BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU 1.1. PENDAHULUAN Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika yang banyak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik. Persamaan Diferensial merupakan alat yang ampuh dalam menyelesaikan berbagai macam masalah praktis yang sering muncul di dunia nyata. Pada pembahasan berikut, pertama akan diberikan pengertian Persamaan Diferensial, order dan derajat serta penyelesaian Persamaan Diferensial. Selanjutnya dibahas berbagai teknik penyelesaian Persamaan Diferensial order satu. Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari bab ini, saudara harus dapat • Membedakan Persamaan Diferensial Biasa dengan Persamaan Diferensial Parsial, serta membedakan order dan derajat Persamaan Diferensial • Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan Diferensial dengan peubah terpisah, Persamaan Diferensial eksak, serta Persamaan Diferensial Linier order satu. • Menentukan faktor integral dan mengubah Persamaan Diferensial menjadi Eksak. • Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan Diferensial tipe homogen, Riccati, dan Bernoulli. • Mereduksi Persamaan Diferensial nonhomogen ke bentuk Persamaan Diferensial Homogen.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
1.1. PENDAHULUAN
Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika yang
banyak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di
bidang fisika dan teknik. Persamaan Diferensial merupakan alat yang
ampuh dalam menyelesaikan berbagai macam masalah praktis yang
sering muncul di dunia nyata. Pada pembahasan berikut, pertama akan
diberikan pengertian Persamaan Diferensial, order dan derajat serta
penyelesaian Persamaan Diferensial. Selanjutnya dibahas berbagai teknik
penyelesaian Persamaan Diferensial order satu.
Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari bab ini, saudara harus dapat
• Membedakan Persamaan Diferensial Biasa dengan Persamaan
Diferensial Parsial, serta membedakan order dan derajat
Persamaan Diferensial
• Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan
Diferensial dengan peubah terpisah, Persamaan Diferensial eksak,
serta Persamaan Diferensial Linier order satu.
• Menentukan faktor integral dan mengubah Persamaan Diferensial
menjadi Eksak.
• Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan
Diferensial tipe homogen, Riccati, dan Bernoulli.
• Mereduksi Persamaan Diferensial nonhomogen ke bentuk
Persamaan Diferensial Homogen.
1.2. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana menentukan
derivatif (turunan) )('' xfydxdy
== dari suatu fungsi )(xfy = . Misalnya, jika
xey x 3cos2 += − ,
maka
xedxdy x 3sin32 −−= − . (1.1)
Atau jika diberikan persamaan dalam bentuk Cyxg =),( dengan C
konstanta, kita dapat mendiferensialkan secara implisit untuk memperoleh
dxdy . Misalkan dipunyai fungsi implisit
922 =+ yx
maka akan diperoleh
022 =+dxdyyx
atau
yx
dxdy
−= . (1.2)
Persamaan (1.1) dan (1.2) di atas merupakan contoh persamaan
diferensial.
Definisi : Suatu persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang
menyatakan hubungan fungsi yang tidak diketahui dan mengandung
turunan-turunan pada persamaan tersebut.
Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan
Diferensial Biasa (PDB), sebagai contoh adalah persamaan (1.1) dan (1.2).
Contoh PDB lainya adalah sebagai berikut :
.0
sin3
24
2
2
2
=−
=−−
=+
dxxydyy
xydxdy
dxyd
exydxdy x
Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas,
maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :
.0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
=−∂∂
+∂∂
zu
yu
xu
tu
xu
ovtv
xv
Pembahasan tentang PDP akan dibicarakan dalam bab tersendiri.
1.2.1. Bentuk Umum dan Order PDB Bentuk umum PDB order n adalah
),...,'',',,( )()( 1−= nn yyyyxfy (1.3)
yang menyatakan adanya keterkaitan antara peubah bebas x dan peubah
tak bebas y beserta turunan-turunannya dalam bentuk persamaan yang
identik nol. Beberapa buku menulis persamaan ini dalam bentuk
0=),...,'',',,( )(nyyyyxf .
Order dari Persamaan diferensial adalah order tertinggi dari turunan
yang ada dalam persamaan. Misalkan
xxydxdy sin2 =+
adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan
02
2=+ y
dxyd
merupakan persamaan diferensial order dua.
1.2.2. Penyelesaian PDB
Masalah kita selanjutnya adalah bagaimana menemukan
penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi )(xy yang memenuhi PDB tersebut.
Definisi : Suatu fungsi )(xy yang didefinisikan pada suatu interval disebut
penyelesaian PDB jika secara identik memenuhi persamaan (1.3) pada
interval yang diberikan.
Contoh 1.3.1 :
Fungsi xkey = adalah penyelesaian persamaan diferensial ydxdy
= pada
interval ∞<<∞− x , karena .)( xx kekedxd
= Jadi jika disubstitusikan ke
dalam persamaan diperoleh xke = xke , yang berlaku untuk semua x.
Tidak semua penyelesaian PDB dapat disajikan secara eksplisit
seperti Contoh 1.3.1. Beberapa kasus ditemukan penyelesaian yang
disajikan dalam bentuk implisit, seperti contoh berikut.
Contoh 1.3.2 :
Persamaan Cyx =+ 22 , untuk suatu konstanta C > 0, merupakan
penyelesaian bentuk implisit dari .yx
dxdy
−=
Contoh 1.3.3 :
Persamaan 1sin =+ yexy x , merupakan penyelesaian bentuk implisit dari
.cossin
yexyey
dxdy
x
x
++
−=
1.2.3. Masalah Nilai Awal
Misalkan akan dicari penyelesaian )(xyy = dari PDB order satu
).,(' yxfy = (1.4)
yang memenuhi
00 yxy =)( . (1.5)
Persamaan (1.5) disebut kondisi awal dari PDB order satu. PDB
(1.4) dengan kondisi awal (1.5) disebut Masalah Nilai Awal (MNA).
Penyelesaian yang memenuhi kondisi awal ini disebut penyelesaian
khusus, sedangkan jika tidak diberikan kondisi awal dinamakan
penyelesaian umum, seperti Contoh 1.1.2. Jadi pada penyelesaian umum
masih memuat konstanta sebarang C, sedangkan pada penyelesaian
khusus sudah tidak memuat konstanta sebarang.
Contoh 1.4.1 :
Persamaan xxy +=2
2 adalah penyelesaian khusus dari MNA
.)(,' 001 ==− yxy
Latihan 1.2 : Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan merupakan penyelesaian dari
Persamaan diferensial
1. xCeyyy 2,2' == .
2. xexccyyyy −+==++ )(,0'2'' 21 .
3. xyxyy sec21,sec'' 3 ==+ .
4. xxxx eececyeyyy 221 )sin(,sin2'3'' −− −+==+− .
5. 0)4(,164,4
' 22 ==−= yyxy
xy .
1.3. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER SATU Pada Bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian
PDB order satu. Untuk PDB order satu yang berbentuk )(' xfy = , dimana f
fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat mengintegralkan
secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesaiannya.
Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu
),(' yxfdxdyy == (1.6)
dimana f fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesaian (1.6) tidak dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk
memperoleh penyelesaiannya dapat dilakukan dengan pemisahan peubah,
seperti dibahas dalam bagian berikut.
1.3.1 PD dengan Peubah terpisah Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1.6), terlebih
dahulu kita pisahkan peubah x dan y , sehingga kita peroleh fungsi
)()(),( yqxpyxf = .
Persamaan (6) berubah menjadi
)()( yqxpdxdy
=
atau dapat ditulis
.)()(
dxxpyq
dy= (1.7)
Dengan asumsi bahwa y adalah fungsi dari x, maka kita punya
dxxyqxy
yqdy
))(()('
)(= , sehingga persamaan (1.7) menjadi
dxxpdxxyqxy )(
))(()('
= .
Selanjutnya dengan menuliskan )(xyu = dan )(' xydu = , maka
dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh penyelesaian umum
persamaan (1.7), yaitu
∫ ∫ += Cdxxpuq
du )()(
(1.8)
dengan C konstanta sebarang.
Berikut ini beberapa contoh PDB dengan peubah yang dapat dipisahkan.
Contoh 1.5.1:
Selesaikan .cos2 xedxdy y−=
Penyelesaian :
Dengan melakukan pemisahan peubah diperoleh
dxxdye y cos2= .
Integralkan kedua ruas
.sin2 Cxey +=
Sehingga kita peroleh Penyelesaian umumnya adalah
).sin2ln( Cxy +=
Untuk mengecek kebenaran penyelesaian ini, perhatikan bahwa
).cos2(sin2
1' xCx
y+
=
Substitusikan ke PDB, kita peroleh
xexCx
Cx cos2)cos2(sin2
1 )sin2ln( +−=+
Karena Cx
e Cx
+=+−
sin21)sin2ln( , persamaan di atas terpenuhi
untuk setiap 0sin2 >+Cx . Dengan demikian y adalah penyelesaian PDB
tersebut.
Contoh 1.5.2
Selesaikan ).( yxydxdy
+= 2
Penyelesaian :
PDB dapat kita tulis dalam bentuk
).( 12 += xydxdy
Pemisahan peubah memberikan
.)( dxxy
dy 12 +=
Integralkan kedua ruas diperoleh
Cxxy ++= 2ln 2
atau
Cxxey ++= 22.
Dalam beberapa kasus akan kita jumpai persamaan diferensial
dalam bentuk
(1.9)
Contoh 1.5.3 :
Selesaikan .0=+− xdxdyye x
Penyelesaian :
Persamaan dapat kita bawa ke bentuk
.dxxeydy x−=
Integralkan keuda ruas, diperoleh
.)( Cexy x +−= 121 2
atau
Cexy x +−= )(12 .
.),(),( 0=+ dyyxNdxyxM
Contoh 1.5.4 :
Selesaikan 2
23yx
dxdy
=
Penyelesaian.
PD
2
23yx
dxdy
=
Dapat ditulis dalam bentuk
22 3xdxdyy =
atau,
dxxdyy 22 3=
Integralkan kedua ruas, diperoleh
cdxxdyy += ∫∫ 22 3
⇒ cxy+= 3
3
3,
atau,
,3 133 cxy +=
.
Dalam hal ini cc 31 = konstanta.
Jadi penyelesaian umumnya adalah
31
13 ]3[ cxy += .
Contoh 1.5.5 :
Selesaikan 223 yytdtdy
+=
Penyelesaian
PD dapat ditulis dalam bentuk
,)1()1( 2
323
−+
=+=y
tytdtdy
atau
dttdyy
)1(1 32 +=
Integralkan kedua ruas, diperoleh
cdttdyy
++= ∫∫ )1(1 32
atau, ,411 4 ctt
y++=
−
.
atau
,44
14 ctt
y++
−= dengan c1 = 4c,
Latihan 1.3.1 : Selesaikan soal berikut dengan pemisahan peubah.
1. .yxe
xdxdy
+= 2. ).( 21 yx
dxdy
−=
3. .)()(
113
−+
=y
xydxdy 4. .
2xxyedxdy
=
5. .0sincos2 =+ dxxdyxy 6. .)( 023 =−+ dxyydyex
7. .02)12sec( 1 =++ − dxxydyx 8. .12 =dxdyxy
9. .)(ln xydydxx = 10. .)( 012 =−+ dxxydyx
Selesaikan MNA berikut :
11. .)(, 10122 =
+= y
ee
dxdyy
x
x 12. .)(, 210 ==−+ yxxy
dxdy
13. .)(, 10 ==+ PPtePdtdP t 14. .)(, 21
2=
−= p
qpp
dqdp
15. .)(,)( 110 ==+− ydtyydyt
1.3.2. Persamaan Diferensial Linier Order Satu Persamaan linier order satu adalah persamaan yang berbentuk
)()()( xbyxadxdyxa =+ 21 (1.10)
dimana ),(),( xaxa 21 dan )(xb hanya bergantung pada peubah bebas x.
Misalnya,
.tan)(sin
,)1(
,2
xyxdxdy
xxydxdyx
xeydxdyx x
=+
=++
=− −
Persamaan 02 =− − yexdxdy bukan persamaan linier, meskipun peubah
dapat dipisahkan. Sedangkan persamaan xydxdyyx =+− 22 )( bukan
persamaan linier dan peubah tidak dapat dipisah.
Pada persamaan (1.10), diasumsikan bahwa ),(),( xaxa 21 dan )(xb
kontinu pada suatu interval tertentu dengan 01 ≠)(xa . Maka persamaan
dapat kita bawa ke bentuk
)()(
)()(
xaxby
xaxa
dxdy
11
2 =+
atau
)()( xQyxPdxdy
=+ (1.11)
yang merupakan Bentuk Standar PDB linier order satu.
Penyelesaian PDB Linier Langkah-langkah penyelesaian PDB Linier order satu adalah
sebagai berikut :
Langkah 1. Tuliskan PDB dalam bentuk standar
)()( xQyxPdxdy
=+ .
Langkah 2. Tentukan faktor integral
∫=µ dxxPex )()( .
Langkah 3. Kalikan )(xQ dengan µ dan integralkan
∫ + .)()( CdxxQxµ
Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum
∫ += .)()()( CxQxyx µµ
atau
.)()()(
xCxQxy
µµ∫ +
=
Contoh 1.6.1 :
Tentukan penyelesaian umum dari
.22 =+ xydxdyx
Penyelesaian.
Langkah 1. Tulis persamaan dalam bentuk standar:
.221
xy
xdxdy
=+
Jadi x
xP 1=)( dan
22
xxQ =)( .
Langkah 2. Tentukan faktor integral
.
)(ln
)(
xe
eexx
dxdxxP x
==
==µ ∫∫ 1
Langkah 3. Kalikan 22
xxQ =)( dengan x=µ dan integralkan, sehigga
diperoleh
∫ +==
∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
.ln22
2)()( 2
Cxdxx
dxx
xdxxQxµ
Langkah 4. Penyelesaian umumnya adalah
Cxxy += ln2
atau
.ln2x
Cxy +=
Contoh 1.6.2 :
Selesaikan PD
1sincos =+ xydxdyx
Penyelesaian.
PD dapat dinyatakan dalam
xxxy
dxdy
cos1
cossin
=+
atau
xxydxdy sectan =+
Yang merupakan bentuk PD linier
)()( xqyxpdxdy
=+ ,
dengan x(x)q,x(x)p sectan == .
Selanjutnya diperoleh faktor integral
xeee xdxxpdx secseclntan=== ∫∫
Kalikan PD dengan faktor integral, diperoleh
xxxydxdyx 2sectansecsec =+
atau
xxydxd 2sec)sec( =
.
Integralkan kedua ruas,
cdx xxy += ∫ 2secsec
Jadi penyelesaian PD adalah,
cxxy += tansec
atau,
xcxcxx
xy cossinsec
1sectan
+=+=
Contoh 1.6.3 :
Selesaikan PD
ydxdyyx =+ )2( 3
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa PD memuat y3 ,jadi ini bkan PD linier, tetapi jika
kita lihat x sebagai fungsi y , dan PD dapat kita tulis dalam bentuk
32yxdydxy +=
Atau
22yyx
dydx
=−
Maka diperoleh bentuk PD linear dengan x sebagai fungsi y,
22and1dengan y(y)qy
(y)p(y)qx(y)pdydx
=−==+
Selanjutnya dapat kita selesaikan dengan langkah-langkah
seperti pada contoh sebelumnya.
Faktor integralnya adalah
dyype )(∫ y
yee ydyy 11ln1
==== −−− ∫∫
Kalikan PD dengan y1 ,
yyx
dydx
y21
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Atau
yy
xdyd 21. =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
cyy
x += 21 ,
Jadi penyelesaian PD adalah,
)( 2ycyx += .
Ada dan tunggalnya penyelesaian PDB linier order satu yang
memenuhi syarat awal tertentu diberikan dalam sifat berikut.
Sifat 1.6.1 :
Misalkan P(x) dan Q (x) fungsi kontinu pada interval β<<α x . Maka
terdapat satu dan hanya satu fungsi )(xyy = yang memenuhi
)()( xQyxPdxdy
=+ pada interval tersebut dengan kondisi awal
,)( 00 yxy = dimana β<<α 0x .
Latihan 1.3.2 : Selesaikan PDB linier order satu berikut