 5.33 U ovomslucaju za stap 2 koristimo matricu krutosti stapa kruto vezanogna oba kraja. Primijetimo da iako postoji SSK 3 u cvoru 2 stap 1nema odgovarajuci SSK i ne doprinosti rotacionoj krutosti (SSK3) u cvoru 2
5
3 42
1
1
2 3
4
1 23
x
y
y
x
y
x
x
y
x
y
Slika 5.33
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 0 1
0 𝑐2 𝑐𝑠 −𝑐2 −𝑐𝑠
0 𝑐𝑠 𝑠2 −𝑐𝑠 −𝑠2
0 −𝑐2 −𝑐𝑠 𝑐2 𝑐𝑠
1 −𝑐𝑠 −𝑠2 𝑐𝑠 𝑠2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦𝐸𝐴
𝑙1
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 1 3 0 2
112𝐸𝐼
𝑙32
6𝐸𝐼
𝑙22−12𝐸𝐼
𝑙32
6𝐸𝐼
𝑙22
36𝐸𝐼
𝑙22
4𝐸𝐼
𝑙2−6𝐸𝐼
𝑙22
2𝐸𝐼
𝑙2
0 −12𝐸𝐼
𝑙32−6𝐸𝐼
𝑙22
12𝐸𝐼
𝑙32−6𝐸𝐼
𝑙22
26𝐸𝐼
𝑙22
2𝐸𝐼
𝑙2−6𝐸𝐼
𝑙22
4𝐸𝐼
𝑙2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
3 0 2 0 0
03𝐸𝐼
𝑙33
3𝐸𝐼
𝑙23−3𝐸𝐼
𝑙330
23𝐸𝐼
𝑙23
3𝐸𝐼
𝑙3−3𝐸𝐼
𝑙230
0 −3𝐸𝐼
𝑙33−3𝐸𝐼
𝑙23
3𝐸𝐼
𝑙330
0 0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
4 0 2 0 0
03𝐸𝐼
𝑙34
3𝐸𝐼
𝑙24−3𝐸𝐼
𝑙340
23𝐸𝐼
𝑙24
3𝐸𝐼
𝑙4−3𝐸𝐼
𝑙240
0 −3𝐸𝐼
𝑙34−3𝐸𝐼
𝑙24
3𝐸𝐼
𝑙340
0 0 0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
𝐾11 =𝐸𝐴
𝑙1𝑠2 +
12𝐸𝐼
𝑙32+ 104 =
104 · 12+
60
64· 104 + 104 =
156
64· 104
𝐾12 =6𝐸𝐼
𝑙22=
30
16· 104
𝐾13 =6𝐸𝐼
𝑙22=
30
16· 104
𝐾22 =4𝐸𝐼
𝑙2+
3𝐸𝐼
𝑙3+
3𝐸𝐼
𝑙4= 13 · 104
𝐾23 =2𝐸𝐼
𝑙2=
5
2104
𝐾33 =4𝐸𝐼
𝑙2= 5 · 104
pa dobijamo
𝐾 = 104 ·
⎡⎢⎣ 2.4375 1.875 1.875
13.000 2.500
simetricno 5.000
⎤⎥⎦Globalni vektor sila
𝑓 =
⎡⎣ −20.00013.333−13.333
⎤⎦+
⎡⎣ 0−31.25
0
⎤⎦ =
⎡⎣ −20.000−17.917−13.333
⎤⎦Rjesenjem sistema 𝐾𝑢 = 𝑓 dobijaju se pomjeranja
𝑢 =
⎡⎣ −0.000850−0.0000280.000066
⎤⎦odakle mozemo zakljuciti da je 𝑢3 = 𝜙2 koje je proracunato uprethodnoj sekciji.
c) Presjecne sile na krajevima elemenata
Stap 1Transformacija pomjeranja cvora ��𝑛 iz globalnog koordinatnogsistema u lokalni koordinatni sistem (vektor pomjeranja 𝑢𝑒
𝑛).
��𝑛 =
[𝑐 −𝑠𝑠 𝑐
]𝑢𝑒
𝑛 ⇒ 𝑢𝑒𝑛 =
[𝑐 𝑠−𝑠 𝑐
]��𝑛
gdje je
��𝑛 =
[��𝑛𝑥
��𝑛𝑦
], 𝑢𝑒
𝑛 =
[𝑢𝑒𝑛𝑥
𝑢𝑒𝑛𝑦
]
(𝛼 = −45∘)
116 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba
⎤⎥⎥⎦Sad cemo za vjezbu proracunati vektor sila stapa 2 koristecirezultat dobijen u prvoj sekciji kad smo stap 2 posmatrali kaozglobno vezan u cvoru 2, dakle rotacija 𝜙2 je izbacena statickomkondenzacijom i vektor pomjeranja stapa je⎡⎣ 𝑣2𝑣3𝜙3
⎤⎦
𝑓2 = 𝐾2𝑢2 − 𝑠∘2
=5 · 104
64·
⎡⎣ 3 −3 12−3 3 −1212 −12 48
⎤⎦⎡⎣ −0.0008500−0.000028
⎤⎦−⎡⎣ −15.0−25.0
20.0
⎤⎦=
⎡⎣ 12.7427.25−29.02
⎤⎦Stap 3
𝑓3 = 𝐾3𝑢3 − 𝑠∘3
=3 · 5 · 104
125·
⎡⎢⎢⎣1 5 −1 05 25 −5 0−1 −5 1 00 0 0 0
⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣
0−0.000028
00
⎤⎥⎥⎦−⎡⎢⎢⎣−31.25−31.25−18.751
0
⎤⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎣31.0830.4118.92
0
⎤⎥⎥⎦Stap 4
𝑓4 = 𝐾4𝑢4 − 𝑠∘4
=3 · 5 · 104
27·
⎡⎢⎢⎣1 3 −1 03 9 −3 0−1 −3 1 00 0 0 0
⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣
0−0.000028
00
⎤⎥⎥⎦−⎡⎢⎢⎣
0000
⎤⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎣−0.467−1.4000.467
0
⎤⎥⎥⎦
1.4
-30.41
-29.01
M
+
-
+
0.47
31.08
18.92
12.74
27.26
T
+
-
+
-58.34
3.78 3.784.25
6.01
6.01
N
-
+
+
Slika 5.34
Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 117
Zadatak 8 Proracunati pomjeranja, reakcije i presjecne sile nakonstrukciji sa slike 5.35 primjenom metode deformacija. Pret-postaviti da su svi stapovi aksijalno kruti.
4m 6m
3.5m
3m
12kN/m
4kN/m
S S S
S S
G G
G
E = 3 · 107kN/m2
G : 30× 50cmS : 40× 40cm
80kN
Slika 5.35
Rjesenje Stepeni slobode kretanja su dati na slici 5.36. Sa pret-postavkom o aksijalnoj krutosti stapova cvorovi 4, 5 i 6 imajuisti stepen slobode kretanja u 𝑋 pravcu 6, a cvorovi 7 i 8 imajuisti SSK 7. Posto su i stubovi aksijalno kruti nijedan cvor nemamogucnost pomjeranja u pravcu 𝑌 .
1 2 3
4 5
6
7 8
1 2
3
4 5 6
7 8
8
1 2 3
4 5
6 6 6
7 7
x
y
x
y
y
x
Y
X
Slika 5.36
Primjetimo da su stapovi 1 i 2 na isti nacin vezani, medutim usvrhu vjezbanja, za stap 1 cemo koristiti matricu krutosti ele-menta kojem je oslobadanje momenta na kraju stapa uzeto uobzir statickom kondenzacijom sistema jednacina nakon cegarotacioni SSK kod cvora 𝑗 (na stapu sa cvorovima 𝑖− 𝑗) ne fig-urira u sistemu jednacina. (Isto i za stap 7). Za stap 2 cemokoristiti matricu krutosti elementa kruto vezanog na oba krajapa cemo zato kod cvora 2 imati SSK 8 koji ulazi u vektor nepoz-natih pomjeranja 𝑢𝑛, vidjeti jednacinu 5.9 Za stap 3 cemo ko-ristiti istu matricu krutosti kao za stap 2 medutim posto je stap3 ukljesten kod cvora 3,[
𝐾𝑛𝑛 𝐾𝑛𝑝
𝐾𝑝𝑛 𝐾𝑝𝑝
] [𝑢𝑛
𝑢𝑝
]=
[𝐹 𝑝
𝐹 𝑛
](5.9)
𝑢𝑛 - vektor nepoznatih pomjeranja𝑢𝑝 - vektor poznatih pomjeranja u osloncima𝐹 𝑝 - vektor poznatih sila𝐹 𝑛 - vektor nepoznatih sila - reakcije
njegovo rotaciono pomjeranje kod cvora 3 ulazi u vektor poz-natih pomjeranja 𝑢𝑝, a kako su sva poznata pomjeranja 𝑢𝑝 = 0formiramo samo matricu 𝐾𝑛𝑛 koja odgovara vektoru nepoz-natih pomjeranja tako da nismo ni obiljezili stepene slobodekretanja koji odgovaraju poznatim pomjeranjima.
Iz globalnog sistema jednacina 5.9, uvrstavajuci poznata pom-jeranja dobijamo redukovani sistem
𝐾𝑛𝑛 · 𝑢𝑛 +𝐾𝑛𝑝 · 0 = 𝐹 𝑝 ⇒ 𝑢𝑛 = 𝐾−1𝑛𝑛𝐹 𝑝
Listing 5.6: Matrica krutosti stapa sa otpustenim momentom u cvoru𝑘, Greda2DTiMi Tk.sci
313 function rezultat = Greda2DTiMi˙Tk(idx, koordinate, elementi,presjek)
434 for j = 1:4435 for k = 1:4436 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then437 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..438 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);439 end440 end // for k441 end // for j442
542 for i=1:size(elementi, 'r')543 Kel = Kels(:,:,i);544 adresa = SSKEL(i,:);545
546 for j = 1:4547 for k = 1:4548 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then549 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..550 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);551 end552 end // for k553 end // for j554
558 for j = 1:4559 if (adresa(j) ˜= 0) then560 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);561 end562 end // for j563 end // for i564
565 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********566
567 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;568
569 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************570 // Nema pomjeranja oslonaca pa se za rjesavanje571 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice572 // krutosti i odgovarajuci vektor sila573
574 K11 = KGlob(1:8,1:8);575 F1 = FGlob(1:8,1);576
577 // RJESENJE SISTEMA JEDNACINA578 U1 = K11 “ F1;579
594 // **************** POST PROCESSING **************************595 // *** PRORACUN POMJERANJA I PRESJECNIH SILA PO ELEMENTIMA ***596 for i = 1:size(elementi,'r')597 mprintf('“n============================ STAP %d', i);598
614 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati615 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje616 // lokalni sistem nije zarotiran617 // (jer smo tako formirali SSKEL polje)618 // pa je u.l = T' * U.g619
620 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja621 Ke = Kels(:,:,i);622 Fe = Fels(:,:,i);623
624 // proracun vektora sila na stapu625 f = Ke * u - Fe;626
627 mprintf(”“nVektor Sila”);628 mprintf(”“n“%11.2f”, f(1:4,1));629 end // for i
Primijetimo da se i za elemente kojima je otpusten momenat nakraju printa vektor 4× 1 iako takav stap ima 3 stepena slobodekretanja. Potrebno je znati dakle da vrijednost na liniji 668 nepredstavlja rotaciju kraja stapa, vec cemo u ovakvom slucajumorati proracunati rotaciju kraja stapa kako slijedi.
𝜙𝑘 = −0.5𝜙𝑖 + 1.5Δ𝑖𝑘
𝑙𝑖𝑘+ 0.25
𝑀∙𝑘𝑖
𝑘𝑖𝑘, (Δ𝑖𝑘 = 𝑣𝑘 − 𝑣𝑖)
= −0.5 · 0.000438 + 1.5 · 0− (−0.005032)3.5
= 0.001938 (5.10)
Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 121
Ovo bismo morali uraditi na svakom mjestu gdje smo statickomkondenzacijom izbacili stepen slobode kretanja. U sljedecojvjezbi cemo formirati sistem jednacina tako sto cemo uvesti ste-pen slobode kretanja na svako mjesto gdje zelimo proracunatipomjeranje na konstrukciji. Stepeni slobode kretanja su dati naslici 5.38. Mozemo vidjeti da smo definisali SSK 10 da bismoosigurali razlicito pomjeranje kraja stapa 7 od ostalih stapovavezanih u cvoru 5 cime modeliramo zglobnu vezu stapa 7. Uovom slucaju za stap 7 koristimo matricu kruto vezanog stapana oba kraja.
821 for j = 1:4822 for k = 1:4823 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then824 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..825 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);826 end827 end // for k828 end // for j829
830 //dodavanje vektora opterecenja globalnom vektoru opterecenja831 Fel = Fels(:,:, i);832 for j = 1:4833 if (adresa(j) ˜= 0) then834 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);835 end836 end // for j837 end // for i838
839 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********840
841 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;842
843 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************844 // Nema pomjeranja oslonaca pa se za rjesavanje845 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice846 // krutosti i odgovarajuci vektor sila847
848 K11 = KGlob(1:10,1:10);849 F1 = FGlob(1:10,1);850
889 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati890 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje891 // lokalni sistem nije zarotiran892 // (jer smo tako formirali SSKEL polje)893 // pa je u.l = T' * U.g894
895 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja896 Ke = Kels(:,:,i);897 Fe = Fels(:,:,i);898
899 // proracun vektora sila na stapu900 f = Ke * u - Fe;901
902 mprintf(”“nVektor Sila”);903 mprintf(”“n“%11.2f”, f(1:4,1));904 end // for i
Listing 5.13: Rezultat proracuna - Zadatak 8B, Zadatak8B.sce
Jednacinom 5.10 smo u prethodnom postupku proracunalirotaciju kraja stapa 1 i dobili 𝜙𝑘 = 0.001938, dok smo sad uveliSSK 9 pa je pomjeranje 𝑢9 = 0.001937 dato na liniji 915
124 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba
Zadatak 9 Formirati matricu krutosti makroelementaprikazanog na slici 5.39. Makroelement treba da ima stepeneslobode kretanja naznacene na slici 5.39. Takode, uzeti u obziri poznata pomjeranja cvorova u osloncima.
𝐸 = 3.0 · 107𝑘𝑁/𝑚2
𝐴 = 2.0𝑚2
𝐼 = 1.667 · 10−1𝑚4
4
31
2
3m 3m
2m
4m
Slika 5.39
Rjesenje Formiracemo matricu krutosti konstrukcije a ondastatickom kondenzacijom dobiti matricu krutosti izrazenupreko trazenih stepeni slobode kretanja. Na slici 5.40 data jenumeracija cvorova, stapova i SSK.
Listing 5.14: Formiranje matrice krutosti u lokalnom koordinatnomsistemu, Greda2D.sce
1030 function rezultat = Greda2D(x1,y1,x2,y2,Em,A,I)1031 // Greda2D - Matrica krutosti ravnog grednog stapa1032
1124 for j = 1:61125 for k = 1:61126 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..1127 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kg(j, k);1128 end // for k1129 end // for j1130
1131 end //for i za sve stapove1132
1133 //Staticka kondenzacija za izrazavanje matrice krutosti1134 //preko prva cetiri stepena slobode kretanja1135 KStub = KGlob(1:4,1:4) - KGlob(1:4,5:9) * inv(KGlob(5:9,5:9))
* KGlob(5:9,1:4)
Rezultat proracuna je matrica krutosti makroelementa:
Listing 5.17: Rezultat - matrica krutosti makroelementa.
Zadatak 10 Odrediti reakcije, pomjeranja cvorova i presjecnesile za konstrukciju prikazanu na slici 5.41. Kako su karakter-istike materijala i poprecnog presjeka stapova stuba iste kao uprethodnom zadatku, pri formiranju matrice krutosti sistemane proracunavati matrice krutosti stapova stuba vec iskoristitimatricu krutosti makroelementa iz prethodnog zadatka.
Rjesenje Numeracija cvorova, stapova i SSK je data na slici5.42.
Na liniji 1239 unijeli smo matricu krutosti makro elementaproracunatu u prethodnom zadatku. Na liniji 1245 formiramopolja stepeni slobode kretanja stubova, a zatim na liniji 1249formiramo petlju kojom dodajemo matrice krutosti makroele-menata (stubova) globalnoj matrici krutosti.
Listing 5.18: Proracun vektora ekvivalentnog opterecenja na gred-nom elementu od ravnomjerno raspodjeljenog opterecenja pocijelom stapu, JednolikoGreda2D.sce
1140 function rezultat = JednolikoGreda2D(x1,y1,x2,y2,p)1141 // JednolikoGreda2D - Vektor ekvivalentnog opterecenja na
gredi1142 // od ravnomjernog opterecenja1143
1144 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);1145
1146 rezultat = [0 p*d/2 p*d^2/12 0 p*d/2 -p*d^2/12];1147 endfunction
Sa ovim mozemo napisati proceduru koja formira globalnu ma-tricu krutosti i vektor opterecenja konstrukcije prikazane naslici 5.41
Listing 5.19: Formiranje globalne matrice krutosti i vektoraopterecenja za konstrukciju na slici 5.41, Most.sce
1148 // Zadatak 10 ************************************************1149 clear;1150 clc;1151
1249 for i = 1:2 //stuba1250 for j = 1:41251 for k = 1:41252 KGlob( SSK˙STUB(i,j), SSK˙STUB(i,k) ) = ..1253 KGlob( SSK˙STUB(i,j), SSK˙STUB(i,k) ) + KStub(j, k);1254 end // for k1255 end // for j1256 end1257
1258 // ******* DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA ***********1259 FGlob(6,1) = FGlob(6,1) -500;1260
1261 // ************ RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA *****************1262
1263 // Nema pomjeranja fiksnih oslonaca pa se za rjesavanje1264 // sistema jednacina uzima ”gornji lijevi” blok matrice1265 // krutosti i odgovarajuci vektor sila1266
1267 K11 = KGlob(1:15,1:15);1268 F1 = FGlob(1:15,1);1269
1317 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora1318 // transformisati iz globalnog u lokalni1319 // koordinatni sistem, ali ovdje lokalni1320 // sistem nije zarotiran pa je u = T' * Ug1321
1322 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja1323 Ke = Greda2D(x1, y1, x2, y2, E, A, I);1324 F = JednolikoGreda2D(x1, y1, x2, y2, p(i));
1325
1326 // proracun vektora sila na stapu1327 f = Ke * u - F;1328